MATHEMATIQUES VEDIQUES (Résumé à la fin)

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1 MATHEMATIQUES VEDIQUES (Résumé à l fin) Nottion perso : n n n n où sont notés les clculs des i où les retenues sont reportées à guche Prtition d un nombre en trnche(s) : n n n... p p 1... q q 1... r... r prties dont celle de droite à chiffres : ; ; Clcul d un chiffre : 0, , Le prtge dit norml si les trnches ont un seul chiffre est sous-entendu. 1) Crré d un nombre dont le chiffre des unités est 5 : 5 ( 1) (+1) donc 5 = ² = [ 34 5 ] = donc ) Produit de deux nombres ynt les mêmes dizines et dont l somme des chiffres des unités est 10 : le cs 1) est un cs prticulier (5+5=10) bc 10 b10 c ( b c) bc donc b c bc si b+c=10 b si b+c=10 c bc ( 1) bc vec chiffres à droite (+1) bc donc 1= = [ 45 3 ] = 01 3) Crrés de nombres compris entre 50 et 60 : ² 5 5 vec chiffres à droite donc ² donc 53 =80 5² = [ 5+ ² ] = 3481 bc bc bc000 bc, 4) Multipliction pr un nombre dont les chiffres sont des : soit c =c-1 lors bc bc ' bc bc '000 bc ' et b c b c1 b 10c bc b c 1 b 10 c 1

2 6 5 4 Exemple 1 : 4-1=3, donc 654= Exemple : 46 = 046 = [ ] = = ) Multipliction pr un nombre dont les chiffres sont des 1 : b 1 1 b11 10 b b b donc b11 b b b b Exemple 1: donc 311= Exemple : donc 6511=1 (65+=6, 65+6=1) Exemple 3 : 411 = [ 4 4+ ] = [ 4 31 ] = [ ] = bcde b10 c10d e b10 c10 d 10e10 10 b10 c10d e bcde b 10 b c 10 c d 10 d e e bcde11 b b c c d d e e b c d e 1 1 b bc cd d e e Exemple : donc 48311=5683 (+3=1 ; 8++1=18 ; +8+1=16 ; 4++1=1 ; 4+1=5) bc bc b100c b10c10010bc bc b 100 bc 10 bc c bc111 b b c b c c b c b bc bc c Exemple 1 : donc 03111= Exemple : donc = Exemple 3 : = [ ] = [ ] = [ ] = ) Multipliction pr un nombre dont les chiffres sont les mêmes : bcddd d bc 111 Exemple : 8 = = [ ] = [ [ ] 8 = [ ] = 8 = 158

3 ) Soustrire un nombre d une puissnce de 10 vec décimles (clcul monétire) : 100 b, cd, 0, 01 b, cd donc 1 0 0, b, cd 10 1 b0,1 c0,0110 d - b, c d - -b, -c 10-d 100 b, cd b, c 10 d 1 0 0, , -5-3, donc ,=46,3 1000,00-15, = [ , ] = 85,01 8) Multipliction de deux nombres : bcd 10 b10c d donc b c d c d bc bd bcd c d bc bd donc 135= = [ ] = [ ] = [ ] = bcdef b c d e f donc bcdef d e bd f cd be bf ce cf bcdef d e bd f cd be bf ce cf 1 1 bcd c d bc bd b c d e f d e bd f be cd bf ce cf 3 0 donc 1130= = [ ] = [ ] 341 = [ ] = [ ] = [ ] = bcd efgh b c d e f g h bcdefgh10 e10 f be 10 gbf ce 10 hbgcf de 10 bhcgdf 10 chdg dh b c d e f g h h bh ch dh g bg cg dg f bf cf df e be ce de e f+be g+bf+ce h+bg+cf+de bh+cg+df ch+dg dh bcd efgh e f be g bf ce h bg cf de bh cg df ch dg dh 3

4 donc 10430= = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = ) Rcine cubique excte d un nombre cube prfit à 6 chiffres : N N Soit M= mmmmmm un cube prfit, M<10 6, 3 M < , 3 M <10 M=X 3 =vec X=10x+y, notons U(n) le chiffre des unités de l entier n f:nu(n 3 ) est une bijection de [0,][0,], soit F=f -1 F est l identité sur {0,1,4,5,6,}, F(8)=, F()=3, F(3)=, F()=8 3 Alors y=f(m 0 ) ; soit E mmm lors 3 mmm <(+1) 3 ; (10) 3 mmm mmmmmm mmm 5 4 3<(+1) mm( m 1) (+1) 3 mmmmmm < mm 5 4 ( m 3 1) (+1) 3 (10) 3 mmmmmm <[10(+1)] 3 x= d où 10x+y rcine cubique de M 10) Rcines crrées d un crré prfit à 4 chiffres : Soit M= mmmm un crré prfit, M<10 4, M <10 ; M=(10x+y)² ; m 0 =0 y=0 ; m 0 =5 y=5 ; m 0 =1 y=1 ou y= ; m 0 =4 y= ou y=8 ; m 0 =6 y=4 ou y=6 ; m 0 = y=3 ou y= ; pour m 0 {1,4,6,} y=y 1 ou y=y N N Soit E mm 3 lors mm 3 <(+1) (10)² mm 3 00 mmmm mm 3 <(+1) m3m 1(+1) mmmm m3m ²(+1) Alors x= ; si y=y 1 ou y=y, le choix entre 10x+y 1 et 10x+y comme rcine crrée se fit en fonction de l distnce de M à 100x et 100(x+1) 11) Multipliction ssociée à une bse puissnce de 10 : bse 10 n A n ; 10 n A; B bn 1... b0 ; b10 n B ; X=A-b=B-=10 n -(+b) ; n n A. B b X b X X X b b AB. X X b b X X b b donc AB. 10 n X b AB X b vec n chiffres à droite 10 n A; b10 n B ; X=A-b=B-=10 n -(+b) ; Exemple 1 : n=3 ; AB= ; =-10 ; b=- ; X= donc = Exemple : n= ; AB=5115 ; =5 ; b=-15 ; X=110 ; donc 5118 = 10 5 Exemple 3 Appliction u clcul d un crré : n=3 ; AB=8888 ; =b=1 ; A =88 ; X=6 ; 88² donc 88 = A 10 n X où =10 n -A et X=A- A A vec n chiffres à droite 8² = [ ² ] = [ 8 11 ] = [ ] = 1 ( chiffres à droite) 4

5 Exemple 4 : 856 = [ ] = Exemple 5 : qund on ne connît ps bien les tbles de multipliction u delà de 5 Multiplier pr 8; n=1 ; AB=8 ; =3 ; b= ; X=5 ; =10-A donc A=10-; b=10-b donc B=10-b ; AB=(10-)(10-b)= b+b AB=10(10--b)+b ; 10--b est le chiffre des dizines ; b est le chiffre des unités Clcul de 8 : =1 cr =10-1 ; b= cr 8=10- ; lors Le chiffre des dizines est 10-1-= et le chiffre des unités est 1= Le résultt est donc 8=. 1) Multipliction ssociée à une bse multiple ou sous multiple d une puissnce de 10 : Bse : W=m10 n A n ; W A; B bn 1... b0 ; bw B ; X=A-b=B-=W-(+b) ; A. B W W b X b X X X b b A. B X X b b XW b Xm10 n b donc A. B mx10 n b AB mx b vec n chiffres à droite ; Si W est sous- multiple de 10 n 10 n, W on remplce m pr 1 d d d où X AB b d vec n chiffres à droite Exemple 1 : AB=4548 ; W 50 ; =5 ; b= ; X=43 ; donc 4548 = Exemple : AB=118 ; W 10 ; =1 ; b=11 ; X=188 ; donc 118 = Exemple 3 : Appliction u clcul d un crré ; W=10 ; A=B=01 ; =b=-1 ; A =01 ; X=0 ; 01² donc 01 = A 10 n mx donc A ma vec n chiffres à droite 3 10 Exemple 4 : Appliction u clcul d un crré ; W 500 A=B=50 ; =b= ; A =501 ; X=504 ; ² donc 50 = 5004 X A 10 n A donc A d d vec n chiffres à droite Exemple 5 : = [ (31+5)3 15 ] = [ ] = 5160 b 13) Division pr d un entier à chiffres : Q10b Q ; >0 b10b b mod ; soit r< tel que r+b (mod ) posons =+1 b Si +b< lors, b... Si +b lors b 1 Si +b< lors, n b b 1, (mod )... Si +b= lors 1 r r r 1 r b 10b b Q r n

6 Si +b lors r r r 1 r b 10b b Q r Q n ', n b 10 b b Si +b= lors 1 Exemple 1 : 15 1,6... cr =1 et +b=1+5=6 Exemple : 38 4,... cr =3, +1=3+1=4 et +b=3+8=11 (mod ) Exemple 3 : Exemple 4 : 6 1, 6..., 4... ; 6 6, , ) /b pour des entiers de [0,11] : 1 n 1 1 0,... cr 10 1 n 1 n n 1 1 0,... cr 10 1 n 11 n010 n S=1485 ; 1 n 1 1 0, S... développement périodique de période 6 ; S Sk 6 n1 10 vec k S Sk développement périodique de période 6 dont l période est décrite pr S. Sk est un développement périodique dont l période est ussi décrite pr S mis dont les deux premiers chiffres à droite de l virgule viennent de 0,14 vec éventuellement une retenue, soit 14 si <4 et 14+1 si 4, les chiffres suivnts étnt dns cycle 1485 (14=8 et 8=56, 56+1=5) en utilisnt un prtge d un cycle de S de type 4 ; 0, 14 S'... si <4 ; 0, 14 1 S'... si 4 ; les chiffres suivnts formnt S sont les 4 qui suivent 14 (+1) dns ,... ; 5 0, , ; Clcul de 5 : 145+1=1 donc 5 =0,1485 ; Clcul de 3 : 143=4 donc 3 =0,4851 6

7 Nottion perso : n n1 0 n n1 0 RESUME ou n n n... p p 1... q q 1... r... r ) Crré d un nombre dont le chiffre des unités est 5 : 5 ( 1) 5 ) Produit de deux nombres ynt les mêmes dizines et dont l somme des chiffres des unités est 10 : le cs 1) est un cs prticulier (5+5=10) bc ( 1) bc vec chiffres à droite si b+c=10 3) Crrés de nombres compris entre 50 et 60 : 5 5 vec chiffres à droite 4) Multipliction pr un nombre dont les chiffres sont des : bc b c 1 b 10 c 5) Multipliction pr un nombre dont les chiffres sont des 1 : b11 b b bcde11 b b c c d d e e bc b 100 b c 10 b c c bc111 b bc b c c b c b bc bc c 6) Multipliction pr un nombre dont les chiffres sont les mêmes : bcddd d bc 111 ; ) Soustrire un nombre d une puissnce de 10 vec décimles (clcul monétire) : 100 b, cd b, c 10 d 8) Multipliction de deux nombres : bcd c d bc bd bcdef d e bd f cd be bf ce cf bcd efgh e f be g bf ce h bg cf de bh cg df ch dg dh ) Rcine cubique excte d un nombre cube prfit à 6 chiffres : 10) Rcines crrées d un crré prfit à 4 chiffres : 11) Multipliction ssociée à une bse puissnce de 10 : bse 10 n AB X b vec n chiffres à droite 10 n A; b10 n B ; X=A-b=B-=10 n -(+b) ; A A vec n chiffres à droite où =10n -A Exemple : Multiplier pr 8; n=1 ; AB=8 ; =3 ; b= ; X=5 ; qund on ne connît ps bien les tbles de multipliction u delà de 5 1) Multipliction ssociée à une bse sous-multiple ou multiple d une puissnce de 10 : 10 n W W ; W A; bw B ; X=A-b=B-=W-(+b) ; AB b d d vec n chiffres à droite W=m10 n ; W A; b W B ; X=A-b=B-=W-(+b) ; AB mx b vec n chiffres à droite

8 10 n A W ; W A; X=A-=W- A d d vec n chiffres à droite W=m10 n ; W A; X=A-=W- ; A m A vec n chiffres à droite 13) Division pr d un entier à chiffres : b b b Si +b< lors, b... Si +b lors 1, b(mod )... Si +b= lors 1 14) /b pour des entiers de [0,11] : 0,... ; 0, S=1485 ; 1 0, S... développement périodique de période 6. 0, 14 S'... si <4 ; 0, 14 1 S'... si 4 ; S est constitué des 4 chiffres suivnt les premiers dns 1485 ou (14=8 et 8=56, 56+1=5) 8