I) A quoi sert la géométrie analytique?

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1 FICHE ETHDE sr la GEETRIE ANALYTIQUE I) A qo sert la géométre analtqe? a) Exemples : 1 ACKE, CHBD et HGLF sont 3 parallélogrammes. d b f l AC = 8, AE =, CH = 5, CD = 6,6 HG = 1, HF = 11 6,6 11 Les ponts A, D et F sont-ls Algnés? a e, c k h g Non, car AD(8 ; 6,6), AF(13;11) et on a : ,6 13 =88 85,8 =, 0! ACKE et CHBD sont parallélogrammes. d b AC = 8, AE =, CH = 5, CD = 6,6 Les segments [ A D] et [ KB ] sont-ls parallèles? a e, 8 c k 5 h 6,6 Non, car AD(8 ; 6,6), KB (5 ;4,4 ) et on a : 8 4,4 6,6 5 = 35, 33 =, 0! 3 Comben de soltons l éqaton x 3 1,5x² 1,6x + 0,5 = 0 1 admet-elle dans l ntervalle [-1 ;1,4]? 3 soltons! 0 x -1, -1-0,8-0,6-0,4-0, 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 1, 1,4 1,6-1

2 b) Remarqes : De nombrex problèmes de la ve corante condsent à des calcls nmérqes pls o mons complqés ( partages, factres, ). Il est ass de nombreses statons où l on cherche n nombre nconn q dot respecter certanes contrantes ( comben placer à la banqe a tax de 5% l an por avor n captal de 1000 eros dans 10 ans?, ), ce nombre nconn est alors solton d ne éqaton. Certanes éqatons ne pevent pas être résoles algébrqement, mas ne dée génale de René Descartes ( ) ft de représenter dans n repère la corbe correspondant à l éqaton rédte ( por les soltons de l éqaton : x 3 1,5x² 1,6x + 0,5 = 0, on place les ponts de coordonnées (x ; x 3 1,5x² 1,6x + 0,5) dans n repère por dfférentes valers de x, on obtent ne corbe, et l est alors possble d évaler graphqement le nombre de soltons et des valers approchées des soltons s l en a. L dée fondamentale de Descartes est d tlser n repère ( q n exstat pas à l époqe ), ce q permet de transformer n problème algébrqe en n problème géométrqe. Récproqement, l tlsaton d n repère permet de transformer n problème de géométre en n problème d algèbre, q fat ntervenr des calcls nmérqes sr les coordonnées de ponts. La géométre analtqe fxe les défntons et les proprétés essentelles por povor résodre n problème de géométre grâce à des calcls sr les nombres o ben n problème algébrqe graphqement. Le «ponts» permettant de reler les dex rves algébrqes et géométrqes est le repère ( cartésen). Fare de la géométre analtqe, c est fare de la géométre dans n repère en en tlsant des coordonnées. II) Q est ce qe la géométre analtqe? Por fare de la géométre analtqe, l fat défnr ce q est n repère d plan. Défnton 1 : ( REPERE DU PLAN ) n appelle repère d plan tot trplet (,, ) où est n pont et, dex vecters non colnéares. L axe (, ) est appelé l axe des abscsses. L axe (, ) est appelé l axe des ordonnées. S et sont perpendclares, on dt qe le repère est orthogonal. S et sont perpendclares et = =1 on dt qe le repère est orthonornal. Proprété 1 : ( PINT DU PLAN ET CRDNNEES ). Sot (,, Qel qe sot le pont d plan, l exste n cople nqe de nombres réels ( x ; ) tel qe = x + n note ( x ; ) et on dt qe : a por coordonnées le cople de réels ( x ; ). x est l abscsse d pont. est l ordonnée d pont. x

3 Preve : Sot (x ; ) n pont d plan. La parallèle à (, ) cope (, ) en P. La parallèle à (, ) cope (, ) en R. R P (, ) donc P et sont colnéares. donc l exste n réel x tel qe P = x. R (, ) donc R et sont colnéares. donc l exste n réel tel qe R = P PR est n parallèlogramme donc = P + R = x + ontrons mantenant l ncté d cople (x ; ). = x + Spposons q l exste n atre cople (x ; ) tel qe n a alors : x + = x + Donc : (x x ) = ( ) S x x on a : = x x car et ne sont pas colnéares, donc x = x. donc et sont colnéares, ce q est absrde Donc (x x ) = (x x) = 0 = 0 = ( ) donc = 0 car 0. Donc = Conclson : s = x + = x + alors x = x et = C.Q.F.D. Exemples : Sot la fgre c contre. n a : 1 = + 3, ( ;3) 3 P = 1 + 1, P(1 ;1) R = 1, R( ;-1) S P 4 S = -1 +, S(-1 ;) 5 T = - 1, T(- ;-1) T R Proprété : ( VECTEUR DU PLAN ET CRDNNEES ). Sot (,, Qel qe sot le vecter d plan, l exste n cople nqe de nombres réels (x ; ) tel qe = x + n note (x ; ) et on dt qe : a por coordonnées le cople de réels ( x ; ). x est l abscsse d vecter. est l ordonnée d vecter.

4 Preve : Sot n vecter d plan. Sot le pont tel qe =. Il exste n nqe cople (x ; ) tel qe = x + donc tel qe = x + C.Q.F.D. x Exemples : A partr de la fgre c contre, on a : 1 P = +, P (1 ; ). PR =, PR (1 ; -). S P 3 TP = 3 +, TP (3 ; ). 4 T = - 4 4, T (-4 ; -4). T R Proprété 3 : ( EGALITE DE PINT U DE VECTEURS ) Sot (,, Soent ponts (x ; ) et (x ; ) Soent vecters (x ; ) et (x ; ) 1) = éqvat à x = x = «ponts sont égax les coordonnées sont égales» ) = éqvat à x = x = «vecters sont égax les coordonnées sont égales» Preve : Réslte de l ncté des coordonnées d n pont dans n repère. Exemples : 1 Soent A ( ; 3) et B ( ;3) on a alors A = B. Soent ( 4 ; -3) et v ( 4 ; -3) on a alors = v.

5 Proprété 4 : ( VECTEUR ET EXTREITES ) Sot (,, Soent A(x A ; A ) et B(x B ; B ) ponts. Le vecter AB a por coordonnées : AB (x B x A ; B A ) Preve : n a : AB = A + B = -A + B = - ( x A + A ) + (x B + B ). Donc : AB = -x A A + x B + B = ( -x A + x B ) + (- A + B ) Donc : AB a por coordonnées ( x B x A ; B A ). C.Q.F.D. Exemple : Soent A ( 4 ; -3) et B ( 5 ; -8) Alors : AB ( 5 4 ; -8 (-3) ) donc AB ( 1 ; -5 ). Proprété 5 : ( ILIEU D UN SEGENT ) Sot (,, Soent A(x A ; A ) et B(x B ; B ) ponts. S I est le mle d segment [AB] alors «on fat les moennes des coordonnées». I ( x A + x B ; A + B ) I Preve : Spposons I mle de [AB]. Donc AI = IB avec AI ( x I x A ; I A ) = IB ( x B x I ; B I ) A donc x I x A = x B x I et I A = B I donc x I = x B + x A et I = B + A donc x I = x B + x A et I = B + A C.Q.F.D. Exemples : Soent A ( 4 ; -3) ; B ( 5 ; -8) et I mle de [AB]. Alors I ( (-8) ; ) donc I ( 9 ; -11 ). Il exste ass des règles de calcl sr les coordonnées

6 Proprété 6 : ( ADDITIN DE VECTEURS U ULTIPLICATIN PAR UN REEL ) Sot (,, Soent (x ; ) et v (x ; ) vecters. Sot k n nombre réel et w n trosème vecter. 1) S w = + v alors w ( x + x ; + ) «on addtonne les coordonnées». ) S w = k alors w ( k x ; k ) «on mltple les coordonnées par k». Preve : 1) Spposons w = + v avec (x ; ) et (x ; ). n a alors : w = x + + x + = (x + x ) + ( + ) Donc w a por coordonnées ( x + x ; + ). ) Spposons w = k avec (x ; ). n a alors : w = k (x + ) = kx + k Donc w a por coordonnées ( kx ; k ). Exemples : 1 Soent ( 4 ; -3) ; v ( 5 ; -8) et w = + v Alors : w ( ; -3 + (-8) ) donc w ( 9 ; -11 ). Sot ( 4 ; -3) et w = -5 Alors : w (-5 4 ; -5 (-3) ) donc w (-0 ; 15). Proprété 7 : ( LNGUEUR D UN VECTEUR ) Sot (,, ) n repère RTHRE d plan. (x ; ) n vecters. La longer d vecter notée est telle qe : = x² + ² B Preve : Sot tel qe = donc =. P Le repère est orthonormal donc I est rectangle en I. de pls : I = x = x = x 1 = x. I = P = = = 1 =. x I En applqant le théorème de Pthagore dans le trangle I on a : ² = I ² + I ² Donc : ² = x ² + ² = x² + ² donc = x² + ² donc = x² + ². Exemple : Sot ( 4 ; -3), on a : = 4² + (-3)² = 5 = 5.

7 Proprété 8 : ( LNGUEUR d UN SEGENT ) Exemple : Sot (,, ) n repère RTHRE d plan. Soent A(x A ; A ) et B(x B ; B ) ponts. La dstance AB est égale à : AB = AB = ( x B x A )² + ( B A )² Preve :.Soent A(x A ; A ) et B(x B ; B ). on a alors : AB( x B x A ; B A ).. Donc : AB = (x B x A )² + ( B A )². Soent A ( 4 ; -3) et B ( 5 ; -8) C.Q.F.D. Alors : AB = (5 4)² + (-8 (-3))² = 1² + (-5)² = 6. Proprété 9 : ( CLINEARITE DE VECTEURS ) Sot (,, Soent (x ; ) et v ( x ; ) vecters. Les vecters et v sont colnéares éqvat à x = x' o encore x x' = 0 Preve :.Soent Spposons et v colnéares. (x ; ) et v ( x ; ) vecters.. donc l exste k IR tel qe = k v. _ S k = 0 alors = 0. v = 0 donc x = = 0 donc x x = 0. _ S k 0 alors x = kx et = k alors xk = kx donc x = x donc x x = 0. Spposons x x = 0. Donc x = x _S _ S = 0 alors 0 alors x 0 o 0 = 0 v et = k v en posant k = 0... S x 0 alors = x x = k ( en posant k = ) mas ass x = kx x x donc = k v donc et v sont colnéares...s x = 0 alors 0 alors x = Exemples : x = kx ( en posant k = donc = k v donc et v sont colnéares. ) mas ass = k C.Q.F.D. 1 Soent ( 4 ; -3) ; v ( 5 ; -8) ; on a 4 (-8) (-3) 5 = = donc et v ne sont pas colnéares. Soent ( 4 ; -3) ; v ( 8 ; -6) ; on a 4 (-6) (-3) 8 = = 0 donc et v sont colnéares.

8 FICHE ETHDE sr la GEETRIE ANALYTIQUE I) A qo sert la géométre analtqe? b) Exemples : 1 ACKE, CHBD et HGLF sont 3 parallélogrammes. d b f l AC = 8, AE =, CH = 5, CD = 6,6 HG = 1, HF = 11 6,6 11 Les ponts A, D et F sont-ls Algnés? a e, c k h g Non, car AD(8 ; 6,6), AF(13;11) et on a : ,6 13 =88 85,8 =, 0! ACKE et CHBD sont parallélogrammes. d b AC = 8, AE =, CH = 5, CD = 6,6 Les segments [ A D] et [ KB ] sont-ls parallèles? a e, 8 c k 5 h 6,6 Non, car AD(8 ; 6,6), KB (5 ;4,4 ) et on a : 8 4,4 6,6 5 = 35, 33 =, 0! 3 Comben de soltons l éqaton x 3 1,5x² 1,6x + 0,5 = 0 1 admet-elle dans l ntervalle [-1 ;1,4]? 3 soltons! 0 x -1, -1-0,8-0,6-0,4-0, 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 1, 1,4 1,6-1

9 b) Remarqes : De nombrex problèmes de la ve corante condsent à des calcls nmérqes pls o mons complqés ( partages, factres, ). Il est ass de nombreses statons où l on cherche n nombre nconn q dot respecter certanes contrantes ( comben placer à la banqe a tax de 5% l an por avor n captal de 1000 eros dans 10 ans?, ), ce nombre nconn est alors solton d ne éqaton. Certanes éqatons ne pevent pas être résoles algébrqement, mas ne dée génale de René Descartes ( ) ft de représenter dans n repère la corbe correspondant à l éqaton rédte ( por les soltons de l éqaton : x 3 1,5x² 1,6x + 0,5 = 0, on place les ponts de coordonnées (x ; x 3 1,5x² 1,6x + 0,5) dans n repère por dfférentes valers de x, on obtent ne corbe, et l est alors possble d évaler graphqement le nombre de soltons et des valers approchées des soltons s l en a. L dée fondamentale de Descartes est d tlser n repère ( q n exstat pas à l époqe ), ce q permet de transformer n problème algébrqe en n problème géométrqe. Récproqement, l tlsaton d n repère permet de transformer n problème de géométre en n problème d algèbre, q fat ntervenr des calcls nmérqes sr les coordonnées de ponts. La géométre analtqe fxe les défntons et les proprétés essentelles por povor résodre n problème de géométre grâce à des calcls sr les nombres o ben n problème algébrqe graphqement. Le «ponts» permettant de reler les dex rves algébrqes et géométrqes est le repère ( cartésen). Fare de la géométre analtqe, c est fare de la géométre dans n repère en en tlsant des coordonnées. II) Q est ce qe la géométre analtqe? Por fare de la géométre analtqe, l fat défnr ce q est n repère d plan. Défnton 1 : ( REPERE DU PLAN ) n appelle repère d plan tot trplet (,, ) où est n pont et, dex vecters non colnéares. L axe (, ) est appelé l axe des abscsses. L axe (, ) est appelé l axe des ordonnées. S et sont perpendclares, on dt qe le repère est orthogonal. S et sont perpendclares et = =1 on dt qe le repère est orthonornal. Proprété 1 : ( PINT DU PLAN ET CRDNNEES ). Sot (,, Qel qe sot le pont d plan, l exste n cople nqe de nombres réels ( x ; ) tel qe = x + n note ( x ; ) et on dt qe : a por coordonnées le cople de réels ( x ; ). x est l abscsse d pont. est l ordonnée d pont. x

10 Proprété : ( VECTEUR DU PLAN ET CRDNNEES ). Sot (,, Qel qe sot le vecter d plan, l exste n cople nqe de nombres réels (x ; ) tel qe = x + n note (x ; ) et on dt qe : a por coordonnées le cople de réels ( x ; ). x est l abscsse d vecter. est l ordonnée d vecter. R P Exemples : A partr de la fgre c contre, on a : 1 P = +, P (1 ; ). PR =, PR (1 ; -). S P 3 TP = 3 +, TP (3 ; ). 4 T = - 4 4, T (-4 ; -4). T R Proprété 3 : ( EGALITE DE PINT U DE VECTEURS ) Sot (,, Soent ponts (x ; ) et (x ; ) Soent vecters (x ; ) et (x ; ) 1) = éqvat à x = x = «ponts sont égax les coordonnées sont égales» ) = éqvat à x = x = «vecters sont égax les coordonnées sont égales» Exemples : 1 Soent A ( ; 3) et B ( ;3) on a alors A = B. Soent ( 4 ; -3) et v ( 4 ; -3) on a alors = v.

11 Proprété 4 : ( VECTEUR ET EXTREITES ) Sot (,, Soent A(x A ; A ) et B(x B ; B ) ponts. Le vecter AB a por coordonnées : AB (x B x A ; B A ) Exemple : Soent A ( 4 ; -3) et B ( 5 ; -8) Alors : AB ( 5 4 ; -8 (-3) ) donc AB ( 1 ; -5 ). Proprété 5 : ( ILIEU D UN SEGENT ) Sot (,, Soent A(x A ; A ) et B(x B ; B ) ponts. S I est le mle d segment [AB] alors «on fat les moennes des coordonnées». I ( x A + x B ; A + B ) I Exemples : Soent A ( 4 ; -3) ; B ( 5 ; -8) et I mle de [AB]. Alors I ( (-8) ; ) donc I ( 9 ; -11 ). Il exste ass des règles de calcl sr les coordonnées A Proprété 6 : ( ADDITIN DE VECTEURS U ULTIPLICATIN PAR UN REEL ) Sot (,, Soent (x ; ) et v (x ; ) vecters. Sot k n nombre réel et w n trosème vecter. 1) S w = + v alors w ( x + x ; + ) «on addtonne les coordonnées». ) S w = k alors w ( k x ; k ) «on mltple les coordonnées par k». Exemples : 1 Soent ( 4 ; -3) ; v ( 5 ; -8) et w = + v Alors : w ( ; -3 + (-8) ) donc w ( 9 ; -11 ). Sot ( 4 ; -3) et w = -5 Alors : w (-5 4 ; -5 (-3) ) donc w (-0 ; 15).

12 Proprété 7 : ( LNGUEUR D UN VECTEUR ) Sot (,, ) n repère RTHRE d plan. (x ; ) n vecters. La longer d vecter notée est telle qe : = x² + ² B Exemple : Sot ( 4 ; -3), on a : = 4² + (-3)² = 5 = 5. Proprété 8 : ( LNGUEUR d UN SEGENT ) Sot (,, ) n repère RTHRE d plan. Soent A(x A ; A ) et B(x B ; B ) ponts. La dstance AB est égale à : AB = AB = ( x B x A )² + ( B A )² Exemple : Soent A ( 4 ; -3) et B ( 5 ; -8) Alors : AB = (5 4)² + (-8 (-3))² = 1² + (-5)² = 6. Proprété 9 : ( CLINEARITE DE VECTEURS ) Sot (,, Soent (x ; ) et v ( x ; ) vecters. Les vecters et v sont colnéares éqvat à x = x' o encore x x' = 0 Exemples : 1 Soent ( 4 ; -3) ; v ( 5 ; -8) ; on a 4 (-8) (-3) 5 = = donc et v ne sont pas colnéares. Soent ( 4 ; -3) ; v ( 8 ; -6) ; on a 4 (-6) (-3) 8 = = 0 donc et v sont colnéares.