EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE M2IF Evry. Monique Jeanblanc

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1 EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE M2IF Evry Monique Jeanblanc Universié d EVRY Mars 29

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3 Conens 1 Rappels Tribu Variables gaussiennes Espérance condiionnelle Maringales Temps d arrê Changemen de probabilié Algèbre béa-gamma Divers Mouvemen Brownien Propriéés élémenaires Processus Gaussiens Brownien Mulidimensionnel Temps d aeine Scaling Complémens Finance Problème Parie I : Résulas préliminaires Parie II Parie III Inégrale d Iô Inégrale de Wiener Formule d Iô Cas mulidimensionnel Complémens Brownien géomérique e exensions Le croche Finance

4 4 CONTENTS 4 Exemples Processus de Bessel Processus de Bessel carré Aures processus Des calculs Equaions différenielles sochasiques Equaion linéaire Processus affines Aures équaions Finance Equaions différenielles Girsanov Résulas élémenaires Croche Processus Cas mulidimensionel Temps d arrê Finance Complémens Théorème de Lévy Equaions rérogrades Théorèmes de représenaion Temps local Lois Filraions Opions barrières Méandres, pons, excursions Divers Processus à saus Processus de Poisson Poisson composé Formule d Iô Temps de Défau Marché comples, incomples Rappels, Corrigés Tribu Variables gaussiennes

5 CONTENTS Espérance condiionnelle Maringales Temps d arrê Temps discre Algèbre béa-gamma Divers Mouvemen Brownien, Corrigés Propriéés élémenaires Processus Gaussien Mulidimensionnel Temps d aeine Scaling Complémens Finance Inégrale d Iô, Corrigés Inégrale de Wiener Formule d Iô Cas mulidimensionnel Complémens Brownien géomérique e exensions Le croche Finance Exemples, Corrigés Processus de Bessel Processus de Bessel carré Aures processus Des Calculs Equaions différenielles sochasiques, Corrigés Equaion Linéaire Processus affines Finance Equaions différenielles Girsanov, Corrigés Résulas élémenaires Croche Processus Cas mulidimensionnel

6 6 Rappels 6.5 Temps d arrê Finance Complémens, Corrigés Théorème de Lévy Equaions rérogrades Théorèmes de représenaion Temps local Lois Filraions Opions barrières Méandres, pons, excursions Saus, Corrigés Processus de Poisson Poisson composé Marché comples, incomples

7 Chaper 1 Rappels 1.1 Tribu Exercice Ensembles apparenan à une ribu. 1. Monrer que si F es une ribu, e si A e B appariennen à F avec A B, alors B A F où B A es l ensemble des élémens de B qui ne son pas dans A. 2. Monrer que si C e D appariennen à F, alors C D def = {C D c } {C c D} apparien à F. Exercice Exemples de ribus. 1. Décrire la ribu engendrée par un ensemble A. 2. Décrire la ribu engendrée par deux ensembles A e B disjoins. Exercice Foncions indicarices. On noe 1 A la v.a. qui vau 1 pour ω A e sinon. 1. Monrer que 1 A B = 1 A 1 B. 2. Monrer que, si A B =, on a 1 A B = 1 A + 1 B. 3. Monrer que 1 B A = 1 B 1 A. 4. Monrer que 1 A B = 1 A + 1 B 1 A B. Exercice Union e inersecion. Soi F 1 e F 2 deux ribus. Monrer que F 1 F 2 es une ribu. Monrer qu en général F 1 F 2 n es pas une ribu. Exercice Tribu grossie par un ensemble. Soi F une ribu e A n apparenan pas à F. Monrer que la ribu engendrée par F e A (c es-àdire la plus peie ribu conenan F e A) es composée des ensembles B els que il exise C e D apparenan à F vérifian B = (C A) (D A c ). Exercice Tribu engendrée par une v.a. Soi X une v.a. sur un espace (Ω, G). La ribu engendrée par X, noée σ(x), es la plus peie sous ribu F elle que X soi mesurable de (Ω, F) dans (R, B). Elle es engendrée par C = {F Ω, F = X 1 (B), B B). Monrer que C es une ribu. Vérifier que si Y = h(x) avec h borélienne, alors Y es σ(x) mesurable. On admera que la réciproque es vraie. 7

8 8 Rappels Exercice Lois de v.a. Soi (X, Y ) un couple de variables indépendanes e (Z, T ) deux variables indépendanes elles que X loi = Z e Y loi = T. 1. Soi f une foncion borélienne (bornée) de R dans R. Comparer E(f(X)) e E(f(Z)). 2. Soi h une foncion borélienne (bornée) de R 2 dans R. Comparer E(h(X, Y )) e E(h(Z, T )). 1.2 Variables gaussiennes On noe N la foncion de répariion de la loi gaussienne sandard: N (x) = 1 2π x e u2 /2 du e N (m, σ 2 ) la loi d une v.a. gausienne d espérance m e de variance σ 2. Exercice Momens. Soi X une v.a.r. de loi N (, σ 2 ). 1. Calculer E(X 3 ), E(X 4 ), E( X ) e E( X 3 ). 2. Calculer E(exp{λX 2 + µx}) pour 1 2λσ Monrer que E(exp 1 2 a2 X 2 )) = E(exp(aXY )) où Y es indépendane de X e de même loi. Exercice Somme de variables gaussiennes indépendanes. Soi X e Y deux v.a. gaussiennes indépendanes. Monrer que X + Y es une variable gaussienne. Précisez sa loi. Exercice Transformée de Laplace. Soi X une v.a.r. de loi N (m, σ 2 ). 1. Quelle es la loi de X m σ? Calculer E X m. 2. Monrer que E(e λx ) = exp(λm λ2 σ 2 ). Calculer E(Xe λx ). 3. Dans le cas où X es v.a. gaussienne sandard monrer que E(exp a2 2 X2 ) = E(exp axx ) avec X e X i.i.d. x 4. Soi Φ(x) = 1 2π e y2 2 en foncion de (Φ, λ, b). dy. Calculer, dans le cas m = e σ = 1 la valeur de E( 1X b exp λx) 5. Monrer que E(e θx f(x)) = e mθ+σ2 θ 2 /2 E(f(X + θσ 2 ) pour f coninue bornée. 6. Monrer que, si f es régulière E(f(X)(X m)) = σ 2 E(f (X)). Exercice Convergence. Soi (X n, n 1) une suie de v.a. gaussiennes qui converge dans L 2 vers X. Quelle es la loi de X? Exercice Veceur gaussien. Soi X un veceur gaussien à valeurs dans R n e A une marice (p, n). Monrer que AX es un veceur gaussien. Préciser son espérance e sa variance. Exercice Veceur Gaussien. Soi (X, Y ) un veceur gaussien cenré el que E(XY ) =. Monrer que X e Y son indépendanes.

9 Enoncés 9 Exercice Projecion.(*) Rappel : projecion dans L 2 : Soi A un sous espace de L 2 (Ω) engendré par les variables aléaoires Y 1,..., Y n, c es-à-dire si Z A, il exise (a i ) réels els que Z = i a iy i. Soi X L 2. On appelle projecion de X sur A l unique élémen P rx de A el que E( (X P rx)z) =, Z A Soi (X 1, X 2,..., X d, Y 1,..., Y n ) un veceur gaussien cenré dans R d+n. Monrer que X = (X 1, X 2,..., X d ) e Y = (Y 1,..., Y n ) son deux veceurs gaussiens cenrés. On suppose d = 1. Monrer que P rx es une v.a. gaussienne σ(y ) mesurable, elle que X P rx e Y son indépendanes. Exercice Caracérisaion de veceur gaussien. Soi (X, Y ) deux v.a.r. elles que Y es gaussienne e la loi condiionnelle de X à Y es gaussienne de moyenne ay + b e de variance indépendane de Y, c es-à-dire que E(exp(λX) Y = y) = exp(λ(ay + b) + λ2 2 σ2 ). Monrer que le couple (X, Y ) es gaussien. 1.3 Espérance condiionnelle On ravaille sur un espace (Ω, F, P) muni d une sous-ribu de F noée G. Exercice Monrer que, si X e Y son bornées E(Y E(X G)) = E(XE(Y G)) Monrer que si X es G-mesurable e Y es indépendane de G, pour oue foncion borélienne bornée Φ, E(Φ(X, Y ) F) = Ψ(X) où Ψ(x) = E(Φ(x, Y )). Exercice Monrer que si X L 2, E(X G) = Y e E(X 2 G) = Y 2 alors X = Y. Exercice Soi (X, Y ) indépendanes, X sricemen posiive e Z = XY. Calculer E( 1 Z X) en uilisan la foncion de répariion de Y. Exercice Soi (X, Y ) indépendanes, équidrisibuées e M = max(x, Y ). Calculer E( 1 X M). Exercice Condiionnemen e indépendance. Soi X, Y deux v.a. elles que la v.a. X Y es indépendane de G, d espérance m e de variance σ 2. On suppose que Y es G-mesurable. Calculer E(X Y G). En déduire E(X G). Calculer E( (X Y ) 2 G). En déduire E(X 2 G). Exercice Veceur gaussien (*) Suie de l exercice Soi (X, Y 1,..., Y n ) un veceur gaussien cenré dans R 1+n. Monrer que E(X Y ) = P rx. On suppose n = 1. Monrer que E(X Y ) = αy. Déerminer α. Exercice Soi X = X 1 + X 2. mesurable e que X 1 es gaussienne. On suppose que X 1 es indépendane de G, que X 2 es G 1. Calculer E(X G) e var (X G).

10 1 Rappels 2. Calculer E(e λx G). Exercice Covariance condiionnelle. Soi Z 1, Z 2 deux variables aléaoires de carré inégrable. On défini Cov(Z 1, Z 2 G) = E(Z 1 Z 2 G) E(Z 1 G)E(Z 2 G). Monrer que Cov(Z 1, Z 2 G) = E[ (Z 1 E(Z 1 G)) Z 2 G ]. Exercice Tribu grossie. Soi A / G e A F e X une v.a. inégrable. On noe H la ribu engendrée par G e A. (Voir exercice 1.1.5). On admera que les v.a. Z qui son H mesurables s écriven Z = Y 1 1 A + Y 2 1 A c, où les v.a. Y i son G-mesurables. Monrer que E(X H) = E(X 1 A G) E( 1 A G) 1 A + E(X 1 Ac G) E( 1 A c G) 1 A c Exercice Linéarié. Soi Z = αy +β, avec α. Monrer que E(aX+b Z) = ae(x Y )+b. Exercice Grossissemen progressif Soi F une ribu. On considère la ribu G engendrée par τ 1 où τ es une v.a. à valeurs dans R Monrer que oue v.a. G mesurable s écri h(τ 1) où h es borélienne. 2. Monrer que, si X es une v.a. F mesurable, E(X G) 1 1 τ = A 1 1 τ où A es une consane. Monrer que A = E(X 1 1 τ )/P(1 τ). Exercice Condiionnemen e indépendance 1. Soi G 1 e G 2 deux σ-algèbres indépendanes, G = G 1 G 2 e (X i, i = 1, 2) deux variables aléaoires bornées elles que X i es G i mesurable. Monrer que E(X 1 X 2 G) = E(X 1 G 1 )E(X 2 G 2 ). Exercice Condiionnemen e indépendance 2. Monrer que si G es indépendane de σ(x) F, E(X G F) = E(X F). Exercice Formule de Bayes. Soi dq = LdP sur (Ω, F) e G une sous-ribu de F. Monrer que 1 E Q (X G) = E P (Z G) E P(ZX G). Monrer que si e seulemen si L es G mesurable. E Q (X G) = E P (X G), X F Exercice Soi f e g deux densiés sricemen posiives sur R. Soi X une v.a. de densié f sur un espace (Ω, P). Monrer qu il exise une probabilié Q sur ce espace elle que X soi de densié g. Exercice Indépendance condiionnelle Soi (F ) e (G ) deux filraions. 1. Monrer que les propriéés suivanes son équivalenes. (H1) pour ou, les ribus F e G son condiionellemen indépendanes par rappor à F. (H2) F F, G G, E(F G F ) = E(F F ) E(G F ) (H3), G G, E(G F ) = E(G F ) (H4), F F, E(F G ) = E(F F ).

11 Enoncés Soi F e G deux filraions elles que F G. Monrer que (H) Toue F-maringale de carré inégrablees une G-maringale équivau à (H1). 3. Dans le cas G = F σ( τ) où τ es un emps aléaoire, monrer que (H1) équivau à (H5) s, P(τ s F ) = P(τ s F ). 1.4 Maringales L espace Ω es muni d une filraion (F ). Un processus M es une maringale si - pour ou, M es inégrable; - pour ou > s, E(M F s ) = M s, p.s. On di que M es une surmaringale si - M es adapé, inégrable; - E(M F s ) M s, s. Le processus M es une sousmaringale si M es une surmaringale. Exercice Exemple de base. Soi X une v.a. inégrable. Monrer que (E(X F ), ) es une maringale. Exercice Surmaringale. 1. Monrer que si M es une maringale e A un processus croissan adapé (A s A, s ) alors M A es une surmaringale. 2. Soi M une maringale. Que peu-on dire de M 2? 3. Soi M une maringale elle que E(M 2 ) <. Monrer que sup E(M 2 ) <. 4. Monrer qu une surmaringale elle que E(Z T ) = E(Z ) es une maringale sur [, T ]. Exercice Maringale locale. Monrer qu une maringale locale posiive es une surmaringale. Exercice Maringale en foncion de la valeur erminale. Soi X une maringale elle que X T = ζ. Exprimer X en foncion de ζ pour < T au moyen d une espérance condiionnelle. Exercice Un lemme. On rouve dans la liéraure (Duffie) le lemme suivan: Lemma: Le φ be an adaped bounded process. Then (Y = M maringale M if and only if T Y = E[ φ s ds + Y T F ] Donner une démonsraion de ce lemme. φ s ds, T ) for some Exercice Maringale de carré inégrable. Soi (M, ) une F -maringale de carré inégrable (elle que M 2 soi d espérance finie, pour ou ). Monrer que 1. E((M M s ) 2 F s ) = E(M 2 F s ) M 2 s pour > s. 2. E((M M s ) 2 ) = E(M 2 ) E(M 2 s ) pour > s. 3. La foncion Φ définie par Φ() = E(M 2 ) es croissane.

12 12 Rappels Exercice Projecion de maringale. Monrer que si M es une F -maringale, c es aussi une maringale par rappor à sa propre filraion G = σ(m s, s ). Soi H F. Monrer que Y = E(M H ) es une H -maringale. Exercice Une sousmaringale. Soi τ une v.a. posiive. Monrer que Z = P(τ F ) es une sousmaringale. Exercice Processus à accroissemens indépendans. Soi X un PAI (processus à accroissemens indépendans, c es-à-dire el que, pour > s, la v.a. X X s es indépendane de σ(x u, u s)). Monrer que, si, pour ou, la v.a. X es inégrable, X es une maringale e que si X es de carré inégrable, X 2 E(X 2 ) es une maringale. Monrer que, si e λx es inégrable, es une maringale. Z = eλx E(e λx ) Exercice Soi M une maringale posiive coninue uniformémen inégrable e τ = inf{ : M = }. Monrer que M es nulle sur > τ. Exercice Soi X un processus F-adapé, posiif à rajecoires coninues e G F. Monrer que E( X sds G ) E(X s G s )ds es une G-maringale. 1.5 Temps d arrê Exercice Tribu associée à un emps d arrê. Soi τ un emps d arrê. Monrer que F τ es une ribu. Exercice Soi T un emps d arrê e X une variable aléaoire apparenan à F T, vérifian X T. Monrer que X es un emps d arrê. Exercice Exemple de processus adapé. Soi T un emps d arrê. Monrer que le processus X = 1 ],T ] () es adapé. Exercice Comparaison de ribus. Soi S e T deux emps d arrê els que S T. Monrer que F S F T. Exercice Propriéé de mesurabilié. Soi S un emps d arrê. Monrer que S es F S - mesurable. Exercice Soi S e T deux emps d arrê. Monrer que {S T }, {T S} appariennen à F S. Exercice Exemple de processus càdlàg. Soi S e T deux emps d arrê els que S < T. Monrer que le processus Z = 1 [S,T [ () (égal à 1 si S < T e à sinon) es un processus càdlàg. Exercice Exemple rivial de emps d arrê. Monrer qu une consane τ es un emps d arrê. Quelle es dans ce cas la ribu F τ? Exercice Opéraions sur les emps d arrê. Monrer que l inf (resp. le sup) de deux emps d arrê es un emps d arrê.

13 Enoncés 13 Exercice Caracérisaion de maringale. 1. Soi s <, A F s e T = 1 A c + s 1 A. Monrer que T es un emps d arrê. 2. Monrer que si E(X T ) = E(X ) pour ou emps d arrê T, alors le processus X es une maringale. Exercice Théorème d arrê. Soi M une maringale coninue elle que M = a e loi lim M =. Monrer que sup M = a où U es une v.a. de loi uniforme sur [, 1]. U 1.6 Changemen de probabilié Ce hème sera cenral en vue d applicaion à la finance. Deux probabiliés P e Q définies sur le même espace (Ω, F) son dies équivalenes si elles on mêmes ensembles négligeables, c es à dire si P(A) = Q(A) =. On adme le résula: Si P e Q son équivalenes, il exise une variable Y, sricemen posiive, F-mesurable, d espérance 1 sous P appelée densié de Radon-Nikodym elle que dq = Y dp ou encore Q(A) = dq Y dp. On écri égalemen cee relaion sous la forme = Y. Réciproquemen, si Y A dp es une v.a. sricemen posiive, F-mesurable, d espérance 1 sous P, la relaion E Q (Z) = E P (ZY ) défini une probabilié Q équivalene à P. Elle es facile à mémoriser par la règle de calcul formel suivane: On a aussi dp dq = 1 Y. E Q (Z) = ZdQ = Z dq dp dp = ZY dp = E P (ZY ) Exercice Monrer que si P es une probabilié e Z une v.a., elle que l égalié dq = ZdP (soi Q(A) = E P (Z 1 A )) défini une probabilié, alors E P (Z) = 1 e P(Z < ) =. Exercice Soi U une variable de Bernoulli sous P définie par P(U = ) = 1 p, P(U = 1) = p. Soi Y la variable définie par Y = λu + µ(1 U). Dans quels cas cee variable es elle d espérance 1? Soi dq = Y dp, Calculer Q(U = 1). Quelle es la loi de U sous Q? 2. Soi X es une v.a. de loi N (m, σ 2 ) sous P e soi Y = exp{h(x m) 1 2 h2 σ 2 }. Soi dq = Y dp. Calculer E Q {exp(λx)}) = E P {Y exp(λx)}. En déduire la loi de X sous Q (uiliser l exercice Soi X es un veceur gaussien sous P e U une variable elle que le veceur (X, U) soi gaussien. On pose dq = Y dp avec Y = exp(u E P (U) 1 2 Var PU). Monrer que X es gaussien sous Q, de même covariance que sous P. 1.7 Algèbre béa-gamma Exercice Loi Arc sinus Une variable aléaoire A a une loi Arc Sinus si sa densié es [,1]. Monrer que cos 2 (Θ) loi = A si Θ es uniforme sur [, 2π]. π 1

14 14 Brownien. Soi N e N N 2 loi deux variables N (, 1) indépendanes. Monrer que N 2 + N 2 = A. Soi C = N N. Monrer que C a une loi de Cauchy e que 1 a une loi Arc sinus. 1 + C2 1.8 Divers Exercice Soi X un processus a M = sup s X s. On noe τ une v.a. de loi exponenielle de paramère θ indépendane de X. Monrer que ( ) E (exp( λm τ )) = 1 λe due λu e θtu où T u = inf{ : X u}. Exercice Transformée de Laplace e indépendance. Soi X e Y deux v.a. indépendanes. Jusifier que E(e λ(x+y ) ) = E(e λx )E(e λy ). La réciproque es-elle vraie? Exercice Transformée de Laplace e momens. Soi X e Y deux v.a. bornées elles que E(e λx) = E(e λy ) pour ou λ. Monrer que X e Y on même momens. Exercice Markov. Soi X un processus de Markov for e T a = inf{ : X = a}. Monrer que, pour < T P(X T dx X = a) = P(X T dx T a = ). Exercice Propriéé de Markov Soi B un mouvemen Brownien e f une foncion. On noe T f = inf{ : B = f()}. Monrer que P(B f(s) T f = s) = s<. Si f es croissane, monrer que P(T f ) = 2P(B f(t f )).

15 Chaper 2 Mouvemen Brownien Dans ou ce qui sui, (B, ) es un mouvemen Brownien réel (un processus à accroissemens indépendans issu de, el que pour > s, B B s es une v.a. gaussienne cenré de variance s) e on noe F = (F, ) sa filraion naurelle. Dans cerains exercices, il sera précisé que B es issu de x. On rappelle que si X es un processus coninu issu de, c es un mouvemen Brownien si e seulemen si X e (X 2, ) son des maringales. Le mouvemen Brownien es un processus de Markov for: pour ou emps d arrê τ fini E(f(B +τ F τ ) = E(f(B +τ B τ ). 2.1 Propriéés élémenaires Exercice Caracérisaion. Monrer qu un processus X es un mouvemen Brownien si e seulemen si a. Pour ou < 1 < n, le veceur (X, X 1,..., X n ) es un veceur gaussien cenré b. E(X X s ) = s c. X = Exercice Caracérisaion 2. Monrer qu un processus coninu X es une mouvemen Brownien si e seulemen si, pour ou λ le processus exp(λx 1 2 λ2 ) es une maringale. Exercice Calcul d espérances. 1. Calculer pour ou couple (s, ) les quaniés E(B s B 2 ), E(B F s ), E(B B s ) e E(e λb F s ). 2. Calculer E( B udu F s ) avec > s e E( B udu B s ) 3. On a vu, dans Exercice 1.2.1, que si Z es une v.a. gaussienne cenrée de variance σ 2, on a E(Z 4 ) = 3σ 4. Calculer E(B 2 B 2 s). 4. Quelle es la loi de B + B s? 5. Soi θ s une variable aléaoire bornée F s -mesurable. Calculer pour s, E(θ s (B B s )) e E[θ s (B B s ) 2 ]. 6. Calculer E( 1 B a) e E(B 1 B a). 7. Calculer E( exp(b s)ds) e E(exp(αB ) exp(γb s)ds). 8. Calculer E(e B F s ) e E((ae B b) + F s ). 15

16 16 Brownien. Exercice Lois. Monrer que E(f(B )) = E(f(G u + B u )) avec G v.a. indépendane de B u e de loi gaussienne cenré réduie. En déduire le calcul de E(f(B ) F s ). Exercice Soi Θ une variable aléaoire de loi exponenielle de paramère θ (soi P (Θ dx) = θe θx 1 x> dx) indépendane de B. Quelle es la loi de B Θ? Exercice Des maringales. maringales. (On pourra uiliser, sans démonsraion, que E[ 1. M = B 3 3 B s ds. 2. Z = B 3 3B. 3. X = B B s ds. 4. U = sin B Y = 2 B 2 B sds. sin(b s ) ds. Parmi les processus suivans, quels son ceux qui son des B u du F s ] = E[B u F s ] du.) Exercice Exponenielle de Brownien. Calculer E(e x+b ) e E(sin(x + B )) en uilisan E(f(x + B )) = f(x) E(f (x + B s )) ds. Exercice Changemen de emps. Soi Z = B A() où A es une foncion déerminise coninue sricemen croissane. 1. Calculer l espérance e la variance de Z. Ce processus es-il une maringale par rappor à F?. 2. On défini G = F A(). Monrer que Z es une G-maringale. 3. Déerminer le processus croissan C el que (Z ) 2 C soi une G-maringale. 4. Soi un processus M el que M es une maringale e il exise A, foncion déerminise coninue sricemen croissane elle que M 2 A() es une maringale. On noe C l inverse de A, c esà-dire la foncion elle que C(A()) =. Monrer que W = M C() es un mouvemen Brownien. Exercice Calcul d espérance. Commen calculer E x (f(b )g(b s ))? Exercice Calculer E((λ 1 dub u + µb 1 ) 2 ) Exercice Calcul de ransformée de Laplace. Calculer E x ( exp( λw 2 ) ). Exercice Comporemen limie. 1. Monrer que lim B = 2. Monrer que lim P x (B < ) = 1/2. En déduire que pour ou x >, si T = inf{ : B = }, on a P x (T < ) 1/2. (En fai, on peu monrer que T es fini ps.) Exercice Monrer que l inégrale 1 B s ds es convergene. s

17 Enoncés 17 Exercice Tribu riviale. On admera qu un ensemble apparenan à la filraion F = F + a pour probabilié ou 1. Si τ = inf{ : B > }, monrer que P (τ ) 1. En déduire que P (τ = ) = 1. 2 Exercice Applicaions de la propriéé de Markov. Monrer que ( ) s ( s E x h(r, B r )dr F s = h(r, B r )dr + E Bs h(s + u, B u )du ) Exercice ( Soi τ un emps d arrê, λ > e u une foncion coninue bornée. On pose τ ) ( ) g(x) = E x e λ u(b )d e f(x) = E x e λ u(b )d où comme d habiude l indice x précise que le Brownien es issu de x. 1. Monrer que g e f son définies. 2. Monrer que E x ( τ ) e λ ( u(b )d = E x 1τ< e λτ f(b τ ) ). 3. Monrer que si τ = T, alors g(x) = f(x) f()ϕ(x) où on expliciera ϕ. α2 αx Exercice Polynômes d Hermie. Les polynômes d Hermie H k son définis par e 2 = α k k! H k(x). Monrer qu il exise H k (x, ), polynômes en les deux variables (, x) els que e αx α 2 2 = α k k! H k(x, ). En déduire la valeur de E(B k F s ). Exercice Des gaussiennes. Soi S = exp(µ + σb ). Calculer l espérance e la variance de T S d e T ln S d. Ces variables son-elles gaussiennes? Exercice Zeros. Monrer que P(B u, u ]s, [) = 2 π arcsin s Exercice Filraion. Soi G = F σ(b 1 ). Vérifier que B n es pas une G-maringale. 2.2 Processus Gaussiens Exercice Monrer que le processus Y = covariance. Exercice Explicier la soluion de B u du es gaussien. Calculer son espérance e sa Calculer E(X ) e V ar(x ). dx = ax d + e b db

18 18 Brownien. Exercice Non-exisence de processus. Monrer qu il n exise pas de processus régulier X el que (s, ), s, les variables X e X s soien indépendanes, cenrées gausssiennes, e E(X 2 ) localemen borné. On considérera calculera son espérance e sa variance. X s ds e on monrera que ce processus serai Gaussien, on Exercice Le pon Brownien. On défini un pon Brownien par Z = B B 1, Monrer que Z es un processus gaussien indépendan de B 1. Préciser sa loi, c es-à-dire sa moyenne e sa foncion de covariance. 2. Monrer que le processus Z avec Z = Z 1 a même loi que Z. 3. Monrer que le processus Y avec Y = (1 )B, < < 1 a même loi que Z Monrer que (Z loi = (B B 1 = )). B s Exercice Un exemple surprenan. Monrer que Z = B ds es un processus s gaussien. Calculer sa variance e sa covariance. En déduire que Z es un mouvemen Brownien. Monrer que Z n es pas une F B -maringale, où F B es la filraion naurelle de B. Exercice Pon. Soi B un MB e Γ l espace Gaussien engendré par (B u u B, u ). Monrer que Γ es croissan en. Monrer que Γ(B u, u ) = Γ Γ(B ) où Γ(G) es l espace engendré par G. Exercice Changemen de probabilié. Soi B un MB, L = exp(mb m2 ), e Q 2 définie sur F T par dq = L T dp. Monrer que B = B m es, sous Q, un processus gaussien à accroissemens indépendans. Monrer que B es un Q-mouvemen Brownien. Exercice Soi B un mouvemen Brownien, p > 1 e τ une v.a. posiive. On admera que E(sup( B p/2 )) < 1. Monrer que E(sup( B µ p/2 )) = λe(sup( B s s p/2 )) s avec λ = ( 1 µ )1/(p 1). 2. Monrer que E( B τ ) E(sup ( B µ p/2 )) + µe(τ p/2 ). 3. Monrer que p > 1, C p, τ, E( B τ ) C p τ 1/2 p 2.3 Brownien Mulidimensionnel Exercice Deux mouvenemens Browniens B e W son corrélés si le processus (W B ρ, ) es une maringale. Soi deux mouvemens Browniens B e W corrélés de coefficien de corrélaion ρ. Monrer, sans uiliser la formule d Iô pour des processus corrélés, qu il exise un Brownien Z, indépendan de W el que B = ρw + 1 ρ 2 Z.

19 Enoncés 19 Exercice Somme de browniens. Soi W un mouvemen brownien indépendan de B e ρ [, 1]. Monrer que (Z = ρw + 1 ρ 2 B, ) es un mouvemen Brownien. Soien B e W deux browniens indépendans e (σ i, i = 1, 2) deux foncions déerminises. Monrer qu il exise une foncion σ 3 elle que le processus Z défini par es un Brownien. σ 3 ()dz = σ 1 ()db + σ 2 ()dw Exercice Soi B un Brownien n-dimensionnel. Soi f une foncion borélienne bornée. Monrer que, pour < s < E x (f(b ) F s ) = Φ(B s ) avec Φ(x) = E x [f(b s )]. En déduire que B i B j es une maringale pour i j. Exercice Mouvemen Brownien dans R Soi W 1 e W 2 deux mouvemens Browniens indépendans. Le processus W = W 1 () + W 2 () es-il un mouvemen Brownien? Si oui, jusifiez la réponse, sinon, expliquez pourquoi. Même quesion avec αw 1 () + βw 2 (). 2. Soi W 1 e W 2 deux processus. Soi c un réel donné. Monrer que si ( { exp aw 1 () + bw 2 () [ ] [ ]} ) 1 c a 2 [a, b], c 1 b es une maringale pour ou couple (a, b), W 1 e W 2 son des MB. Calculer E[exp(aW 1 () + bw 2 ())]. Exercice Brownien n-dimensionnel Soi B un MB n-dimensionnel e U une marice elle que UU T = I. Monrer que (UB, ) es un MB. 2.4 Temps d aeine Dans ous ces exercices, a R e T a = inf{ : B = a}. Exercice Transformée de Laplace. Monrer que T a es un emps d arrê. Calculer E(e λt a ) pour ou λ réel. Monrer que P(T a < ) = 1 e que E(T a ) =. Mêmes quesions avec τ a = inf{ : S = a} où S = exp(σb ). Exercice Soi a < < b e T = T a T b. Calculer P(T a < T b ) e E(T ). Exercice Temps d aeine. 1. Soi f() = E(e rta 1 Ta <). On ne cherchera pas à calculer f ici. Calculer en foncion de f la quanié E(e r inf(t,ta) ) où T es un nombre posiif. 2. Monrer que si < a < b, T b T a es indépendan de T a e a même loi que T b a. Monrer (sans calculs) que pour b > a >, la v.a. T b T a es indépendane de T a. Quelle es la loi de T b T a? Que peu-on dire du processus (T a, a > )? 3. Soi T un nombre réel. Calculer Z = P(T a > T F ). On rappelle que sup u B u loi = B. 4. Calculer E(e λt a ) avec T a = inf{ : X = a} e X = ν + W. Calculer E(e λt ) pour T = T a T b. 5. Monrer qu il exise c el que T r loi = ct r + X avec X indépendane de c.

20 2 Brownien. 6. Mêmes quesions si T a = inf{; ν + B = a}. 7. Soi S un brownien géomérique (soi S = x exp(ν + σw )) e τ a = inf{ : S = a}. Calculer E( e r S d) e E( τb e r S d). TROP DIFFICILE Monrer que si < a < b, τ b τ a es indépendan de τ a e a même loi que τ b a. Calculer E(e rτ K 1 τk <T 1 τh τ K >). Exercice On suppose b < < a. Monrer que (a B )(B b) + es une F-maringale. En déduire E(T a,b ) où T a,b = T a T b. Exercice Premier insan. Soi B un MB issu de e T d = d+inf{ : B +d = }. Calculer E(e λt d ) e E( 1 Bd ae λt d ). Soi T = d si B d a e T = d + T d si B d a, B d+t d a. Calculer E(e λt ). Exercice Soi T a e T a deux v.a. indépendanes de même loi que T a. Quelle es la loi de T a T a + T a (Sans faire de calculs). Exercice Loi de l inf. Soi I = inf s T1 B s. Monrer que P(I dx) = dx 1 + x 2. Exercice Soi Ta = inf{u : M u B u > a} avec M u = sup u B. Monrer que M T a loi exponenielle. a une Exercice Temps d aeine Soi A e B deux nombres posiifs. On noe X = µ + σb e h(x) = exp( 2µx/σ2 ) exp(2µb/σ 2 ) exp( 2µA/σ 2 ) exp(2µb/σ 2 ). Vérifier que h(x ) es une maringale. Le emps d arrê τ es défini par τ = inf{ : X = A oux = B}. Calculer P(X τ = A). Exercice Soi f une foncion borélienne bornée e e u(x) = E x (exp[ θ2 2 T + T duf(b u )]) où B es un mouvemen Brownien issu de x. Monrer que u es soluion de 1 2 u = ( θ2 + f)u, u() = 1 2 Exercice Soien a, d deux nombres réels posiifs. 1. Calculer E(e B d 2λ 1 Bd a). 2. Soi T 1 = inf{ d : B = }. Monrer que T 1 es un emps d arrê. Calculer E(e λt 1 ) e E(e λt1 1 Bd a). Monrer que B T1 +d es indépendan de B d e de T On inrodui la v.a. τ 1 suivane : si B d a, on pose τ 1 = d. Si B d > a e si B T1 +d a, on pose τ 1 = T 1 + d, sinon on pose τ 1 =. Calculer pour λ > la ransformée de Laplace de τ 1, soi E(e λτ 1 ). 4. On coninue. Si B d a, on pose τ 2 = d. Si B d > a e si B T1+d a, on pose T 2 = T 1 + d, sinon on défini T 2 = inf{ T 1 + d : B = }. Si B T2 +d a on pose τ 2 = T 2 + d. Dans ous les aures cas, on pose τ 2 =.

21 Enoncés 21 (a) Monrer que B T2 +d es indépendan de (B T1 +d, B d ) e de T 2. (b) Calculer la ransformée de Laplace de τ On uilise la même procédure pour définir par iéraion τ n e on pose τ = τ. (a) Monrer que τ es fini en uilisan, après l avoir jusifié que P(τ < ) = i P(B Ti +d < a) (b) Calculer la ransformée de Laplace de τ. (c) Calculer la ransformée de Laplace de B τ. (d) Monrer que B τ es indépendan de τ. Exercice On rouve parfois (voir exercice précéden, ou les emps d aeine d un niveau) des emps d arrê τ els que τ e B τ son indépendans. Ceci n es cependan pas rès couran. Dans ce qui sui on admera le résula (non rivial) suivan (Cramer) Si X e Y son deux v.a. indépendanes elles que X + Y es une v.a. gaussienne, alors X e Y son des gaussiennes. Le bu de ce exercice es de monrer : si τ es borné par K e si τ e B τ son indépendans, alors τ es une consane. 1. Monrer que si s > K, B s = B τ + B s τ avec B un mouvemen Brownien indépendan de F τ. 2. Monrer que B τ e B s τ son des v.a. indépendanes. 3. Calculer l espérance e la variance de B τ. (Aenion, ce n es pas rivial. Penser au cas où τ = T a.) 4. Monrer que B s τ es une v.a. Gaussienne. 5. Monrer que l on obien K τ G loi = K E(τ) G où G es une v.a. gaussienne réduie cenrée. 6. Conclure. Exercice Soi a e µ deux consanes sricemen posiives e T 1 = inf{ : B a µ}, T 2 = inf{ : B a + µ}. On pose, pour ou λa, Φ(λ) = E(exp[ λτ]) avec τ = T 1 T Monrer que T 1 loi = T 2 e que (T 1, T 2 ) loi = (T 2, T 1 ). 2. Vérifier que Φ es bien définie e donner un majoran e un minoran simples de Φ (S aider par un dessin). 3. Monrer que Φ(λ) = 2E (exp( λt 1 ) 1 T1 <T 2 ). 4. Monrer que e λa Φ( λµ λ 2 /2) + e λa Φ(λµ λ 2 /2) = 2 Exercice Soi X = ν + σb. Monrer que, pour ou λ exp(λx + β), es une maringale pour un paramère β que ( l on déerminera. )) On noe T a = inf{ : X a}. Calculer E exp ( λ2 2 T a e P(T a < ). Exercice Calculer P(M y B = x) où M = sup(b s, s ).

22 22 Brownien. 2.5 Scaling Exercice Monrer que le calcul de E( B s ) ds). On ne demande pas de faire ce calcul. T exp(νs + σb s ) ds) se dédui de E( exp(2(µs + Exercice Soi T 1 = inf{ : B = 1}. Uiliser le scaling du MB pour éablir les égaliés en loi suivanes 1. T 1 loi = 1 S 2 1 avec S 1 = sup(b u, u 1) 2. T a loi = a 2 T 1 avec T a = inf{ : B = a}. loi loi 3. g = g 1, d = d 1 où g = sup{s : B s = } e d = inf{s : B s = }. Monrer que {g < u} = {d u > }. En déduire g loi = d 1 loi = 1 d(1/). 4. On suppose que A es un processus croissan coninu el que, pou ou c (B c, A c, ) loi = ( cb, ca ; ) On noe a = inf{ : A a}. Monrer que d a 5. Monrer que A = sup s B 2 s vérifie les condiions précédenes. loi loi = ad 1. En déduire A g = 1/d 1. Exercice Monrer que où T 1 = inf{ : B = 1}. sup B loi = 1 1 T 1 Exercice Soi A une foncionnelle du mouvemen brownien. On di que A a la propriéé (hom) s il exise r R el que pour ou c, Pour quelle valeur de r la foncionnelle A = (B c, A c ; ) loi = ( cb, c r+1 A ; ) quesion pour le emps local (voir la définiion plus loin) 1 (Bs >)ds a elle la propriéé (hom)? Même 2.6 Complémens Exercice Projecion d un Brownien. Soi B un MB dans sa filraion F e G une filraion plus peie que F. On suppose que E(B G ) = B es un MB. Monrer que B = B. Exercice Filraion de carrés de Browniens. Soi Y = ab 2 + bw 2 avec a b e a e b non nuls, W e B éan des Browniens indépendans. Monrer que σ(y s, s ) = σ(b s, W s, s ). Généraliser au cas de n carrés. Exercice Représenaion prévisible. Soi B (i), i = 1, 2, 3 rois MB, avec B (i), i = 1, 2 indépendans. Monrer qu il n es pas possible d avoir σ(b s (3), s )) = σ(b s (1), B s (2), s ). On uilisera le héorème de représenaion prévisible pour représener B (1), B (2) en erme de B (3).

23 Enoncés 23 Exercice Pons, suie de ex Pour chaque on défini la ribu F β = σ{(b s s B, s } 1. Monrer que la famille F β es croissane en. 2. Soi f L 2 (R +, ds). Calculer la projecion F sur L 2 ((F β ) ) de F = 3. Monrer que le processus B = B du B u u F β = σ{ B u, u } f(s)db s. es un (F β )-mouvemen Brownien e que 4. Monrer que F = f(s)d B, avec f() = f() 1 f(u)du. Exercice Soi B un MB réel, T = inf{ : B = }, g = sup{ < 1 : B = } e d = inf{ > 1 : B = }. Monrer que P x (d > 1 + ) = p(1, x; y)p y (T > )dy e que P (g ) = p(, ; y)p y (T > 1 )dy. Exercice Loi de g. Monrer que P( sup B u >, B s < ) = 2P(B >, B s < ) = 2[ 1 s u 4 1 s 2π arcsin ] En déduire la loi de g = sup{s : B s = } Exercice Représenaion prévisible. Trouver un processus f prévisible el que F = E(F ) + T 1. F = B T, 2. F = f s db s pour T 3. F = B 2 T, B s ds, 4. F = exp B T. Exercice Le mouvemen Brownien B es issu de. Soi W un second mouvemen Brownien issu de indépendan de B e W s 1 X = (1 ) ds + (1 ) (1 s) 2 1 s db s. 1. Monrer que W s 1 s ds s ds W u du = (1 ) (1 u) 2 W s (1 s) 2 ds. 2. En admean que si f e g son deux foncions déerminises on peu inerverir le sens des inégrales dans dsf(s) s B g(u)db u, monrer que s ds 1 1 u db u = (1 ) 1 1 s db s

24 24 Brownien. 3. Vérifier que X es soluion de X = B + W s X s ds. 1 s db s dw s 4. (sans uiliser ce qui précede) Monrer que X = (1 ) + W. 1 s 5. Calculer E(X s X ). Exercice Soi G une filraion, W un G mouvemen brownien. Soi H une filraion plus peie que G. Monrer que le processus M = E(W H ) es une maringale. (on précisera par rappor à quelle filraion). Soi X = W + la filraion de X e Ŷu = E(Y u F X u ). Vérifier que Z = (X (on calculera l espérance condiionnelle de Z par rappor à F X s. Y u du où Y es un processus G adapé. On noe F X Ŷ u du, ) es une F X -maringale Exercice Le X be a Brownian moion wih drif µ and M X = sup { s }X. Prove ha where F (T, u) = P(M X T u) E(MT X F ) = M X + (1 F (T, u)du M X X 2.7 Finance Exercice Black e Scholes. Calculer E(e a (S K) + ) quand S = xe b exp(σb σ2 2 ) Ecrire la formule obenue quand a = b = r e quand a = r, b = r δ. Calculer E(e r (S K) + F s ) pour s <. Exercice Opions rese Une opion rese es caracérisée par une suie de daes 1, 2,..., n. Le payoff de cee opion es A = i (S T S i ) + 1 Si =inf{k,s 1,S 2,...,S n } + (S T K) + 1 K=inf{K,S1,S 2,...,S n } Calculer le prix d une elle opion, c es-à-dire calculer E(e rt A) quand. S = xe r exp(σb σ2 2 ) 2.8 Problème Parie I : Résulas préliminaires Soi (B ) un mouvemen Brownien sandard sur un espace de probabili (Ω, F, P ). (F ) la filraion naurelle de B. On noe

25 Enoncés 25 Ean donné un processus coninu (X ) à valeurs réelles, on pose pour >, M X = sup X s, s m X = inf s X s. Si a es un nombre réel sricemen posiif, on défini égalemen Il es connu que Ta B pour λ, T X a = inf{ ; X = a}, T X a = inf{ ; X = a}. es un emps d arrê relaivemen à (F ), fini p.s., el que E(T B a ) = e E [ exp( λta B ) ] ( = exp a ) 2λ. 1. En inversan la ransformée de Laplace de Ta B, monrer que la densié de la loi de Ta B es donnée par ( ) a exp a2 1 (>). 2π Démonrer que pour λ, E [ exp( λ T ] ( ( a B ) = cosh a 1 2λ)). 3. Prouver que T B a es inégrable e calculer E( T B a ). 4. Soien c e d deux nombres réels sricemen posiifs e posons T B = Tc B T d B. Monrer que pour λ R, )] [ E exp ( λ2 [ E exp 2 T B 1 (T B =Tc B) )] ( λ2 2 T B = = sinh(λd) sinh(λ(c + d)), cosh(λ(c d)/2) cosh(λ(c + d)/2). 5. En uilisan la propriéé de Markov fore, démonrer que si c, b c, P[B c, M B > c] = P[B > 2c b]. 6. En-déduire que pour chaque >, les variables aléaoires M B e B on la même loi. 7. Vérifier que pour chaque >, la densié de la loi du couple (B, M B ) es donnée par ) 2(2c b) (2c b)2 exp ( 1 { c} 1 {b c}. 2π Rerouver alors la densié de la loi de T B a expliciée au Parie II On considère le processus (Y ) défini par :, Y = µ + B, où µ R. 1. Monrer qu il exise une mesure de probabilié P µ sous laquelle (Y ) es un mouvemen Brownien sandard. 2. En uilisan le résula de la quesion I.7., en-déduire que pour chaque >, la densié de la loi du couple (Y, M Y ) es donnée par ) ( 2(2c b) (2c b)2 exp (. exp µ b 1 ) 2π µ2 1 { c} 1 {b c}.

26 26 Brownien Parie III Soi (S ) le processus el que :, S = x exp [ (r 1 2 σ2 ) + σb ], où x, r e σ son des nombres réels sricemen posiifs. Dans la suie, on désignera par N la foncion de répariion de la loi normale cenrale réduie. 1. Explicier la probabilié P θ qui fai de ( B ) un mouvemen Brownien sandard, avec B = θ + B e θ = r σ σ Trouver une relaion enre M S e M B e enre m S e m B pour chaque >. Dans ce qui sui, H e K désigne des nombres réels sricemens posiifs. 3. Monrer que avec 4. Monrer que avec P [ S K, M S d 1 = d 2 = P [ S K, m S d 3 = d 4 = ( log ( log H ] = N(d 1 ) ( K x ( Kx H 2 ( ) (2r/σ H 2 ) 1 N(d 2 ), x ) (r 12 ) ) σ2 /σ, ) (r 12 ) ) σ2 /σ. H ] = N(d 3 ) ( ) (2r/σ H 2 ) 1 N(d 4 ), x ( ( x ) log + (r 12 ) ) K σ2 /σ, ( log ( H 2 xk ) + (r 12 ) ) σ2 /σ. 5. Déduire de la quesion 3. que (E désignan l espérance sous P) ] E [S 1 {S K,M S H} = x e (N(d r 5 ) ( ) ) (2r/σ H 2 )+1 N(d 6 ), x avec d 5 = d 6 = ( log ( log ( K x ( Kx H 2 ) (r + 12 ) ) σ2 /σ, ) (r + 12 ) ) σ2 /σ. 6. En uilisan le résula de la quesion 4., vérifier que ] E [S 1 {S K,m S H} = x e (N(d r 7 ) ( ) ) (2r/σ H 2 )+1 N(d 8 ), x avec d 7 = d 8 = ( ( x ) log + (r + 12 ) ) K σ2 /σ, ( log ( H 2 Kx ) + (r + 12 ) ) σ2 /σ.

27 Enoncés [ ] 7. On pose v 1 (x, T ) = E e rt (S T K) + 1 {m S T H}. Monrer que v 1 (x, T ) = x [ N(d 7 ) Déerminer la quanié x v 1(x, T ). 8. On pose v 2 (x, T ) = E e x v 2(x, T ). 9. On pose ( ) ] [ (2r/σ H 2 )+1 N(d 8 ) e rt K N(d 3 ) x [ e rt (S T K) + 1 {M S T H} [ ] v 3 (x, T ) = E e rt (S T K) + 1 {M S T H} [ ] v 4 (x, T ) = E e rt (S T K) + 1 {m S T H} v(x, T ) = E [ e rt (S T K) + ]. ( ) ] (2r/σ H 2 ) 1 N(d 4 ). x ]. Donner une formule explicie pour v 2 (x, T ) Donner une relaion enre v 2 (x, T ),v 3 (x, T ) e v(x, T ) d une par e enre v 1 (x, T ),v 4 (x, T ) e v(x, T ) d aure par.,,

28 28 Iô.

29 Chaper 3 Inégrale d Iô Dans ou ce chapire, B es un mouvemen Brownien don la filraion es noée F. On considère un processus θ, ff-adapé coninu à gauche, e admean des limies à droie, el que θ 2 d <, a.s on monre qu il exise des processus θ n de la forme θ n = θ i,n 1 ]i, i+1 avec θ i,n L 2 (Ω) e F i - mesurables, convergean vers θ dans L 2 (Ω R + ) (au sens où θ θ n 2 quand n. On défini θ sdb s, comme la limie de k(n) θ j=1 j,n (B( j+1 ) B( j )) Le processus I(θ) = θ sdb s a les propriéés suivanes. Si ( ) E θ 2 d <, le processus I(θ) es une maringale, dans les aures cas, c es une maringale locale. Si ( ) E θ 2 d <, le processus es une maringale. (I(θ) θ 2 d, ) Inégrale de Wiener: Si f es une foncion déerminise, de carré inégrable sur ou inervalle [, ], le processus (I(f), ) es un processus gaussien. Croche: Le croche d une maringale de carré inégrable coninue M es l unique processus croissan M el que M 2 M soi une maringale. Le croche de I(θ) es par définiion I(θ) = θ 2 d Si X e Y son deux maringales coninues leur croche X, Y es l unique processus à variaion bornée el que XY X, Y es une maringale. Le croche de deux inégrales soichasiques es I(θ), I(ψ) = θ sψ s ds Si X e Y son deux semi-maringales coninues leur croche es le croche des paries maringales Processus d Iô: On appelle processus d Iô un processus X admean une décomposiion de la forme X = x + a s ds + 29 σ s db s

30 3 Iô. où a e σ son des processus F-adapés, vérifian a s ds < e σ2 sds <. Formule d inégraion par paries: Soi X e Y deux processus d Iô relaifs au même mouvemen Brownien B, alors dx = a d + σ db dy = b d + ν db d(xy ) = X dy + Y dx + d X, Y Formule d Iô: Si f es une foncion C 1,2 f(, X ) = f(, X ) + A(s, X s )ds + x f(s, X s )db s où Af(, x) = f(, x) + b(, x) x f(, x) xxf(, x) Cee formule s écri aussi df(, X ) = f(, X )d + x f(, X )dx xxf(, X )d X Les croches se calculen formellemen de la façon suivane d X, Y = dx dy, avec la able de muliplicaion suivane d d =, d db =, db db = d 3.1 Inégrale de Wiener Exercice Soi Y = B. Calculer dy, l espérance de la v.a. Y e la covariance E(Y Y s ). Exercice Monrer que la v.a. X = 2. Monrer que X es un processus gaussien. Calculer son espérance e sa covariance E(X s X ). 3. Calculer E[X F s ]. 4. Monrer que X = (sin )B (cos s)b s ds. Exercice Monrer que (Y = sin(b ) son espérance e sa variance. Exercice (sin s) db s es définie. sin(b s) ds, ) es une maringale. Calculer 1. Monrer que le processus (Y = (an s) db s, < π 2 ) es défini. 2. Monrer que Y es un processus gaussien, calculer son espérance, sa covariance e l espérance condiionnelle E(Y F s ).

31 Enoncés B s 3. Monrer que Y = (an ) B cos 2 s ds. Exercice Pon Brownien. On considère l équaion différenielle sochasique { X dx = 1 d + db ; < 1 X = e l on adme l exisence d une soluion. 1. Monrer que db s X = (1 ) 1 s ; < Monrer que (X, ) es un processus gaussien. Calculer son espérance e sa covariance. 3. Monrer que lim 1 X =. Exercice Monrer que, si f es une foncion déerminise de carré inégrable Exercice Calculs de momens. 2 E(B f(s) db s ) = f(s) ds. Soi 1 < 2. Calculer A = E( (B B 1 ) d F 1 ). Monrer que (B B 1 ) d = ( 2 )db. 1 1 [ 1 2 ] Uiliser cee égalié pour calculer A d une aure manière. Calculer Var (B B 1 ) d F Formule d Iô Exercice Ecrire les processus suivans comme des processus d Iô en précisan leur drif e le coefficien de diffusion X = B 2 2. X = + e B 3. X = B 3 3B 4. X = e B 5. X = [B 1 ()] 2 + [B 2 ()] 2 6. X = (B + ) exp( B 1 2 ) 7. X = exp(/2) sin(b ) ( ) Exercice Inégraion par paries. Soi X = exp a(s)ds e [ ( s )] Y = Y + b(s) exp a(u)du db s où a e b son des foncions boréleiines inégrables. On pose Z := X Y. Monrer que dz = a()z d + b()db.

32 32 Iô. Exercice Inégraion par paries. Soi Y = X 1 ()X 2 () avec dx 1 () = f() d + σ 1 ()db dx 2 () = σ 2 ()db Calculer dy. Exercice Equaion différenielle. On adme que le sysème suivan adme une soluion X = x + Y s db s Monrer que X 2 + Y 2 = (x 2 + y 2 )e. Exercice Formule d Iô. Soi Y = 1. Ecrire l EDS vérifiée par Z. 2. Calculer E(Z ), E(Z 2 ) e E(Z Z s ). Y = y X s db s e s db s e Z = Y s db s. Exercice On suppose que X es un processus d Iô de drif a(k X ), que X = f(k ) e que K = b + σb où a, b, σ son des consanes e B un mouvemen brownien. Quelle es la forme de f? Exercice Exponenielle. Soi σ un processus adapé coninu de L 2 (Ω R) e On pose Y := exp X e Z = Y 1. X = σ s db s 1 2 σ 2 s ds. 1. Explicier la dynamique de Y, c es-à-dire exprimer dy. 2. Monrer que Y es une maringale locale. Donner une condiion sur σ pour que ce soi une maringale. 3. Calculer E(Y ) dans ce cas. Explicier les calculs quand σ = Calculer dz. Exercice Soi (a, b, c, z) des consanes e Quelle es l EDS vérifiée par Z? Z = e (a c2 /2)+cB (z + b Exercice On considère le processus de dynamique où (h, ) es un processus adapé. ) e (a c2 /2)s cb s ds ds = S ((r q + h )d + σdb )

33 Enoncés On se place dans le cas h =,. Monrer que (M = S e (r q), ) es une maringale posiive. On défini une probabilié Q par dq F = M M dp F. Commen se ransforme le MB B? 2. Dans le cas h non nul, explicier S. 3. On suppose que h = h(s ) où h es une foncion coninue. On adme qu il exise une soluion de l EDS correspondane. Monrer que e rt E(e T h(s s)ds Ψ(S T )) = e qt S E Q (S 1 T Ψ(S T )) 4. On se place mainenan dans le cas h = S p, avec p réel. On adme qu il exise une soluion de l EDS. On pose Z = S p. (a) Quelle es la dynamique de Z? (b) Vérifier, en uilisan l exercice 4 que l on peu explicier Z. (c) Pour quelles foncions f, le processus f(z) es il une maringale (locale)? Exercice Processus d Ornsein Uhlenbeck. Soi X el que dx = (a bx )d + db ( 1. Monrer que Z = exp c X s db s c2 2 ) Xs 2 ds es une maringale locale. 2. Soi U = X 2. Ecrire du puis la variable U comme une somme d inégrales. 3. Monrer que X s db s = 1 2 (X2 X 2 ) a X s ds + b Exercice Soi Z le processus défini par ( ) 1 Z = exp B2. 1 2(1 ) X 2 s ds. 1. Monrer que Z es une maringale e que Z end vers quand end vers Calculer E(Z ). 3. Ecrire Z sous la forme Z = exp ( où Φ es un processus que l on précisera. Φ s db s 1 2 Φ 2 sds) Exercice Momens d une exponenielle sochasique. Soi L le processus soluion de dl = L φdb, L = 1 où φ es une consane. L = E(φB). Le processus L es l exponenielle de Doléans-Dade de φb e se noe 1. Déerminer la foncion Γ elle que, pour a R, le processus (L ) a exp( Γ(a)) es une maringale. 2. En déduire le calcul de E [(L ) a ] pour ou a R. Exercice Démonsraion de l unicié de l écriure d un processus d Iô. Soi dx = a d + σ db. On souhaie démonrer que si X, alors a, σ.

34 34 Iô. 1. Appliquer la formule d Iô à Y = exp( X 2 ). 2. En déduire le résula souhaié. Exercice Soi V = KX avec Calculer dv e d ln X. Exercice Monrer que M = exp ( es une maringale locale. Exercice Soi A = dx = X (µ k s ln X )d + σx db dk = K (r + k)d B 2 sds ) exp ( B2 2 anh(t )) 1 (cosh(t )) 1/2 exp(b s + νs)ds e ds = S (rd + σdb ). Monrer que le processus f(, S, A ) es une maringale si f vérifie une équaion aux dérivées parielles à coefficiens déerminises que l on précisera. Exercice Soi dx = db + 1 X d. Monrer que 1 X es une maringale (locale). Quelles son les foncions f elles que f(, X ) soi une maringale locale?. Exercice Soi B e W deux browniens corrélés e dr = [a(b r ) λσr ]d + σ r dw dv = (r δ)v d + σ V V db On pose X = r e Y = ln V αx avec α = 2ρσ V /σ. Calculer dx e dy. Exercice Soi T fixé e B(, T ) = exp Monrer que où on a noé α(, T ) = Exercice Soi ( T f(, u)du ) avec df(, T ) = α(, T )d + σ(, T )db, < T db(, T ) = (r α(, T ) σ(, T ))B(, T )d σ(, T )B(, T )db T α(u, T )du dr = (a br )d σ r (db + λd) e W un mouvemen Brownien indépendan de B. Soi λ 1 une consane e H le processus ( H = exp r s ds + 1 (λ λr s )ds + λ 1 dw s + λ ) r s db s 2 T Monrer que le calcul de E(exp(HT α) F ) se rédui à celui de E(exp( ηr T µ r s ds) F ).