MATHEMATIQUES 2. Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de M n (!)

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1 SESSION 003 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES Duée : 4 heues Les cacuaces so edes * * * NB : Le cadda aachea a us gade moace à a caé à a écso e à a cocso de a édaco S u cadda es ameé à eée ce qu eu u sembe êe ue eeu d éocé e sgaea su sa coe e deva ousuve sa comoso e exqua es asos des aves qu a éé ameé à ede Cacus de dsaces ee ue mace e ceaes aes de M Noaos Das ce suje es u ee aue o u e o oe : M : a -agèbe des maces caées éees d ode M ( ) : e -esace vecoe des maces à ges e à ue cooe Pou ue mace A de M A es sa mace asosée ag (A) so ag e T (A) sa ace I : a mace ué de M S : e sous-esace vecoe des maces syméques de M A : e sous-esace vecoe des maces asyméques de M S + : esembe des maces osves de S c es-à-de des maces A de S véfa : ou oue mace X M ( ) 0 GL ( ) : e goue des maces vesbes de M O : e goue des maces éees ohogoaes c es-à-de des maces M de M véfa : M M = I Pou ee aue es esembe des maces de M es esembe des maces de ( ) M de ag féeu ou éga à de ag suéeu ou éga à e Touez a age SVP

2 Objecfs Le bu du suje es de cacue a dsace (a a ome de Schu défe à a queso II3) d ue mace à : A a e héoème de ojeco ohogoae das a ae II ( ) S e das a ae III O a e héoème de décomoso oae das a ae IV a des oos de desé das a ae V a e héoème de Coua e Fsche La ae I ae u exeme qu sea usé das es dfféees aes Remaque : das e exe e mo «osf» sgfe «suéeu ou éga à 0» I Execce émae So a mace Γ = de ( ) 3 M o ose H = Γ Γ Dagoase a mace H e déeme ue mace P de O 3 () emes ous osfs ees que D S = P D P + 3 () = P H P e ue mace dagoae D à O ose S moe que a eao Γ = U S déf ue mace U O ( ) e cacue cee mace 3 II Cacu de a dsace de A à S e à A 3 So A e B deux maces de M o ose ( B) = A Moe que o déf as u odu scaae su M A T ( B) La ome assocée à ce odu scaae (ome de Schu) es oée : A = (( A A) ) Das ou e suje s Π es ue ae o vde de M a dsace d ue mace A de M à a ae Π es e ée d( A Π) = f A M M Π 4 Moe que M = S 5 S A es ue mace de ( ) même (A A ) 6 Cacue (Γ A e que cee somme dece es ohogoae M moe que d (A S ) = ( A A) e déeme de A ) où Γ es a mace exeme de a ae I 3

3 3 III Cacu de a dsace de A à O A Théoème de a décomoso oae 7 Moe qu ue mace S de S ( ) aae à + () oes de S so osves ou ues 8 S A es ue mace de ( ) M moe que a mace A A S s e seueme s oues es vaeus + () S 9 So A ue mace de M o suose qu exse ue mace dagoae D = dag ( d d d ) à emes osfs ee que A A = D O oe A A A M qu fome es cooes de a mace A es maces de () a Pou ou coue ( j) d ees aues coms ee e évaue A Aj E acue s es u ee ou eque d = 0 que vau A? b Moe que o eu ouve ue base ohoomée ( E E E ) de M () (a ao au odu scaae caoque X Y = X Y de M () ) ee que ou ou ee aue ee e A = d E c E dédue qu exse ue mace E de ( ) 0 So A e B deux maces de ( ) O ee que A = E D M véfa A A = B B a Moe qu exse ue mace dagoae D à emes osfs e ue mace ohogoae P ees que : P A A P = P B B P = D b Moe qu exse ue mace U de ( ) O ee que A = U B Dédue des quesos écédees e héoème de décomoso oae : O e ue mace S de Pou oue mace A de M exse ue mace U de S + ees que A = U S (Remaque : o eu égaeme éab ucé de a mace S de + de a mace U de ( ) S e même ucé O s A es de us vesbe das cee décomoso mas ce e sea as ue ou a sue du obème) B Cacu de (A O ) Moe que ou oue mace M de M e ou oue mace Ω de M Ω = Ω M = M O Touez a age SVP

4 4 3 Das a sue de cee ae so A ue mace de M so U O e S S + ees que A = U S ; exse ue mace dagoae D e ue mace P de O ( ) ees que S = P D P a Moe que ou oue mace Ω de d (A O ( )) = d(s O ( )) b Moe que (A O ) d(d O ) 4 O oe D = dag λ λ λ ) ( = ( ) a Moe que ou oue mace Ω de ( ) b Moe que ou oue mace Ω de ( ) c Cocue que (D O ) = D I 5 Moe que d (A O ( )) = A U O A Ω = S U Ω e e dédue que O D Ω = λ T ( D Ω) + = O T ( D Ω) λ 6 Cacue d (Γ O ( )) où Γ es a mace exeme de a ae I 3 = IV Cacu de a dsace de A à 7 U ésua de desé a So M u ééme de M moe qu exse u ée α > 0 e que ou ou ée λ véfa 0 < λ < α a mace M λ I es vesbe b E dédue que GL ( ) es dese das M 8 So A u ééme de M déeme ou ou ee aue d(a ) V Cacu de a dsace de A à A Théoème de Coua e Fsche So A ue mace de D = dag ( λ λ λ ) P a mace de maces de ( ) S O oea λ λ λ ses vaeus oes o oea M foma es cooes de a mace P O véfa A = P D P e C C C es

5 5 S es u ee ee e o oe dmeso Nous aos moe que : λ = max m (héoème de Coua e Fsche) F Ψ X F {} 0 9 So X u veceu de () C C C ) de M ( ) ( X A X e X X Ψ esembe des sous-esaces vecoes de ( ) M de M de coodoées x x x ) das a base ohoomée ( Cacue e foco des x e e ou ee ee e C C A C C λ ( coms ee e ) : 0 So ee ee e o ose F = vec{ C C C } Moe que ou ou X o u de F λ e déeme m X {} F 0 So F Ψ a moe que dm( F vec{ C C + C }) b S X es u veceu o u de F vec{ C C + C } moe que λ Cocue B Cacu de d(a ) Das oue cee ae : A es ue mace de M de ag e es u ee aue < 3 Moe qu exse deux maces E e P de O e ue mace dagoae D à emes osfs ees que A = E D P E dédue que e ag de a mace A A es ecoe (O oua use es ésuas de a queso 9) 4 S o oe es vaeus oes de a mace syméque éee A A de ag : > 0 e + = = = 0 s o ose D = dag ( 0 0) s ou o oe M a mace de M ( ) do a -ème cooe es cee de a mace E O de a queso 3 ous es aues emes de M éa us o a caeme : E D = = M Moe aos qu exse ue fame ohoomae R R ) (ou e odu scaae ( A B) = T ( A B) A = = R = = R ( R de maces de M de M ) oues de ag u e ees que Touez a age SVP

6 6 5 Avec es oaos de a queso 4 o ose N = = R Moe que ag ( N ) us que d(a ) So M ue mace de ag ( < ) o oe α α α 0 es vaeus oes de a mace ( A M) ( A M) e o ose G = Ke M Im( A A) So u ee coms ee e a Moe que dmg b So F u sous-esace vecoe de G de dmeso moe que : X A A X α m X F {} 0 c O oe ( V V V ) ue base de fomée de veceus oes de a mace A A e veceu V éa assocé à a vaeu oe de ee soe que : > 0 e + = = = 0 Moe que dm( G vec{ V V V + } ) d E dédue que α 7 E dédue d(a ) + 8 Cacue ou { 0 3} γ = d(γ ) où Γ es a mace exeme de a ae I F de éocé