Tout nombre réel est aussi un nombre complexe. En effet si x IR alors on a x =.+ i donc x. On dira que IR est inclus dans IC et on écrira IR.

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1 GÉOMÉTRIE CHAPITRE 1 Page 1 sr 9 LES NOMBRES COMPLEXES Comment sont appars les nombres complexes? En 1545 Jérôme CARDAN fornit des formles de résoltion de l éqation x 3 = px + q. Une des soltions de cette éqation est donnée par la formle : Si l on appliqait cette formle à l éqation x 3 = 15x + 4 on troerait ne soltion x 0 donnée par la formle : x 0 = Cette expression pose alors dex problèmes : 1) Qe signifie ce -121? 2) L expression obtene pet-elle être simplifiée? I NOMBRES COMPLEXES REPRÉSENTATION : A. Ensemble des nombres complexes : Définition 1 : On doit ax mathématiciens Eler ( ) et Bombelli ( ) l inention d nombre complexe i, soltion de l éqation. Par conséqent.. i n est pas n nombre réel ( i IR ), on ne pet donc pas li donner de aler, ni parler d signe de i. Définition 2 : Tot nombre complexe z s écrit de manière niqe sos la forme z = x+i y ( x IR et y IR ) Cette écritre est appelée x est la.de z on écrira Re(z) = x. y est la.de z on écrira Im(z) = y. L ensemble des nombres complexes est noté. Tot nombre réel est assi n nombre complexe. En effet si x IR alors on a x =.+ i donc x. On dira qe IR est incls dans IC et on écrira IR. IR i π 3 5i Figre 1 : IR est incls dans

2 GÉOMÉTRIE CHAPITRE 1 Page 2 sr 9 Définition 3 : Soit n nombre complexe, alors z est réel si, et selement si, Im(z) = z est n imaginaire pr si, et selement si, Re(z) = Exemple 1 : Les nombres 2i ; i 3 ; - 7 i sont des 3 Exemple 2 : a et sont dex nombres réels et z = ( a² b² ) + i ( a² + b² ) a) À qelle condition z est n imaginaire pr? b) À qelle condition z est réel? Propriété 1 : Soient 2 nombres complexes z et z. z = z' Re(z) = Re(z ) et Im(z) = Im(z ) B. Représentation géométriqe des nombres complexes : Cette représentation géométriqe int plsiers siècles après l inention des nombres complexes, elle est de en particlier a mathématicien sisse Jean-Robert Argand ( ) qi pblia en 1806 «Essai sr ne manière de représenter les qantités imaginaires dans les constrctions géométriqes» mais elle ne s imposa qe lorsqe les mathématiciens renommés Gass et Cachy l erent adoptée entre 1831 et Axe des imaginaires prs Le plan orienté est mni d n repère orthonormal (O ;, ). On l appelle plan complexe. -1 y M( z = x + i y ) i O 1 2 x Axe des réels Définition 4 : On dit qe M de coordonnées (x ; y) a por.. le complexe z M = x + i y. On dit qe M est.. de z M. L axe des abscisses représente l ensemble IR des réels. L axe des ordonnées représente l ensemble des imaginaires prs. La distance OM est appelée.. de z M. On note z M = OM. Par conséqent si z = x + i y alors z =

3 GÉOMÉTRIE CHAPITRE 1 Page 3 sr 9 Exemple : Dans n plan complexe représenter les points I( 3 + 2i ) K( -4 2i ) L(-3i ) M(5). Axe des imaginaires prs -1 i O 1 2 Axe des réels C. Conjgé d n nombre complexe : Définition 6 : Soit z = x + i y n nombre complexe (x, y réels). On appelle conjgé de z le nombre complexe noté z («z barre») défini par z =. Axe des imaginaires prs N ( ) -1 i O 1 2 M (z) Axe des réels N ( ) M ( z) Dans le plan complexe les points M et M d affixes respecties z et z sont.. Propriété 2 : z IR.. z imaginaire pr.. II OPÉRATIONS DANS : A. Addition et mltiplication dans : L addition et la mltiplication sient les mêmes règles de calcl qe dans IR et on remplace i ² par -1. En particlier : Les identités remarqables sont encore alables dans. z z = 0.. z n =..

4 GÉOMÉTRIE CHAPITRE 1 Page 4 sr 9 Propriété 3 : z = 0 Re(z) = 0 et Im(z) = 0 C est ne conséqence directe de la propriété 1 aec Exemple 1 : Troer dex nombres réels x et y tels qe 2( x 3i y) ( 3x 5i y ) = 0 Exemple 2 : Calcler ( 5 + 3i )( -4 6i ) =.. ( 2 + i ) 3 =. ( 2 i ) 3 =. Soit z = x + i y alors z z =.... Remarqe : Le prodit z z est n nombre.. De pls z z =.. B. Inerse et Qotient dans : Tot nombre complexe non nl (z 0» ) admet n inerse : Soit z = x + i y tel qe z 0 alors : z 1 = 1 z = 1 x + i y Por donner la forme algébriqe de z 1 il fat rendre le dénominater réel, l astce consiste à tiliser la remarqe ci-desss. 1 z = 1 x + i y 1 z = + i ( forme algébriqe de z 1 ) Por obtenir 1 z et z sos forme algébriqe on mltiplie.. z.. Exemples : Donner la forme algébriqe de ( 3 5i ) -1 ; 2 + 6i 5 3i ; 2 5i C. Propriétés de la conjgaison : Propriété 4 : = z = et = Si z 0 alors : et Si z 0 alors por tot n,

5 GÉOMÉTRIE CHAPITRE 1 Page 5 sr 9 Exemple : Troer le nombre complexe z tel qe : 5 z + 3 2i = i z D. Affixe d n ecter, d n barycentre : Définition 7 : Lorsqe O est l origine d repère le point M et le ecter OM ont la même affixe z M. Propriété 5 : Si A et B ont por affixes respecties z A et z B alors le ecter AB a por affixe z AB=. Exemple : Dans le plan complexe 4 + 2i, 3 i, 1 + 3i et 2 + 6i sont les affixes respecties des points A, B, C et D. Montrez qe ABCD est n parallélogramme. Rappel : Définition d barycentre G = bar { ( A ; α )( B ; β )( C ; γ )} α + β + γ 0. Propriété 6 : Soient A, B et C trois points d plan complexe d affixes respecties z A, z B et z C. L affixe z G d point G défini par G = bar { ( A ; α )( B ; β )( C ; γ )} α + β + γ 0 est : z G = αz A + βz B + γz C α + β + γ Exemple : Soient A et B dex points d plan complexe d affixes respecties z A et z B. Qelle est l affixe z I d point I, milie de [AB]? z I =

6 GÉOMÉTRIE CHAPITRE 1 Page 6 sr 9 III Eqation d second degré à coefficients réels Théorème : L éqation az ² + bz + c = 0 ( a, b, c réels et a 0 ) de discriminant = b² 4ac admet : Si = 0, ne niqe soltion réelle z 0 =. Si > 0, dex soltions réelles z 1 =. et z 2 =. Si < 0, dex soltions complexes conjgées z 1 =. et z 2 =. ( Reoir la démonstration faite en 1 S sr ) Exemple 1 : Résodre, dans, l éqation : 2z ² + 3z + 5 = 0 Exemple 2 : Soit le polynôme P défini sr, par : P(z ) = 2z 3 3 z² + 3z 2 a) Vérifiez qe P admet le réel 1 comme racine. b) Troez 3 réels a, b et c tels qe P(z ) = ( z 1 ) ( az ² + bz + c ) c) Résolez dans l éqation P(z ) = 0. Exemple 3 : Résodre, dans, l éqation : z 4 + 3z = 0 IV Modle et argments : Dans tot ce paragraphe, le plan complexe est mni d n repère orthonormal direct ( O ;, ) A.Modle d n nombre complexe : Raffaelle Bombelli ( ) introdit la notion de modle et Argand en inenta le nom. Rappel : La distance OM est appelée.. de z M. On note z M = OM. Par conséqent si z = x + i y alors z = Exemples : 1 2i =.. - 6i =..

7 GÉOMÉTRIE CHAPITRE 1 Page 7 sr 9 Cas des ecters : Soit w le ecter d affixe z w. On a La longer AB est donnée par AB =.. Exemple : Dans le plan complexe, troez l ensemble des points M d affixe z tels qe z + 1 i = 3 Propriété 7: Axe des imaginaires prs N (- z) -1 i O 1 2 M (z) Axe des réels N (-z) M ( z) z z =. z =. - z =. z = 0 z z =. Si z 0 alors por tot n z n =. Si z 0 alors = et = Exemple : Troer l ensemble des points M d affixe z tels qe : a) z + 2i = 5 b) z 3 + 4i = 0 c) -2iz 5 + 4i = 3 d) = 1

8 GÉOMÉTRIE CHAPITRE 1 Page 8 sr 9 Propriété 8 : inégalité trianglaire B. Argments d n nombre complexe non nl : Rappels de trigonométrie : Voir ci-contre et reoir le cors de première S. Définition : On appelle argment de z et on note arg z tote mesre de l angle orienté ( ; OM ). Soit θ n argment de z alors : arg z = arg z = Exemple : Compléter arg (1) =. arg (-3) =. arg (i) =. arg (1+i) =. O n a pas d argment! Propriété 9 : z est n réel non nl positif (z IR+ * ) arg z = z est n réel non nl négatif (z IR * ) arg z = z est n réel non nl (z IR * ) arg z = z est n imaginaire pr non nl arg z = Coordonnées polaires : Le repérage par coordonnées polaires existe depis eniron mille ans, il est très tilisé en astronomie et en géographie ( polaire ient d latin pols et d grec polos qi signifient «torner» ). Définition : Le cople ( r = OM ; θ ) s appelle.. Propriété 10 : Si le point M d affixe z a por coordonnées polaire ( r ; θ ) alors z =... cette expression est appelée...de z.

9 GÉOMÉTRIE CHAPITRE 1 Page 9 sr 9 Propriété 11 :Lien entre forme algébriqe (...) et forme trigonométriqe Si on connait r et θ alors x= r cos θ et y = r sin θ. Si on connaît x et y alors r = z = x²+y² et θ est défini par : cos θ = x r et sin θ = y r. Exemples : 1) Donner la forme trigonométriqe de z = - 3 +i 2) Donner la forme trigonométriqe de z = -2 cos π 7 +isin π 7 Propriété 12 : Si z = r( cos θ +i sin θ ) aec r > 0, alors z =r et θ = arg z + k2π ( k ). Propriété 13 : arg ( z ) =. arg ( - z ) =. arg 1 z =. Propriété 14 : A AB B ( ; AB ) = arg [2π] Exemple : Troer l ensemble des points M (z ) tels qe arg ( z 4 5i ) = π 4 [2π] Propriété 15 : arg (z n ) =. arg (z z ) =... arg z z = Exemple : On pose z 1 = - 3 +i et z 2 = 1 i. 1) Donner la forme trigonométriqe de 2) En dédire cos 13π Exemple : Calcler ( 1 +i) et sin 13π 12. Z = z 1. z 2 Propriété 16 : Si A, B, C et D sont des points dex à dex distincts d affixe respecties z A,z B, z C et z D alors ( AB ; CD() ) =