Calcul du TAEG. Daniel Justens

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1 Calcul du TAEG Danel Justens HEFF/ÉconomqueTypeLong Cooremans IREM de bruxelles Place Anneessens, Bruxelles- Belgque Courrel: 1 Emprunt ordnare Consdérons un emprunt de montant (Cellule B1) remboursé par n(cellule D) mensualtés échelonnées de montant a(cellule B). L équaton d équlbre est: = a(1+) 1 +a(1+) +...+a(1+) n =F 1 () 1 (1+) n ) L dée est de remplacer la foncton désagréable F 1 () qu est une somme pondérée unformément d exponentelles par une exponentelle moyenne: F ()=K(1+) q OndétermneKdefaçonquelesdeuxfonctonsaentmêmeordonnéeen=0. Onsuppose eneffetquelasolutoncherchéeestvosnedecettevaleur. Onrésoudalors: dontontre F 1 (0)=F (0) K=na (Cellule F). Donnons à présent même tendance à ces deux fonctons au vosnage de 0. Mathématquement, l faut résoudre: F 1 (0)=F (0) F 1 ()= a(1+) a(1+) 3... na(1+) n 1 F 1 n(n+1)a (0)= a( n)= F ()= naq(1+) q 1 Et donc F (0)= naq F 1(0)=F (0) 1

2 lvre q 1 = n+1 =na(1+) q1 q 1 TAEG=(1+ 1 ) 1 1 (CelluleC5). Ilconventalorsd amélorerl échéancemoyenneendétermnantq defaçonà F 1 ( 1 )=F ( 1 ) F 1 ( 1 )=a(1+ 1 ) 1 +a(1+ 1 ) +...+a(1+ 1 ) n = a 1 ( 1 (1+1 ) n) (CelluleB7). Ondétermneq enrésolvant: qu donne F 1 ( 1 )=na(1+ 1 ) q na F 1( 1) q = (1+ 1 ) =F () q = Contrat de leasng Consdérons à présent un contrat de leasng pour un montant (Cellule B1) remboursé par n(cellule D) mensualtés échelonnées de montant a(cellule B)(les loyers) payables antcpatvement et assort d une opton d achat b (Cellule F) payable en fn de contrat. L équaton d équlbre devent: = a+a(1+) 1 +a(1+) +...+a(1+) n 1 +b(1+) n =F 1 () 1 (1+) n ) (1+)+b(1+) n L déeesttoujoursderemplacerlafonctondésagréablef 1 ()questunesommepondérée unformément d exponentelles par une exponentelle moyenne: F ()=K(1+) q

3 OndétermneKdefaçonquelesdeuxfonctonsaentmêmeordonnéeen=0. Onsuppose en effet comme plus haut que la soluton cherchée est vosne de cette valeur. On résoud alors: F 1 (0)=F (0) dontontre K=na+b (Cellule F). Donnons à présent même tendance à ces deux fonctons au vosnage de 0. Mathématquement, l faut résoudre: F 1 (0)=F (0) F 1()= a(1+) a(1+) 3... (n 1)a(1+) n nb(1+) n 1 F 1 (n 1)na (0)= a( n 1) nb= nb Etdonconentre F ()= (na+b)q(1+) q 1 F (0)= (na+b)q F 1(0)=F (0) lvre q 1 = (n 1)na +nb (na+b) =(na+b)(1+) q1 q 1 TAEG=(1+ 1 ) 1 1 (CelluleC5). Ilconventalorsd amélorerl échéancemoyenneendétermnantq defaçonà F 1 ( 1 )=F ( 1 ) F 1 ( 1 )=a+a(1+ 1 ) 1 +a(1+ 1 ) +...+a(1+ 1 ) n 1 +b(1+) n (CelluleB7)selonlaformuleétableplushaut. Ondétermneq enrésolvant: F 1 ( 1 )=(na+b)(1+ 1 ) q 3

4 qu donne na+b F 1 ( 1 ) q = (1+ 1 ) =F () +b = q 3 TAEG fnancement voture neuve Consdérons à présent le contrat type de fnancement voture neuve pour lequel la dernère mensualté est généralement nettement supéreure à toutes les précédentes. On consdére commeplushautunmontantfnancé (CelluleB1)rembourséparn(CelluleD)mensualtés échelonnées de montant a(cellule B) payables à terme échu et assort d un derner remboursement b(cellule F) payable en fn de contrat. L équaton d équlbre devent: = a(1+) 1 +a(1+) +...+a(1+) n +b(1+) n 1 =F 1 () 1 (1+) n ) +b(1+) n 1 L dée est encore une fos de remplacer la foncton désagréable F 1 () qu est une somme pondérée unformément d exponentelles par une exponentelle moyenne: F ()=K(1+) q OndétermneKdefaçonquelesdeuxfonctonsaentmêmeordonnéeen=0. Onsuppose en effet comme plus haut que la soluton cherchée est vosne de cette valeur. On résoud alors: F 1 (0)=F (0) dontontre K=na+b (Cellule F). Donnons à présent même tendance à ces deux fonctons au vosnage de 0. Mathématquement, l faut résoudre: F 1 (0)=F (0) F 1()= a(1+) a(1+) 3... na(1+) n 1 (n+1)b(1+) n F 1(0)= a( n) (n+1)b= na(n+1) F ()= (na+b)q(1+) q 1 (n+1)b 4

5 Etdonconentre lvre q 1 = F (0)= (na+b)q F 1(0)=F (0) n(n+1)a +(n+1)b (na+b) =(na+b)(1+) q1 +b q1 TAEG=(1+ 1 ) 1 1 (CelluleC5). Ilconventalorsd amélorerl échéancemoyenneendétermnantq defaçonà F 1 ( 1 )=F ( 1 ) F 1 ( 1 )=a(1+ 1 ) 1 +a(1+ 1 ) +...+a(1+ 1 ) n +b(1+) n 1 (CelluleB7)selonlaformuleétableplushaut. Ondétermneq enrésolvant: qu donne F 1 ( 1 )=(na+b)(1+ 1 ) q na+b F 1 ( 1 ) q = (1+ 1 ) =F () +b = q 5