Contenus Capacités attendues Commentaires. Déterminer des primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées.

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1 Chpitre 7 Intégrtion Contenus Cpcités ttendues Commentires Intégrtion Définition de l intégrle d une fonction continue et positive sur [;] comme ire sous l coure. Nottion f(x) dx. Théorème : si f est une fonction continue et positive sur [;], l fonction F définie sur [;] pr F(x) = f(t)dt est dérivle sur [;] et pour dérivée f. Primitive d une fonction continue sur un intervlle. Théorème : toute fonction continue sur un intervlle dmet des primitives. Intégrle d une fonction continue de signe quelconque. Linérité, positivité, reltion de Chsles. Vleur moyenne. Déterminer des primitives des fonctions usuelles pr lecture inverse du tleu des dérivées. Connître et utiliser les primitives de u e u, u u n (n entier reltif, différent de 1) u et, pour u strictement positive,, u u u. Clculer une intégrle. Utiliser le clcul intégrl pour déterminer une ire. Encdrer une intégrle. Pour une fonction monotone positive, mettre en œuvre un lgorithme pour déterminer un encdrement d une intégrle. On s ppuie sur l notion intuitive d ire rencontrée u collège et sur les propriétés d dditivité et d invrince pr trnsltion et symétrie. On peut mener un clcul pproché d ire (prole, hyperole, etc.) pour illustrer cette définition. Il est intéressnt de présenter le principe de l démonstrtion du théorème dns le cs où f est positive et croissnte. Une primitive F de l fonction continue et positive f étnt connue, on : f(x)dx = F() F(). Il est intéressnt de démontrer ce théorème dns le cs d un intervlle fermé orné, en dmettnt que l fonction un minimum. On dmet le cs générl. On fit oserver que certines fonctions comme x exp( x 2 ) n ont ps de primitive "explicite". L formule f(x)dx = F() F(), étlie pour une fonction continue et positive, est étendue u cs d une fonction continue de signe quelconque. L intégrtion pr prties n est ps un ttendu du progrmme. L notion de vleur moyenne est illustrée pr des exemples issus d utres disciplines. [SPC] Mouvement uniformément ccéléré. [SI] Vleur moyenne, vleur efficce dns un trnsfert énergétique. AP Clcul du volume d un solide. 1

2 Terminle S Intégrtion 2 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

3 Tle des mtières 7 Intégrtion 1 I - Intégrle d une fonction continue positive Intégrle et ire Propriétés Fonction définie pr une intégrle II - Primitives d une fonction continue Ensemle de primitives et condition initile Tleu de primitives III - Intégrle d une fonction continue Clcul intégrl Propriétés de l intégrle IV - Clculs d ires et de volumes Clcul d ire délimitée pr deux coures Clcul de volume I - Intégrle d une fonction continue positive 1. Intégrle et ire P est muni d un repère orthonormé (O; #» ı, #» j), f est une fonction de coure représenttive C f dns ce repère., et sont deux réels tels que. Définition 1 On ppelle unité d ire, not u.., l unité de mesure des ires telle que J K #» j 1 u.. = #» i #» j = Aire(OIKJ). O #» i I On noter D f = {M(x;y) P tels que x et y f(x)}. C f D f D f est le domine délimité pr C f, l xe des scisses et les droites d éqution x = et x =. Définition 2 Soit f une fonction continue et positive sur [;]. On ppelle intégrle de f entre et l ire, exprime en u.., du domine D f. Ce nomre est noté : f(x)dx. Remrques : 3

4 Terminle S Intégrtion D f C f x x+dx Soit x [;], x + dx est un point de [;] se trouvnt une distnce infinitésimle dx de x, insi l ire du rectngle hchuré est xdx, pr suite intuitivement, on peut écrire l pproximtion suivnte : f(x)dx x [;] f(x)dx. x est l vrile d intégrtion, on peut chnger de lettre : Cette définition s étnt ux fonctions positives en esclier. Exemple 1 Clculer 3 1 2x+4 dx et π E(x)dx. (fire un dessin). f(x)dx = f(t)dt = f(u)du. Remrque : On peut utiliser l clcultrice pour otenir une vleur pprochée d une intégrle : on trce l coure de l fonction, puis 2nd Trce 7 : f(x)dx. 2. Propriétés Définition 3 Vleur moyenne On ppelle vleur moyenne d une f continue et positive sur l intervlle [;], le réel µ = 1 f(x)dx. µ L ire du rectngle gris est µ( ) = f(x)dx. Exemple 2 Clculer l vleur moyenne de l fonction f sur [ 1;3] définie pr f(x) = x+2. (fire une figure) Solution µ = 3. Propriété 1 (Admises) On considère des fonctions f et g continues et positives sur un intervlle [;]. (1) Reltion de Chsles : Pour tout réel x [;], on : f(x) dx = c f(x) dx+ c f(x) dx. (2) Conservtion de l ordre : Si pour tout réel x [;], on f(x) g(x) lors f(x) dx g(x) dx. (3) Linérité : Pour tout réel α, on : Exemple 3 αf(x)+g(x) dx = α 1. On pose I = 1/2 2. On rppelle que 1 f(x) dx+ 2t 1+2t dt, montrer que I 1 2. g(x) dx. x 2 dx = 1 1 3, clculer 3x 2 2x+6 dx. 4 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

5 Terminle S Intégrtion 3. Fonction définie pr une intégrle Théorème 1 Soit f une fonction continue et positive sur l intervlle [; ], l fonction F définie sur [;] pr C f F(x) = x f(t) dt F(x) est dérivle sur [;] et s dérivée est f. On dit que F est une primitive de f sur [;], celle qui s nnule en : F() =. x Démonstrtion Ce théorème est dmis dns le cs générl, on le démontre uniquement dns le cs où f est continue, positive et croissnte sur [;]. Soit x [;] et h un réel non nul tel que x +h [;]. Si h > : F(x + h) F(x ) est, pr dditivité de l ire, l ire du domine situé entre y l xe des scisses, l coure C et les droites d éqution x = x et x = x +h C (prtie grisée sur l figure ci-dessus). Puisque f est croissnte, l ire du rectngle de côtés h et f(x ), est inférieurs à f(x +h) F(x +h) F(x ) qui est inférieure à l ire du rectngle de côtés h et f(x +h). f(x ) Ainsi, hf(x ) F(x +h) F(x ) hf(x +h). En divisnt pr h >, on otient f(x ) F(x +h) F(x ) f(x +h). h Comme f est continue en x, lim f(x +h) = f(x ). h #» D près le théorème des gendrmes, j lim h h< F(x +h) F(x ) h = f(x ). Si h < : Pr un risonnement nlogue, puisque, on otient hf(x +h) F(x ) F(x +h) hf(x ). En divisnt pr h >, on otient f(x +h) F(x +h) F(x ) F(x +h) F(x ) f(x ) et donc lim h h h h< Finlement F est dérivle pour tout x de [;] et F (x ) = f(x ). Remrque : On f(x) dx = F() = F() F(). II - Primitives d une fonction continue 1. Ensemle de primitives et condition initile O #» i x x +h = f(x ). Définition 4 Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I toute fonction F dérivle sur I tel que : F (x) = f(x) pour tout rel x I. Exemple 4 Soit F(x) = 4x x+7x 2 et f(x) = 12x2 3x+7 définies sur R. 1. Montrer que F est une primitive de f. 2. Trouver une utre primitive F 1 de f sur R. Théorème 2 Soit f définie sur I et F une primitive de f sur I. L ensemle des primitives de f sur I est l ensemle des fonctions G définies sur I pr : G(x) = F(x)+C pour tout x I où C est une constnte relle. x 5 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

6 Terminle S Intégrtion Démonstrtion Il est clir que x F(x)+C est une primitive de F pour tout réel C. Réciproquement, soit G une primitive de f, l fonction G F est de dérivée nulle sur I, elle est lors constnte sur I. Soit C R, tel que G(x) F(x) = C pour tout x de I, d où G(x) = F(x)+C. Exemple 5 Trouver les primitives des fonctions f, g et h définies sur R et R (pour h) pr : f(x) = 3x 2, g(x) = 6x 2 2x+3 et h(x) = 5 x 2. Propriété 2 Soit f une fonction définie sur I dmettnt une primitive sur I, x I et y R. Il existe une unique primitive G de f sur I telle que G(x ) = y. Démonstrtion On cherche C tel que G(x ) = y, c est-à-dire F(x )+C = y. L unique solution est C = y F(x ). Exemple 6 Déterminer l primitive de l fonction f définie sur R pr f(x) = 3x 2 +2x 1 qui s nnule en 1. Théorème 3 Tout fonction f continue sur un intervlle I dmet une primitive sur I. Démonstrtion Cs où f est définie sur [;] et on dmet que f dmet un minimum m sur [;]. L fonction g : x f(x) m est continue et positive sur I. D près le théorème 1, elle dmet une primitive G sur [;], telle que G (x) = g(x) = f(x) m. On pose F(x) = G(x)+mx, et F est dérivle sur [;], de plus F (x) = G (x)+m = f(x). C est donc une primitive de f sur [;]. 2. Tleu de primitives Primitives des fonctions usuelles Fonctions f Primitives F de f sur I x k (k constnte réelle) x kx+c, C R I = R x x n, n Z \{ 1} x 1 n+1 xn+1 +C, C R x 1 x x 2 x+c, C R I =];+ [ x cosx x sinx+c, C R I = R x cos(x+) R et R x 1 sin(x+)+c, C R I = R x sinx x cosx+c, C R I = R x sin(x+) R et R x 1 cos(x+)+c, C R I = R x e x x e x +C, C R I = R x e x, R x 1 ex +C, C R I = R x 1+tn 2 x = 1 cos 2 x x tnx+c, C R I = Intervlle I sur lequel sont définies f et F I = R si n > I =];+ [ oui =] ;[ sin 2 ò π 2 +kπ; π 2 +kπ ï, k Z Formes clssiques pour l recherche de primitives C est une constnte réelle, I un intervlle de R et u une fonction définie et dérivle sur I. 6 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

7 Terminle S Intégrtion Fonctions f Primitives F de f sur I Remrque u u n, n Z \{ 1} 1 n+1 un+1 +C Si n <, on doit voir : pour tout x I, u(x) u 2 u u+c Pour tout x I, u(x) > u e u e u +C u cosu sinu+c u sinu cosu+c Exemples 7 Trouver les primitives de f sur I : ) f(x) = x 3 +5x 2 x+1, I = R ) f(x) = 5 sinx, I =];+ [ x2 Ä c) f(x) = cos 2x π ä, I = R d) f(x) = e x 2, I = R 4 2x 3 e) f(x) = (x 2 3x+1), I = R f) f(x) = 2x 4 (x 2 +1), I = R 5 g) f(x) = (x 2)(x 2 4x+1) 5, I = R h) f(x) = xe x2, I = R. III - Intégrle d une fonction continue 1. Clcul intégrl Définition 5 Soit f une fonction continue sur [;], on ppelle intégrle de f sur [;] le nomre F() F() où F est une primitive de F sur [;] et on note : f(x) dx = F() F(). Remrques : Ce nomre ne dépend ps de l primitive de F choisi, cr si G est une utre primitive de F sur [;], G(x) = F(x)+C vec C R et G() G() = F()+C F() C = F() F(). Le nomre F() F() s écrit hituellement [F(t)]. Pour toute fonction continue sur [;], l fonction F définie sur [;] pr F(x) = de f qui s nnule en. Exemples 8 π 6 1 dx Clculer I 1 = cos3tdt, I 2 = dx et I 3 = x+2 Solution I 1 = 1 3, I 2 = 2( 3 2) et I 3 = 1 ( e 2 1 ). 3 e 1 e 3x 1 dx. x f(t) dt est l primitive 2. Propriétés de l intégrle Propriété 3 L reltion de Chsles, les propiétés de conservtion de l ordre et de linérité de l intérgrle restent vries pour les fonctions continues sur [;]. Remrques : L notion de vleur moyenne d une fonction s étnt u cs des fonctions continues sur [;]. f(x) dx = f(x) dx. Formule d intégrtion pr prties : Soit u et v deux fonction dérivles sur I telles que leurs dérivée u 7 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

8 Terminle S Intégrtion et v sont continues sur I. Pour tout, I, on : u (t)v(t)dt = [u(t)v(t)] u(t)v (t)dt. En effet, (uv) = u v +uv, puisque les fonction u, u, v et v sont continues sur I, en intégrnt entre et, on : le résultt. (uv) (x) dx = Exemple 9 u (x)v(x) dx+ Clculer à l ide d une intégrtion pr prtie I 1 = u(x)v (x) dx, et puisque uv est une primitive de (uv) sur I, on otient π 2 xsinxdx, I 2 = Déterminer les primitives F de l fonction x x sur [;+ [. Solution I 1 = 1, I 2 = 14 3 et F(x) = 2 3 x x+c, C R. 4 1 xdx. IV - Clculs d ires et de volumes 1. Clcul d ire délimitée pr deux coures Propriété 4 Admise Soit f et g deux fonctions continues sur I et, R telles que pour tout x [;], g(x) f(x). Soit D = {M(x;y) x et g(x) y f(x)}. L ire A(D), en u.., du domine D vut : f(x) g(x)dx. 2. Clcul de volume L espce est muni d un repère orthogonl (O; #» ı, #» j, #» k). Définition 6 On ppelle unité de volume, notée u.v., l unité de mesure des volumes telle que : 1 u.v. = #» i #» j #» k. Théorème 4 Admis Soit, R tels que et Σ un solide compris entre deux plns P() d éqution z = et P() d éqution z =. Soit P(t) le pln d éqution z = t pour t [; ] et S(t) l ire de l section du solide Σ pr le pln P(t). Si l fonction t S(t) est continue sur [;] lors le volume V (Σ) du solide, en u.v. est : V (Σ) = S(t) dt. Exemple 1 Retrouver l formule donnnt le volume V de l sphère de centre O et de ryon R. Solution V = 4 3 πr Lycée Pierre-Gilles de Gennes