La stabilité en géométrie

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1 Roger Cuppens (*) À George Pólya (1) PMEP Pour herher et approfonir 671 La stabilité en géométrie Dans et artile, j étuie le rôle es essins ans l élaboration e la géométrie euliienne. Ce rôle et le fait que ette géométrie ait es appliations ans la vie ourante implique l iée une stabilité es théorèmes géométriques : si on émontre que es hypothèses entraînent toujours une onlusion, alors on peut penser qu en moifiant peu les hypothèses, la onlusion est elle-même peu moifiée. yant onstaté que l étue e e phénomène est absente e la littérature usuelle (2), je me propose e ombler ette laune. J étuierai aussi quelques onséquenes pour les logiiels e géométrie ynamique. 1. La géométrie : l art e raisonner juste sur es figures fausses (3) C est ainsi que ans ma jeunesse on éfinissait la géométrie. Mais qu est-e qui pouvait bien justifier ette formule? n ommençait par es observations u mone réel ave ses objets familiers : ubes, boules, n pouvait aussi sur une feuille e papier faire es essins à la règle et au ompas, par exemple une fleur à six pétales et égager à partir e là les notions e erle, hexagone régulier, e triangle équilatéral, n étuiait les ivers quarilatères Et. (*) Professeur émérite à l Université Paul Sabatier. Groupe Géométrie ynamique e l IREM e Toulouse. (1) Dans les années 70, George Pólya avait entrepris, à près e 85 ans, une roisae ontre la réforme es mathématiques moernes. J ai ainsi assisté à la Catholi University of meria à une série e onférenes qu il onnait sur e sujet. Sa onlusion était que seul l enseignement e la géométrie euliienne tel que je l avais subi ans ma jeunesse permettait une vraie initiation aux mathématiques. À l époque, jeune professeur, je n avais pas été onvainu par ses affirmations. Depuis et ave le reul, je suis intimement persuaé qu il avait raison. (2) Signalons toutefois l exerie 1 es lympiaes e Première 2007 e l aémie e Versailles (brohure PMEP n 182, p ). (3) Une première version e e paragraphe érite omme réation à une leture e [9] est parue ans le numéro 2 e l utan, nouveau journal e l IREM e Toulouse.

2 672 Pour herher et approfonir PMEP L une es iffiultés e l enseignement onsistait alors à passer e e mone réel à un mone virtuel peuplé objets e base : points, roites et erles (si on fait e la géométrie plane) auxquels on ajoute les plans, les sphères, (si on fait e la géométrie ans l espae). n ommençait par la géométrie plane en introuisant à la Eulie les points («objets sans imension») et les roites («objets à une imension») reliés par es propriétés appelées axiomes ou postulats telles que : «Par eux points passe une roite et une seule» (f. l introution e [4]). À partir e es objets e base, on éfinissait es objets plus ompliqués tels que erles, triangles,, es propriétés telles que perpeniularité, parallélisme, et on étuiait es problèmes où on partait une figure omposée un ertain nombre objets reliés par ertaines propriétés et où on herhait à éouvrir et à émontrer e nouvelles propriétés e la figure. Par exemple, on éfinissait une figure (4) appelée parallélogramme et on trouvait es longueurs égales, es angles égaux, le fait que les iagonales se oupent en leur milieu, et. 102,97 8,27 m 5,09 m 4,34 m 77,03 5,32 m 77,03 5,32 m 4,34 m 5,09 m 102,97 8,27 m Pour les émonstrations, on utilisait au ébut la notion e triangles égaux ( està-ire superposables ans un mouvement sans éformation, notion forément intuitive) et on «émontrait» (par superposition virtuelle) les trois as égalité es triangles qui servaient penant longtemps omme seuls outils e émonstration (en interisant le reours aux superpositions). Cette interition était une soure e grane iffiulté, mais on aurait pu la ontourner en amettant les as égalité omme axiomes e la théorie, la superposition étant alors une justifiation plutôt qu une émonstration. Mais la réforme es mathématiques est arrivée ave les onséquenes que l on onnaît sur l enseignement e la géométrie. Durant ette périoe, Choquet a fourni ans [2] une axiomatique simple et omplète e ette géométrie ave une vingtaine axiomes, e qui ren un tel système impropre à une initiation. Cei explique qu avant la réforme on utilisait une axiomatique inomplète, es essins renant évients ertains faits. Par exemple, on (4) Les travaux e iatique ont employé le mot figure pour les ensembles objets u mone virtuel et essin pour une représentation e ette figure ans le mone réel, alors que prééemment l on employait le mot figure pour e tels essins : il faurait en onséquene moifier le titre e e paragraphe.

3 PMEP La stabilité en géométrie 673 amettait ave un essin qu une roite oupant un ôté un triangle oit reouper un euxième ôté, e qui semble évient sur le essin i-essous, mais néessite un axiome ans une théorie formalisée (5). P C n utilisait en général ivers essins suivant les outils utilisés (main levée, ), les plus sophistiqués étant les onstrutions à la règle et au ompas qui apportaient si on y mettait un peu e soin une assez bonne préision au moins pour les figures simples telles que elles e l hexagone régulier. Par exemple, on a i-essous es onstrutions u milieu M e eux points et à la règle et au ompas une part et au ompas seul autre part (6). 2 P 4 1 s 5 s 6 M P P 9 P 3 P 5 M P P (5) Cet axiome appelé axiome e Pash en géométrie euliienne oit être onsiéré omme la éfinition un «vrai» triangle en géométrie elliptique (f. [4]). (6) Rappelons que Masheroni [8] a montré que toute onstrution à la règle et au ompas peut être effetuée au ompas seul, résultat qui avait été obtenu prééemment par Georg Mohr, mais était passé inaperçu.

4 674 Pour herher et approfonir PMEP Pour les figures plus ompliquées, la hose était moins éviente et l on sait que Lemoine [7] a éveloppé sous le nom e géométrographie une étue e la omplexité et e la préision es essins géométriques. Néanmoins on pouvait à un moment onné faire outer u sérieux un tel usage en fournissant par exemple un essin «montrant» qu un triangle quelonque est toujours isoèle (f. [1], p. 146), e qui surpren à première vue (même es professeurs en exerie) alors que la solution logique est simple : un tel essin ne orrespon pas à une figure mathématique. Depuis ette époque où on apprenait à évelopper la géométrie omme une théorie mathématique et à résoure à partir es as égalité es triangles es problèmes géométriques, est intervenue une ouble révolution : elle (interne) es mathématiques moernes qui a bouleversé l enseignement es mathématiques et elle (externe) es TICE et en partiulier es logiiels e géométrie ynamique. Je ne parlerai pas ii e la première autres l ont fait avant moi et bien mieux que je ne pourrais le faire. Je veux simplement ans la suite fournir quelques éléments e réflexion onernant les logiiels e géométrie ynamique et qui me semblent néessaires après la leture e [9]. Une première hose qui saute aux yeux quan on utilise un tel logiiel est la grane préision es essins obtenus. Mais il est faux e prétenre omme [9] qu un logiiel omme Cabri fournit es essins exats. En effet, quan on entre à l éran es points, es roites, es erles,, Cabri les transforme e manière entièrement transparente à l utilisateur en équations et les aluls qu il effetue sont es aluls approhés (ave une préision grane, mais limitée, isons e l orre e 10-9 m) et es aluls fournissent à l éran un essin ont la préision est enore iminuée par la taille es pixels utilisés. ien que sans ommune mesure ave les essins papier/rayon, ette préision est forément limitée et peut fournir ans ertains as es essins iffiilement interprétables, voire totalement faux (7). Prétenre le ontraire est regrettable pour eux raisons. La première est que l une es tâhes un enseignement moerne oit être e mettre en gare ontre l opinion ommune qu un orinateur fournit toujours la vérité, même si e que l on y entre est faux! La euxième est plus iretement liée à la nature e la géométrie : née u mone réel, elle est utilisée ans le mone réel. Par exemple, un maçon évaluera «l équerre» un mur en utilisant une ore à nœus pour trouver (3,4,5). Il est évient que es valeurs sont approhées, mais ei n a pas importane ar le théorème e Pythagore permettant affirmer qu un triangle (3,4,5) est retangle a une ertaine «stabilité» : un triangle «presque» (3,4,5) est «presque» retangle. Ce fait, pourtant fonamental, est rarement enseigné ans les ours e géométrie. De même, un menuisier ou un tailleur e pierre aura besoin e traer es roites «presque» parallèles. u lieu e vouloir obtenir à tout prix es essins «exats» omme le souhaite [9] (au fait, pourquoi faire?), ne ferait-on pas mieux, après avoir (7) Le leteur intéressé pourra trouver es expérienes permettant étuier la préision e Cabri ans le hapitre 7 e [5].

5 PMEP La stabilité en géométrie 675 étuié le parallélogramme (qu il est quan même faile e essiner lorsqu on a un outil «Droite parallèle»!) e faire réfléhir sur le essin suivant (obtenu en faisant tourner e 0,1 eux es ôtés u parallélogramme e la page 2) : 103,07 8,26 m 5,09 m 4,33 m 5,33 m 77,03 5,32 m 5,11 m 77,03 4,35 m 8,27 m 102,87 et plus généralement apprenre à onjeturer à partir e valeurs approhés obtenues sur es essins inexats es valeurs exates ans le mone virtuel e la géométrie? 2. Quelques théorèmes e stabilité Dans le paragraphe prééent, j ai étuié l intérêt es essins en géométrie et suggéré que et intérêt était suboronné à l existene une stabilité es théorèmes géométriques : la véraité un théorème u type «si H, alors C» ne peut être vérifié sur un essin (forément entahé erreurs) que si un théorème «e stabilité» u type «si presque H, alors presque C» est vrai. Je me propose ans e paragraphe e émontrer quelques théorèmes e e type Définitions Il me faut ommener par préiser le «presque» employé. Les propriétés onernées sont es propriétés mesurables et le «presque» est on numérique. Par exemple, ire qu un triangle C est retangle en signifie = π 2 (si les angles sont mesurés en raians). Je irai qu un triangle C est presque retangle en si π 2 π (lire est presque égal ) ou 2 π 0, 2 est-à-ire

6 676 Pour herher et approfonir PMEP ε représentant l erreur amise. n emploiera alors la notation plus préise π ε 2 pour ette ernière situation. Remarque. Il est évient que ette relation néanmoins le résultat suivant : Si a b et b, alors a n est pas transitive, mais que l on a Je vais ommener par étuier la stabilité u théorème e Pythagore : si un triangle C est retangle en, alors a = b + (ave les notations usuelles) ont une «version stable» serait : si un triangle C est presque retangle en, alors a b +, mais quel sens onner à un tel théorème? Une réponse est onnée par le théorème l-kashi : si C est un triangle quelonque, alors a = b + 2bos. D où ès que ε ε ε+ ε. π < ε, a b <ε 2b os < ε et la ontinuité u osinus me permet affirmer l existene un r tel que π < r 2 entraîne l inégalité prééente. n a on finalement le résultat suivant : se onnant ε positif, il existe r tel que si π r, alors a ε b +. 2 Si on introuit la éfinition suivante : un théorème u type ( H1 = h1) ( Hp = hp) ( C1 = 1) ( Cq = q) ε

7 PMEP La stabilité en géométrie 677 (où les h j et les k sont es nombres et les H j et C k es expressions numériques) est stable si se onnant q onstantes ε 1,, ε q, il existe p onstantes r 1,, r p telles que ( H1 r h1) H C1 1 C 1 ( p r hp 1 q p ) ( ε ) ( ε q q), on peut on ire que le théorème e Pythagore est stable. Cei a lieu en partiulier lorsque les C k sont es fontions ontinues e ( H1,, H p ) au point ( h 1,, h p ). Par exemple, le théorème l-kashi fournit la relation os b + a = 2b qui montre la stabilité e la réiproque u théorème e Pythagore. Remarques. 1. En toute rigueur, il faut ajouter la onition que le prouit b n est pas trop petit. 2. ve ette même méthoe, on peut éuire la stabilité u théorème sur le triangle isoèle : Dans un triangle C, b si et seulement si C. et ave e résultat, on peut émontrer la stabilité u théorème sur la méiane u triangle retangle sous la forme suivante : Un triangle C est presque retangle si et seulement si il existe un point M e [C] tel que M M et M CM Stabilité es as égalité es triangles Comme je l ai rappelé ans le paragraphe prééent, les trois as égalité es triangles jouaient ans mon enfane un rôle fonamental ans l enseignement e la géométrie plane (on parlerait atuellement «axiomes»). n peut les énoner à partir e la éfinition suivante : Deux triangles C et C sont égaux si les six onitions suivantes sont vérifiées : a= a, b= b, =, =, =, C = C. Les trois as égalité onsistent à affirmer que si l on hoisit onvenablement trois e es onitions : a= a, =, C = C (premier as), b= b, =, = (euxième as), a= a, b= b, = (troisième as), les trois autres s en éuisent.

8 678 Pour herher et approfonir PMEP Pour omprenre es trois as (je ne is pas émontrer ar les résultats que je vais invoquer se émontrent en utilisant e manière irete ou inirete les as égalité), il suffit avoir es formules permettant e aluler les six éléments (ôtés ou angles) un triangle C en fontion e trois entre eux. Pour ei, on a la formule l- Kashi éjà invoquée : a = b + 2bos que l on peut utiliser e eux manières : si on onnaît les trois ôtés a, b et, elle permet e aluler os, os et osc : et on les trois angles, et C (troisième as) ; si on onnaît b, et, elle permet e aluler a, puis et C (euxième as). Pour le premier as, on peut utiliser une autre formule lassique, la formule es sinus : Si on onnaît a, et C, alors et on os b + a =, os + a b =, osc a = 2b 2a e qui ave la formule es sinus onne a b = = sin sin sin C. = π C sin = sin + C, sin sin C b= a, = a, sin + C sin + C ( ) ( ) ( ) et on le premier as égalité. Puisque les formules prééentes sont toutes ontinues, on a on le résultat suivant : Théorème. Les trois as égalité es triangles sont stables. + b 2ab Remarques. 1. n peut montrer que la formule es sinus est équivalente à elle l Kashi ans le sens que si on émontre géométriquement l une, l autre peut s en éuire par un alul trigonométrique simple.

9 PMEP La stabilité en géométrie n peut éuire la formule es sinus e la formule où R ésigne le rayon u erle ironsrit au triangle C, que l on peut émontrer en onsiérant le triangle H ans la figure i-ontre. De ette formule, on éuit imméiatement que les rayons es erles ironsrits à eux triangles presque égaux sont presque égaux. n peut aussi montrer que où S est l aire u triangle C. De ette relation, on éuit imméiatement que les aires e eux triangles presque égaux sont presque égales. 3. ve e résultat, on obtient la stabilité e tous les résultats e géométrie euliienne pouvant se émontrer ave les as égalité. Reste parfois es iffiultés e éfinition, par exemple que seront es roites «presque parallèles»? 4. Ce résultat est enore vrai pour les quatre (8) as égalité e la géométrie hyperbolique ou e la géométrie elliptique. Pour le voir, il suffit e remplaer la formule l Kashi et la formule es sinus par et pour la géométrie hyperbolique (f. [4], p. 68) et par et a 2 = Rsin a b ab = = = sin sin sin C 2 S osh( a) = osh( b)osh( ) sinh( b)sinh( )os os osc + os = sin sin C sin sin sin = = C sinh( a) sinh( b) sinh( ) os os( a) = os( b)os( ) sin( b)sin( )os os C + os = sin sinc sin sin sinc = = sin( a) sin( b) sin( ) pour la géométrie elliptique (f. [4]. p. 185). R a/2 H C (8) En géométrie hyperbolique ou ellitique, le quatrième as onsiste à affirmer que eux triangles sont égaux si leurs trois angles sont égaux eux à eux.

10 680 Pour herher et approfonir PMEP 2.3. Droites presque parallèles Pour éfinir le presque parallélisme, on va utiliser une aratérisation numérique u parallélisme. Pour ei, je éfinis l angle uv e eux roites u et v omme étant l angle (usuel) es roites u et v parallèles à u et v et passant par un même point. Deux roites u et v sont alors parallèles (ou onfonues) si et seulement si uv = 0. En aor ave e qui préèe, eux roites u et v sont presque parallèles si et seulement si leur angle uv est petit. Puisque uv < ε et vw < ε impliquent uw < ε + ε, on obtient imméiatement la stabilité e la relation e parallélisme. n en éuit que si u et v sont presque parallèles et si u et w ne sont pas presque parallèles, alors v et w ne sont pas presque parallèles. Soit C un triangle. Il est évient que les roites () et (C) sont presque parallèles si et seulement si C + C π.. n en éuit la stabilité u théorème : Deux roites perpeniulaires à une troisième sont parallèles entre elles. et e sa réiproque : Si u et v sont parallèles et si w est perpeniulaire à u, alors w est perpeniulaire àv. joutons la remarque suivante qui orrespon bien à l intuition que eux roites parallèles ont un point ommun à l infini : si C est un triangle tel que () et (C) soient presque parallèles et si C n est pas petit, alors la formule es sinus implique que et C sont très grans Presque parallélogramme Un quarilatère CD est un presque parallélogramme si les roites () et (CD) une part et (D) et (C) autre part sont presque parallèles. De e qui a été it i-essus, on éuit imméiatement la stabilité es propriétés angulaires es parallélogrammes. De même, les théorèmes un quarilatère est un parallélogramme si et seulement si ses ôtés opposés sont égaux, un quarilatère est un parallélogramme si et seulement si ses iagonales se oupent en leur milieu, sont stables puisqu on peut les émontrer à l aie es as égalité es triangles Stabilité u théorème e Thalès Soit C un triangle et et C es points e () et (C) tels que (C) et ( C ) soient presque parallèles. Soit C le point intersetion e la roite (C) ave la roite passant par le point et parallèle à (C). D après le théorème e Thalès :

11 PMEP La stabilité en géométrie 681 C = C. Mais les triangles C et C ont en ommun le ôté [ ] et l angle. De plus C C. De la stabilité u premier as égalité, on éuit C C et on : C C. n a on émontré la stabilité u théorème e Thalès. 3. Stabilité et ontinuité n a vu que la stabilité es théorèmes e géométrie résulte e la ontinuité e variation es ifférents éléments e la figure orresponante. n pourrait on penser qu il est faile e onstruire un logiiel e géométrie ynamique où les figures varient toujours ontinûment. r tous eux qui ont utilisé un logiiel omme Cabri savent qu il n en est rien : il existe es ruptures e ontinuité u éplaement. Un exemple simple onsiste à prenre eux points et sur un erle e entre et e éterminer l un es points intersetion M u erle ave la bissetrie b e l angle. n onstate que le point M «saute un emi-tour» lorsque le point traverse le symétrique u point par rapport au point. ʹ Cʹ Cʹʹ C ʹ M ʹ M Ce phénomène est (entre autres) étuié ans la thèse e ernar Genevès [6]. utre la ontinuité, les auteurs u logiiel Cabri ont souhaité un éterminisme ans la gestion es figures : lorsque, après éplaement, les éléments e base éfinissant une figure reviennent à leur position initiale, toute la figure onstruite sur es éléments oit revenir à sa position initiale. r éterminisme et ontinuité sont inompatibles omme le montre l exemple prééent : si on suppose que le point part u point et se éplae ontinûment sur le erle toujours ans le même sens, après un tour omplet le point M n aura fait qu un emi-tour et ne sera on pas revenu à sa position initiale : il n y aura pas éterminisme.

12 682 Pour herher et approfonir PMEP n ne peut on pas avoir un logiiel totalement éterministe et totalement ontinu. Cabri qui a hoisi l option éterministe ne permet on pas e onstruire un essin ontinu u phénomène prééent à partir u erle et es points et omme objets initiaux. Mais la isontinuité épenra e la manière ont M est éfini : par exemple, si on éfinissait la roite non omme la bissetrie e l angle, mais omme la méiatrie e [], la isontinuité se prouirait lorsque le point passe par le point. ʹ M M ʹ Remarques. 1. Dans la représentation plane es nombres omplexes, l exemple prééent orrespon au problème e la éfinition e la raine arrée es nombres omplexes : on sait que pour résoure e problème e manière omplètement satisfaisante, on introuit lassiquement les surfaes e Riemann. Cinerella est un logiiel e géométrie ynamique omplètement ontinu basé sur e telles iées, mais il est évient qu ave un tel logiiel la prévision es effets u éplaement es éléments e base une figure est plus iffiile que ans Cabri. n peut trouver es renseignements supplémentaires sur Cinerella sur le site (ou en aressant à Google la requête «Cinerella»). 2. Dans les onstrutions à la règle et au ompas, es problèmes e isontinuité n apparaissent ans Cabri que lorsque l on fait jouer ans la figure un rôle issymétrique aux eux points intersetion une roite et un erle (ou e eux erles) qui sont numérotés automatiquement : il faut onsiérer les roites e Cabri omme es axes orientés. Ces isontinuités qui sont parfois iffiiles à omprenre peuvent être utilisées par exemple en géométrie booléenne (f. [3], hapitre 10). 3. Un autre type e iffiulté peut apparaître lorsque l outil invoqué orrespon à eux onstrutions ifférentes. C est le as, par exemple, lorsque l on veut onstruire ans Cabri la perpeniulaire à une roite onnée passant par un point situé en ehors e la roite en utilisant la propriété e l angle insrit ans un emi-erle : il suffit e prenre un point sur la roite et e éterminer le euxième point intersetion H e la roite et u erle e iamètre []. Si, ans Cabri, on éfinit le erle omme le erle entré au milieu e [] et passant par le point, il n y a auun problème : la roite (H) est perpeniulaire à la roite quelle que soit la position u point :

13 PMEP La stabilité en géométrie 683 H Mais si on éfinit le erle omme le erle entré au point et passant par le point, la propriété ne résiste pas au éplaement u point : H Le phénomène est simple à expliquer : ans le euxième as, Cabri rée eux points intersetion qu il numérote automatiquement et est l utilisateur qui érète lequel est le point H herhé, mais lorsque le point traverse le projeté u point sur la roite, il evient oïniant ave le point H et la figure n est plus elle que l on voulait. Par ontre ans le premier as, Cabri onnaît le point omme l un es points intersetion et il ne réera que le euxième point intersetion : la figure onvienra toujours. 4. n voit que tous es phénomènes e isontinuité sont e fait liés à la manière ont le logiiel étermine et gère les points intersetion une roite et un erle, e eux erles, et. Pour savoir si les exemples que je viens e montrer sont traités e la même manière par autres logiiels, il n y a qu à regarer Conlusion H H n voit que la notion e stabilité onfirme les possibilités appliquer la géométrie euliienne à la vie ourante. n peut alors la onsiérer omme une siene physique permettant e érire es objets géométriques réels (ubes, sphères, ônes, ), e les omparer, les mesurer, L étue es transformations (translations, rotations, homothéties, ) fournit en plus un are théorique pour étuier les éplaements (ave, éventuellement, moifiations) e es objets un lieu vers un autre sans tenir ompte u trajet effetué. La inématique permet ajouter la notion e trajetoire et étuier les vitesses et les aélérations. Tout ei s enseignait en mathématiques au lyée avant la réforme es mathématiques moernes. Les théories mathématiques fournissaient alors es exemples simples e e que peut être une siene physique ave ses origines, son éveloppement et ses appliations.

14 684 Pour herher et approfonir PMEP Mais, lors e la réforme es mathématiques moernes, les mathématiiens ont abanonné aux physiiens l enseignement e la inématique et, au lyée, on ne éfinit plus la vitesse moyenne un mobile omme le quotient e la istane parourue par le temps e parours. h, oui, Pólya avait raison! ibliographie [1] Mihel CRRL, Géométrie. Ellipses, [2] Gustave CHQUET, L enseignement e la géométrie. Hermann, [3] Roger CUPPENS, ve Cabri-Géomètre II, jouez et faites e la géométrie (eux tomes). rohures PMEP n os 136 et 137, [4] Roger CUPPENS, Déouvrir les géométries non euliiennes en jouant ave Cabri- Géomètre II. rohures PMEP n os 160 et 161, [5] Jean-Jaques DHN, La émarhe e éouverte expérimentalement méiée par Cabri-géomètre en mathématiques. Un essai e formalisation à partir e l'analyse e émarhes e résolutions e problème e boîtes noires. Thèse e otorat, Université Joseph Fourier, Grenoble, [6] ernar GENEVÈS. Vers es spéifiations formelles : fonements mathématiques et informatiques pour la géométrie ynamique, thèse e l'université Joseph Fourier, Grenoble, 21 éembre [7] Émile LEMINE, Géométrographie ou art es onstrutions géométriques. Gauthier-Villars, [8] Lorenzo MSCHERNI. Géométrie u ompas, Rééité par la Librairie Sientifique lanhar en [9] Claue MTTIUSSI. Construtions logiques ave Cabri. L utan, revue e l IREM e Toulouse, n o 1 (mai 2007), p

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