Cours de mécanique du point

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1 Univesité Joseph Fouie Genoble 1 Licence 1èe année Cous de mécanique du point ème édition d d Vd dv M O d Gilbet VINCENT

2 Avetissement. Les figues doivent ête à gauche (pages paies) en egad des pages coespondantes (impaies), situées à doite, qui suppotent le texte. Les figues ne sont pas éféencées dans le texte, mais dans la quasi totalité des cas, elles coespondent au texte de la page en egad. L auteu se fea un plaisi de vous envoye la vesion Wod (.doc) su simple demande

3 SOMMAIRE

4 SOMMAIRE Intoduction I. Pincipes fondamentaux de la dynamique II. III. IV. Foces Cinématique Moments V. Tavail. Enegie cinétique VI. VII. VIII. IX. Enegie potentielle et mécanique Collisions ( points) Gavitation Poblème des cops X. Poblème des cops: ésolution XI. XII. Changement de éféentiel (epèe) Réféentiels non Inetiels (non Galiléens) Bibliogaphie CE COURS EST SUR INTERNET On touvea aussi su ce site quelques pages supplémentaies: Compléments et execices (Voi le détail en fin de polycopié) Maée océanique (Conseillé pou ne pas coie à la socelleie) Pendule de Foucault Gyoscope

5 I I. PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA DYNAMIQUE 5 1. QUANTITE DE MOUVEMENT: DEFINITION 5. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE: PFD 5 3. PRINCIPE DE L ACTION ET DE LA REACTION 7 4. APPLICATION: INTERACTION ENTRE CORPS ISOLES 7 5. CONSEQUENCE: LES TROIS LOIS DE NEWTON Du PFD aux deux pemièes lois de Newton 9 5. Enoncé des tois lois 9 6. CONDITION DE MASSE CONSTANTE APPLICATION DES LOIS DE NEWTON. CENTRE DE MASSE CONDITIONS D'APPLICATION DU PFD Réféentiels, epèes et systèmes de coodonnées Réféentiel Inetiel (ou Galiléen) Ensemble de éféentiels Inetiels (ou Galiléens) RESUME 19 ANNEXE 1 : MASSE CONSTANTE. LECTURE FIL ROUGE. CENTRE DE MASSE ET FORCES EXTERIEURES. 1 ANNEXE : MASSE NON CONSTANTE, LECTURE FIL ROUGE 3 A/ Pincipe fondamental et ème loi de Newton 3 B/ Foce et accéléation 3 C/ PFD et foce nulle 3 D/ Execice de difféentiation : cente de masse et pincipe fondamental 5 E/ L addition, ça caint!!!!! 5 p (t+) F. p (t)

6 II II. LES FORCES 7 1. FORCES D INTERACTION A DISTANCE Foce gavitationnelle 7 1. Foces de Loentz (électique et magnétique) 9 Foce électique 9 Foce magnétique Foce faible Foce fote 31. FORCES DE CONTACT 31.1 Fottement solide (ou fottement sec ou loi de Coulomb) 31 Solides sans glissement elatif 31 Solides en mouvement elatif 33 Illustation 33. Fottement visqueux 35 Vitesse faible 35 Vitesse élevée 35 Tansition vitesse faible/ vitesse élevée 37.3 Poussée d Achimède (liquides et gaz) 37.4 Foces de tension 39 Ressot 39 Lame de essot : 39 Tension d'un fil de masse négligeable. 39 R R N R T

7 III III. CINEMATIQUE INTRODUCTION 41. DEFINITION DES VECTEURS POSITION, VITESSE ET ACCELERATION 41.1 Position 41. Vitesse 43.3 Accéléation DIFFERENTIELLE D'UN VECTEUR ET DERIVEE Difféentielle d'un vecteu unitaie dans un plan / déivée Difféentielle /Déivée d'un vecteu unitaie dans l'espace Difféentielle d'un vecteu quelconque: conclusion VECTEURS DANS LES DIFFERENTS SYSTEMES DE COORDONNEES Coodonnées catésiennes Coodonnées cylindiques (et polaies) Coodonnées sphéiques Coodonnées cuvilignes, ou epèe de Fenet CONCLUSION 69 ANNEXE: DIFFERENTIELLES DE SCALAIRES, VECTEURS u 1 du O u

8 IV IV. MOMENTS. THEOREME DU MOMENT CINETIQUE. APPLICATION : MOUVEMENT A FORCE CENTRALE MOMENT D'UNE FORCE 71. MOMENT CINETIQUE THEOREME DU MOMENT CINETIQUE APPLICATION : MOUVEMENT A FORCE CENTRALE EXTENSIONS : COUPLE, ET MOMENT PAR RAPPORT A UN AXE Moment d'un couple Moment pa appot à un axe CONCLUSION 77 L(t+) L(t) m f.

9 V V. TRAVAIL, PUISSANCE, ENERGIE CINETIQUE TRAVAIL D UNE FORCE Définition difféentielle Tavail su un pacous Exemple Cas tès paticulie de la foce constante 81. PUISSANCE ENERGIE CINETIQUE THEOREME DE L ENERGIE CINETIQUE ENERGIE CINETIQUE: OUVERTURE RELATIVISTE 85 A F dl B

10 VI VI. ENERGIES POTENTIELLE ET MECANIQUE FORCES CONSERVATIVES ET NON CONSERVATIVES Foces consevatives Foces non consevatives (dissipatives) 87. ENERGIE POTENTIELLE (FORCES CONSERVATIVES SEULEMENT) FORCE ET ENERGIE POTENTIELLE TRAVAIL ET ENERGIE POTENTIELLE ENERGIE MECANIQUE THEOREME DE L ENERGIE MECANIQUE SYSTEMES NON DISSIPATIFS Popiété Diagamme d énegie et états liés Etats libes et liés. Conditions d équilibe UTILISATION DE L ENERGIE POTENTIELLE ET DU TRAVAIL 99 A 1 B

11 VII VII. COLLISIONS INTRODUCTION 101. CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT DIMENSIONS DE LA COLLISION RELATION ENTRE LES VITESSES (MASSES CONSTANTES) COLLISIONS ELASTIQUES (CONSERVATION DE Ec) Popiétés Collision élastique de deux masses identiques dont une est immobile Collision élastique diecte Collision élastique diecte avec une masse immobile COLLISION INELASTIQUE (NON CONSERVATION DE Ec) COLLISIONS ET REPERE LIE DU CENTRE DE MASSE Cas généal Collision élastique Collision totalement inélastique (encastement) Changement de epèe 113 p 1 p p 1

12 VIII VIII GRAVITATION FORCES DE GRAVITATION 115. CHAMP DE GRAVITATION POIDS D UN OBJET Analyse du poids Bilan ACCELERATION LOCALE DE LA PESANTEUR TRAVAIL ET ENERGIE POTENTIELLE (R>RT) 11 F F gav.

13 IX IX. PROBLEME DES DEUX CORPS LES DEUX CORPS (PONCTUELS, OU A SYMETRIE SPHERIQUE) 13. QUANTITE DE MOUVEMENT CENTRE DE MASSE PROPRIETES DU CENTRE DE MASSE Quantité de mouvement Accéléation du cente de masse REPERE GALILEEN LIE A AU CENTRE DE MASSE APPLICATION DU PRINCIPE FOND. DE LA DYNAM. DANS GXYZ MOMENT CINETIQUE THEOREME DU MOMENT CINETIQUE Application du théoème Conséquence : mouvement dans un plan ENERGIE CINETIQUE DU SYSTEME TRAVAIL DES FORCES GRAVITATIONNELLES ENERGIE POTENTIELLE ENERGIE MECANIQUE 135 V G V 1

14 X X. PROBLEME DES DEUX CORPS: RESOLUTION EQUATIONS DE DEPART 137. TRAJECTOIRE MOUVEMENT CIRCULAIRE ELLIPSE Relations ente les paamètes géométiques de l ellipse Loi des aies et paamètes de l ellipse Lois de Keple (ellipse) Equation hoaie ENERGIES ORBITES ET CONDITIONS INITIALES Paamètes de la conique Obite elliptique Obite paabolique ou hypebolique Enegies, vitesse de libéation (paabolique) et type d obite SYNTHESE 157 La vitesse V 0 coît Tee V 0 0 Cecle

15 XI XI. CHANGEMENT DE REFERENTIEL (REPERE) DEFINITIONS Repèe absolu Repèe elatif Mouvement d'entaînement But du jeu 161. COMPOSITION DES POSITIONS, VITESSES, ACCELERATIONS Position 161. Vitesse Accéléation CHANGEMENT DE REPERE : CONCLUSION ET RESUME 169 RELATIF ABSOLU

16 XII XII. REPERES NON INERTIELS (NON GALILEENS) INTRODUCTION 171. EXEMPLE : MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME "FORCE" CENTRIFUGE PSEUDO FORCES PENSER AUTREMENT, PENSER GALILEE Véhicule qui amoce un viage Sens d enoulement des nuages autou des dépessions Maées 175 N

17 -1 INTRODUCTION

18 0 "Point" matéiel et mécaniques Dimensions petites à l échelle du poblème envisagé (énegie pope de otation négligeable) sinon mécanique du solide gandes devant les dimensions atomiques sinon mécanique quantique Vitesse petite compaée à la vitesse de la lumièe ( m/s) sinon mécanique elativiste

19 1 Intoduction La mécanique pésentée ici concene exclusivement la mécanique du point. Patiquement elle concene les objets matéiels dont l extension spatiale est tès faible: leus défomations et l énegie liée à leu mouvement pope de otation peuvent ainsi ête négligées devant les énegies mises en jeu. Cependant un objet aussi volumineux que la tee ou le soleil peut dans cetains cas ête assimilable à un point en ce qui concene, pa exemple, son action su des cops dans son entouage. Nous n étudieons pas de systèmes de tès petites dimensions, à l échelle atomique, domaine pou lequel il a été monté il y a un siècle que les notions de mécanique classique doivent ête emplacées pa celles de mécanique quantique. De même la mécanique elativiste sot du cade de cette pésentation et nous n envisageons que des mobiles dont la vitesse est faible devant celle de la lumièe (mécanique "classique"). Toutefois le pincipe fondamental de la dynamique sea donné dans le cade elativiste, son expession étant tès simple à pati de la quantité de mouvement, et nous en déduions les elations classiquement utilisées que sont les lois de Newton. Nous supposeons qu'un temps unique peut-ête défini en tout point de l'espace, et que les longueus, masses, temps, et foces sont invaiantes los d'un changement de éféentiel. La mécanique du point n exclut pas la mécanique des points et nous auons de nombeuses fois l occasion d évoque le compotement de plusieus cops en pésence et d en défini cetaines popiétés comme le cente de masse et la quantité de mouvement. La but visé est de pouvoi elie le mouvement d un cops aux foces qui lui sont appliquées. Pou cela, il nous fauda elie les foces (la foce extéieue ésultante) à l accéléation F, c est le pincipe fondamental de la dynamique. Ensuite, nous appendons à elie l accéléation à la vitesse et à la position, opéations mathématiques egoupées sous le nom de cinématique V OM Nous seons ainsi capables de décie le mouvement à pati de la foce appliquée, et invesement de déduie la foce si la tajectoie est connue : F OM

20 Contenu - Chapites Pincipes fondamentaux Foces Cinématique Moments Tavail Potentiel Collisions Gavitation Deux cops + ésolution Changements de epèes Repèes non Galiléens Bases physiques 1 mathématique Compléments 1 vectoiel scalaies Applications Extensions LETTRES GRECQUES alpha nu bêta xi ou ksi gamma omicon delta pi epsilon hô zêta sigma êta tau thêta upsilon iota phi kappa chi ou khi lambda psi mu oméga

21 3 Dans ce but, nous envisageons successivement : les pincipes de base de la dynamique du point l analyse des foces les plus couantes l at de epée les objets et la cinématique A pioi, ces connaissances sont suffisantes pou éponde à l objectif visé. Cependant, d autes notions peuvent simplifie gandement cetaines ésolutions et nous étudieons : le moment d une foce et le moment cinétique le tavail et l énegie cinétique les énegies potentielles et mécaniques Suivont des applications pou pécise ces notions : collisions ente deux cops gavitation poblème des deux cops ésolution du poblème des deux cops Enfin, deux chapites viendont étoffe nos connaissances de mécanique. S ils sont pésentés en denie, c est qu ils ne sont pas indispensables mais peuvent cependant accélée l'écitue des équations, et pésente les pincipes de la mécanique sous un aute aspect: changement de epèe epèes non Galiléens Pou alle plus loin Des phénomènes supenants, elevant ou pouvant eleve de la mécanique du point, mais nécessitant une analyse un peu plus complexe que celui de ce cous, sont pésentés su un site intenet. Ce sont, pa ode de difficulté coissante : les maées le pendule de Foucault le gyoscope et difféents compléments Adesse (à véifie, évolution possible):

22 3 PRINCIPES Pincipes fondamentaux

23 4 I. PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA DYNAMIQUE QUANTITE DE MOUVEMENT: DEFINITION PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE: PFD PRINCIPE DE L ACTION ET DE LA REACTION APPLICATION: INTERACTION ENTRE CORPS ISOLES CONSEQUENCE: LES TROIS LOIS DE NEWTON Du PFD aux deux pemièes lois de Newton Enoncé des tois lois CONDITION DE MASSE CONSTANTE APPLICATION DES LOIS DE NEWTON. CENTRE DE MASSE CONDITIONS D'APPLICATION DU PFD Réféentiels, epèes et systèmes de coodonnées Réféentiel Inetiel (ou Galiléen) Ensemble de éféentiels Inetiels (ou Galiléens) RESUME ANNEXE 1 : MASSE CONSTANTE. LECTURE FIL ROUGE. CENTRE DE MASSE ET FORCES EXTERIEURES... 1 ANNEXE : MASSE NON CONSTANTE, LECTURE FIL ROUGE... 3 A/ Pincipe fondamental et ème loi de Newton... 3 B/ Foce et accéléation... 3 C/ PFD et foce nulle... 3 D/ Execice de difféentiation : cente de masse et pincipe fondamental de la dynamique... 5 E/ L addition, ça caint!!!!!... 5 Pincipe fondamental de la dynamique (PFD) Définition Quantité de mouvement m V PFD dp/ p = mv F ou (mieux) PFD p (t+) F. p (t) dp = F. Pincipes fondamentaux

24 5 I. Pincipes fondamentaux de la dynamique Ce chapite va pose les elations fondamentales su lesquelles se constuia toute la mécanique. Les lois seont données sous fome vectoielle. C'est une manièe élégante et commode pou expime un gand nombe de elations physiques. Cette fomulation évite de faie éféence à un epèe paticulie. Ceci suppose un espace Euclidien et isotope, c'est à die qui a les mêmes popiétés dans toutes les diections. Tout ce qui sea fait ultéieuement consistea à tie les popiétés de ces elations fondamentales, à les expime de manièe vectoielle ou scalaie, et aussi à défini de nouvelles gandeus en s appuyant su des outils mathématiques. 1. Quantité de mouvement: définition La quantité de mouvement va pende une place essentielle dans note appoche de la mécanique. Beaucoup de phénomènes s'éclaient si on compend bien sa signification vectoielle, et l effet des foces su sa valeu. On dénomme p la quantité de mouvement. C'est le poduit de la masse m pa la vitesse V p mv QUANTITE DE MOUVEMENT Son nom est bien choisi: la quantité de mouvement augmente avec la masse et la vitesse: imaginez un ugbyman en pleine vitesse! Elle s'expime en kg.m.s -1 et n'a pas d'unité dévolue.. Pincipe fondamental de la dynamique: PFD La définition de la quantité de mouvement nous pemet de donne l'énoncé exact du pincipe fondamental de la dynamique. Cette elation est valable dans un éféentiel Galiléen qui sea défini plus loin. Le voici tout d abod sous sa fome difféentielle : dp F PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE (PFD) ce qui signifie que la vaiation de la quantité de mouvement est égale : au poduit de la foce extéieue appliquée pa le temps pendant lequel elle s'applique. A médite, voi l exemple du ugbyman. Le pincipe fondamental de la dynamique sea souvent écit en abégé PFD. Pincipes fondamentaux

25 6 PFD à nouveau et à médite p (t+) F. p (t) PFD cas tès paticulie d une foce constante p (t1) F.(t 1 -t 0 ) p (t0) Pincipes fondamentaux

26 7 Cette elation peut aussi ête écite sous la fome d une déivée. dp F PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE (PFD) Remaque : si plusieus foces sont appliquées à la masse m, c est leu somme vectoielle qui sea pise en compte pou F. Cette somme vectoielle pote le nom de ésultante des foces. 3. Pincipe de l action et de la éaction (ou opposition des actions écipoques): Quand cops inteagissent, la foce F1 execée pa le pemie cops su le second est égale et opposée à la foce F1 poduite pa le second su le pemie. F F NB : la flèche su le teme de doite n est pas obligatoie, ca un vecteu nul n a ni diection ni sens. Elle est uniquement là pou insiste su le fait qu un vecteu ne peut ête égal qu à un vecteu. 4. Application: inteaction ente cops isolés A ce stade, nous pouvons déjà taite un cas paticulie qui implique deux points matéiels. Nous supposeons qu'il n'y a aucune foce extéieue en jeu. Seules agissent les foces intéieues, c'est à die les foces d'inteactions mutuelles ente ces deux points matéiels (foces gavitationnelles, électiques, contact ) : le système est dit isolé. Les foces F1 (de 1 su ) et F1 (de su 1) sont en accod avec la toisième loi: F F O selon la loi fondamentale de la dynamique : dp1 F 1 dp F 1 dp dp ( F F ) 0 Donc soit, en définissant pa p la quantité de mouvement totale : p p p 1 dp dp0 (fome difféentielle) ou 0 Conclusion : p Cte (en fonction du temps) (fome déivée). Pincipes fondamentaux

27 8 Pincipe fondamental appliqué à la tajectoie balistique: F mg Cte y mv 0 mg.( t t ) 1 0 mv 0 mg.( t t ) 0 j t 0 mv 0 i t 1 t mv 0 t 3 mg.( t t ) 3 0 x La composante hoizontale de la quantité de mouvement ne vaie pas Les équations suivent: d( mv ) mgmd(v i V j ) mg jdv 0etdV g x y x y 5. Enoncé des 3 lois de Newton Les 3 lois de Newton 1 èe loi : foce nulle => vitesse constante Tajectoie = doite Je ne suis soumis à aucune foce V = Cte ème loi : F = m m F 3 ème loi : F 1/ = -F /1 F 1/ NB: les foces sont de plus pot ées pa une même doite m 1 m F /1 Foces: attactives ou épulsives Pincipes fondamentaux

28 Nous pouions facilement généalise ce aisonnement à N cops et nous etiendons donc que: Pou un système isolé, la quantité de mouvement totale este constante au cous du temps Application patique : collision ente masses. Il seait déjà possible de ésoude le poblème de véhicules enchevêtés, apès collision en négligeant l action des foces extéieues. La conclusion seait: de l utilité d ête "gos". 5. Conséquence: les tois lois de newton Elles n appotent ien de plus que les lois pécédentes, et sont même plus estictives, mais elles ont eu une gande impotance histoique puisqu elles ont égi la mécanique, de Newton jusqu au début du 0 ème siècle Du PFD aux deux pemièes lois de Newton Les deux pemièes lois de Newton sont déivées du PFD et ne sont valables que si la masse m est constante. Repenons le PFD : dp F avec : p mv Si la masse m est constante : dmv ( ) mdv NB: si la difféentielle pose un poblème, voi l'annexe située en fin du chapite cinématique Donc : mdv F Plus connu sous la fome : F m où dv est l accéléation ( ) Ceci constitue la deuxième loi de Newton. La pemièe loi ( F 0V Cte ) se déduit immédiatement de F m : si la foce est nulle, l accéléation est elle aussi nulle, et donc la vitesse V est constante, ca dv 0 5. Enoncé des tois lois Nous donnons l'énoncé des lois en langage actuel, vous touveez dans le Peez pa exemple l'écitue de l'époque. Pemièe loi (pincipe d'inetie) : Un cops su lequel n'agit aucune foce gade une vitesse constante (ou este au epos) F 0 => V Cte 1 èe loi Pincipes fondamentaux

29 10 Cente de masse: foces intéieues et extéieues Système étudié : m 1, m, en pésence d un toisième cops m F 1/ F ex F /1 m 1 F ex1 Pincipes fondamentaux

30 Deuxième loi (ancienne loi fondamentale de la dynamique) : La foce totale F appliquée à un cops est égale au poduit de sa masse m pa son accéléation F m ème loi Toisième loi (opposition des actions écipoques, énoncée pécédemment): F F 0 3 ème loi 1 1 Remaque: La pemièe loi se déduit de la seconde, et n est pas a pioi tès utile. Mais c'est l'histoie qui distingue ces deux lois ca la pemièe loi peut ête attibuée à Galilée. Elle n'est pas tiviale ca d Aistote à Galilée, on pensait que s'il n'y avait aucune foce appliquée, le cops s'aêtait ou, de manièe un peu équivalente, que la foce était popotionnelle à la vitesse. Cette idée fausse povient de l'expéience commune jounalièe, où tout s'aête si le mouvement n est pas entetenu, à cause des fottements inévitables. Retenons que la deuxième loi de Newton est une loi appochée du pincipe fondamental de la dynamique. Elle n est valable que losque la masse est constante ( dm 0 ), ce qui n'est le cas : - ni pou les vitesses qui se appochent de celle de la lumièe, ca tout se passe comme si la masse devenait alos une fonction tès sensible de la vitesse (voi le chapite Enegie cinétique) - ni, disent cetains auteus, pou des objets dont la masse évolue au cous du temps pa accétion (la goutte d'eau qui gossit) ou éjection (la fusée); en fait là, il ne faut pas applique diectement le PFD, et ête tès pudent, ca il y a difféentes masses en inteaction.. 6. Condition de masse constante Dans la suite du cous la masse sea supposée constante m Cte dm 0 Nous donnons toutefois en annexe quelques popiétés du PFD losque la masse n est pas constante, et, dans les chapites suivants, chaque fois qu'une popiété sea valable pou une masse non constante, nous le signaleons Application des lois de Newton. Cente de masse Un système (solide, nuage, chat) peut ête considéé comme la somme de "points " matéiels. Su chaque point epéé pa l indice i, s'appliquent des foces extéieues de ésultante ( ), et l'action de toutes les autes masses j du système: essayez avec points (voi figue), puis 3 et généalisez. F i ext n Fji. Si la notation vous ennuie, j1 Pincipes fondamentaux

31 1 Cente de masse (baycente) m 1 m 1 m 3 G O G m m 3 m m 1 GM 1 + m GM + m 3 GM 3 = 0 ou m i GM i = 0 Ne fait pas éféence à un epèe paticulie [m 1 + m + m 3 ] OG = m 1 OM 1 + m OM + m 3 OM 3 [m i ] OG = m i OM i Nécessite la définition péalable d un epèe Le calcul de la position du cente de masse ne fait pas inteveni les foces Pincipes fondamentaux

32 13 Su le point i, de masse m i la deuxième loi de Newton s'applique: n dom i mi ( F) i ext Fj i j1 En décomposant OM i en OG GM i, G étant pou l'instant un point quelconque du système, nous obtenons: n dog dgm i mi m ( ) i F i ext Fj i ou encoe j1 n d OG d mgm i i mi ( F) i ext Fj i j1 En se souvenant que la déivée d'une somme est égale à la somme des déivées, et en effectuant l'addition de toutes les équations individuelles, nous aivons à: n d mgm n i i n n n dog i1 mi ( F) i ext Fj i i1 i1 i1 j1 n m mi epésente la masse totale du système. i1 n n Fjiest nul. Encoe une fois, on peut i1 j1 s'en pesuade en essayant avec masses, puis 3 et en généalisant. Finalement: n d mgm n i i n dog i1 mi ( F) i ext i1 i1 Cette équation seait encoe plus simple en annulant un teme. Ceci est possible ca G est pou l'instant un point quelconque. Définissons le point G de telle manièe que : n mgm i i 0 définition du cente de masse i1 C'est une définition, elle ne fait appel à aucun pincipe. Il vient alos : n n dog mi ( ) Fi ext i1 i1 accéléation du cente de masse (m=cte) c est la deuxième loi de Newton, appliquée au cente de masse. Notons que si la ésultante des foces est nulle, l accéléation du cente de masse est elle aussi nulle, et pa conséquent, sa vitesse est constante. Attention cette elation nécessite que la masse soit constante, ca nous avons appliqué la deuxième loi de Newton. Aute elation de définition du cente de masse : la définition pécédente n est pas tès commode pou calcule les coodonnées du cente de masse. Il est souvent intéessant de éintoduie l oigine O et d opée la tansfomation : n mi( GO OM i) 0 soit : i1 n n mgo mom 0 i i i i1 i1 Pincipes fondamentaux

33 14 Cente de Masse. Cente de gavité G Cente de masse et cente de gavité Ovni Cente de gavité Cente de masse G Ovni Tee Tee L Ovni seait en équilibe su un suppot fictif placé au cente de gavité (calcul compliqué faisant inteveni les foces). Pincipes fondamentaux

34 GO est constant est peut donc ête soti de la sommation : finalement : n mom i i i1 OG n m i1 i n i i1 i1 i 15 n mgo GO m, d où Il peut ête intéessant de positionne O su une des masses pou annule un des vecteus : pou masses, le calcul devient alos paticulièement simple. Ne pas confonde le cente de masse G que nous venons de défini avec le cente de gavité (dommage, la lette G induit en eeu!) Ils ne sont confondus que si le champ de pesanteu est constant en module diection et sens : g su une petite patie de la suface de la tee pa exemple, ou dans un cas de symétie adéquate (voi figue). Si le champ de pesanteu n est pas constant, le cente de gavité dépend de la position et de l oientation du solide. Nous ne feons aucun usage ici du cente de gavité. 8. Conditions d'application du PFD 8.1 Réféentiels, epèes et systèmes de coodonnées. A ce stade, il est utile de pécise la signification de ces notions, souvent mélangées. Réféentiel Une expéience se déoule dans un système matéiel igide qui constitue le éféentiel. Ce peut ête l amphithéâte où se déoule ce cous, un tain, un avion la lune.l obsevateu est couamment lié à ce éféentiel, mais ce n'est pas obligatoie. Repèe Pou epée un mobile dans un éféentiel, il faut défini une oigine fixe, et tois axes fixes dans ce éféentiel. Ils constituent le epèe lié au éféentiel. Les axes ne sont pas focément othogonaux, mais ils ne doivent pas ête coplanaies afin de pouvoi étudie des mouvements à 3 dimensions, cas le plus généal. Système de coodonnées Pou quantifie les mesues, le plus évident consiste à pende un système d axes othonomé lié au epèe qui pemetta de détemine les composantes du mouvement (position, vitesse ) et des foces. Mais ce n est pas la seule possibilité. De nombeux poblèmes sont plus simples en utilisant un système de coodonnées cylindique, sphéique Dans tous les cas il fauda défini une oigine et 3 vecteus unitaies qui définiont les diections des axes. Ces vecteus constituent la base. Attention, cette oigine et les vecteus ne sont pas focément fixe pa appot au epèe. Tout ceci s éclaiea plus tad. Pincipes fondamentaux

35 16 Ensemble de éféentiels Galiléens (ou inetiels) y Y V=Cte V Vitesse expimée dans R m Tajectoie P R, éféentiel en tanslation / R X O R, éféentiel Galiléen connu x m=cte, V=Cte F = d[m(v+v )] => F = d(mv ) PFD dans epèe galiléen R Le PFD est véifié dans R => R Galiléen Pincipes fondamentaux

36 17 8. Réféentiel Inetiel (ou Galiléen) La pemièe et la deuxième loi ne sont valables que losqu'elles sont appliquées dans un éféentiel non accéléé, dit éféentiel inetiel ou éféentiel Galiléen. Mais qu'est-ce qu'un éféentiel non accéléé? Il pouait ête défini pa: c'est un éféentiel dans lequel la pemièe loi, appelée pincipe d inetie, est valable, d où son nom éféentiel inetiel (ou Galiléen). Il faudait alos éalise une expéience, et pouvoi véifie dans ce éféentiel que la vitesse est constante losqu'il n'y a aucune foce appliquée, ce qui n'est pas évident à éalise avec des foces à distance omnipésentes comme la gavitation! Il est en fait plus facile de véifie la deuxième loi dans une expéience qui mette en jeux des foces tès gandes devant les foces de gavitation, les foces électiques pa exemple. Nous nous familiaiseons pogessivement avec ces éféentiels et, pou l'instant, nous esteons pagmatiques et nous admettons que: - pou nos poblèmes locaux et des temps beaucoup plus couts que la jounée, la tee constitue un éféentiel galiléen. - pou des poblèmes mettant en jeux des mouvements ou des temps à plus gande échelle, comme les mouvements des nuages et des satellites, un éféentiel lié au cente de la tee, et des axes liés aux étoiles est coect. - si nous envisageons le mouvement des planètes du système solaie, nous pendons encoe des axes liés aux étoiles, mais avec une oigine liée cette fois au cente de masse du système solaie, qui est quasiment confondu avec le cente du soleil. 8.3 Ensemble de éféentiels Inetiels (ou Galiléens) Si nous connaissons un éféentiel Galiléen R, nous pouvons en défini une infinité. En effet tout éféentiel R' qui effectue une tanslation à vitesse constante V pa appot à R est lui-même un éféentiel Galiléen. Attention : tanslation => vitesse V de l oigine de R constante et absence de otation des axes de R pa appot à R Démonstation: Nous veons que si un objet se déplace à une vitesse V ' dans un epèe R', et si ce epèe R' se déplace pa tanslation à la vitesse V constante pa appot au epèe R, alos la vitesse de l'objet pa appot à R est égale à la somme V V '. Signalons au passage que cette loi d'addition des vitesses qui paaît "évidente" n'est plus vaie en mécanique elativiste! La somme est bien sû vectoielle, V et V ' n'ayant pas focément la même diection ou sens. Pensez au cas simple du passage se déplaçant à vitesse V ' dans un tain (R'), ce tain étant en mouvement ectiligne unifome V pa appot au sol (R). Il peut évidemment se déplace dans le sens du tain, en sens invese en taves saute Pincipes fondamentaux

37 18 Galileo Galilei (8 janv.) Isaac Newton 164 (5 décembe.calendie Anglais) -177 Pincipes fondamentaux

38 19 Le epèe R étant Galiléen, la deuxième loi de Newton s applique à note objet de vitesse V V ' dans R. dv ( V ') dv dv' F mm m m O la vitesse V est constante, donc l'accéléation dv est nulle, et finalement : dv ' F m ou encoe F d( mv ') ce qui veut die que la ème loi est valable dans R', qui est donc bien lui aussi un éféentiel Galiléen. Ainsi si un immeuble peut ête considéé comme un éféentiel inetiel, un ascenseu qui monte à vitesse constante sea lui aussi inetiel. Les foces sont inchangées, dp F est valable et, dans l ascenseu, une bille en chute libe décia une paabole avec une accéléation g. 9. Résumé TOUTE la mécanique du point est basée su deux pincipes (ou lois ) : dp F Pincipe fondamental de la dynamique (PFD) F F Loi de l action et de la éaction (3 ème loi de Newton) La deuxième loi de Newton ( mdv F ou F m ) est un cas paticulie du PFD, losque la masse est constante, et la pemièe loi de Newton se déduit de la deuxième. Dans ce cous, la deuxième loi de newton seait suffisante ca nous supposeons toujous une masse constante. Donc la foce et l accéléation seont toujous colinéaies et popotionnelles. Mais il este souhaitable d utilise la fome, dp F toujous valable, même en mécanique elativiste. Pincipes fondamentaux

39 0 Cente de masse et foce ésultante appliquée (1) M m G M 1 m 1 u 1 m S m m m m m ( m m ) ( m m ) K m ( ) u K m ( ) M M K u d OG G 3 3 G G 1 m 1 m 1 Cente de masse et foce ésultante appliquée () Attaction point-tige L m 1 m 0 G D x F D L / D L Km mdx Kmm Kmm G 1 G 1 G 1 x / L D ( L ) D Pincipes fondamentaux

40 1 Annexe 1 : masse constante. Lectue fil ouge. Cente de masse et foces extéieues. Il ne faut pas exagée les popiétés du cente de masse, même si la masse est constante. Penons l exemple concet du système Tee (masse m 1 ) Lune (m ) su lequel le Soleil (m) exece les foces de gavitation habituelles. Les foces execées pa le Soleil seont donc considéées comme extéieues au système Tee Lune. Il est tentant de simplifie le système, et d étudie le mouvement du cente de masse Tee- Lune (G) en affectant la masse m1 m au cente de masse, et en écivant donc : d OG mm ( 1 m) ( m1m) K G SG (A) 3 Nous allons monte qu il n en est ien : la foce epésentée pa le membe de doite est fausse. Repatons de la deuxième loi de Newton appliquée au cente de masse n n d OG mi ( F) i ext i1 i1 mm mm ( m m ) K SM K SM d OG 1 1 G 3 1 G 3 1 ( m m ) K ( SG GM ) K ( SG GM ) d OG mm1 mm 1 G 3 1 G 3 1 m ( m m ) K m( m mgm mgm ) ( ) d OG G SG K 3 3 Gm Il est facile de monte que (cf. chapite Poblème des deux cops, cente de masse) : m m 1 GM1 M1M GM M1M m m m m D où finalement 1 1 m m mm 1 1 ( m m ) K m( ) SG K m ( ) M M d OG G 3 3 G m1 m 1 mm ( 1 m) La patie de doite epésente la foce appliquée : elle n est donc pas égale à KG, 3 ce qui pouve que la pemièe équation poposée (A) est fausse. Cette denièe équation monte aussi que la foce n est pas diigée suivant SG, puisqu elle pésente une composante suivant M1M : l équation (A) est donc doublement fausse! Pincipes fondamentaux

41 ème Loi Newton Pincipe fondamental de la dynamique (PFD) m tajectoie m (dm/)v m F m F Foce et accéléation colinéaies: tès impotant si l un des deux est connu, l aute s en déduit immédiatement. NB: Beaucoup plus simple avec p (cf. figue PFD) Les accéléations étant difféentes, des foces identiques conduisent à des tajectoies difféentes!? En fait la deuxième loi de Newton est fausse si m n est pas constant. Pincipes fondamentaux

42 3 Annexe : masse non constante, lectue fil ouge A/ Pincipe fondamental et ème loi de Newton Le pincipe fondamental est difféent de la ème loi de Newton F m En effet le pincipe fondamental pemet d écie : dp d( mv) dm dv F V m => dm F V m dp Le pincipe fondamental de la dynamique F et la ème loi de Newton F m diffèent donc pa le teme dm V. B/ Foce et accéléation La deuxième loi de Newton : F m indique que la foce et l accéléation sont colinéaies. Pa conte la elation du paagaphe pécédent, diectement déduite du PFD, implique : dm F V m ce qui pouve que si la masse est vaiable, la foce et l accéléation ne sont généalement pas colinéaies (cf. figue), contaiement à ce que popose la ème loi de Newton. C/ PFD et foce nulle L application diecte du PFD n implique pas que la vitesse soit constante, losque la foce appliquée est nulle. F 0 => dp0 => dmv mdv 0 Sans aute enseignement, c est tout ce que nous pouvons die. Nous pouvons seulement que la vitesse V et sa vaiation dv sont colinéaies, et que les vaiations elatives de la vitesse dv V et de la masse dm sont égales, au signe pès. m En fait, il a été pafaitement établi que si F 0, la vitesse V est effectivement constante. Pincipes fondamentaux

43 4 Pincipes fondamentaux

44 5 D/ Execice de difféentiation : cente de masse et pincipe fondamental de la dynamique Fausse valeu de la quantité de mouvement Pou expime le PFD dans toute sa généalité, attention à ne pas pende comme quantité de mouvement celle qui est égale à la somme des masses multipliée pa la vitesse du cente de masse, eeu classique. Nous l'appelleons p '. Pou simplifie, penons masses: p ' ( m1m) V G Nous allons monte que cette gandeu p ' est difféente de la quantité totale de mouvement dont la définition exacte est: p p1 p mv 1 1mV En utilisant la définition du cente de masse : mom 1 1 mom dog OG et la définition de sa vitesse VG m1 m mom 1 1 mom p ' ( m1m) d / m1 m domi Avec un petit peu de patience, et en se souvenant que Vi, il s avèe que : m1 d ln( ) mm 1 m p ' ( mv 1 1mV ) M1M soit : m m 1 m1 d ln( ) mm m p' M M 1 p 1 m1 m n est donc pas égal à p, sauf si les masses sont constantes (ou si leu appot est constant). p ' Faux énoncé du pincipe fondamental La conclusion est QU IL NE FAUT PAS UTILISER pou pincipe fondamental : d[( m1 m) VG ] Fex Cette elation n est vaie que pou des masses constantes E/ L addition, ça caint!!!!! Repenons la démonstation des familles de éféentiels Galiléens (appel dv 0 ) F d[ m( V V ')] ( V V ') dm m( dv dv ') Vdm [ V ' dm mdv '] Vdm d( mv ') Donc : F d( mv ')! Un éféentiel en tanslation pa appot à un éféentiel Galiléen ne seait donc pas inetiel? Si, bien sû, l eeu povient du fait que nous n avons pas le doit d additionne simplement les vitesses en mécanique elativiste. Pincipes fondamentaux

45 5 FORCES Foces

46 6 II. LES FORCES FORCES D INTERACTION A DISTANCE Foce gavitationnelle Foces de Loentz (électique et magnétique)... 9 Foce électique... 9 Foce magnétique Foce faible Foce fote FORCES DE CONTACT Fottement solide (ou fottement sec ou loi de Coulomb) Solides sans glissement elatif (immobiles l un pa appot à l aute) Solides en mouvement elatif (glissement l un pa appot à l aute) Illustation Fottement visqueux Vitesse faible Vitesse élevée Tansition vitesse faible/ vitesse élevée Poussée d Achimède (liquides et gaz) Foces de tension Ressot Lame de essot : Tension d'un fil de masse négligeable Foces gavitationnelles u 1/ F /1 F 1/ m m 1 m F 1/ = - K 1 m G u 1/ F 1/ = - F /1 Foces

47 7 II. Les foces La elation fondamentale de la dynamique elie l accéléation d une masse aux foces qui lui sont appliquées. Nous allons ici décie le compotement des foces le plus couamment encontées. Nous taiteons plus loin la manièe d écie l accéléation dans les chapites cinématique et changement de epèe. L étude des foces peut-ête scindée en deux : les foces d inteactions à distance (cette distance pouvant ête plus petite que la dimension du noyau atomique!). Ce sont les foces élémentaies ente paticules. Les foces sont au nombe de quate : ce sont les foces de gavitation, de Loentz (électiques et magnétiques), faibles et fotes. les foces de contact qui ne sont que le ésultat macoscopique des 4 foces d inteaction (contact, fottement, poussée d Achimède ) 1. Foces d inteaction à distance Actuellement, la physique utilise quate foces pou décie les inteactions ente paticules. Leu point commun est de décoîte losque les distances augmentent. 1.1 Foce gavitationnelle Elle fea l objet d un chapite spécial (gavitation). Enoncée pa Newton en 1650, elle stipule que: masses ponctuelles s attient en aison de leu masse et de l invese du caé de la distance qui les sépae, selon une diection qui passe pa les masses. mm 1 F1 KG u 1 La notation F1 epésente la foce execée pa m1 su m, et u 1est un vecteu unitaie diigé de 1 ves, est la distance qui les sépae, et KG la constante de gavitation univeselle (=6, m 3.kg -1.s - ). La elation est pafaitement symétique: la foce execée pa m su m 1 possède un module identique, la même diection, mais elle est de sens contaie. Nous etouvons bien ici le pincipe de l action et de la éaction. Il peut ête quelquefois utile de l écie sous la fome : mm 1 F1 KG où M 3 1M Attention, si les masses ne peuvent pas ête considéées comme ponctuelles, c est à die si leu taille n est pas tès petite devant la distance qui les sépae, il ne faut pas applique cette loi. Elle est alos seulement valable si les solides pésentent une épatition de masse à symétie sphéique (cf. gavitation et le théoème de Gauss dans le futu cous d électostatique). Foces

48 8 Foces Coulombiennes (électiques) F 1/ q u 1/ F /1 q1 Foces attactives ou épulsives suivant les signes de q 1 et q F 1/ = q 1 q u 1/ F 1/ = - F /1 Foces magnétiques F q B V F = q V B F = q.v.b.sin( Foces

49 9 1. Foces de Loentz (électique et magnétique) Elles inteviennent losque les paticules sont chagées et sont alos bien plus impotantes que les foces gavitationnelles (~10 40 fois plus gandes pou un poton et un électon). On distingue les foces électiques, ou coulombiennes, qui s appliquent à des paticules au epos, des foces magnétiques qui s ajoutent aux foces électiques losque les paticules sont en mouvement elatif. Foce électique L expession de la foce essemble étangement à celle de la foce gavitationnelle, mais la foce peut-ête attactive ou épulsive suivant le signe des chages. 1 qq 1 F1 u Cette expession est valables dans le vide, q 1 et q, sont les chages expimées en Coulomb et 0 est une constante qui est eliée pa la elation 0 0c 1 à la peméabilité magnétique du vide 0 ( 0 =410-7 S.I) et à la vitesse c de la lumièe (c=, m/s), ce qui donne 1 0 8, ( SI. ) Aute valeu utile: 0. L unité la plus utilisée est le Faad/mète (F/m). 9 1/ F/m Comme nous le veons plus loin pou la foce gavitationnelle, il est commode de défini un champ électique. En considéant l action de q1 su q : F1 qe avec 1 q 1 E u Foce magnétique Losque les paticules sont en mouvement, une foce dite magnétique s ajoute à la foce électique. Elle se déduit totalement de la foce électique pa application des tansfomations elativistes et s écit pou une chage q : F q V B Où B est le champ magnétique expimé en Tesla (T) et V la vitesse de la chage. La foce magnétique est donc en pemanence pependiculaie à la vitesse de la chage. En assemblant la foce électique et la foce magnétique : F q ( E V B) Foce faible Elle agit à coute distance, à l échelle atomique. Elle égit les inteactions ente matièe et neutinos et les modes de désintégation des noyaux instables. Elle pemet la convesion de l hydogène en hélium qui est la souce d énegie pincipale des étoiles, donc de note soleil. Foces

50 30 Fottements solides R R N Fottement "statique" pas de mouvement elatif ente les cops en contact: masse (m) et suppot identiques est connu et le plus souvent nul R T s R k N le sens de R T est à pioi inconnu, ésoude: F=m R T Suppot - inclinaison éventuelle - accéléation éventuelle m Foce éventuelle Fottement dynamique mouvement elatif (glissement) ente les cops en contact: R T d R k N - R T est toujous opposé à la vitesse elative masse/suppot - ésoude: F=m masse m Foces

51 Foce fote De tès tès coute potée, elle assue pa exemple la cohésion du noyau, sinon il seait instable sous l effet des foces coulombiennes épulsives, ca les chages sont toutes positives (potons). Ces deux denièes foces sotent de note cade et seont étudiées plus tad.. Foces de contact Ces foces ne sont pas de nouvelles foces, elles ne sont que la manifestation macoscopique des 4 foces fondamentales (électique en paticulie). Il est beaucoup plus commode pou solides en inteaction de considée la foce ésultante plutôt que d ajoute les innombables inteactions ente les atomes et molécules qui les constituent! Nous veons ici : les foces de fottement solides les foces de fottement visqueux la poussée d Achimède les foces de tension (essots ).1 Fottement solide (ou fottement sec ou loi de Coulomb) Deux cas doivent ête envisagés suivant que les solides sont immobiles l un pa appot à l aute, ou en mouvement elatif. Solides sans glissement elatif (immobiles l un pa appot à l aute) Si une masse m est posée su un suppot (pa exemple une table hoizontale, ou inclinée), le suppot exece une foce su m, foce appelée aussi éaction ( R ). Il est tès utile de décompose cette éaction en une composante RN nomale aux sufaces en contact, et une composante tangentielle R T appelée foce de fottement. R RN RT Les lois du fottement nous appennent que l absence de glissement (mouvement elatif) n est possible que si le appot de la composante tangentielle R T à la composante nomale R N ne dépasse pas une cetaine valeu appelée coefficient de fottement statique k s. R k R Condition de fottement statique (pas de mouvement elatif) T s N Losque le appot RT R N augmente, le système ne pésente aucun glissement elatif tant qu il est inféieu à k s. La valeu k s est donc la valeu maximum de ce appot. Losque ce appot atteint (puis dépasse) k s le système pésente un glissement (elatif). NB : La suface esponsable de la éaction est souvent immobile, mais ce n est pas une condition obligatoie pou applique la ègle ci-dessus. Un objet peut ête pa exemple posé su une table vibante, ou su une voitue en accéléation (cas classique du bouchon d essence, quand ce n est pas le potefeuille!). Pou ésoude le poblème, il faut alos que cette accéléation soit connue, et applique le PFD à la masse de l objet. Foces

52 3 Fottement solide: exemple, suppot plan hoizontal fixe R R T R N F R T k s R N k d R N Immobile R T =F Pente 1 k s R N En mouvement m= F - k d R N F Dans ce cas paticulie, R N = mg = Cte mg s d R N Les angles de fottement s et d sont quelque fois donnés à la place des coefficients de fottement k s et k d. Les elations sont évidentes: tg ( s )= k s tg ( d )= k d k s R N (F=0) L angle de la éaction dépend de F, sa valeu maximale est s k d R N R N L angle de la éaction ne dépend pas de F Foces

53 33 Solides en mouvement elatif (glissement l un pa appot à l aute) Nous etouvons les mêmes notions, mais avec une condition difféente su les composantes. Losqu il y a glissement, un coefficient de fottement dynamique k d est défini, et les composantes espectent cette fois une égalité : RT kd RN Dans le cas d un glissement (mouvement elatif) De plus le sens de RT, foce de fottement, est toujous opposé à celui du mouvement de la masse m, mouvement elatif au suppot bien entendu. Ce coefficient dynamique est généalement inféieu au coefficient statique. Quelques valeus de coefficients : Coefficient statique k s Acie / acie 0, Bois / bois 0,3 Ganitue de feins / acie 0,45 Caoutchouc / bitume 0,60 Coefficient dynamique k d Ces notions coespondent bien sû à une modélisation simple des fottements; dans la éalité, ils peuvent avoi un compotement beaucoup plus complexe. Illustation Soit le cas simple d un solide en contact avec une suface hoizontale immobile. Soumettons le à une foce hoizontale F. Que le solide soit immobile ou en mouvement l analyse des foces monte immédiatement que suivant l axe vetical: RN mg La éaction nomale est donc constante et indépendante de F. Appliquons une foce hoizontale F coissante. Au début le solide ne bouge pas, donc la somme des foces hoizontales est nulle et pa conséquent : R F T Ceci est vai tant que RT kr s N soit RT kmg s. Au delà de cette valeu, le solide se met en mouvement et : RT kmg d (et nous pouvons aussi ajoute, F kdmg m) Ce qui est cuieux, c est le décochement de la éaction tangentielle du au fait que kd ks. C est pou cela que les constucteus automobiles équipent les véhicules de systèmes antiblocages : une oue qui ne glisse pas épond aux conditions du fottement statique (pas de glissement), tandis que si elle est bloquée, elle elève du fottement dynamique, plus faible (et en plus elle n assue plus son ôle de guidage). En épétant l analyse su un plan incliné (montagnad muni de ses chaussues "Vibam " su un oche incliné), il appaaît que, losque la glissade commence, elle est tès difficile à enaye, ca le coefficient de fottement diminue ( k s k d ) dès que la glissade commence. L execice su le papie est conseillé avant l expéimentation. Foces

54 34 Fottement visqueux (fluides): taînée et potance Potance Tainée = F f Aile d avion, voile V Dans ce cous, le "point" matéiel sea supposé sphéique et sans mouvement pope: la potance est nulle La taînée est: de même diection et de sens opposé à la vitesse Fottement visqueux (fluides) V 1,E-06 Fottement dans un fluide (sphèe dans l'ai: S=1m, =1,3kg/m3, =.10-5 Pa.s, Cx=0,5) m u f(v) 1/CxSV F Foce (N) 5,E-07 6RV F= -f(v) u 0,E+00 0,E+00 1,E-03,E-03 Vitesse (m/s) NB: cetains ouvages appellent visqueux uniquement le égime linéaie, d autes englobent dans visqueux tous les égimes: linéaie, intemédiaie, tubulent Foces

55 35. Fottement visqueux (avec des fluides) Ce fottement s applique à un solide se déplaçant dans un milieu liquide ou gazeux, donc dans un fluide. Le poblème est identique pou un objet fixe dans un fluide en mouvement et pou un objet mobile dans un fluide en mouvement. C'est la vitesse elative V qui compte. La foce execée pa le fluide a toujous une composante opposée à la vitesse qui s'appelle la taînée. Si le cops qui se déplace ne pésente pas, dans la diection de la vitesse, un aspect symétique, une composante pependiculaie à la vitesse existe, qui s'appelle la potance et pemet ente autes aux voilies d'avance et aux avions de vole. Dans ce cous nous ne paleons que de la taînée. La foce execée pa le milieu su la masse m a toujous même diection que la vitesse, mais elle est toujous de sens opposé : F bv. A faible vitesse, le coefficient b peut ête f considéé comme constant, mais ce n est plus vai losque la vitesse dépasse un cetain seuil. Vitesse faible (égime laminaie) F kv f où est la viscosité du milieu (Pascal.seconde ou Poiseuille), indépendante de la vitesse k n est pas fonction de la vitesse, mais de la géométie du système, et sa dimension est une longueu. La foce est donc popotionnelle à la vitesse (égime linéaie). (Pa.s ou Poiseuille) Ai (P atm.) 1, Eau 1, Huile olive 0,1 Huile moteu SAE 0,3 Glycéine 1,5 Ces valeus sont données à tempéatue ambiante, la viscosité des gaz augmente avec la tempéatue, et celle des liquides diminue. Dans le cas paticulie d une sphèe de ayon R, k 6 R et pa conséquent : F 6RV f Vitesse élevée (égime tubulent) F f 1 C SVV x Cx est le coefficient de pénétation dans l ai ou coefficient de taînée (qui a donné son nom à une voitue), S la suface appaente du mobile dans le plan pependiculaie au mouvement, et la masse volumique du fluide. La foce vaie donc comme le caé de la vitesse (égime quadatique). Il est tès utile de la mette sous la fome : 1 F C SV u f x ou u est un vecteu unitaie oienté dans le sens du déplacement : le module de la foce CS V est ainsi sépaé de sa diection et de son sens donnés pa u. 1 x Foces

56 36 Poussée d Achimède F Achimède =.Volume.g.k La foce s applique au cente de masse F k Et si une patie du volume est émegé (icebeg )?? G Volume g Poussée ves le haut de la pat du fluide supéieu alos que le ésultante des foces de pession de ce fluide supéieu est manifestement diigé ves le bas A médite. Deux pistes: - etoune à l hydostatique - effectue une sépaation fictive à la suface Foces

57 37 C x (sans dimension) Caé, disque 1,1 Cycliste 0,8 à 1,1 Sphèe 0,51 Voitue 0,3 à 0,5 Aile d avion 0,01 Tansition vitesse faible/ vitesse élevée La tansition de la loi vitesse faible à celle de la vitesse élevée n est pas nette, et il y a toute une zone où il est difficile de pédie le type de foce, zone qui dépend fotement des conditions expéimentales. Pou avoi une idée, nous pouvons calcule la vitesse V e pou laquelle les types de foces sont égaux. Dans le cas paticulie d une sphèe : => 1 CS x Ve 6 RVe V e 1 CR Si V V, la foce est linéaie (égime laminaie). e x Si V Ve, la foce est quadatique (égime tubulent). Pou l ai comme pou l eau, et pou un diamète de 1m, cette vitesse est inféieue au millimète pa seconde. Autant die que, dans la vie de tous les jous, même si nous n avons pas spécialement la fome d une sphèe, nous subissons toujous une foce en V. Pa conte pou le bouillad, dont le diamète des gouttes est de qq. micomètes, vous monteez facilement que la foce est popotionnelle à la vitesse, et vous obtiendez une vitesse de chute tès faible..3 Poussée d Achimède (liquides et gaz) Tout cops plongé dans un liquide essot mouillé! Non ce n est pas cela la loi d Achimède d autant que cette affimation n est pas toujous vaie : le canad essot sec de l eau, et la plaquette de silicium tempée dans de l acide fluohydique essot sans tace d acide! Poussée d'achimède: tout cops plongé dans un fluide est soumis à une foce veticale, diigée ves le haut, égale au poids du liquide déplacé : F Vol g k A. est la masse volumique du FLUIDE, Vol le volume du SOLIDE, g l accéléation de la pesanteu et k un vecteu diigé ves le haut, suivant la veticale. En toute igueu, le solide doit avoi un volume tès petit pou que g soit constant, ce qui sea le cas dans tous les cas qui nous conceneont. La foce s applique alos au cente de masse du solide. La démonstation de la poussée d'achimède est aisée à pati de la connaissance des foces de pession hydostatique, en penant soin, pou simplifie, de pende un cube ou un cylinde! Foces

58 38 Foces de tension l 0 l F u u x F = - k (l-l 0 ) u F F F = - k x u x ou l-l 0 k Foces

59 39.4 Foces de tension Un fil élastique, un essot, une lame que l on plie execent une foce. Cette foce est en pemièe appoximation popotionnelle à leu allongement, ou à l amplitude de leu défomation. Ressot Dans cette appoximation linéaie, un essot exece une foce qui véifie : F k( ll ) u 0 k se nomme la aideu du essot, l 0 est sa longueu au epos c'est à die losqu aucune foce n'est execée pa le essot, et l la longueu apès allongement ; u est un vecteu unitaie dans la diection du essot, oienté de son point de fixation ves le point où il exece la foce. Cette elation est algébique, et valable si l l0, dans la mesue où le essot peut ête compimé bien sû, c est à die si les spies qui le composent sont non jointives au epos. Attention: l expession F kl ( l0) est fausse, aussi bien en module qu en diection. la longueu l 0 est la longueu du essot losqu il n exece aucune foce, ce n est généalement ni sa longueu à l'équilibe, ni celle qu'il possède au moment du dépat de l expéience! Pa exemple si une masse est suspendue à un essot et oscille, l 0 ne coespond pas à sa longueu pou la position d équilibe. Lame de essot : F kxu où x est la défomation et u est oienté suivant les x positifs. Les signes moins qui appaaissent chaque fois taduisent une notion de appel : losque le essot s éloigne de la position où il exece une foce nulle, la foce "appelle" le essot ves sa position d équilibe. Tension d'un fil de masse négligeable. Losqu'un fil est tendu, on pale de sa tension. Elle a toujous la diection du fil. Son module est constant su toute la longueu du fil. Pou le pouve, il suffit d'isole un élément de fil. Si les foces aux deux extémités de cet élément ne sont pas égales et opposées, la ésultante est non nulle, et son accéléation seait alos infinie puisque sa masse est nulle! Elle n'a pas de sens a pioi: si un fil est cassé, il fauda foces égales et opposées pou épae cette coupue. Ce qui a un sens, c'est la foce que le fil exece su une masse, sens pafaitement évident puisqu'un fil ne peut pas pousse, mais seulement tie: c'est du "bon sens". Une poulie, de masse négligeable, fait "toune" la foce execée pa un fil, la tension du fil est inchangée. Le aisonnement est sensiblement identique au pécédent. Foces

60 39 CINEMATIQUE Cinématique

61 40 III. CINEMATIQUE INTRODUCTION DEFINITION DES VECTEURS POSITION, VITESSE ET ACCELERATION Position Vitesse Accéléation DIFFERENTIELLE D'UN VECTEUR ET DERIVEE Difféentielle d'un vecteu unitaie dans un plan / déivée Difféentielle /Déivée d'un vecteu unitaie dans l'espace (losque et u ne sont pas pependiculaies) Difféentielle d'un vecteu quelconque: conclusion OM, V ET DANS LES DIFFERENTS SYSTEMES DE COORDONNEES Coodonnées catésiennes Coodonnées cylindiques (et polaies) Coodonnées sphéiques Coodonnées cuvilignes, ou epèe de Fenet CONCLUSION ANNEXE: DIFFERENTIELLES DE SCALAIRES, VECTEURS Position, vitesse et accéléation OM (t+) V (t+) dv dom OM (t) V (t) V = dom = dv V est colinéaie à dom est colinéaie à dv dom = V fome difféentielle dv = Cinématique

62 41 III. Cinématique 1. Intoduction La cinématique consiste à analyse le mouvement de "points" sans se péoccupe des causes de ce mouvement. Nous ne paleons donc pas ici des foces ou des lois de Newton. Ce chapite est puement mathématique. L'espace sea supposé euclidien et isotope, c'est à die possédant les mêmes popiétés dans toutes les diections. D'aute pat, en mécanique classique, le temps est considéé comme absolu; il ne dépend pas du epèe. Il faut savoi que la elativité ejette cette notion de temps absolu et monte que l'on ne peut confonde les temps de deux epèes que losque les vitesses sont faibles devant la vitesse de la lumièe. La position d un point est généalement donnée dans un éféentiel physique: le laboatoie, la tee, le soleil, l'obsevateu Un epèe lui est attaché, et un système de coodonnées est défini pou décie le mouvement. Il est bien clai que deux obsevateus placés dans des epèes en mouvement l'un pa appot à l'aute ne pecevont pas le même mouvement. Losqu'une bille tombe veticalement dans un tain, le passage va obseve une doite, tandis que la vache à tee va contemple une paabole! Ce chapite se pésente en tois paties. Nous appelleons les définitions des vecteus position, vitesse et accéléation, puis nous intoduions la notion de difféentielle d un vecteu, et finalement nous appendons à expime les positions, vitesses et accéléation dans difféents types de epèes : catésien, cylindique, sphéique, Fenet ; cetains epèes sont en fait mieux adaptés que d autes pou l'analyse des poblèmes, compte tenu des géométies et des syméties pésentes.. Définition des vecteus position, vitesse et accéléation.1 Position Dans un epèe d'oigine O, la position du point mobile M est epéé pa le vecteu OM Cinématique

63 4 Pou se facilite la vie : un vecteu est inchangé pa tanslation (ses composantes sont invaiantes dans une tanslation) dv V () t V ( t ) O V ( t ) OM OM ( t (t+) ) OM t OM (t) () V () t dom Ici une illustation pou le mouvement ciculaie. En tanslatant les vecteus vitesses en un même point, le plus simple étant l oigine les vaiations sont plus faciles à mette en évidence. Il devient alos pafaitement clai que dv (donc l accéléation) est pependiculaie à dom (donc la vitesse) Difféentielle d un vecteu dl.u u U = l. u du = dl. u + l.du du? Cinématique

64 43. Vitesse La vitesse est définie comme la déivée du VECTEUR position pa appot au temps. dom V ou de manièe équivalente : dom V Dans cette écitue, la pésence du point O signifie que la vitesse est calculée dans le epèe d'oigine O. Dans cetains ouvages, vous touveez : dm V dont la signification est identique, dm signifiant la vaiation de la position du point M, mais il n'y a plus de éféence explicite à l oigine du epèe qui doit donc ête péalablement bien définie. Attention, c'est tès impotant, il s'agit bien de la déivée du vecteu, nous y eviendons avec l'accéléation..3 Accéléation L'accéléation est elle-même la déivée du VECTEUR vitesse V pa appot au temps. dv ou de manièe équivalente : dv Pou bien faie compende la subtilité des vecteus, signalons une eeu classique. Tounant su un manège à vitesse de otation constante, il est couant de pense que l'accéléation est nulle. Il en est de même pou un viage en vélo sans change de "vitesse". C'est FAUX, ces mouvements sont accéléés. En effet dans les cas, si le module de la vitesse est bien constant, il n'en est pas de même du VECTEUR vitesse V qui lui change de diection à chaque instant. Die qu'il n'y a pas d'accéléation dans un mouvement de otation unifome est équivalent d'affime que la vitesse elle aussi est nulle! Eh bien oui, puisque le module de OM, le ayon de la tajectoie, est constant, comme le module de la vitesse. Moalité, su un vélo, le cycliste peut povoque une accéléation avec: les pédales, les feins et le guidon Attention, la position est une notion évidente, la vitesse est elativement intuitive, mais l'accéléation éseve bien des supises: pa exemple, c'est quand le balancie d'une hologe est en position extême, donc appaemment "immobile" que son accéléation est la plus élevée. 3. Difféentielle d'un vecteu et déivée Pou bien s'impégne des outils de la physique, il est essentiel de bien compende la notion de difféentielle. Cinématique

65 44 Difféentielle (vaiation) d un vecteu unitaie dans le plan v u 1 d du O 1 u Oigine abitaie Sens otation abitaie du vd Cinématique

66 45 En mécanique, la difféentielle d'un vecteu est à la base de tès nombeux développements. La difféentielle d'une gandeu, c'est simplement la modification engendée pa l'évolution d'un paamète: changement du temps, mais aussi d'une longueu, d'un angle En d'autes temes c'est tès exactement ce qu'il faut ajoute à la gandeu initiale pou obteni la nouvelle. Il est souvent commode d'expime un vecteu U pa : U lu Où est un scalaie et u un vecteu unitaie. la valeu absolue de est le module du vecteu. Sa dimension est celle de U. u pécise la diection, il n'a pas de dimension, et son module est égal à 1. Losque et (ou) u vaient, U vaie: du u dl l du On voit bien ce que signifie dl, c'est la vaiation de son module, mais du? Voyons cela 3.1 Difféentielle d'un vecteu unitaie dans un plan / déivée Nous allons examine le cas tès impotant de la difféentielle du vecteu unitaie qui toune dans un plan, pa 3 appoches successives. Pemièe popiété ( u) 1 =>. udu0 Le poduit scalaie est nul, donc du est pependiculaie à u : Cette popiété este évidemment valable à 3 dimensions. Appoche "géométique" (cf. figue) Elle pemet de "senti" la difféentielle. La diection de u est epéée pa un angle. Losque augmente de à +d, ce vecteu u devient u 1. Rappelons que la difféentielle de u, notée du, c'est ce qu'il faut ajoute à u pou obteni u 1. Il est évident su la figue que si d est petit, du possède les caactéistiques suivantes: il est poté pa la tangente au cecle, et il est donc pependiculaie à u son sens est suivant les coissants le ayon du cecle étant égal à 1, son module est égal à 1.d (cf. définition du adian) En définissant le vecteu v pependiculaie à u, obtenu pa otation de / dans le sens des coissants, du s'écit finalement: du d. v Cinématique

67 46 Convention pou le vecteu v v est pependiculaie à u dans le sens des coissants v O u du O u du v du d v du d v Difféentielle d un vecteu unitaie dans l espace u P du O L extémité P du vecteu unitaie est toujous su une sphèe de ayon 1. Toute vaiation difféentielle du s appuie donc su la suface de la sphèe : elle est donc pependiculaie à u => u.du=0 Cinématique

68 47 Démonstation analytique (la démonstation officielle) Dans un epèe Oxyz fixe où sont définis les vecteus i et j le vecteu u peut s'écie u cosisinj Si passe de à +d du sin di cosd j soit du ( sini cos j) d Vous pouveez facilement que le vecteu sin icos j a un module égal à 1 est pependiculaie à u ( utilisez le poduit scalaie mais n'hésitez pas en plus à effectue une constuction gaphique!). C'est le vecteu v de l appoche "géométique". Le vecteu du est donc bien poté pa v et a pou module d. NB : un démonstation plus apide consiste à utilise les popiétés des imaginaies. Un i vecteu unitaie est epésenté pa Z e i, d où dz ie d : i indique une otation de i du vecteu initial e, et le module de dz est bien d. A vous de véifie que dv d. u Conclusion dans un plan Nous etenons donc, tès impotant, que dans un plan : du d. v ( u vecteu unitaie, mouvement dans un plan) v étant un vecteu pependiculaie à u, obtenu pa otation de u de / dans le sens des coissants. La difféentielle étant connue, le calcul d'une déivée quelconque est tivial. En mécanique, la plus communément encontée est la déivée pa appot au temps qui s'écia donc: du d. v du v d epésente la vitesse de otation que l'on appelle. Son unité est le adian pa seconde (banni les degés, gades, tous ), et elle n'est pas focément constante! On définit alos le vecteu otation, pependiculaie au plan de otation, dont le sens est donné pa la ègle du tie-bouchon ce qui pemet d'écie du u A vous de véifie que la diection, le sens et l'amplitude de u sont bien compatibles avec du d. v dv Vous pouez aussi véifie que v Cinématique

69 48 Difféentielle d un vecteu unitaie dans l espace (donc valable aussi dans un plan) Vue de dessus d =d/ du ayon=sin() d du n u Définition du vecteu otation = n du/ = u Difféentielle d un vecteu dans l espace (a fotioi dans le plan) Ut ( ) Ut () du dl u ldu ldu du dl u U l u du dl u l du Cinématique

70 49 3. Difféentielle /Déivée d'un vecteu unitaie dans l'espace (losque et u ne sont pas pependiculaies) La démonstation nécessite une pojection et un développement analytique du style de celui que nous avons effectué dans le plan, mais à 3 dimensions. Nous nous contenteons d'une appoche géométique (cf. figue), mais vous pouvez aussi consulte vote globe teeste. Rappel : nous savons déjà que : ( u) 1 =>. udu0 donc du est pependiculaie à u Ceci se compend tès bien losqu'on éalise que, quelles que soient les vaiations de u, son extémité se déplace su une sphèe de ayon constant égal à 1 (cf. figue) 1/ Diection et sens de du : u toune autou de l'axe défini pa (donné) su lequel nous définissons un vecteu unitaie n. n Il est clai su le dessin que l'extémité de u décit un cecle et que du est pependiculaie à n et à u : il est donc diigé comme n u. / Module : ayon.d soit : 1.sin().d Ces deux popiétés peuvent ête assemblées en écivant du d( nu) Pou véification essayez avec =0 ( du 0 ) et =/ ( du d. v, cf. difféentielle dans un plan). Il lui coespond une écitue déivée : du d ( nu) ( nu) nu u. En conclusion pou les vecteus unitaies du du d( nu) ou u u (vecteu unitaie) Valable à ou 3 dimensions, quelles que soient les diections elatives de etu Cette elation est tès commode pou taite des poblèmes de manièe systématique, sutout à 3 dimensions. Impotant: le vecteu otation a toutes les popiétés d'un vecteu. Si la otation s'effectue autou de axes, le vecteu otation est la somme vectoielle des vecteus otations liés à chaque axe. C'est le cas pa exemple d'une oue de vélo en mouvement losque le guidon toune. 3.3 Difféentielle d'un vecteu quelconque: conclusion La conclusion est ésumée su la figue: la difféentielle est la somme de deux composantes othogonales. Cinématique

71 50 Coodonnées catésiennes z k j dx dz M z dy x i O y y x Cinématique

72 51 4. OM, V et dans les difféents systèmes de coodonnées 4.1 Coodonnées catésiennes C'est le système que l'on utilise pa défaut, losqu'on n'a pas d'idée paticulièe su la symétie du système poposé. Vecteus unitaies, fixes dans le epèe: leus diection sens et module sont donc invaiants. i, j (pependiculaies à i ) et k i j Position OM xi y j zk Les vecteus i, j et k sont constants. x, y et z sont les tois coodonnées d'espace et vaient de à Vitesse Sa définition a été donnée: dom V Il faut imagine un déplacement élémentaie dom losque les vaiables d'espace x, y et z vaient. Ici, c'est évident, ce sont : dx suivant i, dy suivant j et dz suivant k ce qui nous conduit à: dom dxi. dy. jdz. k Nous seions évidemment aivés au même ésultat en difféentiant diectement la position OM Cette elation peut ête manipulée à loisi. En paticulie, pou obteni la vitesse, il suffit de la divise pa : dom dx. i dy. jdz. k Cinématique

73 5 Coodonnées catésiennes: vitesses z V z x i k O j V x M z V y y y Cinématique

74 53 qui est plus souvent écite sous la fome: dx dy dz V i j. k Ou encoe avec dx dy dz Vx Vy Vz qui sont donc simplement les tois scalaies epésentant les 3 composantes de la vitesse: V V iv jv k x y z Accéléation dv Même démache, nous calculons d'abod la vaiation de vitesse dv dv. i dv. j dv. k x y z En divisant pa on obtient l'accéléation dvx. i dvy. j dvz. k et, en posant dv dv x y dvz x y z i j k x y z Comme pou les positions et les vitesses, l'accéléation est donc simplement la somme des composantes suivant chacun des axes. Remaque dvx d x x s'écit aussi etc En ègle généale, il faut évite les déivées secondes, quitte à défini des gandeus intemédiaies, comme V x, qui ont souvent un sens physique clai. Cinématique

75 54 Coodonnées cylindiques: déplacements z Si poblème de vue dans l espace, alle tout de suite à la figue coodonnées polaies x k O u u M dz z d d d M Pojection de M su Oxy y Cinématique

76 55 4. Coodonnées cylindiques (et polaies) Ces coodonnées paticulaisent un axe: ici, et souvent, ce sea z (voi figue). Elles seont féquemment utilisées losqu'il existe une otation autou d'un axe. Ce système s appuie su un système othonomé Oxyz fixe dans le epèe. Vecteus unitaies Ici k est fixe, comme en coodonnées catésiennes mais il n'en est pas de même pou les deux autes vecteus qui dépendent de la position du point M (voi figue). u selon OM', pojection nomale de OM su Oxy, epéé pa appot à un axe oigine, Ox pa exemple, pa un angle. dans le plan Oxy, pependiculaie à u donc lui aussi mobile. Il est obtenu pa otation de u u dans le sens des coissants. Vous véifieez que k u u Position OM u zk : distance à l'axe, vaie généalement de 0 à +, mais il est possible taite un poblème avec. : azimut (0 à ) z : hauteu (-, +) Attention à l écitue "automatique" pafaitement abeante (chechez les eeus) : OM u u zk Vitesse Essayons d'évalue diectement (pou visualise, voi la figue) un déplacement élémentaie dom losque, et z vaient Suivant les 3 vecteus, les déplacements sont dans l'ode: d suivant u d suivant u et non pas d (il faut obteni une distance!) dz suivant k Donc: dom d. u d. u dz. k La vitesse s'écit donc d. u d. u dzk. V Que nous éécions sous la fome: Cinématique

77 56 Coodonnées cylindiques : vitesses z d x k O u u dz/ M z d M d Pojection de M su Oxy y V V V z d d t dz d t Cinématique

78 57 d dz V u u k où est défini pa = d/ Pou évite les déivées secondes, il est utile de défini: d V qui se nomme vitesse adiale (suivant le ayon) dz Vz Finalement V V u u V k z pote le nom de vitesse othoadiale (nommée V ), oientée suivant une diection pependiculaie au ayon. A ne pas confonde avec la vitesse tangentielle, qui est justement V Remaque 1: nous auions évidemment obtenu le même ésultat en difféentiant la position OM u zk soit : dom d. u. du dz. k Qui compte tenu de la elation du d. u ( cf. déivée d'un vecteu unitaie) edonne bien le déplacement élémentaie pécédent. Remaque : vous pouvez vous exece à etouve cette elation en déivant diectement OM pa appot au temps, et en utilisant du u, étant poté pa k ( k ). Vous pouvez aussi, et c est tès apide, utilise les imaginaies, avec Z i e Accéléation Il est tout à fait possible de "visualise" diectement les vaiations de vitesse; cependant, étant maintenant un peu odés aux difféentielles, nous écions diectement dv à pati de l'expession pécédente de V : dv dv. u V. d u d.. u. d. u.. du dv. k En tenant compte de du d. u et du d. u dv ( dv.. d) u ( V. dd.. d) u dvz k Nous avons ici les 3 composantes de la vaiation de vitesse. dv Le calcul de l'accéléation pemet de egoupe temes, et finalement : dv d dv z ( ) u ( V ) u k z Cinématique

79 58 Coodonnées cylindiques su Oxy (= polaies) Vaiation des composantes de la vitesse Chaque vecteu ( adial V et othoadial ) dispose de deux possibilités ; il peut change sa valeu et toune La vitesse othoadiale change O Plus on s éloigne de O, plus la vitesse othoadiale est impotante La vitesse de otation change d d M d La vitesse othoadiale toune Vd La vitesse adiale V toune La vitesse dv adiale vitesse V change dv ( dv d) u ( V d d d) u Cinématique

80 59 Le ésultat obtenu pou n'était pas vaiment intuitif et nous auons lagement l'occasion d'y eveni en TD, atelie.. En véifie l homogénéité est un excellent execice. Remaque : comme pou la vitesse, vous pouvez aussi vous exece à etouve cette elation en déivant diectement V pa appot au temps, et en utilisant du u etc Pou compae avec cetains ouvages, nous pouvons aussi l'écie uniquement avec les vaiables, et z : d d d d d z ( ( ) ) u ( ) u k Examinons chacun des temes de l'accéléation (Une appoche numéique sea faite en atelie) Suivant k, aucun poblème, il s'agit d'une accéléation bien connue le long d'un axe. L'accéléation adiale dv, suivant u ( ) compend temes: dv d (ou ) qui est aussi l'accéléation odinaie le long d'un axe: faie =Cte pou compende. toujous diigée ves l'oigine, appelée accéléation centipète: faie =Cte. L'accéléation othoadiale temes : V suivant u d ( V ) compend, elle aussi, appelée accéléation de Coiolis, couplage des vitesses de tanslation et de otation. Lapalissade mathématique: V V V mais: Un pemie V est issu du teme V d dans la difféentielle dv (cf. dv ). Il est à mette su le compte de la otation ( d ), donc du changement de diection de la vitesse adiale V. Le deuxième V est issu du teme d. dans la difféentielle dv. Il est dû à l augmentation de la vitesse othoadiale losque le ayon augmente. Dans les cas nous avons à faie à d d, mais une fois divise d, et l'aute fois d. d qui se compend bien avec =Cte : c'est l'accéléation liée au fait que la vitesse othoadiale, vaie si la vitesse de otation change. Notons que dans le cas tès paticulie de mouvement ciculaie (=Cte), la vitesse othoadiale est aussi la vitesse tangentielle. Cinématique

81 60 Coodonnées polaies y othoadial y O adial x u u O u M u x Sibesoinae : x.cos y.sin Impotant, pou évalue les vaiations des vecteus, il est tès commode de les amene au cente: l extémité d un vecteu unitaie se déplace su un cecle de ayon 1 NB: dans un epèe othonomé, nous epésentons tès généalement les vecteus unitaies à l oigine, non? Coodonnées sphéiques x z O u M M u u y A 3 dimensions, en coodonnées sphéiques, le globe teeste s impose: : ayon u veticale : longitude u u ves l Est : latitude ves le Nod X NB: la sphèe est destinée à ende plus tangible la disposition des vecteus. Il est bien évident que son ayon est vaiable. Cinématique

82 61 Coodonnées polaies. Elles sont un cas paticulie des coodonnées cylindiques (cf. fig.). C'est un epèe à dimensions où les vaiables sont et Elles eviennent à pende un epèe cylindique et à faie: z Cte ou plus simplement z 0, ainsi évidemment que V 0 et Coodonnées sphéiques. Ces coodonnées, comme les cylindiques paticulaisent un axe, z en généal, et seont utilisées losque le système étudié pésente un ou plusieus axes de otation (cf. fig.) Aucun des vecteus unitaies de la base n est fixe dans le epèe, ils dépendent tous de la position du point M Ce système s appuie lui aussi su un système othonomé Oxyz fixe dans le epèe. Vecteus unitaies u selon OM u pependiculaie au plan défini pa Oz et OM et pependiculaie à u, obtenu pa une otation dans le sens des coissants, diigé ves l Est u u u, dans le plan défini pa Oz, OM, diigé ves le Nod Position OM u La position est définie tès simplement pa un seul vecteu! Ceci se paie pa des vecteus de base plus complexes qu'en coodonnées cylindiques, et a fotioi catésiennes. : distance à l'oigine, vaie généalement de 0, à mais il est possible de taite un poblème avec. : longitude (0 à, ou - à +) : latitude, vaie généalement de / à +, mais on peut utilise une amplitude de, pou taite l obite du satellite Spot Image pa exemple. Ce sont typiquement les gandeus utilisées pou se epée su tee, donc n'hésitez pas à consulte vote globe teeste. La co-latitude, habituelle chez les physiciens, ( ) est le complément de la latitude des géogaphes. Vitesse Essayons encoe d'évalue diectement, en visualisant su un globe teeste pa exemple, un déplacement élémentaie dom, losque, et vaient. z z Cinématique

83 6 Plan méidien Plan équatoial z y u O u M M X u O OM ' cos n M x Sibesoin( ae): x.cos.cos y.cos.sin z.sin Coodonnées sphéiques: déplacements élémentaies et vitesses x z k O n V M M V X dom du cos d. u d. u V y V V V d cosd d Cinématique

84 63 dom d. u d. u cos d. u Relation impotante à bien assimile. Attention, le cos est souvent oublié. Il signifie simplement qu'il est plus cout de faie le "tou" du monde pès d'un pôle qu'à l'équateu. Attention aussi de ne pas pemute sinus et cosinus. Si vous n'êtes pas sû, le mieux est d'essaye avec 0 et. La vitesse s'en déduit immédiatement : d V u cos d u d u Deuxième méthode : Il est ici paticulièement instuctif de calcule diectement la vitesse V à pati de dom, en utilisant la elation généale du total u Pende gade au vecteu otation. Ici, il epésente la somme vectoielle des deux otations possibles : d d total k u attention au signe moins qui vous sea confimé pa le tie-bouchon. L'execice est fotement ecommandé. Il commence comme ceci : dom d d d du ( ) u k u u... Accéléation Les développements sont un peu longs et nous ne donnons ici que l expession finale. Nous effectueons quelques calculs d'accéléation dans des cas paticulies en TD. Encoe une fois, il est tout à fait possible de "visualise" diectement les vaiations de la vitesse: à vos globes teestes. Sinon, il faut utilise à nouveau du total u. Nous poseons pou simplifie l écitue : V d d L accéléation s écit alos : dv [ cos cos ] u d [ V cos sin ] u d [ cos V cos sin ] u Avec 0, ou Cte, nous etouvons les coodonnées polaies. Cetains temes sont tès simples à compende : essayez en bloquant successivement des 3 vaiables, et, puis en fixant une seule vaiable. En définissant un nouveau vecteu unitaie n pependiculaie à k, et situé dans le plan méidien (cf. figue), deux temes se egoupent et s intepètent alos tès facilement comme une accéléation centipète (essaye avec =0, / ) : cos cosu cos sinu cos cos u sinu cos n d Cinématique

85 64 Repèe de Fenet Plan osculateu Plan de la feuille B R T ds d N dt = d N = ds/r N Ici, la tajectoie est localement dans le plan de la feuille. Le cente du cecle n est pas fixe, la valeu du ayon non plus Ici, la tajectoie n est pas obligatoiement dans le plan de la feuille Cinématique

86 Coodonnées cuvilignes, ou epèe de Fenet. Il est à note que système de coodonnées et epèe sont ici confondus. Définition du epèe C'est un epèe local uniquement défini à pati des caactéistiques de la tajectoie C au point M. Cetaines elations et popiétés s'expiment tès simplement dans ce epèe. A un instant donné, il est toujous possible de défini un plan osculateu qui contient localement la tajectoie C du point. Tois vecteus unitaies sont alos définis de la manièe suivante : T : tangent à la tajectoie C, donc dans le plan osculateu, oienté dans le sens du mouvement N : nomal à T, et donc à la tajectoie C, lui aussi dans le plan osculateu. Il est défini pa la elation, maintenant classique, de la difféentielle d un vecteu unitaie qui toune dans un plan: dt d. N En définissant l abscisse cuviligne s, distance mesuée su la tajectoie à pati d'une oigine quelconque, et R le ayon de coubue de C au point M, l angle d peut s écie ds R d d où la définition plus classique : N dt définition de N R ds N est diigé ves la concavité de la coube : pa exemple si C est un cecle, N est diigé ves son cente. B est le vecteu binomal, qui especte: BT N B est nomal au plan osculateu puisqu il est nomal à T et N, qui sont tous les deux dans le plan osculateu. Cinématique

87 66 Repèe de Fenet: accéléation dv/ T M V /R N Cinématique

88 67 Position La position est pa définition confondue avec l'oigine du système Vitesse Le vecteu T étant tangent à la tajectoie, dans le sens du déplacement, la vitesse s'écit de ds ds manièe évidente: V T soit avec V qui epésente la vitesse, focément >0. V VT Elle n'a donc qu'une composante, qui est la vitesse tangentielle. NB : la distance totale pacouue ente t 1 et t se déduit immédiatement de V t ds V ou s V t1 ds : Accéléation La vaiation de vitesse s'écit aisément: dv dv. T V. dt D'où l'accéléation, dv dt dv dt ds T V T V ds et, en utilisant la définition de N pou expime dt : dv V T dv d s N R L'accéléation est située dans le plan osculateu, et n'a donc aucune composante suivant le vecteu binomal B. dv est l'accéléation tangentielle V R l'accéléation nomale En penant l'exemple paticulie d'une tajectoie ciculaie, vous pouvez essaye de calcule l'accéléation dans un système cylindique puis dans un epèe de Fenet et compae les deux expessions. Le epèe de Fenet est donc un epèe qui conduit à une expession tès simple de la vitesse et de l'accéléation, mais dont l oigine et tous les vecteus de base sont fonction du point M. Il ne pemet pas de décie diectement la tajectoie, mais est tès commode pou en expime cetaines popiétés. Cinématique

89 68 Mouvement ectiligne, accéléation constante: le tiangle magique Vitesse De simples considéations de pente et de suface du tiangle conduisent immédiatement à : pente x (suface = distance) V V =. t x = ½ Vt et donc à: x = ½ t t accéléation décéléation temps V = x Accéléation constante : faie pale les figues V(t) Distance pacouue: tiangle ½t + ectangle V 0.t A quels cas simples coespondent ces gaphes V(t) V(t) V 0 V Distance pacouue nulle t temps + - ectangle tiangle Cinématique

90 69 5. Conclusion Nous avons maintenant à note disposition plusieus systèmes de coodonnées nous pemettant d'expime la position la vitesse et l'accéléation. Ceci nous aidea plus tad à expime la elation fondamentale de la dynamique dans un epèe Galiléen. A pati de cette elation, nous pouons expime la vitesse et la tajectoie si les foces sont connues, ou, à l'invese, les foces si la tajectoie est connue. A ce stade, nous avons tous les éléments nécessaies et suffisants pou taite un poblème de mécanique. Les notions développées pa la suite, moment cinétique, tavail, énegie cinétique, potentielle et mécanique, ne sont pas indispensables, mais elles pemettent dans cetains cas de simplifie les ésolutions.. Annexe: difféentielles de scalaies, vecteus... Fonction scalaie d'une vaiable (t) x gt x x g( tt) g[ t t. t( t) ] Pa soustaction: 1 x gt.. t g( t) oux t gt. 1 g. t Losque t tend ves zéo (noté alos en mathématiques), le deuxième teme ( 1 g. t), appelé teme de second ode dispaaît (evoi la notion de déivée si nécessaie). D où: dx g. toudx g.. t Dans les exemples qui suivent, la démache est stictement la même. Fonction scalaie de deux vaiables (suface d'une table) S ab. S S ( aa)( bb) ab. ab. a. ba. b ds ( da). b a.( db) ca a. b est du second ode Poduit d'un scalaie pa un vecteu C ab. C C( aa)( BB) ab. ab. a. Ba. B dc ( da). Ba.( db) Poduit scalaie de deux vecteus C AB. CC ( A A)( BB) AB. ( A). B A.( B) ( A).( B) dc ( d A). B A.( d B) Poduit vectoiel C AB C C ( A A) ( BB) AB( A) B A( B) ( A( B) dc ( dab AdB) Cinématique

91 69 MOMENTS Moments 69

92 70 IV. MOMENTS. THEOREME DU MOMENT CINETIQUE. APPLICATION : MOUVEMENT A FORCE CENTRALE... ERREUR! SIGNET NON DEFINI. 1. MOMENT D'UNE FORCE MOMENT CINETIQUE THEOREME DU MOMENT CINETIQUE APPLICATION : MOUVEMENT A FORCE CENTRALE EXTENSIONS : MOMENT D'UN COUPLE, ET MOMENT PAR RAPPORT A UN AXE Moment d'un couple Moment pa appot à un axe CONCLUSION Moment d une foce Moment cinétique O F O M M p m OM F f L OM p Rappel : p mv Moments 70

93 IV. Moments. Théoème du moment cinétique. Application : mouvement à foce centale Moment d'une foce Le moment d'une foce F, appliquée en un point M, pa appot à un point O, est défini pa : mf OM F moment d une foce (1) L'unité SI est le m.n : attention, une énegie s'expime aussi en m.n, ou N.m (ou Joule), mais les deux gandeus ne sont pas de même natue: l'énegie est un scalaie, tandis que le moment d'une foce est un vecteu. Ne pas écie mn qui signifieait millinewton. Pou un segment OM et une foce F donnés, le moment est maximum losque OM est pependiculaie à F, et nul s'ils sont colinéaies. Attention, le moment dépend de l'oigine O choisie. Le moment m est pependiculaie à OM et à F, et pou le sens, à vos tie-bouchons, ou f boulons à pas nomal (à doite). Exemple de moment : moment de seage d'un boulon, égal au poduit de la foce pa le bas de levie; les clés dynamométiques sont gaduées en m.n (ou m.dan). En fait, dans le langage commun, on pale souvent de couple, ce qui est inexact, voi en fin de chapite le moment d'un couple.. Moment cinétique Le moment cinétique d une masse de quantité de mouvement p, située au point M, pa appot à un point O, est défini pa : LOM p moment cinétique () Son unité est le kg.m.s -1. Bien que compliquée, elle ne pote pas de nom spécifique. Son oientation est liée au sens de otation autou du point O (cf. tie-bouchon). Moments 71

94 7 Moment d une foce Définition vectoielle Module m f = l. F. sin() O M F O d l m f M = d. F F m f = OM Si OM et F sont dans le plan de la feuille, le moment est pependiculaie à la feuille, ici diigé ves le lecteu F Il existe en fait possibilités de pojection: d: bas de levie lsin. ( ). F l. F. sin( ) Théoème du moment cinétique L(t+) L(t) m f. Moments 7

95 Comme le moment d'une foce, le moment cinétique dépend de l'oigine O, que l'on choisia en fonction du système à étudie. Il est nul si OM et p sont colinéaies. Dans un mouvement de otation suivant un cecle de cente O, le moment cinétique/o est égal au poduit : ayon * masse * vitesse. Il est pependiculaie au plan du cecle et le tie bouchon vous donnea son sens. 3. Théoème du moment cinétique Il établit un lien ente la vaiation du moment cinétique et le moment de la foce (tous deux expimés pa appot au même point O). Ce théoème est l'équivalent du pincipe fondamental de la dynamique qui établit un lien ente la vaiation de la quantité de mouvement et la foce appliquée. () => dldom pom dp O dom V et, comme p mv, le pemie poduit vectoiel est nul. Dans le deuxième poduit, dp F (pincipe fondamental) et nous etouvons donc la définition du moment d'une foce (1). D'où le théoème du moment cinétique, valable même si la masse n'est pas constante: dlm théoème du moment cinétique (3) f La conclusion est donc que l'application pendant d'une foce F, qui pésente un moment m pa appot à un point O, poduit une vaiation dlm du système. f Attention: le pincipe fondamental a été utilisé et il est donc nécessaie de se place dans un éféentiel Galiléen. pou que V soit la vitesse du point M ( dom V ), il faut évidemment que le point O soit FIXE dans le éféentiel choisi. Mais ce point n est pas focément l oigine du epèe. Sous sa fome déivée, ce théoème devient: dl m f théoème du moment cinétique (4) Il est extêmement patique pou étudie les poblèmes de otation autou d'un point. L'application la plus spectaculaie est sans doute l'effet gyoscopique (démonstation avec une oue de vélo en amphi). Nous en donnons plus loin un aute tès belle illustation avec le mouvement à foce centale. Remaquez ici la difféence ente un pincipe (hypothèse de tavail véifiée pa l'expéience, comme le pincipe fondamental de la dynamique) et un théoème, comme le théoème du moment cinétique que nous avons démonté, à pati du PFD et de popiétés d opéateus mathématiques. f 73 Moments 73

96 74 Mouvement à foce centale 1) ) L = OM p O OM est pependiculaie à L F M O L = Cte m f = OM F = 0 L = Cte (cf. fig. théoème du moment cinétique) M (t) Conclusion: Le mouvement est plan z Mouvement à foce centale: coodonnées polaies L 0 k O u u d d M d y x Moments 74

97 75 4. Application : mouvement à foce centale Penons l'exemple d'un satellite. La foce de gavitation qui le contôle passe en pemanence pa le cente de la tee, que l'on supposea immobile. C'est l'exemple type d'un mouvement à foce centale : un chapite spécial sea consacé à ces mouvements en fin de cous. Dans un tel mouvement, en penant judicieusement (nous sommes libes) pou point O celui pa où la foce passe en pemanence, ici le cente de la tee, le moment est nul ca F et OM sont alos colinéaies. Donc d apès (1) m f 0 ce qui implique selon (3) que dl0 => L Cte L0 L 0 est un vecteu constant (diection, sens et module) défini, pa exemple, pa les conditions initiales L0 OM 0 mv0 OM mv L 0 Mouvement à foce centale passant pa O (5) Conséquences : 1/ Le poduit vectoiel (5) implique que OM soit toujous pependiculaie au vecteu L 0, constant. Si O est supposé immobile, une pemièe conséquence est que la tajectoie est contenue dans un plan, pependiculaie à L0. / Plaçons nous dans ce plan. En choisissant un système de coodonnées cylindique (plan z = 0) nous pouvons écie : d d d d L0 OM mv u m( u u) m u u m k Le moment cinétique étant pependiculaie au plan de la tajectoie il s'écit: L Lk 0 0 Donc nécessaiement: d m L0 d La deuxième conclusion est donc que le poduit ( ) est constant Cette loi s'appelle la loi des aies ca: C => d C. où C est une constante O 1 d ds = suface balayée pa le ayon vecteu OM pendant. (cf. figue Loi des aies dans le chapite Résolution du poblème des cops) D'où la conclusion: ' ds ( C ). soit encoe S ( C ). t C d Moments 75

98 76 Loi des aies t+t O S 1 S t+t t S 1 = S En généal, 1 est difféent de Moment d un couple Moment foce / axe -F M 1 M F O m f m f = OM 1 -F + OM F = M 1 M F n M d M 1 m f = F. d O moment / axe = m f. n Si scalaie >0, le moment entaîne un mouvement dans le sens du tie bouchon lié à n. Moments 76

99 77 La suface balayée pa le ayon vecteu est une fonction linéaie du temps. La loi est connue sous la fome: les aies balayées pendant des intevalles de temps égaux sont égales et elle constitue la deuxième loi de Keple. 5. Extensions : moment d'un couple, et moment pa appot à un axe 5.1 Moment d'un couple Un couple est constitué de foces égales et opposées (même module, même diection, de sens opposé, mais pas colinéaies). Son moment est la somme de chacun des moments: mf OM1( F) OM F soit : mf M1OF OM F qui s'écit finalement : mf M1M F Contaiement au moment d'une foce, celui d'un couple est donc indépendant de l oigine choisie. Il est nul si les foces sont colinéaies, ce qui se conçoit aisément. 5. Moment pa appot à un axe En mécanique de otation des solides, ou tout simplement losqu on see une vis, c est le moment pa appot à l axe (de la vis pa exemple) qui est la valeu "efficace". Si le point O est su cet axe, et si n est un vecteu unitaie de cet axe, le moment "efficace" pa appot à l axe est donné pa le scalaie :. n m f Si le poduit scalaie est > 0, le moment engende une otation dans le sens du tie-bouchon. Pou ésoude de petits poblèmes, tels que celui du teuil et de sa manivelle, ou de la balance omaine, pécisons que, pou qu un système en otation autou d un axe ne soit pas accéléé (ente autes cas, immobile), il faut que la somme des moments, pa appot à cet axe, des foces extéieues appliquées soit nulle. 6. Conclusion Nous avons défini le moment d'une foce et le moment cinétique, et démonté le théoème du moment cinétique qui, nous l'avons vu su le cas paticulie de la foce centale, peut conduie tès apidement à des conclusions intéessantes. Avec les moments se teminent les appoches vectoielles de la mécanique. Les futues notions de tavail et d'énegie seont uniquement scalaies donc plus faciles à manipule. Moments 77

100 77 TRAVAIL PUISSANCE ENERGIE CINETIQUE Tavail Puissance Enegie cinétique 77

101 78 V. TRAVAIL, PUISSANCE, ENERGIE CINETIQUE TRAVAIL D UNE FORCE Définition difféentielle Tavail su un pacous Exemple Cas tès paticulie de la foce constante PUISSANCE ENERGIE CINETIQUE THEOREME DE L ENERGIE CINETIQUE ENERGIE CINETIQUE: OUVERTURE RELATIVISTE Tavail F dl B Evite d applique diectement la elation: W A B = F. AB dw W B A F. dl B F. dl A Elle n est valable que si le module, la diection et le sens de la foce sont constants, ce qui est tès aement le cas. Tavail Puissance Enegie cinétique 78

102 79 V. Tavail, puissance, énegie cinétique Nous intoduisons ici des gandeus scalaies, à pioi plus faciles à manipule, mais en contepatie, elles ne donnent pas tous les enseignements. La seule elation qui pemet de ésoude totalement un poblème de mécanique est le PFD. 1. Tavail d une foce 1.1 Définition difféentielle La définition difféentielle du tavail W d une foce F qui s exece su un mobile qui se déplace de dl s écit : dw F. dl Ce poduit scalaie peut-ête positif, négatif ou nul. Mathématiquement, cette difféentielle s appelle la ciculation élémentaie. L unité du tavail est le Joule (J). Cette notion de tavail est assez subtile, et n est pas toujous intuitive. Il faut se méfie des appoches physiologiques : en effet mainteni un objet pesant à bout de bas demande beaucoup d effots et consomme des Joules, mais au sens où nous l'entendons en mécanique, le tavail effectué est nul ca il n y a pas de déplacement. Le tavail est dit moteu s il est positif et ésistant s il est négatif. 1. Tavail su un pacous Définition mécanique du tavail B B W F. dl A A Cette expession expime la ciculation (notion mathématique) du vecteu F su un pacous donné qui va de A ves B. Ce tavail peut dépende du tajet suivi et, pou un cicuit femé, du sens de pacous. Tavail Puissance Enegie cinétique 79

103 80 Tavail moteu et ésistant dw = F.dl F F dl dl < / dw > 0 Tavail moteu = /? / < < dw < 0 Tavail ésistant Tavail d un essot l A F u B F x A dw Intégale = tavail x B x=l-l 0 x ou l-l 0 -k dw = - k x dx Même si u n est pas constant (cf. texte) W B A = -½ k (x B -x A ) NB: 1/ se calcule tès facilement à pati de sufaces de tiangles / passe de 0 à x puis de x à x n est pas équivalent : tiangle -> tapèze Tavail Puissance Enegie cinétique 80

104 Exemples Tavail de la foce magnétique. F qv. B dl V Il est inutile d écie dw ca la foce et le déplacement sont pependiculaies, donc le tavail élémentaie est nul. Une foce magnétique ne tavaille pas. Tavail d'un essot (tajet quelconque). F k( ll0) u l lu d où dl dlu l du dw k( l l0) u ( dl u l du ) k( l l0)( dl l udu ) O (appel) ( u) 1 =>. udu0 donc : dw k( l l ) dl 0 Appelons x l allongement l l0 : x l l0. Ceci ne suppose pas que l on se déplace suivant un axe x! c est un simple changement de vaiable. Puisque dx dl : 1 dw kxdx d( kx ) Si nous patons d un point A où l allongement est xa pou alle en B ( x B ), le tavail s écia : B 1 WA k( xb xa) Le tavail est donc indépendant du tajet, il ne dépend que des allongements initiaux et finaux. NB : cette démonstation est plus simple si l extémité du essot se déplace suivant un axe fixe, mais elle est alos moins généale. 1.4 Cas tès paticulie de la foce constante Si la foce F est constante, ce qui est ae : B B B W F. dl F dl A A A B dl est tout simplement la somme de tous les déplacements élémentaies qui mènent de A A à B. C est donc AB. W F. AB F. AB.cos( ) B A si est l angle que font les deux vecteus ente eux. Même si elle est souvent citée, il vaut mieux oublie cette elation, et applique systématiquement la définition difféentielle du tavail, c est beaucoup plus sû. Tavail Puissance Enegie cinétique 81

105 8 Puissance P dw F dw F. dl dl P F FV. V P = F. V Watt (W) Newton (N) m/s Puissance et tavail d un moment (otation, l=cte) d n P FV. dom V n O Axe de otation u l F M dom d ( lu ) du l l u lu OM Au passage, ésultat tès intéessant pou la déivée d un vecteu de module constant P FV. F.( OM ) ( OM F ). M. f Fait appel à une popiété des poduits mixtes scalaies/vectoiel: si un paallélépipède a pou côtés a, b et c, ( a b ). c epésente le volume du paallélépipède et il n est donc pas supenant que: ( a b ). c a. b c ) etc... Pou un moment paallèle à l axe de otation, la puissance est égale au poduit du moment pa la vitesse de otation. Automobile : puissance = (vitesse otation) * ("couple" moteu) M f Watt dw P Joule P M f. m.n dw M. n d f ad/s unitaie ad Tavail Puissance Enegie cinétique 8

106 83. Puissance La puissance instantanée est définie à pati du tavail : dw P une puissance s expime en Watt (W) Une ancienne unité est malheueusement toujous utilisée dans l automobile : le cheval 1ch = 736Watts A pati de la définition du tavail, cette elation se éécit : Fdl. dl P F Donc : P FV. A l invese, le tavail peut donc s expime à pati de la puissance : dw P Et le tavail peut donc ête obtenu en intégant la puissance su l intevalle de temps considéé. Application : puissance nécessaie à un véhicule pou se déplace dans l ai, hos fottements solides. Nous avons vu que le fottement visqueux s écit : 1 F C SVV f x La foce F nécessaie au véhicule pou vaince le fottement de l'ai est égale et opposée à celle des foces de fottement. Donc : P FV. ( CxSVV) V CxSV Elle coit donc comme le cube de la vitesse du véhicule. Le poblème exactement invese est celui du moulin à vent, dont la puissance vaie avec une loi du même type, mais où le teme CS 1 x est popotionnel (mais pas égal) à la suface balayée pa les pales. La puissance d'un moulin à vent coit donc comme le cube de la vitesse du vent. 3. Enegie cinétique Cette notion combine la définition du tavail et le PFD appliqué pou une masse constante: la elation établie ne sea donc pas valable pou des vitesses elativistes. D apès sa définition: dw F. dl dv o : F m PFD pou une masse constante, d où dv dl dw m d l mdv m( dv ) V md[ ( V ) ] md[ V ] d( mv ) 1 La quantité mv semble donc intéessante. Elle a été nommée énegie cinétique et s expime comme toute énegie en Joules. 1 mv Enegie cinétique Ec Tavail Puissance Enegie cinétique 83

107 84 Enegie cinétique dw = F. dl dw = d (½mV ) F = m dv/ définition E c =½mV Théoème de l énegie cinétique V A A F dl F V B E c = ½ mv dw= F.dl B de c = dw ½mV B -½mV A = W A B Tavail Puissance Enegie cinétique 84

108 Attention pou un système de deux masses de cente de masse G à ne pas écie : C 1 E (m m )V ce seait faux dans la plupat des cas. 1 G NB : Compte tenu de l impotance de la quantité de mouvement, il est couant de touve l énegie cinétique sous la fome: E c p Enegie cinétique m 4. Théoème de l énegie cinétique Nous venons de démonte que : dw de c avec Ainsi, losqu une foce agit su un mobile de masse m, la vaiation de son énegie cinétique est égale au tavail effectué pa la foce. Cette elation peut évidemment ête intégée : B A B 1 B ( ) [ ] A soit A W d mv mv Ec 1 mv W mv mv B 1 1 A B A ce qui pemet d écie le théoème de l énegie cinétique sous sa fome la plus connue, B B A W E E A c c Le tavail est tès commode d emploi puisqu il est scalaie, mais, sauf si le poblème est à une dimension, il ne pemet généalement pas, à lui seul, de décie la tajectoie. Attention, la définition de l énegie cinétique utilise le PFD, et le théoème de l énegie cinétique doit donc ête employé exclusivement dans un epèe inetiel. B 1 NB: attention (eeu classique), à ne pas écie WA m( VB VA) 5. Enegie cinétique: ouvetue elativiste Une appoche tès simplifiée de la mécanique elativiste, consiste à considée que la masse est fonction de la vitesse V ; nous l'appelleons m I (masse inetielle) et m0 epésentea la masse au epos. Si c expime la vitesse de la lumièe: m0 mi oùv c V 1 c L énegie cinétique associée à une paticule s écit : Ec ( mi m0 ) c Cela doit vous appele la célèbe elation poposée pa Einstein il y a cent ans pou l énegie totale associée à une masse m: E mc. Losque V / c 1, 1 1 Ec (1 V c ) 1 V c, ce qui conduit à l expession non elativiste Rappel : sous sa fome dp F le PFD est valable dans tous les cas, y compis en mécanique elativiste. C est cette fomulation qu'il est conseillée de eteni. 1 mv 0 85 Tavail Puissance Enegie cinétique 85

109 85 ENERGIE POTENTIELLE ENERGIE MECANIQUE Enegie potentielle Enegie mécanique 85

110 86 VI. ENERGIES POTENTIELLE ET MECANIQUE FORCES CONSERVATIVES ET NON CONSERVATIVES Foces consevatives Foces non consevatives (dissipatives) ENERGIE POTENTIELLE (FORCES CONSERVATIVES SEULEMENT) FORCE ET ENERGIE POTENTIELLE TRAVAIL ET ENERGIE POTENTIELLE ENERGIE MECANIQUE THEOREME DE L ENERGIE MECANIQUE SYSTEMES NON DISSIPATIFS Popiété Diagamme d énegie et états liés Etats libes et liés. Conditions d équilibe UTILISATION DE L ENERGIE POTENTIELLE ET DU TRAVAIL Foces consevatives Foces non consevatives dl F m, q F V Foces gavitationnelles Foces électiques Ressot pafait. Tavail positif ou négatif W B A indépendant du tajet suivi (A peut ête confondu avec B auquel cas le tavail est nul) dl F dw = difféentielle totale A Fottement visqueux Fottement solide (foces toujous opposées au mouvement) Tavail toujous négatif W B A dépendant 1 B du tajet suivi A 1 B (A peut ête confondu avec B auquel cas le tavail est nul selon 1 et négatif selon ) Enegie potentielle Enegie mécanique 86

111 87 VI. Enegies potentielle et mécanique Ces deux notions n appoteont pou nous pas beaucoup plus que les notions de tavail et d énegie cinétique. Elles ne sont donc pas indispensables, mais sont tès utilisées ca elles pemettent une fomulation élégante des lois de l énegie et peuvent simplifie cetaines discussions. Nous seons amenés à classe les foces en catégoies : consevatives ou non consevatives 1. Foces consevatives et non consevatives 1.1 Foces consevatives Patons d exemples pou facilite la compéhension. Tavail founi pa un essot Nous avons établi dans le chapite tavail que : 1 dw d( kx ) ou encoe B 1 A ( B A) W k x x Ce tavail ne dépend que des allongements initiaux et finaux. Il est indépendant du chemin suivi et peut ête positif ou négatif. Tavail founi pa les foces de pesanteu. mm 1 dw d( KG ) (cf. fin du chapite gavitation) ou encoe B 1 1 WA KGmm 1 ( ) B A Là aussi, le tavail effectué pa les foces de pesanteu est indépendant du chemin suivi. Il ne dépend que des distances ente les deux masses au début et à la fin du pacous, et il peut ête moteu ou ésistant. Ces deux exemples sont typiques de foces consevatives : - le tavail élémentaie est une difféentielle totale - le tavail ne dépend pas du pacous suivi pou alle de A à B, ce qui est mathématiquement une conséquence de la difféentielle totale. 1. Foces non consevatives (dissipatives) Il seait suffisant de die que ce sont toutes les foces qui ne sont pas consevatives! Donnons quand même quelques exemples. Enegie potentielle Enegie mécanique 87

112 88 Foces ves potentiels (1) l 0 z m m u -x 0 +x x u u z F = - kx u E p = ½ kx + Cte x>0, F<0 x<0, F>0 F = - mg u E p = +mgz + Cte Fonction coissante de l altitude F = + mg u E p = - mgz +Cte Fonction coissante de l altitude Enegie potentielle Enegie mécanique 88

113 Foce de fottement visqueux F kv où k est positif. dw kvdl qui peut s écie : dl dw kv kv Cette expession fait inteveni à la fois la vitesse et le temps. A moins de emonte le temps, elle est toujous négative. Le tavail dépend évidemment du tajet suivi pou alle de A à B: il suffit d imagine deux chemins de longueus difféentes pacouus à la même vitesse le temps sea difféent. Il n'existe pas de difféentielle totale pou ce tavail. F C SV u 1 Foce de fottement visqueux x Pou ce cas, la conclusion peut se déduie de note expéience jounalièe, sans écie d équation, puisque c est typiquement la foce de fottement de l ai qui s oppose au cycliste ou à la voitue : le tavail effectué dépend évidemment du tajet suivi, et même de la vitesse à laquelle on l effectue, et il est manifestement toujous négatif. Ecivons quand même les équations : 1 1 dw CxSVV dl CxSVV( V) 1 3 dw CxSV Là encoe, on monte qu il n'existe pas de difféentielle totale. Foce de fottement solide F R u où u est dans le sens du mouvement et RT 0. dwrudl. Ru.( udlldu) Rdl T T T T Dans le cas, féquent, où R T est constant, il semble bien que l on tienne une difféentielle totale, mais c est faux ca si dl 0, RT doit change de signe ( RT 0). Même conclusion, évidente dans la vie de tous les jous, le tavail effectué pa cette foce est toujous négatif et dépend du chemin choisi. C est la popiété de toujous ête négative qui justifie le nom de foce non consevative ou dissipative : pou le système, l énegie est pedue, "dissipée". En fait elle est tansfomée.. Enegie potentielle (foces consevatives seulement) C est une gandeu définie pou les seules foces consevatives. Tout tavail élémentaie d une foce consevative peut se mette sous la fome d une difféentielle totale dw, et l énegie potentielle est définie pa : de dw Définition de l'énegie potentielle p Nous veons plus loin l utilité du signe négatif. E est une énegie et s expime donc en Joules. p 89 Enegie potentielle Enegie mécanique 89

114 90 Foces ves potentiels () u u Fil inextensible z Fil inextensible m z m F = + mg u E p = - mgz + Cte Enegie potentielle Enegie mécanique 90

115 91 Exemples : Pou le essot, 1 dw d( kx ) donc 1 Ep kx Cte ou de d kx et pa conséquent, p 1 ( ) ( ) 1 Ep k l l0 Cte Pou les foces gavitationnelles, mm 1 mm 1 dw d( KG ) donc de p d( KG ) et, mm 1 E p KG Cte' Il est toujous supenant au début de voi une gandeu définie à une constante pès: cela fait désode non? En fait cette constante n a aucune impotance pou l étude d un système ca nous nous sevons toujous de difféences ou de difféentielles d énegies potentielles, et la constante dispaaît. Comme elle n a aucune impotance, elle peut ête choisie abitaiement, et elle est généalement fixée de façon à simplifie, ou ende plus palantes, les expessions utilisées. Le nom d énegie potentielle vient de la possibilité, de la potentialité, qu à un système de founi de l énegie losqu il possède une énegie potentielle : eau stockée dans les baages, essot compimé ou en extension 3. Foce et énegie potentielle A une seule dimension, x pa exemple, la définition de l énegie potentielle se ésume à : de p dw Fdx donc de p Fdx Si la fonction énegie potentielle est connue, la foce peut donc se calcule simplement : de F p dx A plusieus dimensions, F F if jf k, et donc : de ( F i F j F k ).( dxi dy j dzk ) x y z de ( F dx F dy F dz) p x y z et chacune des composantes se calcule donc pa: p x y z F F x y E x E y E p Fz z Si bien que l on peut écie : E p E p E p F i j k x y z qui s écit de manièe condensée sous la fome : F gad( E p ) Il est donc pafaitement possible de passe des potentiels aux foces, et écipoquement. p p Enegie potentielle Enegie mécanique 91

116 9 Potentiel ves foce j i x E p = -mgz F p = -(E p /x i + E p /y j + E p /z k) y k Fil inextensible F p = + mg k z m Attention: cette opéation ne pemet évidemment que le calcul de la foce liée à Ep. Ici, la foce execée pa le fil (qui ne tavaille jamais) et celle du fottement de l ai (non consevative) doivent ête appéciées difféemment. NB: le pendule peut avoi une tajectoie quelconque et le fil peut même ête non tendu Enegie potentielle Enegie mécanique 9

117 93 4. Tavail et énegie potentielle A pati de la définition de E p dw de p le tavail founi pa une foce ente points A et B s écit : B A B W E E A p p expession où l on utilise effectivement une difféence et où la constante ne joue aucun ôle, comme pomis. Attention au signe : ce que l on avait ( E ), moins ce qui este ( E ) a contibué à founi du tavail. A p Il n y a pas fondamentalement de difféence ente tavail et énegie potentielle, et leus difféentielles sont d ailleus égales, au signe pès. Mais le tavail est une gandeu calculée ente deux états, tandis que l énegie potentielle est une fonction qui caactéise un état du système. Rappel: pou les foces non consevatives, il n est pas possible de défini une énegie potentielle. B p 5. Enegie mécanique Nous avons établi au chapite pécédent le théoème de l énegie cinétique qui stipule que : B B A WA Ec Ec Nous allons ici distingue le tavail des foces consevatives et non consevatives : B B B WA ( WA ) C ( WA ) NC En expimant le tavail des foces consevatives à pati de l énegie potentielle, on obtient : B A B B W E E ( W ) A p p A NC d où, en faisant maintenant inteveni l énegie cinétique pou emplace B A A B B E E E E ( W ) et donc : c c p p A NC ( E B E B ) ( E A E A ) ( W B ) c p c p A NC Il est tentant de défini une nouvelle gandeu, telle que : E E E M c p B W A : qui sea baptisée énegie mécanique. Le signe moins qui a été intoduit dans la définition de l énegie potentielle pemet de défini EM pa une addition. L énegie cinétique et l énegie potentielle s additionnent, elles epésentent de l énegie "disponible". Enegie potentielle Enegie mécanique 93

118 94 k m Etats liés E(J) k=75n/m Choix d une constante nulle 3 E p =½ kx +0 E M = 1,5J E p E c 1 x(m) -0, -0,1 0,1 0, La masse évolue nécessaiement ente 0, et +0,m, les états sont liés, le système est containt. Enegie potentielle Enegie mécanique 94

119 95 6. Théoème de l énegie mécanique L énegie mécanique véifie donc : B A B E E ( W ) M M A NC Donc losqu'un système matéiel décit une tajectoie ente points A et B, la vaiation de l énegie mécanique d un système matéiel, est égale au tavail des foces non consevatives qui agissent su lui. Le tavail d une foce non consevative étant toujous négatif, l énegie mécanique d un B A système ne peut donc que décoîte : E E (si B est postéieu à A bien sû!). M M 7. Systèmes non dissipatifs 7.1 Popiété Ces systèmes ne font inteveni que des foces consevatives (non dissipatives), donc d'apès le théoème de l'énegie mécanique que nous venons d'établi: B A EM EM 0 EM Cte En l absence de foce dissipative, l énegie mécanique d un système est constante. 7. Diagamme d énegie et états liés L énegie cinétique étant nécessaiement positive ( mécanique E E E exige que : E M c p M E p 1 mv ), la définition de l énegie Cette inégalité impose une containte su les états possibles du système. L énegie potentielle est condamnée à ête inféieue à l énegie mécanique et toutes les configuations ne sont donc pas possibles, ce que nous allons voi su un exemple. Exemple : système masse essot Soit une masse posée su une table sans fottement, et eliée à un essot à spies non jointives. Au dépat, la masse est éloignée de sa position d équilibe (équilibe qui coespond au essot non tendu) jusqu à une valeu x 0, puis elle est lâchée sans vitesse initiale et évolue libement. L énegie potentielle du essot s écit : 1 E kx Cte p Cette foce étant consevative, l énegie mécanique est constante. Nous pouvons alos epésente cette énegie potentielle en fonction de la vaiable x (paabole). Comme elle est toujous inféieue à E M, une hoizontale la limite, et containt donc x à este ente limites. Les états possibles sont dits liés, et un tel diagamme s appelle un diagamme d énegie. Enegie potentielle Enegie mécanique 95

120 96 État libe E p E M >E M1 E M1 État libe État lié E c Enegie cinétique x Enegie potentielle Enegie mécanique 96

121 L énegie mécanique est facile à calcule, puisque au temps t=0, l énegie cinétique est nulle donc: 1 EM 0Ep 0 kx0 Cte Il est aisé de monte ici que x0 x x0 ca : 1 1 EM EP 0 kx0 Cte 0 kx Cte => x0 x A popos de la constante : nous venons de monte que le choix de la constante n a pas d incidence su la conclusion. Donnons en une aute illustation : E E E s écit ici : M c p kx0 Cte mv kx Cte elation qui nous pemet de calcule l énegie cinétique pou une configuation quelconque du système : mv kx0 kx L énegie cinétique ne dépend donc pas de la constante, la vitesse non plus. Répétons-le : l énegie potentielle et l énegie mécanique sont fonction de la même constante qui est totalement abitaie et souvent pise nulle Etats libes et liés. Conditions d équilibe Nous nous limiteons à un système dont l état dépend d une seule vaiable, x pa exemple. Nous avons vu su un exemple les états liés qui contaignent la vaiable à este ente des valeus définies pa l énegie mécanique. Pou des systèmes plus complexes, suivant l énegie mécanique, les états peuvent aussi ête liés ou libes. Un tès bonne illustation en est une bille évoluant su des eliefs. Suivant son énegie, elle peut soit este localisée (état lié), soit fanchi les eliefs (états libes). Ses limites d évolution sont celles qui autoisent une énegie cinétique positive. Un équilibe est dit stable si le système y este losqu il est sans vitesse, et s il y etoune spontanément apès avoi été légèement écaté de cet état. Il faut donc que la foce soit nulle dans cet état et qu il y ait une foce de appel et donc que : df F 0 et 0 dx ainsi, si l écat est positif, la foce est négative et amène le système ves l équilibe. Il en est de même si dx 0 : la foce est alos positive. Invesement, un système est dit en équilibe instable si : df F 0 et 0 dx ca dès qu'il s éloigne de l état d équilibe, la foce accélèe le mouvement. Enegie potentielle Enegie mécanique 97

122 98 Etats stables, instables et métastables F x 1 E p Etat instable x Etat métastable Evolution spontanée Etat stable F F = 0 <=> de P dx = 0 x df < 0 <=> d d E P dx > 0 dx Enegie potentielle Enegie mécanique 98

123 99 Un équilibe métastable coespond à la définition d un état stable, mais il existe un état stable dont l énegie potentielle est plus faible : la pièce de monnaie su la tanche, ou le andonneu su une vie en dessus du vide. Compte tenu de la elation de F p dx Les conditions d équilibes peuvent s écie : Avec la foce Foce F Equilibe df dx Stable (ou métastable) 0 <0 Instable 0 >0 Avec l énegie potentielle : Potentiel de p de p Equilibe dx dx Stable (ou métastable) 0 >0 Instable 0 <0 Rappel de mathématique : la déivée seconde indique la concavité; si elle est positive, la concavité est tounée ves les énegies coissantes ("ves le haut"). Un équilibe stable coespond donc à une dépession de potentiel, on pale souvent de puits de potentiel. La foce de pesanteu, associée aux eliefs teestes, en est un exemple pafaitement évident : en fond de vallée un objet est stable et la foce ésultante (pesanteu + éaction du sol) est nulle, tandis qu au sommet d un pic, l état est instable (et la foce nulle). 8. Utilisation de l énegie potentielle et du tavail Il faut bien se ende compte que l énegie potentielle et le tavail sont deux notions tès poches. Il ne faut sutout pas s imagine que cetains poblèmes sont insolubles sans les notions d énegies potentielle et mécanique et de toute manièe le PFD suffit! Pa conte l énegie potentielle est indispensable si les foces ne sont pas données : elles seont obtenues pa déivation pa appot aux coodonnées d espace. Repenons l exemple du système masse-essot et appliquons lui le théoème de l énegie cinétique. L expession du tavail d un essot : B 1 x 1 WA k( xb xa) peut tout aussi bien s écie : Wx 0 k( x x0 ) Donc d apès le théoème de l énegie cinétique : 1 1 mv 0 k( x x0 ) L expession est identique à celle que nous avons établie pécédemment, sans l intevention de l énigmatique constante! Le changement tavail-potentiel consiste en fait à change le signe du tavail (et donc son nom) en le faisant passe de l aute côté du signe égal. Enegie potentielle Enegie mécanique 99

124 99 COLLISIONS Collisions 99

125 100 VII. COLLISIONS INTRODUCTION CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT DIMENSIONS DE LA COLLISION RELATION ENTRE LES VITESSES (MASSES CONSTANTES) COLLISIONS ELASTIQUES (CONSERVATION DE L ENERGIE CINETIQUE) Popiétés Collision élastique de deux masses identiques dont une est immobile Collision élastique diecte Collision élastique diecte avec une masse immobile COLLISION INELASTIQUE (NON CONSERVATION DE E C ). ENCASTREMENT COLLISIONS ET REPERE LIE DU CENTRE DE MASSE Cas généal Collision élastique Collision totalement inélastique (encastement) Changement de epèe Collision 3D m 1 p 1 m p p p p p ' ' 1 1 p m Plan d incidence m 1 p 1 Si les foces extéieues sont nulles ou n ont pas le temps d agi Rappel: dp F ext. Collisions 100

126 101 VII. Collisions 1. Intoduction L étude des collisions est une application tès intéessante, et paticulièement instuctive, des lois de la mécanique concenant la quantité de mouvement et l énegie cinétique. Il ne sea pas fait appel ici aux autes notions vectoielles ou scalaies. Dans l étude d une collision, on ne s intéesse pas au détail de l inteaction, mais seulement aux caactéistiques de chacune des paticules avant et apès l inteaction. Le teme collision est à pende au sens lage, il n y a pas focément un contact "physique" pou les objets (comète autou du soleil ou déviation des chages électiques pa exemple). On considèe simplement deux cops avant que les foces d inteaction soient notables, puis, apès appochement conduisant à des foces significatives, à leus nouvelles caactéistiques, losque les inteactions edeviennent négligeables. Une collision sea ici vue sous sa fome la plus simple : deux points matéiels sont en inteaction, sans aucune aute foce extéieue appliquée à ce système (*). Les deux seules foces en pésence sont donc les actions écipoques : F 1et F1 avec F F Consevation de la quantité de mouvement Avant collision les quantités de mouvement sont espectivement notées : p 1 et p Apès collision, elles deviennent : ' ' p et p 1 Il a été établi dans le chapite "Pincipes fondamentaux de la dynamique : application" que dans le cas où il n y a pas de foce extéieue appliquée, la quantité totale de mouvement est constante. Donc : ' ' p p p p 1 1 Cette elation est valable même si la masse n est pas constante. 3. Dimensions de la collision. Dans le cas généal, la collision se déoule à 3 dimensions : les deux vecteus p 1 p définissent un plan, et ' ' p et p définissent généalement un aute plan. 1 et (*) Plus généalement, si epésente le temps d inteaction, il suffit que F négligeable devant les quantités de mouvement des masses en inteaction. soit Collisions 101

127 10 Collision D (ici m immobile) m 1 p 1 p p 1 p 1 Plan de la collision m m m 1 p 1 p p p p ' ' 1 1 Collision, m au epos (vecteus dans le plan de la feuille) p ' 1 1 p 1 p ' p p p ' ' 1 1 masses cons tantes m V m V m V ' ' mv 1 1 mv 1 1 cos 1 mv cos ' ' ' ' mv 1 1 sin 1 mv sin Collisions 10

128 Dans le cas paticulie d une collision où une des paticules est immobile (m pa exemple), l ensemble de la collision se déoule dans un seul plan. En effet, puisque p 0 : ' ' p1 p1 p Ces tois vecteus composent un tiangle qui définit le plan de la collision. 4. Relation ente les vitesses (masses constantes) Simplification : dans toute la suite, nous allons nous situe dans le cas de masses constantes. La masse étant constante, la consevation de la quantité de mouvement devient : ' ' mv 1 1mV mv 1 1mV Soit aussi : ' ' m ( V V ) m ( V V ) m Cte Le poduit de la masse pa la vaiation de vitesse est donc le même pou chacune des paticules, au signe pès. Attention, c est une elation vectoielle. Les masses m1 et m sont connues ainsi que les vitesses V 1 et V. Nous echechons que nous allons essaye de calcule dans quelques cas typiques. ' V 1 et 103 ' V, 5. Collisions élastiques (consevation de l énegie cinétique) 5.1 Popiétés Ce sont les collisions qui se déoulent avec consevation de l énegie cinétique du système. Il est inutile de pale ici de l énegie mécanique puisqu il n existe pas d énegie potentielle, les foces extéieues étant nulles. Rappel : l écitue E mv nécessite que la masse soit constante. c 1 La consevation de l énegie cinétique se taduit donc pa : ' 1 ' m1v1 mv m1v1 mv Elle peut se éécie sous la fome : ' ' ' ' m ( V V )( V V ) m ( V V )( V V ) elation scalaie, qui pésente une cetaine similitude avec la elation vectoielle ente les vitesses issue de la consevation de la quantité de mouvement (cf. paagaphe pécédent). Collisions 103

129 104 Collision élastique (consevation E c ) avec m au epos et m 1 =m V ' 1 V 1 V ' V V V ' ' 1 1 p p p ' ' 1 1 Schéma identique pou les p Collision élastique diecte (su un axe) avant apès V 1 V V 1 V m 1 m m 1 m V mv ( m m ) V ' m1 m V mv ( m m ) V ' m m1 Collisions 104

130 En l absence d infomation supplémentaie, nous ne pouvons pas ésoude le système, c est à die détemine et ca nous avons 6 inconnues (3 pou chacun des vecteus) et seulement ' V 1 ' V 4 équations : 3 founies pa l équation vectoielle des vitesses, et une pa l équation scalaie. [A deux dimensions (dans un plan) il esteait 4 inconnues pou 3 équations] Nous allons donc considée des cas paticulies. 5. Collision élastique de deux masses identiques dont une est immobile. Si m1 m, et si la masse est supposée immobile, les elations de consevation se simplifient sous la fome : ' ' V V V et 1 1 ' ' V1 V1 V Une intepétation géométique évidente (théoème de Pythagoe) pouve que les deux ' ' vitesses finales V 1 et V sont pependiculaies. Sans indication supplémentaie, on ne peut ien die de plus. Tous les tiangles ectangles ' inscits dans un cecle de diamète V 1 sont possibles. Pou alle plus loin, il faut un paamète supplémentaie, pa exemple la déviation de la masse 1. Il vient alos : ' V V cos V 1 1 V sin ' Collision élastique diecte Pa définition, une collision est diecte si tout se déoule su un même axe: toutes les vitesses sont alos colinéaies. La elation vectoielle des vitesses se pojette donc su cet axe de la manièe suivante : ' ' m1( V1 V1) m( V V) (a) Avec l équation de consevation de l énegie, nous avons donc équations pou deux ' ' inconnues, V1 et V qui sont bien entendu des vaiables algébiques. En divisant ente elles la deuxième elation de consevation de l énegie ' ' ' ' m1( V1 V1)( V1 V1) m( V V)( V V) et celle que nous venons d établi, nous obtenons une elation tès simple ente les vitesses : les sommes des vitesses de chaque masse avant et apès collision sont égales. ' ' V1 V1 V V (b) Les caés dispaaissent donc, et à pati des deux équations (a) et (b), nous aboutissons facilement à : V V mv ( m m ) V ' m1 m mv ( m m ) V ' m m1 collision élastique su un axe déteminé (diecte) Collisions 105

131 106 Collision élastique diecte, m immobile avant apès V 1 V 1 V m 1 m m 1 m m m V V ' m 1 m V m V ' 1 1 m m 1 m 1 <<m m 1 >>m avant apès m 1 m m 1 m avant m 1 m 1 apès V 1 -V 1 V 1 m V 1 m V 1 Dans les cas DANGER pou la masse faible: vaiation de vitesse =V 1 Le chauffeus du camion subia une foce plus petite que celui de la voitue: même masse, mais vaiation de vitesse plus petite Rappel : F d p / Repèe du laboatoie, V =0 V V? ' 1 1 V V? ' 1 ' V V 1? 1 Collision diecte, avec V =0 - élastique - inélastique à vous de joue pou identifie les coubes 1 m /m 1-1 Collisions 106

132 Collision élastique diecte avec une masse immobile Un cas paticulie impotant est celui d un cops de vitesse V 1 qui ente en collision avec un objet immobile ( V 0 ). Les deux elations se simplifient sous la fome : V V m m V ' m1 m m V ' 1 1 m1 m Si m1 m Si m1 m Si m1, le choc fait ebousse chemin à m 1., m 1 s immobilise et m pat avec la vitesse V 1 (c est le caeau de la pétanque) m, m 1 gade le même sens de déplacement. Un ésultat cuieux est que si m 1 >>m, m acquea une vitesse double de celle de m 1, qui elle ne changea patiquement pas de vitesse. Moalité outièe même si la collision n est pas vaiment élastique!? Considéations d'énegies. L énegie de la paticule 1, seule énegie existante avant la collision : 1 Ec1 mv 1 1 se épatit ente les deux masses de la manièe suivante : ' m1 m Ec1 ( ) Ec1 m1 m ' 4mm 1 Ec E c1 m m 1 Cette denièe elation indique que le tansfet d énegie de la masse 1 à la masse, ' Ec/ E c1, est tès faible si m 1 m, mais aussi si m1 m. Il est maximum et total si ' m1 mca Ec1 0. C est encoe le caeau de la pétanque. Remaque: masses et appot de masses. Nous constatons que toutes nos elations peuvent s'écie en utilisant seulement le appot des masses, nous n'avons pas besoin de leus valeus individuelles. Ceci pouvait d'ailleus ête déduit immédiatement des équations de consevation. Pa exemple, avec k m m1: ' 1 k V1 V1 1 k ' 4k Ec E c1 1 k Ce sea vai aussi pou la suite, mais nous gadeons les expessions en fonction des masses, pou este plus pès des gandeus physiques. Collisions 107

133 108 Collision inélastique (non consevation Ec), avec m immobile et encastement avant apès V 1 m V m 1 mv (m m )V' Une collision inélastique avec une masse immobile est focément diecte (su un axe) La collision inélastique à l enves ou la poussée d une fusée (m éjecté avec V R pa appot à la fusée) Avant V V V R m Apès V V m m m ( m m ) V m ( V V ) m ( V V R ) 0 m. V mv. R m V V R m dv m Poussée m ( masse m ) m V R t (accessoiement, emaque que mathématiquement: m = - dm) Accéléation Feinage Changement tajectoie Collisions 108

134 Collision inélastique (non consevation de E c ). Encastement. Elles se caactéisent pa une dissipation d énegie et peuvent ête de genes tès vaiés : - endoénegétique (défomation ou dislocation d une ou des deux masses pa exemple) - exoénegétique (explosion, fusion, fission ) et les solutions sont donc vaiées. Nous allons étudie un cas typique, l encastement: apès la collision les objets estent solidaies. La collision est dite totalement inélastique. ' Apès collision, ils possèdent donc la même vitesse V. L'équation est simple: ' mv1 mv ( m m ) V 1 1 Nous taiteons ci-dessous le cas de deux objets dont un est immobile au dépat: V 0 L'équation de consevation de la quantité de mouvement conduit donc à : ' m 1 ' V V1 ce qui pouve que V et V 1 sont colinéaies. m m 1 Calculons les vaiations de vitesse : ' m Masse 1: V V1 V1 m1 m ' m1 ' m1 Masse V 0 V1 [ Rappel collision élastique : V V1] m1m m1m Et donc, en effectuant le appot : ' V 0 m1 ' V V m 1 Encoe une fois, c'est la plus petite masse qui subit la plus gande vaiation de vitesse. Une collision ente véhicules est généalement patiellement élastique, ce qui ne change ien à la conclusion : la masse la moins impotante subit toujous le maximum de vaiation de vitesse. Note que cette vaiation de vitesse est deux fois plus petite dans le cas de l encastement. La pete d énegie cinétique du système se calcule aisément, et est égale à : m Ec1 m m 1 Elle est faible si m m1, d autant plus gande que la masse m est élevée, et quasiment totale si m m1. NB : que les collisions soient élastiques ou inélastiques, il est toujous possible de se amene au cas où un des deux objets est immobile en effectuant un changement de éféentiel (et epèe pa la même occasion) se déplaçant à la vitesse V pa exemple. Collisions 109

135 110 Collision élastique, masse immobile O Repèe du laboatoie V : avant m1 1 m ( m m ) OG m OM m OM VG V m1 m Repèe du cente de masse: quantité de mouvement totale toujous nulle quate quantités de mouvement égales m Avant La masse étant immobile dans le laboatoie, * V V [ m /( m m )] V G Et pa conséquent: * * p [ mm /( m m )] V p p mm V * m1 m p mm V * 1 1 m1 m m1 m Apès mm m p V V V '* 1 '* m1m m1m m 1 0 m mm m p VV V '* 1 '* m1m m1m m m1 VG V1 m m V 1 m1 m 1 Retou dans le epèe du laboatoie (apès) Ajoute V G aux vitesses ' V1 m 1 m 1 m V 1 1 m1 m m1 VG V1 m m 1 ' V A Démonstation géométique pou () B C m V sin tg cos 1 cos tg 1 1 m1 m sin sin cos tg m1 m1 V1cos V 1 m1m m1m m 1 m1 m sin 1 tg 1 m1 m m1 V1 V1cos cos 1 1 V sin m m m m Rappel: dans le plan nous avons 4 inconnues ( composantes pou chaque vecteu vitesse apès collision) et seulement 3 équations. Donc il faut une donnée supplémentaie pou ésoude le système m sin m1 cs o m ABC Isocèle (ou théoème de l angle au cente et de l angle au sommet) => Infomation supplémentaie (tiangle ABC): V m ' 1 1 m1 m V cos Collisions 110

136 Collisions et éféentiel lié au cente de masse 7.1 Cas généal La somme des foces extéieues étant nulle, la vitesse du cente de masse V G est constante (cf. Chapite Pincipes fondamentaux, Cente de masse). Nous allons monte qu un éféentiel en tanslation à la vitesses V G pa appot au laboatoie, est un éféentiel pivilégié pou expime les popiétés des collisions. Le plus simple est de pende un epèe ayant son oigine en G (GXYZ). Attention, le cente de masse a été défini pou des masses constantes. Si G est le cente de masse de deux points situés en M 1 et M, alos, pa définition mgm 1 1mGM 0 * Dans ce éféentiel, G est fixe et pa conséquent, dgmi / expime la vitesse V i du point M (l astéisque indique que la vitesse est expimée dans un epèe lié au cente de masse). i La déivée pa appot au temps de la définition du cente de masse conduit à : * * * * mv mv soit : p p La quantité de mouvement totale expimée dans un epèe lié au cente de masse est donc nulle. La consevation de la quantité de mouvement s'écit donc: * * '* '* p1 p p1 p 0 Chacune des deux sommes nulles nous conduit à: * * * * p p et p ' p ' Collision élastique Dans le epèe GXYZ du cente de masse, la consevation de l énegie devient * * '* '* 1 ( p1) 1 ( p) 1 ( p1 ) 1 ( p) m m m m 1 1 D apès les ésultats pécédents ( 1 1 )( ) ( 1 1 )( p ) m m m m 1 1 p * '* * '* ( p 1 ) = ( p1 ) Ce qui pouve que p p et * * 1 p ' p ' donc : * * 1 et donc que la nome de la quantité de mouvement de chaque masse, expimée dans un epèe lié au cente de masse n a pas vaié : Cette égalité, ajouté aux elations pécédentes p p et * * 1 p ' p ' * * 1 p p. * '* 1 1 nomes des quantités de mouvement impliquées dans la collision sont égales : p p p p * * '* '* 1 1, pouve que les quate Ce ésultat, d'une tès gande simplicité, confime qu un éféentiel lié au cente de masse est bien un éféentiel pivilégié. Collisions 111

137 11 Choc, élastique ou non, et sécuité Dans un choc, ce qui est impotant pou l oganisme, ce sont les foces qui lui sont appliquées. Penons l exemple des cevicales de la colonne vetébale qui doivent assue avec les muscles le maintien de la tête. La foce est égale à dp/, ou plus physiquement p/t, p étant la quantité de mouvement DE LA TETE, p sa vaiation, et t la duée de la collision. Les foces sont donc d autant moins élevées: - que la tête est légèe, mais là on n y peut pas gand chose - que la vaiation de vitesse est moins élevée: donc se touve de péféence dans un véhicule de masse élevée. - que le temps duant lequel cette vaiation s opèe est long: donc élasticité souhaitable pou le véhicule et la ceintue mais pas top! Choc inélastique conte un mu V ( ou p mv ) Avant le choc V=V 0 (1) () Evolution conduisant au minimum de la foce Apès le choc V=0 V 0 x c Suface= distance pacouue duant le choc 0 0 t c t 0 0 tc La doite conduit à une foce F =dp/ moins élevée que d autes coubes que l on pouait imagine, telles que (1) ou () C est un cas (idéalisé) qui pemet d estime la foce minimale que subit le cops en décéléation. x c 1 Vt 0 c mv Foceminimale t c 0 Foceminimale 1 mv x c 0 Enegie cinétique x c Collisions 11

138 113 Attention, pou les vitesses, ceci implique seulement : * '* V V V 1 1 V * '* Mais n implique pas pa exemple : * * V V Nous auons au contaie, encoe une fois: petite masse gande vitesse Collision totalement inélastique (encastement) La conclusion du cas généal este évidemment valable : * * * * p p et p ' p ' 1 1 Apès la collision, les deux masses sont solidaies, donc le cente de masse est confondu avec les masses et pa conséquent: '* '* '* '* V1 V 0 (et de même évidemment: p1 p 0 ) Les deux masses sont immobiles au point G. Il n'y a plus d'énegie cinétique dans un epèe lié au cente de masse. L'énegie cinétique de dépat, expimée dans le epèe du cente de masse : * * 1 ( p1) 1 ( p) est totalement pedue. m1 m Ceci n'est pas le cas dans le epèe du laboatoie, comme nous l'avons vu. 7.4 Changement de epèe Il est utile de pouvoi passe des vitesses V 1 et V dans le epèe oiginal (du laboatoie) aux vitesses expimées dans celui du cente de masse ca ils sont aement confondus. Il faut epati de la ème définition du cente de masse dans le epèe Oxyz ( m1m) OG m1om1mom dont la déivée pa appot au temps donne la vitesse dans le epèe Oxyz: ( m1m) V G mv 1 1mV Le epèe lié au cente de masse GXYZ est en tanslation pue pa appot au epèe Oxyz. Dans ce cas (cf. Changement de epèe), la vitesse de chaque masse dans le epèe Oxyz est donnée pa: * * V V V etv V V 1 G 1 G Donc, pou V 1 pa exemple : * mv 1 1 mv * V1 VG V1 V1 m1 m * ( m m ) V m ( V V ) Des elations analogues elient * d'où l'on tie facilement : V à V V1, '* ' ' V à V V, et 1 1 '* V à V V ' ' 1 Collisions 113

139 113 GRAVITATION Gavitation 113

140 114 VIII. GRAVITATION FORCES DE GRAVITATION CHAMP DE GRAVITATION POIDS D UN OBJET Analyse du poids Bilan ACCELERATION LOCALE DE LA PESANTEUR TRAVAIL ET ENERGIE POTENTIELLE (R>R T ) Foce et champ Foce Champ F 1/ = m G(P) m F 1/ Point P u 1/ G(P) m 1 F 1/ = - K G m 1 m u 1/ u 1/ F 1/ = - F /1 m 1 G(P) = - K G m 1 u 1/ Le champ de pesanteu G(P) lié à m 1 ne dépend que de la position du point P pa appot à la masse m 1. m n intevient pas dans l expession du champ Gavitation 114

141 115 VIII. Gavitation 1. Foces de gavitation La foce d attaction ente masses ponctuelles de masse m1 et m, établie pa Newton ves 1650, s expime pa : mm 1 F1 KG u 1 F 1 : action de la masse m 1 su la masse m K G : constante de gavitation univeselle =6, m 3.kg -1.s - (pécision actuelle 0,01% seulement!) : distance ente les deux points u : vecteu unitaie diigé de 1 ves 1 Cette elation este vaie si les masses ne sont pas ponctuelles, mais pésentent une symétie sphéique, cf. théoème de Gauss, qui sea démonté en électostatique. Attention, il faut non seulement que la masse ait un aspect sphéique, mais aussi que la distibution intéieue des masses soit à symétie sphéique. Ceci n impose pas bien sû une masse volumique constante, elle peut évolue en fonction du ayon.. Champ de gavitation La foce de gavitation est une foce d inteaction à distance. Si la masse m 1 est pésente quelque pat, toute masse m subia une foce. Il est commode de éécie F1 sous la fome: m 1 F1 KG u 1 m Pou décie l inteaction à distance de m1 su une masse quelconque ( m pa exemple) située au point P, il est donc possible de défini un champ de vecteus m 1 G( P) KG u 1 Ce champ n est fonction que de la valeu de la masse m 1 et de la position du point P pa appot à la masse m 1. Il s expime en m.s -. L action de m 1 su m s écit alos : F1 m G( P ) Si la tee était sphéique, on pouait calcule son champ de gavitation en fonction de sachant que : m T = 5, kg Gavitation 115

142 116 Poids P Définition P = - F m m F F + F gav. = m F gav. P = F gav. -m Gavitation 116

143 117 Remaque : ce qui a été fait pou la masse m 1 auait pu ête fait pou m. Le poblème est entièement symétique. Dans les faits, il existe souvent une tès gosse masse (Tee, Planète, Soleil ) qui gèe les foces dans son envionnement et pou laquelle il est intéessant de défini un champ de gavitation. 3. Poids d un objet Nous en donneons une définition "expéimentale" en suspendant une masse m à un essot : le poids est exactement la foce égale et opposée à la foce F execée pa le essot su la masse m. Poids F 3.1 Analyse du poids. Sa diection, donc celle du essot, indique pa définition la veticale du lieu. La masse m suspendue n est soumise qu à deux foces : celle du essot et la gavitation. Donc en appliquant le PFD : F Fgav. m, d où la elation donnant le poids : Poids F m gav. Il faut donc évalue les deux composantes du poids. F gav. et m F gav. Si la tee était sphéique, cette foce seait simple et égale à : m T Fgav. ( KG u ) m u est diigé suivant un ayon (vecteu unitaie identique à celui des coodonnées sphéiques). En se plaçant su la tee (mais on peut alle su la lune), à sa suface, R et le teme ente paenthèses est le G ( P) local et vaut 9,81ms -. Mais la tee n est pas tout à fait sphéique, elle se appoche d un ellipsoïde d aplatissement fois km, ce qui a plusieus conséquences : m T La foce n est pas égale à ( KG u 1) m, ni en intensité ni en diection. La foce execée pa la tee amène les objets ves le plan équatoial, ce qui peut se compende, qualitativement, en emplaçant l ellipsoïde pa une sphèe à laquelle on ajoute un bouelet de matièe à l équateu. Toutefois l effet lié à une fome ellipsoïdale est faible compaé au teme d accéléation m. T Gavitation 117

144 118 La tee Accéléation d un point de la tee liée à sa otation pope Effets de la non sphéicité 1/ La foce n est pas diigée ves le cente de la tee Le enflement de l équateu "amène" les objets dans le plan de l équateu P P n Equateu Equateu R T / Définition de la latitude Latitude = - P n Equateu = 0,034ms - à l équateu Bilan gavitation + otation tee su elle -même Equateu F gav m Poids Gavitation 118

145 119 m La masse suspendue sous le essot n est pas immobile ca la tee toune su elle-même et autou du soleil. La otation ce la tee autou de son axe Sud Nod entaîne la masse m dans un mouvement ciculaie unifome. L accéléation coespondante est paallèle à l équateu (attention, elle n est pas suivant un ayon de la "sphèe") et vaut : n P Ce teme est nul aux pôles et maximum à l équateu où RT = 0,034ms -. La pésence de la Lune et aussi celle du Soleil conduisent à un effet de maée, lié à la foce gavitationnelle, mais aussi aux otations engendées. Voi la (bonne) littéatue ou le site physique.belledonne et aussi le denie cous d amphi. L ode de gandeu est 10-6 ms - pou l effet cumulé de la Lune et du Soleil. 3. Bilan En supposant la tee sphéique et en négligeant l effet de la otation de la tee autou du soleil, le poids s écit : m T Poids ~ KG u P nm 4. Accéléation locale de la pesanteu Pa définition : Poids g m Quel est l intéêt de défini cette gandeu? Tous les temes qui inteviennent dans le poids sont popotionnels à la masse, donc en divisant le poids pa la masse, on définit une popiété de l espace (un champ de vecteus) qui est indépendante de la masse m. C est tès exactement le champ de pesanteu G ( P) défini plus haut. En penant l expession appoximative du poids établie pécédemment, g s écit : m T g ~ KG u P n Dans un souci de simplification, nous tavailleons généalement sans le teme d'accéléation : m T g ~ KG u Evolution avec l altitude : A la suface du sol, RT et nous poseons g g0. A une altitude z, RT z. D où l évolution elative du module de g : g R T 1 z ~1 g0 R z 1 z R R T T T Gavitation 119

146 10 Si la tee était sphéique et homogène (=Cte) (Voi théoème de Gauss en électostatique) g g 0 g 0./R T g 0.(R T /) R T Gavitation 10

147 Su tee avec un ayon de 40000km/()=6357km, la diminution est de 0,3% à 10km d altitude. Et à l intéieu de la Tee? L accéléation g doit ête nulle au cente, mais pou 0 RT le poblème est compliqué si la masse volumique n est pas constante ce qui est le cas. Pa conte si cette masse volumique est supposée constante, g est linéaie jusqu à la suface où il vaut g 0 (cf. démonstation avec le théoème de Gauss en électostatique). A l'extéieu il décoît évidemment en 1/, comme nous l'avons vu. Un joli petit poblème consiste à suppose que l on puise ceuse un tunnel de pat en pat de la tee, ou pende un système tès peu dense qui pouait ête tavesé. Si g vaie comme (vaiation linéaie), la foce est donc popotionnelle à la distance au cente : donc si un objet est lâché de la suface, il va effectue un mouvement connu dont on poua compae la péiode avec celle d un satellite qui feait le tou : les péiodes sont égales! Tavail et énegie potentielle (>R T ) Nous allons ici donne les expessions dans les cas : g constant (appoximation) et g en 1/ Rappel : si u est un vecteu unitaie, udu. 0 ca ( u) 1 FORCES F mgk k ves le haut. mm T F KG u TRAVAIL dw F. dl dl dxi dy j dzk dw mgdz B W mg( z z ) A B A ENERGIE POTENTIELLE de P P mgdz E mgzcte de p dw dl d. u. du mm T dw KG d mm T dw d( KG ) B 1 1 WA KGmTm( ) mm T dep d( KG ) mm T Ep KG Cte' B A E p est une fonction coissante de l altitude. Gavitation 11

148 11 PROBLEME DES DEUX CORPS Poblème des deux cops 11

149 1 IX. PROBLEME DES DEUX CORPS LES DEUX CORPS (PONCTUELS, OU A SYMETRIE SPHERIQUE) QUANTITE DE MOUVEMENT CENTRE DE MASSE PROPRIETES DU CENTRE DE MASSE Quantité de mouvement Accéléation du cente de masse REPERE GALILEEN LIE A AU CENTRE DE MASSE APPLICATION DU PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE DANS GXYZ MOMENT CINETIQUE THEOREME DU MOMENT CINETIQUE Application du théoème Conséquence : mouvement dans un plan ENERGIE CINETIQUE DU SYSTEME TRAVAIL DES FORCES GRAVITATIONNELLES ENERGIE POTENTIELLE ENERGIE MECANIQUE Deux cops F 1/ m z F /1 m 1 O y x Poblème des deux cops 1

150 13 IX. Poblème des deux cops L idée de ce chapite est d illuste l ensemble du cous avec un système - qui a été histoiquement le gand poblème de la mécanique - qui a généé plusieus concepts mathématiques: difféentielles - qui ythme note vie quotidienne: soleil, - et se etouve souvent d actualité (satellites ). C est un peu le poblème des collisions où l on egadeait le détail de la collision. Nous allons successivement applique au système des deux cops en inteaction gavitationnelle, les notions que nous avons développées pécédemment. Les masses seont considéées constantes. 1. Les deux cops (ponctuels, ou à symétie sphéique) mm 1 F1 KG u u vecteu unitaie, diigé de 1 ves mm 1 F1 KG u Comme il se doit la toisième loi de Newton (action/éaction) est véifiée : F F Quantité de mouvement p p1 p D apès le PFD : dp1 F 1 dp F 1 D où : dpdp1dp F1 F/1[ F1 F/1] Qui compte tenu de F/1 F1/ 0 conduit à : dp0 La vaiation de la quantité de mouvement est nulle, donc : p Cte Poblème des deux cops 13

151 14 Cente de masse M M 1 M (m ) M 1 (m 1 ) G m GM1 m m m1 GM m m 1 1 Poblème des deux cops 14

152 15 3. Cente de masse La définition généale : mgm 0 i i i se éduit ici à : mgm 1 1mGM 0 Pou plus de commodité, nous allons faie inteveni le vecteu M1M : mgm 1 1m( GM1MM 1 ) 0 => ( m1m) GM1 mm1m En intoduisant M1M les gandeus GM 1 et GM s écivent : m GM1 m1 m m 1 GM m m 1 Donc si est connu, les positions des masses m 1 et m sont connues pa appot au point G. Le poblème va donc consiste à établi les popiétés du cente de masse et à détemine. Dans la suite, nous auons besoin des distances (positives) : 1 GM1 GM d'apès la définition du cente de masse, il est facile de monte que : m m 11 Dans le cas tès féquent où m1 m, G est confondu avec m 1, et ~. 4. Popiétés du cente de masse 4.1 Quantité de mouvement. Soit un epèe Galiléen Oxyz. Intoduisons le point O dans la elation de définition du cente de masse : m1( GO OM1) m( GO OM ) 0 qui se éécit : ( m1m) OG m1om1mom aute manièe de défini le cente de masse. En déivant pa appot au temps : dog dom1 dom ( m1m) m1 m soit Poblème des deux cops 15

153 16 Vitesses et distances V M 1 1 G M V 1 V = -V 1 1 Poblème des deux cops 16

154 17 dog ( m1m) mv 1 1mV dog ( m1m) p1 p p La quantité de mouvement totale p1 p est donc égale à la somme des masses multipliée pa la vitesse du cente de masse, comme si la masse m1 métait affectée au cente de masse G. 4. Accéléation du cente de masse Nous avons monté (paagaphe ) que la quantité de mouvement totale est constante. Donc : ( m1 m) dog Cte La vitesse du cente de masse dog est donc constante, et son accéléation est nulle. NB : Dans le epèe Oxyz, la quantité de mouvement totale peut donc ête écite : ( m m ) V G 1 5. Repèe galiléen lié au cente de masse GXYZ La vitesse du cente de masse étant constante pa appot au epèe Galiléen Oxyz, il est donc possible de défini un nouveau epèe galiléen en tanslation unifome pa appot à Oxyz, dont l oigine est G : epèe GXYZ. Nous allons maintenant tavaille exclusivement dans ce epèe et donc toutes les gandeus vectoielles (positions, vitesses, accéléations, moments) et scalaies (énegies ) seont calculées dans GXYZ. Pou simplifie nous gadeons les mêmes notations : pa exemple V 1 este V * 1, pou évite pa exemple d écie chaque fois V1. Dans ce epèe la quantité de mouvement totale est nulle puisque VG 0. Donc : mv 1 1mV 0 et comme d aute pat : m 11 m alos : V1 V 1 Ce qui pouve que les vitesses des deux cops : - sont de même diection - sont de sens opposés - sont popotionnelles aux distances de chacun des cops au cente de masse. La figue pemet de bien visualise le mouvement des deux cops pa appot à G. 6. Application du pincipe fondamental de la dynamique dans GXYZ Dan le nouveau epèe, l application du PFD conduit à : Poblème des deux cops 17

155 18 Vaiation du vecteu M (t+) M 1 (t) G (t+) (t) M (t) M 1 (t+) Tanslate (t+) (t+) d (t) Poblème des deux cops 18

156 d GM 1 m1 F /1 d GM m F 1/ L idée est de faie appaaîte M1M ( u) En divisant la pemièe équation pa m 1, la seconde pa m et en effectuant la difféence : d M1M F/1 F1/ m1 m qui en tenant compte de F 1 F 1 0 se ésume à : d M1M 1 1 ( ) F 1/ m1 m d où en explicitant la foce : d ( u ) 1 1 ( ) u K Gmm 1 Soit : m1 m d ( u) KG( m1 m) u Cette équation est suffisante pou décie t ( ). Elle sea ésolue plus loin. Pou simplifie cetaines écitues, la masse éduite est souvent intoduite : m 1 m ou mm 1 m1 m Elle est dite éduite ca est plus faible que la plus faible des masses. D où : d ( u) KGmm 1 u équation de la fome m F 7. Moment cinétique Le moment cinétique total est la somme des moments cinétiques de chacun des cops (c est une simple addition de vecteus). Nous le calculeons pa appot au point G, ce qui simplifiea plus loin l application du théoème du moment cinétique. dgm 1 dgm LGM1m1 GM m D apès les expessions de GM 1 et GM établies dans le paagaphe cente de masse: 19 dgm1 m d m1 m dgm m1 d m1 m En emplaçant les GM i et leus déivée moment cinétique s écit finalement : dgmi pa leu expession en fonction de, le Poblème des deux cops 19

157 130 Moment cinétique LCte mv F 1/ F /1 M 1 G M G M m f GM1 F 1 GM F1 O dl O m f M 1 pependiculaie à L, conclusion : mouvement plan Poblème des deux cops 130

158 d L Le vecteu est bien défini (= M 1 M ) et dest explicité su la figue. Impotant : ces deux vecteus et d définissent un plan, et L est pependiculaie à ce plan. 8. Théoème du moment cinétique 8.1 Application du théoème Ce théoème s écit : dl m. f où L est le moment cinétique pa appot à un point fixe du epèe Galiléen utilisé, et m f le moment des foces pa appot à ce point. Il semble tout à fait oppotun de choisi le cente de masse G pou applique ce théoème ca les deux foces passent pa le cente de masse. C est aussi la aison pou laquelle nous avons calculé L pa appot au point G. Le calcul du moment des foces devient : m f GM F GM F GM i, les poduits vectoiels sont nuls, et le moment total des Les foces étant colinéaies aux foces est nul. Donc : dl0 L Cte Remaque 1 : dans le chapite moment, nous avions monté que le moment de deux foces égales et opposées (c est le cas ici) est nul si les foces sont colinéaies (ce qui est aussi le cas). Nous auions pu nous sevi diectement de ce ésultat. Rappel qui poua vous sevi un jou : pou un couple le moment des foces est indépendant du point fixe choisi. Remaque : cette consevation du moment cinétique est vaie pou toute foce centale: foces électostatiques, code, élastique 8. Conséquence : mouvement dans un plan L est pependiculaie à [ca L ( d ) ] D aute pat : L Cte Donc est un vecteu : - constamment pependiculaie au vecteu fixe L - qui passe toujous pa le point G LE MOUVEMENT EST DONC CONTENU DANS UN PLAN. Cette conclusion fondamentale pou l étude ultéieue auait bien sû pu ête démontée avec le PFD, mais la démonstation pa le moment cinétique est de loin la plus élégante. Remaque : beaucoup d ouvages font inteveni à la fois et d pou démonte que le poblème se amène à un poblème plan : nous venons de voi que c est inutile. Poblème des deux cops 131

159 13 Tavail des foces gavitationnelles M F 1/ dgm dgm 1 F /1 M 1 dw F dgm F dgm voi texte mm 1 dw KG d Poblème des deux cops 13

160 133 Il este simplement à pécise ce plan : il peut-ête défini à un instant quelconque pa et d (ou d ), pa exemple pa les conditions initiales 0 et V 0, mais il peut aussi l ête pa la connaissance des positions à deux instants Il seait aussi possible ici de démonte la loi des aies, mais elle a déjà été établie dans le chapite moment cinétique, et nous allons la etouve dans le chapite suivant. 9. Enegie cinétique du système L énegie cinétique est l addition de deux scalaies : 1 1 Ec mv 1 1 mv dgm1 dgm Les vitesses V1 et V sont en fait et établis pécédemment : 1 m d 1 m 1 d Ec m1 m m1m m1m Qui s écit simplement : 1 d 1 d Ec Ec V ( V ) Répatition de l énegie cinétique : il est aisé de monte que m1( EC) 1 m( EC). C est la plus petite des deux masses qui possède la plus gande énegie cinétique. 10. Tavail des foces gavitationnelles Les tavaux élémentaies s ajoutent : dw F1dGM 1F1 dgm dw F1dGM 1F1d ( GM1M1M ) dw F dm M F d En explicitant la foce : mm 1 dw KG u. d O d d( u) du. du., et (appel) udu. 0. Donc : mm 1 dw KG d Poblème des deux cops 133

161 134 Z z Y y G X x Poblème des deux cops 134

162 135 ou B B B B mm 1 mm A G G G 1 A A A B A W dw K d K K mm ( ) Ce tavail ne dépend que des distances initiale et finale. Il est négatif si les deux cops s éloignent ( B > A ). 11. Enegie potentielle Pa définition : de dw d où : p mm 1 mm 1 dep KG d d( K ) G mm 1 EP KG Cte C est une fonction coissante de la distance ente les deux masses. L énegie potentielle est souvent pise nulle pou une distance infinie, ce qui ici annuleait la constante. 1. Enegie mécanique Pa définition : EM EC EP d mm 1 1 E M K G Cte Les foces gavitationnelles étant consevatives, l énegie mécanique est constante. Avec l énegie mécanique, nous avons fait le tou des notions aussi bien scalaies que vectoielles qui ont été intoduites dans ce cous. La suite se popose de ésoude t ( ) et donc de pouvoi situe les deux objets en fonction du temps. Poblème des deux cops 135

163 135 PROBLEME DES DEUX CORPS : RESOLUTION 135 Poblème des deux cops : ésolution

164 136 X. PROBLEME DES DEUX CORPS: RESOLUTION EQUATIONS DE DEPART TRAJECTOIRE ( ) MOUVEMENT CIRCULAIRE ELLIPSE Relations ente les paamètes géométiques de l ellipse Loi des aies et paamètes de l ellipse Lois de Keple (ellipse) Equation hoaie () t ENERGIES...ERREUR! SIGNET NON DEFINI. 6. ORBITES ET CONDITIONS INITIALES Paamètes de la conique Obite elliptique...eeu! Signet non défini. 6.3 Obite paabolique ou hypebolique Enegies, vitesse de libéation (paabolique) et type d obite SYNTHESE Equation des deux cops Poblème physique Tansposition mathématique Tanslation, les composantes sont inchangées y M M u u G x O M 1 du m1 m K G u 136 Poblème des deux cops : ésolution

165 137 X. Poblème des deux cops: ésolution Pou obteni les tajectoies et les positions des cops (astes, satellites, chages ), nous avons à ésoude une équation difféentielle un peu plus compliquée que d habitude qui va nécessite plusieus changements de vaiables et intoduie la pemièe équation tanscendante de l histoie. 1. Equations de dépat Nous pations de l équation obtenue pa l application diecte du PFD. Comme toujous, cette équation contient toutes les infomations su l évolution du système. Dans le epèe GXYZ, cette équation s écit : d ( u) ( ) u d ( u) KGmm 1 K G m1m [ ou u ] L application du théoème du moment cinétique a pouvé que le mouvement est plan. Comme intevient, il semble oppotun de choisi un système de coodonnées polaies,. Le fait que n ait pas son oigine en G ne change ien au poblème ca il est pafaitement possible de faie glisse un vecteu : ses composantes ne sont pas modifiées (cf. figues). Equation difféentielle en coodonnées polaies : le vecteu u devient u et le vecteu unitaie pependiculaie dans le sens diect sea noté u. Pou la vitesse angulaie nous utiliseons : d L équation de la dynamique, homogène ici à une accéléation, se éécit donc : d ( u) u K ( G m1m) Et l accéléation en coodonnées polaies s écit (voi le chapite cinématique) : d ( u ) d d d ( ) u ( ) u D où : d d d u ( ) u ( ) ( u KG m1m) En identifiant les pojections ou, de manièe équivalente, en multipliant scalaiement pa u puis u, nous obtenons équations indépendantes: d K ( G m ) 1 m d d Poblème des deux cops : ésolution

166 138 Loi des aies S = S a + S b S a = (= ½ S b ~ tiangle ~ ½ (.() Attention, ½ d, c est: S b /S a ~ / tend ves zéo avec => S ~S a O S a S b d O et non pas: 1 G d 0 Donc: ds = ½ d Avec la loi des aies: d/ = C ds=(c/) Remaque: les sufaces 0 et 1+ sont difféentes. (mais elles sont popotionnelles, et donc la loi des aies seait aussi véifiée pou chacune des sufaces: 0 ou 1+ ou 1 ou ) Difféentes expessions de la constante des aies Axe V F C (m /s) = =.(d/).vcos V Vitesse othoadiale Vitesse adiale 138 Poblème des deux cops : ésolution

167 139 La deuxième équation s écit plus simplement d d 0 ou d d 0 Qui elie à chaque instant les vaiations elatives de et : si le ayon coît, la vitesse angulaie décoît deux fois plus vite (en valeu elative). Cette équation s intège facilement : ln( ) ln( ) Cte ou C Où C est une constante. Cette elation taduit la loi des aies, déjà encontée, (cf. figue). La vitesse angulaie étant liée à, elle peut ête éliminée de la pemièe équation, qui devient : d C KG( m1 m) 0 3 Cette équation ne contient que et sa déivée seconde, elle doit donc pocue t ( ), en y ajoutant deux conditions initiales (ou deux positions, ou d autes données). Mais analytiquement, à ce stade, il a été monté qu il est plus intéessant d opée un changement de vaiable, qui donnea dans un pemie temps la tajectoie ( ).. Tajectoie ( ) 1 La tansfomation péconisée est tout d abod de pose ce qui tansfome les u dénominateus (en ) en numéateus (ne pas confonde u avec un vecteu unitaie!). Le plus délicat est d'élimine la vaiable temps dans la déivée seconde de l équation ci-dessus. Calculons tout d abod la déivée pemièe d : 1 d 1 du d du => u u où l on élimine le temps en utilisant la loi des aies : C C=> d Cu d où d Cu et, en emplaçant dans la déivée d : d du C d La vaiable temps a donc bien dispau de la déivée pemièe, et il ne este que u et. d Voyons la déivée seconde d Même idée, pou élimine le temps, nous emplaçons pa Cu 139 Poblème des deux cops : ésolution

168 140 F est identique au point O (cf. 1 èe figue du chapite) Conique: M q 1 ecos y [ici ellipse (e<1)] C q K (m m ) G 1 q F x e : voi obites et conditions initiales = / => = q (Foye) q q 1/ Pou le système Tee Soleil, avec un appot de masse de , le Soleil est sensiblement en F et la tee en M. / Que le soleil ne soit pas au cente de l obite a beaucoup chaginé nos anciens q => qe 1 ecos cos qex => (caé) y (1 e ) x eqxq Valable quel que soit e Popiétés des coniques (cf. math.) Ellipses (e<1) (cecle e=0, F et F confondus) Paaboles (e=1) Hypeboles (e>1) l l l l l l F F q F q F F q l + l = Cte Tacé du jadinie, longueu codeau = Cte =a cf. plus loin la figue: Figue complémentaie, tacé du jadinie l = l l l = Cte Asymptotes pou cos = -1/e 140 Poblème des deux cops : ésolution

169 141 d du du du d( ) d( C ) d( C ) d( ) d d d d du Cu Cu Cu d d d En epotant dans l équation difféentielle de dépat : du 3 Cu Cu K ( G m1m) u 0 qui se ésume à : d du K ( G m ) 1 m u d C Equation tout à fait classique dont la solution est constituée d une solution paticulièe de l équation avec second membe, et de la solution généale de l équation sans second membe. Pou évite ces notions de solution paticulièe et généale que l on additionne, le mieux est d écie l équation sous la fome : du KG( m1 m) u 0 d C et d opée un nouveau changement de vaiable, simple décalage pa appot au pécédent : K ( G m ) 1 m v u qui amène l équation à une fome tès simple : C dv v 0, dont la solution généale est : d v Acos( ). Attention, bien emaque qu il n y a pas coefficient devant : epote cette solution dans l équation difféentielle et véifie qu elle est bien coecte. En evenant à la vaiable u puis, la tajectoie especte la elation : 1 KG( m1 m) Acos( ) C Un choix convenable de l oigine des angles simplifie sous la fome : 1 KG( m1 m) Acos C Il est d usage de pose : C q K m m ( G 1 ) qui est homogène à une longueu. Ce paamète est le plus souvent noté p dans la littéatue, mais dans ce cous, p est ésevé à la quantité de mouvement. q D où : Le paamète q possède donc une signification 1 Aqcos géométique claie, c est la valeu de losque. Un denie changement de nom de constante, Aq e, donne finalement : q 1 e cos 141 Poblème des deux cops : ésolution

170 14 Suface d une ellipse ( pojection d un cecle) Application: loi des aies cecle ellipse a b O a S ell. O a b plan du cecle plan de l ellipse S ce. S ellipse = S cecle. cos() = (a ).(b/a) S ellipse = ab NB: dans la dimension pependiculaie à la feuille, la pojection ne change pas les longueus. Pou mieux compende la pojection de la suface, il est conseillé de découpe le cecle en ectangles élémentaies. Suface d un secteu d ellipse. (cf. Math.) Vue à 3 dimensions a C H N M S 0 secteu de cecle CBN B Équivalent plan pou le calcul de la suface du secteu d ellipse (cecle et ellipse amenés dans le même plan) C a H M S 1 S 1 secteu d ellipse CBM 14 Cecle: S 0 = ½ a S c a Ellipse: S 1 = S 0.(b/a) = ½ ab Poblème des deux cops : ésolution S 1 = ½ a b S 1 a b Attention, est l angle du secteu de cecle, et non pas celui du secteu d ellipse

171 143 Il devient donc tès facile de tace la tajectoie du point M, c est une conique et e s appelle l excenticité (cf. figue popiétés des coniques) : e 0 : cecle ( q) 0e 1 : ellipse (le dénominateu ne peut jamais s annule, et est donc boné) e 1 : paabole ( devient infini pou ) e 1 : hypebole ( devient infini pou cose)) L excenticité e est toujous pise positive. Une valeu négative équivaudait à un changement d oigine de pou. Nous établions plus loin le lien ente et le temps. 3. Mouvement ciculaie Le ayon que nous dénommeons 0 est donc constant, indépendant de. D apès q (1 ecos ), ceci implique e 0, et aussi de manièe évidente: 0 q La vitesse angulaie est eliée au ayon 0 pa la loi des aies : 0 C donc est constant D aute pat (cf. définition de q) : C q K ( ) d où, en éliminant C ( 0 ) : G m m K ( ) G m1 m Mouvement ciculaie : elation obligatoie ente 0 ( q) et ou, pou faie inteveni la vitesse othoadiale (ici tangentielle) V0 0 : V 0 0 K ( ) G m1 m Remaque : cette elation est semblable à celle que l on peut obteni, tès facilement, pou un mouvement gavitationnel ciculaie, losque m1 m (cente de masse confondu avec m 1 ). u KGmm 1 m 0u (c est F m ) d où il découle : KGm1 qui est exactement la elation établie ci-dessus si m1 m. 4. Ellipse L ellipse ( 0e 1) est le cas patique le plus féquent en astonomie (planètes ) et pou nos satellites atificiels. Elle est impossible si les foces sont épulsives, avec des chages électiques pa exemple : emplace KGmm 1 pa Kqq q 1 pou compende. Le cas de la paabole ( e 1) est paticulie et n existe guèe qu en mathématiques. Les hypeboles se etouvent pou des paticules chagées de même signe et, pou les signes opposés, losque les énegies cinétiques sont tès impotantes compaées aux vaiations d énegies potentielles. 4.1 Relations ente les paamètes géométiques de l ellipse Le vecteu décit donc une ellipse. Avec la convention pise pou, est minimum losque 0, et maximum pou. L oigine du epèe est à un foye de l ellipse, de demi-gand axe a et demi-petit axe b. Le foye est à une distance c du cente de l ellipse. 143 Poblème des deux cops : ésolution

172 144 Eléments de l ellipse min = a - c a = ( max + min )/ max = a + c c = ( max - min )/ min. max = a -c a max c gand axe = a min min = q / (1+e) max = q / (1-e) a = q / (1-e ) max + min = a q 1 ecos B c + min = a c = a q/(1+e) c = a a (1-e) c = a. e A a F b O c F q P Au point B: = q / (1+e.cos) + e cos = q - e c = q e a = a (1-e ) = a (*) Tiangle OFB: a = b + c b = a.(1-e ) ½ b = min. max (*): FB=a est évident en patant de la popiété de l ellipse: somme des distances aux foyes =Cte=a (voi plus loin le tacé du jadinie) Remaque: détemination du foye connaissant l ellipse a F Toisième loi de Keple C ab 3 q b a a K G ( m1 m ) ou 3 a K ( G m 1 m ) q K G C ( m m ) 1 T Poblème des deux cops : ésolution

173 145 Pou le minimum, on pale de péiaste (ou péigée pou un mouvement autou de la tee, ou péihélie autou du soleil) et pou le maximum d apoaste (ou apogée ou aphélie). Etablissons quelques elations utiles ente les paamètes géométiques de l ellipse. A pati de q (1 ecos ), et de considéations élémentaies (cf. figue), nous avons : max. min q max min q/(1 e) max min a min c a max q/(1 e) max min a max c max e c max min Ensuite avec : min max a, et les valeus de max et min en fonction de q et e q a 1 e Le paamète c, distance d un foye au cente de l ellipse s expime en fonction de e et a pa : c amin aq (1 e) aa(1 e ) (1 e) aa(1 e) d où : c ea. Le demi-petit axe b (cf. figue éléments de l ellipse) véifie : a b c et, en emplaçant c : 1 ce qui implique : b a e q b a et aussi : b max. min Ainsi a est la moyenne aithmétique de min et max, et b epésente leu moyenne géométique. 4. Loi des aies et paamètes de l ellipse La loi des aies a été établie (cf. figue loi des aies) : ds ( C /) qui avec une oigine convenable ( S 0 pou t 0 ) conduit à : St () ( C/) t Calculons la péiode coespondante T. Duant ce temps T, la suface balayée est la suface totale de l ellipse qui est égale à ab (cf. figue) donc: C ab T. La pulsation ( /T) coespondante véifie : C T ab t NB : La loi des aies pou l ellipse est quelquefois utilisée sous la fome : St () ab T 4.3 Lois de Keple (ellipse) (A l oigine, les lois de Keple faisaient éféence au système solaie). En evenant à l expession de, puis en utilisant q b a: C KG( m1m) q KG( m1m) 3 ab ab a min min 145 Poblème des deux cops : ésolution

174 146 Changement de vaiable, : anomalie vaie : anomalie excentique y cos = a cos - c sin = y = b sin cf. figue ci-conte une ellipse est la pojection d un cecle A a b a c F P x D où en utilisant sin + cos = 1: = a (1 e cos) Et, en epotant dans les équations de dépat: cos = (cos - e) / (1 e cos) (1) (*) [=> cos = (cos + e) / (1 + e cos)] (*) sin = (1 - e ) ½ sin / (1 e cos) tg () = [(1 + e)/(1 - e)] ½ tg (/) Relation la plus intéessante pou les calculs qui se démonte à pati de (1) en utilisant les acs moitié. (Cf. Compléments su le site physique.belledonne) (*) On notea le cuieux passage <->, en changeant e en e. Comme change e en e evient à pemute les foyes, les anomalies s échangent ente elles en pemutant les foyes! Anomalie excentique (t) a b C M S c H F S totale = a b Loi des aies: S = a b (t/t) Géométie: S = secteu ellipse tiangle (CMF) secteu ellipse = ½ a b tiangle CMF = ½ base.hauteu = ½ c y = ½ c b sin S = ½ a b ½ c b sin ½ a b ½ a e b sin Conclusion: a b (t/t) = ½ a b ½ e a b sin t = esin Péiode T = T donné => t (facile) t donné => équation tanscendante => itéations 146 Poblème des deux cops : ésolution

175 147 a K ( m m T a 4 K ( m m ) 3 3 G 1 ) G 1 Les caés des péiodes de évolution sont popotionnels aux cubes des demigands axes des ellipses pacouues. C est la toisième loi de Keple. La deuxième loi est constituée pa la loi des aies. La pemièe stipule que l obite est une ellipse, dont un des foyes est centé su le soleil, ca le cente de masse soleil-planète est patiquement confondu avec le cente du soleil. Rappel : la loi des aies (ds=(c/)) est toujous valable (ellipse, paabole, hypebole) 4.4 Equation hoaie () t Plusieus appoches sont possibles. Nous donneons ici une démonstation "géométique". Nous nous limiteons au cas de l ellipse, plus facile à appéhende. NB : il n est pas nécessaie de connaîte () t pou compende les paagaphes 5, 6 et 7. La calcul classique elie, appelé anomalie vaie, à l angle, mesué à pati du cente de l ellipse, appelé anomalie excentique (!) et d'expime en fonction du temps. Ces angles sont eliés pa les elations suivantes, elations démontées su la figue Changement de vaiable,. cos e sin 1 e cos ou sin 1e ou tg tg 1 ecos 1 ecos 1 e La suface d un secteu d ellipse est linéaie avec (cf. fig Suface d un secteu d ellipse), et la soustaction de la suface d un tiangle pou expime l'aie balayée (cf. fig. () t ) conduit finalement à la elation : t esin soit : T esin t Cette équation est tès célèbe. Si est fixé, le temps se calcule facilement, mais si c est le temps qui est fixé, comme c est souvent le cas, alos le calcul analytique diect est impossible ca on ne peut pas écie f ( t) : l équation est dite tanscendante. Elle peut ête ésolue pa des itéations successives, qui convegent tès apidement si e est faible, ou d autes méthodes. Pou ésume, la connaissance de t ( ) et ( t) demande les opéations suivantes : t Pou une simulation, il peut ête plus commode de éalise : t et Ne pas oublie que nous avons déteminé les caactéistiques du vecteu et que les positions de M 1 et M s obtiennent à pati des elations établies au début du chapite "Poblème des deux cops". 147 Poblème des deux cops : ésolution

176 148 Relations ente les paamètes géométiques de l ellipse a b c q e min max abc,, a b c b / a c / a a c a c qe, q 1 e q 1 e eq 1 e q q 1 e 1 e min, max max min max min max min max min max min max max min min ae, a 1 e ea. a (1 e ) a (1 e ) a (1 e ) F q y q/ Paabole et hypebole Paabole : e = 1 Hypebole : e > 1 min x q y F q B P FP q PC a e 1 eq FC c e 1 FB b min e Asymptote: cos =1/e q 1 eq e 1 C x q y qx q q y ( e 1) x eqxq 1 cos 1 e cos 148 Poblème des deux cops : ésolution

177 Enegies Toute cette étude a été conduite su la seule base du pincipe fondamental de la dynamique, avec l utilisation du théoème du moment cinétique pou pouve que le mouvement est plan. Il est évident que les considéations d énegie peuvent appotent une contibution intéessante, sachant qu il n y a pas de fottement et donc que l énegie mécanique se conseve. Les énegies cinétiques et potentielles avaient été calculées égales à (cf. poblème des cops): 1 d Ec ( ) V (avec m m ) mm 1 Ep KG Cte 1 Et l énegie mécanique s expime pa : EM EC EP A pati de EM Cte', il est possible de etouve une des équations difféentielles utilisées. En effet, la vitesse s écit : d d d u u (hype classique voi cinématique) et donc, avec d, sachant que u et u sont othogonaux : d d ( ) ( ) ( ) En utilisant la loi des aies C pou élimine dans ( ), seule la vaiable intevient dans l expession de E, qui finalement se amène à la elation : M 1 d C KG( m1 m) ( ) Cte' dont la déivée pa appot au temps edonne l équation en utilisée pou la ésolution : d C KG( m1 m) 0 3 (Si vous épouvez un poblème, emplacez d/ pa V, et difféentiez) Nous discuteons plus loin du type d obite suivant les énegies mises en jeu. 6. Obites et conditions initiales Nous avons déjà vu que l obite est dans le plan défini pa 0 et V Paamètes de la conique Les gandeus connues au dépat (voi figue) sont: 0 V 0 0 La connaissance de la tajectoie nécessite celle des paamètes de la conique, dont axe (voi figue)fait patie ca a pioi l'axe de la conique n'est pas connu. 149 Poblème des deux cops : ésolution

178 150 Conditions initiales Convention pou axe (défini pa sa tangente, cf. texte) 0 V 0 Axe conique 0 F axe x axe <0 >0 F >0 <0 x C = 0 V 0 cos 0 et les coodonnées polaies et d d tg(= d/d >0 si d>0 F F NB, aute possibilité: si on epèe pa un angle compis ente - et, et sont alos du même signe Péiaste 150 Poblème des deux cops : ésolution

179 151 Il faut donc détemine: q e axe Définissons tout d abod la gandeu sans dimension : 1 V 0 0 K ( m m ) G 1 indépendante de 0, qui facilitea gandement l'écitue des expessions. Elle epésente, en 0, la valeu absolue du appot de l'énegie cinétique 1 V 0 à l'énegie potentielle KGmm 1 / 0, supposée nulle à l infini (ce qui implique, ici, une constante nulle). Cette gandeu penda toute sa signification plus loin (cf. vitesses de libéation). D apès la définition de q [ qc K ( ) G m1 m ], et compte tenu de la constante des aies C V cos (cf. constante des aies, en début de chapite), q est donné pa : [ V cos ] q K m m ( G 1 ) (0) Il este donc deux inconnues : e et axe q cos 00 Calcul péliminaie su les coniques : q Equation polaie des coniques, =0 au péiaste ( minimum) 1 e cos L'angle est déteminé en coodonnées polaies pa (cf. figue) : d tan soit, en difféentiant ln( ( )) pa exemple : d esin tan ou encoe tan e sin 1 e cos q est donc du signe de sinus 0 pou vaiant de 0 à (exemple, su une ellipse, vaie de min à max, d 0) 0 pou vaiant de à (su une ellipse, vaie de max à min, d 0) 0 au péiaste et à l'apoaste C'est évident su une figue, mais écivons le : Si 0, on s'éloigne du péiaste Si 0, on se appoche du péiaste Revenons aux deux inconnue, e et axe : il faut équations. Ce sont: q 0 1 e cos axe (1) : équation des coniques 0 tan 0 e sin axe q () : établi dans le calcul péliminaie 151 Poblème des deux cops : ésolution

180 15 1 V 0 0 K ( m m ) G 1 [ V cos ] q K m m ( G 1 ) cos 0) 0 q tan axe sin 0cos 0 K ( m m ) cos G 1 0 V 0 0 tan axe sin 0cos 0 1 cos 0 e V V 1 cos 0 KG( m1m) KG( m1m) ( 1)cos e 0 Lancement d un satellite V 0 pependiculaie à 0 ( (effet de la vitesse de lancement) Losque V 0 est pependiculaie à 0, le satellite est nécessaiement au péigée ou à l apogée. La vitesse V 0 coît Tee V 0 Le gand axe de l ellipse est toujous paallèle au ayon 0 Si la vitesse est top faible, le satellite heute la tee! Quand la vitesse augmente, la tee occupe: le foye "gauche" (<1/) puis le foye "doit" (>1/) de l ellipse (foyes confondus pou le cas paticulie du cecle, =1/) 15 Cecle 0 Poblème des deux cops : ésolution Le satellite epasse toujous au point de lancement avec la même vitesse Pou de gandes vitesses ½ paabole (cas paticulie =1) ou ½ hypebole (>1), Image: l ellipse "s ouve" à l infini (à gauche bien sû)

181 153 La ésolution est simple en epotant tout d'abod e, tié de (), dans l'eq. (1) : tan 0 tanaxe (3) axe est défini pa sa tangente, donc : 0 1 q axe Cet angle est donc connu, à pès : ceci n a aucune impotance pou une diection (cf. fig. Convention ). L équation (1), pemet alos de calcule l excenticité : q 1 0 e (4) cos axe Si e<0, cela veut die que l angle axe a été calculé pa appot à Fx (cf. fig. Convention ). Le cosinus est en fait négatif. Conclusion : on pend la valeu absolue et on continue NB: Cas paticulie 0 0. Ceci ne peut se poduie qu au péiaste ou à l'apoaste. Si 0 q, nous sommes au péiaste, et à l apoaste si 0 q. Si 0 q l obite est un cecle. Le poblème est donc ésolu. Si l on veut elie diectement les paamètes axe et e aux gandeus physiques, il faut explicite q (cf. eq. (0)). La tansfomation est immédiate pou axe, qui peut s'expime sous la fome : sin 0cos 0 sin 0cos 0 tanaxe tanaxe 1 KG ( m1 m) cos 0 cos 0 V Pou e, une possibilité est de calcule e à pati de (4) et d'applique deux fois l'identité: 1cos 1 tan. Apès quelques lignes, e s'écit : e 1 ( 1)cos e V V 1 cos ( ) ( ) KG m1m KG m1m 6. Obite elliptique e 1 D apès l expession de 0 0 G 1 e, ceci implique 1 : V K ( m m ) Ellipse Remaque impotante, cette condition ne dépend ni de 0, ni du signe de V 0 : elle est donc indépendante de la diection et du sens de la vitesse V 0. Les paamètes géométiques sont donnés apès quelques petits calculs pa: q 0 0 a a anedépendpasde 0 1 e (1 ) V 0 0 K ( m m ) 1 b b a 1 e b 0cos 0 cos 0 (1 ) 1 a G Poblème des deux cops : ésolution

182 154 Figue complémentaie: le tacé du jadinie. MF + MF = a Démonstation: A a F b y c F M P x = q / (1 + e cos) et, en penant pou foye F = q / (1 +e cos(- )) = q / (1 e cos ) (Conclusion: change de foye evient à change le signe de e, ou bien à pende l ellipse pa l aute bout) + e cos = q - e cos = q O: cos = x - c cos = x + c Donc: = q + e (c - x) Remaque: et sont = q + e (c + x) fonction linéaies de x + = (q + e c) la somme des distances est donc bien constante + = [a (1-e ) + e.(e a)] + = a Figue complémentaie: équation paamétique de l ellipse Constuction à l aide de cecles de ayon a et b a b y C x M Équation paamétique x = a cos y = b sin Équation catésienne x /a + y /b = 1 Equation paamétique: démonstation. Rappelons nous que l ellipse est la pojection d un cecle Cecle: Ellipse: X = a cos x = X, inchangé Y = a sin y = (b/a) a sin = b sin Poblème des deux cops : ésolution

183 155 La pulsation et la péiode seont calculées pa : K ( G m ) 1 m (3 ème Loi d Keple) et T 3 a Impotant : a étant indépendant de 0, il en est de même pou la péiode T. 6.3 Obite paabolique ou hypebolique e 1 Si la vitesse de dépat est tès élevée, q peut ête tès gand devant 0. L excenticité e peut ête 1, et l obite devient alos paabolique si e 1, ou hypebolique si e 1. D apès l expession de e, ceci implique : V K ( m m ) 1 Paabole 1, hypebole G 1 Remaque impotante, cette condition ne dépend pas de la diection de la vitesse V Enegies, vitesse de libéation (vitesse paabolique) et type d obite La consevation E M E c E p Cte s écit en nommant V la vitesse (cf. chapite pécédent) : 1 KGmm 1 1 KGmm 1 V Cte V0 Cte expessions où la constante dispaaît : 0 1 KGmm 1 1 KGmm 1 V V0 0 La vitesse de libéation V L, est la vitesse initiale V 0 qui pemet d envoye un objet m (c est écipoque pou m 1 ) à l infini ( ) où, apès avoi été constamment alenti pa l attaction de m 1, il aive avec une vitesse nulle ( V 0). Le pemie teme est donc nul, et pa conséquent : 1 KGmm 1 0 VL soit V 0 L KG( m1 m) 1 0 Nous etouvons la condition qui sépae les obites elliptiques, des obites paaboliques et hypeboliques. Pou cette aison, cette vitesse est aussi appelée vitesse paabolique. Toute vitesse supéieue libèe m de l attaction de m 1 (et écipoquement). La vitesse de libéation pend tout son sens losque 0 est le ayon de l aste de dépat (lance d'un satellite pa exemple). Pou la tee avec un ayon de 40000km/, V 11, km/ s. A l invese, si un objet est à l infini, sans vitesse notable, il aivea à une distance 0 avec cette vitesse V L, et ceci quelle que soit la tajectoie suivie. Vous établiez sans peine que V V 0 ( ) ou encoe : L L V, VL appot de l énegie cinétique initiale à l énegie cinétique nécessaie à la libéation. Poblème des deux cops : ésolution

184 156 e = f (, 0 ) 3,0,5 1 V 0 0 K ( G m m ) 1 0 = 0 e,0 1,5 1,0 1 cos. ( 1) hypebole e 0 0 = /6 0 = /3 paabole 0,5 ellipse 0,0 cecle 0,0 0,5 1,0 1,5,0 e = f() est minimum pou =1/ et vaut sin( 0 ) Retou su les obites éelles M F G M 1 1 M F est aussi le point O de la pemièe figue du chapite m 1 m m 1 m1 m m 1 Si m 1 >>m 1 ~ 0 ~ Poblème des deux cops : ésolution

185 157 Remaque: utilisation du théoème de l'énegie cinétique. Sans utilise le théoème de l énegie mécanique, une aute manièe d établi cette vitesse V L est de die que la vitesse de libéation est telle que l énegie cinétique est juste suffisante pou vaince le tavail des foces de pesanteu. Ceci nous fea une petite évision du théoème de l énegie cinétique, et des popiétés des vecteus unitaies. 1 KGmm KGmm KGmm KGmm 0 VL ( u ). ( ).( ) d u ud du d qui edonne finalement bien, en explicitant : V K ( m m ) ( 1) 0 L G 1 Enegie mécanique avec énegie potentielle nulle à l infini, et type d obite. En penant pa convention une énegie potentielle nulle à l infini (ici une constante nulle), EM s écit : 1 KGm1. m 1 KG( m1 m) 1 1 EM V0 [ V0 ] EM V0 [1 ] 0 0 Il est alos facile de véifie que l obite est : elliptique si EM 0 ( 1) paabolique si EM 0 ( 1) hypebolique si EM 0 ( 1) 7. Synthèse Nous utilisons le appot sans dimension 1 V 0 0 V0 ( ) K ( m m ) V G 1 Quel que soit l angle de lance 0 : 0 1 [0 V K ( m m )] => ellipse 0 e G 1 [ V K ( m m )] => paabole e G 1 [ V K ( m m )] => hypebole e G 1 Si 1, soit V 0 0 KG ( m1 m), au final, m 1 et m s éloigneont indéfiniment. Attention, les deux masses se déplacent, cf. figue Retou su les obites éelles. Pou des vitesses telles que V 0 0 KG( m1 m), les masses m 1 et m estent localisées su une ellipse telle que : 0 3 a a KG 1 (1 ) ( m m ) ( ) Ellipse, 1 T Ce qu il faut bien compende, pou un satellite pa exemple, c est que, quelle que soit la manièe dont il est lancé, apès une péiode T, il epassea au même point, avec la même vitesse: même module, même diection et même sens cela va de soi! L Poblème des deux cops : ésolution

186 157 CHANGEMENT DE REFERENTIEL Changement de epèe 157

187 158 XI. CHANGEMENT DE REFERENTIEL (REPERE)... ERREUR! SIGNET NON DEFINI. 1. DEFINITIONS Repèe absolu Repèe elatif Mouvement d'entaînement But du jeu COMPOSITION DES POSITIONS, VITESSES, ACCELERATIONS Position Vitesse Accéléation CHANGEMENT DE REPERE : CONCLUSION ET RESUME Repèe absolu R a (Oxyz) et epèe elatif R (PXYZ) z Y M X R Z R a P O y x Changement de epèe 158

188 159 XI. Changement de éféentiel (epèe) L'étude des changements de epèes est justifiée pa au moins deux points: 1/ Un mouvement peut s'avée tès simple dans un epèe, lui-même animé d'un mouvement pa appot au epèe ou se touve l'obsevateu. Le poblème est alos scindé en deux paties, ce qui end son analyse plus simple. / La elation fondamentale de la dynamique n'est véifiée que dans une classe de éféentiels, les éféentiels inetiels, appelés aussi Galiléens. Il faut donc de toute manièe s'y accoche. Pou les démonstations de changement de epèe, il est généalement fait le choix d'un epèe catésien ce qui se justifie pa sa commodité : ceci ne esteint en ien la généalité de la démonstation. Nous veons successivement quelques définitions puis les compositions des positions, vitesses et accéléations. Ce chapite est uniquement mathématique. NB : Un epèe étant attaché à un éféentiel, nous emploieons ici indifféemment éféentiel et epèe. 1. Définitions 1.1 Repèe absolu Soit un point matéiel M obsevé pa appot à un epèe Oxyz. OM xi y j zk (1) On dia que ce pemie epèe R a (Oxyz) pemet d obseve le mouvement absolu du mobile M. Le seul pivilège de ce epèe est d avoi été choisi comme éféence et a pioi, il ne pésente pas de popiété paticulièe; nous ne l en appelleons pas moins epèe absolu. Ses vecteus i, j et k seont considéés comme constants Attention, ce epèe absolu n'est pas focément un epèe inetiel (Galiléen), comme annoncé, ce chapite est puement mathématique. 1. Repèe elatif Soit un second epèe PXYZ, appelé epèe elatif, en mouvement quelconque pa appot au epèe absolu. Le point M sea epéé dans ce epèe elatif pa: PM X I Y J Z K Attention donc: les vecteus I, J et K ne sont pas fixes dans le epèe absolu R a () Changement de epèe 159

189 160 Mouvement de R a pa appot à R Repésenté ici à dimensions Y Rotation des axes OP 1 OP V P t 1 k t t 0 y y Y 1 P Y X 1 P Déplacement de l oigine P X O x O x Changement de epèe 160

190 161 Le mouvement de M obsevé dans ce deuxième epèe R est dit mouvement elatif. A un instant t donné, ce mouvement de R pa appot à R a se caactéise pa deux gandeus: - la position du point P, oigine du epèe PXYZ : OP xpi yp j zpk (3) - et une otation de R que nous définions pa un vecteu otation (voi figue pou une otation autou de l axe z, et animation en amphi) Attention, est aement constant, notamment en module ou en diection, même pou la tee, c'est die! 1.3 Mouvement d'entaînement Un point fixe dans le epèe elatif (X, Y, et Z constants) est un point mobile dans le epèe absolu. Le mouvement d'un tel point dans le epèe absolu est dit mouvement d entaînement. 1.4 But du jeu Ce que nous allons cheche, c'est à expime la position, la vitesse et l'accéléation DANS LE REPERE R a (Oxyz), en fonction : - de leus homologues dans le epèe elatif R - et des caactéistiques du mouvement du epèe R pa appot au epèe absolu R a.. Composition des positions, vitesses, accéléations.1 Position OM OP PM soit encoe OM ( x i y j z k) ( X I Y J Z K) P P P C'est teminé! Facile (4). Vitesse On cheche dom Va Pou faie inteveni le epèe elatif, on utilise la elation (4) dom dopdpm et donc dop dpm Va (4bis) Changement de epèe 161

191 16 dop VP y P y P j O i x P x dop dx dy P P dz P VP i j k Changement de epèe 16

192 dop : dop dx. i dy. j dz. k P P P dop dx P dy P dz P cf. (3) i j k dop est donc simplement (ce qui était évident, mais là, on assue avec les composantes...) la vitesse du point P dans le epèe absolu d'oigine O. Elle sea notée V P : dop dx dy dz P P P VP i j k (vitesse du point P dans R a ) (5) dpm : Les composantes de PM sont données pa () : PM X I Y J Z K (attention, appel, I, J et K ne sont pas fixes) dpm dx. I dy. J dz. K X. di Y. dj Z. dk en divisant dpm di dj dk pa et en utilisant I, J, K dpm dx dy dz I J K ( XI YJ ZK) La pemièe paenthèse n'est aute que la vitesse du point M dans le epèe R, appelée vitesse elative V : dx dy dz V I J K (vitesse du point M dans R ) (6) Et la seconde n'est aute que le vecteu PM, cf. (). Donc : dpm V PM (6bis) D'où finalement, en epatant de (4bis) avec (5) et (6bis) V V PM V Vitesse du point M dans le epèe absolu (7) a P Dans cette elation, la ème composante n'était pas focément intuitive! Remaque: s'il n'y a pas de otation ( 0) nous etouvons la loi simple d'addition des vitesses Va VPV. Cette elation a été utilisée dans le chapite lois de Newton, pou défini une famille de éféentiels Galiléens R, connaissant un pemie éféentiel Galiléen R. Un point fixe dans le epèe elatif ( V 0 ) auait une vitesse dite d'entaînement Ve VP PM d'où, pou un point quelconque: Va Ve V fomule commode mais attention à la définition de V e! 163 Changement de epèe 163

193 164 dpm V Y M J P I X dpm dx V dy dz I J K Changement de epèe 164

194 165.3 Accéléation Repenons chacun des tois temes de V a (eq. (7)) et calculons la déivée pa appot au temps. Comme nous sommes maintenant pafaitement à l'aise avec les difféentielles!? nous passons immédiatement à la déivée. Déivons donc successivement chacun des 3 temes de Va( VP PM V) pa appot au temps. dvp 1/ : il suffit de déive la elation (5) pa appot au temps : dop dx P dy P dz P P i j k (accéléation du point P dans R a ) (8) Le ésultat est logique : puisque V P est la vitesse du point P dans le epèe absolu R a (cf (5)), dv P est simplement son accéléation dans R a, que nous avons notée P. d( PM) / : la déivation d'un poduit vectoiel se déoule comme celle d'un poduit scalaie odinaie : d dpm PM En epenant dpm plus haut dans le paagaphe vitesse (6 bis), nous aivons à : d( PM) d PM V ( PM ) PS : attention à ne pas suppime ou tanslate les paenthèses : pa exemple ( ) PM 0 dv 3/ : dx dy dz il faut epati de la définition (6) de V I J K En posant : d X d Y d Z I J K (accéléation du point M dans le epèe R ) (9) vous monteez facilement en pocédant exactement comme pou les vitesses que : dv V Changement de epèe 165

195 166 dop P y P y P j O i x P x dop dx P dy P dzp P i j k Changement de epèe 166

196 167 d'où l accéléation finale, en additionnant chacune des déivées: ( ) d a P PM PM V (10) On souffle! Tiens, vous pouvez véifie l'homogénéité de la fomule, ça décontacte. A use avec modéation. Il est ae d'avoi à l'employe dans toute sa généalité. En paticulie, si le vecteu otation est constant (diection, sens et module) le teme d PM dispaaît. Attention, attention, V et sont la vitesse et l'accéléation du point M, epéés dans R. Pou leu calcul I, J et K sont considéés comme fixes, et seuls X, Y et Z sont vaiables. Il n'y a d'ailleus aucune ambiguïté : il suffit de bien se éfée à leu définition (6) et (9). L'ode dans lequel les temes de sont écits n'est pas quelconque. Il est de coutume de egoupe les tois pemies sous la dénomination accéléation d'entaînement e (voi la définition du mouvement d'entaînement au début). En effet, si le point M est immobile dans le epèe R alos 0 et V 0. Donc en définissant: d e P ( PM ) PM (accéléation dite d'entaînement) (11) L'accéléation absolue s'écit finalement : V a e où V, couplage de la otation de R pa appot à R a et de la vitesse dans R, est l'accéléation de Coiolis, déjà encontée dans les epèes cylindiques et sphéiques. Elle intevient pa exemple dans le mouvement des nuages autou des dépessions. Compaez l'expession de a avec celle de la vitesse V a. La oue de vélo constituea un bon suppot pou commence à utilise ces elations. Note bonne vieille tee, founia ensuite quelques bons exemples pou illuste V a et a, en étudiant pa exemple la bille qui tombe à l'équateu. (1) Changement de epèe 167

197 168 d PM Y M J P I X d X d Y d Z I J K Changement de epèe 168

198 Changement de epèe : conclusion et ésumé La connaissance des changements de epèe n est pas stictement indispensable. Il est évidemment pafaitement possible de calcule diectement une accéléation sans utilise les elations établies ici. Mais, en décomposant coectement le poblème, ces elations pemettent souvent d expime plus apidement les gandeus vectoielles nécessaies. Rappelons que les démonstations ont été conduites en coodonnées catésiennes pou des aisons de commodité. Il est évident que, dans le ésumé qui suit, les composantes catésiennes des vecteus OP, PM, V P, V, P et peuvent ête emplacées pa leus homologues en coodonnées cylindiques ou sphéiques. Position OM OP PM OP xpi yp j zpk PM X I Y J Z K Vitesse V V PM V a P dx P dy P dz P VP i j k = vecteu otation de R pa appot à R a PM X I Y J Z K dx dy dz V I J K Accéléation ( ) d a P PM PM V d x P d y P d z P P i j k = vecteu otation de R pa appot à R a PM X I Y J Z K dx dy dz V I J K d X d Y d Z I J K Changement de epèe 169

199 169 REPERES NON INERTIELS Repèes non Galiléens 169

200 170 XII. REPERES NON INERTIELS (NON GALILEENS) INTRODUCTION EXEMPLE : MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME "FORCE" CENTRIFUGE PSEUDO FORCES PENSER AUTREMENT, PENSER GALILEE Véhicule qui amoce un viage Sens d enoulement des nuages autou des dépessions Maées Mouvement ciculaie unifome: "foce" centifuge Inetiel y Non inetiel + pseudo foce y Y "Foce" Centifuge + m I O I F m x O F I m P x X Oxy Galiléen = - I F = - F I m= F m = F Masse immobile dans PXY Accéléation nulle Donc Foces = 0 m I F I = 0 m = F Repèes non Galiléens 170

201 Intoduction XII. Repèes non inetiels (non Galiléens) L utilisation d un epèe non galiléen pou ésoude un poblème de dynamique est simplement une aute pésentation des elations de la dynamique que nous avons établies. Elle va nous amene à défini des pseudo-foces pou emplace cetains temes d accéléation.. Exemple : mouvement ciculaie unifome Penons le mouvement ciculaie unifome assué pa une foce F FI diigée ves le cente. Dans un epèe inetiel, l application du PFD en utilisant les coodonnées polaies conduit au ésultat : FI m I qui nous donne la elation classique ente la foce, la masse, la vitesse angulaie et le ayon : F m Plaçons nous dans un epèe PXY tounant avec le mobile. Il faut savoi qu'une foce ne dépend pas du epèe considéé (nous devons cependant pécise que ce ne seait pas vai en mécanique elativiste). Le bilan des foces est le même que pécédemment, seule la foce F existe et son expession est inchangée.. On devait donc pouvoi écie : d X d Y FI m( I J) Cette équation implique que la foce est nulle puisque X et Y sont constants! Ou est l eeu? L eeu est que le PFD ne peut ête appliqué que dans un epèe inetiel, et le epèe tounant n en est pas un : pa conséquent la denièe équation est fausse. 3. "Foce" centifuge Dans le mouvement ciculaie unifome que nous venons d analyse, il est possible d applique le PFD dans le epèe mobile PXYZ en intoduisant une "foce" supplémentaie, la (top) fameuse "foce" centifuge, égale à m I Repèes non Galiléens 171

202 17 Du éféentiel inetiel [a] au éféentiel quelconque [] + pseudo foces F m a Accéléation dans un epèe inetiel [a] d F m [ P ( PM ) PM V ] Accéléation dans un 4 pseudo-foces éféentiel quelconque [] d F m P m ( PM ) m PM m V m Repèes non Galiléens 17

203 173 Elle est dont égale et OPPOSEE au poduit de la masse pa l accéléation du point mobile P, diigée ves l extéieu du cecle. L écitue du PFD devient alos : d X d Y FI m I m( I J) Comme X et Y sont constants (et même nuls), les accéléations associées sont nulles et donc : FI m I 0 et pa conséquent : F m qui est la elation chechée. Pou ésume ce cas paticulie, au lieu d écie F m dans un epèe Galiléen soit: F I m I l intoduction de la foce centifuge nous conduit dans le epèe tounant à écie: FI m I 0 c est à die à affime que la somme des foces est égale à zéo. Mathématiquement, nous avons fait passe un teme de l aute côté du signe égal et nous avons alos natuellement changé son signe. Cette notion est dangeeuse si on ne maîtise pas pafaitement les notions de mécanique, ca elle peut conduie à des contadictions de type : si la somme des foces est nulle, alos le mouvement doit ête ectiligne unifome (1 èe loi de Newton), o il est ciculaie! 4. Pseudo foces La "foce" centifuge que nous venons d intoduie est une pseudo-foce, cetains emploient le teme de "foce d oigine cinématique", elle est seulement l équivalent d une foce, elle ne fait absolument pas patie des foces que nous avons identifiées en début de cous. Il est donc possible, en intoduisant des pseudo-foces d écie le PFD dans un epèe non Galiléen. Il y a ainsi des pseudo-foces centifuges, de Coiolis Repenons l expession (compliquée) de la composition des accéléations (cf. chapite changement de epèe) : ( ) d a P PM PM V Supposons que le epèe Ra soit inetiel. Dans le cas généal, le epèe R ne l'est pas ca il n est pas simplement en tanslation unifome pa appot à R. Penons une masse m soumise à une foce F. L application du PFD dans le epèe Galiléen R a s écit : F ma soit, pou faie inteveni le éféentiel non Galiléen R : ( ) d F mp PM PM V Pou se amene dans le epèe R, il faut aive à une expession qui se pésente sous la fome : F m donc : ( ) d F m P PM PM V m En conséquence de quoi, nous auons l expession coecte de l accéléation dans R à condition de ajoute à la (vaie) foce F un ensemble de 4 pseudo foces : a Repèes non Galiléens 173

204 174 Pense autement. Pense Galilée Exemple: déviation ves l Ouest Tee = éféentiel non Galiléen => tee immobile + pseudo foce Réféentiel Galiléen : cente de la tee et axes liés aux étoiles => tee en otation "foce " de Coiolis N N N Rotation tee S Repèes non Galiléens 174

205 d mp m( PM) m PM mv En conclusion, à note niveau, il faut connaîte l existence de cette notion de pseudo foces, mais il n est pas nécessaie de les utilise. Le tavail mathématique est de toute manièe stictement identique. Attention en tous cas au changement de signe! Pense autement, pense Galilée Le ecous à ces pseudo foces est en généal bien ancé, et notamment la foce centifuge est tès souvent mise à contibution. C est vai qu elle pemet une "explication" à pati de sensations : nous essentons une foce, alos que nous imaginons ou calculons une accéléation. Mais pou vaiment compende la mécanique, il faut absolument essaye de se place dans un epèe Galiléen et imagine l action des vaies foces. Tois exemples : 5.1 Véhicule qui amoce un viage. En tant que passages, nous essentons une foce qui a tendance à nous éjecte de la tajectoie : c est la foce centifuge. L "explication" est donnée. A l invese, nous pouvons die que nous suivions avant le viage une tajectoie ectiligne. En l absence de foce cette tajectoie ectiligne se polongeait (1 èe loi de Newton). C est le véhicule, pa l intemédiaie du siège (et donc de fottements statiques), qui nous applique une foce, pou nous communique une accéléation ves le cente de la tajectoie et nous dévie de note confotable ligne doite. 5. Sens d enoulement des nuages autou des dépessions. Le calcul s effectue souvent dans un epèe lié à la tee ; pou ce gene de phénomène, la tee n est pas un epèe Galiléen et il faut donc faie inteveni des pseudo-foces, de Coiolis en paticulie (attention aux signes). Encoe une fois le ésultat est qu une "foce" nous "explique" le sens d enoulement. Changeons de epèe, penons du ecul pa appot à nos habitudes, et plaçons nous dans un epèe inetiel : oigine au cente de la tee et axes liés aux étoiles. Supposons une supession aux pôles et une dépession su les Belledonne : l ai et les nuages vont se diige du pôle ves les Belledonne avec en ligne de mie une étoile, fixe, comme le feait un satellite lancé au pôle. L ai avance, mais pendant ce temps la tee toune, l Euope se déplace ves l Est, et donc les nuages vont passe à l Ouest. L essentiel est dit (il y a cependant d autes composantes), sans intevention de pseudo foce. Pa continuité, nous pouvons imagine l enoulement, dans le sens invese des aiguilles d une monte. Essayez dans l hémisphèe Sud pou compae : le sens d enoulement s invese. Pou une masse d ai qui patiait de l équateu ves le Nod, le aisonnement est un peu plus subtil du fait de la vitesse initiale ves l Est : mais le ésultat est identique bien sû. 5.3 Maées Pouquoi y-a-t-il maées pa jou? Essayez de justifie en pemie lieu le fait q'il y ait une élévation du niveau de l'océan au pied de la lune et aux antipodes. Une piste : la tee et la lune tounent autou de leu cente de masse mais attention l'histoie a un ebondissement à suive dans physique.belledonne. Repèes non Galiléens 175

206 Bibliogaphie Ouvages de 1 e cycle Cous de physique Mécanique du point, Alain Gibaud, Michel Heny, Dunod. Mécanique I, M.Betin, JP Faoux, J. Renaud, Dunod (ancienne édition) ou Mécanique I, JP Faoux, J. Renaud, collection J intège, Dunod. Mécanique I et II, JM Bébec, collection H Pépa, Hachette Supéieu. Mécanique I, H. Gié, JP Samant, Tec et Doc. Mécanique, P. Basselet, PUF. Physique généale. Tome 1 Mécanique. Alonso et Finn Edition du enouveau Pédagogique Ouvages de 1 e cycle et plus Mécanique, JP Peez, Masson. Cous de physique de Bekeley, 1. Mécanique, C. Kittel, WD Knight, en fançais chez Dunod. Physique généale, 1. Mécanique, Alonso-Finn, Edition du enouveau pédagogique. Ouvages évolués avec appoches oiginales. Le cous de physique de Feynman, Mécanique I, R. Feynman, en fançais chez Dunod. L unives Mécanique, L. Valentin, Hemann. Ouvages spécialisés en astonomie Astonomie Fondamentale Elémentaie, V. Kouganoff, Masson. Astonomie généale, A. Danjon, Blanchad.

207 Sites intenet 1) obseve des vidéos elatives à la mécanique du point. ) 3) 4) 5) Plein plein plein d animations. 6) (touvé su 7) Plein de liens de physique à exploe : 8) A teste : 9) Absolument extaodinaie pou la cinématique, avec en plus la physique et l histoie associée aux équations célèbes. 10) Eléments du cous de mécanique et intoduction à la elativité. Pa Johann Collot, Pofesseu UJF 11) Contient ce polycopié et difféentes extensions, pa Gilbet Vincent, Pofesseu UJF 178

208 Sommaie des compléments su : Coodonnées polaies : OM, Vet complexes Cycliste (voitue) dans un ond point Equation du cycliste (et de la voitue) Equation difféentielles linéaie, coefficients constants : solution exponentielle et sinus Chaînette : Equation de la coube et qq. popiétés Plus cout chemin : plan incliné et duée du tajet Maîte nageu et temps minimum de sauvetage Ellipse : elation ente les anomalies et Le viage en deux oues : compotement anti intuitif Scénaio catastophe : chute de deux masses l une ves l aute Le pincipe de moinde action 179