Fonctions polynômes, fractions rationnelles. Applications aux calculs de primitives

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1 Chpitre Fonctions polynômes, frctions rtionnelles. Applictions ux clculs de primitives Objectifs de ce chpitre. Fire des rppels sur l notion de fonctions polynômes vec les définitions usuelles : coefficients, coefficient dominnt, degré, ddition, multipliction. 2. Introduire l rithmétique des fonctions polynômes vec son outil fondmentl : l division euclidienne. Donner lors les notions de divisibilité, de PGCD, PPCM et d lgorithme d Euclide. 3. Toucher du doigt l notion de bse qui ser vue dns le second chpitre lgèbre linéire. Formule de Tylor. 4. Fctoristion des polynômes sur R et sur C. 5. Introduire l notion de polynôme irréductible. 6. Fire le prllèle Arithmétique des entiers Arithmétique des polynômes 7. Introduire l notion de frction rtionnelle et utiliser les méthodes sur les polynômes pour les décomposer en éléments simples. 8. Applictions : Clculer certines sommes infinies comme k(k+)(k+2). Clculer l dérivée n-ième d une frction rtionnelle. Clculer les primitives ou les intégrles de fonctions du type x (x + )( + x 2 ) ou t sint (cost + )( + cos 2 t).

2 . Fonctions polynômes.. Définitions Définition... (Fonction polynôme réelle). On ppelle polynôme réel ou fonction polynôme réelle toute fonction de l forme : P : R R x + x d x d, où d est un entier et,..., d sont des nombres réels ppelés coefficients de l fonction polynomile P. On ppelle degré de P le plus grnd indice i tel que i est non nul. On note degp le degré de P. Si d est le degré de P lors le coefficient d est ppelé coefficient dominnt de P. On dir qu un polynôme est unitire si son coefficient dominnt vut. Nottion...2. On noter R[x] l ensemble des fonctions polynomiles à coefficients réels. Pour tout entier n, on noter R n [x] l ensemble des polynômes à coefficients réels dont le degré est inférieur ou égl à n. Dns l définition précédente, le fit que les coefficients soient réels ne joue ucun rôle, on peut donc imméditement étendre ces définitions u cdre complexe : Définition...3 (Fonction polynôme complexe). On ppelle polynôme complexe ou fonction polynôme complexe toute fonction de l forme : P : C C x + x d x d, où les coefficients,..., d sont des nombres complexes. Nottion...4. On noter C[x], l ensemble des fonctions polynomiles à coefficients complexes. Pour tout entier n, on noter C n [x] l ensemble des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égl à n. Exemple...5. Quelques exemples.. On peut voir l fonction x + 3x + 5x 2 à l fois comme une fonction polynomile réelle et comme une fonction polynomile complexe. Ses coefficients sont,3 et 5. Son degré est 2, son coefficient dominnt est Le degré de l fonction polynomile x + ix 2 + x 3 est 2, ses coefficients sont, (vu comme coefficient de x) et i et son coefficient dominnt est i. 3. L fonction nulle x est une fonction polynomile dont tous les coefficients sont nuls. Pr convention son degré est. On convient ussi que pour tout entier n on < n, ( ) + n = n + ( ) =, ( ) + ( ) =. Remrque...6. Pr l suite, si le contexte réel ou complexe n importe ps, on dir simplement fonction polynomile ou polynôme et nous utiliserons les nottions K[x] et K n [x]...2 Opértions Définition..2.. L ensemble des fonctions polynomiles de K[x] est muni d une ddition et d une multipliction : P + Q : x P(x) + Q(x), P.Q : x P(x).Q(x), héritées de l ddition et de l multipliction sur K. 2

3 Remrque Des propriétés de l ddition et de l multipliction sur K = R ou K = C on déduit fcilement : L ddition est ssocitive : P,Q,R K[x], (P + Q) + R = P + (Q + R). L ddition est commuttive : L ddition dmet comme élément neutre : P,Q K[x], P + Q = Q + P. P K[x], P + = + P = P. Tout polynôme P dmet un opposé P. De même, l multipliction est ssocitive, commuttive et dmet comme élément neutre. Enfin, on l propriété de distributivité : P,Q,R K[x], (P + Q).R = P.R + Q.R = R.(P + Q). On dit que l ensemble K[x] vec ses deux lois + et. une structure d nneu commuttif que l on note (K[x],+,.). Pr définition du degré on obtient l proposition : Proposition Soit P et Q deux fonctions polynomiles.. L somme P + Q est une fonction polynomile dont le degré vérifie deg(p + Q) mx(degp,degq). 2. Le produit PQ est une fonction polynomile dont le degré vérifie deg(pq) = degp + degq...3 Divisibilité, division euclidienne, PGCD, PPCM, théorème de Bézout et lemme de Guss Dns cette section nous verrons que les fonctions polynomiles prtgent de nombreuses propriétés et concepts vec les nombres entiers, en prticulier, l notion de diviseur, de multiples, de division euclidienne, de PGCD, PPCM, ou lgorithme d Euclide et celle de fonctions polynômes irréductibles nlogue des nombres premiers. Divisibilité Définition..3. (Diviseurs et multiples). Soit A et B deux fonctions polynômes de K[x]. On dit que A est un multiple de B s il existe une fonction polynôme Q telle que A = BQ. On dit que B divise A si le polynôme A est un multiple de B. Notons que dns ce cs on dega = degq + degb degb. Remrque Cette formule fournit une condition nécessire de divisibilité sur les degrés qui n est bien entendu ps suffisnte. Remrque Tout polynôme divise l fonction polynôme : = P., et on vérifie que l propriété sur les degrés est bien vérifiée grâce ux conventions sur ( ). Théorème..3.4 (Division euclidienne). Soit A et B deux fonctions polynômes de K[x] vec B non nulle. Il existe un unique couple (Q,R) de fonctions polynomiles telles que : A = BQ + R vec R = ou degr < degb, Q est ppelée quotient et R est ppelée reste de l division euclidienne de A pr B. 3

4 Démonstrtion. On prouve l existence pr récurrence sur le degré de A.. Cs de bse : Si le polynôme A est nul lors l écriture = B. + convient. Si le polynôme A est de degré strictement plus petit que le degré de B lors l écriture A = B. + A convient. 2. Hypothèse de récurrence : on fixe un entier positif n et on suppose que pour tout polynôme A de degré inférieur à n, il existe Q et R vec A = BQ + R et R nul ou de degré strictement plus petit que le degré de B. 3. Montrons le résultt u rng n+. Considérons un polynôme A de degré égl à n+, notons le coefficient dominnt de P et b le coefficient dominnt de Q. Considérons le polynôme A b xdega degb B. Pr construction le degré de ce polynôme est strictement plus petit que le degré de A donc plus petit que n. Pr hypothèse de récurrence il v donc exister deux fonctions polynômes Q et R telles que A ( ) b xdega degb B = B.Q + R c est à dire A = b xdega degb + Q B + R. vec R nul ou de degré strictement inférieur u degré de B. Ceci est bien une décomposition convenble. 4. Conclusion. Le théorème découle donc du principe de récurrence. Prouvons l unicité. Si l on dispose de deux couples convenbles (Q,R ) et (Q 2,R 2 ) nous vons A = BQ + R = BQ 2 + R 2. Nous vons donc donc en considérnt les degrés nous obtenons B(Q Q 2 ) = R 2 R degb + deg(q Q 2 ) = degr R 2. Or degr R 2 < degb pr conséquent Q = Q 2 (sinon degq Q 2 > et l on une contrdiction) et donc R = R 2. Remrque L preuve du théorème fournit un lgorithme de clcul. Vous remrquerez pr l prtique que cet lgorithme de clcul est précisément celui que vous ppliquez, ppliquiez lors de l division d un entier pr un utre! Exemple L division euclidienne de x 4 + x 3 + x 2 + x + pr x 2 + est x 4 + x 3 + x 2 + x + x 4 + x 2 x 3 + x + x 3 + x x 2 + x 2 + x On obtient lors x 4 + x 3 + x 2 + x + = (x 2 + )(x 2 + x) +. PGCD Définition..3.7 (Diviseurs communs). Soit A et B deux fonctions polynomiles. On dir que P est un diviseur commun de A et B si P divise A et P divise B. Les fonctions constntes non nulles sont pr exemple des diviseurs communs de A et B. On note Div(A,B) l ensemble des diviseurs communs de A et de B. Définition..3.8 (PGCD). Soit A et B deux fonctions polynomiles de K[x], on ppelle PGCD(A,B) le plus grnd diviseur commun unitire de A et de B. Le coefficient dominnt du PGCD est. 4

5 Exemple Si B est unitire et multiple de A lors PGCD(A,B) = B. Définition..3.. On dir que deux fonctions polynomiles A et B sont premières entre elles si PGCD(A,B) =. En prtique on clcule les PGCD vi l lgorithme d Euclide : On suppose que le degré de A est plus grnd que celui de B, sinon on permute.. On effectue l division euclidienne de A pr B en notnt Q le quotient et R le reste : vec R = ou degr < degb. A = BQ + R. 2. Si R vut on s rrête, sinon on effectue l division euclidienne de B pr R, en notnt Q 2 le quotient et R 2 le reste : vec R 2 = ou degr 2 < degr. B = R Q 2 + R 2, 3. Si R 2 = on s rrête sinon on fit l division euclidienne de R pr R 2 en notnt le quotient Q 3 et le reste R 3 : vec R 3 = ou degr 3 < degr 2. R = R 2 Q 3 + R 3 4. On obtient insi une suite de quotients Q i et une suite de restes R i vérifint vec R i+2 = ou degr i+2 < degr i+. R i = R i+ Q i+2 + R i+2 5. Remrquons que l suite des degrés des restes R i est une suite d entiers positifs strictement décroissnte. L lgorithme s rrête qund l un des restes s nnule. Le polynôme PGCD(A,B) est le dernier reste non nul que l on rend unitire. Démonstrtion. Notons R i le dernier reste non nul et montrons que PGCD(A,B) est égl u polynôme R i divisé pr son coefficient dominnt et noté R i. En effet, écrire A = BQ + R implique Div(A,B) = Div(B,R ), cr si P divise A et B, il divise le reste R et si P divise B et R, il divise A. Ainsi, en itérnt cette remrque nous vons Div(A,B) = Div(B,R ) = Div(R,R 2 ) =... = Div(R i,). Or le plus grnd commun diviseur de R i et est R i cr il est unitire et divise. Exemple..3.. Clculons le pgcd de A(x) = x 3 x et B(x) = x 2 +3x +2. On pplique pour cel l lgorithme d Euclide : x 3 x = (x 2 + 3x + 2)(x 3) + 6(x + ) x 2 + 3x + 2 = 6 (x + 2).6(x + ) +. Le dernier reste non nul est 6(x + ). Le pgcd de A et de B est donc (x + ). PPCM Définition..3.2 (PPCM). Soit A et B deux fonctions polynomiles de K[x], on ppelle PPCM(A, B) le plus petit commun multiple unitire de A et de B. Exemple Nous verrons pr l suite que PPCM((x )(x + 2)x,(x )(x 2)x) = x(x )(x 2)(x + 2). 5

6 Théorème de Bézout et lemme de Guss Théorème..3.4 (Bézout). Soit A et B deux fonctions polynomiles. Il existe deux fonctions polynomiles U et V telles que UA +V B = D. Le fit d voir une reltion du type UA +V B = D, n implique ps que D soit le pgcd de A et de B. Mis implique nénmoins que D est un multiple de PGCD(A,B). Nous verrons tout de même ci-dessous que l on équivlence dns le cs D constnt. Démonstrtion. Le théorème de Bézout est une conséquence directe de l lgorithme d Euclide, en remontnt les clculs. Exemple Supposons que l on it trois étpes, c est à dire R 3 est le dernier reste non nul. Nous obtenons donc (A BQ ) = (B (A BQ )Q 2 )Q 3 + R 3 d où l on tire ( + Q 2 Q 3 )A (Q + Q 3 + Q Q 2 Q 3 )B = R 3. Exemple En reprennt l exemple des polynômes x 3 x et x 2 + 3x + 2 une décomposition de Bézout est 6 (x3 x) 6 (x 3)(x2 + 3x + 2) = (x + ). Corollire Soit P et Q deux fonctions polynomiles. Ces fonctions sont premières entre elles si et seulement si il existe deux fonctions polynomiles U et V telles que UP +V Q =. Démonstrtion. En effet pr l reltion de Bézout, si P et Q sont premières entres elles lors il existe deux fonctions polynomiles U et V telles que UP +V Q =. Récriproquement, si une telle reltion existe et si D divise à l fois P et Q lors D divise, donc D est de degré, c est une fonction constnte. Remrque Donnons une description géométrique de l ensemble E = {(U,V ) K[x] UP +V Q = }. Pr le théorème de Bézout cet ensemble est non vide. Soit (U,V ) et (U,V ) deux couples convenbles. Pr différence, on obtient (U U )P + (V V )Q =. On en déduit que P divise le produit (V V )Q. Or P et Q sont premiers entre eux, donc pr le lemme de Guss ci-dessous, on en déduit que P divise V V, il existe donc une fonction polynôme T telle que (V V ) = PT. On obtient lors l reltion (U U )P + PT Q =, qui induit l églité U U = QT. Ainsi : U = U + QT et V = V PT. Réciproquement, si on considère U et V écrits sous cette forme lors U P +V Q = U P + PQT +V Q PQT = U P +V Q =. 6

7 Nous concluons que l ensemble des couples solutions est E = {(U + QT,V PT ) T K[x]} que l on écrit sous l forme E = (U,V ) + K[x](Q, P). C est ce que l on ppelle une droite ffine (sur K[x]). Lemme..3.9 (Guss). Soit A, B, C trois fonctions polynomiles. Si A divise BC et A et B sont des fonctions polynomiles premières entre elles lors A divise C. Démonstrtion. En effet, pr le théorème de Bézout, il existe U et V tels que AU + BV =. Pr conséquent on l églité CAU +CBV = C. Or A divise BC donc il existe D tel que BC = AD donc on l églité A(CU + DV ) = C ce qui montre que A divise C. Proposition Soit P et Q deux fonctions polynomiles unitires. On l reltion PQ = PGCD(P, Q)PPCM(P, Q). Démonstrtion. En effet, notons D le PGCD(P,Q). Il existe P et Q tel que Pr l reltion de Bézout il existe, U et V tels que P = PD et Q = QD. UP +V Q = D, donc U P +V Q =, ce qui entrîne que P et Q sont premiers entre eux. Il fut et il suffit de montrer que PPCM(P,Q) est égl à P QD. Cette fonction est un multiple de P et un multiple de Q : P QD = PQ = P Q. De plus, soit M un multiple commun de P et Q. Il existe A tel que M = AP = A PD. Or QD égle à Q divise M, donc Q divise A P, or Q et P sont premiers entre eux, donc pr le lemme de Guss, Q divise A. Donc P QD divise M. D où l églité cherchée...4 Rcines d un polynôme Définition..4.. Soit P une fonction polynôme pprtennt à K[x]. On ppelle rcine de P tout élément pprtennt à K tel que P() =. Comme nous le verrons ci-dessous, l existence d une rcine dépend de mnière primordile du cdre de trvil K = R ou K = C. Pr exemple l fonction polynôme x 2 + ne s nnule pr sur R, mis s nnule en i et i sur C. Théorème Soit P une fonction polynôme de K[x]. Un élément de K est une rcine de P si et seulement si P est un multiple de x ou encore x divise P dns K[x]. Démonstrtion. Pr division euclidienne de P pr (x ), il existe une fonction polynôme Q et un reste R de degré tel que x K, P(x) = (x )Q(x) + R(x). Le reste est une fonction constnte. Si est une rcine de P lors P() = et pr évlution nous obtenons R =. Réciproquement si P est divisible pr x lors le reste R est nul et pr évlution nous obtenons P() =. 7

8 Définition Soit P une fonction polynôme de K[x] dmettnt une rcine pprtennt à K. On dit que l rcine est de multiplicité m si (x ) m divise P mis ps (x ) m+. Exemple Le polynôme P(x) = (x ) 2 (x 2) 4 pour rcines de multiplicité 2 et 2 de multiplicité 4. Théorème Une fonction polynôme de degré n u plus n rcines (comptées vec multiplicité) dns K. Démonstrtion. En effet, si un polynôme P n+ rcines comptées vec multiplicité, pr le théorème précédent le polynôme s écrit sous l forme n+ P(x) = (x i )Q(x). i= Pr l formule du degré d un produit, nous obtenons lors que le degré de P vut n++degq. Ainsi, un polynôme de degré n u plus n rcines comptées vec multiplicité...5 Une première pproche de l notion de bse L bse cnonique,x,x 2,...,x d,... Une fonction polynomile à coefficients dns K s écrit nturellement sous l forme Cette écriture est elle unique? Supposons que l on it deux écritures de f : f : x + x d x d. f : x + x d x d = b + b x +...b e x e. On peut tout d bord supposer que e et d sont égux. En effet, si pr exemple e d lors on rjoute les coefficients d+ =... = e =. On montre l églité de tous les coefficients pr récurrence : Si d =, on directement = b. Supposons connu le résultt pour tout polynôme de degré inférieur ou égl à d. On prouve le résultt pour les polynômes de degré d : Effectuons l différence nous obtenons que pour tout x K L fonction polynôme ( b ) + ( b )x ( d b d )x d =. x ( b ) + ( b )x ( d b d )x d est identiquement nulle en prticulier,,...,d sont rcines donc on l fctoristion : Si on évlue en d nous obtenons = ( b ) + ( b )x ( d b d )x d = ( d b d )x(x )...(x (d )). ce qui entrîne l églité d = b d. Ainsi les deux fonctions polynomiles = ( d b d )d! x + x d x d et x b + b x b d x d. sont égles donc pr hypothèse de récurrence ont les mêmes coefficients. On obtient insi que pour tout k {,...,d} on k = b k. On conclut pr le théorème de récurrence. Au chpitre suivnt nous dirons que l fmille infinie,x,x 2,...,x d,... est une bse de l ensemble des fonctions polynomiles à coefficients dns K. Pr ce terme nous entendrons que toute fonction polynomile f s écrit de mnière unique sous l forme vec d. f : x + x d x d 8

9 L bse,(x α),(x α) 2,...,(x α) d,... Fixons un élément α de K. Montrons dns cette sous section que toute fonction polynomile s écrit de mnière unique sous l forme f : x + x d x d f : x b + b (x α) b d (x α) d. Au chpitre suivnt, nous dirons lors comme ci-dessus que l fmille,(x α),(x α) 2,...,(x α) d,... est une bse de K[x]. Existence. L existence se prouve pr récurrence sur le degré de l fonction polynomile.. Si le degré est nul, l fonction est f : x et nous vons déjà l écriture. Autrement dit b =. 2. Si le degré vut lors f est de l forme x + x. On effectue l division euclidienne de f pr x α pour obtenir : En ce cs nous posons b = et b = + α. f : x ( + α ) + (x α). 3. Supposons l existence de l décomposition pour tout polynôme de degré u plus d et trîtons le cs d un polynôme f de degré d. On effectue lors l division euclidienne de f pr (x α) d que l on écrit sous l forme f : x d (x α) d + R(x) où R est de degré inférieur à d. On pplique lors l hypothèse de récurrence, l fonction polynomile R s écrit sous l forme R : x b + b (x α) b d (x α) d. Ce qui nous donne l écriture souhitée pour f. Unicité. On peut procéder comme ci-dessus. On peut ussi utiliser le théorème suivnt : Théorème..5. (Formule de Tylor). Soit P un polynôme à coefficients réels de degré d, pour tout α réel on P(x) = P(α) + P () (α)(x α) P(k) (α) k! (x α) k P(d) (α) (x α) d. d! Ainsi l décomposition de P sur l fmille, x α,... est unique. On l ppelle développement de Tylor de f en α. Démonstrtion. Soit P un polynôme à coefficients réels, de degré d. Pr divisions euclidiennes successives on obtient une écriture de P sous l forme P(x) = + (x α) k (x α) k d (x α) d. Montrons l églité pour tout k : k = P(k) (α) k!. Ecrivons P(x) = d i= i(x α) i. Montrons pr récurrence sur l ordre de dérivtion l formule P (k) (x) = i (i.(i )...(i k + ))(x α) i k. i k. En dérivnt l formule P(x) = d i= i(x α) i nous obtenons l églité P (x) = d i= i i(x α) i qui est de l forme souhitée. 2. On suppose l formule vrie à l ordre k. En l dérivnt on obtient l formule à l ordre k On conclut pr le principe de récurrence. Ainsi en évlunt en α nous obtenons P (k) (α) = k k!. 9

10 Remrque..5.2 (Approximtion polynômile locle d une fonction : formule de Tylor-Young). Soit f une fonction de clsse C k sur un intervlle ]c,d[. Soit un point de I. Il existe un voisinge ] α, + α[ et une fonction erreur telle que pour tout x ] α, + α[ on it f (x) = f () + f ()(x ) + f () 2! e :] α, + α[ R (x ) f (k) () (x ) k + (x ) k e(x) k! vec lim x e(x) =. Cette écriture est ppellée développement limité de f en. On pproxime insi l fonction f loclement, u voisinge de, pr le polynôme P k (x) = f () + f ()(x ) + f () 2! (x ) f (k) () (x ) k, k! l erreur dns l pproximtion est l fonction (x ) k e(x) qui tend plus vite vers que le terme (x ) k qund x tend vers...6 Fctoristion des fonctions polynomiles Fctoristion dns C[x] Lorsque vous vez construit les nombres complexes vous vez djoint à R un nombre i dit imginire vérifint l identité i 2 =. Les nombres complexes s écrivent sous l forme +ib. Le polynôme x 2 + n ucune rcine sur R cr strictement positive elle ne s nnule ps. Nénmoins cette fonction polynomile deux rcines sur C qui sont i et i. Comme l exprime le théorème suivnt qulifié de théorème fondmentl de l lgèbre, de mnière remrquble, le fit d voir rjouté i donne l existence d une rcine pour toutes les fonctions polynomiles! Théorème..6.. (Théorème de D Alembert-Guss). Toute fonction polynôme non constnte de C[x] possède u moins une rcine. Théorème (Fctoristion des fonctions polynomiles).. Toute fonction polynôme non constnte de C[x] est un produit de fonctions polynomiles de degré. 2. Toute fonction polynôme de degré n de C[x] possède exctement n rcines comptées vec leur ordre de multiplicité. Démonstrtion. On montre l première propriété pr récurrence sur le degré.. Si P est un polynôme de degré lors P sécrit sous l forme x x + b vec non nul et donc dmet pour rcine b. 2. Supposons le résultt cquis pour un polynôme de degré n. Soit P un polynôme de degré n +. Pr le théorème fondmentl de d Alembert-Guss, ce polynôme dmet une rcine α. On effectue l division euclidienne de P pr x α et l on obtient l écriture P(x) = (x α)q(x) vec Q un polynôme de degré n. Pr ppliction de l hypothèse de récurrence, le polynôme Q est un produit de n polynômes de degré. Ce qui donne le résultt pour P. 3. Pr le principe de récurrence l propriété est vrie pour tout degré. Le second point découle du premier en regroupnt les rcines égles. Grâce à ce théorème on dispose d un ccés isé théorique u pgcd et ppcm : Proposition Soit P et Q deux fonctions polynômes complexes s écrivnt respectivement sous forme fctorisée comme P(x) = l i= (x α i ) m i(p) et Q(x) = b l i= (x α i ) m i(q) où les m i (P) et m i (Q) sont les multiplicités de P et Q en α i si α i est rcine et vlent sinon. On lors PGCD(P,Q) = l i= (x α i ) min(m i(p),m i (Q)) et PPCM(P,Q) = l i= (x α i ) mx(m i(p),m i (Q)).

11 Pr exemple, dns le cs on réécrit les polynômes comme dns l énoncé : et on obtient lors P(x) = (x ) 2 (x 2)(x 3) 4 et Q(x) = (x )(x 3) 2 (x 6) P(x) = (x ) 2 (x 2)(x 3) 4 (x 6) et Q(x) = (x )(x 2) (x 3) 2 (x 6) PGCD(P,Q) = (x )(x 3) 2 et PPCM(P,Q) = (x ) 2 (x 2)(x 3) 4 (x 6). Démonstrtion. En effet soit D un diviseur commun à P et Q. Comme P et Q sont des multiples de D, nécessirement si est une rcine de D lors est une rcine de P et une rcine de Q et de plus l multiplicité de dns D est plus petite que l multiplicité de dns P et l multiplicité de dns Q. Ceci montre donc que le polynôme l i= (x α i) min(m i(p),m i (Q)) est le plus grnd commun diviseur de P et Q. L ssertion sur le ppcm, découle directement de l reltion PGCD(P, Q)PPCM(P, Q) = PQ. Fctoristion dns R[x] Le fit d voir l existence d une fctoristion des fonctions polynomiles dns le cdre complexe nous donne des renseignements sur l fctoristion dns le cdre réel. Commençons pr une remrque fondmentle : Remrque Soit P une fonction polynôme réelle P : x + x d x d. Si α est une rcine complexe de P lors le conjugué α est rcine de P. En effet les coefficients étnt réels nous vons + α d α d = = + α d α d = + α d α d. Théorème..6.5 (Fctoristion d une fonction polynomile réelle). Toute fonction polynomile de R[x] est un produit de fonctions polynômes de degré et de fonctions polynômes de degré 2 à discriminnt strictement négtif. Démonstrtion. L preuve de ce théorème s effectue pr récurrence sur le degré de P.. Si le degré de P vut, le polynôme P est déj sous l forme voulue. 2. Si le degré de P vut 2, il y deux cs à considérer ou bien le discriminnt est positif ou nul et en ce cs le polynôme P se fctorise en produit de deux polynômes de degré ou bien le discriminnt est négtif et en ce cs le polynôme est sous l forme voulue. 3. Supposons le résultt vri pour tout polynôme de degré u plus n. Considérons P un polynôme de degré n +. Pr ppliction du théorème de d Alembert-Guss, le polynôme P dmet une rcine α. () Si cette rcine est réelle lors pr division euclidienne on l écriture Et on pplique l hypothèse de récurrence sur Q. P(x) = (x α)q(x). (b) Si cette rcine est complexe lors pr l remrque précédente, le conjugué α est rcine. Le polynôme (x α)(x α) = (x 2R(α) + α 2 ) est un polynôme réel à discriminnt strictement négtif. Pr division euclidienne on obtient l écriture On pplique lors l hypothèse de récurrence à Q. P(x) = (x 2R(α) + α 2 )Q(x).

12 4. On obtient lors le résultt pour tout degré pr ppliction du principe de récurrence. Corollire Toute fonction polynomile de degré impir de R[x] possède u moins une rcine réelle. Remrque Ce corollire est ussi une conséquence du théorème des vleurs intermédiires. En effet une fonction polynomile est continue, son degré étnt impir, ses limites en + et sont opposées, insi pr le théorème des vleurs intermédiires, cette fonction dmet un zéro réel. Remrque L nlogue de l proposition..6.3 existe dns le cdre réel, on pourr l énoncer et l démontrer à titre d exercice!..7 Fonctions polynômes irréductibles Définition..7.. Une fonction polynomile P de K[x] est dite irréductible si ses diviseurs sont les fonctions constntes ou les multiples de P pr une constnte non nulle. L notion de polynôme irréductible est l nlogue de l notion de nombre premier. Exemple Quelques exemples et contre-exemples :. L fonction (x )(x 2) n est irréductible ni sur R ni sur C. 2. L fonction 3(x ) est irréductible sur R et sur C. 3. L fonction x 2 + est irréductible sur R mis réductible sur C cr égle à (x i)(x + i). 4. L fonction x 4 + bien que sns rcine réelle est réductible cr égle u produit (x 2 2x + )(x 2 + 2x + ). Théorème Les théorèmes de fctoristion..6.2 et..6.5 sur C et R montrent que. sur C[x], les fonctions polynômes irréductibles sont les fonctions x λ(x ), vec λ et complexes. 2. sur R[x], les fonctions polynômes irréductibles sont les fonctions x λ(x ), vec λ et réels et les fonctions polynômes réelles du type x x 2 + bx + c vec b 2 4c <. Ainsi toute fonction polynomile est produit de fonctions polynomiles irréductibles tout comme tout nombre entier est produit de nombres premiers. L écriture est unique à l ordre près des termes. 2

13 .2 Frctions rtionnelles Rppelons que K désigne les nombres réels R ou les nombres complexes C..2. Définitions Définition.2.. (Frctions rtionnelles). On ppeller frction rtionnelle toute fonction du type f : x P(x) Q(x), où P et Q sont deux fonctions polynômes à coefficients dns K. Définition.2..2 (Forme irréductible). Soit f = P Q une frction rtionnelle. Si D est le PGCD(P,Q), il existe deux polynômes P et Q tels que P = PD et Q = QD, en ce cs l fonction s écrit ussi f : x P(x) Q(x). On dir que f est mise sous forme irréductible. Les polynômes P et Q étnt premiers entre eux, le domine de définition D f de f est D f = {x K Q(x) }. Remrque Grâce à l lgorithme d Euclide, nous svons clculer le pgcd de deux polynômes. Puis pr ppliction de l division euclidienne nous svons fctoriser. Pr conséquent, de mnière effective, nous svons mettre uen frction rtionnelle sous forme irréductible. Exemple Pr exemple f : x x2 2x + x 4 = x (x + )(x 2 + ) pour domine de définition R \ { } si on trville sur R et C \ {,i, i} si on trville sur C. Dns toute l suite on supposer toujours que l frction rtionnelle est écrite sous forme irréductible.2.2 Décomposition en éléments simples Commençons pr deux cs prticuliers d usge cournt : Proposition Si f est une frction rtionnelle de l forme f : x P(x) (x b) n lors il existe un unique polynôme E et une unique fmille ( i ) i {,..,n} d éléments de K, telle que f : x E(x) + n k= k (x b) k. Démonstrtion. Prouvons l existence. On suppose que l frction rtionnelle f est écrite sous forme irréductible sinon on s y rmène en divisnt le numérteur et le dénominteur pr leur PGCD. On commence pr fire l division euclidienne de P pr (x b) n. On note E le quotient et R le reste. Ce reste est de degré inférieur ou égl à n. L frction rtionnelle s écrit lors sous l forme f : x E(x) + R(x) (x b) n. On écrit lors R(x) dns l bse, x b,...,(x b) n : R(x) = n k= k (x b) n k. 3

14 On en déduit le résultt. Prouvons l unicité. On suppose E et l suite ( k ) construits, on réduit u même dénominteur pour obtenir f : x E(x)(x b)n + n k= k(x b) n k (x b) n En notnt R(x) le polynôme n k= k(x b) n k, l écriture P = E(x b) n + R est l division euclidienne de P pr (x b) n. L unicité de E et de R est donnée pr le théorème de l division euclidienne. Pr l prtie..5, l décomposition de R sur l bse, x b,...,(x b) n est unique. Ce qui donne l unicité de l suite ( k ). Exemple On considère f (x) = x3 + (x ) 2. On effectue l division euclidienne de x 3 + pr (x ) 2 nous obtenons Donc, x 3 + = (x ) 2 (x + 2) + 3x. f (x) = x x (x ) 2. On décompose le polynôme 3x dns l bse, x, (x ) 2,... : et on obtient 3x = 2 + 3(x ) f (x) = x (x ) (x ). Remrque Cet énoncé est à comprer vec les développements décimux. Pr exemple, le nombre 45, 345 correspond à 45,345 = Proposition Si f est une frction rtionnelle de l forme f : x P(x) lors il existe un unique polynôme E et (x 2 +bx+c) n deux uniques fmilles ( i ) i {,..,n} et (b i ) i {,..,n} d éléments de K telle que Démonstrtion. Prouvons l existence et l unicité. f = E + n k= k + b k x (x 2 + bx + c) k.. Existence. On peut supposer l frction rtionnelle f écrite sous forme irréductible. On effectue l division euclidienne de P pr le polynôme (x 2 + bx + c) n, on note E le quotient et R le reste. Le degré du reste est strictement inférieur à 2n. L frction rtionnelle f s écrit lors sous l forme f : x E(x) + R(x) (x 2 + bx + c) n. On effectue lors les divisions euclidiennes successives en suivnt l lgorithme suivnt R(x) = Q (x)(x 2 + bx + c) + R (x) Q (x) = Q (x)(x 2 + bx + c) + R (x). Q n 2 (x) = Q n (x)(x 2 + bx + c) + R n (x) Notons qu à chque étpe le reste R i est de l forme i + b i x. Notons ussi que l suite des degrés des polynômes Q i décroit de deux à chque étpe. Remontnt l lgorithme on obtient l écriture suivnte : R(x) = R (x) + R (x)(x 2 + bx + c) + R 2 (x)(x 2 + bx + c) R n (x)(x 2 + bx + c) n, qui induit l existence de l décomposition de l proposition. 4

15 2. Unicité. Si l on dispose d une telle écriture lors R n est le quotient dns l division euclidienne de R pr le polynôme (x 2 + bx + c) n. Il est donc unique. De même, à prtir de l écriture R(x) R n (x)(x 2 + bx + c) n = R (x) + R (x)(x 2 + bx + c) + R 2 (x)(x 2 + bx + c) R n 2 (x)(x 2 + bx + c) n 2, le même risonnement prouve que le polynôme R n 2 est unique comme quotient de R(x) R n (x)(x 2 + bx + c) n pr le polynôme (x 2 + bx + c) n 2. En itérnt on obtient lors l unicité de tous les R i. Exemple Considérons f (x) = x6 + 4x 4 + x 3 + 5x 2 + 3x + 3 (x 2 + ) 3. Pr division euclidienne du numérteur pr le dénominteur, on obtient f (x) = + x4 + x 3 + 2x 2 + 3x + 2 (x 2 + ) 3. On effectue lors l division euclidienne de x 4 + x 3 + 2x 2 + 3x + 2 pr x 2 + : on obtient lors c est à dire x 4 + x 3 + 2x 2 + 3x + 2 = (x 2 + )(x 2 + x + ) + 2x +, f (x) = + 2x + (x 2 + ) 3 + x2 + x + (x 2 + ) 2, f (x) = + 2x + (x 2 + ) 3 + x (x 2 + ) 2 + x 2 +. Le théorème de décomposition en élément simples suivnt résulte des deux cs prticuliers précédents et du lemme de découpge : Lemme (Lemme de découpge). Soit f une frction rtionnelle de l forme f = eux et dega < degb + degb 2. Il existe un couple (A,A 2 ) de polynômes tel que F = A De plus ce couple est unique vec l condition dega < degb et dega 2 < degb 2. A B B 2 B + A 2 B 2. vec B et B 2 premier entre Démonstrtion. Existence. Les polynômes B et B 2 sont premiers entre eux donc pr le théorème de Bézout, il existe deux polynômes U et V tels que B U + B 2 V =. Pr conséquent nous vons l écriture : f = A(B U + B 2 V ) = AV + AU. B B 2 B B 2 On effectue l division euclidienne de AV pr B et AU pr B 2, en notnt Q et Q 2 les quotients et A et A 2 les restes : AV = B Q + A et AU = B 2 Q 2 + A 2. On obtient donc l écriture f = Q + Q 2 + A + A 2. B B 2 Nécessirement l somme Q + Q 2 vut cr f n ps de prtie entière sinon cel contredirit l hypothèse Ceci fournit donc l existence de l expression souhitée. dega < degb + degb 2. Unicité. Supposons que l on it deux décompositions convenbles : f = A B + A 2 B 2 = A B + A 2 B 2. 5

16 On obtient lors l églité B 2 (A + A ) = B (A 2 + A 2). Pr ppliction du lemme de Guss on obtient que B 2 divise A 2 A 2 et B divise A A. Les inéglités sur les degrés degb 2 > dega 2 A 2 et degb > dega A impliquent lors que A 2 = A 2 et A = A. En effet si un polynôme P divise un polynôme Q lors degp degq suf si Q est nul. Exemple On considère f (x) = 2x (x + )(x 2 + ). Montrons que les polynômes x + et x 2 + sont premiers entre eux. On utilise pour cel l lgorithme d Euclide : x 2 + = x(x + ) x + x + = ( x + ) + 2 x + = 2 ( x + ).2 +. Le dernier reste non nul est donc 2. Le pgcd de x 2 + et x+ est donc. On remonte les clculs pour obtenir l décomposition de Bézout. Pour cel on note A(x) = x 2 + et B(x) = x +. Nous vons : A(x) = xb(x) x + B(x) = ( x + ) + 2. et nous en déduisons = 2 [ (x 2 + ) (x )(x + ) ] donc c est à dire c est à dire donc f (x) = 2x. 2 f (x) = f (x) = x + x + [ (x 2 + ) (x )(x + ) ] (x + )(x 2 + ) x x(x ) x + x 2 +, x2 + x x 2 + f (x) = x + + x + x 2 +. Théorème (Décomposition en éléments simples d une frction rtionnelle). Soit f = A B une frction rtionnelle écrite sous forme irréductible. On suppose que le degré de B est plus grnd que. On suppose B écrit sous forme de produit de fcteurs irréductibles : B = λb α...bα n n vec λ et α i pour i {,...,n}. Il existe une unique fmille de polynômes E et C i, j telle que ( ) n αi C i, j f = E + i= j= B j, vec deg C i, j <. B i i Démonstrtion. Rppelons tout d bord que si l on trville sur C, les fcteurs irréductibles de B sont de l forme (x b) et si l on trville sur R ils sont de l forme (x 2 + bx + c) vec b 2 4c <. Donnons lors les idées de l preuve de l existence :. Si dega degb lors on effectue l division euclidienne de A pr B : A = B.E + R vec degr degb. On obtient lors l écriture f = E + R B. 6

17 2. Pr ppliction du lemme de découpge, il existe une unique fmille de polynômes (R i ) i {,...,n} telle que f = E + n R i i= B α i i 3. On pplique lors les deux cs prticuliers précédents pour obtenir le résultt. L unicité de l écriture résulte des unicités dns les propositions et le lemme qui précèdent..2.3 Applictions : clculs de sommes infinies et de dérivées successives Outre le clcul de primitives de frctions rtionnelles que nous verrons dns l section suivnte, le fit de pouvoir décomposer en éléments simples des frctions rtionnelles, permet de :. Clculer certines sommes infinies : Notons S n = n k=2 k(k )(k+). Quelle est l limite de S n lorsque n tend vers l infini? On décompose en élément simples : k(k )(k + ) = k + 2(k ) 2(k + ) = 2 On note lors u k = 2 ( k k ) de sorte que n S n = k u k+ = u 2 u n+ = k=2u 4 2. ( k ) ( k 2 k ). k + ( n ) n + 2. Clculer des dérivées n-ièmes : Considérons l fonction x x(x )(x+) et clculons s dérivée n-ième. On décompose en éléments simples x(x )(x + ) = x + 2(x ) 2(x + ). n On rmène lors le clcul à celui de l dérivée n-ième d une fonction x qui est plus fcile : Ainsi ( ) (n) = ( )n n! x (x ) n+. ( ) (n) ) = ( ) n n!( x(x )(x + ) (x ) n+ + 2(x ) n+ 2(x + ) n+. Remrque Svoir clculer les dérivées n-ièmes d une fonction, permet pr exemple d pproximer loclement cette fonction pr une fonction polynômile tout en contrôlnt l erreur. C est l notion de développement limité confère remrque

18 .3 Rppels sur les intégrles et primitives d une fonction continue, cs des frctions rtionnelles.3. Primitives et intégrles d une fonction continue Définition.3... Soit f une fonction continue d une vrible réelle définie sur un intervlle I et à vleurs dns R ou C. On ppelle primitive de f sur I toute fonction F dérivble dont l dérivée est f. Remrque Si F est une primitive de f lors toute fonction de l forme x F(x) +C vec C une constnte réelle est une primitive de f. Réciproquement si on considère deux primitives de f, F et F 2, leur différence est de dérivée nulle (F F 2 ) =. Comme on trville sur un intervlle, ceci entrîne (théorème des ccroissements finis pr exemple) qu il existe une constnte C telle que F 2 = F +C. Théorème Soit f une fonction continue sur un intervlle I, soit un point de I.. L fonction est l unique primitive de f qui s nnule en. x x f (t)dt 2. Pour toute primitive F de f sur I on x f (t)dt = F(x) F(). Démonstrtion.. Notons Φ : x I x f (t)dt. Remrquons que Φ() =. Nous voulons montrer que Φ est dérivble en tout point x de I de dérivée f (x ). Pr définition il s git donc de montrer que ou encore Φ(x + h) Φ(x ) lim = f (x ), h h lim [Φ(x + h) Φ(x )] h f (x ) =. h Fixons h réel, pr l reltion de Chsles nous vons [Φ(x + h) Φ(x )] h f (x ) = x +h x f (t)dt h f (x ) = x +h x [ f (t) f (x )]dt. On souhite montrer que cette intégrle tend vers qund h tend vers. Ceci provient de l continuité de f en x : Pour ε > fixé, il existe η vec > η > tel que pour tout t [x η,x + η] I on it f (t) f (x ) ε. Pr conséquent pour h η nous obtenons x [Φ(x +h x + h) Φ(x )] h f (x ) = f (t)dt h f (x ) +h f (t) f (x ) dt εη ε. x x On obtient insi le résultt pr définition de l limite. Soit F est une utre primitive de f qui s nnule en. Comme on trville sur un intervlle I, il existe une constnte C tel que F = Φ+C. En évlunt en nous obtenons C =. L fonction Φ est donc l unique primitive de f qui s nnule en. 2. Soit F une primitive de f. Pr l rgument précédent il existe une unique constnte C telle que F = Φ +C. En évlunt en on obtient C = F(). Ceci montre que pour tout x I F(x) = F() + x f (t)dt. Pr conséquent le clcul de l intégrle d une fonction continue se rmène à l détermintion d une primitive de cette fonction : b f (t)dt = F(b) F() = [F(t)] b. 8

19 .3.2 Clculs de primitives Rppelons les primitives usuelles : intervlle fonction primitive R + x m,m x m+ m+ +C R +,R x ln x +C R e λx,λ λ eλx +C R x, > et ln x +C R cos x, sin x +C R sin x, cos x +C ] π 2 + kπ, π 2 + kπ[,k Z tnx ln cos x +C ] π 2 + kπ, π 2 + kπ[,k Z cos 2 x = + tn2 x tnx +C ] + kπ,π + kπ[,k Z sin 2 x tnx +C R ch x, sh x +C R sh x, ch x +C R th x lnch x +C R ch 2 x = th 2 x th x +C R,R + sh 2 x th x +C R rctnx +C x 2 + ],[ rgth x +C = x 2 2 ln x+ x ],[ x 2 rcsinx +C ], + [ x 2 rgch x +C R x 2 + rgsh x +C 9

20 .3.3 Intégrtion pr prties Théorème.3.3. (Intégrtion pr prties). Soit u et v deux fonctions de clsse C sur [,b]. Pour tout x [,b] on l églité x x u (t)v(t)dt = [u(t)v(t)] x u(t)v (t)dt. Démonstrtion. En effet u et v étnt dérivbles, le produit uv est dérivble vec (uv) = u v + uv. L formule d intégrtion pr prties découle de l intégrtion de cette formule : pour tout x [,b] x x x [u(t)v(t)] x = (uv) (t)dt = u (t)v(t)dt + u(t)v (t)dt. Exemple Clculons l primitive de x lnx qui s nnule en. Toutes les utres primitives s en déduiront pr jout d une constnte. On procède pr intégrtion pr prties : Pour x ],+ [ on x x x lntdt =.lntdt = [t lnt] x dt = xlnx x +. Les primitives de x ln x sont donc les fonctions x x ln x x +C où C est une constnte réelle..3.4 Chngements de vribles Théorème.3.4. (Chngements de vribles). Soit f une fonction continue sur un intervlle I et ϕ une fonction de clsse C sur un intervlle [,b] à vleurs dns I. On b ϕ(b) f (ϕ(x))ϕ (x)dx = f (t)dt. ϕ() Démonstrtion. Soit F une primitive de f. On consière l fonction g = F ϕ. Cette fonction est dérivble, s dérivée est continue et vérifie g (x) = F (ϕ(x))ϕ (x) = f (ϕ(x))ϕ (x). On d une prt et d utre prt Ce qui donne l formule. ϕ(b) g(b) g() = F(ϕ(b)) F(ϕ()) = f (t)dt, ϕ() b b g(b) g() = g (t)dt = f (ϕ(t))ϕ (t)dt. Exemple Clculer l intégrle π/2 (sin 3 (x) + )cos xdx. On pose pour cel t = ϕ(x) = sin x fonction de clsse C sur [,π/2]. Nous vons dt = ϕ (x)dx = cos xdx et ϕ() = ϕ(π/2) =. Pr l formule de chngement de vribles nous obtenons l églité π/2 (sin 3 x + )cos xdx = [ t (t )dt = 4 +t ] =

21 .3.5 Primitives des frctions rtionnelles Le théorème de décomposition en éléments simples permet de rmener le clcul d une primitive d une frction rtionnelle compliquée à des clculs de primitives de frctions rtionnelles plus simple du type x (x ) ou x x+b n (x 2 +px+q) n vec p 2 4q <.. Soit dns R. () L primitive de x x est de l forme x ln( x ) +C vec C R. (b) Pour tout n, l primitive de x (x ) est x n n (x ) n. 2. Soit, b, p et q vec p 2 4q <. Soit n. Donnons une méthode pour clculer une primitive de x x + b (x 2 + px + q) n. () On commence pr fire pprître l dérivée de x 2 + px + q u numérteur : x + b (x 2 + px + q) n = 2x + p 2 (x 2 + px + q) n + b p 2 (x 2 + px + q) n. L première prtie s intègre fcilement cr elle est de l forme u u n qui s intègre en ( n)u n. (b) Il reste donc à clculer des primitives de fonctions de l forme x (x 2 +px+q) n. Pour cel on écrit x 2 + px + q sous forme cnonique (x + p/2) 2 + r 2 vec r 2 = q (p/2) 2 >. Pr conséquent nous vons les églités x x (t 2 + pt + q) n dt = x r 2n [ ( x+p/2 r en utilisnt l formule de chngement de vribles pour u = x+p/2 r. dt ) ] 2 n = + (c) Il reste donc à svoir clculer les intégrles du type du. (+u 2 ) n Ces intégrles se clculent pr récurrence en intégrnt pr prtie : Pour tout n notons x du J n : x ( + u 2 ) n. Nous vons J n (x) = r 2n x+p/2 r p 2r du ( + u 2 ) n, x x (x 2 + ) n + 2n u 2 ( + u 2 ) n+ du = x (x 2 + ) n + 2n(J n+(x) J n (x)). Schnt que J (x) = x et J (x) = rctnx. On peut clculer pr récurrence J n. Exemple Clculons l intégrle (x + )( + x 2 ) dx On commence pr décomposer en éléments simples l frction rtionnelle : (x + )( + x 2 ) = 2(x + ) + x 2( + x 2 ). Pr conséquent [ (x + )( + x 2 ) = 2 ln(x + ) + 2 rctn(x) ] 4 ln( + x2 ) = 4 ln(2) + π 8. 2

22 .3.6 Applictions ux intégrles trigonométriques Définition On ppelle fonction polynôme en deux vribles toute fonction de l forme (x,y) R +, x +, y k,l x k y l n,m x n y m. Définition On ppelle frction rtionnelle en deux vribles R(x,y) toute fonction de l forme En substitunt x pr cost et y pr sint on obtient une fonction que l on ppelle frction rtionnelle en cost, sint. (x,y) R(x,y) = P(x,y) Q(x,y). f : t R(cost,sint) Théorème (Règles de Bioche). Soit f une frction rtionnelle en sint et cost.. Si pour tout t R, on f (π t) = f (t) lors le chngement de vrible u = sin t conduit à l recherche d une primitive de frction rtionnelle. 2. Si pour tout t R, on f ( t) = f (t) lors le chngement de vrible u = cost conduit à l recherche d une primitive de frction rtionnelle. 3. Si pour tout t R, on f (π +t) = f (t) lors le chngement de vrible u = tnt pour t ] π 2 + nπ, π 2 + nπ[ conduit à l recherche d une primitive de frction rtionnelle. 4. Dns tous les utres cs le chngement de vrible u = tn t 2, pour t ](2n )π,(2n + )π[ conduit à l recherche d une primitive de frction rtionnelle. Exemple Clculons l intégrle π/2 sint (cost + )( + cos 2 t) dt. sint L fonction f (t) = vérifie f ( t) = f (t), on effectue le chngement de vrible x = cost qui est de clsse (cost+)(+cos 2 t) C de [,π/2] vers [,]. Pr l formule de chngement de vribles nous vons π/2 sint (cost + )( + cos 2 t) dt = (x + )( + x 2 ) = 4 ln(2) + π 8. 22

23 .4 Objectifs pédgogiques. Svoir clculer les rcines crrées d un nombre complexe. 2. Svoir effectuer une division euclidienne. 3. Avoir le réflexe de chercher des rcines évidentes pour fctoriser. 4. Svoir décomposer un polynôme dns l bse,x α,(x α) 2,... pr divisions euclidiennes successives ou vi l formule de Tylor. 5. Svoir décomposer un polynôme suivnt l fmille,(x 2 + bx + c),(x 2 + bx + c) 2,... pr divisions euclidiennes successives 6. Svoir clculer le pgcd de deux polynômes pr l lgorithme d Euclide ou pr une décomposition en fcteurs irréductibles. 7. Svoir clculer une décomposition de Bézout. 8. Svoir décomposer une frction rtionnelle en éléments simples. 9. Lors d un clcul de somme infinie ou de dérivées successives fisnt intervenir une frction rtionnelle voir le réflexe de fire une décomposition en éléments simples.. Svoir clculer les primitives d une frction rtionnelle.. Svoir clculer les primitives et les intégrles de frctions rtionnelles trigonométriques. 23