Le Filtrage analogique

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1 L Filtrag analogiqu CNM 6-7 LD-P

2 CNM 6-7 LD-P

3 Sommair : ôl 6 Différnt typ d filtr 6 Filtr à capacité commuté 7 Calculatur 8 appl ur la théori du filtrag 8 Notion d fonction d tranfrt 8 Notion d fonction d atténuation 8 Filtr rél Gabarit 8 4 Notion d élctivité t d band rlativ 9 5 Notion d tmp d propagation d group 6 préntation n diagramm d Bod 6 Convntion d la rpréntation 6 Graduation logarithmiqu d la fréqunc 6 préntation ur d échll mi-log 64 préntation ur d échll mi-log 65 Caractéritiqu d l argumnt 4 Filtr paif 4 Filtr paif pédagogiqu 4 Filtr pa ba 4 Contitution 4 Fonction d tranfrt 4 Form général 44 préntation 45 L modul 46 L argumnt 47 Tracé 48 Pulation d coupur 4 Filtr pa ba du duxièm ordr LC 4 4 Contitution 4 4 Fonction d tranfrt 4 4 Form général 4 44 Étud du polynôm du dénominatur 4 44 Factoriation 4 44 Intérêt d la factoriation 5 44 Surtnion 7 4 Filtr pa ba du duxièm ordr par la mi n cacad d prmir ordr 9 4 Contitution 9 4 Fonction d tranfrt 9 4 Tracé 9 44 Filtr pa haut du prmir ordr 44 Contitution 44 Fonction d tranfrt 44 Form général 444 Tracé CNM 6-7 LD-P

4 45 Filtr pa haut du duxièm ordr 45 Contitution 45 Fonction d tranfrt 45 Form général 454 Tracé 46 Filtr pa-band 4 46 Contitution 4 46 Fonction d tranfrt, form général 5 46 Détrmination t caractériation 5 46 Pulation d coupur 5 46 Sélctivité du filtr Pa band LC Pa band par aociation d un pa haut t d un pa ba Pont d Win 8 47 Filtr réctur d band : l circuit bouchon 8 47 Contitution 8 47 Fonction d tranfrt 8 47 Form général Tracé 8 48 Pa tout 48 Fonction 48 Montag 48 Fonction d tranfrt 484 Form général 485 pplication: lign à rtard 49 Tablau d form canoniqu 4 Filtr paif polynomiaux : ynthè d filtr 4 Dcription d la démarch 4 Normaliation 4 Normaliation n fréqunc Pa-ba normalié 4 4 Normaliation d impédanc 4 4 pplication : normalir c filtr 4 44 Univralité du filtr pa ba 5 4 Fonction d tranfrt d filtr analytiqu 4 4 Détrmination d un fonction d tranfrt d Buttrworth 4 4 Détrmination d un fonction d tranfrt d Chbychff 4 4 Détrmination d un fonction d tranfrt d Bl Comparaion d répon d pluiur typ d filtr Détrmination d élémnt du filtr pa-ba univrl Structur n T t matric admittanc Utiliation Filtr d ordr pair Filtr d ordr impair écapitulatif 5 45 Dénormaliation 5 4 Filtr actif 5 4 Dénormaliation 5 4 Structur du prmir ordr 5 4 Pa-ba invrur 5 4 Pa-ba non invrur 5 4 Pa-haut 5 4 Structur du duxièm ordr 5 CNM 6-7 LD-P 4

5 4 Pa-ba 5 4 Pa-haut 5 4 Pa-band 5 44 éctur Structur d auch Structur pa-ba d auch Structur pa-haut d auch Structur pa-band d auch Structur d Salln-ky Structur pa-ba d Salln-ky Structur pa-haut d Salln-ky 6 46 Structur pa-band d Salln-ky 6 5 Mmo Buttrworth - Tchbychff - Bl 6 Bibliographi 64 CNM 6-7 LD-P 5

6 OLE Il n t pa un ytèm élctroniqu qui n fa appl à, au moin, un filtr La plupart n comport n grand quantité L filtrag t un form d traitmnt d ignal, obtnu n nvoyant l ignal à travr un nmbl d circuit élctroniqu, qui modifint on pctr d fréqunc t/ou a pha t donc a form tmporll Il put agir oit : - d éliminr ou d affaiblir d fréqunc parait indéirabl - d iolr dan un ignal complx la ou l band d fréqunc util pplication : ytèm d télécommunication (téléphon, téléviion, radio, tranmiion d donné ) ytèm d acquiition t d traitmnt d ignaux phyiqu (urvillanc médical, nmbl d mur, radar ) alimntation élctriqu DIFFEENTS TYPES DE FILTES On cla l filtr n dux grand famill : NLOGIQUE t NUMEIQUE L filtr numériqu ont réalié à partir d tructur intégré microprogrammabl (DSP) Il ont totalmnt intégrabl, oupl t prformant Il ont utilié chaqu foi qu c t poibl Il ont pour l intant limité à d fréqunc pa trop élvé ( < MHz ) On n l utilira pa i on doit limitr la conommation t il nécitnt un pré-filtrag pour évitr l rplimnt pctral avant la numériation du ignal t un pot-filtr d liag divint ux mêm n pluiur catégori : - l filtr paif qui font appl ntillmnt à d inductanc d haut qualité t d condnatur Juqu dan l anné 7, c était l ul filtr conçu Il ont actullmnt utilié pour l haut fréqunc (utiliation d quartz) - l filtr actif ont contitué d condnatur, d réitanc t d élémnt actif qui ont ntillmnt d IL Il ont moin ncombrant, facil à concvoir t moin coûtux qu l filtr paif mai rtnt limité n fréqunc ( < MHz à cau d l IL) Il conommnt plu t nécitnt un ourc d alimntation marqu : Dpui l début d anné 8 ont apparu d filtr actif à capacité commuté Il prmttnt d programmr la fréqunc d coupur t d êtr intégrabl CNM 6-7 LD-P 6

7 TYPE COMPOSNTS SPECIFITES Filtr numériqu Circuit logiqu intégré Signaux numérié F < MHz convint n grand éri ntièrmnt programmabl Filtr paif Circuit dicrt L t C, Compoant piézoélctriqu (quartz) F élvé pa d alimntation non intégrabl Filtr actif Filtr à capacité commuté IL, t C IL, Intrruptur commandé MOS, t C intégré F < MHz boin d alimntation tnion filtré faibl < F < qq MHz boin d alimntation intégrabl fréqunc programmabl Filtr à capacité commuté Un d plu connu t l MF Pha :S frmé, S ouvrt : u c v t Q C v Pha :S ouvrt, S frmé : u c v t Q C v Sur un cycl (un périod d la fréqunc d commutation d intrruptur), il a circulé ntr Q v t v Q Q Q ; or i Q C( v v ) t t on a alor i C( v v )f t f donc v v i q i Cf avc q Si f vari, alor q vari : cla va nou Cf prmttr d réalir d filtr adaptatif CNM 6-7 LD-P 7

8 Calculatur L cœur du montag put êtr compoé d un DSP, d un microprocur ou d un tructur câblé (FPG ou CPLD) Contraint : pct du théorèm d Shannon ( T ) f L tmp d calcul Tc doit êtr plu ptit qu T Plu T c rapproch d T, plu on dépha la orti vi-à-vi du ignal d ntré PPELS SU L THEOIE DU FILTGE Notion d fonction d tranfrt H L comportmnt d un filtr t défini par l étud fréquntill d la fonction d tranfrt ntr la tnion d orti t la tnion d ntré du filtr H ( ) H log db ϕ rgumnt[ H ( ) ] Notion d fonction d atténuation Parfoi, on préfèr définir un filtr par rapport à l atténuation qu il amèn ur la grandur d ntré : ( ) H ( ) Filtr rél Gabarit Un filtr idéal prént : - un affaiblimnt nul dan la band d fréqunc qu l on déir conrvr (Band paant) - un affaiblimnt infini dan la band qu l on déir éliminr (Band atténué) Il t impoibl pratiqumnt d réalir d tl filtr ui contnt-t-on d approchr ctt répon idéal n : - conrvant l atténuation infériur à max dan la band paant - conrvant l atténuation upériur à min dan la band atténué Cla conduit aini à définir un gabarit définiant d zon intrdit t d zon dan lqull dvront impérativmnt itur l graph rpréntant l atténuation du filtr n fréqunc Suivant l typ d répon qu l on déir obtnir, on t amné à définir 4 famill d filtr : CNM 6-7 LD-P 8

9 (db) Pa-ba (db) Pa-haut f p f a f f a f p f (db) Pa-band (db) Coup-band f f f a- f P- f P f a f P- f a- f a f P 4Notion d élctivité t d band rlativ u liu d conrvr xplicitmnt l fréqunc frontièr comm paramètr d calcul, il t plu impl t plu parlant d lur ubtitur l paramètr équivalnt (mai an dimnion ) qu ont la élctivité k t la largur d band rlativ B Typ d filtr Sélctivité k Band rlativ B Fréqunc d référnc Pa-ba f f p a fp Pa-haut f f a p fa Pa-band f f p a f f p a f p f o f p fo Coup-band f f a p f f a p f a f o f a fo Pour un filtr trè élctif, k tnd vr CNM 6-7 LD-P 9

10 5Notion d tmp d propagation d group Il t défini par : τ dϕ d Il caractéri l rtard apporté par l filtr ur l différnt harmoniqu du ignal d ntré Pour n pa apportr d ditorion, il faut qu chaqu harmoniqu oit déphaé d ϕ proportionnl à marqu : pour un ignal audio, il faut qu il oit contant 6 préntation n diagramm d Bod 6 Convntion d la rpréntation Ell ont au nombr d dux : l échll d fréqunc ou d pulation t logarithmiqu la courb d modul t gradué n décibl : db ( H log db ) 6 Graduation logarithmiqu d la fréqunc Dan c typ d graduation il y a autant d ditanc ntr t qu ntr t 4 t qu ntr t 4 Dan c typ d graduation, l n apparaît amai, il t rté à l infini à gauch On put gradur ct abci n fréqunc, n pulation, n pulation réduit ou n p 6 préntation ur d échll mi-log L modul n décibl t l argumnt ont rprénté ur du papir mi logarithmiqu : graduation linéair n ordonné t logarithmiqu n abci Mai n réalité, l fait d tracr la rlation H log db va conférr au ytèm un rpréntation «log - log» 64 préntation ur d échll mi-log C typ d rpréntation rprént un doubl avantag : Ell prmt d fair un comprion d donné n prérvant la rpréntation d faibl valur n Tout monôm ( f ( x) ax ) rprént par un droit dont la pnt dépnd d on dgré On profit égalmnt d propriété du log n ordonné, l produit traduiant par un omm : l omm graphiqu ont trè facil à traitr 65 Caractéritiqu d l argumnt Ell n t pa touché n ordonné, l abci t touour logarithmiqu La propriété d l argumnt (argumnt d Barg arg B) traduit par un omm graphiqu dan bod CNM 6-7 LD-P

11 CNM 6-7 LD-P 4 FILTE PSSIF 4 Filtr paif pédagogiqu 4 Filtr pa ba 4 Contitution 4 Fonction d tranfrt C L 4 Form général Par idntification on trouv : t C ou L 44 préntation Modul : rgumnt : arg ϕ ( ) arctg arctg arctg 45 L modul En décibl : db log log log Limit n : db lim : on a un aymptot horizontal à db

12 Limit à l infini : lim : Si on parcourt un décad : d à db db : log log : log : log log log log L paag d un décad à l autr rtir db à l aymptot : nou avon un aymptot à db / décad marqu : - i on multipli par la fréqunc, la pnt t la mêm mai xprim par 6db / octav db / décad - La droit aymptotiqu pa par db pour (mai pa la courb réll) Pour la courb réll : pour, log log 46 L argumnt Limit n : limϕ : on a un aymptot horizontal n π Pour, ϕ 4 db ( ) db Limit à l infini : lim π ϕ : on a un aymptot horizontal n 47 Tracé π H ( ) db log arg H ( ) log CNM 6-7 LD-P

13 48 Pulation d coupur Dan la pratiqu, la coupur n t pa aui ntt qu dan l filtr idéaux On conidèr qu la pulation d coupur t attint i l atténuation a diminué d un crtain nombr d db par rapport au platau Par référnc aux filtr du prmir ordr, l calcul d la pulation d coupur fait, auf préciion contrair, pour un atténuation d db c H ( c ) db db àc db au platau db Cla rvint au calcul uivant an l décibl : c platau Si la coupur t calculé à 6db, la diviion ra par 4 au liu d On n doit pa confondr coupur t caur Pour un prmir ordr : platau : on n tir qu db à c, c-a-d qu c c c Dan un prmir ordr, pulation d coupur ( c ) t caur ( ) ont confondu Pour l filtr d ordr upériur, c < CNM 6-7 LD-P

14 4 Filtr pa ba du duxièm ordr LC 4 Contitution 4 Fonction d tranfrt C L C C LC 4 Form général m Par idntification on obtint : m: cofficint d amortimnt t t la pulation propr On rmarqu qu L t C règl t qu i t variabl d à l infini t m ont pratiqumnt indépndant 44 Étud du polynôm du dénominatur 44 Factoriation m t un polynôm du cond dgré n qu l on put chrchr à factorir ou la form, avc t rél Par idntification, on m ± m i m montr qu :, ( ) CNM 6-7 LD-P 4

15 Si m, t la moynn géométriqu d t Sur un échll logarithmiqu, t ront placé d part t autr d t d façon ymétriqu 44 Intérêt d la factoriation Si m, on put écrir : Soit n décibl : log log db Pour l modul n db on put additionnr dux courb du prmir ordr dont on put donnr l diagramm aymptotiqu CNM 6-7 LD-P 5

16 CNM 6-7 LD-P 6 Pour l argumnt on a : arg ϕ arctg arctg :

17 44 Surtnion Si m < on n put pa factorir, on n put travaillr qu avc un diagramm aymptotiqu à dux aymptot (horizontal à db t pui un droit à 4db / décad ) On contat qu, uivant l valur d m, on put aitr à un urtnion n orti du à d condition d fonctionnmnt proch d un phénomèn d réonanc marqu : i on prnd, alor m m On put contatr qu i m < alor la valur fficac d > On aura aui t n quadratur On put alor xtrair m : on rmarqu qu pour ctt pulation m En pratiqu, l détction d ignaux n quadratur t facil, c qui prmt n un point d mur d détrminr t m Pour étudir l phénomèn d urtnion, il uffit d analyr l variation d notr fonction d tranfrt t d détctr un xtrmum On montr qu ctt urtnion t poibl i m, il a liu pour max m t c maximum vaut m m max CNM 6-7 LD-P 7

18 En récapitulatif : m Décompoabl non non non non oui oui oui ( m m ( m m ) Surtnion oui oui oui non non non non max m Maximum m m CNM 6-7 LD-P 8

19 4 Filtr pa ba du duxièm ordr par la mi n cacad d prmir ordr 4 Contitution 4 Fonction d tranfrt On montr qu C ( C) Par idntification à on trouv : t m C m On put donc l mttr ou la form : 5 5 avc d t C C 4 Tracé CNM 6-7 LD-P 9

20 44 Filtr pa haut du prmir ordr 44 Contitution 44 Fonction d tranfrt C C L L CNM 6-7 LD-P

21 44 Form général 444 Tracé Par idntification on trouv : t C ou L rgumnt : π ϕ arg π arctg Il uffit d aoutr au trm d un pa ba CNM 6-7 LD-P

22 CNM 6-7 LD-P 45 Filtr pa haut du duxièm ordr 45 Contitution 45 Fonction d tranfrt LC C LC 45 Form général m Par idntification on trouv : t LC t L C m 454 Tracé db 4 log 4log m C t la omm du pa ba du duxièm ordr avc un droit d décad 4db / paant par db pour

23 Pour l argumnt, l numératur amèn un déphaag d π par rapport au filtr pa ba du duxièm ordr CNM 6-7 LD-P

24 Pour différnt valur d m on obtint : 46 Filtr pa-band 46 Contitution L filtr pa-band ont contitué d dux parti : - un parti qui fait chutr la tnion d orti à ba fréqunc, - un parti qui fait chutr la tnion d orti à haut fréqunc On pourra avoir un pa-band avc : - un circuit LC, - un aociation n cacad d un pa-haut t d un pa-ba, - d montag pécifiqu CNM 6-7 LD-P 4

25 46 Fonction d tranfrt, form général 46 Détrmination t caractériation 46 Pulation d coupur m La band paant t la plag d fréqunc ou d pulation compri ntr l fréqunc ou l pulation d coupur C dux valur marqunt la band paant du filtr L pulation d coupur ont calculé à partir d la valur maximal d La pulation max prmttant d accédr au maximum obtint n tranformant m m L maximum t attint pour max, alor m max La calcul d pulation d coupur fait généralmnt à db ini on a : platau Ci 8m Ci 4m Ci Par réolution d l équation (équation du nd ordr) on obtint : Ci C ( ( m ) m) t ( m ) On put rmarqur qu : C C géométriqu d pulation d coupur ( m) C : L maximum produit pour la moynn CNM 6-7 LD-P 5

26 46 Sélctivité du filtr Un grandur important pour un filtr pa band t a élctivité Ell t noté par l cofficint d qualité Q C C m m m m 464 Pa band LC ( ( ) ) ( ) ( ) m On a la fonction d tranfrt : C L C LC C Par idntification à la form canoniqu : on a : m LC, C C m t m L L Tout l courb pant au point db pour : c t la réonanc éri d courant où l impédanc d L t C annulnt réciproqumnt, l nmbl L t C comportnt comm un fil t CNM 6-7 LD-P 6

27 Tout l courb n ont pa l mêm diagramm aymptotiqu Par xmpl, i m, on m put écrir : avc, ( m ± m ) Pour m, on a un ytèm à quatr aymptot : 465 Pa band par aociation d un pa haut t d un pa ba C On obtint la fonction d tranfrt uivant : C C ( ) CNM 6-7 LD-P 7

28 Par idntification à la form canoniqu : m avc :, m t C 466 Pont d Win C On obtint la fonction d tranfrt uivant : C C ( ) d tranfrt réultant d l aociation d un pa haut t d un pa ba ; c-a-d la fonction 47 Filtr réctur d band : l circuit bouchon 47 Contitution 47 Fonction d tranfrt 47 Form général LC L LC m Par idntification à la form canoniqu on obtint : : LC, L m C t 474 Tracé L diagramm ci-dou on été calculé pour m La valur à t n réalité à L cofficint d qualité Q,5 c c m CNM 6-7 LD-P 8

29 L argumnt : CNM 6-7 LD-P 9

30 CNM 6-7 LD-P 48 Pa tout 48 Fonction On chrch à déphar l ignal d orti par rapport au ignal d'ntré 48 Montag 48 Fonction d tranfrt C C C C C

31 CNM 6-7 LD-P Dont on tir: ct ( ) ϕ C rg arctan La tnion d orti t donc déphaé par rapport à la tnion d'ntré 484 Form général 485 pplication: lign à rtard Si l ignal d'ntré t périodiqu d fréqunc f, i a décompoition n éri d Fourir t tll qu l harmoniqu l plu ignificativ 'arrêtnt au rang i t nfin i C f i i << π, on a alor ' ϕ C vc : () ( ) ( ) ( ) i i t i E t E t E E t v θ θ θ in in in On a : () ' in ' in ' in θ θ θ i t i E t E t E E t v i i i i t i E t E t E E θ θ θ ' in ' in ' in On contat qu l ignal d orti t décalé dan l tmp d C ' : () ( ) C t v t v

32 CNM 6-7 LD-P 49 Tablau d form canoniqu Typ Form canoniqu Pa ba du r ordr Pa ba du nd ordr m: cofficint d amortimnt m Pa haut du r ordr Pa haut du nd ordr m Pa band Factur d qualité c c Q m Coup band (réctur) Factur d qualité c c Q m Pa tout L trm m put mttr ou la form : avc ( ), ± m m i m D plu, i m alor on montr pour qu pour un pa ba ou un pa haut du nd ordr il va y avoir un urtnion n orti à max m : max m m

33 4Filtr paif polynomiaux : ynthè d filtr L but t d êtr capabl d dimnionnr, uivant un gabarit d filtr donné, un filtr oit avc d compoant paif, oit avc d compoant actif (rpctivmnt filtr dit paif t filtr dit actif ) Cla prmt d choiir l typ d répon du filtr d tll ort qu il adapt au miux aux boin 4Dcription d la démarch Normaliation du filtr Choix du typ d répon Calcul d la tranmittanc normalié Choix du typ d filtr (paif ou actif) Dimnionnmnt du filtr normalié Dé-normaliation 4 Normaliation 4 Normaliation n fréqunc Ell conit à choiir comm unité d fréqunc, non plu l Hrtz, mai un fréqunc d référnc aocié au gabarit On utili généralmnt la fréqunc d coupur : - fp pour l filtr pa-ba - fa pour l filtr pa-haut - fo pour l filtr pa-band t coup-band On ai l plu ouvnt poibl d ymétrir l gabarit d filtr coup-band t paband CNM 6-7 LD-P

34 (db) Pa-ba normalié 4 Normaliation d impédanc k f Chaqu domain d l élctroniqu poèd on impédanc caractéritiqu : ignal d intrumntation : 5 Ω téléviion : 75 Ω téléphon TC : 6 Ω On va normalir l différnt élémnt paif du filtr par rapport à ctt impédanc caractéritiqu a) éitanc : on rmplac par r n ; u ( c réitanc d charg du u filtr) corrpond au domain utilié b) Inductanc : la normaliation fait à t par rapport à Lu En fft, on put définir un lf unité c) Capacité : la normaliation fait à t par rapport à On définit d mêm un capacité unité : C 4 pplication : normalir c filtr u u u u : u : L L λ n L C γ n C u C u u u On prnd 5Ω t 5Ω, L µ H t C nf c C C LC L C 6 7,7 rad / oit f,5mhz LC CNM 6-7 LD-P 4

35 L u u u LC 7,7µ H λ n LC C C u,8nf γ n u u C érification : γ nλ n n Complémnt : Quand 44 Univralité du filtr pa ba u L L n u n u,8,5 l factur d urtnion Q L obctif d la normaliation d un filtr t d ramnr l étud d tout l typ d filtr (pa ba, pa haut, pa band, coup band) à l étud d un filtr pa ba afin d facilitr l calcul C t un implification conidérabl qui utifi à ll ul qu l on rchrch à rpréntr l pécification d un filtr par un gabarit implifié ymétriqu En fft, c tranformation appliqunt aui bin aux gabarit qu aux fonction d tranfrt t aux impédanc (on put vérifir qu ll n modifi pa la élctivité) La normaliation fait comm défini dan l tablau ci aprè : λ n γ n CNM 6-7 LD-P 5

36 Typ d filtr Pa ba Gabarit rél Normaliation Normaliation d fréqunc : f f On défini la pulation normalié : x Normaliation d compoant : - Soit c la réitanc d charg du filtr - On définit l réitanc normalié (uniqumnt pour l circuit paif) : n c Inductanc t capacité unité : (uniqumnt pour l circuit paif) L changmnt d variabl précédnt impo d valur pour : l inductanc unité : L u c la capacité unité : C u c L - Inductanc normalié : λ n L - Capacité normalié : γ n C C u u CNM 6-7 LD-P 6

37 Typ d filtr Gabarit rél Normaliation Pa haut Pulation normalié : x Tranformation : S x X x La réitanc normalié t n : n L inductanc vont tranformr n capacité, aini : c L capacité vont tranformr n inductanc, aini : CNM 6-7 LD-P 7

38 Typ d filtr Gabarit rél Normaliation Pa band L gabarit t ymétriqu (au n d logarithm) par rapport à f aini : f f f f ' f ' Si ll n t pa ymétriqu, on prnd la contraint la plu fort On définit X comm : ' f f f ' f X f ' ( f f ) f ' ( f f ) On définit x (largur d band rlativ) t k (élctivité) : f f x f k Tranformation : x X x f f f ' f ' S x x x f f ( f f ) f Ctt tranformation impliqu qu : L inductanc va êtr changé par un capacité n éri avc un inductanc : La capacité va êtr changé par un inductanc n parallèl avc un capacité : CNM 6-7 LD-P 8

39 Typ d filtr Coup band Gabarit rél Normaliation L gabarit t ymétriqu (au n d logarithm ) par rapport à f aini : f f f f ' f ' On définit X comm : f ' f ' X f f On définit x : f ' f ' x f x Tranformation : S x f ( f ' f ' ) x X f f x x Ctt tranformation impliqu qu : L inductanc va êtr changé par un capacité n parallèl avc un inductanc : La capacité va êtr changé par un inductanc n éri avc un capacité CNM 6-7 LD-P 9

40 4 Fonction d tranfrt d filtr analytiqu Pour un gabarit pa ba donné, il xit un infinité d olution Lorqu l on vut dimnionnr un filtr, on n ait calculr analytiqumnt qu un ptit nombr d fonction caractéritiqu convnant à la réaliation d c gabarit L différnt fonction qu l on put utilir fixront l propriété phyiqu d notr filtr L plu connu t utilié ont l filtr polynomiaux : la fonction d tranfrt d c filtr t un polynôm (du mêm ordr qu l ordr du filtr) Exmpl : Buttrworth, Chbychff, Lgndr, Bl K H p La fonction d tranfrt ra d la form : ( ) Détrmination d H ( p) : Par calcul d pôl (x : Buttrworth) Par récurrnc (x : Chbychff ou Bl) ( p p )( p p )( p ) C filtr n préntnt pa d zéro d tranmiion à d fréqunc fini (dan la band paant nominal théoriqu du filtr) Un autr form d fonction d tranfrt, l filtr lliptiqu Il préntnt d zéro d tranmiion à d fréqunc fini Exmpl : Caur pplication typiqu : n TC Filtr d Buttrworth - ordr élvé i l on vut un grand élctivité (pb d réaliation) - pa d ondulation dan la band paant - tmp d propagation d group # contant (déphaag quai linéair) Filtr d Tchbychff - ordr plu ptit pour un grand élctivité - i l ordr t n, il prént n ondulation dan la band paant - tmp d propagation d group non contant (déphaag non linéair) Filtr d Bl - coupur plu douc - tmp d propagation d group contant (déphaag linéair) - minimiation d ditorion Filtr d Caur - Filtr à coupur maximal p n CNM 6-7 LD-P 4

41 4 Détrmination d un fonction d tranfrt d Buttrworth On chrch à obtnir un courb dan la band paant la plu plat poibl : ( p) n n ( p) p an p a p a appl ur Laplac : K S ( p) H ( p) K p D p p D n n ( ) ( p a p a p a ) ( p) ( ) E ( ) () E n S K H D n d x t n Et on rappll qu TL p X ( p) n dt La courb d gain ra maximalmnt plat i on put annulr l plu grand nombr d dérivé poibl On arriv donc à : ( p) p n a vc H ( x) n H H ( x) () x K on po x x n D D ( ) ( ) n a D( ) n a D( ) i x alor x ( ) n ( ) n n Pour détrminr l ordr du filtr : n pplication : Buttrworth d ordr H () 6 On po on po : n n n a n n D ( ) n n ( x ) ( p) H ( ) n n ( x ) p x (variabl d Laplac normalié) ln ln Pôl 6 6 θ ; donc on chrch b 6 θ ( X ) n ( ) n Donc il faut : 6 θ kπ oit θ kπ kπ 6 pour k [ ;5] CNM 6-7 LD-P 4

42 p : k θ p coθ inθ p : k p : k p : k π p : k 4 4 p : k 5 5 π π π θ p co in π π π θ p co in θ p coπ inπ 4π θ p 4 5π θ p 5 4π 4π co in 5π 5π co in On doit choiir pôl parmi c 6 (car on doit avoir un ordr ) On prnd l pôl à parti réll négativ D où : H () ( p )( )( ) p p4 ( ) ( )( ) H () p On dénormali : x : ( ) H p p p p n H ( x) pour, x, x t H () : l ordr, tou l Buttrworth n x ont un gain d db à On put rmarqur qu qulqu oit l application, l filtr d Buttrworth ont touour la mêm caractéritiqu pour un ordr donné Il uffit donc d fair l calcul un foi pour tout pour chaqu ordr Fonction d tranmiion H ( ) d filtr d Buttrworth d ordr à 9 : P P P P 4 4,6,44,6 P 5 5,6 4 5,6 5,6,6 P 6 6, , ,4 6 7,464,86 7 P 7 7 4,494 6,98 5 4,59 4 4,59,98 4,494 P 8 8 5,5 8 7,7 6, ,688 4,846,7 5,5 8 P 9 9 5, ,58 7,6 6 4, ,986 4,6 6,58 5,759 marqu: on pourrait définir un filtr d Buttrworth ayant un gain réglabl dan l band paant n poant H ( x) n ε x Mai l tabl donné ci-du n t donc plu valabl qu pour ε CNM 6-7 LD-P 4

43 4 Détrmination d un fonction d tranfrt d Chbychff L but d c filtr t d avoir un millur approximation du filtr pa-ba idéal (coupur trè violnt) La fonction d tranfrt t d la form : H ( x) ε C ( x) n avc < ε C n t obtnu par récurrnc : Si ( x) C C ( x) C ( x) x ( x) xc ( x) C ( x) n n n x : C ( x), C ( x), C ( x) C C,, C n ( x) H () Donc lon ε la gain à x vari d à db ε Pour détrminr l ondulation dan la band paant ( x ) on fait un changmnt d variabl x coϕ car ϕ / x coϕ C x ( ) ( x) ϕ ( x) co nϕ C co C n prè l étud d c fonction, on arriv à la concluion uivant : l ordr du filtr t égal au nombr d contact à tangnt null (xclu x ) dan la band d ondulation (band paant) Pour détrminr l ordr du filtr : arg ch n b a arg ch( X ) Détrmination d la fonction d tranfrt H ( x) ε C ( x) n on fix ε (n fixant la band d ondulation) on détrmin C n ( x) on réout ε C ( x) n a Pour fixr ε : i H () log a db db ( < a < ) alor ε ε CNM 6-7 LD-P 4

44 Exmpl d un fonction d tranfrt d ordr avc un ondulation à db : On a montré qu pour x alor C n ( x) t donc H () ε donn H() log db ε, 59 db ε C x ( ) ( x) x ( x) xc ( x) C ( x) x x x C C ( x) xc ( x) C ( x) x( x ) x 4x x C En décibl cla nou ( x),59 ( 4x ) 6 4 ( 6x 4x 9 ) ε x C n,59 x 6 4 4,7x 6,8x,95x On not notr polynôm P ( x) P( x) On obtint l 6 racin uivant : {(,494) ; (,966 ±,47) ; (,966 ±,47) } ± Ell l racin complx ont touour accompagné d lur conugué car l polynôm d départ n rél ini : P( x) ( x,494)( x,494) x,966,47 x,966,47 x,966,47 x,966,47 ( )( )( )( ) P [ ][( x,966) (,47) ][(,966) (,47) ] ( x) x (,494) x P ( x) t l modul au carré d polynôm n x Chrchon à obtnir l trm «x» P () [ x,494][ ( x,966),47] [ ( x,966),47] P () [ x,494][ x,966,47][ x,966,47] P () [ x,494][ x,47,966][ x,47,966] P () [ x,494] ( x,47) (,966) Sachant qu x il vint : P P [ ] () [,494][(,47) (,966) ] () [,494][,494 (,47) (,966) ] () (,494)(,494,994) P P (),494,994,494,4, 49 P (),988,8, 49 P oilà notr polynôm caractéritiqu ( ) Pour vérifir dan l tabl, on divi par, 49 pour obtnir l trm d ordr n P(),67,,5,49 CNM 6-7 LD-P 44

45 Pour un filtr d Tchbychff, l polynôm du dénominatur n dépnd pa qu d l ordr du filtr mai aui d ε, c qui donn un infinité d olution Il faudra donc rfair l calcul pour chaqu application, ou bin prndr un valur plu ptit qu l ε nécair à l application On donn ci-dou l polynôm pour troi valur d ε Fonction d tranmiion H ( ) d filtr d Tchbychff d ordr à 7 :,db ε max,5 6 P, 7,75 8 P,6 5,8 6,65 P 4,6 9 4,77,7 5,444 7 P 5, , , ,85,55 5 P 6 4, ,66 5 4, 4,4 9, ,5 6 P 7 9, ,58 6,95 5, ,4 4,484 5,487,5dB ε max,49 P,659 5,94 P,97 5,75 6,44 6 P 4,68 4,58 9 4,59,75 P 5 5, ,55 4,8 7,9 4,5 8 P 6,55 6, 5,98 4 6,776,66 4,56 P 7,55 7 5,76 6 5,97 5 4,79 4 6,84 6,89 6,6 db ε max,58 84 P,97,995 7 P,5, 6,5 6 P 4,68 4, ,74 9,694 P 5 8,45 5 7,67 4,75 7,9 4,76 4 P 6 4,5 6,47 5 8, 4 7,445,6 4,456 P 7,566 7,6 6 7, ,5 4 44, 7,866 6,958 4 Comportmnt harmoniqu : - pnt infériur à la pnt aymptotiqu d un filtr du mêm ordr n x - trè mauvai comportmnt n ignaux inuoïdaux (tmp d group non contant) Comportmnt impulionl : fort dépamnt On l mploi ouvnt à fréqunc fix CNM 6-7 LD-P 45

46 4 Détrmination d un fonction d tranfrt d Bl Son principal avantag t a pha qui t linéair : pa d déformation pour l ignaux non inuoïdaux Form du filtr : H ( p) t p Pour détrminr l H ( ) (ou H ( p) ) à utilir, on fait un dévloppmnt limité d coth ( ) (tranformation d ) pui un diviion polynomial Un autr méthod plu impl t plu rapid t d utilir la rlation d récurrnc B B ( ) B ( ) () ( n ) B ( ) B ( ) n n n Comm pour Buttrworth, on put rmarqur qu qulqu oit l application, l filtr d Bl ont touour la mêm caractéritiqu pour un ordr donné Il uffit donc d fair l calcul un foi pour tout pour chaqu ordr Fonction d tranmiion H ( ) d filtr d Bl d ordr à 8 : P P P P P P P P P P n (n-) P n- ² P n- Comportmnt harmoniqu : - pu d ditorion n non-inu - moin fficac qu un Buttrworth dan la band atténué Comportmnt impulionl : trè bon comportmnt CNM 6-7 LD-P 46

47 44 Comparaion d répon d pluiur typ d filtr La figur uivant rprént l affaiblimnt n band atténué t n band paant d cinq filtr analytiqu d ordr 5, avc min 4 db t max db La figur uivant rprént l affaiblimnt d c mêm typ d filtr n choiiant lur ordr n d façon à rpctr l mêm gabarit d affaiblimnt : max db, min 4 db, /k CNM 6-7 LD-P 47

48 44 Détrmination d élémnt du filtr pa-ba univrl Un foi détrminé ( ) H répondant aux caractéritiqu, il faut maintnant détrminr l élémnt qui vont contitur la tructur d c filtr pa-ba «univrl» (tranformé d notr filtr d application vr c filtr pa-ba) Il xit pluiur tructur d filtr paif, nou n étudiron t n utiliron qu l filtr n tructur n T 44 Structur n T t matric admittanc On détrmin alor l paramètr admittanc Y (I /U ) pour U On rappll qu la matric admittanc (quadripôl équivalnt du filtr) t d la form : I Y Y I Y Y Pour un filtr paif, on a touour : Y Y On va chargr notr filtr avc l impédanc caractéritiqu (donc puiqu nou omm ( ) Y ur un tructur normalié) t on arriv aini à ( ) I ( ) ( ) Y On montr qu pour H () ( ) ( ) ( p )( p )( pn ) N( ) D( ) avc N ( ) : polynôm rgroupant tout l puianc pair t D( ) polynôm p p p n : rgroupant tout l puianc impair d ( )( ) ( ) - Y Y t D N( ) - Y D( ) 44 Utiliation ( ) ( ) partir d la fonction d tranfrt du filtr H () on ( ) ( p )( p )( p n ) épar l puianc pair t impair t on détrmin ainiy Par divion polynomial on put détrminr tout l élémnt d notr filtr d tructur n «T» On va ditingur ca poibl : l ca ou l ordr du filtr t pair ou il t impair CNM 6-7 LD-P 48

49 44Filtr d ordr pair Dan l ca d un filtr d ordr pair, Y t formé par un quotint d polynôm qui t l rapport ntr l polynôm formé à partir d la fonction d tranmiion d xpoant pair divié par l polynôm formé à partir d la fonction d tranmiion d xpoant impair Y polynôm formé à partir d la fonction d tranmiion d'xpoant pair polynôm formé à partir d la fonction d tranmiion d'xpoant impair En ffctuant, l diviion ucciv d polynôm il vint : Y () γ n λ n γ n λ γ λ L filtr normalié dvint aini : 44Filtr d ordr impair Dan l ca d un filtr d ordr impair, Y t formé par un quotint d polynôm qui t l rapport ntr l polynôm formé à partir d la fonction d tranmiion d xpoant pair divié par l polynôm formé à partir d la fonction d tranmiion d xpoant impair Y polynôm formé à partir d la fonction d tranmiion d' xp oant pair polynôm formé à partir d la fonction d tranmiion d' xp oant impair En ffctuant, l diviion ucciv d polynôm il vint : Y () λn γ n λ γ λ CNM 6-7 LD-P 49

50 or comm l ordr du polynôm d xpoant impair t upériur à clui d l xpoant pair, il vint qu γ L filtr normalié dvint aini : n 44 écapitulatif L calcul précédnt étant touour idntiqu, il t poibl d définir d abaqu ou tout l valur d γ t λ ont donné pour un crtain typ d répon d filtr Ici, nou donnon l tablau récapitulatif d filtr d Buttrworth uqu'à l ordr 5 Ordr Polynôm n Y décompoé Filtr normalié,77,44,44,77 4 5,5,,5 4,6,44,6 5,6 4 5,6 5,6,6,8,8,577,5,9,894,8,694,546,546,5,5,,8,5,577,8,8,694,894,9 45 Dénormaliation Il faut dan un prmir tmp rmplacr l λ n t l γ n du filtr normalié pa ba par l λ n t l γ n du filtr normalié conidéré, aini un λ n du filtr normalié pa ba dvint pour un filtr pa band un inductanc d valur ( λ n x ) n éri avc un capacité d valur ( x λn ), il faut n fair d mêm pour l capacité, Un foi l filtr normalié conidéré réalié, il faut rmplacr l valur d λ n t γ n par lur valur réll qui ont rpctivmnt : Ln L u λn t Cn C u γ n CNM 6-7 LD-P 5

51 4 Filtr actif L inconvénint d un filtr actif t qu il faut l alimntr t contntr d ignaux d amplitud limité par l IL L nivau d bruit t la prénc d tnion d offt puvnt aui limitr l domain d application Son avantag réid ur la poibilité d cacadr pluiur cllul élémntair n n ayant pa l mêm problèm d charg qu un filtr paif (avc un filtr actif, t élvé t faibl) On put aini formr un filtr d un gabarit plu complx Comm pour l filtr paif, il xit différnt typ d tructur Citon par xmpl, l tructur à quadripôl t amplificatur opérationnl, l tructur d auch, l tructur d Salln t Ky, l tructur à giratur, à impédanc négativ t à variabl d état, 4 Dénormaliation Contrairmnt aux filtr paif, la fonction d tranfrt d filtr actif t indépndant d c qu l on connct à c filtr ini, la réaliation d filtr c fait n cacadant d cllul indépndant du prmir ou du cond ordr prè avoir obtnu, la fonction d tranfrt équivalnt pa ba normalié, il uffit d rmplacr la variabl d Laplac normalié ou p par l changmnt d variabl décrit dan l tablau n, n faiant attntion qu la valur d rmplacmnt t normé t qu ou p p rprént Par xmpl pour un pa band, il faut changr p par : p ou πf x p x Un foi c changmnt d variabl ffctué, il uffit d factorir l polynôm n polynôm d prmir ou d cond ordr Exmpl ur l polynôm d Buttrworth : Ordr n Cllul Décompoition d H ( ),44,, ,765,68 5, ,9 8,44,57 6,8 9,46 9,445,96 5,66 9,,9,879,5,,47 CNM 6-7 LD-P 5

52 4 Structur du prmir ordr 4 Pa-ba invrur C qui t bin d la form : T, avc t c c C 4 Pa-ba non invrur T C - avc qui t bin d la form : T, t c c C C 4 Pa-haut C C qui t bin d la form : c T avc t c c C CNM 6-7 LD-P 5

53 4 Structur du duxièm ordr 4 Pa-ba C ( C C ) qui t bin d la form : m T avc t c C C t C m C 4 Pa-haut C ( C ) qui t bin d la form : m T avc t c C t m 4 Pa-band C C ( C ) qui t bin d la form : m T m avc t c C m t CNM 6-7 LD-P 5

54 44 éctur ( C) ( C) C qui t bin d la form : T m avc t c t m, 5 C 45 Structur d auch La tructur d auch prmt d réalir tout l typ d filtr (pa ba, pa haut, pa band) hormi l filtr réctur d band (coup band) Ctt famill d filtr t décrit par l chéma d la figur uivant ur lqul Y, Y, Y, Y 4 t Y 5 ont d admittanc Y Y4 5 Y Y Y B - La formul d Millman, appliqué aux point t B, conduit aux équation Y YB Y4 Y Y4 Y Y Y Y4 Y Y Y Y4 Y Y5 B Y Y5 Y Y5 Par élimination d il vint : Y Y T Y Y Y 4 5 ( Y Y Y Y ) puiqu L admittancy, Y, Y, Y 4 t Y 5 ont réalié pa d réitanc d condnatur ( Y C) 4 B Y ou par CNM 6-7 LD-P 54

55 45 Structur pa-ba d auch On déir obtnir un fonction d tranfrt d la form: T m c c L numératur doit êtr rél, on va donc prndr Y t Y rél u dénominatur, Y Y, Y 4 5 Y t Y Y 5 puvnt êtr rél ou complx Il n rt qu Y Y t Y Y pour obtnir l trm n Nou arrivon donc à prndr c obligatoirmnt Y5 complx Comm nou dvon avoir un trm rél au dénominatur, il n rt comm olution qu Y 4 rél pour avoir Y Y 4 rél C t donc Y Y qui va fair l trm 5, donc Y doit êtr complx c On arriv à : - Y Y t Y 4 ont d réitanc d valur rpctiv :, t - Y t Y 5 ont d condnatur d valur rpctiv : C t C On obtint comm fonction d tranfrt : T C C Dan l ca particulir ou tout l réitanc ont égal à, alor T C C C par idntification on obtint : ( ) c m C C C C CNM 6-7 LD-P 55

56 45 Structur pa-haut d auch On déir obtnir un fonction d tranfrt d la form : T c m c c Par l mêm raionnmnt qu précédmmnt : - c t l trm Y Y qui donn l trm, donc Y t Y ont complx c - c t l trm Y Y qui donn l trm 4, donc Y t Y 4 ont complx c - il n rt qu Y t Y5 pour donnr l trm rél, donc Y t Y 5 ont réll On arriv à : - Y Y t Y4 ont d condnatur d valur rpctiv : C, C t C - Y t Y 5 ont d réitanc d valur rpctiv : t On obtint comm fonction d tranfrt : T C C ( ) ( C C C ) C C ( ) Dan l ca particulir ou tout l capacité ont égal à C, alor ( C ) C ( C ) T par idntification on obtint : c C m CNM 6-7 LD-P 56

57 45 Structur pa-band d auch On déir obtnir un fonction d tranfrt d la form : m c T m c c Par l mêm raionnmnt qu précédmmnt : - c t l trm Y Y qui donn l trm m, donc Y ou Y t complx c Si on prnd Y complx t Y rél, on arriv à : Y5 forcmnt rél car il faut un trm rél au dénominatur, c t donc Y 4 Y qui donn l trm, donc Y 4 t complx On put prndr Y ou Y pour c fair l trm Y Y ou Y Y rél, donc par xmpl ou prnd 5 5 Y rél (déà prix précédmmnt) t Y au choix On arriv à : - Y, Y t Y 5 ont d réitanc d valur rpctiv :, t - Y t Y 4 ont d condnatur d valur rpctiv : C t C On obtint comm fonction d tranfrt : C T ( C ) ( ) C CC Dan l ca particulir ou tout l capacité ont égal à C, alor T C par idntification on obtint : c C m ( ) C ( C) CNM 6-7 LD-P 57

58 46 Structur d Salln-ky La tructur d Salln-ky prmt d réalir tout l typ d filtr (pa ba, pa haut, pa band) hormi l filtr réctur d band (coup band) Ctt famill d filtr t décrit par l chéma d la figur uivant ur lqul Y, Y, Y t Y 4 ont d admittanc L amplificatur d tnion K poèd d caractéritiqu idéal : impédanc d ntré infini, impédanc d orti null Il put êtr réalié à l aid d un OP monté n amplificatur non-invrur K La formul d Millman, appliqué aux point t B, conduit aux équation Y Y YB Y Y Y Y Y Y4 B B Y Y4 Y Par élimination d t n écrivant qu K B il vint : KYY T ( Y Y )( Y Y ) Y ( Y KY ) L admittancy, Y, Y t Y 4 ont réalié pa d réitanc condnatur ( Y C) 4 4 Y ou par d CNM 6-7 LD-P 58

59 46 Structur pa-ba d Salln-ky On déir obtnir un fonction d tranfrt d la form: T m c c L numératur doit êtr rél, on va donc prndr Y t Y rél u dénominatur, il n rt qu l trm Y Y 4, tou l autr trm étant factur d Y ou Y c qui prmtt d obtnir l trm n On arriv à : - Y t Y ont d réitanc d valur rpctiv : t - Y t Y 4 ont d condnatur d valur rpctiv : C t C On obtint comm fonction d tranfrt : K T C C C KC ( )( ) ( ) Dan l ca particulir ou l réitanc t ont égal à, alor K T C C K C C par idntification on obtint : [ ( )] ( ) K c CC C K m C C C CNM 6-7 LD-P 59

60 46 Structur pa-haut d Salln-ky On déir obtnir un fonction d tranfrt d la form : T c m c c Nou pouvon appliqur la mêm méthod qu cll vu pour l pa-ba, ou bin ffctur un tranpoition d compoant comm pour un impl circuit C t C On ffctu l tranpoition : Pa-ba Pa-haut Structur On arriv à : - Y t Y ont d condnatur d valur rpctiv : C t C - Y t Y 4 ont ont d réitanc d valur rpctiv : t On obtint comm fonction d tranfrt : KCC ( ) T C C C K par idntification on obtint : ( )( ) ( ) K c m C C C C [ ( C C ) C ( K )] CNM 6-7 LD-P 6

61 CNM 6-7 LD-P 6 46 Structur pa-band d Salln-ky On déir obtnir un fonction d tranfrt d la form : c c c m m T En prnant Y, Y, C Y t C Y 4 (réultant d la mi n parallèl d un réitanc t d un condnatur, on arriv à la form uivant : ( ) ( ) ( ) ( ) C K C K C K K T par idntification on obtint : ( ) ( ) ( ) K m C K K c

62 5 MEMO BUTTEWOTH - TCHEBYCHEFF - BESSEL Filtr d Buttrworth vantag : courb d répon trè plat à l origin, amplitud régulièr n band paant bon tmp d propagation d group calcul facil Inconvénint : raidur d la coupur moynn l atténuation n band paant noté ur l gabarit normalié a t touour égal à db ( a - db ) Fonction d Buttrworth : T ( x) n x ou n t l ordr du filtr Détrmination d l ordr du filtr ln n ln b ( X ) Filtr d Tchbychff vantag : d tou l polynomiaux, c ont cux qui préntnt l front d coupur la plu raid pour un ordr d filtr donné Inconvénint : ondulation n band paant tmp d propagation d group non contant n band paant Fonction d Tchbychff : T ( x) ε Cn ( x) avcc ( x) ; C ( x) x ; t C x) x C ( x) C ( ) n ( n n x Détrmination d l ordr du filtr : arg ch n arg ch b a ( X ) Dux méthod ont poibl pour détrminr la fonction d tranfrt d notr filtr : oit à partir d formul donné dan l tablau précédnt, oit à partir d abaqu t d tablaux La fonction d tranfrt doit êtr détrminé n fonction du typ d répon choii ou trouvrz ci aprè l fonction d tranmiion (invr d fonction d tranfrt) d filtr d Buttrworth, d Tchbychff t d Bl CNM 6-7 LD-P 6

63 Fonction d tranmiion H ( ) d filtr d Buttrworth d ordr à 9 : P P P P 4 4,6,44,6 P 5 5,6 4 5,6 5,6,6 P 6 6, , ,4 6 7,464,86 7 P 7 7 4,494 6,98 5 4,59 4 4,59,98 4,494 P 8 8 5,5 8 7,7 6, ,688 4,846,7 5,5 8 P 9 9 5, ,58 7,6 6 4, ,986 4,6 6,58 5,759 Fonction d tranmiion H ( ) d filtr d Bl d ordr à 8 : P P P P P P P P P P n (n-) P n- ² P n- Fonction d tranmiion H ( ) d filtr d Tchbychff d ordr à 7 : max,db ε,5 6 P, 7,75 8 P,6 5,8 6,65 P 4,6 9 4,77,7 5,444 7 P 5, , , ,85,55 5 P 6 4, ,66 5 4, 4,4 9, ,5 6 P 7 9, ,58 6,95 5, ,4 4,484 5,487 max,5db ε,49 P,659 5,94 P,97 5,75 6,44 6 P 4,68 4,58 9 4,59,75 P 5 5, ,55 4,8 7,9 4,5 8 P 6,55 6, 5,98 4 6,776,66 4,56 P 7,55 7 5,76 6 5,97 5 4,79 4 6,84 6,89 6,6 max db ε,58 84 P,97,995 7 P,5, 6,5 6 P 4,68 4, ,74 9,694 P 5 8,45 5 7,67 4,75 7,9 4,76 4 P 6 4,5 6,47 5 8, 4 7,445,6 4,456 P 7,566 7,6 6 7, ,5 4 44, 7,866 6,958 4 CNM 6-7 LD-P 6

64 BIBLIOGPHIE Jan-Luc ZN Préci d élctroniqu Tom, édition Bréal ISBN Thirry GEIS Élctroniqu prmièr anné, édition uibrt ISBN Françoi MNNEILLE t Jacqu ESQUIEU Élctroniqu Sytèm bouclé linéair, d communication t d filtrag èm édition, édition DUNOD ISBN 58 5 Laurnt DEHIS Polycopié d filtrag analogiqu Cla Préparatoir aux grand écol TSI au lycé apail d Pari Gill EY Cour ur l filtrag analogiqu Préparation à l agrégation au lycé Loui rmand d Nognt ur Marn Thirry DUMTIN Filtrag Fichir word «l_filtragdoc» diponibl ur intrnt Xavir GLTIE Synthè d filtr Fichir pdf «Synth_d_filtrpdf» diponibl ur intrnt Paul BILDSTEIN Fonction d tranfrt d filtr élctroniqu, édition Tchniqu d l ingéniur E Paul BILDSTEIN Synthè t réaliation d filtr actif, édition Tchniqu d l ingéniur E CNM 6-7 LD-P 64