TS Le plan muni d un repère orthonormé

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1 TS Le plan mn d n repère orthonormé n note P l ensemble des ponts d plan et P l ensemble des ecters d plan. I. Expresson analytqe d prodt scalare 1 ) Remarqe prélmnare ans tot le chaptre,,, est n repère orthonormé d plan P. : 1 : 1 (por l nté de longer chose) n dt qe et sont normés o ntares. ) Proprété x ; y et x' ; y' xx' yy' 3 ) émonstraton sont dex ecters qelconqes de P. x y x' y' xx' xy' yx' yy' 1 ( ) ( ) 1 1 xx' yy' II. stance et orthogonalté 3 ) ondton nécessare et sffsante d orthogonalté de dex ecters x ; y et x' ; y' sont dex ecters qelconqes de P. xx' yy' 0 4 ) Proprété a et b sont dex réels qelconqes. (a ; b) et ( b ; a) sont orthogonax et de même norme. 5 ) osns de l angle géométrqe formé par dex ecters non nls x ; y et x' ; y' sont dex ecters qelconqes non nls de P. cos ; cos ; xx' yy' x y x' y' III. Eqatons cartésennes de drotes 1 ) Proprété : ax + by + c = 0 ((a ; b) (0 ; 0)) Le ecter ( b ; a) est n ecter drecter de. Le ecter (a ; b) est n ecter normal à. 1 ) Norme d n ecter (x ; y) est n ecter qelconqe de P. x y Exemple : : x + 3y + 1 = 0 ) stance de dex ponts x y et ; ; x y x y x y sont dex ponts qelconqes de P. onc x x y y Le ecter ( 3 ; ) est n ecter drecter de. Le ecter ( ; 3) est n ecter normal à. ) Méthodes por détermner ne éqaton cartésenne de drote (Vor exercces). 1

2 3 ) Vecter drecter et coeffcent drecter ) as partcler : y m x p (éqaton rédte) coeffcent drecter ordonnée à l orgne (m : coeffcent drecter o pente ; p : ordonnée à l orgne) : m x 1 y p 0 a b c Le ecter (1 ; m) est n ecter drecter de. 4 ) as d n repère orthonormé drect : cercle de damètre [] ( ). n tlse l orthogonalté. M x ; y M M M M 0 x x x x y y y y 0 M P est orenté ;,, : y = mx + p est n ecter drecter de. ; () m = tan est n repère orthonormé drect. 3 ) Poston relate d n cercle et d ne drote est n cercle de centre et de rayon R > 0. est ne drote. n note d la dstance d pont à la drote (par défnton, d est la dstance de à son proeté orthogonal sr ). Règle 5 ) ondton nécessare et sffsante d orthogonalté de dex drotes : y = mx + p : y = m x + p mm = 1 S d S d S d R, alors et sont sécants en dex ponts dstncts. R, alors et sont tangents en n pont. R, alors et n ont acn pont commn. 6 ) Eqaton d ne drote passant par n pont et de coeffcent drecter donné : drote passant par le pont et de coeffcent drecter m. y m x x y : I IV. Eqatons cartésennes de cercles 1 ) Théorème Une éqaton cartésenne d cercle de centre a ; b de rayon R 0 s écrt x a y b R. éqaton cartésenne sos forme (N.. : on a également les éqatons paramétrqes complexes de cercles). canonqe normale V. Système d éqatons paramétrqes de drotes (Les éqatons paramétrqes ont déà été es en physqe ; le terme d éqaton paramétrqe a déà été employé a moment des nombres complexes por les éqatons paramétrqes de cercles.) 1 ) émonstraton ypothèses : ; x y est n pont d plan. ( ; ) est n ecter non nl d plan. : drote passant par et de ecter drecter. 3 4

3 M x 5 4' Un atre système d éqatons paramétrqes de la drote () s écrt '. y 5 ' Exemple x 1 n consdère la drote défne par le système d éqatons paramétrqes ( ). y 3 éfnr la drote par n pont et n ecter drecter et tracer. étermner ne éqaton cartésenne de. est la drote passant par le pont ( 1 ; 3) et de ecter drecter ( ; 1). Por tracer, on place le pont et on constrt le ecter. M(x ; y) est n pont qelconqe d plan. M M et sont colnéares / M / / / ) éfnton xm x x ym y y x x y y x x y y x x Le système ( ) est appelé système d éqatons paramétrqes de la drote passant par y y x ; y et de ecter drecter ( ; ) ; est appelé le paramètre. le pont 3 Por détermner ne éqaton cartésenne de, on élmne le paramètre entre les dex éqatons (comme en physqe). x 1 L1 y 3 L L donne y 3 n reporte dans L 1 : x 1 y 6. Une éqaton cartésenne de s écrt x y 7 0. Un pont M(x ; y) d plan appartent à la drote s, et selement s, l exste n réel tel qe les coordonnées x et y de M érfent le système. ans ce cas, est le réel tel qe M. 3 ) Exemples Exemple VI. stance d n pont à ne drote 1 ) Formle : ax + by + c = 0 ((a ; b) (0 ; 0)) x ; y La dstance d pont à la drote (dstance de à son proeté sr ) est donnée par la formle ax0 by0 c d, a b (notaton : d abord le pont, enste la drote) Un système d éqatons paramétrqes de la drote () s écrt x 1 4 y 3 5 ( ). 5 6

4 ax by c a b onclson : ax by c a b 3 ) Exemple : 3x 4y + 1 = 0 (7 ; 4) alcler d(, ). ) émonstraton (R) ypothèses : : ax + by + c = 0 ((a ; b) (0 ; 0)) x ; y : proeté orthogonal de sr d, VII. em-plans 3x 4 y ) Théorème de régonnement d plan : : ax + by + c = 0 ((a ; b) (0 ; 0)) La drote partage le plan en dem-plans oerts M x ; y tels qe : ax + by + c > 0 l n est l ensemble des ponts l atre est l ensemble des ponts M x ; y tels qe ax + by + c < 0 P 1 n sat qe le ecter (a ; b) est n ecter normal à. Idée : on calcle le prodt scalare de dex manères dfférentes (sans calcler les coordonnées de ). ➀ x x y y 0 0 ax by ax by x x a y y b r donc ax by c 0 ax by c onc en remplaçant : ax0 by0 c d où ) émonstraton n sat qe le ecter (a ; b) est n ecter normal à. Por tot pont M d plan P, on note son proeté orthogonal sr la drote. n sat qe por tot pont M, les ecters M et sont colnéares. P ➁ et sont colnéares donc ➂ n rétlse le résltat d ➀ 7 8

5 M P 1 4 ) Exercce étermner l ensemble E M x ; y P / x y ère méthode : P M(x ; y) E y < x 1 n trace la drote : y = x 1. x 0 n note P1 M P / M et M et sont colnéares et de même sens M M et M et P P / sont colnéares et de sens contrares x x y y M M M M M ax by ax by x x a y y b M M y 1 3 E r donc ax by c 0 ax by c. onc en remplaçant : M axm bym c M P 1 M 0 axm bym c 0 d où M P M 0 3 ) as partcler : cas d ne drote donnée par ne éqaton rédte cas axm bym c 0 E est le dem-plan oert de frontère sté a-dessos de. e méthode : n trace la drote d éqaton cartésenne x y 1 = 0. x y donc E. rote non parallèle à l axe des ordonnées : y = mx + p rote parallèle à l axe des ordonnées : x = a E est le dem-plan oert de frontère ne contenant pas. 9 10