Loi à densité. Dans une région, on a constaté que tout habitant résidait à moins de six kilomètres d une déchetterie.

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1 Chpitre 3 Lois à densité I Exercices Loi à densité 3. Dns une région, on constté que tout hbitnt résidit à moins de six kilomètres d une déchetterie.. Un relevé sttistique permis d étblir l histogrmme des fréquences ci-contre. Pr exemple, 47 % des hbitnts des hbitnts résident à moins d un kilomètre d une déchetterie. Clculer le pourcentge d hbitnts résidnts à une distnce d une déchetterie comprise entre 2 et 5 km ,47,2,3,9,, On choisit un hbitnt u hsrd. On ppelle X l distnce séprnt l résidence de cet hbitnt de l déchetterie l plus proche. X est une vrible létoire qui prend ses vleurs dns l intervlle [ ; [. ) Compléter : P p ď X ď q P p2 ď X ď 5q P p ď X ď q b) Pour deux entiers et b compris entre et tels que ď b, indiquer ce qui représente sur le grphique l probbilité P p ď X ď bq? 3. Une étude sttistique plus détillée donne les vleurs suivntes. Distnce d r ;, 5r r, 5 ; r r ;, 5r r, 5 ; 2r r2 ; 2, 5r r2, 5 ; 3r Fréquence,29,8,2,9,7, Distnce d r3 ; 3, 5r r3, 5 ; 4r r4 ; 4, 5r r4, 5 ; 5r r5 ; 5, 5r r5, 5 ; s Fréquence,5,4,3,3,2,2 3-

2 Remrquons qu en joutnt les fréquences deux pr deux, on retrouve bien sûr les fréquences précédentes, pr exemple :, 29 `, 8, 47. ) Trcer l histogrmme des fréquences u cryon. L histogrmme du. est en pointillés pour comprer. Lire l remrque pge suivnte...5 b) On considère à nouveu l vrible létoire X du 2. Compléter : pp3 ď X ă 4, 5q c) Indiquer ce qui représente sur le grphique l probbilité précédente? Remrque pour le trcé de l histogrmme Le premier rectngle de l histogrmme précédent (en pointillés) qui représente l fréquence,47 est remplcé pr deux rectngles. Comme ces deux rectngles doivent représenter à eux deux l même fréquence, il fut que l somme des ires de ces deux rectngles soit égle à l ire de ce premier rectngle. Il en est de même pour les utres rectngles. 4. Une étude plus précise permis de relever les distnces à,25 km près et de construire l histogrmme ci-dessous, où chcun des 24 rectngles pour bse,25 et pour ire l fréquence de l clsse correspondnte. Le premier rectngle pour huteur,7 cr,75 % résident à moins de,25 kilomère de l écopoint, en effet, 25 ˆ, 7, 75 On considère à nouveu l vrible létoire X du 2. L probbilité P p3 ď X ă 4, 5q n ps chngé de vleur, mis indiquer ce qui l représente sur le grphique cette fois-ci? Si on fit une étude de plus en plus précise on voit pprître l courbe trcée sur l figure précédente. Cette courbe représente une fonction f définie sur [ ; [, ppelée densité de probbilité de l loi de X. ) Soient et b deux nombres réels pprtennt à [ ; [ tels que ď b. Indiquer ce qui représente P p ď X ď bq pr rpport à l courbe de l fonction f. b) Donner l expression de P p ď X ď bq pr rpport à l fonction f. c) Pour un nombre réel de l intervlle [ ; [, que signifie l probbilité P p ď X ď q et quelle est s vleur? TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre 3-2

3 COURS : lire l définition de loi à densité sur un intervlle u prgrphe On choisit une journée u hsrd dns l production quotidienne d un produit donné. L production quotidienne X de ce produit en tonnes est une vrible létoire continue qui prend ses vleurs dns l intervlle [ ; ] vec l densité de probbilité f définie pr : fpxq, px x 2 q.. Que signifie concrètement «l vrible létoire prend ses vleurs dns l intervlle [ ; ]»? 2. Vérifier que f est une densité de probbilité sur [ ; ]. 3. Clculer l probbilité que l production soit comprise entre 2 et 3 tonnes. 4. Clculer pp ď X ď 7q 5. Clculer ppx ą 7q.. Ce jour là, l production est supérieure à 5 tonnes. Clculer l probbilité que l production soit inférieure à 7 tonnes. 3.3 Au er jnvier 2, une entreprise mis sur le mrché frnçis un téléphone portble. Le public visé est l ensemble des personnes gées de 5 à 3 ns résidnt en Frnce. Le temps écoulé, exprimé en mois, entre l mise sur le mrché et l cquisition de ce produit pr une telle personne est modélisé pr une loi dont l densité f est définie sur r ; `8r pr : fpxq e x`8 p ` e x`8 q 2. Démontrer qu une primitive de l fonction f est l fonction F définie pr : e x`8 Fpxq ` e x`8 2. On choisit u hsrd une personne âgée de 5 à 3 ns résidnt en Frnce. X est l vrible létoire égle u temps écoulé en mois entre l mise sur le mrché et et l cquisition du produit pr cette personne. ) Quelle est l probbilité qu elle soit déjà en possession de ce produit vnt le er juillet 2? b) Quelle est l probbilité qu elle n it ps encore cheté ce produit u bout de mois? c) Avec l clcultrice, déterminer le nombre de mois n à prtir duquel on : ppx ď nq >,99. d) Une personne qui entre 5 et 3 ns n toujours ps cheté ce téléphone portble à l fin du e mois. Clculer l probbilité qu elle ne l it toujours ps cheté à l fin du 9 e mois. 3.4 Retrouver l réponse à l question 2. c) de l exercice 3.3 en résolvnt une inéqution. TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre 3-3

4 Loi uniforme On choisit un nombre u hsrd entre deux nombres et b, et on ppelle X l vrible létoire égle à ce nombre. Le but des exercices qui suivent est d étudier l loi de probbilité de cette vrible létoire, nommée loi uniforme. 3.5 Les clcultrices, les lngges de progrmmtion, et différents logiciels ont une commnde permettnt d fficher un nombre déciml létoire entre et. Le but de cet exercice est d pprendre à obtenir un nombre létoire entre deux nombres et b. L commnde NbrAlét de l clcultrice ffiche un nombre u hsrd entre et.. Si on sisit 3 * NbrAlét, on obtient un nombre u hsrd entre quelles vleurs? 2. Même question si on sisit ) 5 * NbrAlét b) 4 + NbrAlét c) 7 + NbrAlét d) 3 + * NbrAlét 3. Comment obtenir un nombre létoire ) entre et 2? b) entre 5 et? c) entre 3 et 7? d) entre et b? Nombres létoires entre et vec les clcultrices TI 82 : mth Ð (PRB) entrer, on voit NbrAlét, ppuyer sur entrer. TI 89 ou TI 92 HOME 2ND [MATH] 7 (7:Probbility) 4 (4:rnd() ENTER Compléter insi : rnd(), ppuyer sur ENTER. CASIO : OPTN F (Ź) F3 (PROB) F4 (RAND) F (Rn#) EXE 3. Le but de cet exercice est d étudier un exemple de l sitution suivnte : c d b X est une vrible létoire égle à un nombre choisi u hsrd entre et b. c et d sont deux nombres de l intervlle r ; bs tels que c ď d. Quelle est l probbilité de l évènement tc ď X ď du? On ppelle X l vrible létoire égle à un nombre létoire entre 4 et Conjecturer l probbilité suivnte : pp ď X ď 8q Le but de l lgorithme ci-dessous est d effectuer n tirges létoires de nombres entre 4 et 9 ; de compter prmi les tirges combien sont entre et 8 ; TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre 3-4

5 de clculer l fréquence f de tirges entre et 8. Algorithme Lire n c Ð Pour k jusqu à k n Ð nombre létoire entre 4 et 9 Si ě et ď 8 Alors c Ð c ` Fin du Pour f Ð c n Afficher f ) Progrmmer cet lgorithme à l clcultrice ou en Python. b) Compléter le tbleu ci-dessous. À l clcultrice, on ne compléter que pour n et n. n f c) Comprer les résultts des questions. et 2. b). Nombres létoires entre et en Python Il fut importer le module rndom, donc il fut sisir ceci en début de progrmme : from rndom import * Pour ffecter à une vrible un nombre létoire entre et, on sisit : =rndom() 3.7 X est une vrible létoire égle à un nombre choisi u hsrd entre et b. Le but de cet exercice est d étudier l espérnce de X. On reprend le même exemple que dns l exercice 3. : X est l vrible létoire égle à un nombre choisi u hsrd entre 4 et Conjecturer l espérnce de X : EpXq Si on effectue un grnd nombre de tirges d un nombre létoire entre 4 et 9, on sit que l moyenne de ces tirges est proche de EpXq. Nous llons donc modifier l lgorithme de l exercice 3. pour que il effectue n tirges létoires de nombres entre 4 et 9 ; il clcule l somme de ces nombres ; TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre 3-5

6 il clcule l moyenne m de ces nombres. ) Écrire l lgorithme modifié ci-dessous. b) Progrmmer cet lgorithme à l clcultrice ou en Python. c) Compléter le tbleu ci-dessous. À l clcultrice, on ne compléter que pour n et n. n m d) Comprer les résultts des questions. et 2. b). 3.8 Après voir trité les exercices 3. et 3.7, nous vons étudié le clcul de ppc ď X ď dq et de EpXq pour une vrible létoire X qui suit une loi uniforme sur un intervlle r ; bs. Le but de cet exercice est de récpituler les connissnces sur l loi uniforme : clculer une probbilité ; préciser quelle est l densité de X ; revenir sur l espérnce et un utre moyen de l clculer. On choisit un nombre u hsrd entre 3 et 7, et on ppelle X l vrible létoire égle à ce nombre. L vrible létoire X suit donc l loi uniforme sur l intervlle [3 ; 7] Clculer une probbilité vec une loi uniforme. Clculer les probbilités suivntes. ) pp3 ď X ď 5q b) pp3 ď X ď 7q c) pp5 ď X ď q d) pp3, 5 ď X ď 4q 2. L densité de probbilité d une loi uniforme L vrible létoire X qui suit l loi uniforme sur l intervlle [3 ; 7]. Cette loi une fonction f de densité TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre 3-

7 ) Quelle est cette fonction f? b) Trcer ci-dessus l représenttion grphique de cette fonction. c) En hchurnt ou en colorint, fire pprître sur l figure ci-dessus, les probbilités suivntes : pp5 ď X ď q et pp3, 5 ď X ď 4q. 3. L espérnce d une loi uniforme ) Quelle est l espérnce de X? b) L espérnce d une vrible létoire X de densité f sur un intervlle r ; bs est donnée pr : EpXq ż b tfptq dt. Vérifier qu on retrouve le résultt du 3. ) en clculnt ż 7 3 tfptq dt COURS : lire le prgrphe 3.3 sur l loi uniforme. 3.9 Un étblissement doit recevoir l visite d un inspecteur entre 7 h et 7 h. L heure d rrivée de cet inspecteur est létoire. X est l vrible létoire égle à l rrivée de l inspecteur.. Déterminer l fonction f de densité de probbilité de X. 2. Clculer l probbilité que l inspecteur rrive () vnt 8 h (b) près 2 h (c) entre 9 h 3 et h 3. Clculer l espérnce de l heure d rrivée de l inspecteur. 4. L étblissement pprend que l inspecteur n rriver ps vnt h. Clculer l probbilité que l inspecteur rrive près 2 h. 3. Une personne vient ssurer h de trvil entre h et 7 h chque jour. Une deuxième personne vient trviller pendnt h, mis son heure d rrivée est létoire entre 4 h et 9 h. Clculer l probbilité que ces deux personnes se croisent. Loi exponentielle 3. On choisit u hsrd un ppreil ménger. X est l durée de vie en nnées de cet ppreil vnt l première pnne. On peut modéliser cette sitution en considérnt X comme une vrible létoire qui suit une loi de probbilité p de densité f, définie sur l intervlle r ; `8r pr fpxq, 98 e,98 x. Ainsi : pp ď X ď bq ż b, 98 e,98 x dx C f b Temps en nnées TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre 3-7

8 . ) Décrire pr une phrse l évènement t ď X ď u b) Clculer s probbilité, en détillnt les clculs. 2. Mêmes consignes () et (b) pour l évènement t ď X ď 7u 3. En rrondissnt u centième près, clculer les probbilités que l ppreil tombe en pnne ) vnt l fin de l e nnée ; b) entre l fin de l 3 e nnée et l fin de l 4 e nnée. 4. Clculer l probbilité que l ppreil tombe en pnne près l fin de l 8 e nnée. 5. À prtir de quel nombre d nnées n l probbilité que l ppreil it s première pnne vnt l fin de l nnée n soit supérieure ou égle à,99. Arrondir à l unité près. COURS : lire le prgrphe 3.4 sur l loi exponentielle. 3.2 L vrible létoire X suit l loi exponentielle de prmètre λ. L fonction de densité de probbilité de cette loi est représentée ci-dessous.. Lire sur le grphique l vleur du prmètre λ. 2. Clculer P px ą q en utilisnt cette vleur de λ. 3. Mettre en évidence sur le grphique l probbilité précédente On considère une vrible létoire X qui suit l loi exponentielle de prmètre λ vec λ ą. On se propose de clculer l espérnce mthémtique de X, notée EpXq.. Rppeler l fonction f de densité de probbilité de l loi exponentielle. 2. On ppelle g et G les fonctions définies sur IR pr : gpxq λxe λx et Gpxq Démontrer que l fonction G est une primitive de l fonction g. 3. L espérnce mthémtique de X, est donnée pr : EpXq lim ) Démontrer que pour tout réel x : b) Déterminer EpXq en fonction de λ. ż x tfptq dt λ xñ`8 ż x tfptq dt. ` λxe λx e λx `. ˆ x ` e λx. λ TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre 3-8

9 3.4 Un élément rdioctif une durée de vie moyenne de 5 ns soit 5 siècles. S durée de vie T en siècles est une vrible létoire T qui suit une loi exponentielle de prmètre λ.. Clculer le prmètre λ. 2. Clculer l probbilité que cet élément rdioctif soit désintégré vnt 3 siècles. 3.5 X est l vrible létoire qui donne l distnce prcourue en kilomètres pr un pneu sns crevison. On suppose que X suit l loi exponentielle de prmètre λ, où λ est un réel strictement positif. Schnt que l probbilité que le pneu prcoure entre et kilomètres sns crevison est égle à,85, déterminer l vleur de λ à 3 près. Chpitre 4 Notion de loi à densité Les exercices résolus Pour réviser ex p 379 : clculs de probbilités vec une vrible létoire continue ex 7, 8 p 38 : clculs de probbilités vec une loi uniforme ex p 383 : ex 2 p 383 : loi exponentielle et propriété de durée de vie sns vieillissement ex 2 p 383 : clculer le prmètre d une loi exponentielle à prtir d une condition. Rubrique Pour s exercer, corrigés pge 49 ex 2 p 379 : clculs de probbilités vec une vrible létoire continue ex p 38 : clculs de probbilités vec une loi uniforme ex 3 p 383 : clculs de probbilités vec une loi exponentielle Rubrique Objectif bc, corrigés pge 479 ex 55 p 388 (QCM) : loi exponentielle et loi uniforme ex 5 p 388 (Vri-Fux) : loi exponentielle ex 58 p 389 : exercice de type bc, deux lois de probbilités ex 59 p 39 : problème de synthèse sur les probbilités TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre 3-9

10 II. COURS CHAPITRE 3. LOIS À DENSITÉ II Cours 3. Loi à densité sur un intervlle. Vrible létoire discrète et vrible létoire continue Les vribles létoires discrètes sont les vribles létoires étudiées jusqu ici. Une vrible létoire discrète peut prendre plusieurs vleurs dns une liste de vleurs. Pr exemple, on lnce un dé, on considère l vrible létoire égle u nombre obtenu, et l liste des vleurs est { ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; }. Dns ce chpitre, on étudie un nouveu type de vrible létoire, les vribles létoires continues. Une vrible létoire continue peut prendre une infinité de vleurs dns un intervlle de vleurs. Pr exemple, on choisit u hsrd un hbitnt dns une région où tout hbitnt hbite à moins de km d une déchetterie, et on considère l vrible létoire X égle à l distnce séprnt l résidence de cet hbitnt de l déchetterie l plus proche. Ainsi l intervlle de vleurs est [ ; [. Loi d une vrible létoire discrète et loi à densité d une vrible létoire continue L loi de probbilité d une vrible létoire discrète est donnée pr un tbleu tel que celui-ci pour le lncer de dé. x i p i Pour une vrible létoire continue, cel n est plus possible, et on définit s loi de probbilité comme cel est indiqué ci-dessous. Définition X est une vrible létoire continue à vleurs dns un intervlle I. f est une fonction continue et positive sur I telle que ż b fptq dt si I r ; bs et lim xñ`8 ż x fptq dt si I r ; `8r Dire que p est l loi de probbilité de densité f de X signifie que pour tous nombres c et d de l intervlle I tels que c ď d : ppc ď X ď dq Conséquences Pour tous nombres réels c et d de I, on les églités ci-dessous. ppx cq ppc ď X ď dq ppc ď X ă dq ppc ă X ď dq ppc ă X ă dq ppx ą cq ppx ď cq ż d c fptq dt TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre 3-

11 II. COURS CHAPITRE 3. LOIS À DENSITÉ 3.2 Espérnce d une loi à densité L espérnce d une vrible létoire X de densité f sur un intervlle r ; bs est donnée pr : EpXq ż b tfptq dt 3.3 Loi uniforme Le progrmme indique qu un élève de TES doit connître l fonction de densité de l loi uniforme sur r ; bs. Définition et conséquence Propriété Définition : dire qu une vrible létoire X suit l loi uniforme sur un intervlle [ ; b] signifie que s densité est une fonction constnte sur [ ; b]. Conséquence : cette fonction est définie pr : fpxq b. X est une vrible létoire qui suit l loi uniforme sur un intervlle r ; bs. Pour tous nombres c et d de [ ; b] tels que c ď d on : ppc ď X ď dq d c b Propriété X est une vrible létoire qui suit l loi uniforme sur un intervlle [ ; b]. Son espérnce est donnée pr : E(X) ` b Loi exponentielle Définition λ est un réel strictement positif. Dire qu une vrible létoire X suit une loi exponentielle de prmètre λ sur r ; `8r signifie que s densité de probbilité est définie sur r ; `8r pr fpxq λe λx. Propriété Clculs des probbilités X est une vrible létoire qui suit une loi exponentielle de prmètre λ. c et d sont deux réels tels que ď c ď d. On lors : P pc ď X ď dq e λc e λd P p ď X ď dq e λd P px ě cq e λc Propriété Espérnce de l loi exponentielle L espérnce d une vrible létoire X qui suit une loi exponentielle de prmètre λ est : EpXq λ. TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre 3-