BULLETIN OF THE ROYAL SCHOOL OF FORESTRY STOCKHOLM, SWEDEN. Redaktör: Professor OLOF TAMM. le calcul de la croissance

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1 KUNGL. SKOGSHÖGSKOLANS SKRIFTER BULLETIN OF THE ROYAL SCHOOL OF FORESTRY Nr 14 och 15 STOCKHOLM, SWEDEN Redaktör: Professor OLOF TAMM 1953 Interet simpe ou interets composes dans e cacu de a croissance Enke eer sammansatt ränta vid tiväxtberäkning Av SVEN PETRINI Sammansatt ränta vid tiväxtprocentberäkning i feråriga perioder Zinseszinsen bei der Berechnung der Zuwachsprozente in mehrjährigen Perioden Av EINAR STRIDSBERG Särtryck ur "skogshögskoan 125 år" Reprioted from "The Roya Schoo of Forestry of Sweden 125 Years" SX:OGSBIBLIOTEX:ET, SX:OGSHÖGSKOLAN, STOCX:HOLM ( distribution)

2 Interet simpe ou interets composes dans e ca/cu de a croissance Par SVEN PETRINI Dans e cacu d'interet simpe, en matiere d'actif, c' est toujours e capita initia qui procure 'interet. S'i s'agit de dette, on peut evidemment soutenir e contraire, dire que c' est a dette qui absorbe 'interet, et expiquer ainsi e cacu d'escompte sur un montant qui n'a pas besoin d'etre paye avant un certain temps. Mais un arbre en croissance constitue, en toute circonstance, un avoir. Les interets composes sant U cacu d'interet simpe repete, et eur principe s'appique bien a a croissance de 'arbre, puisque 'augmentation de voume, a croissance, c.a.d. 'interet, pendant une certaine annee s'ajoute directement au capita initia de 'arbre de sorte que, joint a ce capita! initia, is constituent ensembe e capita! initia de 'annee suivante, auque, pus tard, vient eneare s'ajouter une nouvee croissance. De ce point de vue i sembe nature, en ce qui concerne es arbres en croissance, de cacuer toujours par interets composes et capitaisation chaque annee. Les circonstances se compiquent cependant du fait que e taux de 'interet ne reste pas eonstant d'annee en annee mais tombe systematiquement avec 'age. Dans U cacu portant sur des periodes de pusieurs annees i peut donc arriver que e voume de croissance n'augmente pas comme i devrait e faire dans a serie geometrique que ' on etabit d'habitude dans e cacu d'interets composes. De erainte de surestimer a croissance, on a adopte e cacu d'interets simpes, en supposant que e voume de croissance, c.a.d. 'augmentation annuee, reste eonstant d'annee en annee pendant a periode envisagee. Pour des cacues visant 'avenir on empoie donc un taux qui est appique au capita initia, apres quoi a croissance annuee ainsi obtenue est mutipiee par e nombre d'annees comprises dans a periode et est ajoutee au capita initia. Les circonstances se compiquent encore du fait que, dans e cacu de a croissance, on a a tenir compte de deux situations differentes. D'un cote i y a a recherche meme

3 36 SVEN PETRINI qui s'appique au passe et aboutit normaement a des courbes de pourcentage de croissance etabies suivant 'age pour differentes especes d'arbres, et sans distinction entre es differentes quaites de so. On peut dire que cette situation est cee de ' evauation des forets. La seeonde est a formation du pan d'amenagement des forets pour une periode a venir et comporte un pronostic. C' est a vant tout au pronostic que es raisonnements posterieurs devront se rattacher. Dans e premier cas, i existe, ors des recherches, des possibiites imitees de determiner a croissance totae du peupement, c.a.d. du fonds initia, parce que es arbres qui ont disparu pendant a periode d'investigation ne peuvent pas entrer dans es recherches, esquees ne peuvent porter que sur des arbres d'epreuve choisis parmi ceux qui subsistent encore quand ees se poursuivent..cea infue ensuite par une erreur positive et systematique sur es pronostics bases sur a recherche de a croissance (voir Petrini: "Pronostics de croissance dans 'amenagement des farets", KungLskogshögskoans skrifter, No 2, 1949). L'utiisation prevue des chiffres d'evauation pour es pronostics a cependant infue aussi sur a formation de a methode de cacu meme d'evaution. Ainsi, ToR JoNSON a ance a methode consistant a cacuer e taux de ' escompte au cours des recherches sur a croissance, ce qui est motive entre autres par son empoi comme taux d'interet simpe dans es cacus concernant ' avenir. I_ n'y a aucun doute sur e moment auque un taux d'escompte doit se rapporter a savoir ceui de a fin de a periode des recherches, pus precisement, a fin de a derniere annee de cette periode. De meme, i est cair qu'un taux d'interet simpe qui se rapporte au capita! initia concerne e debut de a periode, c.a.d. e commencement de a premiere annee. Pour ce qui est des interets composes, on camprend aisement que, dans une recherche, un pourcentage caracteijsant une periode d'annees doit etre pace et, dans un pronostic, consute, au miieu. de a periode en question. Le present expose vise a faire comprendre, dans une certaine mesure, es resutats que donnent es differentes methodes de cacu empoyees pour 'evauation du taux de croissance, quand on es appique a des periodes de 5 et de o ans respectivement. J'ai deja traite ce probeme, entre autres dans une etude intituee "Cacu du pourcentage de croissance" (Buetin de 'nstitut de recherches farestieres de Suede, H.22,, No 4, 1925). La fonction des interets composes sembe etre cee qui convient e mieux au cours de a croissance, des que ce cours est caracterise par une croissance absoue en progression. u n pronostic qui, pour une periode de pusieurs annees cacue avec un interet simpe sur e capita! initia, c'est-a-dire prevoit une augmentatian eonstante d'annee en annee, doit accuser un resutat trop faibe en cas de progression du voume de croissance; et es interets composes doivent montrer un resutat trop eeve quand a croissance est constante. Pour etudier comment fonctionnent es differentes methodes en differentes circonstances, on peut prendre pour base une serie de pourcentages de croissance fixes pour chaque annee et reunis en une cour be descendante. I n' est pas

4 INT:ERET SIMPLE OU INT:ERETS COMPOS:ES 37 necessaire de mettre en connexion es vaeurs pourcentuees avec un age donne, es cacus peuvent etre etabis comme s'appiquant d'une fa<;on generae. Pour rester dans une certaine ruesure en rapport avec a reaite, nous pouvons cependant supposer qu'une croissance de 15 % par an se refere a un age de 15 ans. I s'agit, en premier ieu, de determiner avec quee incinaison a courbe doit descendre pour que e voume annue de croissance demeure constant. Ce degre de pente est a imite ou e cacu d'interet simpe devrait etre prefere au cacu d'interets composes. Si nous commen<_;:ons par une croissance de 15 % pour a premiere annee, e capita initia de a seeonde annee sera 1.15 quand e capita de a premiere annee est ega a. Maintenant, si nous appeons x e pourcentage de croissance de a deuxieme annee, nous avons, en cas de voume eonstant de croissance, ' equation 15 1,15. 0,0 x= 0,15; x= - = 13,04. 1,15 Pour que a croissance de a seeonde annee soit aussi forte que cee de a premiere, e taux de croissance de a seeonde annee devra donc etre: 13,04 %. Si ' on poursuit e cacu, on obtient pour es annees qui suivent a serie decrite dans a figure. Cette serie de taux de croissance, qui donne un voume de croissance eonstant d'ann.ee en annee, devrait donc pouvoir etre consideree comme correspondant a une vaeur de 15 % a 15 ans et de 1,1 % a 100 ans. A titre de camparaison a ete inseree dans a figure une courbe de croissance pour e pin syvestre et une autre pour 'epicea, toutes deux obtenues sur des sujets d'epreuve choisis objectivement au cours d'un grand inventaire en Södermanand dans a Suede centrae. Les vaeurs reees sont d'un bout a 'autre pus eevees que dans a serie construite pour un voume de croissance eonstant et, si ' on etudie pus minutieusement de combien e taux de croissance tombe par an quand on part d'un seu et meme pourcentage de vaeur, on constate que es vaeurs pratiques accusent tout e ong une courbe descendante moins accentuee que es vaeurs construites. La concusion serait donc que, dans es circonstances actuees, nous avons toujours des raisons de presumer une croissance en progression. Cea peut natureement varier d'un cas a 'autre. Cependant, avec es methodes appiquees aujourd'hui dans a syvicuture, a courbe de pourcentage pourrait arriver a accuser une croissance en voume en augmentatian continue des arbres individues. L'ecaircie rationee, aussi bien que 'incination a diminuer e capita sur pied pour es ages avances, travaient a freiner a tendance descendante du taux de croissance. Maintenant, dans a pratique, si ' on a adopte une cour be donnee de taux de croissance et qu'on 'ait acceptee pour un pronostic actue, i peut etre interessant d'examiner si cette courbe montre une croissance en progression ou si, dans certaines parties, ee donne naissance, dans e cacu, a des voumes de croissance eonstants ou, eventueement, en diminution. Cea fait, i est facie de decider si c'est 'interet compose ou 'interet simpe que ' on appiquera pour es cacus. Le tabeau I est etabi, pour

5 -- 38 SVEN PETRINI n, I O o O ans Fig. I. Series de taux de croissance. Trait pein: a condition de croissance eonstante par an. Hachure: Serie de taux de croissance, pin, Södermanand (Suede) Pointie: Serie de taux de croissance, epicea, Södermanand (Suede) faciiter un te choix et aussi pour servir ici de base a certains cacus. Le tabeau suppose que es taux, pour a premiere anm e, sont 10 %, 9 %, 8 % etc. puis sont indiquees es vaeurs en pourcents qui sont exigees pendant es annees respectives pour que e voume de croissance demeure constant. T abeau I. T aux de croissance pour une periode de O ans, etant suppose un 'Vo u me de croissance annue eonstant Annees ' Pourcentage 10 9,1 8,3 7,7 7,1 6,7 6,3 5,9 de 9 8,3 7,6 7,1 6,6 6,2 5,5 5,2 croissance 6 5,6 5 4,s 4,6 5,9 5,6 5,3 8 7,4 6,9 6,5 6,1 5,7 5,4 5,1 4,9 4,7 7 6,5 6,1 5,s 5,5 5,2 4,9 4,7 4,5 5,4 5,o 4,3 5,1 4,s 4,6 4,! 4,2 4,1 3,9 4,4 4 3,8 3,7 3,6 3 2,9 2,s 2,s 4,2 4,o 3,s 3,7 3,6 3,5 3,4 3,3 2,7 3,2 3,1 3,o 2,9 2,6 2,5 2,5 2,4 2,4 2 1,96 1,92 1,s9 1,85 1,s2 1,79 1,75 1,72 1,69 1 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0,93 0,93 0,92

6 INT.ERET SIMPLE OU INTERETS COMPOS.ES 39 Tabeau I. Capita fina dans e cacu avec interets campases Premiere ann e e Periode de 5 ans Periode de 10 ans Capita} fina Ca pi ta fina Int. simp. Int. comp. Diff. en% Int. simp. Int. comp. Diff. en% 10 1,so 1,49-0,7 2,oo 1,95-2,5 9 1,45 1,44 --'-- 0,7 1,90 1,ss 8 1,40 1,40 ±O -2,1 1,so 1, ,4 7 1,35 1,345-0,4 1,70 1,684-0,9 6 1, ±O 1,so 1,583-1,o 5 1,25 1,25 ±O 1,5o 1,495-0,3 4 1,20 1,20 ±O 1,40 1,39 --0,7 3 1,15 1, ,2 1,3o 1,30 ±O 2 1,10 1,10 ±O 1,20 1,20 ±O 1 1,05 1,o5 ±O 1,to 1,1o ±O Le capita definitif, a a fin des periodes de 5 ans et de 10 ans respectivement, est facie a cacuer. Ainsi, avec 10 % d'interet simpe on obtient respectivement 1,5 et 2,0; avec 9 %, 1,45 et 1,90 etc., pourvu que e capita initia est ega a. I est don c aise d' etudier es resutats que donne, dans e CaS present, U cacu d'interets composes. On suppose e capita initia ega a. Dans une periode de 5 ans e tmx de 'annee moyenne, c'est-a-dire ceui de a troisieme annee du tabeau, doit servir pour e cacu du capita fina au bout de 5 ans, et, dans une periode de 10 ans, on doit utiiser e chiffre moyen entre. es taux de a 5e et de a 6e annee. Les resutats smit indiques dans e tabeau I. Comme a construction des series suppose un voume annue de croissance constant, e ca pi ta fina avec interets simpes represeute a vaeur reee, don t e resutat s' ecarte dans e cacu avec interets composes. Les decimaes sont un peu arrondies dans es cacus du tabeau I, ce qui fait que es chiffres donnes manquent un peu de reguarite. Ce qu'i y a d'interessant cependant, c' est que, dans e cas imite present, si a croissance annuee reste constante, e cacu avec interets composes n'aboutit jamaisa des resutats trop eeves, mais, au contraire, indique toujours des vaeurs trop faibes quand 'ecart est assez sensibe pour pouvoir etre observe. Avec des taux de croissance eeves, 'ecart negatif est notabement pus grand qu'avec de faibes taux, ou cet ecart disparat meme, et, dans a periode a pus ongue, es ecarts ressartent aussi beaucoup pus fortement. Aussitot que es taux de croissance descendent moins rapidement que dans es series donnees au tabeau I, e voume de croissance grandit chaque annee et e cacu se rapproche davantage des conditions favorabes pour a methode des interets composes. Si e pourcentage de vaeur reste e meme chaque annee, de sorte qu'i n'y ait aucune difference entre es pourcentages de vaeur du debut et ceux du miieu de a periode, e principe des interets composes est a sa pace sans restriction. Dans ce cas, un cacu

7 40 SVEN PETRINI effectue avec interets simpes accuse des vaeurs s'ecartant beaucoup de a vaeur reee. J'ai deja demontre, dans mon etude precite de 1925,Cacu des pourcentages de croissance», qu'i existait une bonne concordance entre es resutats obtenus avec un cacu d'interets simpes par periodes et un cacu d'interets composes dans une serie de pourcentages tires de a reaite. Cette concordance tient a ce que e taux empoye pour es interets composes, qui figure au miieu de a periode, est moins eeve que e taux empoye pour e cacu d'interets simpes qui figure a un moment anterieur. Maintenant a concusion ineuctabe est qu'i n'existe aucune raison pour ecarter e cacu d'interets composes de erainte d'obtenir un resutat trop eeve. Avec des pourcentages de vaeur tres eeves, ou ' on peut vraiment risquer d' obtenir des resutats irrees quand i s'agit de pronostics (surtout si 'on songe a 'ecaircie naturee qui diminue e materie de sorte que 'augmentation effective est moindre qu'on ne 'avait escompte), i faut putat considerer comme un avantage que e cacu d'interets composes donne U Ieger ecart negatif. On a ieu, maintenant, de se demander que est e resutat du cacu d'escompte dans e cas examine. A ce sujet i suffit de noter que 'on peut aussi bien dire du tabeau I qu'i designe une serie de taux d'escompte puisque e deveoppement du stock y est prevu comme devant se poursuivre suivant une igne droite. Dans ces conditions, a meme courbe exactement se presente, que a croissance annuee pendant une certaine periode d'annees soit mise en rapport de pourcentage, soit avec e capita! initia (avec pointiage, sur papier quadrie, de 'age au debut de a periode), soit avec e capita! fina (dans ce cas, avec pointiage de 'age a a derniere annee). La methode de ToR JoNSON (taux d'escompte) donne donc un resutat exact quand es conditions des interets simpes sant reaisees. De ce point de vue, on aurait pu se servir aussi bien des interets simpes, meme pour 'etabissement de a courbe du taux de croissance. Mais, i existe entre es deux proeeces une difference pratique importante en ce qui concerne 'age e pus eeve compris dans es materiaux d'investigation. Dans e cacu d'interets simpes, e dernier pourcentage de vaeur obtenu vise U age qui est, de a ongueur d'une periode, moins avance que ceui de a pus vieie foret. I manque ainsi de taux d'interet pour a partie a pus agee du stock, et, pour comber cette acune, i faut que a courbe soit un peu proongee. 1 ) I se montre donc pus pratique, pour comber adite acune dans es materiaux, de proceder avec e taux d'escompte, et i en est de meme orsque e capita igneux n'est pas reparti par categories d'age mais par exempe par categories de coupe, par casses de maturite ou simpement par categories de diametre. Le cacu du taux de 'escompte donne dans ces demiers cas des pourcentages de vaeur qui peuvent etre directement appiques au stock qu'is representent, et is peuvent etre utiises pour U pronostic. C'est a J'avantage e pus important que comporte e cacu de 'escompte. 1) Par con tre, i se produit une acune dans e cacu du taux de ' escompte en ce qui concerne a pus jeune foret comprise dans e cadre de a recherche.

8 INT:ERET SIMPLE OU INT:ERETS COMPOS:ES 41 Dans une certaine mesure, a meme acune qu'avec e cacu d'interets simpes peut etre consideree comme inherente au cacu d'interets composes, guand i s'agit d'etabir une courbe de taux de croissance du genre de cee qui est visee ici. Certes, e depacement precite ne camprend aars que a maitie de a periode d'investigation en ce qui concerne a courbe ee-meme, mais dans e pronostic apparait eneare un depacement futur d'une demi periode quand se it e pourcentage de vaeur qui sera empoye pour a periode de cacu du pronostic. On ne peut pas dire que 'inconvenient dant nous venans de parer dans a repartition du materie d:une autre fa<;on que par age soit de nature decisive. On peut e campenser en basant es cacus d'estimation sur des conditions speciaes, par exempe en posant 'hypothese que 'accroissement de a surface terriere ou a argem du cerne annue resteront constants; on peut ainsi arriver a un resutat se rapprochaut davantage de a reaite qu'en appiquant d'une fa<;on routinere 'hypothese que 'augmentation de voume sera constante, comme e fait a methode de 'escompte, appiquee dans un pronostic comme interet simpe. Le point decisif, dans e choix de a methode de cacu est au contraire e cours norma de a croissance dans e stock que visent es cacus. I est rare, dans es farets bien entretenues, que ' on puisse constater une stagnation du voume de croissance en Suede. Les estimations figurant au tabeau II montrent que, meme dans ce cas imite, i n ' y a pas de risque a appiquer e principe des interets composes. Une mise en garde est cependant a sa pace en ce qui concerne a ongueur de a periode pour es pronostics avec interets composes, aquee ne doit pas, si possibe, exeder O ans. Si 'on a affaire a U temps pus proonge, i faut e repartir en periodes de O ans, en particuier quand es cacus rouent sur des pourcentages de vaeur eeves.

9 42 SVEN PETRINI Sammanfattning ENKEL ELLER SAMMANSATT RANTA VID TILLV.AXTBERAKNING. Undersökningen utgår från en serie årigen faande tiväxtprocenter, så konstruerade, att det åriga tiväxtbeoppet håer sig konstant. Den hedragna kurvan i fig. är en sådan serie, som tänkes föröpa från 15 % vid 15 år ti, O % vid 100 år. I tabe I anges i 10-årsperioder vika procentvärden som erfordras, då första årets procent är 10 %, 9 %, 8 % etc. Tabe I kan atså begagnas för att konstatera om i en given tiväxtprocentkurva över ådern förutsättning finns för beräkning med enke ränta eer ej. Så snart som procentten under en 5-årsperiod eer en 0-årsperiod faer mindre brant än siffrorna i tabe I ange, så betyder detta att det absouta tiväxtbeoppet stiger. I det gränsfa som tabe I representerar ha nu beräkningar utförts över de skinader som erhåas med avseende på sutkapitaet efter 5 år, resp. O år, då i ena faet användes enke ränta med rabatträkning enigt procentvärdet för periodens första år, i andra faet sammansatt ränta enigt procentvärdet mitt i perioden. Det observeras att i det givna gränsfaet den enka räntan avses ge exakt resutat. I tabe II redovisas skinaderna i sutkapita med sammansatt ränta i procent av det rätta värdet. Resutaten ge vid handen att man icke får för höga resutat, såsom kanske kunde väntas, tvärtom ger den sammansatta räntan atid ett för ågt sutkapita så snart som en skinad kan observeras. sutsatsen härav bir den att det inte får anses föreigga någon risk för atför gynnsamma tiväxtsiffror vid användning av metoden med ränta på ränta. Däremot är det påtagigt att resutaten med enke ränta måste bi för åga i aa de fa då tiväxtprocentkurvan faer ångsammare än vad siffrorna i tabe I ange.