COURS D ANALYSE. Licence de Mathématiques, première. Laurent Michel

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1 COURS D ANALYSE Licence de Mthémtiques, première nnée Lurent Michel Automne 2011

2 2

3 Tble des mtières 1 Éléments de logique Fbriquer des énoncés Enoncés élémentires Enoncés complexes Nier un énoncé Prouver ou infirmer un énoncé Démonstrtion directe Démonstrtion pr contrposition Démonstrtion pr l bsurde Démonstrtion pr récurrence Propriétés élémentires des nombres réels Quelques nottions de théorie des ensembles Notion de limite Cs des suites Limite finie Monotonie et limite Critère de Cuchy Limite infinie Cs des fonctions Limite en un point Limites infinies Limites en l infini Pssge à l limite dns les inéglités Continuité et dérivbilité des fonctions numériques Rppels sur les fonctions Injectivité, surjectivité Monotonie Continuité Propriétés élémentires Théorème de l vleur intermédiire Notion d extremum Résultts globux Dérivbilité Définition et propriétés élémentires Théorèmes de Rolle et des ccroissements finis Représenttion grphique

4 4 TABLE DES MATIÈRES Dérivées d ordre superieur Rppels sur les fonctions usuelles L fonction exponentielle Les fonctions trigonométriques Intégrtion des fonctions continues morceux Introduction Définition de l intégrle Cs des fonctions en esclier Cs des fonction continues Cs des fonction continues pr morceux Théorème fondmentl de l Anlyse Intégrtion pr prties Chngement de vrible Formule de Tylor, développements limités Ordre de grndeur Générlités Cs des puissnces Formule de Tylor Développements limités Développements limités usuels Appliction u clcul de limites

5 Chpitre 1 Éléments de logique Dns cette première prtie du cours, on introduit très rpidement quelques outils permettnt de formliser les idées mthémtiques et d obtenir des moyens systémtiques de triter les problèmes. 1.1 Fbriquer des énoncés Enoncés élémentires Dns cette prtie, on tente de donner les outils nécessires à l formultion précise d énoncés mthémtiques. On veut pr exemple formliser des phrses du type suivnt : l somme de deux nombres positifs quelconques est un nombre positif le crré de n importe quel nombre réel est un nombre positif. tout nombre réel positif est le crré d un nombre réel. etc. Plus précisément, on cherche une mnière systémtique décrire des énoncés utilisnt le moins de mots possible (de mnière à éliminer toute mbiguité et de rccourcir les énoncés. On introduit donc les nottions suivntes (ou quntificteurs) : Définition pour tout se note il existe se note pprtient se note On ppeler énoncé élémentire toute phrse fbriquée l ide des symboles précédents, ynt un sens. Exemple Avec ces nottions on peut trduire de l mnière suivnte : l somme de deux nombres positifs quelconques est un nombre positif se trduit pr [0, + [, b [0, + [, + b 0 le crré de n importe quel nombre réel est un nombre positif se trduit pr x R, x 2 0 5

6 6 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUE tout nombre réel positif est le crré d un nombre réel se trduit x R +, y R, x = y 2 Exercice Trduire il existe un nombre rtionnel dont le crré vut deux. Exercice Soit f : E F. On dit que f est surjective si tout élément de F est l imge pr f d u moins un élément de E. Trduire cette définition vec des quntificteurs. Remrque (importnte) Les quntificteurs et ne commutent ps. Pr exemple les énoncés suivnt ne sont ps du tout équivlents : x R, y R, x y y R, x R, x y. Les quntificteurs permettent de fbriquer des énoncés élémentires. Pour obtenir des énoncés plus complexes, on peut utiliser des mots de liison entre énoncés : et, ou, implique, contrire Enoncés complexes Disposnt d énoncés élémentires, il possible de fbriquer des énoncés plus compliqués. Pr exemple, si A et B sont deux ssertions, on voudr prler des enoncés : A et B, A ou B, etc. Définition A et B se note A B A ou B se note A B A implique B se note A = B contrire de A se note A. Soient E et F deux ensembles et f une ppliction de E dns F. On dit que f est injective si deux éléments quelconques de E et différents ont des imges différentes. Avec l ide des quntificteurs, cel se trduit Définition Soit f : E F une ppliction. On dit que f est injective si x R, y R, (x y = f(x) f(y)) De même, on dir que f est surjective si tout élément de l ensemble d rrivée F est l imge d u moins un élément de E. Avec l ide des quntificteurs, cel se trduit Définition Soit f : E F une ppliction. On dit que f est surjective si y F, x E, f(x) = y. Exemple L fonction f : R R définie pr f(x) = x 2, n est ni injective ( cr1 1 et f(1) = f( 1)) ni surjective (cr f(x) 1 pour tout x R). Soit mintennt f : R R une fonction. On dit que f est croissnte si deux éléments quelconques de R ordonnés ont leurs imges pr f rngées dns le même ordre. Plus précisément, on l définition suivnte :

7 1.1. FABRIQUER DES ÉNONCÉS 7 Définition Soit f : R R une fonction. On dit que f est croissnte si x R, x R, (x x = f(x) f(x )). On dit que f est strictement croissnte si x R, x R, (x < x = f(x) < f(x )). On peut de même définir l notion de fonction décroissnte : Définition Soit f : R R une fonction. On dit que f est décroissnte si x R, x R, (x x = f(x) f(x )). On dit que f est strictement croissnte si x R, x R, (x < x = f(x) > f(x )). Définition On ppeler énoncé mthémtique ou ssertion toute phrse fbriquée l ide des symboles précédents, ynt un sens. Si l on une informtion à priori sur l vércité des ssertions A et B on peut conclure sur l vercité d ssertions fbriquées vec A et B, en utilisnt les tbles de vérité. Dns les tbleux suivnts on note V une ssertion vrie et F une ssertion fusse. 1. Tble de vérité du contrire A = V A = F A = F A = V 2. Tble de vérité du et B = V B = F A = V A B = V A B = F A = F A B = F A B = F 3. Tble de vérité du ou B = V B = F A = V A B = V A B = V A = F A B = V A B = F 4. Tble de vérité du implique B = V B = F A = V A = B = V A = B = F A = F A = B = V A = B = V Exercice Ecrire l tble de vérité de A ou B. Comprer vec celle de A = B.

8 8 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUE 1.2 Nier un énoncé Tout énoncé mthémtique peut être nié en utilisnt les règles suivntes : ÉNONCÉ Pour tout élément x de l ensemble E, l propriété P(x) est vérifiée Il existe un élément x de l ensemble E tel que l propriété P(x) est vérifiée L ssertion A et l ssertion B sont vries L ssertion A est vrie ou (non exclusif) l ssertion B est vrie. Si l ssertion A est vrie lors l ssertion B est vrie ÉNONCÉ CONTRAIRE Il existe un élément x de l ensemble E tel que l propriété P(x) n est ps vérifiée Pour tout élément x de l ensemble E, l propriété P(x) n est ps vérifiée L ssertion A est fusse ou (non exclusif) l ssertion B est fusse. L ssertion A et l ssertion B sont fusses. L ssertion A est vrie ET l ssertion B n est ps vrie En utilisnt les quntificteurs, les règles précédentes prennent l forme suivnte : ÉNONCÉ x E, P (x) x E, tq P (x) A B A B A = B ÉNONCÉ CONTRAIRE x E, tq P (x) x E, P (x) A B A B A et B Remrque On noter que l négtion trnsforme les quntificteurs en et en. Exemple Considérons l ssertion A suivnte L ssertion contrire de A est x Q, tq x 2 = 2. x Q, x 2 2. Exemple On rppelle qu une fonction f : E F est injective si x E, y E, (x y = f(x) f(y)). Avec les règles précédentes, on obtient l négtion de f est injective : x E, y E, tq x y et f(x) = f(y). Exercice Nier les énoncés suivnts : f : E F est surjective. R, b R, c R, x R, x 2 + bx + c = 0.

9 1.3. PROUVER OU INFIRMER UN ÉNONCÉ 9 Exercice On rppelle qu une fonction f : R R est croissnte si l propriété suivnte est vérifiée : Nier cet énoncé. x R, y R, (x y = f(x) f(y)). 1.3 Prouver ou infirmer un énoncé Démonstrtion directe Les règles élémentires pour démontrer une ssertion sont les suivntes : 1. Enoncé du type x E, A(x). On se donne x u hsrd dns E (on ne prend surtout ps de vleur prticulière pour x) et on démontre l propriété A(x) en utilisnt des propriétés connues. 2. Enoncé du type x E, A(x). On doit prouver l existence d un x E tel que A(x) est vrie (il n est ps nécessire et souvent ps possible de montrer A(x) pour tout x). 3. Enoncé du type A et B. On démontre A puis on démontre B (ou inversement). 4. Enoncé du type A ou B. On suppose que A est fux et on en déduit que B est vrie (ou inversement). 5. Enoncé du type A = B. On suppose que A est vrie et on démontre B. A l ide de ces règles bsiques et en procédnt inductivement on peut tenter de démontrer n importe quel énoncé. Pour infirmer un énoncé A, on doit démontrer A. Exemple L énoncé A suivnt : x [0, 2], x < 6 est vri. Preuve. L énoncé est de l forme x [0, 2], A(x) vec l propriété A(x) : x < 6. On fit ppel à l première des règles ci-dessus. On se donne x [0, 2] et on démontre A(x). Comme x [0, 2], x 2 4 et donc x Pr suite x 2 < 6. Exercice Soient f : R R et g : R R deux fonctions croissntes. Montrer que f g est croissnte. On suppose en outre que f et g ne prennent que des vleurs positives. Montrer que f g est croissnte Démonstrtion pr contrposition Ce type de démonstrtion s utilise pour les ssertions du type A = B. Une ssertion du type A = B est vrie si et seulement si s contrposée B = A est vrie. 1 Pour démontrer A = B, on peut donc supposer que B est vrie et étblir A. 1. En effet, l ssertion (A = B) est équivlente à A et B. De même, ( B = A est équivlent à B et A

10 10 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUE Exemple L fonction f : R R définie pr f(x) = 2x 5 est injective. Preuve. On doit démontrer l ssertion suivnte : x R, y R, (x y = f(x) f(y)). D près l règle 2, on commence pr se donner x R et y R u hsrd. On doit montrer l impliction suivnte : (x y = f(x) f(y)). On montre plutot s contrposée, qui s écrit : f(x) = f(y) = x = y. On invoque ensuite l règle 1. On suppose que f(x) = f(y) et on doit démontrer que x = y. Or f(x) = f(y) implique 2x 5 = 2y 5. On retrnche 5 ux deux membres de l éqution et on divise pr deux. Il vient x = y. Ceci montre bien que f est injective Exercice Soient f : R R et g : R R deux fonctions injectives. Montrer que f g est injective. Exercice Soit p un entier nturel. Montrer que si p 2 est pir lors p est pir Démonstrtion pr l bsurde Pour démontrer une ssertion A on peut supposer que son contrire A est vri et boutir à une contrdiction. Exercice Démontrer que 2 n est ps rtionnel. On pourr procéder pr l bsurde et supposer qu il existe deux entiers et b premiers entre eux tels que b = Démonstrtion pr récurrence Ce type de preuve s utilise pour étblir des ssertions du type n N, A n. Le schém de l démonstrtion est le suivnt. Etpe 1 On démontre A n pour n = 0. Etpe 2 On se donne n N quelconque, on suppose que A n est vrie on démontre A n+1. Attention, dns l étpe 2, on doit prendre un entier n quelconque. Il est interdit de prendre une vleur prticuliere pour n. L vlidité de ce type de preuves découle de l construction xiomtique des entiers nturels pr le mthémticien Giuseppe Peno. Exercice Démontrer pr récurrence les propriétés suivntes : 1. Démontrer que pour tout n N on n k=1 1 p(p + 1) = n n + 1

11 1.4. PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DES NOMBRES RÉELS Démontrer que pour tout n N, on n 2 = n(n + 1)(2n + 1) Propriétés élémentires des nombres réels On note R l ensemble des nombres réels (c est à dire les nombres à virgule vec un nombre fini ou infini de décimles). On note N l ensemble des entiers nturels, (c est à dire les nombres sns chiffre près l virgule) et Z l ensemble des entiers reltifs (c est à dire les entiers vec un signe ±). Enfin, on note Q l ensemble des nombres rtionnels : Q = { p q, p Z, q N }. Ces ensembles sont strictement inclus les uns dns les utres : N Z Q R. Un résultt importnt ffirme que l ensemble Q est ssez gros dns R et bien réprti. Théorème Pour tout nombre réel x et pour tout ɛ > 0, il existe un nombre z Q tel que x z < ɛ. On dit que Q est dense dns R. En d utres termes, le théorème précédent dit qu on peut pprocher n importe qu el réel pr un rtionel vec une érreur (quntifiée ici pr ɛ) ussi petite que voulue. Définition Soit E un sous ensemble de R. On dir que E est mjoré (respect. minoré) s il existe M R (respect. m R) tel que pour tout x E on i x M (respect. x m). Un élément M vérifint l propriété ci dessus s ppelle un mjornt de E (respect. m s ppelle un minornt de E). Un ensemble qui est à l fois mjoré et minoré est dit borné. Exemple L intervlle A =], 1[ est mjoré, mis il n est ps minoré. Les nombres 5, π, 2, 1 sont des mjornts de A. Il en existe une infinité d utres. L ensemble A ne possède ucun minornt. Définition Soit E un sous ensemble de R. On dir que E possède un mximum s il existe M E tel que pour tout x E, on x M. On dir que E possède un minimum s il existe m E tel que pour tout x E, on x m. L différence fondmentle entre cette définition et l précédente porte sur le fit que le mjornt M pprtient ou ps à l ensemble E. Pr exemple, l ensemble A = [0, 1] possède un mximum et un minimum : mx(a) = 1 et min(a) = 0. Pr contre, l ensemble B = [0, 1[ n ps de mximum (bien qu il soit borné). Etnt donné un ensemble E, on peut définir l ensemble Mj(E) de tous les mjornts de E : A Mj(E) si et seulement si A est un mjornt de E. On peut ussi définir l ensemble Min(E) de tous les minornts de E : A Min(E) si et seulement si A est un minornt de E. Définition Soit E un ensemble mjoré (respect. minoré). On dir que E possède une borne supérieure (respect. une borne inferieure ), si l ensemble M j(e) possède un minimum (respect. M in(e) possède un mximum). Dns ce cs, on note sup(e) = min(mj(e)) et inf(e) = mx(min(e)). L borne supérieure et l borne inférieure d un ensemble (qund elles existent) sont uniques.

12 12 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUE On remque que si un ensemble A possède un mximum, lors ce mximum est ussi l borne supérieure de A. Pr suite l borne supérieure de l ensemble A = [0, 1] est sup(a) = 1 = mx(a). L ensemble B = [0, 1[ est mjoré. L ensemble de tous ces mjornts est Mj(B) = [1, + [ dont le minimum est 1. Pr suite sup(b) = 1. Théorème Soit E R un ensemble non vide et mjoré (respect. minoré). Alors E possède une borne supérieure (respect. une borne inférierure). Cette propriété est fondmentle. Elle est propre ux nombres réels. Elle est fusse si on cherche à l trnsposer ux nombres rtionels. Pr exemple, l ensemble A = {x Q, x 2 < 2} n ps de borne supérieure dns Q. En fit, il bien une borne supérieure dns R qui est 2, mis ce nombre n pprtient ps à Q. 1.5 Quelques nottions de théorie des ensembles On ppeller ensemble une collection d objet. Un ensemble peut etre défini pr l énumértion de tous ses éléments ou pr des rêgles d pprtennce. Pr exemple A = {1, 2, 3} désigne l ensemble des nombres 1, 2 et 3. L ensemble B = {n N, p N, n = 2p} désigne l ensemble des entiers pirs. Définition Etnt donnés deux ensembles A et B, on dir que A est inclus dns B (noté A B) si tout élément de A pprtient nécessirement à B. Autrement dit, A B ssi x A, x B) (1.1) Deux ensembles A et B sont égux si A B et B A. On défint mintennt des moyens de construire de nouveux ensembles. Définition Soient A et B deux ensembles. On définit l réunion de A et B pr A B = {x, x A ou x B}. On définit l intersection de A et B pr A B = {x, x A et x B}. On définit le produit crtesien de A et B pr A B = {(x, y), x A, y B}. Si A est un sous ensemble de B on définit le complémentire A dns B pr B \ A = {x B, x / A}. Il est très fcile de montrer les inclusions suivntes : A B A A B (l même vec B est vrie ussi). Donnons nous mintennt E, F deux ensembles et f : E F une ppliction (c est à dire un moyen de fbriquer un unique élément de F à prtir d un élément de E ). On peut fbriquer de nouveux ensembles à l ide de f. Définition Soit f : E F une ppliction et soient A E, B F. On définit l imge de A pr f pr f(a) = {f(x), x A}. C est un sous ensemble de B. On définit l imge réciproque de B pr f pr f 1 (B) = {x E, f(x) B}. C est un sous ensemble de E. Plus précisemment, c est le sous ensemble de E constitué des éléments dont l imge pr f pprtient à B.

13 1.5. QUELQUES NOTATIONS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 13 Attention, dns l définition précédente, l nottion f 1 ne signifie ps que f est bijective. C est juste une nottion! On verr en TD, comment les opértions d imge et imge réciproque se comportent vis à vis des opértions de réunion, intersection, etc. Pr exemple, on : Exercice Soit f : E F une ppliction et soient A F, B F. Montrer que f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B).

14 14 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUE

15 Chpitre 2 Notion de limite 2.1 Cs des suites Une suite numérique u est une ppliction de l ensemble des entiers nturels N vleurs dns R. Cel peut ussi être vu comme une collection de nombres réels indéxée pr N. On note u = (u n ) n N une telle collection. Cel signifie que le premier élément de l collection est u 1, le second u 2, etc. Définition (Opértions élémentires)soient u = (u n ) n N et v = (v n ) n N deux suites numériques. i) On définit l suite w = u + v pr n N, w n = u n + v n. ii) On définit l suite w = u.v pr n N, w n = u n.v n. ii) On suppose que n N, v n 0. On définit l suite w = u v N, w n = u n vn. pr n Remrque Si on sit seulement que v n 0 pour n n 0 pour un certin n 0 (pr exemple n 0 = 34), il est possible de définir l suite quotient pour des indices superieurs n 0.On note cette suite ( un v n ) n n Limite finie On veut donner une définition précise de l notion suivnte : les termes de l suite ssociés à des entiers de plus en plus grnds sont de plus en plus proches d une vleur fixe. Pour se fire une idée intuitive de l limite d une suite on peut clculer les vleurs successives de l suite. Pr exemple, si u n = e 1 n+1, on u 0 = e 2.7; u ; u ;..., u ; u ,... Ceci semble suggérer que l suite (u n ) tend vers 1 lorsque n tend vers l infini. On en verr une preuve plus trd. Cependnt, cette technique de clculs des termes successifs de l suite peut être très trompeuse. Considérons en effet l suite v n = sin(n π 2 ) et clculons u 2 = 0, u 4 = 0,... u 100 = 0,... 15

16 16 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Ceci suggere que l suite tend vers 0 qund n tend vers l infini. Or si l on clcule u 1 = 1, u 3 = 1,... u 101 = 1, u 103 = 1,... on se rend compte que cette suite ne converge ps vers 0. On verr plus trd que cette suite n en fit ps de limite. Au terme de cette discussion, il pprit nécessire de formliser précisément l notion de limite. Définition Soient u = (u n ) n N une suite numérique et l R. On dit que l suite (u n ) n N converge vers l qund n tend vers l infini si : Dns ce cs on note lim n + u n = l. ɛ > 0, N N, n N u n l < ɛ (2.1) Exercice Montrer que (u n ) n N tend vers l qund n tend vers l infini dns les cs suivnts : 1. u n = n et l = u n = n et l = u n = n et l = 2. Exercice Soit (u n ) n N une suite convergent vers un réel l. On suppose que l 0. Montrer qu il existe un entier N N tel que n N, u n 0 (2.2) Proposition Soit (u n ) n N une suite convergente vers une limite l R. Alors cette limite est unique. Preuve. Supposons pr l bsurde que (u n ) n converge à l fois vers l 1 et vers l 2 vec l 1 l 2. Prenons ɛ = l1 l2 4 dns l définition de l convergence de (u n ) vers l 1 et vers l 2. Alors il existe N 1 N tel que et il existe N 2 N tel que n N 1, u n l 1 < ɛ n N 2, u n l 2 < ɛ. Prenons mintennt n mx(n 1, N 2 ). Alors 4ɛ = l 1 l 2 u n l 1 + u n l 2 < 2ɛ ce qui est bsurde. Définition Soit u = (u n ) n N une suite numérique. On dit que u est mjorée si M R, n N, u n M.

17 2.1. CAS DES SUITES 17 On dit que u est minorée si On dit que u est bornée si m R, n N, u n m. M 0, n N, u n M. Exercice Montrer que toute suite ynt une limite finie est nécessirement bornée. Montrer que l réciproque est fusse. Proposition (Propriétés élémentires) Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites numériques. On suppose que lim n + u n = l 1 et lim n + v n = l 2. On les résultts suivnts : i) lim n + (u n + v n ) = l 1 + l 2 ii) lim n + (u n v n ) = l 1 l 2 ii) Si l 2 0 lors lim n + ( u n vn ) = l 1 l2 Preuve. Preuve de i) Soit ɛ > 0. Comme lim n + u n = l 1 lors ɛ > 0, N 1 N, n N 1, u n l 1 < ɛ. On utilise cette définition vec ɛ = ɛ 2. Il existe donc N 1 tel n N 1, u n l 1 < ɛ 2 (2.3) De même, puisque lim n + v n = l 2 on peut trouver N 2 N tel que n N 2, v n l 2 < ɛ 2. (2.4) Posons N = mx(n 1, N 2 ) N et supposons que n N. On (u n + v n ) (l 1 + l 2 ) u n l 1 + v n l 2 (2.5) Comme n N N 1 lors u n l 1 < ɛ 2 et de même, comme n N N 2 lors v n l 2 < ɛ 2. En reportnt ces informtions dns (2.5), il vient (u n + v n ) (l 1 + l 2 ) < ɛ, ce qui prouve i). Preuve de ii) Soit ɛ > 0. Posons M = l 1 + l 2 + ɛ + 1 > 1. Comme lim n + u n = l 1 lors, il existe N 1 N tel que n N 1, u n l 1 < ɛ 2M. (2.6) De cette estimtion et de l inéglité tringulire, on déduit en prticulier que n N 1, u n < l 1 + ɛ 2M < l 1 + ɛ < M. (2.7) De même, comme lim n + v n = l 2 on peut trouver N 2 N tel que n N 2, v n l 2 < ɛ 2M. (2.8)

18 18 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Posons N = mx(n 1, N 2 ) et supposons que n N. On u n v n l 1 l 2 = u n (v n l 2 ) + l 2 (u n l 1 ) et pr conséquent u n v n l 1 l 2 u n. v n l 2 + l 2. u n l 1. (2.9) En utilisnt (2.6), (2.7) et (2.8), il vient u n v n l 1 l 2 < M ɛ 2M + l ɛ 2 2M < ɛ 2 + ɛ = ɛ. (2.10) 2 Ceci prouve ii). Nous lissons l preuve de iii) u lecteur. Proposition Soient (u n ) n N, (v n ) n N et (w n ) n N trois suites numériques et soit l R. On suppose que qu il existe n 0 N tel que et Alors n n 0, v n u n w n (2.11) lim v n = l = lim w n. n + n + lim u n = l. n + Preuve. Soit ɛ > 0 rbitrire. Comme lim n + v n = l, lors il existe n 1 N tel que pour tout n n 1, v n l < ɛ. En prticulier, De même, il existe n 2 N tel que n n 1, v n l ɛ (2.12) n n 2, w n l + ɛ (2.13) Prenons N = mx(n 0, n 1, n 2 ). En combinnt (2.11), (2.12) et (2.13), il vient n N, l ɛ < u n < l + ɛ. ce qui prouve l proposition. Corollire Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites numériques. On suppose que lim n + u n = 0 et que (v n ) n N est bornée. Alors lim n + u n v n = 0. Preuve. Comme (v n ) n N est bornée, il existe M > 0 tel que v n M pour tout n N. On en déduit que M u n u n v n M u n. Comme lim n M u n = 0, l proposition précédente permet de conclure.

19 2.1. CAS DES SUITES Monotonie et limite Définition Soit (u n ) n N une suite numérique. On dit que (u n ) n N est croissnte si p N, q N, (p q = u p u q ). On dit que (u n ) n N est décroissnte si p N, q N, (p q = u p u q ). Remrque L définition ci dessus est une simple écriture que l suite (u n ) vue comme une fonction de N dns R est une fonction croissnte (ou décroissnte). Proposition Soit (u n ) n N une suite numérique. On les resultts suivnts : 1. (u n ) n N est croissnte ssi 2. (u n ) n N est décroissnte ssi n N, u n+1 u n. n N, u n+1 u n. Preuve. Un sens de l équivlence est trivil. Une simple réccurence permet de montrer l utre sens. Exemple L suite (u n ) n N définie pr u n = n 2 est croissnte. L suite (v n ) n N définie pr v n = 1 n+1 est décroissnte. Théorème Soit (u n ) n N une suite croissnte. On suppose que (u n ) n N est mjorée. Alors, (u n ) n N dmet une limite qund n tend vers l infini. De même, si (u n ) n N une suite décroissnte et minorée. Alors, (u n ) n N dmet une limite qund n tend vers l infini. Preuve. Considérons l ensemble U = {u n, n N}. Comme l suite (u n ) n N est bornée, c est une sous prtie non vide et mjorée de R. Donc elle possède une borne superieure. Soit l = sup U. Montrons que (u n ) tend vers l. Soit ɛ > 0. Pr définition de l borne supérieure, il existe n 0 N, tel que u n0 > l ɛ. Or, (u n ) étnt croissnte, on u n u n0 pour tout n n 0. Pr suite, n n 0, u n l ɛ. Pr illeurs, pr définition de l, on u n l pour tout n N. Pr conséquent, n n 0, u n l < ɛ, ce qui chève l démonstrtion.

20 20 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Exercice Soit b > 1 et (u n ) n N l suite définie pr u n = b n. Montrer que (u n ) est croissnte et tend vers l infini qund n tend vers l infini. Exercice Soient > 1 et k N fixés et soit (u n ) n N l suite définie pr u n = n. n k 1. Montrer qu il existe n 0 tel que pour tout n n 0, u n+1 u n En déduire que pour tout n n 0, u n u n0 ( +1 2 )n n 0 3. Déduire de l exercice précédent que lim n + u n = Critère de Cuchy Définition Soit (u n ) n N une suite numérique. On dit que l suite (u n ) vérifie le critère de Cuchy (ou encore (u n ) est de Cuchy ) si ɛ > 0, N N, n N, m N, u n u m < ɛ. Proposition Soit (u n ) n N une suite numérique. On suppose que (u n ) possède une limite. Alors (u n ) est de Cuchy. Preuve. Soit l R l limite de l suite. Donnons nous ɛ > 0 rbitrire. Comme (u n ) converge vers l, il existe N N tel que n N, u n l < ɛ 2. Soient n N et m N tels que n N et m N. Alors u n u m u n l + u m l < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Ceci montre que l suite (u n ) n N est bien de Cuchy. Théorème Soit (u n ) n N une suite numérique. On suppose que (u n ) est de Cuchy. Alors, (u n ) possède une limite. Preuve. Admis. Remrque Le théorème précédent est très puissnt. En effet, contrirement à l définition de l convergence, le critère de Cuchy peut se formuler sns connitre l limite éventuelle de l suite considérée. Ainsi, on pourr montrer qu une suite est convergente sns connitre exctement l vleur de s limite Limite infinie Définition Soit (u n ) n N une suite numérique. On dit que (u n ) n N tend vers plus l infini qund n tend vers l infini (noté lim n + u n = + ) si M 0, N N, n N, u n M. On dit que (u n ) n N tend vers moins l infini qund n tend vers l infini (noté lim n + u n = ) si M 0, N N, n N, u n M.

21 2.1. CAS DES SUITES 21 Exercice Montrer que u n tend vers plus l infini dns les cs suivnts : u n = n 3 + 1, u n = n 2 n, u n = n2 1 n + 2, u n = n + cos(n). Proposition (Propriétés élémentires) Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites numériques. On suppose que lim n + u n = +. On les résultts suivnts : i) Si v n est minorée lors lim n + (u n + v n ) = +. ii) lim n + ( u n ) = iii) Pour tout λ > 0, on lim n + λu n = +. iv) lim n + ( 1 u n ) = 0 v) Si v n > 0, n N et lim n + v n = 0 lors lim n + ( 1 v n ) = + Preuve. Preuve de i) Soit M R. Comme (v n ) est minorée, il existe m R tel que n N, v n m. Pr illeurs, comme lim n + u n = +, il existe N N tel que n N, u n M m. En combinnt ces deux propriétés, il vient n N, u n + v n M m + m = M. Comme on choisi M rbitrirement, ceci prouve bien que lim n + (u n +v n ) = +. Preuve de ii) C est évident. Preuve de iii) Soit λ > 0 et fixons M R + rbitrirement. Comme lim n + u n = +, il existe N N tel que n N, u n M λ. Comme λ > 0 on peut multiplier cette inéglité pr λ sns chnger le sens des inéglités. Pr conséquent, n N, λu n λ M λ = M. Comme on choisi M rbitrirement, ceci prouve bien que lim n + λu n = +. Proposition Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites. On suppose que lim n + v n = + et qu il existe n 0 N tel que pour tout n n 0, u n v n. Alors lim n + u n = +. Preuve. On doit montrer que M R, N N, n N, u n M. Soit M R quelconque. Comme lim n + v n = +, il existe n 1 N tel que n n 1, v n M. Prenons N = mx(n 0, n 1 ) et supposons que n N. Alors u n v n M et l preuve est complète.

22 22 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE 2.2 Cs des fonctions Limite en un point Soit f une fonction et x 0, l deux réels fixés. On veut donner un sens précis à l phrse suivnte : lorsque x devient proche de x 0, les vleurs de f(x) deviennent proches de l. Dns ce cs on dir que f tend vers l lorsque x tend vers x 0, ou encore que f pour limite l lorsque x tend vers x 0. Pour se fire une idée intuitive de l limite d une fonction en un point x 0, on peut clculer des vleurs successives de f(x) pour x de plus en plus proche de x 0. Ceci ne constitue en rien une démonstrtion. Pr exemple, si on pose f(x) = x 2, lors f(0.1) = 0.01, f(0.01) = , f(10 3 ) = 10 6, etc. Ceci suggère que lim x 0 x 2 = 0. On en verr une démonstrtion pr l suite. Si on pose f(x) = sin( 1 x ) pour x > 0, lors f(1/π) = 0, f(1/(2π)) = 0, f(1/(3π)) = 0, etc. On donc des points x k = 1 kπ de plus en plus proches de 0 tels que f(x k) = 0. Pourtnt f ne tend ps vers 0 qund x tend vers 0. En effet, on peut clculer f en d utres point proches de 0 : f(2/π) = 1, f(2/(5π)) = 1, f(2/(9π)) = 1, etc. Il est donc nécessire de donner une définition rigoureuse de l notion de limite. * Définition et propriétés élémentires On introduit d bord quelques nottions. Soit I R un intervlle fini ou infini (ex : I = [0, 1], I =], 3],..). On note I l fermeture de I définie de l mniere suivnte : si I = [, b], ], b], [, b[ ou ], b[ vec, b R, lors I = [, b]. si I = [, + [ ou ], + [ vec R, lors I = [, + [ si I =], ] ou ]], [ vec R, lors I =], ]. L intervlle I s obtient prtir de I en fermnt les crochets lorsque c est possible. Définition Soit l R. On dit que l fonction f pour limite l qund x tend vers x 0 si : ɛ > 0, δ > 0 tq x I, ( x x 0 < δ = f(x) l < ɛ) (2.14) Dns ce cs, on note lim x x0 f(x) = l.

23 2.2. CAS DES FONCTIONS 23 f(x) l + ɛ l l ɛ x 0 x 0 δ x 0 + δ b x Lien entre ɛ et δ Remrque Dns l définition de l limite (2.14), il fut comprendre ɛ comme un écrt mximum entre f(x) et l ; et δ comme un écrt entre x et x 0. L définition demnde donc que l écrt (c..d. ɛ) entre f(x) et l puisse être rendu ussi petit que voulu, pourvu que l écrt (c..d. δ) entre x et x 0 soit petit. Remrque Avec cette définition, il est clir que si x 0 I et lim x x0 f(x) = l, on nécessirement f(x 0 ) = l. On urit pu prendre une utre définition de l limite, exclunt le comportement de f en x 0. Pr exemple, on dit que f pour limite l qund x tend vers x 0 en étnt different de x 0 si ɛ > 0, δ > 0, ( x x 0 < δ et x x 0 = f(x) l < ɛ). (2.15) Exemple Soit f : [ 1, 1] R définie pr x [ 1, 1], f(x) = x 2. Alors lim x 0 f(x) = 0. Preuve. On doit prouver que (2.14) est vérifiée. Pour cel on se donne ɛ > 0 et on cherche δ > 0 tel que (2.14) soit vérifiée. Prenons δ = ɛ et supposons que x [ 1, 1] est tel que x < δ = ɛ. Pr définition de f, on f(x) = x 2 < δ 2 = ɛ 2 = ɛ. Ceci montre bien (2.14). Exemple Soit f : [0, 2] R définie pr x [0, 1], f(x) = x Alors lim x 1 f(x) = 2. Preuve. On doit vérifier l ssertion (2.14) pour l fonction f(x) = x Soit ɛ > 0. On cherche δ > 0 tel que x 1 < δ = f(x) 2 < ɛ. Or f(x) 2 < ɛ x 2 1 < ɛ 1 ɛ < x 2 < 1 + ɛ 1 ɛ 1 < x 1 < 1 + ɛ 1 (2.16)

24 24 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Prenons δ = min( 1 + ɛ 1, 1 1 ɛ). Comme ɛ > 0 lors δ > 0 et on évidement x 1 < δ = 1 ɛ 1 < x 1 < 1 + ɛ 1. En tennt compte de (2.16), il vient x 1 < δ = f(x) 2 < ɛ. Proposition Soit f : I R une ppliction et x 0 I. On suppose que f une limite en x 0, lors cette limite est unique. Preuve. Supposons pr l bsurde que f possède deux limites différentes l et l lorsque x tend vers x 0. Quitte à intervertir leurs roles, on peut supposer que l < l. Posons ɛ = l l 4 > 0. Pr définition de l limite, il existe δ > 0 et δ > 0 tels que x I, x x 0 < δ = f(x) l < ɛ et x I, x x 0 < δ = f(x) l < ɛ. Soit x I tel que x x 0 < min(δ, δ ). D près les ssertions ci-dessus, on f(x) < l + ɛ et f(x) > l ɛ. En prticulier, l ɛ < l +ɛ. D où ɛ > l l 2. Or on choisit ɛ = l l 4, on en déduit une contrdiction. Exercice Montrer que lim x x = 1 et que lim x 1(x 2 x 1) = 1 Exercice Trduire à l ide de quntificteurs l propriété suivnte : l fonction f ne tend ps vers l qund x tend vers x 0. En déduire que l fonction f(x) = sin( 1 x ) ne tend ps vers 0 qund x tend vers 0. Exercice Soient f : I R et x 0 I. On suppose que lim x x0 f(x) = l et l 0. Montrer qu il existe δ > 0 tel que x ]x 0 δ, x 0 + δ[ I, f(x) 0. Proposition (Propriétés élémentires) Soient f : I R et g : I R deux fonctions et x 0 I. On suppose que lim x x0 f(x) = l 1 et lim x x0 g(x) = l 2. On les résultts suivnts : i) lim x x0 (f + g)(x) = l 1 + l 2 ii) lim x x0 (fg)(x) = l 1 l 2 iii) Supposons que l 2 0, lors l fonction f g de x 0 et on lim x x0 ( f g )(x) = l 1 l2 est bien définie pour x proche

25 2.2. CAS DES FONCTIONS 25 Preuve. Preuve de i) On se donne ɛ > 0. Il existe α > 0 et β > 0 tels que x x 0 < α = f(x) l 1 < ɛ/2 et x x 0 < β = g(x) l 2 < ɛ/2. Soit γ = min(α, β), lors γ > 0. Supposons que x I vérifie x x 0 < γ. Alors f(x) + g(x) (l 1 + l 2 ) f(x) l 1 + g(x) l 2 < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ. (2.17) Ceci montre que lim x x0 (f + g)(x) = l 1 + l 2. Preuve de ii) On se donne ɛ > 0. On définit ɛ 1 = ɛ 2 = min( ɛ 3, ɛ Alors, il existe α 1 > 0 et α 2 > 0 tels que 3(1+l 1 ), x x 0 < α 1 = f(x) l 1 < ɛ 1 et x x 0 < α 2 = g(x) l 2 < ɛ 2. ɛ 3(1+l 1 ) ). Soit γ = min(α, β), lors γ > 0. Supposons que x I vérifie x x 0 < γ. Alors f(x)g(x) l 1 l 2 = g(x)(f(x) l 1 ) + l 1 (g(x) l 2 ) g(x) l 2 f(x) l 1 + l 2 f(x) l 1 + l 1 g(x) l 2 ɛ 1 ɛ 2 + l 2 ɛ 1 + l 1 ɛ 2 ɛ (2.18) grce ux choix fit pour ɛ 1, ɛ 2. Preuve de iii) Le fit que f g est bien définie près de x 0 est une conséquence de l exercice Le reste de l preuve est lissé en exercice. Corollire Soit f : R R une fonction polynomile (c est à dire f(x) = N k=0 kx k ). Soit x 0 R. Alors lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Preuve. Soit f une polynômile. Elle peut s ecrire f = N k=0 f k vec f k (x) = k x k. D près le i) de l proposition 2.2.2, il suffit donc de montrer que pour tout k N, on bien lim x k = x k 0 (2.19) x x 0 Or, on évidemment lim x x0 x = x 0, de sorte que (2.19) est une conséquence immédite du ii) de l proposition Exemple Soit f : R R définie pr f(x) = x x 2 +x+1. Alors lim x 1 f(x) = 2 3 Preuve. En effet, lim x 1 x x + 1 = 3 donc (d près iii)) lim x 1 x 2 +x+1 = 1 3. Comme pr illeurs lim x 1 x 2 = 1 on obtient le résultt nnoncé en joutnt les deux limites (d près i)).

26 26 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Composition et limites Proposition (Composition) Soient f : I R et g : J R où I et J sont deux intervlles. On suppose que f(i) J de sorte que g f est bien définie. On suppose qu il existe x 0 I, y 0 J et l R tels que lim x x0 f(x) = y 0, lim y y0 g(y) = l. Alors lim x x0 (g f)(x) = l. Preuve. Soit ɛ > 0. Comme g tend vers l lorsque y tend vers y 0, il existe α > 0 tel que y J ]y 0 α, y 0 + α[, g(y) l < ɛ. (2.20) De même comme f tend vers y 0 lorsque x tend vers x 0, en ppliqunt l définition de l limite vec ɛ = α, on peut ffirmer qu il existe δ > 0 tel que Autrement dit, x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, f(x) y 0 < α. (2.21) x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, f(x) ]y 0 α, y 0 + α[. (2.22) Comme f(i) J, quel que soit x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, on y := f(x) J ]y 0 α, y 0 + α[. Pr conséquent en ppliqunt (2.20), on obtient g(y) l < ɛ. En résumé, on vient de prouver que ce qui chève l démonstrtion. x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, g(f(x)) l < ɛ Exemple Soit f(x) = (x 2) (x 2) 2 lim x 3 f(x) = 1 2. pour tout x R. Alors Preuve. En effet f(x) = g h(x) vec h(x) = x 2 et g(y) = y y. Or 2 lim x 3 h(x) = 1 et lim y 1 g(y) = 1 2. Le résultt découle donc de l proposition précédente. Proposition Soit f : I R et x 0 I. Soit (u n ) n N une suite telle que n N, u n I. On suppose en outre que lim x x0 f(x) = l et lim n + u n = x 0. Alors l suite (v n ) définie pr v n = f(u n ) vérifie lim v n = l. n + Preuve. Soit ɛ > 0. Comme lim x x0 f(x) = l, il existe δ > 0 tel que x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ɛ. Pr illeurs, comme lim n + u n = x 0, il existe n 0 tel que n n 0, u n x 0 < δ. En combinnt ces deux propriétés, il vient Ceci montre bien que lim n + v n = l. n n 0, f(u n ) l < ɛ.

27 2.2. CAS DES FONCTIONS 27 Corollire Soit f : I R et (u n ) n N une suite définie pr u 0 R et u n+1 = f(u n ). On suppose que lim n + u n = l et lim x l f(x) existe. Alors f(l) = l. Preuve. C est une conséquence immédite du théorème de composition des limites et de l unicité de l limite. Exercice Clculer lim n + (2 + 5/n) 2 et lim n + 2n+1 3n+2. Encdrement et limite Définition Soit f : I R. On dit que f est mjorée sur I si On dit que f est minorée sur I si On dit que f est bornée sur I si M R, x I, f(x) M. m R, x I, f(x) m. M 0, x I, f(x) M. Remrque Une fonction est bornée si et seulement si elle est mjorée et minorée. Exercice Soit f définie pr f(x) = 1 x+1. Montrer que f est bornée sur R +. Montrer que f n est ps bornée sur ] 1, + [. Proposition Soient f, g, h trois fonctions de I dns R. Soient x 0 I et l R. On suppose que et Alors, x I, g(x) f(x) h(x) lim g(x) = l = lim h(x). x x 0 x x 0 lim f(x) = l. x x 0 Preuve. Soit ɛ > 0. Comme lim x x0 g(x) = l, lors δ > 0, x I, ( x x 0 < δ = l ɛ < g(x)). Comme lim x x0 h(x) = l, lors δ > 0, x I, ( x x 0 < δ = h(x) < l + ɛ). Soit δ = min(δ, δ ). Supposons que x I vérifie x x 0 < δ. En utilisnt les deux ssertions ci dessus et le fit que g(x) f(x) h(x), il vient D où f(x) l < ɛ. l ɛ < g(x) f(x) h(x) < l + ɛ. Corollire Soient f et g deux fonctions de I dns R et soit x 0 I. On suppose que f tend vers 0 lorsque x tend vers x 0 et que g est bornée. Alors fg tend vers 0 lorsque x tend vers x 0.

28 28 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Limite à guche et à droite Pour illuster le propos de cette prtie, commencons pr l étude d un exemple. Soit f :] 1, 1[ R définie pr f(x) = x + 1 si x < 0 et f(x) = x 1 si x 0. Alors f n ps de limite lorsque x tend vers 0. En effet,pour tout n N, f(1/n) = 1+1/n et f( 1/n) = 1 1/n. Donc pour n grnd f(1/n) s pproche de 1, lors que f( 1/n) s pproche de 1. En fit il est possible démontrer que si l on considère seulement les vleurs positives de x, lors f(x) tend vers 1 qund x tend vers 0. De même, si l on considère seulement les vleurs négtives de x, lors f(x) tend vers 1 qund x tend vers 0. Ceci nous pousse à introduire les définitions suivntes. Définition Soit f : I R une fonction et J I. On ppelle restriction de f à J l fonction f J : J R définie pr x J, f J (x) = f(x). Remrque L restriction de f à J n est rien d utre que l fonction f où l on utorise x à ne prcourir que J. Exemple Soit f : [ 1, 1] R définie pr f(x) = x 2 si x 0 et f(x) = x 2 si x 0. Soit J = [0, 1], lors f [0,1] est l fonction f [0,1] : [0, 1] R définie pr f [0,1] (x) = x 2 pour tout x [0, 1]. Définition Soit f :], b[ R une fonction et x 0 ], b[. Soit l R {+ } { }. On dir que f tend vers l lorsque x tend vers x 0 à guche (ou pr vleurs inferieures) si lim x x0 f ],x0 [(x) = l. Dns ce cs, on note lim x x0,x<x 0 f(x) = l (ou lim x x f(x) = l). 0 On dir f tend vers l lorsque x tend vers x 0 à droite (ou pr vleurs superieures) si lim x x0 f ]x0,b[(x) = l. Dns ce cs, on note lim x x0,x>x 0 f(x) = l (ou lim x x + f(x) = l). 0 Remrque On peut trduire cette définition vec des ɛ. Pr exemple, si l R, lors lim x x f(x) = l si et seulement si 0 ɛ > 0, δ > 0, x ]x 0 δ, x 0 [, f(x) l < ɛ. On peut fire de même vec les limites infinies. Exemple Soit f : R R définie pr f(x) = 1 x si x 0 et f(0) = 0. Alors lim f(x) = et lim f(x) = +. x 0 x 0 + Exemple Soit f : R R définie pr f(x) = sin((1/x) si x > 0 et f(x) = x sin(1/x) si x < 0. Alors lim f(x) = 0 x 0 mis f n ps de limite en 0 pr vleurs superieures. Proposition Soit f :], b[ R et x 0 ], b[. Alors lim f(x) = l f(x 0 ) = l, x x 0 Preuve. Découper en morceux. lim f(x) = l et x x 0 lim f(x) = l. x x + 0

29 2.2. CAS DES FONCTIONS Limites infinies On se donne f : I R et x 0 I. On veut formliser l énoncé suivnt : lorsque x se rpproche de x 0 l vleur de f(x) devient de plus en plus grnde. Définition On dit que f tend vers + qund x tend vers x 0 si : M R +, δ > 0, tq x I, ( x x 0 < δ = f(x) M) (2.23) Dns ce cs on note lim x x0 f(x) = +. On dir que f tend vers qund x tend vers x 0 si : M R +, δ > 0, tq x I, ( x x 0 < δ = f(x) M) (2.24) Dns ce cs on note lim x x0 f(x) =. f(x) M x 0 x 0 δ x 0 + δ b x Fonction ynt une limite infinie en un point Remrque Dns l définition précédente, il fut comprendre M comme une vleur minimle pour f(x) qund x est proche de x 0. En d utres termes, l définition (2.23) ffirme que f(x) peut être rendu ussi grnd que voulu (c..d. plus grnd que M), pourvu que x soit proche de x 0 (c..d. x x 0 < δ). Remrque Il est évident que lim f(x) = lim ( f(x)) = +. x x 0 x x 0 Exercice Soit f l fonction définie sur ]1, + [ pr f(x) = 1 x 1. Montrer que lim x 1 f(x) = +. Exercice Soit f l fonction définie sur R \ {1} pr f(x) = 1 x 1. Montrer que f n ps de limite en 1. Comprer à l exercice précédent. Proposition Soient f : I R et g : I R deux fonctions. Soit x 0 I. On suppose que lim x x0 f(x) = + et que g est minorée sur I lors lim x x0 (f + g)(x) = +.

30 30 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Preuve. On doit montrer que M R, δ > 0, x I, ( x x 0 < δ = (f + g)(x) M). (2.25) Soit M R quelconque. Comme g est minorée, il existe A R tel que pour tout x I, g(x) A. Pr illeurs, comme lim x x0 f(x) = +, on sit que R R, δ > 0, x I, ( x x 0 < δ = f(x) R). (2.26) En ppliqunt cette propriété vec R = M A, on trouve δ > 0 tel que pour tout x I ]x 0 δ, x 0 + δ[ on f(x) M A. On en déduit que pour tout x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, on (f + g)(x) M A + A = M Limites en l infini On veut formliser l notion suivnte : lorsque x devient de plus en plus grnd, f(x) prend des vleurs de plus en plus proches d une vleur l fixée. Définition Soient R, l R et f : (, + [ R. On dit que f tend vers l lorsque x tend vers plus l infini (noté lim x + f(x) = l) si ɛ > 0, M R, x M, f(x) l < ɛ (2.27) On dit que f tend vers l lorsque x tend vers moins l infini (noté lim x f(x) = l) si ɛ > 0, M R, x M, f(x) l < ɛ (2.28) f(x) l + ɛ l l ɛ M x Fonction ynt une limite en plus l infini

31 2.2. CAS DES FONCTIONS 31 Remrque Dns l définition précédente, il fut comprendre M comme une vleur de x à prtir de lquelle on est certin que f(x) ser proche de l. Exercice Soit f : R R définie pr f(x) = 1 1+x 2. Montrer que f tend vers 0 en ±. Exercice Soit f : R R une fonction et g : R R définie pr Montrer que x R, g(x) = f( x). lim f(x) = l lim g(x) = l. x x + Définition Soient R et f : (, + [ R. On dit que f tend vers + (resp. ) lorsque x tend vers l infini (noté lim x + f(x) = +, resp. lim x + f(x) = ) si M R, A R, x A, f(x) M (resp. f(x) M) (2.29) Exercice Donner une bonne définition de : lim x f(x) = ±. Exercice Soit f : R R définie pr f(x) = x sin(x). Montrer que f n est ps bornée. Montrer que f n ps de limite en l infini. Proposition (Propriétés élémentires) Soient f : (, + [ R et g : (, + [ R deux fonctions. On suppose que lim x + f(x) = l 1 et lim x + g(x) = l 2. On les résultts suivnts : i) lim x + (f + g)(x) = l 1 + l 2 ii) lim x + (fg)(x) = l 1 l 2 iii) Supposons que l 2 0, lors l fonction f g grnd et on lim x + ( f l1 g )(x) = l 2 Preuve. C est une vrition de l preuve de l proposition est bien définie pour x ssez Exemple Soit f(x) = 5x3 +x 1 2x 3 +x 2 pour x > 0. Alors, lim x + f(x) = 5 2. Preuve. En effet, f(x) = x3 (5 + 1 x 2 1 x 3 ) x 3 (2 + 1 x ) = f 1(x) f 2 (x) vec f 1 (x) = x 2 1 x 3 et f 2 (x) = x. Or lim x + f 1 (x) = 5 et lim x + f 2 (x) = 2. Pr suite, lim x + f(x) = 5 2. Proposition Soient f : (, + [ R et g : (, + [ R deux fonctions. On suppose que lim x + f(x) = + et que g est minorée. Alors lim (f + g)(x) = +. x +

32 32 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Preuve. Soit M R. Comme g est minorée, il existe m R tel que x (, + [, g(x) m. Comme lim x + f(x) = +, il existe A tel que x A, f(x) M m. Pr suite, x A, (f + g)(x) M m + m = M. Corollire Soient f : (, + [ R et g : (, + [ R deux fonctions. On suppose que lim x + f(x) = + et lim x + g(x) = +. Alors lim (f + g)(x) = +. x + Preuve. Il suffit de vérifier qu une fonction tendnt vers + qund x tend vers + est nécessirement minorée pour x ssez grnd. Exemple L fonction f(x) = x 2 + sin(x) vérifie lim x + f(x) = +. Remrque Attention, il n y ps de règle qund on retrnche des limites infinies. Pr exemple on lim x = +, x + lim x + x2 = +, lim x 1 = + x + et lim x + (x2 x) = +, lim x (x 1) = 1. x + Proposition Soient f, g, h trois fonction de (, + [ à vleurs dns R et soit l R. On suppose que x (, + [, g(x) f(x) h(x) et Alors lim g(x) = l = lim h(x). x + x + lim f(x) = l. x + Preuve. L démonstrtion est similire à celle de l proposition Pssge à l limite dns les inéglités Proposition Soit f : I R une ppliction. On suppose qu il existe x 0 I et l R tels que lim x x0 f(x) = l. i) Supposons qu il existe m R tel que x I, f(x) m. Alors l m. ii) Supposons qu il existe M R tel que x I, f(x) M. Alors l M.

33 2.2. CAS DES FONCTIONS 33 Preuve. Preuve de i) On suppose pr l bsurde que l < m. Posons ɛ = m l 2 > 0. Pr définition de l limite, il existe δ > 0 tel que x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, f(x) l < ɛ. En prticulier, on pour tout x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, f(x) < l + ɛ = m + l 2 ce qui contredit l définition de m. Preuve de ii) Identique. Lissée en exercice. < l, Remrque Il n y ps de théorème nlogue vec des inéglités strictes. Pour s en rendre compte, il suffit de prendre f(x) = x pour x ]0, 1[. On bien f(x) > 0 pour tout x ]0, 1[ mis lim x 0 f(x) = 0. Proposition Soit I = (, + [ (ou ], b)). Soit f : I R une ppliction. On suppose qu il existe l R tels que lim x ± f(x) = l. Supposons qu il existe m R tel que x I, f(x) m. Alors l m. Supposons qu il existe M R tel que x I, f(x) M. Alors l M. Preuve. L démonstrtion est identique à celle de l Proposition

34 34 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE

35 Chpitre 3 Continuité et dérivbilité des fonctions numériques Dns ce chpitre on reprend les nottions précédentes. 3.1 Rppels sur les fonctions Injectivité, surjectivité Soient X et Y deux ensembles et f : X Y une ppliction. Définition On dit que f est injective si x X x X, (f(x) = f(x ) = x = x ). On dit que f est surjective si y Y, x X, f(x) = y. On dit que f est bijective si elle est à l fois injective et surjective. Proposition Une ppliction f : X Y est injective ssi x X, x X, (x x = f(x) f(x )). Preuve. Les deux formultions sont équivlents cr l une est l contrposée de l utre. Dns toute l suite, on noter Id X : X X l ppliction identité sur X (i.e. Id X (x) = x, x X) et Id Y : Y Y l ppliction identité sur Y. Lorsqu il n y ur ps d mbiguité sur l ensemble X, on oter Id à l plce de Id X. Proposition Soit f : X Y une ppliction bijective, lors il existe une unique ppliction g : Y X telle que g f = Id X et f g = Id Y. Cette ppliction s ppelle l ppliction réciproque de f et se note f 1. 35

36 36CHAPITRE 3. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Preuve. Commençons pr définir f 1 : Y X. Etnt donné y Y, l fonction f étnt surjective, il existe x X tel que f(x) = y. De plus, f étnt injective, cet élément x est unique (si x et x vérifient f(x) = y et f(x ) = y lors f(x) = f(x ), donc x = x ). On pose On lors f 1 (y) = x. f(f 1 (y)) = f(x) = y ce qui prouve f f 1 = Id Y. Pr illeurs, f(f 1 (f(x))) = f(x), x X. Comme f est injective, on en déduit que f 1 (f(x)) = x, ce qui montre que f 1 f = Id X Monotonie Soient I et J deux intervlles de R. Soit f : I J. Définition On dit f est croissnte si x, y I, (x y = f(x) f(y)). On dit f est strictement croissnte si On dit f est décroissnte si x, y I, (x < y = f(x) < f(y)). x, y I, (x y = f(x) f(y)). On dit f est strictement croissnte si x, y I, (x < y = f(x) > f(y)). On dit que f est monotone si elle est croissnte ou bien décroissnte. On dit que f est strictement monotone si elle est strictement croissnte ou bien strictement décroissnte. Exemple L ppliction f : R R définie pr f(x) = 1, x R est croissnte, mis elle n est ps strictement croissnte. L ppliction f : R R définie pr f(x) = x 3 est strictement croissnte. L ppliction f : R R définie pr f(x) = x 2 n est ni croissnte, ni décroissnte. Proposition Soit I J une ppliction strictement monotone. Alors f est injective. Preuve. Quitte à remplcer f pr f, on peut supposer que f est strictement croissnte. Soient x, y I tels que x y. On peut supposer que x < y. Comme f est strictement croissnte, lors f(x) < f(y). Donc f(x) f(y).

37 3.2. CONTINUITÉ Continuité Propriétés élémentires Définition Soient f : I R et x 0 I. On dit que f est continue en x 0 si lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Remrque En reprennt les définitions du chpitre précédent, il est fcile de voir que f est continue en x 0 si et seulement si ɛ > 0, δ > 0, x I, ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ɛ). Exemple Soit f : R R définie pr f(x) = x 2. Alors f est continue en 1. Définition Soient f : I R. On dit que f est continue sur I si pour tout x 0 I, f est continue en x 0. Proposition (Propriétés élémentires) Soient f : I R et g : I R deux fonctions continues. On les résultts suivnts : i) f + g est continue. ii) Pour tout λ R, λf est continue. iii) f.g est continue. iv) Supposons que g ne s nnule ps sur I, lors l fonction f g est bien définie sur I est elle est continue. Preuve. Toutes ces propriétés sont des conséquences immédites de l Proposition Les fonctions continues sont très nombreuses. Un exemple simple et fondmentl de fonctions continues est donné pr les fonctions polynomiles. Une fonction polynomile est une fonction de l forme f(x) = x+...+ N x N, où N est un entier fixé (le degré du polynome) et 0,..., N sont des réels. Proposition Soit f : I R une fonction polynomile. Alors f est continue sur I. Preuve. Commencons pr triter le cs prticulier suivnt. Pour k N, on définit f k : I R pr f k (x) = x k. Si k = 0, f 0 (x) = 1 pour tout x I. Pr conséquent on bien lim x x0 f(x) = 1 = f(x 0 ) quel que soit x 0 I. Si k = 1, f 1 (x) = x pour tout x I. Etnt donné x 0 I et ɛ > 0, on f(x) f(x 0 ) = x x 0 < ɛ dés que x x 0 < ɛ. Ceci montre que f 1 est continue. Pour triter le cs générl, on fixe k N et on constte que f k (x) = f 1 (x).f 1 (x)... f 1 (x). En ppliqunt l propriété iii) de l proposition 3.2.1, il est clir que chque fonction f k est continue sur I. Tritons mintennt le cs générl. Soit f : I R une fonction polynomile. Il existe des constntes 0,..., N, telles que x I, f(x) = N k x k. k=0

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