CCP Filière MP. Mathématiques 1. Corrigé pour serveur UPS de JL. Lamard

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1 CCP 27. Filière MP. Mthémtiques. Corrigé pour serveur UPS de JL. Lmrd EXERCCE.. f est continue (en tnt de frction rtionnelle dont le dénominteur ne s nnule ps sur le compct F donc bornée et y tteint s borne supérieure M en u moins un point A. b. Si A = (, b F = Ω lors A est un extremum locl de l restriction de f à l ouvert Ω sur lequel f est de clsse C donc A est un point critique. Or f 2xy x2 f 2xy y2 (x, y = x ( + x 2 2 ( + y 2 et pr rison de symétrie (x, y = y ( + x 2 ( + y 2 2. { 2b l en découle que 2 = 2b b 2 = Pr soustrction il vient 2 = b 2 donc = b puisque et b sont positifs. Ainsi 3 2 = et donc A = (,. 3 3 En résumé si M est tteint sur Ω lors M = M = f(a = c. t ϕ(t = f(t, = t + t 2 croît sur [, ] et son mximum est M = ϕ( = 2. t ψ(t = f(, t = M 2 = 4( 2. + t 2( + t 2 croît sur [, 2 ] puis décroît. Son mximum sur [, ] est donc ψ( 2 soit Pr rison de symétrie pr rpport à l première bissectrice, le mximum de f sur l frontière de F est mx(m, M 2 i.e. M 2 cr 2 <.5. l découle de ce qui précède que si M est tteint sur Ω lors M = M et que sinon, i.e. s il est tteint sur l frontière, lors M = M 2. Donc M = mx(m, M 2 = M cr M.65 et M 2.6. PROBLÈME : ÉCHANGE DE LMTES ET D NTÉGRALES. PARTE PRÉLMNARE.. Fonction Gmm d Euler.. Notons f(t, x = e t t x. Pour x > fixé quelconque, t f x (t = f(x, t est continue donc loclement intégrble sur ], + [. Au voisinge de, f x (t t x > et t t x est intégrble en cr x > donc f x (t églement. Au voisinge de +, f x (t = o( t 2 pr croissnce comprées donc f x(t est intégrble en +. Ainsi f x est bien intégrble sur ], + [. b. Une intégrtion pr prties sur le segment [ǫ, A] suivie d un pssge à le limite lorsque ǫ et A + fournit imméditement Γ(x + = xγ(x. Or Γ( = donc, pr une itértion évidente, Γ(n = (n! pour tout entier n >. 2. Fonction zêt de Riemnn.. Pour x > fixé, l fonction ϕ(t = x décroît donc t p p Donc Rn(x p = ϕ(k ϕ(tdt = x DEF k=n+ n k+ k ( n x p x. ϕ(tdt ϕ(k +. En fisnt tendre p vers + (les deux limites existent bien, il vient R n (x b. Ainsi pour voir ζ(p n k= (x n x. ( lnε ln(p ε, il suffit d voir k p (p n p ε soit n exp p ( c. Avec p = 7 et ε = 6, il vient qu il suffit de choisir n exp Donc n = 8 convient. En fit ln( ln( Donc 8 CCP 27 mths.tex k= 7.4. k 7 ζ(7 8 k=. k

2 8 Or un progrmme immédit fournit et on peut retenir risonnblement vu le fible nombre k= k d opértions k= k Donc ζ( PREMÈRE PARTE : SUTES DE FONCTONS. 3. Théorème de convergence uniforme pour une suite de fonctions. Pr le théorème de récupértion uniforme de l continuité, f est continue sur [, b] de sorte que prfitement défini. Pr illeurs il vient : b b b f(xdx f n (xdx f(x fn (x b d x 4. Exemples et contre-exemples. b f(xdx est f f n d x = (b f f n. Soit l fonction f n définie sur [, ] pr f( =, f( n = n, f(x = pour x 2 n et pr le fit que f n soit ffine entre et n et entre n et 2 n. Alors f n est bien continue et converge simplement sur [, ] vers l fonction f nulle (en effet pour x > fixé on f n (x = pour n 2/x et f n ( = pour tout n. Mis l convergence n est ps uniforme cr f f n = f n = 2n et (ire d un tringle tend ps vers f(xdx = f n (xdx = ne b. Soit l fonction f n définie sur [, ] pr f n (x = pour x /n, pr f n ( = et pr le fit que f n soit ffine entre et /n. Alors f n est bien continue sur [, ] et l suite (f n converge simplement sur [, ] vers l fonction f continue pr morceux définie pr f(x = si x > et f( =. L convergence n est donc ps uniforme sinon f serit continue pr le théorème de récupértion uniforme de l continuité. Cependnt f n (xdx = 2n + ( n = f(xdx 5. Cs d un intervlle quelconque.. L étude immédite des vritions de f n montre que f n croît entre et n de à f n (n puis décroît vers. Ainsi f n = f n (n. Or f n (n = nn e n ce qui prouve que l suite (f n converge uniformément sur 2πn [, + [ vers l fonction nulle. Γ(n + Or, pr l question, f n est intégrble sur [, + [ d intégrle = qui ne tend ps vers. Ainsi TH est-il fux sur un intervlle non borné. b. L définition de l convergence uniforme écrite vec ε = prouve qu il existe un entier p tel que f f n pour n p. Alors en prticulier f f p donc f(x + f p (x pour tout x. Ainsi f est une fonction continue (théorème de récupértion uniforme de l continuité dominée sur pr une fonction intégrble sur donc est bien intégrble sur. L suite de l démonstrtion est exctement l même que dns l question 3 en remplçnt b pr l(. Ainsi le TH est-il vri sur un intervlle borné. 6. Théorème de l convergence dominée.. Les fonctions f n sont continues pr morceux (insi que f et dominées sur pr l fonction ϕ (de même que f pr pssge à l limite intégrble sur donc les fonctions f n et l fonction f sont bien intégrbles sur. b. On peut bien sûr reprendre l exemple de l question 4.b. mis l vérifiction directe de l propriété de permuttion est évidente et utiliser le TH2 dns ce cs revient à csser un œuf à l coque vec un mrteu piqueur! Voici un exemple qui peut lui ussi se triter directement mis moins simplement et pour lequel l usge du TH2 est commode : Soit g une fonction continue sur [, ] telle que g( g(. Alors l suite (f n définie pr f n (x = g(x n converge simplement vers l fonction f définie pr f(x = g( si x et f( = g(. L convergence n est ps uniforme cr les fonction f n sont continues mis ps l fonction f qui est bien continue pr morceux nénmoins. Or les fonctions f n sont dominées sur [, ] pr l fonction constnte égle à g qui est évidemment intégrble sur [, ]. Le théorème de l convergence dominée permet d ffirmer que g(x n dx f(xdx = g(. CCP 27 mths.tex pge 2

3 L suite (f n vec f n (x = esin(x/n + x 2 converge simplement sur [, + [ vers l fonction f définie pr f(x = + x 2 et est dominée sur [, + [ pr l fonction ϕ = ef intégrble. Ainsi le TH2 s pplique (cr les fonctions f n et l fonction f sont en outre continues pr morceux -et même continues- et prouve que : lim + e sin(x/n + x 2 d x = π 2. DEUXÈME PARTES : SÉRES DE FONCTONS. 7. Théorème de convergence uniforme pour les séries de fonctions. Le théorème TH3 n est rien d utre que le théorème TH ppliqué à l suite des sommes prtielles de l série de fonctions. En effet : Notons S n = n f k et S = + f k. Comme les fonctions f k sont continues et l série f k converge uniformément k= k= sur [, b], l suite (S n est une suite de fonctions continues convergent uniformément sur [, b] vers S donc le TH b n b b prouve que S n (xdx = f k (xdx S(xdx i.e., pr définition même de l convergence d une k= série et de l vleur de s somme, que + k= b f k (xdx = b ( + 8. Appliction : séries trigonométriques et séries de Fourier. k= f k (x d x.. Le théorème de Prsevl ffirme que l série de Fourier d une fonction f périodique et continue pr morceux converge en moyenne qudrtique vers f. Si l série + sin(nx étit l série de Fourier d une fonction f, on urit donc n= n 2 n= n = f 2 = f 2 (xdx 2π 2π ce qui est évidemment impossible puisque l série hrmonique diverge. Remrque : Grâce à l trnsformtion d Abel, on peut démontrer que l série proposée converge. b. Soit une série trigonométrique convergent uniformément sur R vers une fonction f, de ce fit 2π-périodique et continue. Soit p un entier quelconque et, pour tout entier n, soit S n (x = 2 + n ( k cos(kx +b k sin(kx. Alors ( k= l suite S n (xcos(px converge uniformément sur R vers f(xcos(px. n N En effet, pour tout x, on f(xcos(px S n (xcos(px f(x S n (x f S n donc, pr définition même du sup, f(xcos(px S n (xcos(px f S n. Le théorème TH3 prouve lors que : f(xcos(pxdx = cos(pxdx + ( k cos(kxcos(pxdx + b k sin(kx cos(px d x. π 2π 2π 2π π k= 2π 2π Si on note α k et β k les coefficients de Fourier de l fonction f, il vient lors, compte tenu des résultts clssiques rppelés, α = (pour p = et α n = n pour (p = n. On prouve de même que β n = b n pour n. Ainsi l série de Fourier de f n est utre que l série trigonométrique de déprt. En d utres termes l série de Fourier de l somme d une série trigonométrique convergent uniformément sur R n est utre que l série elle-même. 9. ntégrtion terme à terme d une série de fonctions. Appliction : théorème de Hrdy.. Notons u n (x = nx n et soit A > quelconque fixé. Pour x [ A, A] on u n (x n An. Comme l série n converge, l suite ( n tend vers donc est bornée mettons pr M. l vient donc, pour tout x [ A, A], u n (x M An terme générl d une série convergente (exponentielle. Ainsi l série u n (x converge loclement normlement sur R (donc fortiori simplement et s somme f est une fonction continue sur R. Remrque : l seule hypothèse que l suite ( n est bornée suffit ici à conclure. CCP 27 mths.tex pge 3

4 b. l en découle bien sûr que l série + u n (xe x est une série de fonctions continues convergent simplement sur R n= vers l fonction continue f(xe x. En outre u n (xe x est intégrble sur [, + [ cr continue donc loclement intégrble sur [, + [ et est intégrble en + puisque u n (xe x = o( 2 u voisinge de + pr croissnces comprées. x + Pr illeurs un (xe x n + d x = x n e x Γ(n + d x = n = n et, puisque l série n est bsolument convergente, le théorème TH4 s pplique et prouve que : L fonction x f(xe x est intégrble sur [, + et + Cs où les théorèmes TH3 et TH4 ne s ppliquent ps. f(xe x d x = n= n.. Notons u n (x = ( n x n. L série + u n (x converge simplement sur [, [ vers S(x = n= + x. L convergence n est ps uniforme sur [, [ sinon le théorème du double pssge à l limite s ppliquerit et prouverit que l série + ( n converge (vers 2. n= On peut ussi remrquer que S(x S n (x = xn+ + x x 2 donc S S n 2. b. u n (x d x = diverge donc le théorème TH4 ne s pplique ps. n + c. donc S(xdx n k= S(xdx u k (xdx = n k= u k (xdx n + 2. ( S(x S n (x d x = Ce qui prouve, pr définition même de l convergence, que l série + S(xdx = ln 2. Théorème de l convergence monotone. ( n+ x n+ d x = + x k= x n+ + x d x x n+ d x u k (xdx converge et pour somme L suite (S n est une suite de fonctions continues pr morceux qui converge simplement sur vers une fonction f continue pr morceux pr hypothèse. En outre, puisque les fonctions f k sont positives, il vient S n (x = S n (x f(x. Or f est intégrble sur pr hypothèse. Donc l suite (S n vérifie les hypothèses du théorème TH2 qui prouve que S n (x dx f(xdx c est à dire n f k (xdx f(xdx. Donc pr définition même de l convergence d une série : k= L série + ( + f k (xdx converge et pour somme f k (x d x k= 2 Appliction à l physique. k=. f(t = t3 e t est continue donc loclement intégrble sur ], + [. Au voisinge de, f(t t2 de sorte que f se prolonge pr continuité en qui de ce fit est une fusse borne impropre. Au voisinge de +, f(t = o( t 2 donc f est intégrble en + et donc finlement sur ], + [. Pr illeurs pour t > on e t = e t t = e (n+t donc f(t = + t 3 e (n+t = + u n (t. e n= n= n= Or les fonctions u n sont positives et intégrbles sur ], + [ (Cf.. donc les hypothèses du théorème de l convergence monotone sont vérifiées et insi + f(tdt = + n= CCP 27 mths.tex pge 4 u n (tdt.

5 Or, pr le chngement de vrible dmissible cr C -difféomorphisme de ], + [ sur lui-même u = (n + t, + + u n (tdt = (n + 4 u 3 e u d u = Γ(4 (n + 4 = 6 (n + 4. Ainsi + t 3 e t d t = 6 n= π4 = 6 ζ(4 = 4 (n b. l vient M = 2πhc 2 λ 5. hc d λ. Le chngement dmissible u = fournit : e hc/kbtλ e hc/kbtλ M = 2πhc 2 (k BT 4 + u 3 (hc 4 e u d u = 2πhc2 (k BT 4 (hc 4 π4 5 = 2 π5 kb 4 5 h 3 c 2 T 4. 3 Générlistion.. En remplçnt dns l démonstrtion de l question 2.. t 3 pr t x (ce qui est bien licite cr x >, on obtient de même pr le théorème de l convergence monotone : + t x + e t d t = t x e (n+t + d t = (n + x u x e u Γ(x d u = (n + x = Γ(xζ(x n= b. En prticulier : + t π2 e t = Γ(2ζ(2 = 6 + t 6 = e t d t = Γ(7ζ(7 = 72 ζ(7 donc, d près l question 2.c. : donc : + t e t d t n= n= FN CCP 27 mths.tex pge 5