BACCALAUREAT GENERAL

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1 BACCALAUREAT GENERAL Session de juin 9 MATHEMATIQUES - Série S - Enseignement de Spécialité Centres étrangers EXERCICE 1 1) Restitution organisée de connaissances a) Les événements B A et B A constituent une partition de l événement B La formule des probabilités totales fournit alors p(b) = p(b A)+p(B A) b) Supposons maintenant les événements A et B indépendants p(b A) = p(b) p(b A) (d après a)) = p(b) p(b) p(a) (car les événements A et B sont indépendants) = p(b)(1 p(a)) = p(b) p(a) Ceci montre que les événements A et B sont indépendants ) Application a) La probabilité demandée estp(r S) Puisque les événementsretssont indépendants, il en est de même des événements R et S d après 1)b) Donc p(r S) = p(r) p(s) = (1,1),5 =,5 La probabilité que Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne est,5 b) Stéphane arrive à l heure si et seulement si il entend son réveil sonner et son scooter ne tombe pas en panne La probabilité demandée est donc p(r S) Puisque les événements R et S sont indépendants, il en est de même des événements R et S Donc p(r S) = p(r) p(s) =,9,95 =,855 La probabilité que Stéphane soit à l heure un jour de classe donné est,855 c) Notons X le nombre de fois où Stéphane entend le réveil sonner La variable aléatoire X est régie par un schéma de Bernoulli En effet, 5 expériences identiques et indépendantes sont effectuées ; chaque expérience a deux issues : «Stéphane entend le réveil sonner» avec une probabilité p = p(r) =,9 et «Stéphane n entend pas le réveil sonner» avec une probabilité 1 p = p(r) =, 1 La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 5 et p =,9 La probabilité demandée est p(x ) et on a p(x ) = p(x = )+p(x = 5) = =, 9185 arrondi à la quatrième décimale ( ) 5,9,1 1 +,9 5 = 5,9,1+,9 5 http ://wwwmaths-francefr 1 c Jean-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

2 EXERCICE 1) a) Le couple(x,y ) = (9,1) est un couple solution de(e) (Un autre couple solution est bien sûr(x,y ) = (9, 9)) b) Soient x et y deux entiers relatifs (x,y) solution de (E) 3x+y = 9 3x+y = 3x +y 3(x x ) = (y y) Ainsi, si le couple (x,y) est solution de l équation (E), nécessairement l entier divise l entier 3(x x ) Mais les entiers et 3 sont premiers entre eux (car et 3 sont deux nombres premiers distincts) et le théorème de Gauss permet d affirmer que l entier divise x x Par suite, il existe un entier relatif k tel que x x = k ou encore tel que x = x +k De même, l entier 3 divise y y et il existe un entier l tel que y y = 3l ou encore tel que y = y 3l Réciproquement, soient k et l deux entiers relatifs puis x = x +k et y = y 3l 3x+y = 3(x +k)+(y 3l) = 3x +y +6(k l) = 9+6(k l) et donc le couple (x,y) est solution de (E) si et seulement si k = l Les couples d entiers relatifs solutions de (E) sont les couples de la forme (9+k,1 3k), k Z c) Soient k un entier relatif puis x = 9+k et y = 1 3k x 9+k k 9 k (car k est entier) y 1 3k k 1 k 3 En résumé, x et y si et seulement si k On obtient ainsi cinq couples solutions : (1,13) (3,1) (5,7) (7,) (9,1) ) Intersection d un plan avec les plans de coordonnées a) 1ère solution Les points A(9,1,) et B(9,1,1) sont dans le plan P Le vecteur AB a pour coordonnées (,,1) et donc AB = k Ceci montre que la droite (AB) est parallèle à l axe (Oz) Puisque la droite (AB) est contenue dans le plan P, le plan P contient une droite parallèle à l axe (Oz) et on en déduit que le plan P est parallèle à l axe (Oz) ème solution Le plan P admet pour vecteur normal le vecteur n de coordonnées (3,,) Puisque n k = =, le vecteur k est orthogonal à n Ceci redémontre que le plan P est parallèle à l axe (Oz) b) Soit M(x,,) un point de l axe (Ox) M P 3x+ = 9 x = 9 Le point d intersection du plan P et de ( ) 3 9 l axe (Ox) est le point de coordonnées 3,, Soit M(,y,) un point de l axe (Oy) M P 3 +y = 9 y = 9 Le point d intersection du plan P et de l axe (Oy) est le point de coordonnées (, 9 ), c) et d) Voir figure page suivante http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

3 z / y 5 9/3 1 x 3) Etude d une surface a) Soit M(x,y,) un point du plan (xoy) M S xy = x = ou y = L intersection S 1 de la surface S est du plan (xoy) est la réunion de l axe (Ox) et de l axe (Oy) S 1 est représentée par la figure n o 3 b) Soit M(x,y,1) un point du plan R M S xy = y = x S est une hyperbole et est donc représentée par la figure n o 1 c) Soit (x,8,z) un point du plan d équation y = 8 M S z = 8x z = x Ainsi, S 3 est l ensemble des points de coordonnées (x,8,x) où x décrit R Il s agit de la droite passant par le point de coordonnées (,8,) et dirigée par le vecteur de coordonnées (1,,) S 3 est représentée par la figure n o d) Donc S est représentée par la figure n o Soit M(x,y,z) un point de S D après la question )d), le couple (x,y) a cinq valeurs possibles à savoir (1, 13) (3, 1) (5, 7) (7, ) (9, 1) Si x = 1 et y = 13, z = 1 13 = 13 ( Ceci fournit le point de coordonnées 1,13, 13 ) Si x = 3 et y = 1, z = 3 1 = 15 ( Ceci fournit le point de coordonnées 3,1, 15 ) Si x = 5 et y = 7, z = 5 7 = 35 ( Ceci fournit le point de coordonnées 5,7, 35 ) Si x = 7 et y =, z = 7 Si x = 9 et y = 1, z = 9 1 = 7 Ceci fournit le point de coordonnées (7,,) = 9 ( Ceci fournit le point de coordonnées 9,1, 9 ) http ://wwwmaths-francefr 3 c Jean-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

4 EXERCICE 3 1) Faux ) Vrai 3) Vrai ) Vrai Justifications 1) Re(i ) = Re( 1) = 1 et (Re(i)) = = Donc Re(i ) (Re(i)) et la proposition 1 est fausse ) OM = z, ON = z et OP = z z z On sait que z = z et donc OM = ON D autre part, OP = = z z z Finalement OM = ON = OP et la réponse est vraie 3) 1ère solution Soient M, A et B les points affixes respectives z, i et i = z = OM 1+iz = 1 iz i( i+z) = i(i+z) i z i = i z+i z i = z+i MA = MB M med[ab] M (Ox) Im(z) = ème solution Posons z = x + iy où x et y sont deux réels La proposition 3 est vraie 1+iz = 1 iz 1+i(x+iy) = 1 i(x+iy) (1 y)+ix = (1+y) ix (1 y) +x = (1+y) +( x) (1 y) +x = (1+y) +x 1 y+y = 1+y+y y = y = Im(z) = ) 1ère solution Posons z = x+iy et z = x +iy où x, y, x et y sont quatre réels z+z = z z (x+x ) +(y+y ) = (x x ) +(y y ) x +xx +x +y +yy +y = x xx +x +y yy +y (xx +yy ) = xx +yy = OM OM = (OM) (OM ) ème solution Soit N le point tel que ON = OM+ OM Le quadrilatère OMNM est un parallélogramme z+z = OM+ OM = ON = ON et z z = OM OM = M M = M M Donc si z+z = z z alors ON = MM et les diagonales du parallélogramme OMNM ont même longueur On sait alors que ce parallélogramme est un rectangle et donc que (OM) (OM ) La réponse est vraie http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

5 EXERCICE Partie A - Quelques propriétés des fonctions f n et des courbes C n 1) Soit n un entier naturel f n () = e 1+e = 1 et donc le point A de coordonnées Pour tout entier naturel n, le point A de coordonnées (, 1 ) appartient à la courbe C n (, 1 ) appartient à la courbe C n ) Etude de la fonction f 1 a) Pour tout réel x, f (x) = 1+e x Pour tout réel x, 1+e x > et donc f est dérivable sur ],+ [ en tant qu inverse d une fonction dérivable sur R et ne s annulant pas sur R De plus, pour tout réel x, On en déduit que pour tout réel x, f (x) > et donc que f e x (x) = (1+e x ) = e x (1+e x ) la fonction f est strictement croissante sur R b) Limite en lim x e x = lim X + ex = + puis lim x 1+e x = + et donc lim f (x) = x Limite en + lim x + e x = lim X ex = et donc lim f (x) = 1 x + On en déduit que la droite d équation y = est asymptote à la courbe représentative de f en et que la droite d équation y = 1 est asymptote à la courbe représentative de f en + c) Tableau de variation de la fonction f x + f (x) + 1 f 3) Etude de la fonction f 1 a) Soit x un réel f 1 ( x) = ex 1+e x = e x e x (1+e x ) = 1 1+e x = f (x) Pour tout réel x, f (x) = f 1 ( x) b) lim x f 1(x) = lim x f ( x) = lim X + f (X) = 1 et lim x + f 1(x) = lim x + f ( x) = lim X f (X) = Etudions maintenant les variations de la fonction f 1 1ère solution La fonction f 1 est dérivable sur R et pour tout réel x f 1 (x) = (f ( x)) = f ( x) http ://wwwmaths-francefr 5 c Jean-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

6 Puisque pour tout réel x, f ( x) >, on en déduit que pour tout réel x, f 1 (x) < et donc que la fonction f 1 est strictement décroissante sur R ème solution La fonction g : x x est strictement décroissante sur R à valeurs dans R et la fonction f : y f (y) est strictement croissante sur R On en déduit que la fonction f 1 = f h est strictement décroissante sur R c) Pour tout réel x, le point de C d abscisse x a même ordonnée que le point de C 1 d abscisse x Ceci signifie que Les courbes C et C 1 sont symétriques par rapport à l axe des ordonnées ) Etude de la fonction f n pour n a) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à Pour tout réel x, b) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à f n (x) = e nx 1+e x = 1 e nx (1+e x ) = 1 e nx +e nx x = 1 e nx +e (n 1)x Puisque n > et n 1 >, lim x enx = lim X ex = et de même lim x e(n 1)x = Par suite, lim x (enx +e (n 1)x ) = Comme de plus, pour tout réel x, e nx +e (n 1)x >, on a montré que pour tout entier naturel n, lim x f n(x) = + Puisque n > et n 1 >, lim x + enx = lim X + ex = + et de même lim x + e(n 1)x = + Par suite, lim x + (enx +e (n 1)x ) = + et donc pour tout entier naturel n, lim x + f n(x) = c) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à La fonction f n est dérivable sur R en tant qu inverse d une fonction dérivable sur R et ne s annulant pas sur R De plus pour tout réel x f n(x) = nenx +(n 1)e (n 1)x (e nx +e (n 1)x ) Or, n >, n 1 > et pour tout réel x, e nx >, e (n 1) > et ( e nx +e (n 1)x) > Par suite, pour tout réel x, f n (x) < On en déduit le tableau de variation de la fonction f n x + f n (x) + + f n Partie B - Etude d une suite liée aux fonctions f n 1) La fonction x e x u est de la forme 1+e x u avec u(x) = 1+e x Une primitive de cette fonction sur R est la fonction x ln(1+e x ) Par suite, Ensuite, et donc u 1 = e x 1+e x dx = [ ln(1+e x ) ] 1 = ln(1+e 1 )+ln(1+e ) = ln() ln(1+e 1 ) u +u 1 = 1 1 dx+ 1+e x e x dx = 1+e x 1+e x dx = 1+e x u = 1 u 1 = 1 ln()+ln(1+e 1 ) 1 dx = 1 1 = 1, u = 1 ln()+ln(1+e 1 ) et u 1 = ln() ln(1+e 1 ) http ://wwwmaths-francefr 6 c Jean-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

7 ) Soit n un entier naturel Soit x un réel de [,1], 1+e x 1 > et donc par le réel positif e nx et on obtient 1 1 On multiplie alors les trois membres de cet encadrement 1+e x pour tout réel x de [,1], e nx 1+e nx e nx Par positivité et croissance de l intégration, on en déduit que On a montré que e nx dx 1+e x e nx dx pour tout entier naturel n, u n e nx dx 3) Soit n un entier naturel non nul e nx dx = 1 n ( ne nx ) dx = [ 1 n e nx ] 1 = 1 n e n + 1 n e = 1 e n n 1 Maintenant, lim n + e n = et lim = Donc n + n lim e nx 1 e n dx = lim = En tenant compte de n + n + n l encadrement de la question ), le théorème des gendarmes permet d affirmer que la suite (u n ) n N converge et que lim u n = n + http ://wwwmaths-francefr 7 c Jean-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés