Chapitre 04 : THÉORÈME DE PYTHAGORE

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1 hpitre 04 : THÉORÈME DE PYTHGORE Pythgore et l déouverte du théorème : I) Voulire : 1) Définition : Hypoténuse : Dns un tringle retngle, l'hypoténuse est le ôté opposé à l'ngle droit. Exemple : hypoténuse ) Propriété : L'hypoténuse est toujours le ôté le plus long du tringle retngle. : D'près l définition, l'hypoténuse n'est défini que dns les tringles retngles. II) Théorème de Pythgore : (Pour luler l longueur du troisième ôté d'un tringle) (Pour montrer qu'un tringle n'est ps retngle) 1) Théorème : Si un tringle est retngle, lors le rré de l longueur de l'hypoténuse est égl à l somme des rrés des longueurs des deux utres ôtés. Mthémtiquement : Si est un tringle retngle en, lors ² = ² + ² THÉORÈME DE PYTHGORE 1

2 ) Exemple de rédtion : lul d'une longueur : un tringle retngle en tel que = 4 m et = 5 m. luler. Shém : Données : onlusions : Théorème de Pythgore ² = ² + ² Digrmme : un tringle retngle en. Théorème de Pythgore ² = ² + ² Rédtion : Le tringle est retngle en. D'près le théorème de Pythgore, ² = ² + ². En remplçnt pr les vleurs numériques, on otient : 5² = 3² + ² 5 = 9 + ² ² = 5 9 ² = 16 = (16) = 4 m. 3) Exemple de rédtion : Prouver qu'un tringle n'est ps retngle : un tringle retngle tel que = m et = 4 m et = 3 m. Montrer que le tringle n'est ps retngle. Rédtion : On sit que : Si le tringle étit retngle, il le serit en (r est le plus grnd ôté). D'près le théorème de Pythgore, on urit : ² = ² + ² Or : ² = 4² = 16 ² + ² = ² + 3² = = 13 Don : Le tringle n'est ps retngle. THÉORÈME DE PYTHGORE

3 4) Démonstrtion : Dns le tringle retngle i-ontre, on veut démontrer que : ² + ² = ² On onsidère un rré DFG de ôté ( + ), dns lequel on ple 4 tringles retngles de ôtés, et : Montrons que ĈHE = 90 : On sit que : ĜH + FHE=ĜH +ĜH (r les tringles GH et HFE sont superposles.) Or : les ngles à l se d'un tringle retngle sont omplémentires. Don : ĜH + FHE=ĜH +ĜH = 90 Les points G, H et F étnt lignés, on otient : ĈHE = 180 ( ĜH + FHE ) = = 90 + Montrons que HE est un rré : De l même mnière que préédemment, on prouve que Ĥ = ĈE = EH = 90. On en déduit que le qudriltère HE est un rré. (4 ngles droits, 4 ôtés de même longueur). L'ire du rré HE peut être lulé de deux mnières : ire HE = ôté ôté = = ² On en déduit que : ² + ² = ² ire HE = ire DFG 4 ire GH = ôté ôté 4 se huteur = ( + ) ( + ) 4 = ² + + ² 4 = ² + ² THÉORÈME DE PYTHGORE 3

4 III) Réiproque du Théorème de Pythgore : (Sert à démontrer qu'un tringle est retngle) 1) Théorème : Réiproque de Pythgore : Si, dns un tringle, le rré de l longueur du plus grnd ôté est égl à l somme des rrés des longueurs des deux utres ôtés lors e tringle est retngle et l'ngle droit est l'ngle opposé u plus grnd ôté. Mthémtiquement : Si, dns un tringle, ² = ² + ² lors le tringle est retngle en. ) Exemple de rédtion : lul d'une longueur : un tringle te que = 3 m, = 4 m et = 5 m. Prouver que le tringle est retngle en. Shém : Données : onlusions : ² = ² + ² Réiproque du Théorème de Pythgore Digrmme : [] est le plus grnd ôté ² = ² + ² Réiproque du Théorème de Pythgore un tringle retngle en. Rédtion : Dns le tringle, [] est le plus grnd ôté et ² = ² + ². (En effet : ² = 5² = 5 ² + ² = 3² + 4² = = 5) D'près l réiproque du théorème de Pythgore le tringle est retngle en. THÉORÈME DE PYTHGORE 4

5 3) Démonstrtion : Si, dns un tringle, le rré de l longueur du plus grnd ôté est égl à l somme des rrés des longueurs des deux utres ôtés lors e tringle est retngle Soit un tringle tel que : = ; = ; = ; ² + ² = ² Soit D le point pprtennt à l perpendiulire à l droite () pssnt pr tel que D = =. (Les points et D sont tels qu'ils ne sont ps du même ôté de l droite ()). On sit que le tringle D est retngle en. d'près le théorème de Pythgore, on : D² = ² + D² D² = ² + ² omme : ² + ² = ² D² = ² Finlement : D = = On sit que : = D et = D Or : si un point est équidistnt des extrémités d'un segment lors il pprtient à l méditrie de e segment. Don : pprtient à l méditrie du segment [D] et pprtient à l méditrie de [D]. Don : () est l méditrie du segment [D]. On sit que : () est l méditrie du segment [D]. Or : L méditrie d'un segment est perpendiulire à e segment. Don : () (D) or on sit que () (D) don () () Le tringle est retngle en. THÉORÈME DE PYTHGORE 5