f(x)dx converge lorsque t tend vers. a f(x)dx. f(x)dx. a t a + f(x)dx. sin(x) dx. cos(x)

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1 le 7 Ocobre 2 UTBM MT26 Arhur LANNUZEL hp ://mhubml.free.fr Les inégrles générlisées Définiions-propriéés Définiion. i) Soi f : [, b[ R coninue, elle que lim b f() = ±. f()d es convergene ssi f()d converge lorsque end vers b. f()d := lim b f() ii) Soi f :], b] R coninue, elle que lim + f() = ±. f()d es convergene ssi f()d converge lorsque end vers +. f()d := lim + f() iii) Soi f : [, + [ R coninue. On di que On noe lors f()d es convergene ssi f()d := lim + f() iv) Soi f : [, b] R coninue. f()d converge lorsque end vers +. f()d es convergene ssi f()d converge lorsque end vers. f() f()d := lim Eemples.2 (+(ln()) 2 ) d e π 2 cos() Remrque.3 ATTENTION! Si une inégrle es plusieurs fois impropre, elle converge si chcune des limies convergen. i.e. Si f :], b[ R vec, b R {± } lors E. 3 f()d converge pour c ], b[, c f()d e c Remrque.4 Si f es prolongeble pr coninuié u poin problémique, on es rmené à une inégrle de Riemnn.

2 2 Eemple : I = Remrque.5 ATTENTION! Il n y ps de lien générl enre l limie de f u poin problémique e l convergence de l inégrle. 2 Eude d inégrles générlisées pr comprison. Soien f, g : [, b[ R coninue (b R { } e [, b[, f() g()). On lors [, b[, f()d g() Mis f()d es une foncion croissne cr s dérivée es posiive, donc : g()d converge = Remrque 2. Le résul précéden es vlble pour g() f(). On uri églemen pu prendre f, g :], b] R + vec R { }. Eemples 2.2 ) Eudier 2. d = 2 2) Eudier l convergence de e 2 Crière de Riemnn. Eercice 2.3 ) 2) d converge ssi α <. α d converge ssi α >. α Proposiion 2.4 Soi f : [, + [ R, posiive. ( α > / lim + α f() = ) = ( α / lim + α f() = + = 2. d f()d diverge.

3 3 Si lim + α f() =, il eise A, M R + el que A, α f() M. Donc, sur [A, + [, on f() M α don l inégrle converge si α >. Eemples 2.5 convergence de e β d (β > ) e 2 Remrque 2.6 L réciproque es fusse. E. ln() De l même fçon, on monre l Proposiion 2.7 Soi f :], b] R, posiive. ( α < / lim ( ) α f() = ) = ( α / lim ( ) α f() = + ) = d. ln() f()d diverge. Eemples 2.8 Appliquer ce résul à 2 ln() β d (β R) e e 3 Inégrles impropres e foncions équivlenes. Théorème 3. Soien f, g : [, b[ R coninue (b R { }) elles que f b g e f de signe consn sur [c, b[ (c < b). On g()d converge Supposons f sur [c, b[. f = ( + ϵ(.))g vec ϵ() qui end vers qund end vers b, donc pour ssez proche de b,.g() f() 2.g(). D où le résul pr comprison. 2 Remrque 3.2 On uri pu considérer f, g :], b] R + vec R { } e f de signe consn sur [, c[ ( < c). Eercice 3.3 Eudier l convergence suivn p, n N de n + n p

4 4 Inégrles bsolumen convergenes e semi-convergene. Définiion 4. Une inégrle f()d es die bsolumen convergene ssi f() d es convergene. Eemples 4.2 sin() d converge. 2 Proposiion 4.3 Une inégrle bsolumen convergene es convergene. f + = m(f, ), f = min(f, ), lors f = f + + f e f + f, f f d où le résul. Inégrles semi-convergene. Définiion 4.4 Une inégrle es die semi-convergene si elle converge mis n es ps bsolumen convergene. DESSIN (compension) Eercice 4.5 Equivlens e foncions lernées. ) Monrer que d es convergene. L es-elle bsolumen? b) Eudier l convergence de d e.( + ) Que peu-on en déduire sur l éude d une inégrle générlisée e l équivlence? Remrque 4.6 ATTENTION Le crière d équivlence n es ps vlble pour les foncions de signe non consn. Voir eo ci-dessus. Théorème 4.7 (pei héorème d Abel) +.f()d, vec f() posiive décroissne vers, converge. Supposons n π..f()d = lim n.π b + n.f()d si cee limie eise. π.f()d = n b (k+)π n π k=n.f()d +.f()d n b π (où n b es el que (n b + )π b e (n b + 2).π > b). De plus.f()d f(n n b π bπ)π e f(n b π)π qui end vers qund b end vers +. Il suffi donc de vérifier que n b k=n (k+)π.f()d converge : [, (k + )π], f((k + )π) f() f(). donc (k+)π d (le sens de l encdremen dépend de l p-.f()d = f(c k ) (k+)π d f((k+)π) (k+)π d e f() (k+)π rié de k). Donc il eise c k [, (k+)π] el que (k+)π (Théorème des vleurs inermédiires)..f()d es comprise enre 4

5 5 Finlemen.f()d = + k= ( )k f(c k ), vec (f(c k )) k N décroissne. D où l convergence (voir chp. sur les séries numériques). En ffinn l preuve ci-dessus, on peu démonrer églemen le Théorème 4.8 (Théorème d Abel) (dmis) Soi f() une foncion posiive e décroissne vers sur [, + [. Soi g une foncion coninue dmen une primiive bornée sur [, + [ (i.e. M R, [, + [, g()d < M). Alors f()g()d converge 5 Eemples de foncions définies pr une inégrle. 5. Foncions définies pr f() = g()d. Soi g : [, b[ R coninue. Alors pour c [, b[, f : [, b[ R définie pr f() = c g()d es C. On f () = g(). Eercice 5. Dériver f() = Inégrle de Guss. cosh() d e g() = 2 G() = e 2 d. ln() On défini les foncions f, g sur R + pr f() = [ e 2 d] 2 e g() = e (2 +) 2 d. + 2 ) Monrer que f + g = en uilisn le héorème de dérivion ci-dessous (dmis). Théorème 5.2 Soi (, ) f(, ) coninue sur I [, b] (I inervlle non-vide e non rédui à un poin) elle que f eise e es coninue sur I [, b]. Alors F () = f(, )d es de clsse C sur I e F () = f (, )d. b) Déerminer f + g. En déduire e 2 d puis e 2 d. 5.3 Foncion Gmm. VOIR TD