Le transfert de chaleur entre deux fluides s effectue à travers un tube d acier de diamètres intérieur/extérieur 18 / 21 mm.

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1 PROBLÈMES CORRIGÉS Il n est pas de problème u une absene de solution ne inisse par résoudre. Aphorisme attribué à Henri QUEUILLE PROBLÈME N : Coeiient d éhange Énoné Le transrt de haleur entre deux luides s etue à travers un tube d aier de diamètres intérieur/extérieur 8 / mm. On donne : - ôté intérieur : h 000 W / m K ; température moyenne de mélange 0 C - ôté extérieur : h 000 W / m K ; température 5 C - aier : λ 46 W / m. K. Caluler le oeiient global d éhange k.. Après un an de ontionnement, on estime avoir une résistane d enrassement 4 Re 4.0 W m K. Déterminer le nouveau oeiient d éhange global.. En attribuant une eiaité de au tube neu, ue devient ette eiaité au bout d un an? 4. Quel est alors le lux éhangé dans un tube de longueur L m? Solution. La paroi du tube a pour épaisseur : D d 8 e,5 mm,5.0 m Comme elle est mine par rapport aux diamètres, en négligeant sa ourbure on peut aluler k à partir de la ormule (6.a) relative à une paroi plane, ave R e 0 : k h e + + λ h 000,

2 0 + 0, ,5.0,5.0 k On onstate ue la résistane thermiue la résistane totale. Enin : e / λ de la paroi ne représente ii ue % de k 65 W / m K omplète : k. En présene d une résistane d enrassement, on appliue maintenant la ormule (6.a) h + R e e + + λ h ( + 0,4 + 0,0 + 0,5 ) 0,9.0 k 58 W / m K. L eiaité dont il est uestion dans l énoné doit être omprise omme un rapport Φ réel / Φ max (déinitions.5 et 4.7), soit ii : Φ an k an 58 E Φ k 65 neu E 0,79 neu 4. La surae d éhange Σ n est pas la même des deux ôtés. Suite à la uestion, on alule une valeur approhée de Σ par (6.0) ( 6.. ) : D + d + 8 Σ π L π 0 m Σ 6.0 Le lux éhangé est donné par (6.) ui s érit ave les notations de l énoné : Φ k Σ ( ) Φ Commentaires 475 W Cet exerie très élémentaire a surtout pour objet de matérialiser des ordres de grandeur. Pour les étudiants, sa prinipale diiulté réside dans le alul de l épaisseur de la paroi, ui n est pas D d omme on le lit souvent!!

3 PROBLÈME N : Méthode NU Énoné Un éhangeur à ontre-ourant ontionne dans les onditions suivantes : 50 C 0 C e s 00 C t min t s 90 C Puissane Φ 45 kw. Quelle est la puissane éhangée si on ait travailler l éhangeur en mode oourant, ave les mêmes températures d entrée et les mêmes débits? (Utiliser la méthode NU).. Quelles sont les nouvelles températures de sortie? Solution. En ontre-ourant, ave E R s e e s s , on a pour eiaité (..) : t min t 0 0, ,88 0 et, à partir du tableau. : R E NU Ln,45 R E En irulation o-ourant, les débits n étant pas modiiés, les oeiients d éhange ne le sont pas non plus. On garde don le même NU (vu ue NU k Σ / ). Par ontre, la nouvelle eiaité E s érit (tableau.) : E ' { exp [ ( + R ) NU ]} + R Il vient, après remplaement de R et NU par leur valeur : E ' 0,56 t min Puisue les onditions d entrée sont identiues dans les deux as, la nouvelle puissane Φ ' est telle ue : Φ' E' Φ E ei d après la relation (.). Alors : 0,56 Φ ' 45 0,74 Φ ' 95 kw est-à-dire 70% de la puissane en ontre-ourant.

4 . La nouvelle température de sortie roide E' ' s ' s e + E' ( e 0 + 0,56 ( 50 0 ) ' s 4 C et la nouvelle température de sortie haude e s R 0,88 inhangé ' s ' s e 50 ' R ( s ' 4, C Commentaires ' s 0,88 ( 4 ) ) 0 ) ' s s obtient à partir de la nouvelle eiaité : ' s à partir de R : Il y a d autres açons de résoudre e petit exerie, par exemple en utilisant les résultats du hapitre. Mais la démarhe préonisée permet de se roder à la méthode NU dans un as simple. Ave ette valeur de R, on est déjà dans la zone asymptotiue d un éhangeur oourant (ig..), et les températures de sortie sont don très voisines.

5 PROBLÈME N : Éhangeur bitube Énoné Pour reroidir un débit de 9,4 kg/h d air de 66 C à 78 C, on le ait passer dans le tube entral d un éhangeur bitube à ontre-ourant de,5 m de long, de m de diamètre et de aible épaisseur.. Caluler la puissane aloriiue à évauer. On donne pour l air : C p 060 J / kg K.. Le luide de reroidissement est de l eau, ui pénètre dans la setion annulaire à la température de 6 C ave un débit de 0,6 l/mn. Caluler la température de ette eau à la sortie de l éhangeur. On prendra C p 480 J / kg K.. Caluler le oeiient d éhange h ôté luide haud (on ne tiendra pas ompte d une éventuelle orretion en µ / µ p ). 4. Déterminer l eiaité de et éhangeur, puis son NU. En déduire le oeiient d éhange global, puis le oeiient d éhange h ôté luide roid. 5. La paroi extérieure de l éhangeur est isolée. Quelle est approximativement l épaisseur b de l espae annulaire ui permettrait d obtenir ette valeur de h? (On admettra d abord l éoulement laminaire, et on vériiera ensuite ette propriété). Solution. Le lux total peut se aluler ôté haud : Φ t (e s ) D après les données, le débit thermiue unitaire haud est : 9,4 t m C p t,77 W / K et alors : Φ,77 ( ) Φ W d où :. Le alul du lux total ôté roid va maintenant nous donner Φ ( ) ave ii : t s 0,6 t m C p 480 ( m 0, kg / mn ) 60 t 4,8 W / K Φ s ,8 t s.

6 s 45 C. Il aut d abord onnaître le régime d éoulement de l air, don le Reynolds ôté haud. La température moyenne de l air est approximativement ( 6..) : e + s < > 97 C 670 K A ette température, les tables donnent : ρ 0,55 kg / m ; ν 6,0.0 5 d π (.0 ) 4 La setion du tube est : S π,4.0 m 4 4 On en déduit la vitesse débitante : m 9,4 V ρ 4 S 600 0,55,4.0 V 5,8 m / s d où le nombre de Reynolds : V d 5,8.0 Re 500 ν 5 6,0.0 Il s agit d un régime de transition. On peut don utiliser la ormule (4.6), en notant ue le rapport d / L / 50 est négligeable (l énoné nous demande également d ignorer la orretion en µ / µ p ): 0,6 / ( / St Re 5) Pr Re Pour aluler h, il est un peu plus rapide ii de passer par le nombre de Nusselt (4.0d, 4..5) : Nu St Re Pr 0,6 m / s / ( Re / 5) Pr A 670 K, le nombre de Prandtl de l air est : Pr 0, 68. On trouve : Nu 7,5 oujours à 670 K, la ondutivité de l air est : λ 0,0505 W / m K. Nu h h d d où λ 4,5 W / m K 7,5 0,0505 h 0,0 4. On onstate ue :,77 W / K, d où l eiaité (ormule.0) : t min t E e e E 0,7 s

7 D après le tableau., pour un éhangeur à ontre-ourant : R E NU Ln R E et dans le as présent : t min,77 R 0,066 4,8 don : t max 0,066 0,7 NU Ln,07 0,066 0,7 NU,5 Ln,5 De la déinition du NU (.4a) on tire alors : NU t min k Σ Puisue l épaisseur du tube entral est aible, on ne ait pas la distintion entre surae d éhange ôté haud et ôté roid, et on néglige la résistane thermiue de la paroi. Don : Σ surae latérale du tube π d L Σ π.0,5 0,094 m,5,77 k 0,094 k 9,8 W / m K Le oeiient d éhange global s exprime aussi à partir de (6.a) (e et négligés) : + + k h h 4,5 h 9,8 On en déduit : R e étant h 500 W / m K 5. Dans un éhange eau-air, la température de paroi est prohe de elle de l eau. Dans le as présent, elle-i varie peu. On peut don admettre la ondition p te. La paroi extérieure (onave) étant isolée, et l éoulement supposé laminaire, la ormule (4.44) s appliue. Elle donne Nu en ontion de R / R. D autre part, Nu h D λ, ave ii ( R R ) b (ormule 4.4). En h / Dh partant d une valeur arbitraire mais raisonnable de b, on peut par approximations suessives ajuster Nu ave la valeur donnée par (4.44). La température moyenne approhée de l eau (luide roid) est : + s < > 0,5 C

8 La ondutivité orrespondante (voir tables) est λ 0,6 W / m. K. Essayons ave Nu ,6 R 0 + R b mm (e ui ait, ). R 0 R 4,9 D après (4.44), pour obtenir ette valeur de Nu, il audrait un rapport R / R, 05 environ, soit b 0,5 mm, e ui est trop aible. Essayons ave b un peu plus élevé, pour augmenter Nu. Par exemple, ave b, mm (soit R / R, ), Nu 5, e ui orrespond à peu près à un rapport R / R, 5 dans (4.44). On admettra don omme valeur approhée : b, mm On vériie enin le Reynolds : V Dh m b Re ν ρ S ν 5 ave ν 0,08. 0 à < > 0,5 C et, en première approximation S b π ( d + ( b / )) surae d un retangle de hauteur b et de longueur égale à la ironérene moyenne de l annulaire, soit π ( d + b ) (N.B. le diamètre moyen est d + b, et le diamètre extérieur d + b, voir Problème ). 0,6 D autre part, m 0,6kg / mn kg / s 60 m b 0,6 Re ρ bπ ( d + b ) ν π ( 0 +, ) 0 0,08.0 Re L éoulement est bien laminaire. Commentaires Dans et exerie, on doit en partiulier herher une aratéristiue géométriue de l éhangeur permettant de respeter les onditions thermiues imposées. On a en plus l oasion d aborder régime de transition et éoulement annulaire.

9 PROBLÈME N 4 : Cheminée Énoné On veut estimer la hute de température des umées dans une heminée, en onsidérant le onduit omme un éhangeur dont les umées onstituent le luide haud, et l air ambiant le luide roid. On admet ue la température a de l air est onstante le long de la paroi extérieure de la heminée. On désigne par k le oeiient global d éhange à travers la paroi.. En adaptant le alul d un éhangeur o-ourant au as partiulier i-dessus ( te ), montrer ue la température des umées dans la heminée obéit à la loi : a a k exp S e a t. Le onduit est ylindriue, de diamètre D et de longueur L. Érire la température de sortie des umées. s. Caluler s ave les valeurs suivantes : L 0 m ; D 0 m ; e 0 C ; a 0 C ; k 0 W / m K. Pour les umées : m 0,5 kg / s ; C p 050 J / kg K. Solution. A travers un élément de paroi ds de la heminée s éhappe un lux de haleur : dφ k ( ) ds k ( ) ds d Φ est aussi la haleur perdue par le luide haud : dφ t d On regroupe les deux éuations : d k ds a t Nous avons ii a te, de sorte ue : d d( a ) d où en intégrant : k a te exp S t A l entrée, S 0 et e, don te e a, et a k exp S C.Q.F.D. e a t. A la sortie, s a et S Σ (surae latérale totale de la heminée) :

10 Σ π D L La ormule de la uestion devient : k s a + (e a ) exp π D L t. Les aluls numériues donnent : C 0, W / K t m p 0 s 0 + ( 0 0 ) exp π 0, 0 55 s 6 C La hute de température est don de 60 C environ dans la heminée. Commentaires. La ormule donnant s (uestion ) est reommandée par le Centre Sientiiue et ehniue du Bâtiment (CSB) pour le alul des heminées.. Dans la uestion, on ne peut pas érire le bilan loal sur le luide roid d Φ t d ) du ait ue d d 0 ( a te ), e ui est éuivalent à. On ( a se retrouve dans la même situation u ave un évaporateur ou un ondenseur (.4 et.5).. L hypothèse a te est aeptable ( a n est pas ii une température de mélange mais la température du luide extérieur loin de la paroi) ; elle onduit à une ormule simple ui donne des estimations numériues orretes. 4. Dans une revue tehniue, la ormule de la uestion était aompagnée du ommentaire suivant : Σ est la setion de la heminée!! Ce ui donnerait ii une hute de température inérieure à C. De l importane de la rigueur dans le voabulaire!! t

11 PROBLÈME N 5 : Éhangeur à hangement de phase Énoné De l eau roide irule dans un tube de haudière à ondensation. Sa température d entrée est 8 C et son débit m 400 kg / h. Le réhauage est assuré par ondensation de vapeur d eau à l extérieur du tube, à la température 04 C. On donne : diamètre intérieur d,5 mm ; diamètre extérieur D 6 mm ; longueur L,4 m ; ondutivité de la paroi λ 46 W / m K. Pour l eau, on admettra dans la gamme de température onsidérée : C p 480 J / kg K.. Caluler le oeiient d éhange h à l intérieur du tube. p 6 ν 0, 7.0 m / s ; Pr 5, 5 ;. On donne le oeiient h ôté vapeur : h 8000 W / m K. Caluler le oeiient global d éhange k.. Caluler le NU et l eiaité de l appareil. 4. Déterminer la température de sortie d eau s, puis la uantité de haleur Q réupérée annuellement grâe au dispositi à ondensation, si l on onsidère ue la saison de hau dure 50 jours et ue la haudière ontionne 5 heures par jour. Solution. Il aut déjà savoir uel est le régime d éoulement. Pour ela, alulons Re : V d v d 4 v Re ν S ν π d ν Ii, v 400 l / h m 600 0,4 Re π,5 0 Re 670 / s 0,7 0 Ave ette valeur de Re, le régime est turbulent et hydrauliuement lisse. Don, St est donné par (4.). On a bien Pr > 0, 66. D autre part, L / d 400 /,5 > 60. Les onditions de validité de la ormule sont don satisaites. Pour le luide roid : St 6 0, 0,6 0, 0,6 0,0 Re Pr 0, , 5 St,9. 0 et aussi St h d où : ρ C V p

12 h St ρ C V p St ρ C p 4 π d v On a ρ 0 kg / m pour l eau et d,5 mm, e ui donne : h 4500 W / m K. L épaisseur de la paroi est : D d 6,5 e,75 mm La uestion ne préise pas de uel ôté on demande k. Cela sous-entend ue l on raisonne omme ave une paroi plane ( 6... et 6.. ), et k s érit : e, k k h + + λ h 000 W / m K , L éhangeur est un appareil à luide isotherme, pour leuel R 0 (.5.), ave ii. Ainsi : t min t NU k Σ / t où Σ est la surae moyenne d éhange ( 6..) : D + d 6 +,5 Σ π L π 0,4 0,07 m Le débit thermiue unitaire de l eau a pour valeur : 400 t m C p W / K 600 et le NU vaut : NU 0,69 L eiaité se trouve sur le tableau.. Pour R 0 d éhangeur : E exp( NU ) exp( 0,69 ), uelue soit le modèle E 0,5 ave 4. oujours pour la raison ue te : e E s, E est l eiaité ôté roid (ormule.), t min t

13 On en tire s : + E ( s s 6 C ) 8 + 0,5 (04 8 ) La puissane thermiue du système s exprime par le bilan sur le luide roid : Φ ( ) 465 (6 8 ) 0000 W Φ t s 0 kw Sur une saison de hau ui ompte 50 5 heures, on peut don réupérer par ondensation au maximum : Q kwh Q 5000 kwh Commentaires Il s agit enore d un problème allégé où on ne ait mention ni des températures de réérene, ni de la distintion entre oeiient d éhange global ôté roid et ôté haud, et où le alul de h ôté vapeur n est pas demandé. La température de ondensation de 04 C sous-entend ue la vapeur est en légère surpression par rapport à la pression atmosphériue. Les uestions et 4 peuvent aussi être traitées ave les résultats relatis aux éhangeurs à luide isotherme (.4).

14 PROBLÈME N 6 : Éhangeur à aiseau de tubes et alandre Énoné Dans la sous-station de hauage olleti d un immeuble on désire installer un éhangeur à aiseau tubulaire et alandre, destiné à porter de 40 à 60 C un débit d eau de 0000 kg/h. Le luide primaire ui irule dans les tubes est de l eau surhauée arrivant à 80 C, à raison de 0000 kg/h. Les tubes ont un diamètre intérieur d 0 mm ; la vitesse d éoulement adoptée est telle ue Re Le oeiient d éhange global k est estimé à 450 W / m K. On admet pour l eau surhauée les aratéristiues thermophysiues suivantes : C p 45 J / kg K ; ρ 90 kg / m ; µ 9.0 kg / m. s.. Caluler la puissane Φ éhangée et la température de sortie du luide haud.. L éhangeur est à ontre-ourant, ave une seule passe sur haue luide, les tubes étant montés en parallèle (modèle de la ig..5 sans les hianes). Déterminer : - la surae d éhange Σ néessaire - la vitesse dans les tubes - la setion totale des tubes - le nombre de tubes et la longueur du aiseau Solution. Calulons tout d abord les débits thermiues unitaires. - Sur le luide roid : C t m p On prend généralement pour l eau 0000 t t 00 W / K - Sur le luide haud : 0000 m C p 600 t 000 W / K t 45 5 C p 480 J / kg K (voir tables en in de volume). La puissane thermiue s obtient à partir des données relatives au luide roid : Φ ( ) 00 (60 40 ) W Φ t s 464 kw On tire maintenant s du bilan sur le luide haud : Φ ( ) t e ( 80 s ) , s s 4, C s

15 . Les aluls préédents montrent ue nous avons ii : t min e t et l eiaité s érit : e s E 8,7 40 E 0,76 Quant au ateur de déséuilibre : 000 R t 00 t R 0,57 Du tableau. on tire le NU : R E NU Ln R E 0,57 NU 0,5 et aussi : NU k Σ / t e ui nous donne la surae d éhange : 0,5 000 Σ 450 Σ 9, m Ln 0,57 0,76 0,76 Le nombre de Reynolds est imposé : ρ V d Re 0000 µ d où la vitesse V : V V 0,0 m / s La vitesse V est la même dans tous les tubes. Si v désigne le débit-volume total, la setion totale des tubes est don : S V v S,9.0 m ρ V m ,0

16 Le nombre de tubes néessaires pour assurer le débit demandé est égal à : S,9.0 4 N 9, π d / 4 π (.0 ) Comme il aut bien avoir un nombre entier de tubes, on prendra l entier immédiatement supérieur : N 9 tubes Si la longueur du aiseau est L ( est don aussi la longueur de haue tube), la surae totale d éhange a pour valeur : Σ N π d L On en déduit : Σ 9, L N π d 9 π 0,0 L,60 m soit une longueur totale de tubes de 49 m environ. Commentaires. L exerie aborde d une manière enore élémentaire le dimensionnement d un éhangeur à aiseau de tubes.. Les étudiants ui n ont jamais vu un éhangeur tubulaire n imaginent pas toujours très bien la struture de l ensemble et les propriétés ui déoulent du montage des tubes en parallèle (FEMM, 7.6).. Le NU de l éhangeur est aible. Le modèle de l appareil n a don pas beauoup d importane (.4. et ig..). 4. Un alul approhé de Σ pourrait être etué à partir du bilan global en linéarisant la distribution de température de l eau ( 6..) : + s Φ k Σ ( < ) ave < > > C est plus rapide et on trouve ii pratiuement le même résultat (pare ue NU est petit). Mais e n est pas toujours omme ça. Alors prudene!! 5. Les paramètres k et Σ se réèrent impliitement à la surae intérieure des tubes puisu on ne donne pas le diamètre extérieur dans l énoné.

17 PROBLÈME N 7 : Éhangeur à plaues Énoné De l air haud à 80 C produit par une installation industrielle est évaué à l extérieur à raison de 5000 kg/h. Il traverse préalablement un éhangeur servant à préhaur à 0 C l air neu admis dans le bâtiment à une température d entrée de 5 C. L éhangeur est un appareil à plaues planes et à ourants roisés, sans brassage des luides, dont la surae d éhange est Σ 50 m. Dans la plage de ontionnement prévue, son oeiient global d éhange k est estimé par le onstruteur à : k,6 m + 65 ave m en kg/s et k en W / m K.. Estimer a priori sur uel iruit le débit thermiue unitaire est minimal. En proédant par approximations suessives, déterminer uel débit d air neu et éhangeur peut porter à 0 C.. Caluler la température de sortie du luide haud et la puissane de l éhangeur. P.J. Abaue E (NU), ig. P.7. FIG. P.7. Éhangeur à ourants roisés, luides non brassés Solution. On a ( 0 5 ) 5 C sur le luide roid. Le luide haud entre à e 80 C, e ui doit permettre un nettement plus important. Les luides étant les mêmes des deux ôtés, m est ertainement supérieur à m, d où t > t ar la haleur massiue C p dépend très peu de la température. Par onséuent, a priori :

18 t min t puisue le luide ui ause le plus grand est elui ui a le plus petit débit thermiue unitaire (.).. Les données ne portent ue sur trois températures aux bornes et un débit. Le débit inonnu m ne peut pas être alulé diretement ; l eiaité non plus puisue ii E E et on ne onnaît pas s. On va don proéder par approximations suessives à partir d une estimation empiriue de m, en alulant NU, puis E au moyen de l abaue (!! dernier rappel : abaue est un nom masulin, on dit un abaue, rmez la parenthèse) et enin s ue l on va omparer à la valeur imposée 0 C. Choisissons omme valeur de départ : m 5000 kg / h 4,66 kg / s k Σ k Σ NU ave Σ 50 m t min m 5000 / 600,9 kg / s t D après les tables numériues, C p 006 J / kg K très peu dépendant de. Soit : t m C p Dans es onditions : 400 W / K k,6 m + 65,6 4, NU, t m R puisue C p C p t m R,9 / 4,66 0, 80 W / m En reportant sur l abaue, on trouve pour l eiaité : E 0, 85 Puisue E E d où l on tire : soit : s, nous avons (ormules.0) : t min R E t + R E ( R e s e 5 + 0, 0,85 ( 80 5 ) s 6,5 C ) Cette valeur est supérieure à la température imposée (0 C) ; on a don pris un débit trop aible. m K

19 Reommençons l opération ave : m 5000kg / h 6,945 kg / s La trame du raisonnement est identiue ; t est inhangée 400 W / K k,6 6, W / m K ; NU, 400 R,9 / 6,945 0, et l abaue donne : E 0, 9 s 5 + 0,9 0, ( 80 5 ) s 8,5 C Nous nous sommes nettement rapprohés de 0 C, mais maintenant trop aible ; don m est un peu trop grand. s est un peu Faisons une troisième tentative ave puisue m 500 kg / h 6,5 kg / s k,6 6, ,5 W / m K 87,5 50 NU,5 400 R,9 / 6,5 0, Sur l abaue, on observe ue E est pratiuement inhangée 0, ,9 0, ( 80 5 ) s s 0 C : La onvergene est atteinte. La valeur demandée est don : m 500 kg / h 6,5 kg / s. Nous pouvons par exemple déduire s du bilan global de l éhangeur (.) : ( ) ( ) d où : t s t e e t s t t m ( t s m s ) 80 / /. Finalement : s,5 C 6,5,9 ( 0 5 ) Le bilan sur le luide haud (ou roid) donne enin la puissane Φ de l éhangeur : Φ ( ) 400 ( 80,5 ) Φ t e W s

20 Commentaires Cet exerie illustre l un des rares as où l on doive proéder par itération ave la méthode NU. Pour le alul de s (uestion ), on peut aussi aluler préalablement s à partir de E puis déduire du bilan enthalpiue de l éhangeur. s PROBLÈME N 8 : Éhangeur tubulaire à ourants roisés Énoné Une haudière à mazout produit des umées à 60 C ui sont utilisées pour préhaur de 0 à 0 C l air néessaire à la ombustion. L installation onsomme 500 kg de mazout par heure. La ombustion d un kilog de mazout demande 7,95 kg d air et produit 8,95 kg de umées. L appareil utilisé est un éhangeur tubulaire à ourants roisés, à deux passes ôté tubes ; l air irule dans les tubes, vertialement, et les umées autour des tubes, horizontalement (ette disposition limite les obligations de ramonage). La température de paroi des tubes doit être partout supérieure à 60 C pour éviter la orrosion due à la ondensation des omposés sourés. p Les tubes orment un aiseau en ligne, à pas arré, de pas relati e, 4. Ils ont pour diamètre extérieur D 55 mm et pour diamètre intérieur d 50 mm. Pour haue éoulement, le nombre de Reynolds est ixé : Re 5000 dans les tubes (luide roid) et Re 5000 en alandre (luide haud, vitesse de réérene vitesse débitante en alandre vide). Dans le domaine de température envisagé, on prendra omme aratéristiues moyennes des umées : µ.0 5 kg / m.s λ 0,0 W / m K C p J / kg K ρ 0,585 kg / m. Caluler la température de sortie des umées s.. L éhangeur peut ontionner soit ave des entrées opposées, soit ave des entrées du même ôté (voir igure P8). Quel sens de ontionnement doit être hoisi pour éviter le risue de ondensation des omposés sourés? 0 0. Caluler à uelles vitesses de réérene V et V orrespondent les nombres de Reynolds imposés. 4. Déterminer le oeiient global d éhange k ôté luide haud (négliger la résistane thermiue de la paroi). 5. Caluler la puissane Φ de l éhangeur, son eiaité E et son NU. Déterminer la surae d éhange Σ ôté haud, le nombre de tubes néessaires et la longueur L de haue tube. +

21 FIG. P8 Éhangeur tubulaire à ourants roisés. Fluide haud : umées ; luide roid : air A gauhe : entrées opposées. A droite : entrées du même ôté Solution. La température inonnue l éhangeur : ( ) ( t e s t s s sera obtenue à partir du bilan enthalpiue de ) Il aut d abord aluler les débits thermiues unitaires. - Pour le luide roid (air), le débit-masse est : 500 7,95 m 7,5 kg / s 600 La haleur massiue de l air dépend très peu de la température. On l arrondit à C p 00 J / kg K, soit : t m C p 7,5 00 7, Pour le luide haud (umées) : 500 8,95 m 7,9 kg / s 600 t 7,9 9,57.0 On observe au passage ue : t min t 7,57.0 W / K W / K W / K Du bilan enthalpiue on tire : t 7,57 e s ( s ) ( 0 0 ) 79 C 9,57 s 8 C t

22 . Air et umées ont des propriétés voisines, et les oeiients d éhange à l extérieur et à l intérieur des tubes doivent être du même ordre de grandeur. Comme température loale de paroi, on admettra don en première approximation : ( ) / p air + umées Ave entrées opposées, on a : * ôté (a) : air à 0 C ; umées à 8 C, soit : pa 50,5 C < 60 C d où risue de ondensation * ôté (b) : air à 0 C ; umées à 60 C, soit : pb 40 C pas de problème Cette solution est à prosrire : il y a un ort risue de ondensation vers la sortie des umées. Ave entrées du même ôté : * ôté (a) : air à 0 C ; umées à 8 C. Don : pa 00 C > 60 C est bon * ôté (b) : air à 0 C ; umées à 60 C : pb 90 C > 60 C est enore bon Conlusion : il vaut mieux plaer les entrées du même ôté. 0 Vitesse de réérene V ôté luide roid : Il s agit ii de l éoulement de l air dans les tubes. Re 0 V d 5000 donné, ave d 50 mm ν ν doit être évaluée à la température moyenne de mélange de l air ( 4..5 ), soit : m 70 C ν,0.0 On en déduit : V 0 5 m / s 5000, V 0 0, m / s 5 0 Vitesse de réérene V ôté luide haud Il s agit maintenant des umées, sahant ue :

23 0 V D µ.0 5 Re 5000 ave ν 5,.0 m / s ν ρ 0,585 on en tire : 5 0 Re ν ,.0 V D V 0 4,66 m / s 4. Coeiient d éhange h ôté haud (en alandre) Le nombre de Reynolds est donné : Re 5000, ave une vitesse de réérene en alandre vide, don ompatible ave les ormules du parag L Le aiseau est en ligne ; de e ait il résulte ue : e e e, 4. En admettant ue le nombre de nappes est au moins égal à 0 ( 4... ), le nombre de Stanton est don à prendre dans la ormule (4.8) ave α 0, 7 pour le luide haud : 0,6,4 0,90 0, 0, 0,7 St 0, ,, Pr,4 0,98 Le nombre de Prandtl est alulé à la température m, e ui donne d après les valeurs de l énoné : C 5 ν µ p.0 Pr,0 a λ 0,0 et l on obtient : St 0,04 Le oeiient d éhange h se déduit de St : 0 h St ρ C p V 0,04 0,585 4,66 (la vitesse de réérene h 79, W / m 0 V étant la même ue pour Re,. 4...). K Coeiient d éhange h ôté luide roid (dans les tubes) On sait ue Re 5000 ; en l absene d inormation sur la rugosité de la paroi, il est raisonnable d admettre ue l on est en régime «turbulent lisse». On utilisera don la ormule de Dittus et Boelter (4.) ave α 0, 6 (luide roid), sous réserve ue l on ait L / d > 60, e ui devra être vériié en in de alul : St 0,0 Re 0, Pr 0,6 Pour l air à m 70 C, Pr 0, 7. St 0, 0,6 0, , 7 St 0,0076

24 De là nous déduisons h St ρ C p A la température V 0 C p 05 J / kg K. Ainsi : h : h 0,0076,0 05 0, m 70 C, les tables donnent pour l air : ρ,0 kg / m et h 9, W / m K Coeiient global ôté luide haud Le oeiient global k ôté luide haud est ensuite alulé ave (6.6) : k Σ Σ h + Σ h h Σ + Σ Le rapport des suraes d éhange est égal au rapport des diamètres D / d 55 / 50. k , 50 9, k 4,6 W / m K 5. Puissane On peut aluler la puissane par exemple ôté roid : Φ t ( s ) 7,57.0 (0 0 ) h Φ 757 kw Eiaité D après (.) : E t min E 0,95 Φ ( e ) ,57.0 ( 60 0 ) NU L éhangeur est à ourants roisés, à un luide brassé (.), ave une seule passe sur le luide brassé. Le débit thermiue maximum est elui des umées, est-à-dire du luide brassé. Le tableau. donne dans e as : NU Ln + Ln( ER ) R

25 t min 7,57 R soit R 0, 79 9,57 t max et inalement : NU 0,4 Surae d éhange De NU on déduit la valeur de la surae d éhange NU k Σ 6 Σ t min m 4,6 Σ 7,57.0 0,4 Σ ôté luide haud : Faiseau de tubes La surae d éhange Σ ôté luide haud orrespond au diamètre extérieur des tubes : D 55.0 m. Si L t est la longueur totale des tubes, on a don : 6 Σ π D L t soit Lt π 55.0 L t 79 m Appelons n le nombre de tubes néessaires dans haue passe pour assurer le débit demandé, et S t la setion totale des tubes : π d St n 4 Pour avoir n, il aut aluler préalablement m ρ S t V S t à partir de l expression du débit d air : Dans un alul de débit, la masse volumiue ρ doit être évaluée à la température moyenne de mélange, ii m ( 4..4 et 4..5 ), e ui donne ρ V 0 V 0, m / s, et m 7,5 kg / s. Alors : soit au total : 7,5 S t 0,78 m,0 0, 4 St n ave d 50.0 m π d n 70 tubes par passe N 740 tubes,0 kg / m La longueur de haue tube ( est-à-dire la longueur du aiseau) est donnée par : Lt 79 L m n 740 L m. En outre,

26 Vériiation Il y a lieu maintenant de s assurer ue la longueur de haue tube répond bien à la ondition L / d > 60 (uestion 4, alul de h ). Or e n est pas le as, puisue nous avons ii L / d 0 : d après (4.4), St doit don être multiplié par un ateur,. Cela remontera de uelues pour ent le oeiient d éhange global, et il audrait normalement proéder à une itération ave ette nouvelle valeur. Mais on est exusable si on renone à reommener les aluls. En e ui onerne h, vu le nombre total de tubes, la ondition «nombre de nappes supérieur à 0» est réaliste. Commentaires - La uestion illustre le genre de raisonnement sur des données inertaines ue l ingénieur doit réuemment pratiuer (ou devrait être apte à pratiuer.). Bien u elles soient par essene nuanées, les onlusions auxuelles on aboutit sont appelées à étayer des hoix. - Dans le as présent, la suite du alul montre ue h > h, e ui a pour et de relever la température de paroi estimée, et don de aire reuler le risue de ondensation ôté (a) dans la ormule «entrées opposées». Malgré tout, ette solution apparaît moins sûre ue la disposition «entrées du même ôté». - Les aratéristiues thermophysiues des umées sont ournies dans l énoné pour raourir les aluls. On doit normalement les estimer à partir de la omposition des dites umées, ave les tables relatives à O, N et CO.

27 PROBLÈME N 9 : Éhangeur tubulaire, aiseau en uinone Énoné On étudie un éhangeur air-eau à aiseau de tubes et alandre. L eau irule dans les tubes et l air autour des tubes, perpendiulairement à eux. Les tubes sont disposés vertialement, haue nappe transversale onstituant une passe pour la irulation de l eau. La alandre est retangulaire, de hauteur H,65 m et de largeur l à déterminer. Le aiseau est en uinone, de pas triangulaire éuilatéral. Le pas transversal entre tubes est ixé à S 95 mm. Dans haue nappe transversale, les tubes sont montés en parallèle. Ils sont en aier. Leurs diamètres intérieur/extérieur sont d mm et D 5 mm. Une distane de 0,5 S est imposée entre l axe des tubes d extrémité et la paroi de la alandre. On se ixe une vitesse débitante maximale pour l eau (luide roid) V m / s. Les données du problème sont : Fluide Eau Air empérature d entrée 0 C e 50 C empérature de sortie Débit s 80 C m kg / s m 50 kg / s. Caluler la puissane thermiue éhangée et la température de sortie de l air.. a) Déterminer le nombre N L de tubes néessaire dans haue nappe transversale. (préiser uel est dans e as le nombre de nappes longitudinales du aiseau de tubes). 0 V de l air (luide haud) b) En déduire la largeur l de la alandre et la vitesse dans la alandre vide.. Caluler le oeiient global d éhange k ôté luide roid. Commenter le résultat. 4. a) Déterminer l eiaité de l éhangeur, son NU et la surae d éhange Σ néessaire (ôté luide roid). b) Caluler la longueur totale L des tubes, et le nombre N de nappes transversales. 5. La rugosité intérieure des tubes est ε 0 mm. Pour haue demi-tour du luide (passage d une nappe à la suivante), le oeiient de perte de harge singulière est évalué à ζ 0, 4. On omptera ζ 0, 5 pour l entrée et ζ pour la sortie du iruit. e Caluler la perte de harge totale et la puissane utile P u de la pompe néessaire pour alimenter l éhangeur en eau. Solution. La puissane de l appareil se déduit du bilan thermiue sur l eau : Φ ( ) Ave t s C p 480 J / kg K environ pour l eau, le débit thermiue unitaire vaut : t m C p 480 s

28 t 5060 W / K d où la puissane : Φ 5060 ( 80 0 ) Φ 00 kw W Le bilan thermiue sur l air s érit : Φ ( ) C ( t e s m p e s En toute rigueur, pour onnaître C p, il nous aut la température moyenne m de l air, ui est inonnue. Mais les haleurs massiues varient assez peu ave la température. En se basant sur une estimation approximative de 0 C, on a C p 05 J / kg K. D où : t t 500 W / K On en déduit la température de sortie de l air : s e s 9 C Φ t La température moyenne m est don de 0 C, et l inidene sur la valeur de C p est négligeable. On en reste là.. a). Nombre de tubes Le débit d eau est donné : ρ S V kg / m s Les tubes étant en parallèle, leur setion totale dans une nappe transversale est : π d m S N L 4 ρ V Ave V m / s et ρ 0 kg / m, il aut don dans haue nappe : 4 N L 5,9 π (.0 ) 0 tubes La vitesse de m/s étant un maximum, on doit arrondir à l entier supérieur : ) N L 6 tubes Le réajustement ui en résulte sur la vitesse est négligeable, et on peut onserver dans la suite des aluls V m / s. Le nombre de tubes d une nappe transversale est égal au nombre de nappes longitudinales, soit ii 6 tubes ( 4...). b). Largeur de la alandre et vitesse de l air Une rangée de 6 tubes au pas transversal de 95 mm néessite un espae de 5 entreaxes 5 S, plus 0,5 S à gauhe et à droite entre les tubes et la paroi de la alandre (ondition posée par l énoné).

29 Mais le aiseau étant en uinone, la seonde rangée est déalée de 0,5 S vers la droite ou vers la gauhe, e ui ait en tout : l ( 5 + 0,5 + 0,5 ) S 6, l,57 m La alandre vide a une setion S H l,65, 57 S 4,0 m A la température moyenne m 0 C (uestion ), les tables donnent pour la masse volumiue ρ 0,75 kg / m, d où la vitesse débitante dans la alandre vide : V 0 m ρ S V 0 7 m / s 50 0,75 4,0. Pour aluler le oeiient d éhange global, il aut d abord onnaître les oeiients d éhange de haue ôté des tubes. a). Coeiient h à l intérieur des tubes Le nombre de Reynolds dans les tubes est : Re A la température moyenne de mélange de l eau : m 50 C V d ν la visosité inématiue vaut (. tables) : ν 0,057.0 m / s, d où :.0 Re 0,057.0 Re Ave e nombre de Reynolds ( < 0 ), on doit pouvoir utiliser la ormule de Dittus- Boelter (4.), à ondition d avoir un allongement des tubes L / d > 60. Ii la longueur des tubes est la hauteur de la alandre, est-à-dire H. On a etivement : H 65 84, d Le ompte est bon, et alors : St 0,0 Re 0, Pr 0,6 5 A la température m 50 C, les tables donnent Pr, 67. 0, 0,6 St 0, ,67 0,0 0, 0,456 St,85. 0 D après la déinition du nombre de Stanton, ave les valeurs numériues déjà onnues: h St ρ C p V,

30 h 4950 W / m K b). Coeiient h autour des tubes Le aiseau est en uinone, à pas triangulaire éuilatéral. On a don : - pour le paramètre géométriue adimensionnel ( 4... ) : Ψ / + S 95 - et pour le pas transversal relati : e D 5 + e,7 Le nombre de Stanton est donné par (4.9b) (dans le as Ψ < et ave α 0,7 pour le luide haud) : ν, ,66 9 e 0,46 0,7 St 0,0 + Re Pr + e A la température moyenne de l air m 0 C (uestion ), Pr 0, 68 et 5 m / s. La vitesse de réérene pour le nombre de Reynolds est ii la vitesse dans la alandre vide 7 m / s (uestion ), et la longueur de réérene est le diamètre extérieur D des tubes d où : 0 V 0 V D Re ν,74.0 Re ,66 9 7, 0,46 St 0, , 68,7 St 0,0 On en déduit le oeiient d éhange moyen : 0 h St ρ C p V 0,0 0, h 64,5 W / m ). Coeiient global k K 0,7 Le oeiient global d éhange ôté roid est donné par (6.6d) : Σ e Σ + + k Σ h λ Σ h ave ii ( 6.. ) m Σ Σ d / D et Σ Σ d /( d D ), et aussi e ( D d ) / / / m + mm. Pour la ondutivité thermiue de l aier λ 46 W / m. K. k 5 64, k 5, , ,.0

31 k 77,5 W / m K Dans e total, le terme dominant est le oeiient d éhange ôté air. Le oeiient d éhange ôté eau ompte pour moins de 4%. La résistane thermiue de la paroi est négligeable. 4. 4a). Eiaité, NU, surae d éhange D après la ère uestion,. L eiaité de l éhangeur est don exprimée par (.) : E s e E 0, t min L éhangeur est de type -N. Son NU est donné dans le tableau. : E ( + R NU Ln + R E ( + R + Le ateur de déséuilibre vaut : t min 5060 R 0, t max ous aluls aits : NU 0,6 Nous savons ue NU K t min k t Σ t min + R + La onnaissane du NU permet don de déterminer la surae d éhange Σ : Σ t min NU 0,6 k ,5 R ) ) Σ 0,7 m 4b). Nombre de nappes transversales Si L est la longueur totale des tubes, la surae d éhange Σ (ôté luide roid, està-dire à l intérieur des tubes) s érit : Σ π d L d où : 0,7 L π.0 L 045 m

32 Dans une nappe transversale, il y a N L tubes, dont la longueur totale est N L H. Le nombre de nappes transversales N est don tel ue : L 045 N 4,97 N L H 6,65 La valeur trouvée est très prohe de l entier 5. On prendra don, sans avoir besoin de aire une orretion : N 5 nappes 5. 5a). Perte de harge Lorsu un iruit possède des branhes en parallèle, la perte de harge X est la même sur haune des branhes et sur l ensemble (FEMM, 7.6.). Dans une passe, où haue tube a une longueur H, d après FEMM (6.40b) la perte de harge en ligne vaut : H V 4 C ρ, et la perte de harge sur haue singularité s élève d ρ V à : ζ De l entrée à la sortie de l eau, le iruit omporte N passes ; haue partiule luide suit un itinéraire ui omporte don N tubes, N oudes de demi-tour, une entrée et une sortie, ave une vitesse uniorme, d où une perte de harge totale (FEMM et 6.78) : X 4 C N H d V + ( N ) ζ + ζ + ζ On a vériié à la uestion a) ue l allongement e s V ρ H / d des tubes est supérieur à 60. Vu le nombre de Reynolds Re 54400, le oeiient de rottement C est donné par la ormule de Colebrook (4. et aussi FEMM 7.0) : ε 0,88,5 Ln 0,85 + C / D Re C / Le alul est itérati. Dans la pratiue, les valeurs des oeiients de rottement vont à peu près de 0 4 à 0. Comme point de départ, on peut prendre une valeur moyenne C. 0 dans le membre de droite : 0,5 Ln 0,85 C / ,88.0 / et on obtient omme première estimation : C 5,8. 0 On reprend le alul préédent en remplaçant la valeur de départ nouvelle valeur, e ui onduit à une seonde estimation :.0 par ette

33 C 5,0. 0 Réinjetons ette nouvelle valeur dans le membre de droite. Le résultat est : C 5,6. 0 On est près de la onvergene. Une ultime itération donne : C 5,5. 0 La perte de harge est alors : 5,65 X ( 4 5, ( 44,8 +,) X 7700 Pa 0,77 bar ) + ( 4 0,4 ) + 0, b). Pompe La puissane utile de la pompe doit être égale à la puissane P µ dissipée dans l éoulement (FEMM, 7.4. et 7.4.4) : P P X u µ v Cette ormule est enore valable pour un iruit ave branhes en parallèle, v étant le débit total (FEMM, 7.6.) : Pu P u,4 W Commentaires Ce problème prend en ompte de nouveaux éléments : éhangeur multipasses, montage des tubes en parallèle, géométrie du aiseau, perte de harge. - Un alul approhé de la surae d éhange pourrait être onduit à partir du bilan d énergie sur le luide roid, en appliuant (6.5), soit : Φ k Σ ( < > < ). On a < > 0 C, > 50 C m m > <, soit 00.0 /[ 77,5 ( 0 50 )] Σ, e ui donne une surae d éhange de 99,75 m, au lieu de 0,7 m par la méthode NU (uestion 4a). L éart n est ue de %. Doit-on en déduire ue ette méthode est un rainement inutile? Certainement pas, d abord pare ue l éart n est pas toujours aussi modeste (ii, le NU est petit,. Problème 6), ensuite pare ue, en aumulant les approximations, on init par élargir sensiblement la marge d inertitude. - Le alul itérati du oeiient de rottement onverge toujours rapidement, même si l estimation de départ est un peu loin du résultat inal. - On peut être surpris par la aible puissane de la pompe, due en partiulier au ait ue la vitesse de irulation n est pas très élevée ( m/s). Mais il aut prendre aussi en ompte son rendement (rarement supérieur à 0,7) et tout le iruit dans leuel l éhangeur est inséré. Au bout du ompte, on arriverait ailement à une puissane réelle de à kw.

34 PROBLÈME N 0 : Condenseur Énoné On étudie un ondenseur de butane, destiné à produire 5 kg/s de butane liuide à partir d une vapeur saturante à la température v 50 C et à la pression p 5,08 bars. L appareil utilisé est un éhangeur à aiseau de tubes horizontal, à uatre passes ôté tubes. Ceux-i ont un diamètre intérieur d 5,75 mm et un diamètre extérieur D 9,05 mm. On dispose omme luide roid d une eau de rivière dont la température maximale est de 5 C en été, et ui ne doit pas subir un éhaument supérieur à 0 C. Elle irule à l intérieur des tubes. Les aratéristiues physiues du butane à p 5,08 bars sont données i-dessous : empérature ( C) 0 50 Chaleur latente de vaporisation L V (J/kg) 5.0 Condutivité thermiue phase liuide (W/m K) 0, 0,5 Visosité dynamiue phase liuide (kg/m s) 0,7.0 0,.0 Masse volumiue phase liuide ( kg / m ) Caluler le débit de luide roid m néessaire dans l éhangeur.. Quel est le débit-masse d eau ' m dans haue tube, le nombre de tubes N néessaire pour haue passe et le nombre total N t de tubes? (On se ixe une vitesse débitante V m/s dans les tubes).. Déterminer le oeiient d éhange h ôté luide roid. 4. On se base a priori sur une température moyenne de paroi ôté luide haud p 0 C. Déterminer uel est alors le oeiient d éhange moyen h à l extérieur des tubes (raisonner ii omme pour un tube seul). 5. En tenant ompte de la disposition des tubes en nappes vertiales (ui diminue h ) et de la résistane thermiue de la paroi, on admet inalement un oeiient global d éhange ôté butane : k 70 W / m K. Caluler la surae d éhange Σ néessaire. En déduire la longueur du aiseau de tubes. 6. La rugosité moyenne à l intérieur des tubes est ε 0,0 mm. Les oeiients de pertes de harge singulières sont donnés : ζ entrée ζ sortie, pour haue tube, ompte tenu de la orme des têtes de alandre. Caluler la perte de harge dans le iruit d eau et la puissane de la pompe ui doit assurer la irulation (en admettant pour elle-i un rendement global η 0, 6 ).

35 Solution. Débit d eau La puissane thermiue de l éhangeur se alule en érivant le bilan sur le luide haud : Φ m LV Φ W Sahant ue l on doit avoir s 0 C, le bilan sur le luide roid donne, dans la ondition la plus déavorable : Φ ( ) 0 t t s Φ / W / K Dans la gamme de température onsidérée pour l eau, débit minimal néessaire : m / 480 t m C p C p 480 J / kg K. D où le m 0 kg / s. Nombre de tubes Le débit-masse dans un tube est : π d ' m ρ S V ρ V 4 ave V m/s π ' m 0 (5,75.0 ) 4 ' m 0,9 kg / s Dans haue passe, les N tubes sont évidemment montés en parallèle, et le débit total s érit : N m ' m d où : N 0 / 0, 9 N 08 tubes par passe et ave uatre passes il y a au total : N t tubes. Coeiient d éhange ôté roid Pour aluler h on passe par l intermédiaire du nombre de Stanton, ui s exprime en ontion de Re et Pr. Conormément au 4..5, le nombre de Reynolds dans les tubes sera évalué à la température moyenne de mélange de l eau : m ( s + ) ave 5 C et s ( ) C m 0 C

36 D après (4.) : Re V d ν Les tables donnent la visosité inématiue de l eau à 0 C : ν 0,0.0 5 m / s 5, Re 00 : l éoulement est «turbulent lisse» ( Re < 0 ) ; 5 0,0 0 on alulera don St ave la ormule de Dittus - Boelter (4.) pour le luide roid : St 0,0 Re 0, Pr 0,6 Avant d entamer le alul, assurons-nous uand même ue les onditions de validité de la ormule sont respetées : - nombre de Prandtl : pour l eau à 0 C, Pr 7, don Pr > 0, 7. C est orret. - allongement des tubes L / d > 60? On ne sait pas. Admettons-le provisoirement. Nous verrons à la in. Don : St 0, 0,6 0,0 ( 00 ) 7 St et aussi en revenant à la déinition (4.6) : St h ρ C S agissant de l eau : ρ 0 kg / m et C p 480 J / kgk 4 h h 755 W / m 4. Coeiient d éhange ôté haud (butane) La ondensation se produit à l extérieur d un tube horizontal ; le oeiient moyen nous est donné par (5.) : 0,5 g l l L V h 0,75 ρ λ l D (v p ) ν Nous avons omme température moyenne de ilm : v + p F 40 C A ette température, les aratéristiues thermophysiues du butane sont obtenues en interpolant les valeurs données dans l énoné ; on trouve : ρ 554 kg / m l λ l 0,7 W / m K µ l ν 0,6.0 ρ l En outre : l 6 m / s LV 45.0 J / kg 50 C ; 0 C (valeur admise) v p p V

37 D 9,05.0 et le alul donne : h 800 W / m m K 5. Dimensions de l éhangeur La surae d éhange orrespondant à la valeur donnée de k est la surae ôté luide haud, est-à-dire à l extérieur des tubes. On a don, d après (6.5) et ave le résultat de la uestion : Σ (v m ) Φ k Σ Σ 8, m Σ est la surae extérieure des tubes, soit en appelant L la longueur d un tube (ui est aussi la longueur du aiseau) : Σ N t π D L et de e ait 8, L π 9,05.0 L,0 m Nous pouvons maintenant vériier ue la ormule donnant St a été orretement employée dans la uestion : nous avons ii L / d 00, don très supérieur à Perte de harge Dans une passe, les tubes sont montés en parallèle : la perte de harge X est don la même pour un tube et pour la passe (FEMM, 7.6. et ormule 6.78) soit : L V X p 4 C + Σζ ρ d où Σ ζ est la somme des oeiients de pertes de harge singulières. Dans e problème, Σ ζ, +,,4. Compte tenu de la valeur de Re, le oeiient de rottement est donné par la ormule de Blasius (FEMM. 7.8a) : 0,5 C 0,095 Re 0,006 On peut don se passer de la rugosité ε. C est une donnée surabondante. Pour les uatre passes, la perte de harge totale s établit à :,0 X 4 4 0,006 +,4 0 5,75.0 X Pa 0,57 bar D après FEMM (6.67a) et (7.7b), la puissane dissipée dans le iruit est : P X µ v En admettant ue l entrée et la sortie du iruit sont au même niveau, la puissane utile ournie par la pompe doit être égale à la puissane dissipée dans le iruit. On a don à partir de FEMM ( 7.4., 7.5.., et relation 7.55) : p

38 P P u X v m ave v 0, m / s et η 0, 6 η η ρ P 400 W Commentaires. L énoné ontient ertaines inormations ui ont pour but de ailiter la résolution du problème, mais ui doivent normalement être estimées par l ingénieur : il s agit du oeiient moyen d éhange k et de la température moyenne de paroi p. En ait, es deux grandeurs sont interdépendantes puisue la ormule ui donne k ontient p. Là omme dans d autres exemples ités, est une proédure itérative ui est à reommander : - première estimation de p - alul de h, k et du nombre de tubes - hoix de la disposition du aiseau et en partiulier du nombre de tubes dans une nappe vertiale, et réévaluation de k par (5.) - nouvelle évaluation de p et réitération du alul. Souvent, la onvergene est obtenue dès ette seonde étape.. Pour le alul de C, la ormule de Colebrook (FEMM, 7.0) est plus sûre, mais Blasius est plus rapide et donne ii un résultat très voisin.. La valeur de h relative à la ondensation du butane est nettement plus aible ue e ue l on obtiendrait ave de l eau.

39 PROBLÈME N : Éhangeur ompat Énoné On aborde l étude d avant-projet d un éhangeur ompat à ourants roisés, ave un luide brassé. L éhangeur est onstitué d une batterie de tubes parallèles, reliés par des ailettes perpendiulaires aux tubes et jouant le rôle d entretoises (ig. : vue de ae, et ig. : oupe longitudinale d un tube). On admettra ue les tubes sont de setion retangulaire (ig. : oupe transversale d un tube), disposés en uinone (ig. 4 : vue de dessus). Il s agit d un éhangeur air-eau. L eau irule dans les tubes, l air autour des tubes, entre les ailettes. Les dimensions du aisson sont : m (largeur) m (hauteur) 0,5 m (proondeur). Les autres dimensions sont portées sur les igures, en mm. L appareil omporte 786 tubes et 500 ailettes. Les aratéristiues aux entrées sont les suivantes : - pour l eau : C ; 8 kg / s m e 5 C ; m - pour l air : 4 kg / s FIG. P. FIG. P. FIG. P. FIG. P.4

40 . Déterminer le oeiient d éhange h ôté eau...a) Caluler le diamètre hydrauliue pour l éoulement de l air (la setion à prendre en ompte est la setion rontale de passage de l air, voir ig. )..b) La setion totale de passage de l air est S 0,78 m Re ôté air. Quelle est l inluene de la pression de l air? / Pr. Evaluer le nombre de Reynolds.) L abaue de la igure 5 donne St en ontion de Re. La température de réérene est la température moyenne de mélange m. Caluler le oeiient d éhange h ôté air. Comment est-il inluené par la pression de l éoulement? FIG. P.5. La surae d éhange Σ ôté luide haud est de ailettes. On admet pour es dernières une eiaité ε 0, m, dont 48 m pour les. Déterminer la ondutane globale K de l éhangeur (on néglige la résistane thermiue des parois). 4. Caluler l eiaité de l éhangeur 5. Caluler les températures de sortie pour l air et l eau. Vériier si les températures moyennes adoptées en ours de alul sont suisamment prohes des températures alulées. Solution. Coeiient d éhange ôté eau La première hose à aire est d estimer approximativement les températures de réérene pour évaluer ensuite les aratéristiues thermophysiues des luides. S il s avère à la in du problème ue ette estimation est trop imparaite, on reommenera en se basant ette ois sur les résultats du premier alul. Erivons déjà le bilan enthalpiue global : C ( ) C ( ) m p e s m p s

41 Les haleurs massiues varient peu ave. Prenons C p 007 J / kg K pour l air et C p 480 J / kg K pour l eau, soit ompte tenu des valeurs imposées aux débits : e ui donne 8 Un ordre de grandeur plausible serait 90 C et C, e ui respete à peu près le rapport de 8. Cela orrespondrait à des températures de sortie s C, d où des températures moyennes de mélange ( 4..5 ) : C ; m Nous partirons sur es bases-là. + 7,5 m C s 5 C et La setion du tube est retangulaire ( 4..., b mm, l 8 mm ) et Re est donné par (4.7) : V Dh bl 8 Re où D h,6 mm ν l + b 8 + La setion intérieure d un tube est : S 8 6 mm. Elle est parourue par un débit : v ' v 5,68.0 m / s nb. de tubes 786 d où une vitesse : 6 5,68.0 V 0,45 m / s Re est alulé à la température moyenne de mélange. A m 7,5 C, les tables numériues donnent pour la visosité de l eau : ν,06.0 On en déduit : Re m Re / s,6.0 6,06.0 L éoulement est don laminaire. 0,45 La ormule à utiliser pour aluler St est en prinipe (4.8) ou (4.9). Pour tranher, il aut omparer L / D et 0,04 Pe. D après (4.7) : ave a V D Pe a h h 6 0,4.0 m / s pour l eau à m 7,5 C, e ui donne : Pe. 0 Ii, L m, soit :

42 D h L Pe 000 0,05 > 0, 04,6 000 C est don la ormule «tubes longs» (4.9) ui s appliue, sous réserve ue les onditions sur Re, Pr et µ / µ soient bien vériiées, e ui est le as : 0,4 p 8, St µ Pe µ p En e ui onerne µ / µ p, on doit s attendre à une température moyenne de paroi p assez prohe de m puisue le oeiient d éhange ôté eau sera en prinipe beauoup plus élevé ue ôté air. En admettant + 0 C, on trouve µ / µ p,07 / 0, 88 d où une 0,4 p m orretion ( µ / µ p ), 0 ue l on pourrait à la rigueur négliger. On obtient inalement : 8, St,0.0 St 0, 77. 0, et alors : h h St ρ C p V 0, W / m K 0,45..a) Le nombre de Reynolds se alule dans un anal élémentaire, dont la setion est,5,9 mm (ig. ). Le diamètre hydrauliue est donné par (4.7) : D h l + D h,6 bl b mm,9,5.0 (,5 +,9 ) 0 6 V Dh µ.b) Nous avons ii : Re et ν ν ρ En admettant une bonne éuirépartition des débits dans les anaux, la vitesse est la même partout ; elle peut être alulée diretement à partir du débit et de la setion totale : m V, soit : ρ S m Dh Re µ S On ne nous préise pas la pression moyenne de l air, mais ela est sans importane ar la visosité dynamiue dépend très peu de la pression (propriété indiuée dans les tables numériues). Comme est le débit-masse m ui est ixé, Re est don indépendant de la pression.

43 .) Le alul doit être ait à la température moyenne de mélange, soit m 80 C. Alors : µ,08.0 Re,08.0 Re ,6.0 5 kg / m.s 0,78 L abaue donne approximativement : / St Pr 6,5. 0 Pour l air, le nombre de Prandtl est peu dépendant de : Pr 0, 7 St 6,5.0 0, 7 St 8,4. 0 / On a aussi : h m St ave ρ V G vitesse massiue (4.0) ρ C V S p De e ait nous n avons pas besoin de ρ et le oeiient h ne dépend pas de la pression : h St C p m S ave C p 007 J / kg (uestion ) Adonue : 8, h 0,78 h 49 W / m K. Les ailettes sont situées ôté luide haud. La ondutane globale est donnée par (6.8) et (6.6a) : K + h ( L a ) h Σ + ε Σ Σ a m ; L a ave Σ 48 Σ Σ Σ (surae latérale des tubes) 7 m ; ε 0, 86. Côté eau, la surae d éhange est la surae intérieure des 786 tubes : Σ périmètre m 786 (8 + ) 0 Σ 7,45 m Revenons à K : K + 49 (7 0,86 48 ) 7, K 970 W / K 786