Espaces métriques, espaces vectoriels normés. Tewfik Sari. L2 Math

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1 Espces métriques, espces vectoriels normés Tewfik Sri L2 Mth

2 Avertissement : ces notes sont l rédction, progressive et provisoire, d un résumé du cours d espces métriques de d espces vectoriels normés du L2 Mth. Les étudints sont invités à les compléter en rédigent soigneusement toutes les démonstrtions. i

3 Chpitre 1 Distnces et normes 1.1 Définitions Définition 1 Soit E un ensemble. On ppelle distnce sur E toute ppliction d : E 2 R +, (x, y) d(x, y), telle que (D1) (x, y) E 2, d(x, y) = d(y, x). (D2) (x, y) E 2, d(x, y) = 0 x = y. (D3) (x, y, z) E 3, d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Un espce métrique est un couple (E, d) où E est un ensemble et d une distnce sur E. Proposition 1 Soit (E, d) un espce métrique. On (D3 ) (x, y, z) E 3, d(x, y) d(x, z) d(y, z). Exemple. Soit E un ensemble. L ppliction d : E 2 R + définie pr { 1 si x y d(x, y) = 0 si x = y est une distnce sur E, ppelée l distnce trivile. Définition 2 Soit E un espce vectoriel sur K (K = R ou C). On ppelle norme sur E toute ppliction : E R +, x x, telle que (N1) λ K, x E, λx = λ x. (N2) x E, x = 0 x = 0. (N3) (x, y) E 2, x + y x + y. Un espce vectoriel normé (EVN) est un couple (E, ) où E est un espce vectoriel et une norme sur E. Proposition 2 Soit (E, ) un EVN. On (N3 ) (x, y) E 2, x y x y. Proposition 3 (Distnce ssociée à une norme) Soit (E, ) un EVN. L ppliction d : E E R + définie pr d(x, y) = x y, est une distnce sur E, ppelée l distnce ssociée à l norme. Elle vérifie, en plus des conditions (D1), (D2) et (D3) de l définition 1, les propriétés suivntes : (D4) λ K, (x, y) E 2, d(λx, λy) = λ d(x, y). (D5) (x, y, z) E 3, d(x + z, y + z) = d(x, y). 1

4 CHAPITRE 1. DISTANCES ET NORMES 2 Proposition 4 Soit (E, d) un espce métrique. On suppose que E est un espce vectoriel sur K et que l distnce d vérifie ussi les conditions (D4) et (D5) de l proposition 3. Alors l ppliction : E E R + définie pr x = d(0, x) est une norme sur E. L distnce ssociée à cette norme est l distnce d. Remrque. L distnce trivile d : R 2 R + définie pour tous x et y dns R pr d(x, y) = 1 si x y et d(x, x) = 0 n est ssociée à ucune norme sur R cr elle ne vérifie ps l condition (D4). 1.2 Exemples Normes et distnces usuelles sur K n. Soit n N. Les pplictions définies, pour tout x = (x 1,, x n ) K n, pr x 1 = k=1 1, 2,, : K n R +, ( n n ) 1 2 x k, x 2 = x k 2, x = mx x k, 1 k n sont des normes sur K n. Les distnces ssociées à ces normes sont définies pr d 1 (x, y) = k=1 k=1 ( n n ) 1 2 x k y k, d 2 (x, y) = x k y k 2, d (x, y) = mx x k y k. 1 k n k=1 L distnce d 1 est ppelée l distnce de Mnhttn. L distnce d 2 est ppelée l distnce euclidienne usuelle (si K = R).. Normes de Hölder sur K n. Soient n N et p [1, + [. L ppliction p : K n R +, x = (x 1,, x n ) x p = est une norme sur K n. Pour tout x K n on lim x p = x. p + ( n k=1 x k p ) 1 p, Norme usuelles sur C([, b], K). Soient et b des nombres réels tels que < b. L ensemble C([, b], K) des fonctions continues sur [, b] à vleur dns K est un K-espce vectoriel. Les pplictions 1, 2,, : C([, b], K) R +, définies, pour toute fonction continue f : [, b] K, pr f 1 = sont des normes sur C([, b], K). ( f(x) dx, f 2 = Normes de Hölder sur C([, b], K). Soit p [1, + [. L ppliction ( p : C([, b], K) R +, f f p = est une norme sur C([, b], K). Pour tout f C([, b], K) on ) 1 2 f(x) 2 dx, f = sup f(x), x [,b] lim f p = f. p + ) 1 f(x) p p dx,

5 CHAPITRE 1. DISTANCES ET NORMES Suites dns un espce métrique Soit (E, d) un espce métrique. Une suite dns E est une ppliction que l on note ussi (u n ) n N. u : N E, n u(n) = u n, Définition 3 On dit qu une suite (u n ) n N de E converge vers un élément l E, et on note lim n u n = l, si et seulement si l suite numérique d(u n, l) converge vers 0. Ainsi lim u n = l lim d(u n, l) = 0 ε > 0 N N n N (n N d(u n, l) ε). n n Proposition 5 (Unicité de l limite) Si une suite de E converge vers les éléments l 1 et l 2 de E lors l 1 = l 2.

6 Chpitre 2 Voisinges, ouverts, fermés 2.1 Boules et voisinges dns un espce métrique Soit (E, d) un espce métrique. Définition 4 Soient E et r > 0. On ppelle boule ouverte de centre et de ryon r l prtie suivnte de E B(, r) = {x E : d(, x) < r}. On ppelle boule fermée de centre et de ryon r l prtie suivnte de E Bf(, r) = {x E : d(, x) r}. On ppelle sphère de centre et de ryon r l prtie suivnte de E S(, r) = {x E : d(, x) = r}. Exemples. Les boules B 1 (0, r), B 2 (0, r) et B (0, r) de centre 0 et de ryon r > 0 dns R 2, muni des distnces d 1, d 2 et d, sont représentées pr : 0 r 0 r 0 r B 1(0, r) B 2(0, r) B (0, r) Définition 5 Soient E et V E. On dit que V est un voisinge de s il existe r > 0 tel que B(, r) V. On note pr V() l ensemble des voisinges de. Proposition 6 (Propriétés des voisinges) Soient E et V un voisinge de. Alors V et toute prtie de E qui contient V est ussi un voisinge de. Pr illeurs, pour tous voisinges V 1,..., V n de, leur intersection V 1 V n est ussi un voisinge de. Proposition 7 (Séprtion) Soient E et b E tels que b. Alors il existe un voisinge U de et un voisinge V de b tels que U V =. On dit qu un espce métrique est sépré. 4

7 CHAPITRE 2. VOISINAGES, OUVERTS, FERMÉS Ouverts et fermés dns un espce métrique Soit (E, d) un espce métrique. Définition 6 On dit qu une prtie U E est un ouvert de E si U est un voisnge de chcun de ses points, c est à dire U ouvert de E x U, U V(x) x U, r > 0, B(x, r) U. On dit que U est un fermé de E si son complémentire E \ U est un ouvert de E. Exemples. Toute boule ouverte de E est un ouvert de E. En effet, pour tout x B(, r) on B(x, r d(, x)) B(, r). Toute boule fermée de E est un fermé de E. En effet, pour tout x / B(, r) on B(x, d(, x) r) E\B(, r). Proposition 8 (Propriétés des ouverts) Soit (E, d) un espce métrique. (i) et E sont des ouverts de E. (ii) Toute réunion d ouverts de E est un ouvert de E. (iii) Toute intersection finie d ouverts de E est un ouvert de E. Proposition 9 (Propriétés des fermés) Soit (E, d) un espce métrique. (i) et E sont des fermés de E. (ii) Toute intersection de fermés de E est un fermé de E. (iii) Toute réunion finie de fermés de E est un fermé de E. L ensemble O = {U E : U ouvert de E} des ouverts d un espce métrique (E, d) est ppelé l topologie de (E, d). Soit (E, ) un EVN. Soit d l distnce ssociée à l norme. L topologie de l espce métrique (E, d) est ppelée ussi l topologie de l EVN (E, ). 2.3 Normes équivlentes Définition 7 Soit E un K-espce vectoriel. Soient et deux normes sur E. On dit que et sont équivlentes et on note, si et seulement si il existe des constntes α > 0 et β > 0 telles que pour tout x E on it α x x β x. Proposition 10 L reltion est une reltion d équivlence (c est à dire une reltion réflexive, symétrique et trnsitive) sur l ensemble des normes sur E. Exemple. Les normes usuelles sur K n sont équivlentes cr pour tout x K n on x x 1 n x, x x 2 n x Remrque. Deux normes et sont équivlentes sur E si et seulement si les ensembles de nombres réels { x x : x E \ {0}}, et { x x : x E \ {0}}, sont bornés. Pr conséquent, s il existe une suite (x n ) n N dns E \ {0} telle que x n lim n x n = 0 ou lors les normes et ne sont ps équivlentes. lim x n n x n = +,

8 CHAPITRE 2. VOISINAGES, OUVERTS, FERMÉS 6 Exemple. Les normes 1 et sur C([0, 1], R) ne sont ps équivlentes. En effet, soit (f n ) n 1 l suite dns C([0, 1], R) définie pr { n(1 nx) si x [0, 1 f n (x) = n ] 0 si x ] 1 n, 1] On f n 1 = 1 2 et f n = n. Pr conséquent f n lim n f n = +. Proposition 11 Soit E un K-espce vectoriel. Soient et deux normes sur E. Alors toute suite qui converge vers 0 dns (E, ), converge ussi vers 0 dns (E, ), si et seulement si il existe α > 0 tel que pour tout x E on it x α x. Pr conséquent deux normes ont les mêmes suites convergentes vers 0 si et seulement si elles sont équivlentes. Théorème 1 Soit E un K-espce vectoriel. Soient et deux normes sur E. Soient O et O les topologies des EVN (E, ) et (E, ). On O = O. 2.4 Intérieur, dhérence Soit (E, d) un espce métrique. Soit A E. Définition 8 1. On ppelle intérieur de A, et on note A, l réunion des prties ouvertes de E incluses dns A. Les éléments de A sont ppelés les points intérieurs à A. 2. On ppelle dhérence de A, et on note A, l intersection des prties fermées de E contennt A. Les éléments de A sont ppelés les points dhérents à A. 3. On ppelle frontière de A, et on note Fr(A), l prtie Fr(A) = A \ A. Les éléments de Fr(A) sont ppelés les points frontière de A. Comme A est une réunion d ouverts, c est un ouvert. En rélité, A est le plus grnd (u sens de l inclusion) ouvert contenu dns A. Comme A est une intersection de fermés, c est un fermé. En rélité, A est le plus petit (u sens de l inclusion) fermé contennt A. Comme Fr(A) est une intersection de deux fermés (montrer le!) c est un fermé. Théorème 2 Pour toute prtie A de E et tout x E on Proposition 12 Pour toutes prties A et B de E on E \ A = E \ A, E \ A = (E \ A). A ouvert A = A, A fermé A = A. x A A est un voisinge de x. x A Tout voisinge de x rencontre A. A = A, (A ) = A. A B A B, A B A B. A B = A B, A B A B, (A B) = A B (A B) A B Proposition 13 (Crctéristion de l dhérence en termes de suites) Soit (E, d) un espce métrique. Soit x E et A E. Pour que x A il fut et il suffit qu il existe une suite d éléments de A qui converge vers x.

9 CHAPITRE 2. VOISINAGES, OUVERTS, FERMÉS 7 Exemple Dns un EVN, l dhérence d une boule ouverte de ryon non nul est l boule fermée de même ryon. De même l intérieur d une boule fermée est l boule ouverte de même ryon. On donc : B(, r) = Bf(, r), et Bf(, r) = B(, r) Cette propriété est fusse en générl dns un espce métrique quelconque (donner un contre exemple). Théorème 3 Soit (E, d) un espce métrique. Soit A E. Pour que l prtie A soit fermée il fut et il suffit que pour toute suite convergente d éléments de A, l limite pprtienne à A.

10 Chpitre 3 Suites, limites, continuité 3.1 Suites Convergence Soit (E, ) EVN. Soit (u n ) une suite dns E. Rppelons (voir Section 1.3) l notion de convergence. Définition 9 On dit qu une suite (u n ) n N de E converge vers un élément l E, et on note lim n u n = l, si et seulement si l suite numérique u n l converge vers 0. Ainsi lim u n = l lim u n l = 0 ε > 0 N N n N (n N u n l ε). n n Proposition 14 (Unicité de l limite) Si une suite de E converge vers les éléments l 1 et l 2 de E lors l 1 = l 2. Soient (E 1, 1 ) et (E 2, 2 ) deux EVN. L ppliction : E 1 E 2 R +, définie pr x = mx( x 1 1, x 2 2 ) pour tout x = (x 1, x 2 ) E 1 E 2, est une norme sur E 1 E 2. L espce (E 1 E 2, ) est ppelé l EVN produit des EVN (E 1, 1 ) et (E 2, 2 ). Proposition 15 (Suites à vleur dns un produit) Soit (u n ) = (u 1,n, u 2,n ) une suite dns (E 1 E 2, ). Soit l = (l 1, l 2 ) E 1 E 2. Alors lim u n = l lim u 1,n = l 1 et lim u 2,n = l 2. n n n Proposition 16 (Propriétés des suites convergentes) Soit (E, ) un EVN. Soient (u n ), (v n ) deux suites dns E. Soit (λ n ) une suite dns K. Alors 1. lim u n = l lim u n = l n n 2. lim u n et lim v n existent lim (u n + v n ) = lim u n + lim v n. n n n n n 3. lim λ n et lim u n existent lim (λ nu n ) = lim λ n lim u n. n n n n n Vleurs d dhérence, points d ccumultion Soit (E, d) espce métrique. Soit (x n ) une suite dns E. Définition 10 On ppelle suite extrite (ou sous-suite) de l suite (x n ) toute suite de l forme (x σ(n) ) vec σ : N N, n σ(n) strictement croissnte. On dit que est une vleur d dhérence de l suite (x n ) et on note V A(x n ) si et seulement si = lim n + x σ(n), où (x σ(n) ) est une suite extrite de l suite (x n ). 8

11 CHAPITRE 3. SUITES, LIMITES, CONTINUITÉ 9 Proposition 17 Soit (E, d) un espce métrique. Soit (x n ) une suite dns E. Soit E. Alors V A(x n ) ε > 0 N n N (n N&d(u n, ) < ε). Définition 11 Soit (E, d) un espce métrique. Soit A E. Soit E. On dit que est un point d ccumultion de A si et seulement si tout voisinge de rencontre A en un point différent de. On note pr A l ensemble des points d ccumultion de A. Ainsi on A V V() V (A {}). Proposition 18 Soit (E, d) un espce métrique. Soit A E. Soit E. Alors A Il existe x n A {} tel que = lim x n. n + Exercice Soit A E. On dit que A est un point isolé de A si et seulement si il existe r > 0 tel que B(x, r) A = {}. On note A l ensemble des points isolés de A. Montrer que A A = A et A A =. 3.2 Limites, continuité Soient (E, d E ) et (F, d F ) des espces métriques. Soit X E. Soit f : X F, x f(x), une fonction de X dns F Notion de limite Définition 12 Soient X et l F. On dit que l fonction f tend vers l qund x tend vers et on note lim f(x) = l si et seulement si pour tout ε > 0 il existe η > 0 tel que pour tout x X l condition x d E (x, ) < η implique d F (f(x), l) < ε. Ainsi lim f(x) = l ε > 0 η > 0 x X (d E(x, ) < η d F (f(x), l) < ε). x En d utres termes on ussi lim f(x) = l ε > 0 η > 0 f (B E(, η) X) B F (l, ε). x Remrque Considérons l fonction g : X R définie pr g(x) = d F (f(x), l). D près l définition précédente lim g(x) = 0 ε > 0 η > 0 x X (d E(x, ) < η d R (g(x), 0) < ε). x Comme g(x) 0 on d R (g(x), 0) = g(x). Pr conséquent on lim f(x) = l lim d F (f(x), l) = 0 x x Proposition 19 (Crctéristion de l limite en termes de voisinges) On lim f(x) = l V V F (l) U V E () f (U X) V. x Théorème 4 (Crctéristion de l limite vec les suites) On ( ) lim f(x) = l Pour toute suite x n dns X lim x n = lim f(x n) = l. x n n

12 CHAPITRE 3. SUITES, LIMITES, CONTINUITÉ 10 Soient (F 1, d 1 ) et (F 2, d 2 ) deux espces métriques. L ppliction d : (F 1 F 2 ) 2 R +, définie pr d(x, y) = mx(d 1 (x 1, y 1 ), d 2 (x 2, y 2 )) pour tout x = (x 1, x 2 ) et y = (y 1, y 2 ) dns F 1 F 2, est une distnce sur F 1 F 2. L espce (F 1 F 2, d) est ppelé l espce métrique produit des espces métriques (F 1, d 1 ) et (F 2, d 2 ). Proposition 20 (Fonctions à vleurs dns un produit) Soit f = (f 1, f 2 ) une fonction f : X F 1 F 2, x f(x) = (f 1 (x), f 2 (x)). Soit l = (l 1, l 2 ) F 1 F 2. Alors lim f(x) = l lim f 1(x) = l 1 et lim f 2 (x) = l 2. x x x Théorème 5 (Encdrement des limites) Soit X une prtie d un espce métrique (E, d). Soient f, g, h : X R telles que f(x) g(x) h(x) pour tout x X V, vec V V E (), X. Alors lim f(x) = lim h(x) = l = lim g(x) = l. x x x Théorème 6 (Composition des fonctions) Soient E, F et G des espces métriques. Soit f : X E F et g : Y F G telles que f(x) Y. Soient X, b Y et l G. Alors on lim f(x) = b et lim g(y) = l = lim g f(x) = l. x y b x Pour démontrer ce résultt on v utiliser l crctéristion de l limite en termes de voisinges (Proposition 19). Soit V V G (l). Comme lim y b g(y) = l, il existe W V F (b) tel que g (W Y ) V. Comme lim x f(x) = b, il existe U V E () tel que f (U X) W. On ussi f (U X) f(x) Y, donc f (U X) W Y. Pr conséquent g f (U X) g (W Y ) V. Proposition 21 (Propriétés des limites des fonctions à vleurs dns un EVN) Soit (E, d) un espce métrique. Soit (F, ) un EVN. Soient f, g : X E F des fonctions. Alors 1. lim f(x) = l lim f(x) = l x x 2. lim f(x) et lim g(x) existent lim(f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x). x x x x x 3. lim f(x) existe lim λf(x) = λ lim f(x). x x x Continuité en un point Définition 13 Soit X. On dit que l fonction f est continue en si et seulement si f(x) tend vers f() qund x tend vers. Ainsi f continue en lim x f(x) = f() En d utres termes on ussi ε > 0 η > 0 x X (d E (x, ) < η d F (f(x), f()) < ε). f continue en ε > 0 η > 0 f (B E (, η) X) B F (f(), ε). Proposition 22 (Crctéristion de l continuité en termes de voisinges) On f continue en V V F (f()) U V E () f (U X) V. Théorème 7 (Crctéristion de l continuité vec les suites) On ( ) f continue en Pour toute suite x n dns X lim x n = lim f(x n) = f(). n n

13 CHAPITRE 3. SUITES, LIMITES, CONTINUITÉ 11 Proposition 23 (Fonctions à vleur dns un produit) Soit f = (f 1, f 2 ) une fonction f : X F 1 F 2, x f(x) = (f 1 (x), f 2 (x)). Alors f continue en f 1 et f 2 sont continues en. Théorème 8 (Composition des fonctions) Soient E, F et G des espces métriques. Soient f : X E F et g : Y F G telles que f(x) Y. Si f est continue en X, et si g est continue en b = f() Y lors g f est continue en. Proposition 24 Soit (E, d) un espce métrique. Soit (F, ) un EVN. Soient f, g : X E F des fonctions. Alors 1. f continue en f continue en 2. f et g continues en f + g continue en. 3. f continue en λf continue en Continuité sur un ensemble, continuité uniforme Définition 14 On dit que l fonction f : X E F est continue sur X si et seulement si f est continue en tout point x X. On note pr C(X, F ) l ensemble des fonctions continues de X dns F. Proposition 25 Soit f : E F. Les trois propriétés suivntes sont équivlentes : 1. f est continue sur X. 2. L imge réciproque pr f de tout ouvert de F est un ouvert de E. 3. L imge réciproque pr f de tout fermé de F est un fermé de E. Remrque L imge directe d une prtie ouverte [resp. fermée] pr une ppliction continue peut ne ps être ouverte [resp. fermée]. Donner des exemples. Bien entendu, lorsque l ensemble d rrivée F est un EVN sur K, d près l proposition 24, on obtient que l somme de deux fonctions continues de X dns F est une fonction continue de X dns F, et le produit d une fonction continue pr un sclire est une fonction continue. Pr conséquent l ensemble C(X, F ) est un espce vectoriel sur K. L continuité d une fonction sur un ensemble X se trduit pr l propriété f continue sur X x X f continue en x X ε > 0 η > 0 y X (d E (x, y) < η d F (f(x), f(y)) < ε). Le nombre η > 0 dont l existence est ffirmée ici dépend en générl de ε mis ussi de x. Lorsqu il ne dépend ps de x X, on dit que l continuité est uniforme sur X. On pose lors l définition Définition 15 On dit que l fonction f : X E F est uniformément continue sur X si et seulement si : ε > 0 η > 0 x X y X (d E (x, y) < η d F (f(x), f(y)) < ε). Proposition 26 Si f est uniformément continue sur X lors f est continue sur X. L réciproque est fusse. En effet, l fonction x x 2 est continue sur R. Soit η > 0. Posons x = 1 η et y = 1 η + η 2. Alors x y < η et On montré que x 2 y 2 = 1 + η2 4 > 1. ε = 1 η > 0 x = 1 η y = 1 η + η 2 ( x y < η et x 2 y 2 ε ), ce qui montre que x x 2 n est ps uniformément continue. Proposition 27 (Composition des fonctions) Soient E, F et G des espces métriques. Soient f : X E F et g : Y F G telles que f(x) Y. Si f est uniformément continue sur X, et si g est uniformément continue sur Y lors g f est uniformément continue sur X.

14 CHAPITRE 3. SUITES, LIMITES, CONTINUITÉ Homéomorphismes, isométries Soient (E, d E ) et (F, d F ) des espces métriques. Soient X E et Y F. Définition 16 On dit que f : X Y est un homéomorphisme si f est bijective et si f est continue sur X et f 1 est continue sur Y. On dit que X est homéomorphe à Y s il existe un homéomorphisme f : X Y. Proposition 28 Si f : X Y est un homéomorphisme lors f 1 : Y X est un homemorphisme. Si f : X Y et g : Y Z sont des homéomorphismes lors g f : X Z est un homéomorphisme. L ppliction identité Id X : X X est un homéomorphisme. Pr conséquent, l reltion être homéomorphe est une reltion d équivlence. On déduit de cette proposition que l ensemble des homéomorphismes de X sur lui même est un groupe pour l composition des pplictions. On le résultt suivnt, dont l démonstrtion est difficile Théorème 9 (Brouwer) Soient X un ouvert de R n et Y un ouvert de R m, munis de leurs topologies usuelles. Si X est homéomorphe à Y lors n = m. Définition 17 On dit que f : X Y est une isométrie si f est bijective et si pour tous x et y dns X on d F (f(x), f(y)) = d E (x, y). Proposition 29 Si f : X Y est une isométrie f 1 : Y X est une isométrie. Si f : X Y et g : Y Z sont des isométries lors g f : X Z est une isométrie. L ppliction identité Id X : X X est une isométrie. On déduit de cette proposition que l ensemble des isométries de X sur lui même est un groupe pour l composition des pplictions. Toute isométrie est un homémorphisme, mis l réciproque est fusse (donner un exemple). 3.3 Applictions linéires Continuité d une ppliction linéire Soient (E, E ) et (F, F ) des EVN sur K. Soit f : E F, x f(x), une ppliction linéire de E dns F. Théorème 10 Les propriétés suivntes sont équivlentes : 1. f est continue en 0 E 2. M > 0 x E f(x) F M x E. 3. f est continue sur E. Montrons que 1 2. Comme f est continue en 0, il existe η > 0 tel que η u E ( u E η f(u) F 1). Soit x E {0}. Soit u = x E x. Comme u E = η, on f(u) F 1. Or, pr linérité f(u) = η x E f(x). Donc f(x) F 1 η x E. Ainsi M = 1 η convient. Montrons que 2 3. Soit ε > 0 et soit η = ε M. Alors, pour tous x et y dns E, pr linérité, on : x y E η f(x) f(y) F = f(x y) F M x y E Mη = ε. Pr conséquent f est uniformément continue (et donc continue) sur E. Montrons que 3 1. Comme f est continue sur E elle est continue en tout point de E et en prticulier en 0 E.

15 CHAPITRE 3. SUITES, LIMITES, CONTINUITÉ Norme d une ppliction linéire On note pr L(E, F ) l ensemble des pplictions linéires continues de E dns F. D près l proposition 24, l ensemble C(X, F ) est un espce vectoriel sur K. Nous llons définir une norme sur cet espce. Soit f L(E, F ). D près l condition 2 du théorème précédent, l prtie de R définie pr { } f(x) F : x E {0} x E est mjorée. Donc elle dmet une borne supérieure notée f = f(x) F sup. x E {0} x E On définit insi (montrer le) une norme sur L(E, F ) ppelée norme subordonnée ux normes E et F. Proposition 30 Soit E un K-espce vectoriel. Soient et deux normes sur E. Soient O et O les topologies (c est à dire l ensemble des ouverts) des EVN (E, ) et (E, ). Les propriétés suivntes sont équivlentes : O = O 3. Id E : (E, ) (E, ) et Id E : (E, ) (E, ) sont continues. Pour l démonstrtion, on sit déjà (voir Théorème 1) que 1 2. Montrons que 1 3. Puisque Id E est une ppliction linéire de E dns E, d près le théorème 10, l continuité des pplictions Id E : (E, ) (E, ) et Id E : (E, ) (E, ) équivut à l existence de deux constntes M > 0 et L > 0 telles que pour tout x dns E on it x M x et x L x. Pr conséquent, on α = 1 L β = M x E α x x β x. Exercice Soient E, F et G des EVN. Soient f L(E, F ) et g L(F, G). Montrer que g f L(E, G) et g f g f.

16 Chpitre 4 Suites de fonctions 4.1 Fonctions à vleurs réelles Soit f n : X R une suite de fonctions définies sur un ensemble X, à vleurs dns R. Définition 18 On dit que l suite (f n ) converge simplement sur X, si pour tout x X, l suite de nombres réels (f(x n )) converge. On pose lors f(x) = lim f n(x) et on dit que l fonction f : X R est l limite n simple de l suite (f n ), ce que l on note f n f. Pr conséquent on f n f x X ε > 0 N n N (n > N f n (x) f(x) < ε). Définition 19 On dit que l suite (f n ) converge uniformément sur X vers l fonction f : X R, ce que l on note f n f, si l suite µ n = sup f n (x) f(x) tend vers 0 qund n tend vers l infini. Pr conséquent on x X f n f ε > 0 N x X n N (n > N f n (x) f(x) < ε) Proposition 31 f n f = f n f. L réciproque est fusse. En effet l suite de fonctions f n (x) = x n converge simplement sur X = [0, 1[ vers l fonction f(x) = 0. L convergence n est ps uniforme cr sup f n (x) f(x) = sup x n = 1. x X x [0,1[ Remrque Pour démontrer l convergence uniforme, il suffit de trouver une suite α n qui tend vers 0 qund n tend vers l infini et telle que x X f n (x) f(x) α n. Proposition 32 f n f pour toute suite (x n ) dns X on lim n f n(x n ) f(x n ) = Fonctions à vleurs dns un espce métrique Soit f n : X E une suite de fonctions définies sur un ensemble X, à vleurs dns un espce métrique (E, d). Définition 20 On dit que l suite (f n ) converge simplement sur X, si pour tout x X, l suite (f(x n )) de E converge. On pose lors f(x) = lim f n(x) et on dit que l fonction f : X E est l limite simple de l suite n (f n ), ce que l on note f n f. Pr conséquent on f n f x X ε > 0 N n N (n > N d(f n (x), f(x)) < ε). 14

17 CHAPITRE 4. SUITES DE FONCTIONS 15 Définition 21 On dit que l suite (f n ) converge uniformément sur X vers l fonction f : X E, ce que l on note f n f, si l suite µ n = sup d(f n (x), f(x)) tend vers 0 qund n tend vers l infini. Pr conséquent on x X f n f ε > 0 N x X n N (n > N d(f n (x), f(x)) < ε) Proposition 33 f n f = f n f. Proposition 34 f n 4.3 Critère de Cuchy Suites de Cuchy dns R ou C f pour toute suite (x n ) dns X on lim n d(f n(x n ), f(x n )) = 0. Définition 22 Une suite (u n ) de nombres réels ou complexes est dite une suite de Cuchy si et seulement si ε > 0 N p N q N (p > N et q > N u p u q < ε) Proposition 35 Une suite de nombres réels ou complexes est convergente si et seulement si c est une suite de Cuchy. Remrque Cette propriété est fusse dns Q : il existe une suite de Cuchy de nombres rtionnels qui ne converge ps dns Q, c est à dire que l limite de l suite n est ps rtionnelle. Pr exemple l suite u n = ( n) n de nombre rtionnels est une suite de Cuchy, cr elle converge vers e R, mis le nombre réel e n est ps rtionnel. Définition 23 Soit f n : X R une suite de fonctions. 1. On dit que l suite (f n ) est de Cuchy sur X, si pour tout x X, l suite de nombres réels (f(x n )) est une suite de Cuchy, c est à dire x X ε > 0 N p N q N (p > N et q > N f p (x) f q (x) < ε). 2. On dit que l suite (f n ) est uniformément de Cuchy sur X si ε > 0 N x X p N q N (p > N et q > N f p (x) f q (x) < ε) De l proposition 35 on déduit le : Théorème 11 Soit f n : X R une suite de fonctions. Alors On ussi le (f n ) converge simplement sur X L suite (f n ) est de Cuchy sur X. Théorème 12 Soit f n : X R une suite de fonctions. Alors (f n ) converge uniformément sur X L suite (f n ) est uniformément de Cuchy sur X. Pour l démonstrtion, supposons d bord que f n f. Soit ε > 0. Alors il existe N tel que pour tout x X et pour tout n N on it n > N f n (x) f(x) < ε 2. Pr conséquent pour tous entiers p et q on p > N et q > N f p (x) f q (x) f p (x) f(x) + f(x) f q (x) < ε 2 + ε 2 = ε.

18 CHAPITRE 4. SUITES DE FONCTIONS 16 Réciproquement supposons que l suite (f n ) est uniformément de Cuchy. Alors pour tout x X l suite de nombres réels (f n (x)) est de Cuchy. D près l proposition 35 elle converge vers une limite que l on note f(x). En fisnt tendre q vers l infini dns ε > 0 N x X p N q N (p > N et q > N f p (x) f q (x) < ε), on obtient lors Donc f n f. ε > 0 N x X p N (p > N f p (x) f(x) ε) Espces métriques complets Soit (E, d) un espce métrique. Définition 24 Une suite (u n ) dns E est dite une suite de Cuchy si et seulement si ε > 0 N p N q N (p > N et q > N d(u p, u q ) < ε) Proposition 36 Toute suite convergente dns (E, d) est une suite de Cuchy dns (E, d). L réciproque est fusse dns (Q, ) comme nous l vons déjà remrqué. Ceci justifie l définition suivnte Définition 25 Un espce métrique (E, d) est dit complet si et seulement si toute suite de Cuchy dns (E, d) est une suite convergente dns (E, d). Exemple (R, ) et (C, ) sont complets. (Q, ) n est ps complet. Définition 26 Soit f n : X E une suite de fonctions. 1. On dit que l suite (f n ) est de Cuchy sur X, si pour tout x X, l suite (f(x n )) de E est une suite de Cuchy, c est à dire x X ε > 0 N p N q N (p > N et q > N d(f p (x), f q (x)) < ε). 2. On dit que l suite (f n ) est uniformément de Cuchy sur X si On le ε > 0 N x X p N q N (p > N et q > N d(f p (x), f q (x)) < ε). Théorème 13 Soit f n : X E une suite de fonctions, vec (E, d) un espce métrique complet. Alors (f n ) converge simplement sur X L suite (f n ) est de Cuchy sur X. (f n ) converge uniformémentsur X L suite (f n ) est uniformément de Cuchy sur X. 4.4 Norme de l convergence uniforme Soit (E, ) un EVN sur K. Soit B(X, E) le K-espce vectoriel des fonctions bornées f : X E définies sur un ensemble X et prennt leurs vleurs dns E. Montrer que est une norme sur B(X, E). On les résultts suivnts f = sup f(x) x X Proposition 37 Soit f n : X E une suite de fonctions. Alors (f n ) converge uniformément sur X (f n ) converge dns (B(X, E), ). (f n ) uniformément de Cuchy sur X (f n ) de Cuchy dns (B(X, E), ). Théorème 14 Si (E, ) est complet lors (B(X, E), ) est complet.

19 CHAPITRE 4. SUITES DE FONCTIONS Propriétés des limites de suites Continuité Soit (f n ) une suite de fonctions f n : X F définies sur X E à vleurs dns F, vec (E, d E ) et (F, d F ) des espces métriques. Soit x 0 X. On le Théorème 15 (Continuité de l limite) Si les fonctions f n sont continues en x 0 et si f n f lors l limite f est continue en x 0. Le résultt est fux si l convergence n est ps uniforme. Pr exemple, l suite f n (x) = x n définie sur X = [0, 1] converge vers l fonction discontinue f, définie pr f(x) = 0 si x [0, 1[ et f(1) = 1. Pour l démonstrtion il suffit de couper les ε en trois. En effet, soit ε > 0. Comme f n f, il existe n 0 tel que ( x X n N n > n 0 d F (f n (x), f(x)) < ε ). 3 Fixons un entier n > n 0. Comme f n est continue en x 0, il existe δ > 0 tel que x X Pr conséquent pour tout x X, si d E (x, x 0 ) < δ, lors ( d E (x, x 0 ) < δ d F (f n (x), f n (x 0 )) < ε 3 d F (f(x), f(x 0 )) d F (f(x), f n (x)) + d F (f n (x), f n (x 0 )) + d F (f n (x 0 ), f(x 0 )) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. On démontré que c est à dire que f est continue en x 0. ε > 0 δ > 0 x X(d E (x, x 0 ) < δ d F (f(x), f(x 0 )) < ε), Théorème 16 (Inversion des limites) Supposons que (F, d F ) soit un espce métrique complet. Soit X. Si les limites lim f n (x) = l n existent et si f n f lors l limite l = lim l n existe et on lim f(x) = l. En x n + x d utres termes on ( ) ( ) lim lim f n(x) = lim lim f n(x). x n + n + x Pour l démonstrtion : comme l suite f n est uniformément de Cuchy on ε > 0 N x X p N q N (p > N et q > N d F (f p (x), f q (x)) < ε). En fisnt tendre x vers on obtient ε > 0 N p N q N (p > N et q > N d F (l p, l q ) ε). Pr conséquent l suite (l n ) est de Cuchy dns F. Comme F est complet, elle converge vers l F. Soit ε > 0. Comme f n f, il existe n 0 tel que ( x X n N n > n 0 d F (f n (x), f(x)) < ε ). 3 ). Comme l n l, il existe n 1 tel que n N ( n > n 1 d F (l n, l) < ε ). 3 Fixons un entier n > mx(n 0, n 1 ). Comme lim f n (x) = l n, il existe δ > 0 tel que x ( x X d E (x, ) < δ d F (f n (x), l n ) < ε ). 3

20 CHAPITRE 4. SUITES DE FONCTIONS 18 Pr conséquent pour tout x X, si d E (x, ) < δ, lors On démontré que d F (f(x), l) d F (f(x), f n (x)) + d F (f n (x), l n )) + d F (l n, l) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. c est à dire que lim x f(x) = l. ε > 0 δ > 0 x X(d E (x, ) < δ d F (f(x), l) < ε), Exercice Soit (f n ) une suite de fonctions f n :], + [ R. On suppose que les limites existent et que f n f. Montrer que l limite l = lim termes on Intégrtion ( lim x + lim f n(x) n + Soit (f n ) une suite de fonctions f n : [, b] R. On le l n existe et que l on n + ) ( ) = lim lim f n(x). n + x + lim x + f n(x) = l n lim f(x) = l. En d utres x + Théorème 17 (Intégrtion de l limite) Supposons que les f n soient continues sur [, b] et f n f lors f(x)dx = lim n + f n (x)dx. En d utres termes on ( ) ( ) lim f n(x) dx = lim f n (x)dx. n + n + Comme les f n sont continues sur [, b], pr le théorème 15 l limite f est continue sur [, b]. Donc l intégrle f(x)dx existe. On [f n (x) f(x)] dx f n (x) f(x) dx µ n (b ), où µ n = sup f n (x) f(x). Or f n f, donc µ n 0. Pr conséquent x [,b] b f n (x)dx f(x)dx = [f n (x) f(x)] dx 0. Le théorème 17 reste vri si l hypothèse f n continues sur [, b] est remplcée pr l hypothèse f n continue pr morceux sur [, b]. Pour s ssurer que l intégrle de l limite it un sens, on peut exiger que l limite f est ussi continue pr morceux sur [, b]. En effet, on le Théorème 18 Supposons que les f n soient continues pr morceux sur [, b] et f n f. Supposons que l limite f soit continue pr morceux sur [, b]. Alors f(x)dx = lim n + f n (x)dx. Le théorème n est ps vri si l suite de fonction ne converge ps uniformément. Pr exemple l suite de fonctions f n : [0, 1] R définies pr { 0 si 1 f n (x) = n x 1 ou x = 0, n si 0 < x < 1 n. Alors f n 0, mis l convergence n est ps uniforme. Pr illeurs 1 0 f n (x) = 1 n 0 ndx = 1 et 1 0 f(x)dx = 0.

21 CHAPITRE 4. SUITES DE FONCTIONS Dérivbilité Soit (f n ) une suite de fonctions f n : I R vec I R un intervlle ouvert. On le Théorème 19 (Dérivtion de l limite) Supposons que les f n soient de clsse C 1 sur I, que f n f et que f n g. Alors f est de clsse C 1 sur I et on f = g. En d utres termes on Pr illeurs f n f sur tout intervlle [, b] I. ( ) lim f n = lim (f n). n + n + Remrque C est l convergence uniforme de l suite f n qui importe. L convergence uniforme de l suite f n toute seule ne donne rien. En effet l suite f n (x) = sin(nx) n converge uniformément sur R vers 0, mis l suite des dérivées f n(x) = cos(nx) n ps de limite. D un utre côté, sous les hypothèses du théorème 19 on ne peut ps espérer l convergence uniforme de l suite f n sur tout l intervlle I, mis seulement sur les prties fermées et bornées dei. Pour s en convincre, considérer l suite de fonctions f n (x) = rctn x n définies sur R. Pour l démonstrtion : soient x et x 0 fixés dns I. On f n (x) f n (x 0 ) = x x 0 f n(t)dt. Pr le théorème 17, qund n tend vers +, le deuxième membre de l églité tend vers x x 0 g(t)dt. Pr hypothèse le premier terme tend vers f(x) f(x 0 ). Pr l unicité de l limite on donc f(x) f(x 0 ) = x x 0 g(t)dt. Pr conséquent f = g. Pr le théorème 15, g est continue sur I. Donc f est de clsse C 1 sur I. L convergence est uniforme sur toute prtie [, b] I cr x x sup f n (x) f(x) = sup f n(t)dt g(t)dt + f n () f() x [,b] x [,b] Donc sup f n (x) f(x) tend vers 0 qund n +. x [,b] b sup f n(x) g(x) + f n () f(). x [,b]

22 Chpitre 5 Compcité et complétude 5.1 Rppels sur les proriétés des intervlles fermés et bornés Théorème 20 (Théorème de Bolzno Weierstrss) Soit [, b] R un intervlle fermé et borné. Toute suite (x n ) dns [, b] dmet une sous-suite (x σ(n) ) convergente telle que lim n x σ(n) [, b]. Pour l démonstrtion on peut utiliser le principe de dichotomie : l une u moins des moitiés [, +b +b 2 ] ou [ 2, b] de l intervlle [, b] contient une infinité de vleurs de l suite (x n ). Notons cet intervlle moitié [ 1, b 1 ] et choisissons un élément de l suite x σ(1) [ 1, b 1 ]. L une u moins des moitiés [ 1, 1+b 1 2 ] ou [ 1+b 1 2, b 1 ] de l intervlle [ 1, b 1 ] contient une infinité de vleurs de l suite (x n ). Notons cet intervlle moitié [ 2, b 2 ] et choisissons un élément de l suite x σ(2) [ 2, b 2 ] vec σ(2) > σ(1). En itérnt ce procédé on construit une suite d intervlles emboités [ n, b n ] et une suite (x σ(n) ) telle que σ(n + 1) > σ(n) et n x σ(n) b n. Les suites ( n ) et ( n ) sont djcentes cr n n+1, b n+1 n, b n n = b 2 n. Pr conséquent elle convergent toutes les deux vers l même limite c [, b]. On lors lim n x σ(n) = c. Théorème 21 (Fonctions continues sur un intervlle fermé et borné) Soit f : [, b] R une fonction continue. Alors 1. f est bornée et elle tteint ses bornes. 2. f est uniformément continue sur [, b]. 5.2 Prties compctes d un espce métrique Définition 27 Soit (E, d) un espce métrique. Une prtie A E est dite compcte si et seulement si toute suite dns A dmet une sous-suite qui converge vers un élémnet de A. On dit que E est compct si et seulement su E est une prtie compcte de E. Exemples Tout intervlle fermé et borné [, b] de R est un compct dns (R, ). L intervlle ]0, 1] n est ps compct (montrer le). L intervlle [0, + [ n est ps compct (montrer le). Exercices 1. Un EVN (E, ), tel que E {0} n est ps compct. 2. Soit (x n ) une suite convergente dns un espce métrique (E, d). L prtie est compcte. {x n : n N} { lim n x n} Proposition 38 Toute prtie compcte d un espce métrique est fermée et bornée. 20

23 CHAPITRE 5. COMPACITÉ ET COMPLÉTUDE 21 Soit A une prtie compcte de l espce métrique E. Montrons que A est fermée. Soit (x n ) une suite convergente d éléments de A. Comme A est compcte, elle dmet une sous-suite (x σ(n) ), qui converge vers x A. Donc x = lim n x n A. D près le théorème 3, A est fermé. Montrons que A est borné. Fixons x 0 dns E. Supposons A non borné, lors C > 0 x A d(x, x 0 ) C. En ppliqunt cette propriété à C = n où n est un entier, on obtient un élément x n dns A tel que d(x, x 0 ) n. Comme A est compct l suite (x n ) dmet une sous-suite (x σ(n) ), qui converge vers x A. Il existe n 0 tel que pour tout n n 0 on d(x σ(n), x) < 1. On en déduit donc que pour tout n n 0 on d(x σ(n), x 0 ) d(x σ(n), x) + d(x, x 0 ) < 1 + d(x, x 0 ), ce qui est bsurde cr d(x σ(n), x 0 ) σ(n) et σ(n) tend vers l infini qund n tend vers l infini. Proposition 39 Toute prtie fermée d un compct est compcte. Soit A un compct de E et soit B un fermé de E. Supposons que B A. Soit (x n ) une suite dns B. Puisque B A, (x n ) est une suite dns A. Comme A est compct, l suite (x n ) dmet une sous suite qui converge vers un élément l A. Comme B est fermée, on l B. Ainsi toute suite dns B dmet une sous-suite qui converge vers un élément de B. Donc B est compct. Proposition 40 Le produit de deux compcts est compct. Théorème 22 L imge d un compct pr une fonction continue est compcte. Attention, l imge réciproque d un compct pr une fonction continue n est ps compcte en générl. Théorème 23 Si A E et B F lors A B est compct A et B sont compcts. 5.3 Fonctions continues sur un compct Théorème 24 Soit X une prtie compcte d un espce métrique. Soit f : X R une fonction continue sur X. Alors f est bornée et elle tteint ses bornes, c est à dire qu il existe x min X et x mx X tels que f(x min ) = inf x X f(x), f(x mx) = sup f(x). x X Théorème 25 (Théorème de Heine) Soient E et F des espces métriques. Soit X une prtie compcte de E. Soit f : X F une fonction continue sur X. Alors f est uniformément continue sur X. 5.4 Cs de l dimension finie Proposition 41 Une prtie de (K n, ) est compcte si et seulement si elle est fermée et bornée. Théorème 26 Soit E un K-EVN de dimension finie. Toutes les normes sur E sont équivlentes. Théorème 27 Soit E un K-EVN de dimension finie. Une prtie de E est compcte si et seulement si elle est fermée et bornée. Théorème 28 Soient E et F des K-EVN. Soit f : E F une ppliction linéire. Si E est de dimension finie lors f est continue.

24 CHAPITRE 5. COMPACITÉ ET COMPLÉTUDE Complétude Rppelons l définition d une suite de Cuchy. Soit (E, d) un espce métrique. Définition 28 Une suite (u n ) dns E est dite une suite de Cuchy si et seulement si ε > 0 N p N q N (p > N et q > N d(u p, u q ) < ε) Proposition Toute suite convergente dns (E, d) est une suite de Cuchy dns (E, d). 2. Toute suite de Cuchy dns (E, d) est bornée dns (E, d). 3. Soit (u n ) n une suite de Cuchy dmettnt une sous-suite qui converge. Alors l suite (x n ) converge vers l même limite que s sous-suite. Soient (E, d E ) et (F, d F ) deux espces métriques. Rppelons que l ppliction d : (E F ) 2 R +, définie pr d((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = mx(d E (x 1, x 2 ), d F (y 1, y 2 )) est une distnce sur E F. L espce (E F, d) est ppelé l espce métrique produit des espces métriques (E, d E ) et (F, d F ). Proposition 43 (Suites à vleur dns un produit) Soit (u n ) = (x n, y n ) une suite dns (E F, d). Alors (x n, y n ) suite de Cuchy dns E F (x n ) suite de Cuchy dns E et (y n ) suite de Cuchy dns F. Définition 29 Soit (E, d) un espce métrique. Une prtie A E est dite complète si et seulement si toute suite de Cuchy dns A est convergente vers un élémnet de A. Pr conséquent E est complet si et seulement si E est une prtie complète de E. Un EVN complet est ppelé un espce de Bnch. Exercice Soient N et N des normes sur E. Si N N et si (E, N) est complet lors (E, N ) est complet. Proposition 44 Toute prtie complète d un espce métrique est fermée. Soit A une prtie complète de l espce métrique E. Montrons que A est fermée. Soit (x n ) une suite d éléments de A convergente vers l E. Puisque (x n ) converge, c est une suite de Cuchy. Comme A est complète, l suite (x n ), converge vers un élément de A. Donc l A. Ainsi toute suite convergente d éléments de A s simite dns A. Donc A est fermé. Proposition 45 Toute prtie fermée d une prtie complète est complète. Soit A une prtie complète de E et soit B un fermé de E. Supposons que B A. Soit (x n ) une suite de Cuchy dns B. Puisque B A, (x n ) est une suite de Cuchy dns A. Comme A est complète, l suite (x n ) converge vers un élément de l A. Comme B est fermée, on l B. Ainsi toute suite de Cuchy dns B converge vers un élément de B. Donc B est complète. Proposition 46 Toute prtie compcte d un espce métrique est complète. Soit A une prtie complcte de E. Soit (x n ) une suite de Cuchy dns A. Comme A est compcte, l suite (x n ) dmet une sous-suite qui converge vers un élément de l A. D près l proposition 42, elle converge elle même vers l. Ainsi toute suite de Cuchy dns A converge vers un élément de A. Donc A est complète. L réciproque de est fusse. En effet R est complet mis non compct. Théorème 29 Soit A une prtie complète de E et B une prtie complète de F. Leur produit A B est une prtie complète de E F. Théorème 30 Tout EVN de dimension finie sur K = R ou C est complet.

25 CHAPITRE 5. COMPACITÉ ET COMPLÉTUDE CNS de Cuchy d existence d une limite pour une fonction à vleurs dns un espce métrique complet Soient (E, d E ) et (F, d F ) des espces métriques. Soit X E. Soit f : X F, x f(x), une fonction de X dns F. Soient X et l F. On rppelle que lim x f(x) = l si et seulement si ε > 0 η > 0 x X (d E (x, ) < η d F (f(x), l) < ε). Théorème 31 On suppose que F est complet. Alors lim x f(x) existe si et seulement si ε > 0 η > 0 x X x X ( d E (x, ) < η et d E (x, ) < η d F (f(x), f(x )) < ε ).

26 Chpitre 6 Approximtion uniforme des fonctions 6.1 Approximtion uniforme des fonctions continues pr morceux pr des fonctions en esclier Dns cette section E designe un EVN sur K = R ou C de dimension finie. On rppelle que E est complet et que toutes les normes sur E sont équivlentes Fonctions en esclier Soient et b des nombres réels tels que < b. On ppelle subdivision de [, b] tout ensemble fini ( i ) 0 i n de nombres réels tels que = 0 < 1 < < n 1 < n = b. Définition 30 Une fonction f : [, b] E est dite en esclier si et seulement s il existe une subdivision s = ( 0,, n ) de [, b] et des éléments (y 0,, y n ) E n tels que i {0,, n 1} t ] i, i+1 [ f(t) = y i. Définition 31 Une fonction f : [, b] E est dite continue pr morceux si et seulement s il existe une subdivision s = ( 0,, n ) de [, b] telle que pour tout i {0,, n 1} l restriction f ]i, i+1 [ soit continue et dmette une limite à guche en i et une limite à droite en i+1. Théorème 32 Soit f : [, b] E une fonction continue pr morceux. Il existe une suite (f n ) de fonctions en escliers f n : [, b] E qui converge uniformément vers f sur [, b]. Proposition 47 (Théorème de Riemnn-Lebesgue) Soit f : [0, 1] C une fonction continue pr morceux. Alors lim x + f(t)e ixt dt = 0. Soit ε > 0. D près le théorème 32, il existe une fonction en esclier g telle que f g < ε 2(b ). Considérons une subdivision = 0 < 1 < < N = b telle que g(t) = l k pour tout t ] k, k+1 [ et tout k {0,, N 1}. Soit x > 0. On g(t)e ixt dt = N 1 k=0 k+1 k l k e ixt dt = N 1 k=0 e ix k+1 e ix k l k. ix Pr conséquent N 1 g(t)e ixt dt l k 2 x 2NM, où M = mx x l k. 0 k N 1 k=0 24

27 CHAPITRE 6. APPROXIMATION ORME DES FONCTIONS 25 Soit A = 4NM ε, lors pour tout x > A on 2NM x f(t)e ixt b dt (f(t) g(t))e ixt dt < ε 2, et donc b + g(t)e ixt dt < (b ) f g + 2NM x < ε 2 + ε 2 = ε. On montré que C est à dire lim x + ε > 0 A > 0 x R (x > A f(t)e ixt dt = Integrtion des fonctions continues pr morceux f(t)e ixt dt < ε). Définition 32 Soit e : [, b] E une fonction en esclier telle que pour tout i {0,, n 1} et pour tout t ] i, i+1 [ on it e(t) = y i. On ppelle intégrle de f sur [, b] l élément n 1 i=0 ( i+1 i )y i de E. On le note n 1 e = e = e(t)dt = ( i+1 i )y i. [,b] Théorème 33 Soit f : [, b] E une fonction continue pr morceux. Pour ( toutes les suites (f n ) de fonctions ) b en escliers sur [, b] convergent uniformément vers f sur [, b], l suite f n converge dns E vers une même limite, ppelée l intégrle de f sur [, b] et notée [,b] f = f = 6.2 Approximtion pr des polynômes Polynômes de Bernstein Soit f : [0, 1] C une fonction continue. Définition 33 Le polynôme défini, pour tout x [0, 1], pr B n (f)(x) = est ppelé polynôme de Bernstein ssocié à f. n Cnf k k=0 i=0 f(t)dt = lim n f n (t)dt. ( ) k x k (1 x) n k n Proposition 48 L suite B n (f) converge uniformément vers f sur [0, 1] Théorème de Weierstrss Théorème 34 Pour toute fonction continue f : [, b] C il existe une suite (P n ) de polynômes P n : [, b] C convergent uniformément vers f sur [, b].

28 Bibliogrphie [1] C. Derschmps, A. Wrusfel, F. F. Ruud, F. Moulin, J-C. Sifre, A. Miquel, Mthémtiques, tout-enun. 2e nnée MP, Editions Dunod, Pris (2004). [2] J.-M. Monier, Anlyse MP, Dunod, Pris (2004). [3] J. Vuthier, C. Czes, M. Krée, P. Krée, A.- C. Vuthier, Cours de Mthémtiques, Algèbre, Anlyse, Géométrie, Editions Esk, Pris (2006). 26

29 Tble des mtières 1 Distnces et normes Définitions Exemples Suites dns un espce métrique Voisinges, ouverts, fermés Boules et voisinges dns un espce métrique Ouverts et fermés dns un espce métrique Normes équivlentes Intérieur, dhérence Suites, limites, continuité Suites Convergence Vleurs d dhérence, points d ccumultion Limites, continuité Notion de limite Continuité en un point Continuité sur un ensemble, continuité uniforme Homéomorphismes, isométries Applictions linéires Continuité d une ppliction linéire Norme d une ppliction linéire Suites de fonctions Fonctions à vleurs réelles Fonctions à vleurs dns un espce métrique Critère de Cuchy Suites de Cuchy dns R ou C Espces métriques complets Norme de l convergence uniforme Propriétés des limites de suites Continuité Intégrtion Dérivbilité Compcité et complétude Rppels sur les proriétés des intervlles fermés et bornés Prties compctes d un espce métrique Fonctions continues sur un compct Cs de l dimension finie Complétude

30 TABLE DES MATIÈRES CNS de Cuchy d existence d une limite pour une fonction à vleurs dns un espce métrique complet Approximtion uniforme des fonctions Approximtion uniforme des fonctions continues pr morceux pr des fonctions en esclier Fonctions en esclier Integrtion des fonctions continues pr morceux Approximtion pr des polynômes Polynômes de Bernstein Théorème de Weierstrss Bibiogrphie 26