Calculs de base (Rappels)

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1 Chpitre I Clculs de bse (Rppels) I.1 Diviseurs et multiples I.1.1 Définitions On : 12=3 4. On dit que 3 et 4 sont des diviseurs de 12, ou que 12 est un multiple de 3 et de 4. DÉFINITION I.1.1 Soit et b deux entiers. Dire que est multiple de b, ou que b est un diviseur de, signifie qu il existe un entier c tel que : = bc. Nottions et vocbulire En lngge mthémtique, «b divise» s écrit «b» et «b ne divise ps» s écrit «b». Exemples 1. Les diviseurs nturels de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 et Les multiples nturels de 15 sont : 0 ; 15 ; 30 ; 45 ; etc. On : 6=1 6. Donc 1 et 6 sont des diviseurs de 6. Plus générlement, on le théorème suivnt. THÉORÈME I.1.1 Tout nombre entier est divisible pr 1 et pr lui-même. Nottions et vocbulire Ces deux diviseurs (1 et lui-même) sont dits triviux. Tout diviseur nturel non trivil est dit propre Exemple Les diviseurs triviux de 12 sont 1 et 12, lors que ses diviseurs nturels propres sont : 2 ; 3 ; 4 ; 6. Remrque Les diviseurs d un nombre peuvent s ssocier pour former ce nombre pr produit. Pr exemple, dns les diviseurs de 12, 3 et 4 sont ssociés cr 3 4=12. On dit que 4 est le diviseur conjugué de 3 pr rpport à 12. DÉFINITION I.1.2 Soit et b deux entiers non nuls. Effectuer l division euclidienne de pr b, c est déterminer deux entiers q et r tels que : { = bq+ r 0 r < b. Nottions et vocbulire Le nombre q est ppelé quotient et le nombre r est ppelé reste. Exemple Pour diviser pr 23, on peut poser l opértion (voir ci-contre). Le quotient est 53, et le reste est 15. On : 1234= THÉORÈME I.1.2 Soit et b deux entiers non nuls. b divise si, et seulement si, le reste de division euclidienne de pr b est nul. 1

2 2 I. Clculs de bse (Rppels) I.1.2 Multiples prticuliers multiples de 2 Les multiples de 2 sont les nombres pirs, c est-à-dire les nombres dont le dernier chiffre est : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8. Pr exemple est multiple de 2, lors que ne l est ps. multiples de 3 Les multiples de 3 sont les nombres dont l somme de chiffres est multiple de 3. Pr exemple est multiple de 3, cr = 24=3 8 lors que ne l est ps cr = 13= multiples de 4 Les multiples de 4 sont les nombres dont le nombre composé des deux derniers chiffres est multiple de 4. Pr exemple est multiple de 4, cr il se termine pr 76 et 76=4 19 lors que ne l est ps cr il se termine pr 21 et 21= multiples de 5 Les multiples de 5 sont les nombres dont le dernier chiffre est : 0 ou 5. Pr exemple est multiple de 5, lors que ne l est ps. multiples de 9 Les multiples de 9 sont les nombres dont l somme de chiffres est multiple de 9. Pr exemple est multiple de 9, cr = 27=9 3 lors que ne l est ps cr = 13= multiples de 10 Les multiples de 10 sont les nombres dont le dernier chiffre est : 0. Pr exemple est multiple de 10, lors que ne l est ps. multiples de 25 Les multiples de 25 sont les nombres dont le nombre composé des deux derniers chiffres est multiple de 25. Pr exemple est multiple de 25, cr il se termine pr 75 et 75=25 3 lors que ne l est ps cr il se termine pr 21 et 21= multiples de 100 Les multiples de 100 sont les nombres dont les deux derniers chiffres sont : 00. Pr exemple est multiple de 100, lors que ne l est ps. I.1.3 Propriétés On, 48 = 3 16 et 480 = 48 10, on en déduit que, 3 48 et Mis on en déduit ussi que, 480 = = = 3 160, d où : Plus générlement, on le théorème suivnt. THÉORÈME I.1.3 Soit, b, c trois nombres entiers. { divise b Si, lors : divise c. b divise c Exercice I est-il multiple de 48? Solution L somme des chiffres de est 35, qui n est ps multiple de 3, donc n est ps multiple de 3. Or 48 est multiple de 3, donc si étit multiple de 48, lors serit multiple de 3. Donc, n est ps multiple de 48. On : 56=7 8 ; 77=7 11 et 56+77= 133. Ainsi, 133 est l somme de multiples de 7 et 133 est lui-même multiple de 7, cr : 133 = = = 7(8+11)= Plus générlement, pour tout entier n, l somme ou l différence de deux multiples de n est multiple de n. On : 560=10 56= =7 80. Plus générlement, le produit d un multiple de 7 pr un entier est un multiple de 7. Plus générlement, le théorème suivnt est dmis. THÉORÈME I.1.4 Soit n un entier nturel non nul et, b des entiers. (1) Si est multiple de n, lors est multiple de n. { est multiple de n (2) Si, lors : + b est multiple de n. b est multiple de n { est multiple de n (3) Si, lors : b est multiple de n. b est multiple de n { (4) Si { (5) Si (6) Si est multiple de n b n est ps multiple de n est multiple de n b n est ps multiple de n { est multiple de n b est un entier, lors : + b n est ps multiple de n., lors : b n est ps multiple de n., lors : b est multiple de n. Démonstrtion (1) Il existe un entier k tel que : = kn. Donc : = kn= n ( k). } {{ } ÉCOLE EUROPÉENNE BRUXELLES I e

3 I.2. Les nombres premiers 3 (2) Il existe deux entiers k et k tels que : = kn et b= k n. Donc : + b= kn+ k n= n ( k+ k ). } {{ } (3) De même : b= kn k n= n ( k k ). } {{ } (4) Posons : c = + b. On donc : b = c. Ainsi, si c étit multiple de n, lors d près (3), c, c est-à-dire b, serit multiple de n ce qui contredit l hypothèse initile. Donc, + b n est ps multiple de n. (5) Posons : c = b. On donc : b = c. Ainsi, si c étit multiple de n, lors d près (3), c, c est-à-dire b, serit multiple de n ce qui contredit l hypothèse initile. Donc, b n est ps multiple de n. (6) Il existe un entier k tel que : = kn. Donc : b = knb= n (kb). }{{} LL Les propriétés (4) et (5) du théorème I.1.4 sont démontrées en utilisnt un risonnement pr l bsurde. Pour démontrer qu une proposition est vrie, on suppose que s négtion est vrie et on en déduit une proposition fusse. Exercice I est-il multiple 11? Solution On : 3578= = } {{ } multiple de 11 }{{} non multiple de 11. Donc : Exercice I est-il multiple 29? Solution On : 3567= = } {{ } multiple de n est ps multiple 11. }{{} multiple de 29. Donc : est multiple 29. I.1.4 Exercices I.1.. Énumérer les diviseurs de 70. I.1.b. Énumérer les diviseurs de 48. I.1.c. Énumérer les dix premiers multiples de 5. I.1.d. Énumérer les dix premiers multiples de 6. I.1.e. Effectuer le division de pr 32. I.1.f. Effectuer le division de pr 43. I.1.g est-il multiple de 3? I.1.h est-il multiple de 4? I.1.i est-il multiple de 4? I.1.j est-il multiple de 2? I.1.k est-il multiple de 9? I.1.l est-il multiple de 9? I.1.m est-il multiple de 5? I.1.n est-il multiple de 5? I.1.o est-il multiple de 25? I.1.p est-il multiple de 25? I.1.q est-il multiple de 11? I.1.r est-il multiple de 11? I.1.s est-il multiple de 13? I.1.t est-il multiple de 13? I.2 Les nombres premiers I.2.1 Définitions et propriétés Le nombre 12 dmet des diviseurs propres, pr exemple, 4, et on l décomposition : 12=4 3. On dit que 12 est un nombre composé. Le nombre 4 est lui-même composé. Si on veut pousser l décomposition de 12 jusqu à ce qu il ne reste plus ucun fcteur composé, on obtient : 12= Les fcteurs 2 et 3 n ont ps de décomposition non trivile, on dit que ce sont des nombres premiers. DÉFINITION I.2.1 Un nombre premier est un entier nturel supérieur ou égl à 2 qui n ps d utre diviseur nturel que 1 et lui-même. Un nombre premier est donc un entier nturel supérieur ou égl à 2 qui n ps de diviseur propre. Exemples 1. 2, 3, 5, 7 sont des nombres premiers n est ps un nombre premier.

4 4 I. Clculs de bse (Rppels) 3. 4, 6, 8, 10 ne sont ps des nombres premiers cr ils ont 2 comme diviseur propre. Les 170 premiers nombres premiers est donnée dns l tble I.1. TABLE I.1 Liste des 170 premiers nombres premiers L décomposition de 12, 12=2 2 3, suggère le théorème suivnt qui est dmis. THÉORÈME I.2.1 THÉORÈME FONDAMENTAL DE L ARITHMÉTIQUE Tout nombre entier nturel supérieur ou égl à 2 peut se décomposer de fçon unique en produit de fcteurs premiers. Nottions et vocbulire Cette décomposition est ussi ppelée écriture primire du nombre. Exemples Voici quelques écritures primires : 24=2 3 3 ; 5=5 ; 60= Remrque L unicité est rélisée en imposnt de rnger les fcteurs premiers pr ordre croissnt et de ne fire figurer dns l écriture ni plusieurs fois un même fcteur premier, ni un fcteur d exposnt nul. Ainsi les écritures, «24= », «24=3 2 3» ou «24= », bien que mthémtiquement exctes ne sont ps considérées comme des écritures primires. Exemples 1. En prtique pour décomposer un nombre en produits de fcteurs premiers, on peut utiliser l lgorithme suivnt. Entrée Le nombre à décomposer. Initilistion Trcer une brre verticle et plcer le nombre à décomposer en hut à guche. Tritement Écrire à guche du nombre, près l brre verticle, l un de ses diviseurs premiers (de préférence le plus petit), puis écrire sous le nombre son quotient pr le diviseur premier choisi. Réitérer l opértion en remplçnt le nombre pr son quotient jusqu à ce que le quotient prenne l vleur 1. Résultt Écrire le produit des nombres à droite de l brre verticle Ainsi, pour décomposer 240 en produit de fcteurs premiers on obtient le schém ci-dessus et on en déduit que : 240= Dns les cs simples, on peut ussi procéder à une détermintion directe. On : 240=24 10= , donc : 240= Les théorèmes suivnts sont dmis. THÉORÈME I.2.2 Il y une infinité de nombres premiers. THÉORÈME I.2.3 Pour qu un entier n supérieur ou égl à 2 soit premier, il suffit qu il ne soit divisible pr ucun des nombres premiers, p, vérifint : p 2 n. ÉCOLE EUROPÉENNE BRUXELLES I e

5 I.3. PGCD et PPCM de deux entiers 5 Exercice I.2.1. Déterminer l écriture primire de Solution D près le schém ci-contre : 2 310= Exercice I.2.2. Déterminer l écriture primire de Solution On : 6400=64 100= Donc : = Exercice I.2.3. Sns utiliser l tble I.1, déterminer si 223 est un nombre premier. Solution Les nombres premiers dont le crré est inférieur ou égl à 223, sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 et 13. Il suffit donc de tester l divisibilité de 223 pr chcun de ces nombres. D près les critères de divisibilité usuels, 223 n est divisible ni pr 2, ni pr 3 ni pr 5. On : 223= et Donc : On : 223= et Donc : On : 223= Donc : est un nombre premier. I.2.2 Exercices I.2.. Donner les écritures primires de : 12 ; 24 ; 48 ; 96 ; 192. I.2.b. Donner les écritures primires de : 21 ; 42 ; 84 ; 168. I.2.c. Déterminer l écriture primire de 168. I.2.d. 167 est-il un nombre premier? I.2.e. 165 est-il un nombre premier? I.2.f. 437 est-il un nombre premier? I.2.g. 271 est-il un nombre premier? I.3 PGCD et PPCM de deux entiers I.3.1 Définitions et propriétés Les entiers nturels divisnt 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ;12. Les entiers nturels divisnt 15 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15. On constte que le Plus Grnd Commun Diviseur de ces deux npombres est : 3. On écrit : PGCD(12;15)= 3. Les entiers nturels multiples de 12 sont : 0 ; 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; etc. Les entiers nturels multiples de 15 sont : 0 ; 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75 ; etc. On constte que le Plus Petit Commun Multiple non nul de ces deux nombres est : 60. On écrit : PPCM(12;15)= 60. DÉFINITIONS I.3.1 (1) Le PGCD de deux nombres entiers est leur grnd diviseur commun. (2) Le PPCM de deux nombres entiers est leur petit multiple commun nturel non nul. (3) Deux entiers premiers entre eux sont deux entiers dont le PGCD est 1. Remrques Pour tous entiers nturels et b. 1. PGCD( ;b) et PGCD( ;b) b. 2. PPCM( ;b) et PPCM( ;b) b. Soit et b deux entiers et p un diviseur premier (s il en existe) de PGCD( ;b). On, p PGCD( ;b), PGCD( ;b) et PGCD( ;b), donc d pères le théorème I.1.3 : p et p b. Autrement dit, tous les diviseurs premiers de PGCD( ;b) sont des diviseurs premiers commun à et à b. On dmet que réciproquement, les diviseurs premiers commun à et à b sont des diviseurs premiers de PGCD( ;b). On en déduit le théorème suivnt. THÉORÈME I.3.1 Les nombres premiers entre eux sont les nombres qui n ont ps de diviseur premier commun.

6 6 I. Clculs de bse (Rppels) Exercice I.3.1. Les nombres 60 et sont-ils premiers entre eux? Solution 60 et ont un diviseur premier commun, 3, donc : 60 et ne sont ps premiers entre eux. Exercice I.3.2. Les nombres 60 et sont-ils premiers entre eux? Solution Les diviseurs premiers de 60 sont 2, 3 et 5. Aucun de ces trois nombres ne divise , donc : 60 et sont premiers entre eux. Considérons les nombres = et b = On se propose de déterminer PGCD( ;b). D près les considértions précédentes, on sit que les diviseurs premiers de ce PGCD( ;b) sont les diviseurs communs à et , on en déduit que les diviseurs premiers de ce PGCD( ;b) sont : 2 et 7. Le diviseur premier, 2, pprît successivement vec les exposnts 3 et 2 on l ffecte du plus petit des deux : 2. Le diviseur premier, 7, pprît successivement vec les exposnts 4 et 6 on l ffecte du plus petit des deux : 4. On insi les décomposition suivntes. = = b= = Le produit en rouge est un diviseur commun à et b et il n en est ps de plus grnd, cr les produits en bleu n ont ps de fcteur premier commun. On donc : PGCD ( ; ) = MM Dns l écriture primire du PGCD( ; b), les diviseurs premiers sont les diviseurs premiers communs à et b et l exposnt d un diviseur premier, p, est le plus petit des exposnts de p qui se trouve dns les écritures primires de et de b. On se propose mintennt de déterminer PPCM ( ;b). Cette fois on prend tous les diviseurs premiers qui pprissent dns ou dns b, c est-à-dire, 2, 3,5,7,11 et on leur ffecte l exposnt le plus élevé vec lequel il pprît. On obtient lors le nombre : On insi les décomposition suivntes = = = = b Le produit en rouge est un multiple commun à et b et il n en est ps de plus petit, cr les produits en bleu n ont ps de fcteur premier commun. On donc : PPCM ( ; ) = Dns l écriture primire du PPCM( ; b), les diviseurs premiers sont ceux qui divisent u moins l un des nombres et b et l exposnt d un diviseur premier, p, est le plus grnd des exposnts de p qui se trouve dns les écritures primires de et de b. Dns les écritures précédentes ont remrque que les nombres et b ont les mêmes fcteurs que leur PGCD et leur PPCM. En effet : MM b= = = PGCD( ;b) PPCM ( ;b) Plus générlement, on dmet le théorème suivnt. THÉORÈME I.3.2 Pour tous entiers nturels non nuls, et b : PGCD( ;b) PPCM( ;b)= b. On en déduit le corollire suivnt. COROLLAIRE I.3.3 Pour tous entiers nturels non nuls premiers entre eux, et b : PPCM( ;b)= b. Démonstrtion En effet : b = PGCD( ;b) PPCM( ;b) = 1 PPCM( ;b) = PPCM( ;b) I.3.2 Exercices I.3.. Déterminer le PGCD et le PPCM des nombres suivnts.. 12 et 18. b. 24 et 36. c. 24 et 54. d. 7 et 28. e. 6 et 30. f. 6, 10 et 15. I.3.b. 8 et sont-ils premiers entre eux? Déterminer leur PGCD et leur PPCM. ÉCOLE EUROPÉENNE BRUXELLES I e

7 I.4. Règles de clcul 7 I.4 Règles de clcul I.4.1 Les règles de priorités Les priorités dns les clculs sont les suivntes : prenthèses ; puissnces ; multiplictions et divisions dns l ordre d écriture ; ddition et soustrction dns l ordre d écriture I.4.2 Le clcul frctionnire produit en croix si b 0 et d 0 : b = c d = bc d m simplifiction si b 0 et m 0 : bm = b lorsqu une frction est simplifiée pr PGCD du numérteur et du dénominteur, elle devient irréductible. opposé d une frction si b 0 : b = b = b somme ou différence si c 0 : c + b c = + b et c c b c = b c si les frctions ne sont ps u même dénominteur, il fut commencer pr les réduire u même dénominteur, le dénominteur commun le plus vntgeux est lors le PPCM des dénominteurs. produis de frctions si b 0 et d 0 : b c d = b cd inverse d une frction non nulle si 0 et b 0, l inverse de b est : quotients de frctions si b 0, c 0 et d 0 : b c = b d c = d bc d diviser pr une quntité, c est multiplier pr son inverse b Remrques 1. Dns un clcul frctionnire, les simplifictions doivent être envisgées à chque étpe de clcul. 2. Pour multiplier des frctions entre elles, il ne fut ps les réduire u même dénominteur. I.5 Puissnces Pour n Æ : n = } {{ } n fcteurs I.6 Exercices I Démontrer que deux entiers nturels consécutifs sont toujours premiers entre eux. 2. Déterminer le PGCD et le PPCM de 9999 et

8 Index diviseur, 1 propre, 1 trivil, 1 diviseurs conjugués, 1 multiple, 1 nombre composé, 3 premier, 3 nombres premiers entre eux, 5 PGCD, 5 PPCM, 5 risonnement pr l bsurde, 3 8

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