QCM : QUE COCHER MAINTENANT?

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1 IREM d CLERMONT-FERRAND QCM : QUE COCHER MAINTENANT? Tom 2 L Qustionnir à Choix Multipl? Un outil complémntir d évlution u Collè t u Lycé Juin 2008 Group : QCM, nouvll form d évlution?

2 Ont prticipé à l élbortion d c documnt : Flornc ARTIGUES Loïc BELIN Mrylin BERANGER Fbin BOURG Cécil GOUTTEFANGEAS André LYOTARD Anès RAMAIN Brnrd VIALANEIX On put commndr l brochur ppir à : Univrsité Blis scl IREM Complx Scintifiqu ds Cézux AUBIERE cdx Tél : Fx : irm@univ-bpclrmont.fr Vous pouvz élmnt consultr l sit d l IREM d Clrmont-Frrnd : 2

3 INTRODUCTION Après l édition d un prmièr brochur (2004) sur ls QCM, qui s voulit êtr un invittion à (r)découvrir un mod d évlution qulqu pu décrié, l roup ds uturs continué à trvillr sur c sujt. En outr, dpuis ctt dt, c trvil pu nourrir qulqus journés d st, ctt form d évlution étnt pplé à fir son ntré dns l cdr d sujts d xmn. L dhésion, crts risonné, à ctt démrch n fit plus d dout prmi ls profssurs d mthémtiqus, puisqu il n st ps pnsbl qu ls élèvs s trouvnt confrontés, un jour d xmn, à un typ d xrcic uqul ils n urint ps été préprés mis nombr d qustions s posnt à chqu nsinnt u momnt d l concption d un sujt : ntur, qulité ds qustions, mods d réponss. our nous, qui rconnissons c typ d xrcic, sns n fir un modèl xclusif, comm un outil intérssnt dns ls domins d l formtion t d l évlution il étit nturl d prtr notr trvil. Nous n présntons ps un documnt d théoristion mis sulmnt ds sujts conçus pr nous t proposés à nos élèvs. Nous n rvindrons ps sur ls modlités d concption, d utilistion, ls différnts typs tout été dévloppé dns l tom 1 t d nombrux rticls sur l sujt xistnt. Il nous smbl importnt d rpplr qu l crétion d un QCM (Typ, rchrch ds distrcturs ) st un choix pédoiqu lié à d multipls critèrs : connissncs bordés, plc dns l prorssion Mêm si l typ d évlution qu st l QCM, put pprîtr (u déprt!) «monolithiqu», il vous séduir - nous l spérons - pr s divrsité tnt sur l fond qu sur l form. Ainsi, pour fcilitr l pproprition d chqu sujt ntir, nous vons construit un «fich profssur» qui prmt d miux comprndr ls motivtions t ls ttnts du concptur. Ctt scond brochur rflèt l chronoloi d notr réflxion, insi vous trouvrz u déprt ds sujts ntirs prêts à êtr utilisés vc pour chcun un fich profssur, puis ds QCM «n vrc». En fft u fil d nos prtiqus, il nous st ppru plus prtinnt d utilisr l QCM comm un xrcic dns un contrôl comm on l rtrouv dns ls sujts d xmns. Au vu ds instructions officills, notr réflxion s st porté sur l intérêt du QCM dns l initition à l rchrch d un problèm ouvrt. En fft l QCM dévlopp ls priss d inititivs nécssirs à c typ d xrcic. Il hbitu l élèv produir un démrch prsonnll. D plus, il st mintnnt officil d précisr vc l mod d nottion : «l form ds qustions n doit ps êtr sourc d difficultés supplémntirs. Si ds qustionnirs à choix multipl (QCM) sont proposés, ls modlités d nottion doivnt n êtr précisés on n doit ps s contntr d indiqur sur l sujt l nombr d points loblmnt ffcté à l xrcic.» (not d srvic du 29 vril 2003 (publié u BO n 19 du 8 mi 2003) 3

4 LE MOT DES INSECTEURS Dpuis mintnnt plusiurs nnés, un roup d'étud d l'institut d Rchrch sur l'ensinmnt ds Mthémtiqus d Clrmont-Frrnd réunit, u uy-n-vly, ds profssurs d collè t d lycé pour réfléchir à l'introduction ds Qustionnirs à Choix Multipls dns ls prtiqus ds nsinnts d mthémtiqus du scond dré. Ls trvux d c roup ont débouché sur ds sts qui connissnt un succès importnt dns l cdr du pln cdémiqu d formtion t sur l publiction d'un prmièr brochur très dmndé tnt n Auvrn qu dns ls utrs réions. L présnc ds QCM st ctullmnt bnl dns ls sujts d bcclurét d touts ls séris. Ell st mintnnt pplé à s dévloppr dns cux du brvt. D'bord ccuillis vc résrv, voir suspicion dns crtins cs, cs outils ont, à c jour, convincu tous ls profssurs d lur intérêt t d lur prtinnc. Qu'ils soint proposés n évlution dinostiqu vnt d'bordr ds chmps nouvux, n évlution formtiv n cours d'pprntiss ou n évlution sommtiv comm cl st plus fréqummnt l cs, ils contribunt fortmnt à un connissnc plus fin ds cquis ds élèvs. Fruit du trvil méticulux d'un roup d profssurs dynmiqus t compétnts, l tom 2 d l brochur propos ds QCM couvrnt lrmnt ls prormms du collè t du début du lycé. L "finol" ds énoncés, près d nombrux tsts dns ls clsss, mt à l disposition ds utilisturs ds outils imméditmnt xploitbls. L vriété ds contnus prmt ux profssurs d collè d, notmmnt, prndr n compt l'rrivé du socl commun d connissncs t d compétncs. Nous félicitons ls uturs pour ctt xcllnt nouvll production t rmrcions l'irem d Clrmont-Frrnd d continur à fournir ux nsinnts d mthémtiqus ds documnts d référnc d'un tll qulité. Frnçois Brcht t Jn-Frnçois Bilot Inspcturs d'cdémi Inspcturs pédoiqus réionux d l'cdémi d Clrmont-Frrnd 4

5 r t i n u m é r i q u r t i é o m é t r i q u INDEX THEMATIQUE DES Gstion d donnés QCM 6 Clculs t priorités Frctions Ntur t écritur ds nombrs 1 1 Clcul littérl Eqution Inéqution Distributivité GCD Intrvlls Rcin crré uissnc Trnsformtions du pln Méditrics t crcl circonscrit Médins Huturs Bissctrics Trinl rctnl t crcl Théorèm d ythor t s réciproqu Théorèm d Thlès t s réciproqu Théorèm ds miliux Ntur ds trinls Inélité trinulir Nottion éométriqu Ntur ds qudriltèrs Anls Sction d solid Fonctions Sttistiqus roportionnlité

6 N iv u r t i n u m é r i q u r t i é o m é t r i q u Utilistion d l clcultric 6 èm 5 èm 4 èm 3 èm 2 nd 1 èr L / 1 èr ES INDEX THEMATIQUE DES Gstion d donnés QCM Clculs t priorités Frctions Ntur t écritur ds nombrs Clcul littérl 3 4 Eqution Inéqution Distributivité GCD Intrvlls Rcin crré uissnc 4 Trnsformtions du pln Méditrics t crcl circonscrit Médins Huturs Bissctrics Trinl rctnl t crcl Théorèm d ythor t s réciproqu Théorèm d Thlès t s réciproqu Théorèm ds miliux Ntur ds trinls Inélité trinulir Nottion éométriqu Ntur ds qudriltèrs Anls Sction d solid Fonctions Sttistiqus roportionnlité

7 7 Utilistion d l clcultric 6 èm 5 èm 4 èm 3 èm N iv u rti n u m é ri q u rti é o m ét ri q u 2 nd 1 èr L / 1 èr ES INDEX THEMATIQUE DES Gstion d donnés QCM Clculs t priorités Frctions Ntur t écritur ds nombrs Clcul littérl Eqution Inéqution Distributivité GCD Intrvlls Rcin crré uissnc Trnsformtions du pln Méditrics t crcl circonscrit Médins Huturs Bissctrics Trinl rctnl t crcl Théorèm d ythor t s réciproqu Théorèm d Thlès t s réciproqu Théorèm ds miliux Ntur ds trinls Inélité trinulir Nottion éométriqu Ntur ds qudriltèrs Anls Sction d solid Fonctions Sttistiqus roportionnlité

8 N iv u Utilistion d l clcultric 6 èm 5 èm 4 èm 3 èm 2 nd 1 èr L / 1 èr ES 8

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10 10 Clss(s) : 5 èm. Connissncs (ou compétncs) visés rltivmnt ux prormms : Clculs t priorités. Typ d clcul, vocbulir. Résolution d problèms. Connissncs (ou compétncs) visés n trm d svoirs ou svoir-fir : Utilistion ds rèls d priorités dns un clcul. Utilistion du vocbulir «somm», «produit», «quotint» t «différnc». Trduir un phrs pr un clcul. Trduir un énoncé pr un clcul. Outils utilisés (typ d dvoirs) : En dvoir à l mison. En clss pour un utoévlution vnt l contrôl. osition rltiv dns l déroulmnt d l pprntiss QCM à donnr n fin d chpitr comm biln ds connissncs. Tmps prévu : 20 minuts n clss (tsté). Nombr d qustions : 18 Brèm : Non noté, mis on put nvisr un brèm clssiqu (+2 si touts ls réponss ttndus sont donnés t justs, +1 si l élèv n donné qu un prti ds bonns réponss sns répons fuss intrclé, 0 si non répondu t -1 dès qu un répons fuss st coché). Dns l cdr d l utoévlution, près l corrction t l décompt ds points, on pourr précisr ux élèvs l nombr d points qu il urit fllu voir pour s stimr stisfit d son trvil, t l nombr d points n dssous duqul il v flloir sériusmnt rvoir l lçon pour l contrôl. Anlys : our ls qustions d c QCM, un sul répons st utorisé, mêm si d fit, on s priv ds rrurs d crtins élèvs qui cochrint plusiurs solutions pour un clcul donné. Si on rmni l QCM pour ccptr plusiurs solutions, on put fir ds vrints. r xmpl, à l qustion 12, on put proposr (4 + 5) 7 pour voir si ls élèvs connissnt l ssocitivité d l multipliction. rticulrité(s) : L corrction d l qustion n 7 put s fir à l clcultric. On put rprndr ds qustions n contrôl pour ls élèvs qui ont suivi l corrction. our l qustion 14 (évntullmnt rpris n contrôl), on put ussi proposr l form dévloppé d l solution.

11 Cochr l ou ls bonns réponss : = = 2 8 3, = (19 3) 8 2 = = (14 2) 2 3 = [40 (13 + 3) + 12] 6 2 = utr répons : L clcul st : un somm un produit un quotint un différnc on n put ps dir 9. L clcul (5 2) (2 + 3) st : un somm un produit un quotint un différnc on n put ps dir 10. L clcul st : un somm un produit un quotint un différnc on n put ps dir 11. L somm d 7 t du produit d 4 pr 5 s trduit pr l clcul : (7 + 4) (4 + 5) 12. L produit d 7 pr l somm d 4 t d 5 s trduit pr l clcul : (7 + 4) (4 + 5) 11

12 13. L produit d l somm d 4 t d 5 pr l somm d 7 t d 2 s trduit pr l clcul : (4 + 5) (7 + 2) (4 + 5) élèvs d 5 èm t 7 ccompnturs prticipnt à un sorti scolir d un montnt d 4 uros pr prsonn. rmi ls xprssions ci-dssous, lqull prmt d résoudr c problèm? (56 + 7) 4 (56 7) En plin sison, ls cèps s vndnt 7 uros pr k. Mri n chèt 4 k, ll possèd 56 uros dns son port-monni. Combin d rnt lui rst-t-il près ss chts? rmi ls xprssions ci-dssous, lqull prmt d résoudr c problèm? (56 + 7) 4 (56 7) Un pnu ni coût 56 uros. our chqu pnu ni chté, l msin fit un réduction d 7 uros. Sïd chn ls 4 pnus d s voitur. Qul st l montnt totl d s fctur? rmi ls xprssions ci-dssous, lqull prmt d résoudr c problèm? (56 + 7) 4 (56 7) Dns l cv d Michl s trouvnt 56 boutills d jus d orn t 7 pcks contnnt chcun 4 boutills d Sod. Combin d boutills sont ntrposés dns l cv d Michl? rmi ls xprssions ci-dssous, lqull prmt d résoudr c problèm? (56 + 7) 4 (56 7) J suis l produit d 2 ntirs consécutifs t l somm d ms chiffrs fit 11. J suis :

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14 Clss(s) : 5 èm t 4 èm Connissncs (ou compétncs) visés rltivmnt ux prormms : Frctions, écriturs frctionnirs n cinquièm. Connissncs (ou compétncs) visés n trm d svoirs ou svoir-fir : Ecriturs frctionnirs éls. Simplifictions d écriturs frctionnirs. Quotint d dux décimux. Comprison d dux écriturs frctionnirs, comprison vc 1. Additions, soustrctions, multiplictions d frctions t ls rèls d priorités dns ls clculs. Frctions d frctions t problèms. Outils utilisés (typ d dvoirs) : En xrcic à l mison. En clss pour un utoévlution vnt l contrôl. osition rltiv dns l déroulmnt d l pprntiss QCM 5 èm à donnr n fin d chpitr comm biln ds connissncs. QCM 4 èm à donnr n début d chpitr pour rpplr ls prérquis ux élèvs. Tmps prévu : 30 minuts n clss (tsté). Nombr d qustions : 12 Brèm : Non noté, mis on put nvisr un brèm clssiqu (+2 si touts ls réponss ttndus sont donnés t justs, +1 si l élèv n donné qu un prti ds bonns réponss sns répons fuss intrclé, 0 si non répondu t -1 dès qu un répons fuss st coché). Dns l cdr d l utoévlution, près l corrction t l décompt ds points, on pourr précisr ux élèvs l nombr d points qu il urit fllu voir pour s stimr stisfit d son trvil, t l nombr d points n dssous duqul il v flloir sériusmnt rvoir l lçon pour l contrôl. Anlys : l clcultric st consillé pour l corrction. Si c QCM doit êtr noté, ttntion à formulr différmmnt ls énoncés ds qustions 1, 5 t 8 : il fudrit nlvr l tournur intrronétiv, qui n st ps consillé dns ls énoncés ds QCM. Un fois l corrction fit n clss, on put nvisr d rprndr un ou dux c chpitr. qustions pour l évlution finl d 14

15 Cochr l ou ls bonns réponss : 1. Qull st l écritur frctionnir qui n st ps él ux utrs? 2, ,75 9 7,5 45 1,2 1, rmi ls frctions ci-dssous, lsqulls sont simplifiés u mximum? Schnt qu = qul st l quotint 141,35 0,11? ,5 12,85 1,285 0, rmi ls quotints suivnts, quls sont cux qui sont éux à 0, 051 0,85? , ,1 85 0,51 8,5 5. rmi ls opértions ci-dssous, qull(s) st (sont) cll(s) dont l résultt n st ps él à 14 15? , rmi ls nombrs suivnts, quls sont cux qui sont supériurs à 1? 13,01 1, , , rmi ls frctions ci-dssous, lsqulls sont compriss ntr 1 3 t 1 2?

16 8. rmi ls opértions ci-dssous, qull(s) st (sont) cll(s) dont l résultt n st ps él à 23 6? Trouvz l intrus. l tirs d dux qurts l qurt d dux tirs l moitié d un tirs l doubl d un tirs dux tirs d un qurt 10. Qul st l résultt d ? Qul st l résultt d ? On commndé chz un flurist un bouqut composé uniqumnt d flurs blnchs t d flurs rous. On souhit qu l bouqut soit composé d 3 d flurs rous vc l moitié ds flurs rous qui sont ds ross t qu l tirs ds flurs blnchs soint ds lys. 5. Qull frction du nombr totl d flurs du bouqut rprésnt ls ross rous? b. Qull frction du nombr totl d flurs du bouqut rprésnt ls lys blncs?

17 17

18 18 Clss(s) : 2 nd Connissncs (ou compétncs) visés rltivmnt ux prormms : Fonctions, énérlités. Connissncs (ou compétncs) visés n trm d svoirs ou svoir-fir : Clculs d ims, d ntécédnts. Utilistion du vocbulir pproprié. Lctur t intrpréttion d un tblu d vrition. osition rltiv d un point t d un courb. Outils utilisés (typ d dvoirs) : Un xrcic d dvoir survillé. osition rltiv dns l déroulmnt d l pprntiss Biln du chpitr énérlités sur ls fonctions. Tmps prévu : 20 minuts. Nombr d qustions : 10 Brèm : 1 point pr bonn répons, -0,5 pr répons inxct.

19 our chcun ds qustions suivnts, choisir l (ou ls) bonn(s) répons(s). Ls qustions 1 à 4 utilisnt l fonction f défini sur l intrvll [ -2 ; 3 ] pr f ( x ) = 4x² L im du nombr 2 pr l fonction f st A B C répons(s) n xist ps dmt pr f ucun ntécédnt un sul ntécédnt dux ntécédnts dmt pr f ucun ntécédnt 0 pour ntécédnt dux ntécédnts 4. Un phrs synonym d «f(0) = 1 5» st l im d 1 pr l 5 fonction f st 0 1 st un 5 ntécédnt d 0 pr l fonction f 0 pour im 1 5 pr l fonction f Ls qustions 5 à 10 utilisnt l tblu d vritions d l fonction défini sur [ -2 ; 3 ] vlurs d x vritions d Sur l intrvll [1 ; 3] l fonction st A B C répons(s) strictmnt décroissnt strictmnt croissnt 6. L minimum d l fonction sur l intrvll [-2 ; 3] st 7. L rél 0 un im positiv tntôt croissnt, tntôt décroissnt un im ps d im nétiv 8. On (-1) > 0 (3) = 20 (2) > (3) 9. L mximum d sur l intrvll [-2 ; 1] st 10. L point d coordonnés (2 ; -5) -1 (-1) 0 pprtint à l courb rprésnttiv d st u dssus d l courb rprésnttiv d st u dssous d l courb rprésnttiv d 19

20 Clss(s) : 2 nd. Connissncs (ou compétncs) visés rltivmnt ux prormms : Ntur t écritur ds nombrs. Clcul littérl. Connissncs (ou compétncs) visés n trm d svoirs ou svoir-fir : Svoir dévloppr. Svoir fctorisr. Svoir décomposr. Rconnîtr ls nsmbls d nombrs. Ecritur scintifiqu. Outils utilisés (typ d dvoirs) : Un xrcic d un contrôl biln. osition rltiv dns l déroulmnt d l pprntiss Biln d un chpitr. Tmps prévu : 1 hur. Nombr d qustions : 18 Brèm : 18 points sur un contrôl noté sur 40. our l 1 èr qustion 0,25 point pr répons écrit. our un qustion vc dux réponss justs à donnr : s il n mnqu un, on compt 0,5 point, si ls dux sont présnts, on compt 1 point, ls dux réponss justs vc u moins un utr répons fuss, on compt 0 point. our un répons vc un sul répons just à donnr : on compt 1 pour l bonn répons, 0 point dns ls utrs cs d fiur. our un qustion vc trois réponss justs à donnr : 1 point pour ls 3 réponss justs, on compt 0,5 point si il y 2 réponss justs sur 3, on compt 0,5 point pour dux réponss justs t un fuss, t 0,25 point pour un répons just sur 3. Anlys : Blyr tout l numériqu. 20

21 our chcun ds qustions suivnts, choisir l ou ls bonns réponss t indiqur dns l drnièr colonn votr choix. I A B C D répons(s) N Z ID R pprtint à pprtint à N Z ID R On 68 = 17 4 donc rmi ls nombrs suivnts lsquls sont divisibls pr 3? Quls sont ls nombrs prmirs prmi ls nombrs suivnts? L décomposition n fcturs prmirs d 360 st 0,074 pour écritur scintifiqu 1 st él à st un divisur d st un multipl d st un multipl d st un divisur d , , , ( 1 5) 2 st él à un vlur pproché d 22 7 défut st à 0,001 près pr 3,142 3,143 3,14 3,1428 our 0, l nombr st él à 1 4 our x = ,0036 3, (2x) 2 st él à 5x 3(x 2) st él à 2x + 6 2x 6 5x² 13x + 6 2x² + 6 L nombr st él à rmi ls xprssions suivnts qulls sont clls qui sont fctorisés? L xprssion fctorisé d (x + 1)² 25 st L dévloppmnt d (2x + 7)² st 3x 3 (x 1)² L nombr -3 st un solution d l éqution Combin d solution(s) l éqution x² + 1 = 1 -t-ll dns R? L éqution x² = 3x équivut à l éqution x (x + 4) 3x + x² (5x +1)(x 6) (2x 1)(x+1) + 4 (x + 6)(x 4) x² + 2x 24 (x 24)(x + 26) x² 24 4x² x² + 28x + 49 (2x+7)(2x+7) 2x² + 28x + 49 st él à st él à st él à n s fctoris (x 1)(4 x) (x 1)(2 x) - x² + 5x 4 ps. 3x (x + 1) = 0 x² + 9 = 0 2x = -1 (x + 3)(2x + 1) = 0 ucun un dux plus d dux x = 3 x² 3x = 0 x(x 3) = 0 x² + 3x = 0

22 22 Clss(s) : 5 èm. Connissncs (ou compétncs) visés rltivmnt ux prormms : Somm ds nls d un trinl. Vocbulir ds nls. ropriétés ds nls ltrns-intrns t corrspondnts. Connissncs (ou compétncs) visés n trm d svoirs ou svoir-fir : Détrminr l msur d un nl dns un fiur complx. Détrminr l ntur d un nl. Lctur d un schém t utilistion du schém. Outils utilisés (typ d dvoirs) : En xrcic à l mison. En clss pour un utoévlution vnt l contrôl. osition rltiv dns l déroulmnt d l pprntiss En clss, pour révisr vnt l évlution. En intrrotion, c QCM put êtr proposé vc d utrs xrcics. Tmps prévu : 10 minuts n clss (tsté). Nombr d qustions : 10 Brèm : 0,5 point pr qustion. Anlys : On put choisir d indiqur l prllélism ds droits (xy) t (tz) soit - u début du QCM, - vnt l qustion n 5. C choix fit uniqumnt vrir ls réponss possibls à l qustion n 1. our ls qustions 5 à 10, l répons Autr prmt d rpérr ls élèvs qui utilisnt l rpportur. our l corrction n clss, on put montrr l intérêt d utilisr l schém t d l codr à l id d coulurs.

23 Ls phrss suivnts font ppl à l fiur ci-dssous. our chcun, choisir l (ou ls) bonn(s) répons(s). L fiur n st ps rélisé n vri rndur. L point A pprtint à l droit (xy). Ls dmi-droits [Au) t [Av) coupnt (tz) n B t C. 1. Ls nls yac t zcv sont : djcnts opposés pr l sommt 2. Ls nls ABC t xab sont : djcnts opposés pr l sommt 3. Ls nls tba t ABC sont : djcnts opposés pr l sommt 4. Ls nls ACB t zcv sont : djcnts opposés pr l sommt A B C D E F répons(s) complémntirs supplémntirs corrspondnts ltrns-intrns complémntirs supplémntirs corrspondnts ltrns-intrns complémntirs supplémntirs corrspondnts ltrns-intrns complémntirs supplémntirs corrspondnts ltrns-intrns our complétr l tblu suivnt, on indiqu qu ls droits (xy) t (tz) sont prllèls. A B C D répons(s) 5. L nl ACB msur : utr :. 6. L nl yac msur utr : 7. L nl xab msur utr : 8. L nl tba msur utr :. 9. L nl BAC msur utr :. 10. Si ls droits (xy) t (tz) n sont ps prllèls, qul(s) st (sont) l(s) nl(s) qu l on n put ps détrminr? ACB tba yac uav 23

24 Clss(s) : 4 èm. Connissncs (ou compétncs) visés rltivmnt ux prormms : Définition du cntr d un crcl circonscrit à un trinl. ropriétés du crcl circonscrit à un trinl rctnl (position du cntr du crcl ) Définition t propriétés d l méditric. Connissncs (ou compétncs) visés n trm d svoirs ou svoir-fir : Rpérr l cntr du crcl circonscrit d un trinl qulconqu t rctnl. Rconnîtr un méditric t utilisr ss propriétés. Lctur d schéms codés. Outils utilisés (typ d dvoirs) : En clss d 4 èm, pour un évlution intrmédiir. En clss d 3 èm, pour ds révisions. osition rltiv dns l déroulmnt d l pprntiss Après l cours t qulqus xrcics d ppliction sur ls méditrics t l crcl circonscrit à un trinl qulconqu t rctnl. Tmps prévu : 15 à 20 minuts Nombr d qustions : 5 qustions + 3 justifictions à l id d propriétés. Brèm : 1 point pr qustion + 1,5 points pr justifiction + 0,5 point pour l rédction pour un totl sur 10 points. Anlys : our l qustion n 2, on put modifir l répons C t joutr un 2 èm répons corrct mis pour ls justifictions, il fudr récitr n plus un définition. our l qustion n 4, on put rmplcr l répons A pr «MA = MB». L choix d un ou d dux réponss corrcts prmt d rumntr à l orl, pour l corrction, l justifiction à l 2 èm répons. Fir justifir ls réponss ux lins n 2 t n 4 prmt d vérifir l bon choix pour l propriété d l méditric. On put fir vrir ls propriétés à récitr. 24

25 Indiqur l ou ls bonns réponss dns l drnièr colonn sns justifir. 1. Indiqur dns qull(s) fiur(s) l point I st l cntr du crcl circonscrit u trinl. 2. Si MA = MB lors M st l miliu d [AB] 3. Qu put-on déduir d ctt fiur codé? A B C Répons(s) BC = 2OA L méditric d [AB] pss pr M O pprtint à l méditric d [AB] L crcl d cntr A qui pss pr M pss pr B. OA = OB = OC O [CB] 4. Qu put-on déduir d ctt fiur codé? MAB st un trinl rctnl n M MAB st un trinl équiltérl MAB st un trinl isocèl n M 5. Qu put-on déduir d ctt fiur codé? I [N] MI = 3,5 cm MI = 14 cm I st l cntr du crcl circonscrit u trinl MN. Citr l propriété qui prmt d répondr à l 2 èm lin du tblu : Citr l propriété qui prmt d répondr à l 4 èm lin du tblu : Citr l propriété qui prmt d répondr à l 5 èm lin du tblu : 25

26 Clss(s) : 5 èm. Connissncs (ou compétncs) visés rltivmnt ux prormms : Inélité trinulir. Définition t propriété d l méditric. Définition d l bissctric. Ntur ds trinls. riorités t distributivité. Connissncs (ou compétncs) visés n trm d svoirs ou svoir-fir : Svoir dévloppr. Rconnîtr l ntur d un trinl. Rconnîtr un méditric. Rconnîtr un bissctric. ossibilité d construir un trinl. Lctur d schéms codés. Outils utilisés (typ d dvoirs) : En clss, pour un évlution intrmédiir. osition rltiv dns l déroulmnt d l pprntiss Après l chpitr riorités t distributivité. Après l cours sur l inélité trinulir t qulqus xrcics d ppliction. Tmps prévu : 10 à 15 minuts n clss (tsté). Nombr d qustions : 9 qustions + 1 justifiction Brèm : 1 point pr qustion t 1 point pr justifiction Anlys : our ls qustions 1), 2) t 3), dptr ls réponss n fonction d l convntion pssé ntr l profssur t ls élèvs à propos «du trinl plti». On put fir vrir ls propriétés à récitr. our l corrction n clss, on put dmndr à l orl ls utrs justifictions. rticulrité(s) : our ls justifictions, on put précisr si l on souhit un propriété, un définition ou un xpliction u cs prticulir. 26

27 Dns l tblu suivnt, indiqur l ou ls bonns réponss dns l drnièr colonn sns justifir. 1. AB = 3 cm, BC = 4,5 cm t AC = 1,5 cm. On put dir qu : 2. M = 4 cm, MN = 7 cm t N = 2,5 cm. On put dir qu : 3. Indiqur ls msurs qui prmttnt d construir un trinl. A B C D répons A, B t C sont linés. ABC st constructibl. C [AB] ABC n st ps constructibl. [MN] MN n st ps constructibl. M, N t sont linés. MN st constructibl. AB = 7,5 cm BC = 10,5 cm AC = 3,5 cm. MN = 8 cm N = 4 cm M = 15 cm. RS = 9 cm ST = 5 cm RT = 6 cm. UV = 25 cm VW = 43 cm WU = 18 cm (10 + 7) st él à (10 + 7) st él à 5 (20 9) A prtir d ctt fiur codé, on put dir qu : M O B b c (MN) st l méditric d (AB). [BZ) st l bissctric d ABN. MOB st un trinl qulconqu. (MN) st l méditric d [AB]. [BZ) st l méditric d [AN]. MOB st un trinl isocèl. (MN) st l bissctric d [AB]. [BZ) st l bissctric d OBN. MOB st un trinl rctnl. (MN) st l bissctric d AOB. [BZ) st l méditric d [ON]. MOB st un trinl équiltérl. A Z N d NAB st un trinl qulconqu. NAB st un trinl isocèl. NAB st un trinl rctnl. NAB st un trinl équiltérl. Justifir l (ou ls) répons(s) donné(s) à l lin n 3 du tblu : 27

28 Clss(s) : 3 èm Connissncs (ou compétncs) visés rltivmnt ux prormms : Définitions t propriétés rltivs ux droits rmrqubls. Théorèm d ythor. Théorèm d Thlès. Théorèm ds miliux. Anls ltrns intrns t corrspondnts. Connissncs (ou compétncs) visés n trm d svoirs ou svoir-fir : Rpérr ds confiurtions simpls où sont utilisés ls différnts théorèms d éométri. Outils utilisés (typ d dvoirs) : En xrcic à l mison. En clss pour réctivr crtins connissncs éométriqus. osition rltiv dns l déroulmnt d l pprntiss C QCM st prévu pour êtr donné vnt l chpitr portnt sur l théorèm d Thlès n clss d 3 èm. Il prmt d réctivr crtins connissncs d 4 èm. Anlys : C QCM n st ps un fin n soi, lors d l corrction, il doit prmttr d s intérssr ux propriétés non trvillés dns ls différnts qustions. rticulrité(s) : C QCM put ussi êtr intéré n fin d nné d 4 èm à un biln d éométri. 28

29 Ls fiurs - qui n sont ps n vri rndur - sont donnés à titr d xmpl pour précisr l disposition ds points, smnts t droits. D plus l'linmnt sr toujours clui induit pr ls fiurs. 1. Cochr l ou ls css corrspondnt(s) ux fiurs dns lsqulls st l cntr d rvité du trinl ABC. B B B A C A C A C B B B A C A C A H C B B A C A C A C B Dns l ou ls fiurs pour l(s)qull(s) st l cntr d rvité, citr l théorèm utilisé : 29

30 2. Cochr l ou ls css corrspondnt(s) ux fiurs dns lsqulls [OB) st l bissctric d l'nl AOC. O A B A B A B C O C O C A B A 3 cm B 4 cm 5 cm O C O C. 3. Cochr l ou ls css corrspondnt(s) ux fiurs dns lsqulls IJK st un trinl rctnl n J. J J I O K I O 180 K C I,J t K pprtinnnt u crcl C d cntr O K C I,J t K pprtinnnt u crcl C d cntr O K J 3 cm 3 cm J 3 cm 5 cm cm 4 cm I I our ls fiurs où IJK st un trinl rctnl, citr l théorèm utilisé : 30

31 31 4. Cochr l ou ls css corrspondnt(s) ux fiurs dns lsqulls E st l miliu d [JK] J I K E J K E I L J J K E J I K E J K E I IJK st isocèl n I. our ls fiurs où E st l miliu d [JK], citr l (ou ls) théorèm(s) utilisé(s) :

32 5. Cochr l ou ls css corrspondnt(s) à un confiurtion d Thlès : our ls fiurs dns lsqulls l théorèm d Thlès put s ppliqur, donnr l élité ds 3 rpports. Elité ds 3 rpports (si possibl). A C B D E D C A B E D C E B A A 110 C E 35 B D 75 32

33 33

34 34 Clss(s) : 2 nd Connissncs (ou compétncs) visés rltivmnt ux prormms : Equtions Connissncs (ou compétncs) visés n trm d svoirs ou svoir-fir : Svoir dévloppr. Svoir fctorisr. Solution(s) d un éqution. Svoir résoudr un éqution. Outils utilisés (typ d dvoirs) : Révision ds équtions n id individulisé. osition rltiv dns l déroulmnt d l pprntiss Après voir trvillé ls équtions n modul, pour révisr un intrrotion écrit. Tmps prévu : 1 hur (tsté) Nombr d qustions : 9 Brèm : Non noté

35 our chcun ds qustions suivnts, choisir l (ou ls) bonn(s) répons(s). 1. L nombr 2 st solution d l éqution 2. L nombr 2 st l sul solution d l éqution A B C D répons 3x + 8 = 2x + 10 x² 4 = 0 x² + 4 = 0 (x 2)(x + 3) = 0 3x + 8 = 2x + 10 x² 4 = 0 x² + 4 = 0 (x 2)(x + 3) = 0 3. L éqution 4x² 16 = 0 dmt 2 t -2 pour solutions dmt 2 pour solution dmt 2 pour sul solution n ps d solution 4. L éqution 4x² + 16 = 0 dmt -2 pour sul solution dmt -2 pour solution dmt 2 t -2 pour solutions n ps d solution 5. L éqution 3 x = 0 dmt 0 pour solution n ps d solution dmt 3 pour solution dmt -3 pour solution 6. L éqution (2x 1)(4x 16)=0 dux solutions 0,5 t 4 dmt 4 pour solution dmt -0,5 t -4 pour solutions pour sul solution 4 7. L éqution x² 4 = (x 2)(2x + 3) pour sul solution 2 dmt 2 pour solution dux solutions 2 t - 1 n ps d solution 8. L éqution (x + 1)(x 4) = (x + 2)(x 5) pour solutions -1 t 4 dmt -2 t 5 pour solutions pour solution 0 n ps d solution 9. L éqution x² 3x =0 dmt 0 pour solution n ps d solution dmt dux solutions 0 t -3 dmt dux solutions 0 t 3 35

36 Clss(s) : 4 èm, 3 èm ou 2 nd Connissncs (ou compétncs) visés rltivmnt ux prormms : Clcul littérl réduction d écriturs prormm d clcul tst d élités. Connissncs (ou compétncs) visés n trm d svoirs ou svoir-fir : Connîtr ls rèls d simplifiction d écriturs, svoir réduir un xprssion, svoir dévloppr, svoir tstr un élité. Outils utilisés (typ d dvoirs) : Trvil individul osition rltiv dns l déroulmnt d l pprntiss En clss d 4 èm : Evlution ds cquis, à fir à l fin du chpitr " Clcul littérl ". En clss d 3 èm : Evlution dinostic ds prérquis, à fir vnt l chpitr " Ecriturs littérls : idntités rmrqubls ". En clss d 2 nd : Evlution d svoirs concrnnt l bs du clcul littérl à l ntré n scond. C QCM sr proposé n tmps court fin d évlur ls utomtisms. Tmps prévu : 20 min n 4 èm, 20 min n 3 èm t 7 min n 2 nd Nombr d qustions : 9 qustions, 11 réponss à fournir Brèm : our ls qustions 1 à 8 : un sul bonn répons. our ls qustions 1, 2, 5 t 7 : 1 point pr bonn répons, 0 sinon. our ls qustions 3, 4, 6 t 8 : si l élèv fournit plusiurs réponss : 1 point si l bonn répons y fiur, - 0,5 point pr muvis répons dns l limit d zéro. our l qustion 9, trois propositions convinnnt : 2 points si ls 3 bonns réponss sont donnés, 1,5 points pour 2 bonns réponss t 1 point si un sul bonn répons. -0,5 points pr muvis répons, toujours dns l limit d zéro. rticulrité(s) : our ls qustions 1 t 2, il st possibl d obtnir l bonn répons n fisnt dux rrurs succssivs. Exmpl pour l qustion 2 : B = (5 + ) ( 3 + b) B = 5 3 b B = 5 3 b B = 2 b 36

37 our chcun ds qustions suivnts, choisir l (ou ls) bonn(s) répons(s). 1. A = ( x 3) ( y 8) Lqull ds xprssions suivnts donn l écritur réduit d A? A B C D répons : A = x 11 y A = x 11+ y A = x + 5 y A = x y 2. B = (5 + ) ( 3 + b) Lqull ds xprssions suivnts donn l écritur réduit d B? A B C D répons : B = - 2 b B = b B = -8 b B = b 3. C = 8(4 2 x) Qull(s) xprssion(s) obtint-on lorsqu on dévlopp t qu l on réduit C? A B C D E F répons(s) : C = -32 2x C = x C = -30x C = x C = -34x C = -16x 4. D = 10 3( x + 2) Qull(s) xprssion(s) obtint-on lorsqu on dévlopp t qu l on réduit D? A B C D E F répons(s) : D = 16 3x D = 7x + 2 D = 12 3x D = 7x + 14 D = 9x D = 4 3x 5. E = 3(2x + 1) 4(3x + 6) Qull xprssion obtint-on lorsqu on dévlopp t qu l on réduit E? A B C D E F répons : E = - 6x + 27 E = 18x + 27 E = - 6x 21 E = - 6x + 7 E = 6x 21 E = - 6x 5 37

38 6. F = (3 + 5)(2 + 1) Qull(s) xprssion(s) obtint-on lorsqu on dévlopp t qu l on réduit F? A B C D E répons(s) : F = F = F = F = F = Choisir un nombr x, lui joutr 8 t multiplir l résultt pr 4. C prormm d clcul put s trduir pr : A B C D E F répons : x on n put ps répondr, x (8 + 4) x (4 + x) ( x + 8) 4 on n connît ps x 8. Choisir un nombr x, lui joutr 4 t divisr 5 pr c résultt. C prormm d clcul put s trduir pr : A B C D E F répons(s) : x + 4 :5 on n put ps répondr, 5 x : x on n connît ps x x + x L élité 2x 4y = 8 st vri pour : A B C D E F répons(s) : x = 2 x = 4 x = 2 x = 0 x = -2 x = 0 t y = 1 t y = 0 t y = 1 t y = 2 t y = 1 t y = 2 38

39 39

40 40 Clss(s) : 2 nd Connissncs (ou compétncs) visés rltivmnt ux prormms : Dns l chpitr ordr t inéqutions : crctérisr t rprésntr ls élémnts d un intrvll. Svoir xprimr ls solutions d un systèm d inéqutions. Connissncs (ou compétncs) visés n trm d svoirs ou svoir-fir : Connîtr, utilisr t différncir ls nottions nsmblists t pour ls intrvlls. Svoir xprimr l intrsction d dux intrvlls donnés, fin d résoudr ls systèms d inéqutions. Outils utilisés (typ d dvoirs) : Activité n clss. Un prti du QCM put êtr rpris pour un xrcic d un dvoir survillé. osition rltiv dns l déroulmnt d l pprntiss Après voir défini ls intrvlls, vnt d fir ls inéqutions t ls systèms d inéqutions. Tmps prévu : 20 minuts (tsté) Nombr d qustions : 10 Brèm : 1 point pr répons just, 0 si non répondu, -0,5 points si l répons st fuss. Il n y qu un sul répons just pr qustion. Anlys : Ls intrvlls I t J proposés dns ls qustions sont ussi différnts qu possibl. Dns l qustion 1, ls intrvlls I t J s chvuchnt. Dns l qustion 2, ls intrvlls I t J sont disjoints. Dns l qustion 3, l intrvll I st inclus dns l intrvll J. Dns l qustion 4, ls intrvlls I t J n ont qu un élémnt n commun. Dns l qustion 5, ls intrvlls I t J n ont ucun élémnt n commun, bin qu lur réunion soit un intrvll. A cs crctéristiqus s joutnt ls difficultés liés ux borns d cs intrvlls : crtins sont frmés, d utrs ouvrts, t d utrs ncor infinis. rticulrité(s) : L drnièr qustion st hors prormm.

41 our chcun ds qustions suivnts, choisir l (ou ls) bonn(s) répons(s). 1. Soint I t J dux intrvlls tls qu I = [ 5 ;9] t J = ] 0,5 ;+ [ A B C D répons I J [ 5 ; 0,5[ [ 5 ; + [ ] 0,5 ;9] [ 9 ;+ [ I J ] 0,5 ;9] [ 5 ; + [ [ 9 ;+ [ [ 5 ; 0,5[ 2. Soint I t J dux intrvlls tls qu I = ] 1 ; + [ t J = ] ; 3,5] A B C D répons I J ] 3,5 ;1] [ 3,5 ;1[ ] ; + [ I J [ 3,5 ;1[ ] ; + [ ] ; 3,5] ] 1 ;+ [ 3. Soint I t J dux intrvlls tls qu I = [ 1 ;3] t J = [ 9 ;9[ A B C D répons 9 ;9 1 ;3 1 ;9 9 ; 1 I J [ [ [ ] [ [ [ ] I J [ 1 ;9[ [ 1 ;3] [ 9 ;3[ [ 9 ;9[ 4. Soint I t J dux intrvlls tls qu I = [ 1 ;5] t J = ] 3 ;1] A B C D répons 3 ;5 3 ;5 I J [ ] { 1 } ] ] 5. Soint I t J dux intrvlls tls qu I = [ 2 ;10] t J = ] 2 ;2[ A B C D répons 2 ;10 2 ;10 2 I J ] [ ] ] { } 6. Soint I, J t K trois intrvlls tls qu I = [ 5 ;8] J = ] 7 ;13] t K = ] ;2] A B C D répons 5 ; 2 7 ;8 I J K [ ] [ 2 ;7[ ] ] 7. Soint I, J t K trois intrvlls tls qu I = ] 7 ;2] J = [ 10 ; + [ t K = [ 4 ;3] A B C D répons 10 ;3 4 ; 2 7 ;3 I J K [ ] [ ] ] ] 41

42 42 Clss(s) : 6 èm Connissncs (ou compétncs) visés rltivmnt ux prormms : Vocbulir t nottions ds élémnts éométriqus d bs. Connissncs (ou compétncs) visés n trm d svoirs ou svoir-fir : Utilisr ls nottions t symbols d éométri. Rpérr sur un fiur ls différnts élémnts trcés t codés. Outils utilisés (typ d dvoirs) : Evlution dinostiqu. osition rltiv dns l déroulmnt d l pprntiss A donnr n début du prmir chpitr d éométri d l nné près l introduction ds notions. Tmps prévu : 10 minuts n clss (tsté). Nombr d qustions : 11 Brèm : 1 point pr bonn répons. - 0,5 point pr répons fuss 0 pour bsnc d répons. Cl fit un totl sur 15 qui put êtr rmné à 10 ou 20. Anlys : L prmièr prti du QCM (ls 6 prmirs itms) prmt d vérifir l connissnc du cours. L scond prti du QCM (ls 5 drnirs itms) prmt d voir si l élèv rpèr sur un fiur ls élémnts trcés t codés. Ds qustions mnnt à ds réponss multipls prmttnt un débt orl à l corrction. rticulrité(s) : Si l on souhit n obtnir qu un répons pr qustion, on put modifir ls qustions n dmndnt l répons l plus précis ou l plus complèt. L xmpl bsiqu du début prmt ux élèvs qui découvrnt un QCM d miux comprndr son mécnism.

43 our chcun ds qustions suivnts, choisir l (ou ls) bonn(s) répons(s). A B C D Répons(s) Exmpl : = D 1. L droit qui pss pr A t B st noté [AB] (AB) [AB) AB 2. L smnt d xtrémités A t B st noté (AB) [AB) AB [AB] 3. L distnc d A à B st noté AB [AB] (AB) [AB) 4. L dmi-droit d oriin B t pssnt pr A st noté (BA) [BA] [BA) (BA] 5. «L point C pprtint à [AB]» s not C [AB] C [AB] C [AB] C [AB] 6. «L point C n pprtint ps à [AB]» s not C [AB] C [AB] C [AB] C [AB] 7. Sur l fiur, on trcé [DE] (DE) [DE) DE A B 8. Sur l fiur, on trcé (AE) (AE] [AE) [AE] 9. Sur l fiur, on trcé (AB) AB [AB) [AB] I D E 10. Sur l fiur, I pprtint à (DE) [DE) (DE] DE 11 Sur l fiur, l cod indiqu AB = BE AD = EB AD = DE DE = BE 43

44 Clss(s) : 3 èm Connissncs (ou compétncs) visés rltivmnt ux prormms : Révision non xhustiv ds propriétés d éométri pln bordés dns ls clsss ntériurs pour l mis n plc ds propriétés vus n clss d 3 èm. Connissncs (ou compétncs) visés n trm d svoirs ou svoir-fir : Exploitr ls donnés contnus dns un fiur. Déduction (sns démonstrtion) d nouvlls propriétés d un fiur. Détctr l propriété du cours prmttnt d boutir à un résultt. Outils utilisés (typ d dvoirs) : Révisions osition rltiv dns l déroulmnt d l pprntiss C QCM put êtr donné n début d nné ou bin scindé n plusiurs prtis t donné u fur t à msur ds bsoins n cours d nné. Tmps prévu : nviron 20 minuts (sns rumnttion) t près d 35 minuts (vc rumnttion) Nombr d qustions : 11 Brèm : L brèm smbl difficil à mttr n plc compt tnu d l multiplicité d réponss pour crtins qustions. Anlys : C QCM put êtr donné sous dux forms différnts t mêm consécutivmnt dns ss dux forms. L prmièr (vc ls fiurs à min lvé) prmt à l élèv d s positionnr uniqumnt sur ds résultts. Dns l scond form (vc ds fiurs xcts), on put dmndr à l élèv d choisir l ou ls propriétés du cours qui prmttnt d obtnir l résultt. C QCM été donné n début d nné t pour l duxièm form, ls élèvs ont u à lur disposition un rcuil d propriétés. Si on prt l QCM n 4 prtis, on put dmndr à l élèv d récitr l (ou ls) propriétés qu il utilis pour conclur. En donnnt consécutivmnt ls dux forms, on put msurr l évolution d l élèv. Ainsi on rmrqu qu ls réponss intuitivs (mis justs) disprissnt qund on lur dmnd l propriété t cl mêm si ls élèvs ont vc ux un list d propriétés. rticulrité(s) : On put iminr un suit à c QCM, n dmndnt ux élèvs d rédir n dvoir à l mison un ou plusiurs démonstrtions. Ls fiurs nécssitnt un crtin nombr d implicits (comm l pprtnnc u crcl ou ls linmnts) mis l lvé d cs implicits nécssit un lourdissmnt ds fiurs qui urit été très pénlisnt pour ls élèvs. Aucun qustion n été posé pr ls élèvs à c sujt. 44

45 Dns chqu cs, un ou plusiurs réponss sont possibls. Donnr l (ou ls) lttrs qui corrspond(nt) à un répons xct. A B C D réponss Dns l fiur ci-contr, L trinl ABN st L droit (MN) st l méditric d [AB] N st équidistnt d A t d B L droit (AB) st l méditric d [MN] N st équidistnt d I t d B qulconqu rctnl isocèl équiltérl L qudriltèr AMBN st qulconqu rctnl losn prllélormm Dns l fiur ci-contr, Dns l fiur ci-contr, Ls droits (AC) t (BD) sont prpndiculirs AOD = BOC Ls droits (AD) t (BC) sont prllèls. BCA t ACF sont complémntirs. ADCF st un prllélormm. DAC = BCA Ls droits (AC) t (EF) sont prllèls. BCA t ACF sont supplémntirs. Dns l fiur ci-contr, D st l miliu d [EF]. EA BC = EB BF A st l miliu d [BE] EA ED = EB EF Dns l fiur ci-contr, L droit (BK) st O st l orthocntr du trinl ABC un méditric d ABC O st l cntr du crcl circonscrit u trinl ABC un bissctric d BCD O st l cntr d rvité du trinl ABC un hutur d BCD O st l cntr du crcl inscrit dns l trinl ABC un médin d ABC Dns l fiur ci-contr, BO = OK BO = 3 2 BK OK = 3 2 BK OB = 2 OK AEBF st un crré un losn un rctnl un prllélormm CFDE st un crré un losn un rctnl un prllélormm 45

46 Dns chqu cs, un ou plusiurs réponss sont possibls. Donnr l (ou ls) lttrs qui corrspond(nt) à un répons xct. A M Dns l fiur cicontr, L trinl ABN st A B C D répons L droit (MN) st l méditric d [AB] N st équidistnt d A t d B L droit (AB) st l méditric d [MN] N st équidistnt d I t d B qulconqu rctnl isocèl équiltérl I B L qudriltèr AMBN st qulconqu rctnl losn prllélormm E A N D Dns l fiur cicontr, Dns l fiur cicontr, Ls droits (AC) t (BD) sont prpndiculirs AOD = BOC Ls droits (AD) t (BC) sont prllèls. BCA t ACF sont complémntirs. ADCF st un prllélormm. DAC = BCA Ls droits (AC) t (EF) sont prllèls. BCA t ACF sont supplémntirs. B O C F Dns l fiur cicontr, D st l miliu d [EF]. EA BC = EB BF A st l miliu d [BE] EA ED = EB EF Q K C O J Dns l fiur cicontr, L droit (BK) st O st l orthocntr du trinl ABC un méditric d ABC O st l cntr du crcl circonscrit u trinl ABC un bissctric d BCD O st l cntr d rvité du trinl ABC un hutur d BCD O st l cntr du crcl inscrit dns l trinl ABC un médin d ABC A I B Dns l fiur cicontr, BO = OK BO = 3 2 BK OK = 3 2 BK OB = 2 OK D C F AEBF st un crré un losn un rctnl un prllélormm A E O D B CFDE st un crré un losn un rctnl un prllélormm 46

47 47

48 Clss(s) : 4 èm Connissncs (ou compétncs) visés rltivmnt ux prormms : Théorèm d ythor. Critèrs d rconnissncs d un trinl rctnl (râc u crcl circonscrit, réciproqu du théorèm d ythor, Théorèm d l médin) Connissncs (ou compétncs) visés n trm d svoirs ou svoir-fir : Trouvr l nombr positif dont on connît l crré. Différnc ntr vlur xct t vlur pproché. Outils utilisés (typ d dvoirs) : Contrôl d connissncs ds svoirs t ds svoirs fir. osition rltiv dns l déroulmnt d l pprntiss C QCM st prévu pour êtr donné n miliu d chpitr. Tmps prévu : 25 minuts n clss (tsté). Nombr d qustions : 15 Brèm : sur 10 points 1. : sur 7 points + 0,5 pr répons just - 0,25 pr répons fuss 0 point s'il n'y ps d répons 2. : sur 3 points (mêm brèm pour ls css à cochr qu ci-dssus), ls 2 théorèms à citr étnt sur 1 point chcun. Anlys : L clcultric st utorisé, ls qustions 8 t 9 portnt sur son us irrisonné. L us du brouillon st fortmnt rcommndé ux élèvs. C QCM n prmt ps d vérifir si ls élèvs mîtrisnt ls tchniqus d rédction du théorèm d ythor, d s réciproqu. L touch «rcin crré» st vu comm fonction d l clcultric. Ls réponss sont à fournir dns l rill répons donné ci-dssous. Notr dns l tblu réponss l (ou ls) lttr(s) corrspondnt(s) à l (ou ls) bonn(s) répons(s). Si crtins qustions n ont ps d répons, mttr lors l symbol «Ø». L linmnt st clui induit pr l fiur. Numéro d l qustion Répons(s) : Numéro d l qustion Répons(s) : 48

49 1) L trinl ci - contr st A B C inscrit dns l crcl circonscrit u crcl équiltérl 2) Un trinl ABC st rctnl n A, l côté l plus lon st 3) L côté l plus lon d un trinl rctnl st 4) L élité IJ = IL + LJ st vri dns l trinl 5) 6 8 J [AB] [AC] [BC] l hypothénus l hypoténus l hypothénus I L J L J I x = 14 x = 100 x = 10 I L x 2 6) BC = st vri dns 7) I 3,9 K C 3 A 6 B B C C A JK = 79,2 JK = 8,9 8 JK = 79,2 B A J 8) 50 él 25 él 12,5 él nviron 7,071 9) L vlur xct d , st 10) ABC st un trinl tl qu : ABC st rctnl n A ABC st rctnl n C ABC n st ps rctnl AB = 15 ; AC = 10 t BC = 25 11) Dns qul cs l trinl RST st-il rctnl R R R n T? (ls fiurs n sont ps n vri rndur) 16 9,6 T 12,8 9,6 T 9,6 S Justifictions : Qul théorèm st utilisé dns l prmièr lin risé? 12,8 S 16 S 16 12,8 T Dns l scond lin risé, qul théorèm st utilisé pour svoir si un trinl st rctnl? 49

50 QCM n Vrc 50

51 Vrc n 1 : Inconnus n 6 èm Donnr l ou ls bonns réponss qui convin(nn)t : (+1 point si touts ls bonns réponss sont ntourés, 0 point si non répondu, -1 si l répons st fuss): 1. Eric t Auréli ont 34 bonbons à ux dux. Auréli n 10. On rprésnt à l id du symbol l nombr d bonbons d Eric. Qulls sont ls équtions qui prmttnt d rtrouvr l nombr d bonbons d Eric? ) + 34 = 10 b) + 10 = 34 c) 10 = 34 d) 34 = ndnt ls vcncs m plnt vrt rndi d 5 cm. Ell msur à présnt 82 cm. On rprésnt à l id du symbol l till d l plnt vrt vnt mon déprt. Qulls sont ls équtions qui prmttnt d rtrouvr l till d l plnt vrt vnt mon déprt? ) + 5 = 82 b) 5 = 82 c) = d) 82 = 5 3. Avc un billt d 20, j chèt trois stylos d mêm prix, t on m rnd 4,70. On rprésnt à l id du symbol l prix d un stylo. Qulls sont ls équtions qui prmttnt d rtrouvr l prix d un stylo? ) + (3 4,70) = 20 b) (3 ) + 4,70 = 20 c) (3 ) 4,70 = 20 d) 20 (3 ) = 4,70 Qulqus rmrqus : C QCM st xtrit d un contrôl d 6 èm portnt sur ls opértions t problèms, t plus prticulièrmnt sur l prrph «initition ux équtions». Il prmt d tstr ls élèvs sur lur cpcité à intrprétr ds énoncés d problèms simpls pour ls trduir n un élité, dns lqull intrvint un symbol rprésntnt l nombr rchrché. our chcun ds 3 qustions, dux réponss prmi ls qutr propositions sont justs. our ls élèvs qui n n urint coché qu un dns ls qustions 1 t 2, cci put êtr l occsion lors d l corrction, d rpplr l lin ntr dditions t soustrctions. 51

52 Vrc n 2 : Echlls n 5 èm (+1 point pr bonn répons, 0 si non répondu, -0,5 si l répons st fuss) Qustion 1 : Sur un crt à l échll 1/ , qull lonuur sur l crt doit-on prndr pour rprésntr 2 vills spcés d 25 Km dns l rélité? ) 50 cm b) 5 cm c) 5,5 cm d) 12,5 cm ) 1,25 cm ) 10 cm h) 4,5 cm Qustion 2 : L distnc à vol d'oisu d ris à Brlin st d 950 km. Sur un crt, cs dux vills sont séprés d 19 cm. Qull st l échll d l crt? 1 ) b) 19 c) d) ) f) Qustion 3 : L distnc à vol d'oisu ntr 2 vills st d 350 km. Sur un crt, lls sont spcés d 14 cm. Qull st l distnc réll à vol d'oisu ntr 2 utrs vills, séprés d 29 cm? : ) 720 Km b) 72 Km c) 1 d) 725 Km 1 f) 72,5 Km ) répons répons répons Qulqus rmrqus : C court QCM st xtrit d un contrôl d 5 èm portnt sur l proportionnlité. Il prmt d tstr ls connissncs sur l proportionnlité ntr l distnc sur l pln t l distnc réll, insi qu d l utilistion ds échlls. L form QCM dvit prmttr d tstr ds connissncs sns qu ls élèvs int à rédir quoi qu soit sur lur copi, mis crtins d ntr ux ont rédié proprmnt lur répons sur lur brouillon! L pluprt ds distrcturs ds qustions 1 t 2 provinnnt soit d un oubli d convrsion ds lonuurs dns l mêm unité, soit d un rrur d convrsion pour l pss ds kilomètrs ux mètrs. our l qustion 3, crtins élèvs ont d bord clculé l échll du pln, puis l ont utilisé pour clculr l distnc réll dmndé. L démrch st just, mis il st plus simpl d utilisr dirctmnt l proportionnlité ntr distnc réll t distnc sur l pln (sur un pln à l échll). A ct fft, on put nlvr l prmir distrctur pour prmttr d répondr just ux élèvs qui ont fit l risonnmnt suivnt : 29, c st prsqu l doubl d 14, donc l distnc réll doit êtr à pu près l doubl d 350 Km, c'st-à-dir 725 Km cr c st l sul proposition qui s rpproch l plus d

53 Vrc n 3 : Anlys d un fiur 1) Construir : Trois points non linés A, B t C O miliu d [AC]. D qutrièm sommt du prllélormm ABCD. O im d O pr l symétri cntrl d cntr B. E im d C pr l symétri cntrl d cntr D. 2) L but d l xrcic st d montrr qu (EO) coup [O C] n son miliu. our trouvr ls différnts étps, commncr pr rmplir l QCM suivnt. D st l 4 èm sommt du prllélormm ABCD cntr d rvité d EO C miliu d [EC] (DO ) st un méditric d EO C hutur d EO C médin d EO C bissctric d EO C B st l miliu d [DO ] l miliu d [OO ] l cntr d rvité d EO C l orthocntr d EO C O st l miliu d [DB] sur [DO ] à 2/3 d D l cntr d rvité d EO C sur [DO ] à 1/3 d D sur [DO ] à 2/3 d O Dns EO C, (EO) pss pr un sommt t pr l orthocntr un sommt t pr l cntr d rvité un sommt t pr l cntr du crcl inscrit 3) Donnr ls différnts étps qui mènnt à prouvr qu (EO) coup [O C] n son miliu. 4) Rédir l démonstrtion. Qulqus rmrqus : L prti QCM prmt ux élèvs d s pproprir l fiur pour loclisr ls morcux d confiurtion prmttnt d répondr ux qustions suivnts. Dns l vrsion proposé ux élèvs, l utur fournit l dssin ds 3 points A, B t C. 53

54 Vrc n 4 : Equtions t Inéqutions our chqu lin, qutr réponss sont proposés. Ecrir dns l colonn d droit l (ou ls) lttr(s) corrspondnt(s) à l (ou ux) répons(s) xct(s). A B C D 5 x 7 = 3x + 1 pour solution our l éqution 5 x 7 3x + 1 = ( )( ) 0 Ls solutions sont 1 7 t 3 5 Ls solutions sont st solution sul t st solution our l éqution 3x 9 2 = ( ) 0 3 st un solution. 3 st un solution doubl Ls solutions sont 3 t -3 sul 3 st solution our l éqution 2 x 5 = 0 sul l nombr 5 st solution Ls nombrs 5 ou - 5 sont solutions Ls nombrs 5 t - 5 sont solutions Il n y ps d solution our l éqution x 2 = 8 l nombr 8 st solution Ls nombrs 2 2 t -2 2 sont solutions Ls nombrs 8 ou - 8 sont solutions Il n y ps d solution 3 st un solution d x 3 2x + 1 = ( )( ) 0 st l solution d 3x st l solution d x 2 = 9 st un solution d 3 x 5 4 L rprésnttion rphiqu ds solutions d l inéqution 2x 1 5x 4 st (c qui st ryé n convint ps) Qulqus rmrqus : QCM donné n contrôl commun n clss d 3 èm dns l prti numériqu. Il port ssntillmnt sur ls résolutions d équtions t d inéqutions. Il n prmt ps d déclr ds rrurs dns l résolution «pur» mis il port surtout sur l présnttion t l intrpréttion ds solutions. 54

55 Vrc n 5 : Sttistiqus our l clss d 3 èm 3, l réprtition ds nots à un contrôl d mthémtiqus st xprimé dns l tblu ci-dssous. Nots Effctifs our chqu lin, qutr réponss sont proposés. Ecrir dns l colonn d droit l lttr corrspondnt à l répons xct. A B C D L clss d 3 èm 3 compt 17 élèvs 24 élèvs 132 élèvs 30 élèvs L moynn st 11,2 10,5 10,9 10 L médin st ,5 12 L étndu st d L pourcnt d élèvs ynt 10 st 30 % 9 % 33,3 % 50 % L pourcnt d élèvs ynt u moins 10 st 20 % 50 % 70 % 80 % L pourcnt d élèvs ynt u plus 10 st 80 % 70 % 50 % 20 % Qulqus rmrqus : C QCM été donné n contrôl biln n clss d 3 èm pour l chpitr Sttistiqu. Il port ssntillmnt sur l mîtris du vocbulir d bs (moynn, médin, étndu) t ds svoirs fir u nivu ds pourcnts. 55

56 Vrc n 6 : Frctions 56 A B C D Réponss st l numértur 5 st l numértur 16 st l Dns 5 dénomintur 16 l quotint st : 5 d 16 pr 5 Dns c rctnl, 1 l proportion d crrés risés st : 2 l quotint d 5 pr 16 él à 3,2 5 st l dénomintur él à 0, st divisibl pr : st divisibl pr : st divisibl pr : st : un multipl d 5 un divisur d 5 divisibl pr 5 un multipl d st él à : ,5 15 st él à : 0, Comprr ls frctions t : , , = Comprr ls frctions t : = Comprr ls frctions t : = Qulqus rmrqu : QCM donné pndnt un sénc d soutin dns l cdr d un RE uprès d un roup d 5 élèvs d 5 èm ynt ds difficultés sur ls frctions. C QCM pour rôl d mnr un débt n roup sur l notion d frction t pr l suit d pouvoir individullmnt rvnir sur ls difficultés.

57 Vrc n 7 : Ensmbl d nombrs Cochr l ou ls bonns réponss, puis justifir 8 st ntir déciml rtionnl irrtionnl 2 10 st ntir déciml rtionnl irrtionnl 3 10 st ntir déciml rtionnl irrtionnl 3π st ntir déciml rtionnl irrtionnl ( ) st ntir déciml rtionnl st ntir déciml rtionnl st ntir déciml rtionnl st ntir déciml rtionnl irrtionnl irrtionnl irrtionnl irrtionnl Cochr l ou ls bonns réponss : Soint 3 nombrs ntirs positifs ; m t d On dit qu d st un divisur d si : d st ntir d st ntir d st ntir st un multipl d m On dit qu m st un multipl d si : m st ntir m st ntir m st ntir m st un divisur d Qulqus rmrqus : C typ d QCM prmt d donnr très fcilmnt ux élèvs plusiurs vrsions différnts fin d évitr ls copis. On put utorisr ou intrdir l clcultric n fonction ds compétncs visés. 57

58 Vrc n 8 : Cofficints multiplicturs n 1 èr L t 1 èr ES Dns l colonn d droit, donnr l ou ls répons(s). A B C D E 1. L CM pour un umnttion d 3 % st 0,3 0,97 1,03 1, L CM pour un biss d 25 % st 0,25 1,25 0,75 0, Un CM él à 6,1 corrspond à un huss d 6,1 % 61 % 610 % 5,1 % 510 % 4. Si l prix d un rticl doubl, cl s trduit pr : 5. our un rticl, un umnttion du prix d 5 %, suivi d un biss du prix d 5% s trduit pr : un huss du prix initil d 20 % un huss un huss du prix initil d 200 % un biss un huss du prix initil d 50 % rin n chn un huss du prix initil d 100 % impossibl d répondr 42 Qulqus rmrqus : C QCM st à dstintion ds prmièrs L, nsinmnt oblitoir. Il st xtrit d un dvoir survillé d un hur portnt sur l prmièr prti du prormm «Informtions chiffrés», plus précisémnt sur ls pourcnts d évolution. L nottion CM sinifi Cofficint Multiplictur, ctt nottion st utilisé dns ls mnuls scolirs, mis n st ps rpris d mnièr officill dns ls prormms. Dns l qustion 5, l distrctur "42" fit référnc u "Guid du routrd lctiqu", d Douls Adm, livr dns lqul on pprnd qu 42 st l répons à l'ultim Qustion d l Vi, l'univrs t Tout L Rst, tout l problèm étnt d mintnnt d rrivr à formulr l qustion 58