Statique. Modélisation des actions mécaniques

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1 PSI Statique PCSI Objectifs : - odélise mathématiquement une action mécanique ; - Calcule un moment ; - Décie une action mécanique pa un toseu en un point ; - Détemine l action mécanique tansmissible pa une liaison mécanique pafaite. Statique odélisation des actions mécaniques. Définition d'une action mécanique D'une façon généale, on appelle action mécanique toute cause phsique susceptible de mainteni un cops au epos, de cée, de mainteni ou de modifie un mouvement, de défome un cops.. Classification des actions mécaniques Les actions mécaniques sont de deu sotes: Les actions mécaniques à distance (champ de pesanteu, champ électomagnétique) Les actions mécaniques de contact (liaisons sufaciques ) On distingue les actions mécaniques etéieues et intéieues à un ensemble de cops. Soient 3 solides (S ), (S ), (S 3 ). Soit (E) l'ensemble constitué pa les cops (S ) et (S ). Bilan des actions mécaniques etéieues qui agissent su le solide (E) : Poids ction de (S 3 ) su (E) (S) B (S) D C (S3) 3. Le toseu d action mécanique 3.. otion de foce On appelle foce, l'action mécanique qui s'eece mutuellement ente deu paticules élémentaies, pas focément en contact. Une foce est toujous appliquée en un point. Elle est modélisée pa un vecteu, caactéisé pa : - Un point d application ; - Une diection ; - Un sens ; S S F S /S - Une nome (intensité). Unité : ewton otation : F solide etéieu solide isolé Point d application S_odélisation des actions mécaniques.doc 3.. otion de moment 3... oment d une foce pa appot à un point Les effets phsiques d une.. dépendent de la position et de l oientation dans l espace de la foce F associée à cette.. On est amené à intoduie la notion de moment de la foce F pou caactéise complètement l.. odélisation

2 PSI Statique PCSI On appelle moment pa appot au point de la foce F appliquée au point, le vecteu d oigine défini pa la elation : _ ( F) _ ( F ) = _ F( ) Unité : ewton-mète (m) Coollaie : La elation ci-dessus este valable pou n impote quel point B appatenant à la diection ( ) de F : O d F ( ) B, _ ( F ) = _B F( ) 3... ute fomule : Bas de levie _ ( F solide solide ) = d. F (solide solide ) Définition géométique du vecteu _ ( F solide solide ) - oigine : point - diection : pependiculaie au plan ( F solide solide ; _) - sens : _, F solide solide et _ foment un tiède diect elation fondamentale su les moments Soit F solide solide une foce appliquée en, et deu points quelconques et B. On sait, pa définition, que : _ ( F solide solide ) = _ F( solide solide ) Et _ B ( F solide solide ) = _B F( solide solide ) O _B = _B + _, pa conséquent : _ B ( F sol. sol. ) = _ ( F sol. sol. ) + _B F( sol. sol. ) (et ) () B 3.3. Champ de l action mécanique d une foce su un solide L action mécanique su un solide eecée pa une foce (et ) appliquée en un point de ce solide, se modélise en un point B quelconque pa deu champs : - un champ unifome défini pa (et ) = (et ) appelé ésultante généale. - un champ de moment défini en tout point B pa : _ B ( (et ) )= _B (et ) appelé oment ésultant oseu associé à l action mécanique d une foce Pou défini complètement une.. nous avons donc besoin des vecteus (et ) et _ B ( (et ) ). L ensemble des deu vecteus (et ) et _ B ( (et ) ), définis en tout point B, est appelé toseu associé à l action mécanique elative à la foce (et ). Il est noté : (et ) { (et ) } = = B(et ) B, L B, Composantes de la ésultante Composantes du moment ésultant Point de éduction epèe de pojection odélisation

3 PSI Statique PCSI emaques : Le point B n est pas nécessaiement un point appatenant au solide ; (et ) et _ B (et ) sont appelés éléments de éduction du toseu { (et ) } ; 3.5. ctions mécaniques paticulièes oseu glisseu On appelle toseu glisseu, tout toseu associé à une action mécanique dont le moment est nul en un point. (et ) { (et ) } = (et ) = oseu couple On appelle toseu couple, tout toseu associé à une action mécanique dont la ésultante est nulle. { (et ) } = (et ) emaque : les éléments de éduction d un toseu couple sont les mêmes en tout point héoème du changement de cente de éduction Somme de deu toseus Changement de cente de éduction (et ) (et ) au point B : { (et ) } = Soit : { (et ) } = (et ) B(et ) B vec : _ B (et ) = _ (et ) + _B (et ) Somme de deu toseus ( ) Soient : { ( ) } = alos : ( ) ( ) + (3 ) { ( ) } + { (3 ) } = (3 ) ( ) + (3 ) et { (3 ) } = (3 ) emaque impotante : La somme de deu toseus implique que les éléments de éduction de ceu-ci soient considéés au même point. 4. odélisation des actions à distance 4.. Définition L action mécanique de su est dite «à distance», si elle ne ésulte pas d une liaison mécanique ente et. 4.. Cas du champ de pesanteu G (S) en un point quelconque : { (pes S) } = (pes S) G(pes S ) = = n i= n i= pi = P (i pi ) au cente de gavité G : (pes S) = P { (pes S) } = G(pes S) = G,, odélisation 3

4 PSI Statique PCSI 5. odélisation de l action mécanique de suface 5.. ction de suface ente deu solides ctions éelles appliquées de su odélisation de ces actions F / df / L action mécanique de contact sufacique est modélisable pa un vecteu F / tel que : Point d application : ; Diection : pependiculaie au plan tangent commun ; Sens : de ves Intensité : F / = Σ df / 5.. ction mécanique due à la pession d un fluide su une suface plane Les actions mécaniques de contact d un fluide su une suface plane (S) peuvent se modélise pa un toseu d action mécanique au cente G de la suface (S) tel que : fluide (pession p) (S) G (fluide S) (f S) = p.s. { (fluide S) } = G(f S) = G avec : p : pession du fluide, eecée su la suface (S). Cette pession est supposée unifome ; S : aie de (S) ; : nomale etéieue à la paoi. Unités légales : utes unités : Unités patiques : p en Pa p en Pa p en bas S en m² S en mm² S en cm² en en en sa Pa = 6 Pa = /mm² = b 6. ction tansmissible pa une liaison pafaite (dans l espace) Soient et deu solides en contact. 6.. Hpothèses Une liaison pafaite ente deu solides et est caactéisée pa : Des sufaces de liaison géométiquement pafaites et indéfomables ; Des ajustements sans jeu ; Des contacts sans fottement. odélisation 4

5 PSI Statique PCSI 6.. elation avec les degés de libeté d une liaison Les mouvements possibles du solide pa appot au solide sont notés, et (otations) et, et (tanslations). Si un mouvement (otation ou tanslation) est possible suivant un ae, alos il n a pas de composante d effot (espectivement couple ou foce) tansmissible suivant cet ae. B : La liaison glissièe hélicoïdale est une eception Eemple : La liaison pivot obilités = = = = = = ction tansmissible (foce) (couple) L = 7. odélisation plan des actions mécaniques Dans cetains cas, l étude du mécanisme dans l espace peut ête délicate. On echeche alos une possibilité de éduie l étude à un poblème plan, sous cetaines hpothèses. 7.. Hpothèses La suface de contact a une géométie et des actions tansmissibles qui pésentent une smétie pa appot à un plan ; On choisit alos un epèe local dont les aes sont confondus avec les aes de smétie de la liaison. 7.. Simplification : Suface de contact ente (S ) et (S ) f (P) f f H (P) plan de smétie f f f et (points de contact) et effots tansmissibles, smétiques pa appot au plan (P) Losque les hpothèses sont éunies, l écitue du toseu d action mécanique tansmissible pa la liaison se simplifie. Subsistent : La composante du moment potée pa l ae pependiculaie au plan de smétie ; Les composantes de la ésultante contenues dans le plan de smétie. Dans note eemple, le plan de smétie est (,, ), le toseu en associé au effots tansmissibles pa cette liaison a la fome : Fome généale : Simplification : Fome simplifiée (smétie) : τ { (S/S)} = S S S S S S L S S S S S S S S S S S S S S,,, (6 inconnues) (3 inconnues) Pou une liaison pafaite paticulièe, pami les composantes ci-dessus, cetaines sont nulles. ais il n a jamais plus de tois inconnues. Généalisation : Un mécanisme dont toutes les pièces utiles admettent un même plan de smétie pou la géométie et les effots est un mécanisme plan. L S S S S S odélisation 5 S S S S S

6 PSI Statique PCSI 8. ableau écapitulatif : Liaisons pafaites ableau écapitulatif de quelques toseus tansmissibles pa des liaisons pafaites : pe de liaison et epèe local associé =(,,, ) Pivot d ae (, ) Glissièe d ae (, ) Pivot glissant d ae (, ) ppui plan De nomale (, ) Sphéique de cente Linéaie ciculaie de cente et d ae (, ) Linéaie ectiligne de nomale (, ) doite de contact (, ) Schématisation spatiale obilités oseu d action mécanique tansmissible L,,,,,,, Ce tableau n est pas ehaustif oseu d action mécanique Simplifié Smétie pa appot à (,, ),, Smétie pa appot à (,, ),, Smétie pa appot à (,, ),, Smétie pa appot à (,, ) Smétie pa appot à (,, ) Schématisation plan,,,, Smétie pa appot à (,, ),, Smétie pa appot à (,, ) B : La liaison glissièe hélicoïdale ne pemet pas une modélisation plane simple : la otation est fonction de la tanslation = Eeu! θ ( voi cous ).,, odélisation 6