Filière MP MATHÉMATIQUES Épreuve commune aux ENS de Paris et Cachan Durée : 4 heures
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- Basile Bourget
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1 SESSION 2003 Filière MP MATHÉMATIQUES Épreuve commune ux ENS de Pris et Cchn Durée : 4 heures L usge de clcultrices électroniques de poche à limenttion utonome, non imprimntes et sns document d ccompgnement, est utorisé Cependnt, une seule clcultrice à l fois est dmise sur l tble ou le poste de trvil, et ucun échnge n est utorisé entre les cndidts Le but de ce problème est l étude mthémtique de l notion d entropie L prtie I est conscrée à des questions préliminires et les prties suivntes à l étude des propriétés et des liens entre différentes définitions de l entropie Nottions et rppels : On noter R l ensemble des nombres réels, et R + l ensemble des nombres réels positifs ou nuls On dir qu une fonction f de R dns R est à support compct s il existe un intervlle fermé borné [, b] de R tel que f(x) = 0 pour tout x / [, b] On ur besoin de considérer l fonction x x ln x définie pour x > 0, et pr continuité, lorsque x = 0, on poser x ln x = 0 D utre prt, on rppelle l vleur de l intégrle de Guss : 0 e x2 dx = π 2 Prtie I Dns cette prtie, ϕ désigne une fonction de clsse C 2 définie sur un intervlle I de R et à vleurs réelles On suppose que l dérivée seconde de ϕ est positive sur I (on dir lors que ϕ est convexe) I-1 A l ide d une formule de Tylor, montrer que x, y I ϕ(y) ϕ(x) + (y x)ϕ (x) I-2 Soit un entier n 2, soient x 1,, x n dns I se soient 1,, n dns [0, 1] tels que n i = 1 En utilisnt l question précédente vec x = n ix i, montrer que ϕ( i x i ) i ϕ(x i ) I-3 Soient f et g deux fonctions continues définies sur un intervlle [, b] de R et à vleurs réelles On suppose que : f est positive sur [, b], b f(x)dx = 1 et g est à vleurs dns I Montrer que ( ) b b ϕ g(x)f(x)dx ϕ(g(x))f(x)dx 1
2 Prtie II Pour tout entier n 2, on note A n l ensemble des p = (p 1,, p n ) de R n tels que pour tout i entier entre 1 et n, p i 0 et tels que n p i = 1 On définit lors sur A n l fonction entropie, notée H n, pr H n (p) = H n (p 1,, p n ) = p i ln p i II-1 Soit un entier k 2, et soit p = (p 1,, p k ) dns A k tel que pour tout i entre 1 et k, p i > 0 A l ide de l convexité de l fonction x ln x, montrer que 0 H k (p) ln k En déduire que pour tout entier n 2, et tout p A n, on : 0 H n (p) ln(n) II-2 Soient p et q dns A n, et λ [0, 1] Vérifier que le vecteur λp + (1 λ)q pprtient ussi à A n, et montrer (en utilisnt l convexité de l fonction x x ln x) que H n (λp + (1 λ)q) λh n (p) + (1 λ)h n (q) II-3 Pour p = (p 1,, p n ) dns A n et q = (q 1,, q m ) dns A m, on note pq le vecteur de R nm défini pr pq = (p 1 q 1,, p 1 q m, p 2 q 1,, p 2 q m,, p n q 1,, p n q m ) Vérifier que pq pprtient à A nm et que H nm (pq) = H n (p) + H m (q) II-3b Soit n 3 et p = (p 1,, p n ) dns A n tel que p 1 + p 2 > 0 Vérifier que p 1 p 2 H n (p 1,, p n ) = H n 1 (p 1 + p 2, p 3,, p n ) + (p 1 + p 2 )H 2 (, ) p 1 + p 2 p 1 + p 2 II-4 Soient p = (p 1,, p n ) et q = (q 1,, q n ) deux éléments distincts de A n On suppose de plus que pour tout i, q i > 0, et on définit lors l entropie reltive de p et q pr D n (p, q) = p i ln p i q i Soit I l ensemble des indices i entre 1 et n tels que p i q i On pose lors p = i I p i et q = i I q i II-4 Montrer que I est non vide et de crdinl strictement inférieur à n Puis montrer, à l ide de l convexité de l fonction x ln x, que pour tout sous-ensemble J non vide de {1,, n}, on : ( ) p i ln p i p i ln i J p i q i En déduire lors que i J D n (p, q) p ln i J i J q i p q + (1 p) ln 1 p 1 q II-4b Montrer que p i q i = 2( p q) 2
3 II-4c A l ide d une étude de l fonction t p ln t + (1 p) ln(1 t), montrer que ( D n (p, q) 1 n 2 p i q i ) 2 II-5 Soit une suite de fonctions J n : A n R +, définie pour n 2, et vérifint les propriétés suivntes : (P1) Continuité : l fonction p J 2 (p, 1 p) est continue sur [0, 1] (P2) Symétrie : n 2, σ permuttion de {1,, n}, et p = (p 1,, p n ) A n, J n (p 1,, p n ) = J n (p σ(1),, p σ(n) ) (P3) Mximlité : n 2, p = (p 1,, p n ) A n, J n (p 1,, p n ) J n (1/n,, 1/n) (P4) Extensibilité : n 2, p = (p 1,, p n ) A n, J n+1 (p 1,, p n, 0) = J n (p 1,, p n ) (P5) Additivité : n, m 2, p A n, q A m, J nm (pq) = J n (p) + J m (q) (P6) Récursivité : n 3, p = (p 1,, p n ) A n tel que p 1 + p 2 > 0, p 2 J n (p 1,, p n ) = J n 1 (p 1 + p 2, p 3,, p n ) + (p 1 + p 2 )J 2 (, ) p 1 + p 2 p 1 + p 2 p 1 II-5 On pose pour tout n 2, ψ(n) = J n (1/n,, 1/n) Montrer que l suite(ψ(n)) n 2 est croissnte, et que pour tous les entiers n, m 2, on ψ(nm) = ψ(n) + ψ(m) II-5b On pose dns toute l suite c = ψ(2)/ ln 2 Montrer tout d bord que si c = 0 lors ψ(n) = 0 pour tout n 2 On suppose mintennt c 0 Soit un entier n > 2 En encdrnt, pour tout entier r non nul, n r entre des puissnces de 2, montrer que ψ(n) = c ln(n) II-5c Montrer pr récurrence sur n 2 que pour tout (p 1, p 2 ) A 2 tel que p 1 > 0 et p 2 > 0, et tous (q 1,, q n ) et (r 1,, r n ) dns A n, on : J 2n (p 1 q 1,, p 1 q n, p 2 r 1,, p 2 r n ) = J 2 (p 1, p 2 ) + p 1 J n (q 1,, q n ) + p 2 J n (r 1,, r n ) II-5d Soient k et n deux entiers tels que 2 k n 2, montrer que ψ(n) = J 2 ( k n, 1 k n ) + (1 k n )ψ(n k) + k n ψ(k) Puis en déduire que pour tout p [0, 1], on J 2 (p, 1 p) = ch 2 (p, 1 p) = c [p ln p + (1 p) ln(1 p)] II-5e Montrer pr récurrence sur n que pour tout n 2, on J n = ch n 3
4 Prtie III Dns cette prtie on noter F l ensemble des fonctions f de R dns R +, continues et telles que l fonction x x 2 f(x) soit bornée sur R, l intégrle x2 f(x)dx converge et f(x)dx = 1 On noter de plus F 0 l ensemble des fonctions de F qui sont à support compct III-1 Pour tout f pprtennt à F, on définit l entropie différentielle de f pr : H(f) = Montrer que cette intégrle est bien définie f(x) ln f(x)dx III-2 Soient µ un réel et σ un réel strictement positif On définit sur R l fonction g µ,σ pr Montrer que g µ,σ pprtient à F, et que g µ,σ (x) = 1 σ 2 2π e (x µ) /2σ 2 xg µ,σ (x)dx = µ En déduire l vleur de H(g µ,σ ) et (x µ) 2 g µ,σ (x)dx = σ 2 III-3 Soit f F telle que x R, f(x) > 0 Pour tout µ réel et tout σ réel strictement positif, on pose K µ,σ (f) = f(x) ln f(x) g µ,σ (x) dx Montrer que cette quntité est bien définie, et montrer de plus, à l ide de l convexité de l fonction t ln t, que K µ,σ (f) 0 III-3b En déduire que si on définit les réels m et s pr m = xf(x)dx et s = (x m)2 f(x)dx, lors H(f) H(g m,s ) Prtie IV On reprend dns cette prtie les nottions des prties précédentes IV-1 Soit f F Pour tout réel r ]1/2, + [, et r 1, on définit l entropie de Renyi d ordre r de f pr h r (f) = 1 ( ) 1 r ln f r (x)dx Montrer que cette quntité est bien définie L fonction f étnt fixée, on considère l fonction F définie sur ]1/2, + [ pr r F (r) = f r (x)dx Montrer que F est de clsse C 1, et clculer F (1) IV-1b En déduire que h r (f) tend vers H(f) lorsque r tend vers 1 4
5 IV-2 Soient f et g dns F On ppelle lors produit de convolution de f et de g, que l on note f g, l fonction définie sur R pr : x (f g)(x) = f(x y)g(y)dy Justifier l convergence de cette intégrle pour tout x réel IV-2b Montrer que f est uniformément continue sur R En déduire que f g est continue sur R IV-3 On suppose dns l suite que f et g sont dns F 0 Montrer lors que f g pprtient ussi à F 0 IV-3b En utilisnt l convexité de l fonction t t ln t, montrer que H(f g) H(f) IV-4 Soient f et g dns F 0 On dmet dns l suite le résultt suivnt (inéglité de Young forte) : pour tous p, q, r réels strictement supérieurs à 1, tels que 1 r = 1 p + 1 q 1, lors ( 1/r ( ) 1/2 ( C(p)C(q) + (f g) (x)dx) r C(r) où pour tout x > 1, on posé C(x) = exp( 1 x Soit r ]1, + [ et λ ]0, 1[ On pose p = ln x + x 1 x h r (f g) λh p (f) + (1 λ)h q (g) H 2(λ, 1 λ) + ) 1/p ( 1/q f p (x)dx g (x)dx) q, x 1 ln x ) r r+λ(1 r) et q = r r+(1 λ)(1 r), montrer que ( r 1 2(r 1) r ln r 1 p ln p 1 ) q ln q IV-4b On fixe λ ]0, 1[ En fisnt tendre r vers 1 dns l inéglité ci-dessus, montrer que H(f g) λh(f) + (1 λ)h(g) H 2(λ, 1 λ) IV-4c Utiliser le résultt de l question précédente vec λ choisi de fçon optimle pour en déduire que exp(2h(f g)) exp(2h(f)) + exp(2h(g)) 5
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