Cours de mécanique du point

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1 Univesité Joseph Fouie Genoble 1 Licence 1èe année Cous de mécanique du point ème édition d d Vd dv M O d Gilbet VINCENT

2 Avetissement. Les figues doivent ête à gauche (pages paies) en egad des pages coespondantes (impaies), situées à doite, qui suppotent le texte. Les figues ne sont pas éféencées dans le texte, mais dans la quasi totalité des cas, elles coespondent au texte de la page en egad. L auteu se fea un plaisi de vous envoye la vesion Wod (.doc) su simple demande

3 SOMMAIRE

4 SOMMAIRE Intoduction I. Pincipes fondamentaux de la dynamique II. III. IV. Foces Cinématique Moments V. Tavail. Enegie cinétique VI. VII. VIII. IX. Enegie potentielle et mécanique Collisions ( points) Gavitation Poblème des cops X. Poblème des cops: ésolution XI. XII. Changement de éféentiel (epèe) Réféentiels non Inetiels (non Galiléens) Bibliogaphie CE COURS EST SUR INTERNET On touvea aussi su ce site quelques pages supplémentaies: Compléments et execices (Voi le détail en fin de polycopié) Maée océanique (Conseillé pou ne pas coie à la socelleie) Pendule de Foucault Gyoscope

5 I I. PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA DYNAMIQUE 5 1. QUANTITE DE MOUVEMENT: DEFINITION 5. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE: PFD 5 3. PRINCIPE DE L ACTION ET DE LA REACTION 7 4. APPLICATION: INTERACTION ENTRE CORPS ISOLES 7 5. CONSEQUENCE: LES TROIS LOIS DE NEWTON Du PFD aux deux pemièes lois de Newton 9 5. Enoncé des tois lois 9 6. CONDITION DE MASSE CONSTANTE APPLICATION DES LOIS DE NEWTON. CENTRE DE MASSE CONDITIONS D'APPLICATION DU PFD Réféentiels, epèes et systèmes de coodonnées Réféentiel Inetiel (ou Galiléen) Ensemble de éféentiels Inetiels (ou Galiléens) RESUME 19 ANNEXE 1 : MASSE CONSTANTE. LECTURE FIL ROUGE. CENTRE DE MASSE ET FORCES EXTERIEURES. 1 ANNEXE : MASSE NON CONSTANTE, LECTURE FIL ROUGE 3 A/ Pincipe fondamental et ème loi de Newton 3 B/ Foce et accéléation 3 C/ PFD et foce nulle 3 D/ Execice de difféentiation : cente de masse et pincipe fondamental 5 E/ L addition, ça caint!!!!! 5 p (t+) F. p (t)

6 II II. LES FORCES 7 1. FORCES D INTERACTION A DISTANCE Foce gavitationnelle 7 1. Foces de Loentz (électique et magnétique) 9 Foce électique 9 Foce magnétique Foce faible Foce fote 31. FORCES DE CONTACT 31.1 Fottement solide (ou fottement sec ou loi de Coulomb) 31 Solides sans glissement elatif 31 Solides en mouvement elatif 33 Illustation 33. Fottement visqueux 35 Vitesse faible 35 Vitesse élevée 35 Tansition vitesse faible/ vitesse élevée 37.3 Poussée d Achimède (liquides et gaz) 37.4 Foces de tension 39 Ressot 39 Lame de essot : 39 Tension d'un fil de masse négligeable. 39 R R N R T

7 III III. CINEMATIQUE INTRODUCTION 41. DEFINITION DES VECTEURS POSITION, VITESSE ET ACCELERATION 41.1 Position 41. Vitesse 43.3 Accéléation DIFFERENTIELLE D'UN VECTEUR ET DERIVEE Difféentielle d'un vecteu unitaie dans un plan / déivée Difféentielle /Déivée d'un vecteu unitaie dans l'espace Difféentielle d'un vecteu quelconque: conclusion VECTEURS DANS LES DIFFERENTS SYSTEMES DE COORDONNEES Coodonnées catésiennes Coodonnées cylindiques (et polaies) Coodonnées sphéiques Coodonnées cuvilignes, ou epèe de Fenet CONCLUSION 69 ANNEXE: DIFFERENTIELLES DE SCALAIRES, VECTEURS u 1 du O u

8 IV IV. MOMENTS. THEOREME DU MOMENT CINETIQUE. APPLICATION : MOUVEMENT A FORCE CENTRALE MOMENT D'UNE FORCE 71. MOMENT CINETIQUE THEOREME DU MOMENT CINETIQUE APPLICATION : MOUVEMENT A FORCE CENTRALE EXTENSIONS : COUPLE, ET MOMENT PAR RAPPORT A UN AXE Moment d'un couple Moment pa appot à un axe CONCLUSION 77 L(t+) L(t) m f.

9 V V. TRAVAIL, PUISSANCE, ENERGIE CINETIQUE TRAVAIL D UNE FORCE Définition difféentielle Tavail su un pacous Exemple Cas tès paticulie de la foce constante 81. PUISSANCE ENERGIE CINETIQUE THEOREME DE L ENERGIE CINETIQUE ENERGIE CINETIQUE: OUVERTURE RELATIVISTE 85 A F dl B

10 VI VI. ENERGIES POTENTIELLE ET MECANIQUE FORCES CONSERVATIVES ET NON CONSERVATIVES Foces consevatives Foces non consevatives (dissipatives) 87. ENERGIE POTENTIELLE (FORCES CONSERVATIVES SEULEMENT) FORCE ET ENERGIE POTENTIELLE TRAVAIL ET ENERGIE POTENTIELLE ENERGIE MECANIQUE THEOREME DE L ENERGIE MECANIQUE SYSTEMES NON DISSIPATIFS Popiété Diagamme d énegie et états liés Etats libes et liés. Conditions d équilibe UTILISATION DE L ENERGIE POTENTIELLE ET DU TRAVAIL 99 A 1 B

11 VII VII. COLLISIONS INTRODUCTION 101. CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT DIMENSIONS DE LA COLLISION RELATION ENTRE LES VITESSES (MASSES CONSTANTES) COLLISIONS ELASTIQUES (CONSERVATION DE Ec) Popiétés Collision élastique de deux masses identiques dont une est immobile Collision élastique diecte Collision élastique diecte avec une masse immobile COLLISION INELASTIQUE (NON CONSERVATION DE Ec) COLLISIONS ET REPERE LIE DU CENTRE DE MASSE Cas généal Collision élastique Collision totalement inélastique (encastement) Changement de epèe 113 p 1 p p 1

12 VIII VIII GRAVITATION FORCES DE GRAVITATION 115. CHAMP DE GRAVITATION POIDS D UN OBJET Analyse du poids Bilan ACCELERATION LOCALE DE LA PESANTEUR TRAVAIL ET ENERGIE POTENTIELLE (R>RT) 11 F F gav.

13 IX IX. PROBLEME DES DEUX CORPS LES DEUX CORPS (PONCTUELS, OU A SYMETRIE SPHERIQUE) 13. QUANTITE DE MOUVEMENT CENTRE DE MASSE PROPRIETES DU CENTRE DE MASSE Quantité de mouvement Accéléation du cente de masse REPERE GALILEEN LIE A AU CENTRE DE MASSE APPLICATION DU PRINCIPE FOND. DE LA DYNAM. DANS GXYZ MOMENT CINETIQUE THEOREME DU MOMENT CINETIQUE Application du théoème Conséquence : mouvement dans un plan ENERGIE CINETIQUE DU SYSTEME TRAVAIL DES FORCES GRAVITATIONNELLES ENERGIE POTENTIELLE ENERGIE MECANIQUE 135 V G V 1

14 X X. PROBLEME DES DEUX CORPS: RESOLUTION EQUATIONS DE DEPART 137. TRAJECTOIRE MOUVEMENT CIRCULAIRE ELLIPSE Relations ente les paamètes géométiques de l ellipse Loi des aies et paamètes de l ellipse Lois de Keple (ellipse) Equation hoaie ENERGIES ORBITES ET CONDITIONS INITIALES Paamètes de la conique Obite elliptique Obite paabolique ou hypebolique Enegies, vitesse de libéation (paabolique) et type d obite SYNTHESE 157 La vitesse V 0 coît Tee V 0 0 Cecle

15 XI XI. CHANGEMENT DE REFERENTIEL (REPERE) DEFINITIONS Repèe absolu Repèe elatif Mouvement d'entaînement But du jeu 161. COMPOSITION DES POSITIONS, VITESSES, ACCELERATIONS Position 161. Vitesse Accéléation CHANGEMENT DE REPERE : CONCLUSION ET RESUME 169 RELATIF ABSOLU

16 XII XII. REPERES NON INERTIELS (NON GALILEENS) INTRODUCTION 171. EXEMPLE : MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME "FORCE" CENTRIFUGE PSEUDO FORCES PENSER AUTREMENT, PENSER GALILEE Véhicule qui amoce un viage Sens d enoulement des nuages autou des dépessions Maées 175 N

17 -1 INTRODUCTION

18 0 "Point" matéiel et mécaniques Dimensions petites à l échelle du poblème envisagé (énegie pope de otation négligeable) sinon mécanique du solide gandes devant les dimensions atomiques sinon mécanique quantique Vitesse petite compaée à la vitesse de la lumièe ( m/s) sinon mécanique elativiste

19 1 Intoduction La mécanique pésentée ici concene exclusivement la mécanique du point. Patiquement elle concene les objets matéiels dont l extension spatiale est tès faible: leus défomations et l énegie liée à leu mouvement pope de otation peuvent ainsi ête négligées devant les énegies mises en jeu. Cependant un objet aussi volumineux que la tee ou le soleil peut dans cetains cas ête assimilable à un point en ce qui concene, pa exemple, son action su des cops dans son entouage. Nous n étudieons pas de systèmes de tès petites dimensions, à l échelle atomique, domaine pou lequel il a été monté il y a un siècle que les notions de mécanique classique doivent ête emplacées pa celles de mécanique quantique. De même la mécanique elativiste sot du cade de cette pésentation et nous n envisageons que des mobiles dont la vitesse est faible devant celle de la lumièe (mécanique "classique"). Toutefois le pincipe fondamental de la dynamique sea donné dans le cade elativiste, son expession étant tès simple à pati de la quantité de mouvement, et nous en déduions les elations classiquement utilisées que sont les lois de Newton. Nous supposeons qu'un temps unique peut-ête défini en tout point de l'espace, et que les longueus, masses, temps, et foces sont invaiantes los d'un changement de éféentiel. La mécanique du point n exclut pas la mécanique des points et nous auons de nombeuses fois l occasion d évoque le compotement de plusieus cops en pésence et d en défini cetaines popiétés comme le cente de masse et la quantité de mouvement. La but visé est de pouvoi elie le mouvement d un cops aux foces qui lui sont appliquées. Pou cela, il nous fauda elie les foces (la foce extéieue ésultante) à l accéléation F, c est le pincipe fondamental de la dynamique. Ensuite, nous appendons à elie l accéléation à la vitesse et à la position, opéations mathématiques egoupées sous le nom de cinématique V OM Nous seons ainsi capables de décie le mouvement à pati de la foce appliquée, et invesement de déduie la foce si la tajectoie est connue : F OM

20 Contenu - Chapites Pincipes fondamentaux Foces Cinématique Moments Tavail Potentiel Collisions Gavitation Deux cops + ésolution Changements de epèes Repèes non Galiléens Bases physiques 1 mathématique Compléments 1 vectoiel scalaies Applications Extensions LETTRES GRECQUES alpha nu bêta xi ou ksi gamma omicon delta pi epsilon hô zêta sigma êta tau thêta upsilon iota phi kappa chi ou khi lambda psi mu oméga

21 3 Dans ce but, nous envisageons successivement : les pincipes de base de la dynamique du point l analyse des foces les plus couantes l at de epée les objets et la cinématique A pioi, ces connaissances sont suffisantes pou éponde à l objectif visé. Cependant, d autes notions peuvent simplifie gandement cetaines ésolutions et nous étudieons : le moment d une foce et le moment cinétique le tavail et l énegie cinétique les énegies potentielles et mécaniques Suivont des applications pou pécise ces notions : collisions ente deux cops gavitation poblème des deux cops ésolution du poblème des deux cops Enfin, deux chapites viendont étoffe nos connaissances de mécanique. S ils sont pésentés en denie, c est qu ils ne sont pas indispensables mais peuvent cependant accélée l'écitue des équations, et pésente les pincipes de la mécanique sous un aute aspect: changement de epèe epèes non Galiléens Pou alle plus loin Des phénomènes supenants, elevant ou pouvant eleve de la mécanique du point, mais nécessitant une analyse un peu plus complexe que celui de ce cous, sont pésentés su un site intenet. Ce sont, pa ode de difficulté coissante : les maées le pendule de Foucault le gyoscope et difféents compléments Adesse (à véifie, évolution possible):

22 3 PRINCIPES Pincipes fondamentaux

23 4 I. PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA DYNAMIQUE QUANTITE DE MOUVEMENT: DEFINITION PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE: PFD PRINCIPE DE L ACTION ET DE LA REACTION APPLICATION: INTERACTION ENTRE CORPS ISOLES CONSEQUENCE: LES TROIS LOIS DE NEWTON Du PFD aux deux pemièes lois de Newton Enoncé des tois lois CONDITION DE MASSE CONSTANTE APPLICATION DES LOIS DE NEWTON. CENTRE DE MASSE CONDITIONS D'APPLICATION DU PFD Réféentiels, epèes et systèmes de coodonnées Réféentiel Inetiel (ou Galiléen) Ensemble de éféentiels Inetiels (ou Galiléens) RESUME ANNEXE 1 : MASSE CONSTANTE. LECTURE FIL ROUGE. CENTRE DE MASSE ET FORCES EXTERIEURES... 1 ANNEXE : MASSE NON CONSTANTE, LECTURE FIL ROUGE... 3 A/ Pincipe fondamental et ème loi de Newton... 3 B/ Foce et accéléation... 3 C/ PFD et foce nulle... 3 D/ Execice de difféentiation : cente de masse et pincipe fondamental de la dynamique... 5 E/ L addition, ça caint!!!!!... 5 Pincipe fondamental de la dynamique (PFD) Définition Quantité de mouvement m V PFD dp/ p = mv F ou (mieux) PFD p (t+) F. p (t) dp = F. Pincipes fondamentaux

24 5 I. Pincipes fondamentaux de la dynamique Ce chapite va pose les elations fondamentales su lesquelles se constuia toute la mécanique. Les lois seont données sous fome vectoielle. C'est une manièe élégante et commode pou expime un gand nombe de elations physiques. Cette fomulation évite de faie éféence à un epèe paticulie. Ceci suppose un espace Euclidien et isotope, c'est à die qui a les mêmes popiétés dans toutes les diections. Tout ce qui sea fait ultéieuement consistea à tie les popiétés de ces elations fondamentales, à les expime de manièe vectoielle ou scalaie, et aussi à défini de nouvelles gandeus en s appuyant su des outils mathématiques. 1. Quantité de mouvement: définition La quantité de mouvement va pende une place essentielle dans note appoche de la mécanique. Beaucoup de phénomènes s'éclaient si on compend bien sa signification vectoielle, et l effet des foces su sa valeu. On dénomme p la quantité de mouvement. C'est le poduit de la masse m pa la vitesse V p mv QUANTITE DE MOUVEMENT Son nom est bien choisi: la quantité de mouvement augmente avec la masse et la vitesse: imaginez un ugbyman en pleine vitesse! Elle s'expime en kg.m.s -1 et n'a pas d'unité dévolue.. Pincipe fondamental de la dynamique: PFD La définition de la quantité de mouvement nous pemet de donne l'énoncé exact du pincipe fondamental de la dynamique. Cette elation est valable dans un éféentiel Galiléen qui sea défini plus loin. Le voici tout d abod sous sa fome difféentielle : dp F PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE (PFD) ce qui signifie que la vaiation de la quantité de mouvement est égale : au poduit de la foce extéieue appliquée pa le temps pendant lequel elle s'applique. A médite, voi l exemple du ugbyman. Le pincipe fondamental de la dynamique sea souvent écit en abégé PFD. Pincipes fondamentaux

25 6 PFD à nouveau et à médite p (t+) F. p (t) PFD cas tès paticulie d une foce constante p (t1) F.(t 1 -t 0 ) p (t0) Pincipes fondamentaux

26 7 Cette elation peut aussi ête écite sous la fome d une déivée. dp F PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE (PFD) Remaque : si plusieus foces sont appliquées à la masse m, c est leu somme vectoielle qui sea pise en compte pou F. Cette somme vectoielle pote le nom de ésultante des foces. 3. Pincipe de l action et de la éaction (ou opposition des actions écipoques): Quand cops inteagissent, la foce F1 execée pa le pemie cops su le second est égale et opposée à la foce F1 poduite pa le second su le pemie. F F NB : la flèche su le teme de doite n est pas obligatoie, ca un vecteu nul n a ni diection ni sens. Elle est uniquement là pou insiste su le fait qu un vecteu ne peut ête égal qu à un vecteu. 4. Application: inteaction ente cops isolés A ce stade, nous pouvons déjà taite un cas paticulie qui implique deux points matéiels. Nous supposeons qu'il n'y a aucune foce extéieue en jeu. Seules agissent les foces intéieues, c'est à die les foces d'inteactions mutuelles ente ces deux points matéiels (foces gavitationnelles, électiques, contact ) : le système est dit isolé. Les foces F1 (de 1 su ) et F1 (de su 1) sont en accod avec la toisième loi: F F O selon la loi fondamentale de la dynamique : dp1 F 1 dp F 1 dp dp ( F F ) 0 Donc soit, en définissant pa p la quantité de mouvement totale : p p p 1 dp dp0 (fome difféentielle) ou 0 Conclusion : p Cte (en fonction du temps) (fome déivée). Pincipes fondamentaux

27 8 Pincipe fondamental appliqué à la tajectoie balistique: F mg Cte y mv 0 mg.( t t ) 1 0 mv 0 mg.( t t ) 0 j t 0 mv 0 i t 1 t mv 0 t 3 mg.( t t ) 3 0 x La composante hoizontale de la quantité de mouvement ne vaie pas Les équations suivent: d( mv ) mgmd(v i V j ) mg jdv 0etdV g x y x y 5. Enoncé des 3 lois de Newton Les 3 lois de Newton 1 èe loi : foce nulle => vitesse constante Tajectoie = doite Je ne suis soumis à aucune foce V = Cte ème loi : F = m m F 3 ème loi : F 1/ = -F /1 F 1/ NB: les foces sont de plus pot ées pa une même doite m 1 m F /1 Foces: attactives ou épulsives Pincipes fondamentaux

28 Nous pouions facilement généalise ce aisonnement à N cops et nous etiendons donc que: Pou un système isolé, la quantité de mouvement totale este constante au cous du temps Application patique : collision ente masses. Il seait déjà possible de ésoude le poblème de véhicules enchevêtés, apès collision en négligeant l action des foces extéieues. La conclusion seait: de l utilité d ête "gos". 5. Conséquence: les tois lois de newton Elles n appotent ien de plus que les lois pécédentes, et sont même plus estictives, mais elles ont eu une gande impotance histoique puisqu elles ont égi la mécanique, de Newton jusqu au début du 0 ème siècle Du PFD aux deux pemièes lois de Newton Les deux pemièes lois de Newton sont déivées du PFD et ne sont valables que si la masse m est constante. Repenons le PFD : dp F avec : p mv Si la masse m est constante : dmv ( ) mdv NB: si la difféentielle pose un poblème, voi l'annexe située en fin du chapite cinématique Donc : mdv F Plus connu sous la fome : F m où dv est l accéléation ( ) Ceci constitue la deuxième loi de Newton. La pemièe loi ( F 0V Cte ) se déduit immédiatement de F m : si la foce est nulle, l accéléation est elle aussi nulle, et donc la vitesse V est constante, ca dv 0 5. Enoncé des tois lois Nous donnons l'énoncé des lois en langage actuel, vous touveez dans le Peez pa exemple l'écitue de l'époque. Pemièe loi (pincipe d'inetie) : Un cops su lequel n'agit aucune foce gade une vitesse constante (ou este au epos) F 0 => V Cte 1 èe loi Pincipes fondamentaux

29 10 Cente de masse: foces intéieues et extéieues Système étudié : m 1, m, en pésence d un toisième cops m F 1/ F ex F /1 m 1 F ex1 Pincipes fondamentaux

30 Deuxième loi (ancienne loi fondamentale de la dynamique) : La foce totale F appliquée à un cops est égale au poduit de sa masse m pa son accéléation F m ème loi Toisième loi (opposition des actions écipoques, énoncée pécédemment): F F 0 3 ème loi 1 1 Remaque: La pemièe loi se déduit de la seconde, et n est pas a pioi tès utile. Mais c'est l'histoie qui distingue ces deux lois ca la pemièe loi peut ête attibuée à Galilée. Elle n'est pas tiviale ca d Aistote à Galilée, on pensait que s'il n'y avait aucune foce appliquée, le cops s'aêtait ou, de manièe un peu équivalente, que la foce était popotionnelle à la vitesse. Cette idée fausse povient de l'expéience commune jounalièe, où tout s'aête si le mouvement n est pas entetenu, à cause des fottements inévitables. Retenons que la deuxième loi de Newton est une loi appochée du pincipe fondamental de la dynamique. Elle n est valable que losque la masse est constante ( dm 0 ), ce qui n'est le cas : - ni pou les vitesses qui se appochent de celle de la lumièe, ca tout se passe comme si la masse devenait alos une fonction tès sensible de la vitesse (voi le chapite Enegie cinétique) - ni, disent cetains auteus, pou des objets dont la masse évolue au cous du temps pa accétion (la goutte d'eau qui gossit) ou éjection (la fusée); en fait là, il ne faut pas applique diectement le PFD, et ête tès pudent, ca il y a difféentes masses en inteaction.. 6. Condition de masse constante Dans la suite du cous la masse sea supposée constante m Cte dm 0 Nous donnons toutefois en annexe quelques popiétés du PFD losque la masse n est pas constante, et, dans les chapites suivants, chaque fois qu'une popiété sea valable pou une masse non constante, nous le signaleons Application des lois de Newton. Cente de masse Un système (solide, nuage, chat) peut ête considéé comme la somme de "points " matéiels. Su chaque point epéé pa l indice i, s'appliquent des foces extéieues de ésultante ( ), et l'action de toutes les autes masses j du système: essayez avec points (voi figue), puis 3 et généalisez. F i ext n Fji. Si la notation vous ennuie, j1 Pincipes fondamentaux

31 1 Cente de masse (baycente) m 1 m 1 m 3 G O G m m 3 m m 1 GM 1 + m GM + m 3 GM 3 = 0 ou m i GM i = 0 Ne fait pas éféence à un epèe paticulie [m 1 + m + m 3 ] OG = m 1 OM 1 + m OM + m 3 OM 3 [m i ] OG = m i OM i Nécessite la définition péalable d un epèe Le calcul de la position du cente de masse ne fait pas inteveni les foces Pincipes fondamentaux

32 13 Su le point i, de masse m i la deuxième loi de Newton s'applique: n dom i mi ( F) i ext Fj i j1 En décomposant OM i en OG GM i, G étant pou l'instant un point quelconque du système, nous obtenons: n dog dgm i mi m ( ) i F i ext Fj i ou encoe j1 n d OG d mgm i i mi ( F) i ext Fj i j1 En se souvenant que la déivée d'une somme est égale à la somme des déivées, et en effectuant l'addition de toutes les équations individuelles, nous aivons à: n d mgm n i i n n n dog i1 mi ( F) i ext Fj i i1 i1 i1 j1 n m mi epésente la masse totale du système. i1 n n Fjiest nul. Encoe une fois, on peut i1 j1 s'en pesuade en essayant avec masses, puis 3 et en généalisant. Finalement: n d mgm n i i n dog i1 mi ( F) i ext i1 i1 Cette équation seait encoe plus simple en annulant un teme. Ceci est possible ca G est pou l'instant un point quelconque. Définissons le point G de telle manièe que : n mgm i i 0 définition du cente de masse i1 C'est une définition, elle ne fait appel à aucun pincipe. Il vient alos : n n dog mi ( ) Fi ext i1 i1 accéléation du cente de masse (m=cte) c est la deuxième loi de Newton, appliquée au cente de masse. Notons que si la ésultante des foces est nulle, l accéléation du cente de masse est elle aussi nulle, et pa conséquent, sa vitesse est constante. Attention cette elation nécessite que la masse soit constante, ca nous avons appliqué la deuxième loi de Newton. Aute elation de définition du cente de masse : la définition pécédente n est pas tès commode pou calcule les coodonnées du cente de masse. Il est souvent intéessant de éintoduie l oigine O et d opée la tansfomation : n mi( GO OM i) 0 soit : i1 n n mgo mom 0 i i i i1 i1 Pincipes fondamentaux

33 14 Cente de Masse. Cente de gavité G Cente de masse et cente de gavité Ovni Cente de gavité Cente de masse G Ovni Tee Tee L Ovni seait en équilibe su un suppot fictif placé au cente de gavité (calcul compliqué faisant inteveni les foces). Pincipes fondamentaux

34 GO est constant est peut donc ête soti de la sommation : finalement : n mom i i i1 OG n m i1 i n i i1 i1 i 15 n mgo GO m, d où Il peut ête intéessant de positionne O su une des masses pou annule un des vecteus : pou masses, le calcul devient alos paticulièement simple. Ne pas confonde le cente de masse G que nous venons de défini avec le cente de gavité (dommage, la lette G induit en eeu!) Ils ne sont confondus que si le champ de pesanteu est constant en module diection et sens : g su une petite patie de la suface de la tee pa exemple, ou dans un cas de symétie adéquate (voi figue). Si le champ de pesanteu n est pas constant, le cente de gavité dépend de la position et de l oientation du solide. Nous ne feons aucun usage ici du cente de gavité. 8. Conditions d'application du PFD 8.1 Réféentiels, epèes et systèmes de coodonnées. A ce stade, il est utile de pécise la signification de ces notions, souvent mélangées. Réféentiel Une expéience se déoule dans un système matéiel igide qui constitue le éféentiel. Ce peut ête l amphithéâte où se déoule ce cous, un tain, un avion la lune.l obsevateu est couamment lié à ce éféentiel, mais ce n'est pas obligatoie. Repèe Pou epée un mobile dans un éféentiel, il faut défini une oigine fixe, et tois axes fixes dans ce éféentiel. Ils constituent le epèe lié au éféentiel. Les axes ne sont pas focément othogonaux, mais ils ne doivent pas ête coplanaies afin de pouvoi étudie des mouvements à 3 dimensions, cas le plus généal. Système de coodonnées Pou quantifie les mesues, le plus évident consiste à pende un système d axes othonomé lié au epèe qui pemetta de détemine les composantes du mouvement (position, vitesse ) et des foces. Mais ce n est pas la seule possibilité. De nombeux poblèmes sont plus simples en utilisant un système de coodonnées cylindique, sphéique Dans tous les cas il fauda défini une oigine et 3 vecteus unitaies qui définiont les diections des axes. Ces vecteus constituent la base. Attention, cette oigine et les vecteus ne sont pas focément fixe pa appot au epèe. Tout ceci s éclaiea plus tad. Pincipes fondamentaux

35 16 Ensemble de éféentiels Galiléens (ou inetiels) y Y V=Cte V Vitesse expimée dans R m Tajectoie P R, éféentiel en tanslation / R X O R, éféentiel Galiléen connu x m=cte, V=Cte F = d[m(v+v )] => F = d(mv ) PFD dans epèe galiléen R Le PFD est véifié dans R => R Galiléen Pincipes fondamentaux

36 17 8. Réféentiel Inetiel (ou Galiléen) La pemièe et la deuxième loi ne sont valables que losqu'elles sont appliquées dans un éféentiel non accéléé, dit éféentiel inetiel ou éféentiel Galiléen. Mais qu'est-ce qu'un éféentiel non accéléé? Il pouait ête défini pa: c'est un éféentiel dans lequel la pemièe loi, appelée pincipe d inetie, est valable, d où son nom éféentiel inetiel (ou Galiléen). Il faudait alos éalise une expéience, et pouvoi véifie dans ce éféentiel que la vitesse est constante losqu'il n'y a aucune foce appliquée, ce qui n'est pas évident à éalise avec des foces à distance omnipésentes comme la gavitation! Il est en fait plus facile de véifie la deuxième loi dans une expéience qui mette en jeux des foces tès gandes devant les foces de gavitation, les foces électiques pa exemple. Nous nous familiaiseons pogessivement avec ces éféentiels et, pou l'instant, nous esteons pagmatiques et nous admettons que: - pou nos poblèmes locaux et des temps beaucoup plus couts que la jounée, la tee constitue un éféentiel galiléen. - pou des poblèmes mettant en jeux des mouvements ou des temps à plus gande échelle, comme les mouvements des nuages et des satellites, un éféentiel lié au cente de la tee, et des axes liés aux étoiles est coect. - si nous envisageons le mouvement des planètes du système solaie, nous pendons encoe des axes liés aux étoiles, mais avec une oigine liée cette fois au cente de masse du système solaie, qui est quasiment confondu avec le cente du soleil. 8.3 Ensemble de éféentiels Inetiels (ou Galiléens) Si nous connaissons un éféentiel Galiléen R, nous pouvons en défini une infinité. En effet tout éféentiel R' qui effectue une tanslation à vitesse constante V pa appot à R est lui-même un éféentiel Galiléen. Attention : tanslation => vitesse V de l oigine de R constante et absence de otation des axes de R pa appot à R Démonstation: Nous veons que si un objet se déplace à une vitesse V ' dans un epèe R', et si ce epèe R' se déplace pa tanslation à la vitesse V constante pa appot au epèe R, alos la vitesse de l'objet pa appot à R est égale à la somme V V '. Signalons au passage que cette loi d'addition des vitesses qui paaît "évidente" n'est plus vaie en mécanique elativiste! La somme est bien sû vectoielle, V et V ' n'ayant pas focément la même diection ou sens. Pensez au cas simple du passage se déplaçant à vitesse V ' dans un tain (R'), ce tain étant en mouvement ectiligne unifome V pa appot au sol (R). Il peut évidemment se déplace dans le sens du tain, en sens invese en taves saute Pincipes fondamentaux

37 18 Galileo Galilei (8 janv.) Isaac Newton 164 (5 décembe.calendie Anglais) -177 Pincipes fondamentaux

38 19 Le epèe R étant Galiléen, la deuxième loi de Newton s applique à note objet de vitesse V V ' dans R. dv ( V ') dv dv' F mm m m O la vitesse V est constante, donc l'accéléation dv est nulle, et finalement : dv ' F m ou encoe F d( mv ') ce qui veut die que la ème loi est valable dans R', qui est donc bien lui aussi un éféentiel Galiléen. Ainsi si un immeuble peut ête considéé comme un éféentiel inetiel, un ascenseu qui monte à vitesse constante sea lui aussi inetiel. Les foces sont inchangées, dp F est valable et, dans l ascenseu, une bille en chute libe décia une paabole avec une accéléation g. 9. Résumé TOUTE la mécanique du point est basée su deux pincipes (ou lois ) : dp F Pincipe fondamental de la dynamique (PFD) F F Loi de l action et de la éaction (3 ème loi de Newton) La deuxième loi de Newton ( mdv F ou F m ) est un cas paticulie du PFD, losque la masse est constante, et la pemièe loi de Newton se déduit de la deuxième. Dans ce cous, la deuxième loi de newton seait suffisante ca nous supposeons toujous une masse constante. Donc la foce et l accéléation seont toujous colinéaies et popotionnelles. Mais il este souhaitable d utilise la fome, dp F toujous valable, même en mécanique elativiste. Pincipes fondamentaux

39 0 Cente de masse et foce ésultante appliquée (1) M m G M 1 m 1 u 1 m S m m m m m ( m m ) ( m m ) K m ( ) u K m ( ) M M K u d OG G 3 3 G G 1 m 1 m 1 Cente de masse et foce ésultante appliquée () Attaction point-tige L m 1 m 0 G D x F D L / D L Km mdx Kmm Kmm G 1 G 1 G 1 x / L D ( L ) D Pincipes fondamentaux

40 1 Annexe 1 : masse constante. Lectue fil ouge. Cente de masse et foces extéieues. Il ne faut pas exagée les popiétés du cente de masse, même si la masse est constante. Penons l exemple concet du système Tee (masse m 1 ) Lune (m ) su lequel le Soleil (m) exece les foces de gavitation habituelles. Les foces execées pa le Soleil seont donc considéées comme extéieues au système Tee Lune. Il est tentant de simplifie le système, et d étudie le mouvement du cente de masse Tee- Lune (G) en affectant la masse m1 m au cente de masse, et en écivant donc : d OG mm ( 1 m) ( m1m) K G SG (A) 3 Nous allons monte qu il n en est ien : la foce epésentée pa le membe de doite est fausse. Repatons de la deuxième loi de Newton appliquée au cente de masse n n d OG mi ( F) i ext i1 i1 mm mm ( m m ) K SM K SM d OG 1 1 G 3 1 G 3 1 ( m m ) K ( SG GM ) K ( SG GM ) d OG mm1 mm 1 G 3 1 G 3 1 m ( m m ) K m( m mgm mgm ) ( ) d OG G SG K 3 3 Gm Il est facile de monte que (cf. chapite Poblème des deux cops, cente de masse) : m m 1 GM1 M1M GM M1M m m m m D où finalement 1 1 m m mm 1 1 ( m m ) K m( ) SG K m ( ) M M d OG G 3 3 G m1 m 1 mm ( 1 m) La patie de doite epésente la foce appliquée : elle n est donc pas égale à KG, 3 ce qui pouve que la pemièe équation poposée (A) est fausse. Cette denièe équation monte aussi que la foce n est pas diigée suivant SG, puisqu elle pésente une composante suivant M1M : l équation (A) est donc doublement fausse! Pincipes fondamentaux

41 ème Loi Newton Pincipe fondamental de la dynamique (PFD) m tajectoie m (dm/)v m F m F Foce et accéléation colinéaies: tès impotant si l un des deux est connu, l aute s en déduit immédiatement. NB: Beaucoup plus simple avec p (cf. figue PFD) Les accéléations étant difféentes, des foces identiques conduisent à des tajectoies difféentes!? En fait la deuxième loi de Newton est fausse si m n est pas constant. Pincipes fondamentaux

42 3 Annexe : masse non constante, lectue fil ouge A/ Pincipe fondamental et ème loi de Newton Le pincipe fondamental est difféent de la ème loi de Newton F m En effet le pincipe fondamental pemet d écie : dp d( mv) dm dv F V m => dm F V m dp Le pincipe fondamental de la dynamique F et la ème loi de Newton F m diffèent donc pa le teme dm V. B/ Foce et accéléation La deuxième loi de Newton : F m indique que la foce et l accéléation sont colinéaies. Pa conte la elation du paagaphe pécédent, diectement déduite du PFD, implique : dm F V m ce qui pouve que si la masse est vaiable, la foce et l accéléation ne sont généalement pas colinéaies (cf. figue), contaiement à ce que popose la ème loi de Newton. C/ PFD et foce nulle L application diecte du PFD n implique pas que la vitesse soit constante, losque la foce appliquée est nulle. F 0 => dp0 => dmv mdv 0 Sans aute enseignement, c est tout ce que nous pouvons die. Nous pouvons seulement que la vitesse V et sa vaiation dv sont colinéaies, et que les vaiations elatives de la vitesse dv V et de la masse dm sont égales, au signe pès. m En fait, il a été pafaitement établi que si F 0, la vitesse V est effectivement constante. Pincipes fondamentaux

43 4 Pincipes fondamentaux

44 5 D/ Execice de difféentiation : cente de masse et pincipe fondamental de la dynamique Fausse valeu de la quantité de mouvement Pou expime le PFD dans toute sa généalité, attention à ne pas pende comme quantité de mouvement celle qui est égale à la somme des masses multipliée pa la vitesse du cente de masse, eeu classique. Nous l'appelleons p '. Pou simplifie, penons masses: p ' ( m1m) V G Nous allons monte que cette gandeu p ' est difféente de la quantité totale de mouvement dont la définition exacte est: p p1 p mv 1 1mV En utilisant la définition du cente de masse : mom 1 1 mom dog OG et la définition de sa vitesse VG m1 m mom 1 1 mom p ' ( m1m) d / m1 m domi Avec un petit peu de patience, et en se souvenant que Vi, il s avèe que : m1 d ln( ) mm 1 m p ' ( mv 1 1mV ) M1M soit : m m 1 m1 d ln( ) mm m p' M M 1 p 1 m1 m n est donc pas égal à p, sauf si les masses sont constantes (ou si leu appot est constant). p ' Faux énoncé du pincipe fondamental La conclusion est QU IL NE FAUT PAS UTILISER pou pincipe fondamental : d[( m1 m) VG ] Fex Cette elation n est vaie que pou des masses constantes E/ L addition, ça caint!!!!! Repenons la démonstation des familles de éféentiels Galiléens (appel dv 0 ) F d[ m( V V ')] ( V V ') dm m( dv dv ') Vdm [ V ' dm mdv '] Vdm d( mv ') Donc : F d( mv ')! Un éféentiel en tanslation pa appot à un éféentiel Galiléen ne seait donc pas inetiel? Si, bien sû, l eeu povient du fait que nous n avons pas le doit d additionne simplement les vitesses en mécanique elativiste. Pincipes fondamentaux

45 5 FORCES Foces

46 6 II. LES FORCES FORCES D INTERACTION A DISTANCE Foce gavitationnelle Foces de Loentz (électique et magnétique)... 9 Foce électique... 9 Foce magnétique Foce faible Foce fote FORCES DE CONTACT Fottement solide (ou fottement sec ou loi de Coulomb) Solides sans glissement elatif (immobiles l un pa appot à l aute) Solides en mouvement elatif (glissement l un pa appot à l aute) Illustation Fottement visqueux Vitesse faible Vitesse élevée Tansition vitesse faible/ vitesse élevée Poussée d Achimède (liquides et gaz) Foces de tension Ressot Lame de essot : Tension d'un fil de masse négligeable Foces gavitationnelles u 1/ F /1 F 1/ m m 1 m F 1/ = - K 1 m G u 1/ F 1/ = - F /1 Foces

47 7 II. Les foces La elation fondamentale de la dynamique elie l accéléation d une masse aux foces qui lui sont appliquées. Nous allons ici décie le compotement des foces le plus couamment encontées. Nous taiteons plus loin la manièe d écie l accéléation dans les chapites cinématique et changement de epèe. L étude des foces peut-ête scindée en deux : les foces d inteactions à distance (cette distance pouvant ête plus petite que la dimension du noyau atomique!). Ce sont les foces élémentaies ente paticules. Les foces sont au nombe de quate : ce sont les foces de gavitation, de Loentz (électiques et magnétiques), faibles et fotes. les foces de contact qui ne sont que le ésultat macoscopique des 4 foces d inteaction (contact, fottement, poussée d Achimède ) 1. Foces d inteaction à distance Actuellement, la physique utilise quate foces pou décie les inteactions ente paticules. Leu point commun est de décoîte losque les distances augmentent. 1.1 Foce gavitationnelle Elle fea l objet d un chapite spécial (gavitation). Enoncée pa Newton en 1650, elle stipule que: masses ponctuelles s attient en aison de leu masse et de l invese du caé de la distance qui les sépae, selon une diection qui passe pa les masses. mm 1 F1 KG u 1 La notation F1 epésente la foce execée pa m1 su m, et u 1est un vecteu unitaie diigé de 1 ves, est la distance qui les sépae, et KG la constante de gavitation univeselle (=6, m 3.kg -1.s - ). La elation est pafaitement symétique: la foce execée pa m su m 1 possède un module identique, la même diection, mais elle est de sens contaie. Nous etouvons bien ici le pincipe de l action et de la éaction. Il peut ête quelquefois utile de l écie sous la fome : mm 1 F1 KG où M 3 1M Attention, si les masses ne peuvent pas ête considéées comme ponctuelles, c est à die si leu taille n est pas tès petite devant la distance qui les sépae, il ne faut pas applique cette loi. Elle est alos seulement valable si les solides pésentent une épatition de masse à symétie sphéique (cf. gavitation et le théoème de Gauss dans le futu cous d électostatique). Foces

48 8 Foces Coulombiennes (électiques) F 1/ q u 1/ F /1 q1 Foces attactives ou épulsives suivant les signes de q 1 et q F 1/ = q 1 q u 1/ F 1/ = - F /1 Foces magnétiques F q B V F = q V B F = q.v.b.sin( Foces

49 9 1. Foces de Loentz (électique et magnétique) Elles inteviennent losque les paticules sont chagées et sont alos bien plus impotantes que les foces gavitationnelles (~10 40 fois plus gandes pou un poton et un électon). On distingue les foces électiques, ou coulombiennes, qui s appliquent à des paticules au epos, des foces magnétiques qui s ajoutent aux foces électiques losque les paticules sont en mouvement elatif. Foce électique L expession de la foce essemble étangement à celle de la foce gavitationnelle, mais la foce peut-ête attactive ou épulsive suivant le signe des chages. 1 qq 1 F1 u Cette expession est valables dans le vide, q 1 et q, sont les chages expimées en Coulomb et 0 est une constante qui est eliée pa la elation 0 0c 1 à la peméabilité magnétique du vide 0 ( 0 =410-7 S.I) et à la vitesse c de la lumièe (c=, m/s), ce qui donne 1 0 8, ( SI. ) Aute valeu utile: 0. L unité la plus utilisée est le Faad/mète (F/m). 9 1/ F/m Comme nous le veons plus loin pou la foce gavitationnelle, il est commode de défini un champ électique. En considéant l action de q1 su q : F1 qe avec 1 q 1 E u Foce magnétique Losque les paticules sont en mouvement, une foce dite magnétique s ajoute à la foce électique. Elle se déduit totalement de la foce électique pa application des tansfomations elativistes et s écit pou une chage q : F q V B Où B est le champ magnétique expimé en Tesla (T) et V la vitesse de la chage. La foce magnétique est donc en pemanence pependiculaie à la vitesse de la chage. En assemblant la foce électique et la foce magnétique : F q ( E V B) Foce faible Elle agit à coute distance, à l échelle atomique. Elle égit les inteactions ente matièe et neutinos et les modes de désintégation des noyaux instables. Elle pemet la convesion de l hydogène en hélium qui est la souce d énegie pincipale des étoiles, donc de note soleil. Foces

50 30 Fottements solides R R N Fottement "statique" pas de mouvement elatif ente les cops en contact: masse (m) et suppot identiques est connu et le plus souvent nul R T s R k N le sens de R T est à pioi inconnu, ésoude: F=m R T Suppot - inclinaison éventuelle - accéléation éventuelle m Foce éventuelle Fottement dynamique mouvement elatif (glissement) ente les cops en contact: R T d R k N - R T est toujous opposé à la vitesse elative masse/suppot - ésoude: F=m masse m Foces

51 Foce fote De tès tès coute potée, elle assue pa exemple la cohésion du noyau, sinon il seait instable sous l effet des foces coulombiennes épulsives, ca les chages sont toutes positives (potons). Ces deux denièes foces sotent de note cade et seont étudiées plus tad.. Foces de contact Ces foces ne sont pas de nouvelles foces, elles ne sont que la manifestation macoscopique des 4 foces fondamentales (électique en paticulie). Il est beaucoup plus commode pou solides en inteaction de considée la foce ésultante plutôt que d ajoute les innombables inteactions ente les atomes et molécules qui les constituent! Nous veons ici : les foces de fottement solides les foces de fottement visqueux la poussée d Achimède les foces de tension (essots ).1 Fottement solide (ou fottement sec ou loi de Coulomb) Deux cas doivent ête envisagés suivant que les solides sont immobiles l un pa appot à l aute, ou en mouvement elatif. Solides sans glissement elatif (immobiles l un pa appot à l aute) Si une masse m est posée su un suppot (pa exemple une table hoizontale, ou inclinée), le suppot exece une foce su m, foce appelée aussi éaction ( R ). Il est tès utile de décompose cette éaction en une composante RN nomale aux sufaces en contact, et une composante tangentielle R T appelée foce de fottement. R RN RT Les lois du fottement nous appennent que l absence de glissement (mouvement elatif) n est possible que si le appot de la composante tangentielle R T à la composante nomale R N ne dépasse pas une cetaine valeu appelée coefficient de fottement statique k s. R k R Condition de fottement statique (pas de mouvement elatif) T s N Losque le appot RT R N augmente, le système ne pésente aucun glissement elatif tant qu il est inféieu à k s. La valeu k s est donc la valeu maximum de ce appot. Losque ce appot atteint (puis dépasse) k s le système pésente un glissement (elatif). NB : La suface esponsable de la éaction est souvent immobile, mais ce n est pas une condition obligatoie pou applique la ègle ci-dessus. Un objet peut ête pa exemple posé su une table vibante, ou su une voitue en accéléation (cas classique du bouchon d essence, quand ce n est pas le potefeuille!). Pou ésoude le poblème, il faut alos que cette accéléation soit connue, et applique le PFD à la masse de l objet. Foces

52 3 Fottement solide: exemple, suppot plan hoizontal fixe R R T R N F R T k s R N k d R N Immobile R T =F Pente 1 k s R N En mouvement m= F - k d R N F Dans ce cas paticulie, R N = mg = Cte mg s d R N Les angles de fottement s et d sont quelque fois donnés à la place des coefficients de fottement k s et k d. Les elations sont évidentes: tg ( s )= k s tg ( d )= k d k s R N (F=0) L angle de la éaction dépend de F, sa valeu maximale est s k d R N R N L angle de la éaction ne dépend pas de F Foces

53 33 Solides en mouvement elatif (glissement l un pa appot à l aute) Nous etouvons les mêmes notions, mais avec une condition difféente su les composantes. Losqu il y a glissement, un coefficient de fottement dynamique k d est défini, et les composantes espectent cette fois une égalité : RT kd RN Dans le cas d un glissement (mouvement elatif) De plus le sens de RT, foce de fottement, est toujous opposé à celui du mouvement de la masse m, mouvement elatif au suppot bien entendu. Ce coefficient dynamique est généalement inféieu au coefficient statique. Quelques valeus de coefficients : Coefficient statique k s Acie / acie 0, Bois / bois 0,3 Ganitue de feins / acie 0,45 Caoutchouc / bitume 0,60 Coefficient dynamique k d Ces notions coespondent bien sû à une modélisation simple des fottements; dans la éalité, ils peuvent avoi un compotement beaucoup plus complexe. Illustation Soit le cas simple d un solide en contact avec une suface hoizontale immobile. Soumettons le à une foce hoizontale F. Que le solide soit immobile ou en mouvement l analyse des foces monte immédiatement que suivant l axe vetical: RN mg La éaction nomale est donc constante et indépendante de F. Appliquons une foce hoizontale F coissante. Au début le solide ne bouge pas, donc la somme des foces hoizontales est nulle et pa conséquent : R F T Ceci est vai tant que RT kr s N soit RT kmg s. Au delà de cette valeu, le solide se met en mouvement et : RT kmg d (et nous pouvons aussi ajoute, F kdmg m) Ce qui est cuieux, c est le décochement de la éaction tangentielle du au fait que kd ks. C est pou cela que les constucteus automobiles équipent les véhicules de systèmes antiblocages : une oue qui ne glisse pas épond aux conditions du fottement statique (pas de glissement), tandis que si elle est bloquée, elle elève du fottement dynamique, plus faible (et en plus elle n assue plus son ôle de guidage). En épétant l analyse su un plan incliné (montagnad muni de ses chaussues "Vibam " su un oche incliné), il appaaît que, losque la glissade commence, elle est tès difficile à enaye, ca le coefficient de fottement diminue ( k s k d ) dès que la glissade commence. L execice su le papie est conseillé avant l expéimentation. Foces

54 34 Fottement visqueux (fluides): taînée et potance Potance Tainée = F f Aile d avion, voile V Dans ce cous, le "point" matéiel sea supposé sphéique et sans mouvement pope: la potance est nulle La taînée est: de même diection et de sens opposé à la vitesse Fottement visqueux (fluides) V 1,E-06 Fottement dans un fluide (sphèe dans l'ai: S=1m, =1,3kg/m3, =.10-5 Pa.s, Cx=0,5) m u f(v) 1/CxSV F Foce (N) 5,E-07 6RV F= -f(v) u 0,E+00 0,E+00 1,E-03,E-03 Vitesse (m/s) NB: cetains ouvages appellent visqueux uniquement le égime linéaie, d autes englobent dans visqueux tous les égimes: linéaie, intemédiaie, tubulent Foces

55 35. Fottement visqueux (avec des fluides) Ce fottement s applique à un solide se déplaçant dans un milieu liquide ou gazeux, donc dans un fluide. Le poblème est identique pou un objet fixe dans un fluide en mouvement et pou un objet mobile dans un fluide en mouvement. C'est la vitesse elative V qui compte. La foce execée pa le fluide a toujous une composante opposée à la vitesse qui s'appelle la taînée. Si le cops qui se déplace ne pésente pas, dans la diection de la vitesse, un aspect symétique, une composante pependiculaie à la vitesse existe, qui s'appelle la potance et pemet ente autes aux voilies d'avance et aux avions de vole. Dans ce cous nous ne paleons que de la taînée. La foce execée pa le milieu su la masse m a toujous même diection que la vitesse, mais elle est toujous de sens opposé : F bv. A faible vitesse, le coefficient b peut ête f considéé comme constant, mais ce n est plus vai losque la vitesse dépasse un cetain seuil. Vitesse faible (égime laminaie) F kv f où est la viscosité du milieu (Pascal.seconde ou Poiseuille), indépendante de la vitesse k n est pas fonction de la vitesse, mais de la géométie du système, et sa dimension est une longueu. La foce est donc popotionnelle à la vitesse (égime linéaie). (Pa.s ou Poiseuille) Ai (P atm.) 1, Eau 1, Huile olive 0,1 Huile moteu SAE 0,3 Glycéine 1,5 Ces valeus sont données à tempéatue ambiante, la viscosité des gaz augmente avec la tempéatue, et celle des liquides diminue. Dans le cas paticulie d une sphèe de ayon R, k 6 R et pa conséquent : F 6RV f Vitesse élevée (égime tubulent) F f 1 C SVV x Cx est le coefficient de pénétation dans l ai ou coefficient de taînée (qui a donné son nom à une voitue), S la suface appaente du mobile dans le plan pependiculaie au mouvement, et la masse volumique du fluide. La foce vaie donc comme le caé de la vitesse (égime quadatique). Il est tès utile de la mette sous la fome : 1 F C SV u f x ou u est un vecteu unitaie oienté dans le sens du déplacement : le module de la foce CS V est ainsi sépaé de sa diection et de son sens donnés pa u. 1 x Foces

56 36 Poussée d Achimède F Achimède =.Volume.g.k La foce s applique au cente de masse F k Et si une patie du volume est émegé (icebeg )?? G Volume g Poussée ves le haut de la pat du fluide supéieu alos que le ésultante des foces de pession de ce fluide supéieu est manifestement diigé ves le bas A médite. Deux pistes: - etoune à l hydostatique - effectue une sépaation fictive à la suface Foces

57 37 C x (sans dimension) Caé, disque 1,1 Cycliste 0,8 à 1,1 Sphèe 0,51 Voitue 0,3 à 0,5 Aile d avion 0,01 Tansition vitesse faible/ vitesse élevée La tansition de la loi vitesse faible à celle de la vitesse élevée n est pas nette, et il y a toute une zone où il est difficile de pédie le type de foce, zone qui dépend fotement des conditions expéimentales. Pou avoi une idée, nous pouvons calcule la vitesse V e pou laquelle les types de foces sont égaux. Dans le cas paticulie d une sphèe : => 1 CS x Ve 6 RVe V e 1 CR Si V V, la foce est linéaie (égime laminaie). e x Si V Ve, la foce est quadatique (égime tubulent). Pou l ai comme pou l eau, et pou un diamète de 1m, cette vitesse est inféieue au millimète pa seconde. Autant die que, dans la vie de tous les jous, même si nous n avons pas spécialement la fome d une sphèe, nous subissons toujous une foce en V. Pa conte pou le bouillad, dont le diamète des gouttes est de qq. micomètes, vous monteez facilement que la foce est popotionnelle à la vitesse, et vous obtiendez une vitesse de chute tès faible..3 Poussée d Achimède (liquides et gaz) Tout cops plongé dans un liquide essot mouillé! Non ce n est pas cela la loi d Achimède d autant que cette affimation n est pas toujous vaie : le canad essot sec de l eau, et la plaquette de silicium tempée dans de l acide fluohydique essot sans tace d acide! Poussée d'achimède: tout cops plongé dans un fluide est soumis à une foce veticale, diigée ves le haut, égale au poids du liquide déplacé : F Vol g k A. est la masse volumique du FLUIDE, Vol le volume du SOLIDE, g l accéléation de la pesanteu et k un vecteu diigé ves le haut, suivant la veticale. En toute igueu, le solide doit avoi un volume tès petit pou que g soit constant, ce qui sea le cas dans tous les cas qui nous conceneont. La foce s applique alos au cente de masse du solide. La démonstation de la poussée d'achimède est aisée à pati de la connaissance des foces de pession hydostatique, en penant soin, pou simplifie, de pende un cube ou un cylinde! Foces

58 38 Foces de tension l 0 l F u u x F = - k (l-l 0 ) u F F F = - k x u x ou l-l 0 k Foces

59 39.4 Foces de tension Un fil élastique, un essot, une lame que l on plie execent une foce. Cette foce est en pemièe appoximation popotionnelle à leu allongement, ou à l amplitude de leu défomation. Ressot Dans cette appoximation linéaie, un essot exece une foce qui véifie : F k( ll ) u 0 k se nomme la aideu du essot, l 0 est sa longueu au epos c'est à die losqu aucune foce n'est execée pa le essot, et l la longueu apès allongement ; u est un vecteu unitaie dans la diection du essot, oienté de son point de fixation ves le point où il exece la foce. Cette elation est algébique, et valable si l l0, dans la mesue où le essot peut ête compimé bien sû, c est à die si les spies qui le composent sont non jointives au epos. Attention: l expession F kl ( l0) est fausse, aussi bien en module qu en diection. la longueu l 0 est la longueu du essot losqu il n exece aucune foce, ce n est généalement ni sa longueu à l'équilibe, ni celle qu'il possède au moment du dépat de l expéience! Pa exemple si une masse est suspendue à un essot et oscille, l 0 ne coespond pas à sa longueu pou la position d équilibe. Lame de essot : F kxu où x est la défomation et u est oienté suivant les x positifs. Les signes moins qui appaaissent chaque fois taduisent une notion de appel : losque le essot s éloigne de la position où il exece une foce nulle, la foce "appelle" le essot ves sa position d équilibe. Tension d'un fil de masse négligeable. Losqu'un fil est tendu, on pale de sa tension. Elle a toujous la diection du fil. Son module est constant su toute la longueu du fil. Pou le pouve, il suffit d'isole un élément de fil. Si les foces aux deux extémités de cet élément ne sont pas égales et opposées, la ésultante est non nulle, et son accéléation seait alos infinie puisque sa masse est nulle! Elle n'a pas de sens a pioi: si un fil est cassé, il fauda foces égales et opposées pou épae cette coupue. Ce qui a un sens, c'est la foce que le fil exece su une masse, sens pafaitement évident puisqu'un fil ne peut pas pousse, mais seulement tie: c'est du "bon sens". Une poulie, de masse négligeable, fait "toune" la foce execée pa un fil, la tension du fil est inchangée. Le aisonnement est sensiblement identique au pécédent. Foces