Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI

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1 UV Cour Répoe emporelle de yème dyamique coiu LI ASI 3

2 Coeu! Iroducio! Eude de yème du premier ordre " Iégraeur " Syème du er ordre! Eude de yème du ème ordre " Syème du ème ordre avec répoe apériodique " Syème du ème ordre avec répoe ocillaoire! Syème d'ordre upérieur à e aure yème " Noio de pôle domia " Syème avec reard

3 Iroducio! Syème coiu LI u H y H : focio de rafer Quelle e la forme de la orie y du modèle e répoe aux igaux uuel : # impulio de Dirac uδ # igal échelo uγ # igal rampe uv! Décompoiio e éléme imple H H i H i : focio de rafer de yème de i bae ou yème fodameaux er ordre, e ordre 3

4 Iégraeur! Syème régi par l'équaio différeielle i y& u y u τ dτ u y i! Focio de rafer i CI ulle H! Exemple i i : coae d'iégraio Pôle : λ u i R C V c Relaio ere le coura i e V c y Vc i τ dτ C 4

5 Iégraeur! Répoe aux igaux uuel " Répoe impulioelle Γ u δ h " Répoe idicielle " Répoe à ue rampe u v y? i La répoe impulioelle d'u iégraeur e u échelo d'ampliude / i u Γ y i v La répoe idicielle d'u iégraeur e ue rampe de pee / i 5

6 Syème du er ordre! Syème régi par l'équaio différeielle y& y u! Focio de rafer y& y u H! Exemple Codiio de abilié : > Y Y U : coae de emp : gai aique Pôle : λ u i R C V c RC y& y u avec y V H avec RC c 6

7 Syème du er ordre! Répoe impulioelle " Erée : u δ " Répoe du yème : h e " agee à l'origie : x La agee à l'origie coupe l'axe de emp e Répoe impulioelle Pee 3.37 h.37 h.3 h.5 h

8 Syème du er ordre 3! Répoe idicielle " Erée : igal échelo u Γ " Répoe du yème u Γ U. O e dédui Y e y e λ " Valeur de la orie e régime permae y lim y " agee à l'origie x Pee La agee à l'origie coupe l'aympoe horizoale y e 8

9 Syème du er ordre 4! Répoe idicielle fi Répoe idicielle ableau récapiulaif de l'évoluio de la orie y % y 63% 87% 3 95% 5 99,4% % y : valeur de la orie e régime permae 9

10 Syème du er ordre 5! Rapidié du yème " emp de répoe r du yème r emp au bou duquel la répoe idicielle aei.95y " emp de moée m r 3 m emp au bou duquel la répoe pae de.y à.9y m,

11 Syème du er ordre 6! Répoe à ue rampe " Erée : igal rampe u v " Répoe du yème u v U y. O e dédui e Y " Remarque $ La répoe e la omme de deux erme : ue focio expoeielle décroiae e ue rampe reardée, de reard e $ Le erme au bou de 3 la orie ed aympoiqueme ver $ La pee à l'origie e ulle

12 Syème du er ordre 7! Répoe à ue rampe fi v 5 ε y $ La orie ui aympoiqueme la rampe v avec u reard $ L'écar e régime permae ε v -y e appelé erreur de raîage Erreur de raîage : ε

13 3 Syème du e ordre! Syème régi par l'équaio différeielle! Focio de rafer! Aure écriure de la focio de rafer u b y a y a y a & && ou u b y a y a y a & & & U b Y a a a H ω ξ ω a a a b H H ω ξω ω ξ : faceur d'amorieme, : gai ω : pulaio aurelle o amorie du yème avec > ω

14 Syème du e ordre! Pôle du yème H Le pôle o le racie du polyôme " Eude du dicrimia rédui $ ω ω ξω ξ ω ξω ω $ Si ξ alor : le yème a de pôle réel e o comporeme e apériodique # Si alor le yème a deux pôle réel diic ξ > # Si ξ alor le yème a u pôle réel double $ Si ξ < alor < : le yème a ue paire de pôle complexe cojugué e o comporeme e ocillaoire 4

15 Syème du e ordre 3! Syème apériodique : " Pôle du yème " Codiio de abilié ξ λ ξω ω ξ e λ ξω ω ξ Le yème e able i le pôle λ e λ o égaif, ce qui correpod à la codiio ξ " Facoriaio de la focio de rafer Comme λ λ ω, o a H Le yème du e ordre apériodique e équivale à la mie e érie de deux yème du er ordre de coae de emp : λ e λ 5

16 Syème du e ordre 4! Syème apériodique ca ξ > : répoe idicielle " Décompoiio de la F e éléme imple H avec " Répoe idicielle e H C'e la omme de répoe idicielle de deux ou-yème! Syème apériodique ca ξ : répoe idicielle λ λ y e e e e H? y? 6

17 Syème du e ordre 5! Syème apériodique ξ : répoe idicielle ξ ξ ξ " Remarque $ Pee à l'origie ulle $ La répoe la plu rapide correpod à ξ $ Aympoe horizoale y 7

18 Syème du e ordre 6! Syème ocillaoire : " Pôle du yème ξ < ξω ω j e λ ξω jω λ ξ ξ Le yème e able i Reλ < e Reλ <, oi < ξ < " Lieu de pôle Im Pour ξ λ jω ξ Rayo de l'arc de cercle ω co ϕ ξ ξω ω ϕ ψ Re i ψ ξ λ jω ξ 8

19 Syème du e ordre 7! Syème ocillaoire < ξ < " Répoe idicielle ξω e y i ω p ϕ ξ avec ω ω ξ p e ϕ arca ξ ξ arccoξ p

20 Syème du e ordre 8 < ξ <! Syème ocillaoire : répoe idicielle p pic! Caracériique de la répoe idicielle $ Répoe ocillaoire amorie de pulaio $ Peudo-période de ocillaio $ emp de pic pic π ω p p π ω p ω p ω ξ

21 Syème du e ordre 9! Syème ocillaoire : caracériique de la répoe idicielle y max D % y r % $ Dépaeme D Défiiio : D y y max % y y : valeur de la orie e régime permae y max : valeur de pic de la répoe idicielle D e lié au coefficie d'amorieme ξ par : D πξ % e ξ

22 Syème du e ordre! Syème ocillaoire : caracériique de la répoe idicielle % y $ emp de répoe à % r % r % C'e le emp au bou duquel la répoe idicielle aei ±% de a valeur fiale r % l ξω ξ <.7 O meure e gééral le emp de répoe à 5% : r 5% 3 ξω ξ <.7

23 Syème du e ordre! Ifluece du coefficie d'amorieme ξ. ξ.4 ξ.7 ξ.9 ξ $ Amorieme faible ξ <.7 : répoe peu amorie, fore ocillaio, for dépaeme, répoe d'aua plu rapide que ξ e faible $ Amorieme for ξ >.7 : répoe rè amorie, pa d'ocillaio, dépaeme à peie viible $ Amorieme ξ.7 ouve uilié # Dépaeme D 5% e ω r 3 5% 3

24 Syème du e ordre! Ifluece de la pulaio aurelle ω ω ω ω 3 ω ω ω 3 Im 5 5 Im 5 Im ω Re ω Re ω Re $ Plu la pulaio ω e faible, plu la période de ocillaio e grade $ Plu la pulaio ω e faible, plu la répoe du yème e lee 4

25 5 Syème d'ordre upérieur à! Facoriaio de la focio de rafer! Décompoiio e éléme imple O peu facorier la focio de rafer ou la forme d'éléme de bae du premier ou du ecod ordre a a a b b b D N H m m L L avec m < e > j j j j i i l l l l k k j i l k H β β γ γ α ω ω ξ ω ω ξ,,,, i H i H H i : focio de rafer de yème du er ordre ou du e ordre i y i y avec y i la répoe au igal d'erée du yème de focio de rafer H i

26 6 Syème d'ordre upérieur à! Exemple rouver la répoe idicielle du yème uiva : H Répoe idicielle H 5 3 C B A H avec 4 5,, 4 C B A H H U Y 5 3 C B A Y e C e B e A y Pôle :, 5 3,, 3 λ λ λ

27 Noio de pôle domia! Illuraio raço la répoe idicielle du yème de focio de rafer : H λ y e λ e Le pôle o : avec e 5. λ, λ Décompoiio de la focio de rafer : avec H 5 4 H Répoe idicielle 5 y y y e e 4 e H H H 7

28 Noio de pôle domia 7 6 Rép oe lee y y y Répoe idicielle Rép oe rap id e Au bou de 5, la répoe y ed ver a valeur fiale y. La orie y du yème 'évolue que ou l'ifluece de y. Le ou-yème H o pôle e λ -/ impoe le régime raioire du yème. O di que le pôle λ e domia par rappor à λ. Le yème du e ordre a ue répoe emporelle imilaire à celle d'u yème du er ordre de coae de emp. 8

29 Noio de pôle domia 3! Défiiio Soie λ, L,λ le pôle d'u yème able. Le pôle λ i ou la paire de pôle λ i, λ e di domia par rappor au pôle λ j i : * i Re λ i << Re λ E praique, λ i e domia par rappor à λ j i Pôle rapide répoe rapide j j i Im Re λ < 5 Pôle domia ou pôle le répoe lee Re i Re λ j Le pôle domia correpode oi à ue coae de emp élevée répoe lee, oi à u amorieme faible répoe rè ocillaoire. Il o doc iué prè de l'axe de imagiaire 9

30 Syème à reard! Origie du reard : exemple Eau pure ph du mélage y Acide u : débi Mélageur Capeur de meure du ph y Le ph meuré y, repréee le ph y réalié plu ô :. Le reard r e dû au rapor du fluide de la cuve au poi de meure y y r Y e r Y Focio de rafer Y H U r H e H Y Y U Y y y r 3

31 Syème à reard! Illuraio du reard Focio de rafer H e H y r Répoe idicielle y r e avec r H Reard r

32 Syème à reard 3! Défiiio Le reard correpod au emp qui 'écoule ere la variaio de l'erée e la répercuio de cee variaio ur la orie.! Reard pur U yème rédui à u reard pur rearde l'erée d'ue durée de r. y r u Y e r U! Approximaio de e r " Si le reard r e rè pei, o peu faire le approximaio : e r r ou e r " Approximaio implifiée de Padé : e r r r / / r 3

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