1S 1 : DEVOIR SURVEILLÉ N 4 (1 heure)

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1 S : DEVOIR SURVEILLÉ N 4 ( heure) Eercice (3 points) Ci-contre est donnée la courbe représentant une fonction ƒ définie et dérivable sur 9 l'intervalle [ ; 8].. Par lecture graphique, donner, sans justifier, la valeur de : ƒ(3) ; ƒ'(3) ; ƒ(6) et ƒ'(6).. Le graphique ne permet pas la lecture de O ƒ'(4). Préciser néanmoins son signe. (Epliquer) Eercice (9 points) On considère la fonction ƒ définie sur par : ƒ() = On note sa représentation graphique.. Étudier les limites de ƒ en et en +.. Calculer la dérivée ƒ' de ƒ. 3. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ. 4. Déterminer une équation de la tangente T à au point d'abscisse Tracer T et (dans un même repère). (On se limitera à l'intervalle [ ;,5] et on choisira cm par unité sur chaque ae) 6. Démontrer que l'équation ƒ() = 0 admet une unique solution α dans l'intervalle [ ; 3]. Donner une valeur approchée de α, par défaut, à 0 près. Eercice 3 (6 points) Un fermier décide de réaliser un poulailler (en forme rectangulaire) le long du mur de sa maison. Ce poulailler devra avoir une aire de 39 m. Où doit-on placer les piquets A et B pour que la longueur de la clôture soit minimale? mur de la ferme A B La figure ci-dessus représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. On appelle la distance séparant chaque piquet au mur et la distance entre les piquets A et B. (On a donc > 0 et > 0) DS 4 - S - Dérivation Page G. COSTANTINI

2 . Sachant que l'aire du poulailler est 39 m, eprimer en fonction de.. Démontrer que la longueur l() du grillage est : l() = Calculer la dérivée l' de l. En déduire le tableau de variation de l. 4. En déduire les dimensions et pour lesquelles la clôture a une longueur minimale. Préciser cette longueur. Eercice 4 ( points) Soient ƒ et g deu fonctions dérivables sur l'intervalle I = [0 ; ] telles que : ƒ(0) = g(0) et ƒ' g' sur I. Démontrer que ƒ g sur I. (On pourra étudier les variations de g ƒ) DS 4 - S - Dérivation Page G. COSTANTINI

3 S : DEVOIR SURVEILLÉ N 4 : CORRIGÉ Eercice (3 points). ƒ(3) = 9 (Image de 3) ƒ(6) = (Image de ) 9 ƒ'(3) = 0 (Tangente horizontale) ƒ'(6) = 0 (Idem). La fonction ƒ est strictement décroissante sur l'intervalle [3 ; 6] donc ƒ'(4) < 0. O Eercice (9 points) On considère la fonction ƒ définie sur par : ƒ() = On note sa représentation graphique.. ƒ est une fonction polnôme de degré 3. Sa limite en (et en + ) est donnée par la limite de son terme de plus haut degré : lim ƒ() = lim 3 = et lim ƒ() = lim = +.. On a immédiatement : ƒ'() = 3 3 = 3( ) = 3( )( + ) 3. La dérivée ƒ' est une fonction polnôme de degré. Son signe est celui de a (coefficient de ) sauf entre les racines. Ici, a = 3 et les racines sont et. Donc ƒ' est positive sauf entre et. On en déduit le tableau de variation de ƒ : + Signe de la dérivée ƒ ' Variations de ƒ 5 Maimum local (ou relatif) en : ƒ( ) = ( ) 3 3 ( ) 3 = Minimum local (ou relatif) en : ƒ() = = 5 4. Une équation de la tangente T à au point d'abscisse 0 est donnée par la formule : T Lorsque 0 = 0, la formule devient : = ƒ( 0 ) + ƒ'( 0 )( 0 ) = ƒ'(0) + ƒ(0) O α Et comme ƒ(0) = 3 et ƒ'(0) = 3, on obtient : T : = Représentation graphique de T et (dans un même repère) : 6. La fonction ƒ est continue (puisque dérivable) sur donc a fortiori sur [ ; 3]. La fonction ƒ est strictement croissante sur [ ; 3]. ƒ() = < 0 et ƒ(3) = 5 > 0. (Signes contraires) 5 DS 4 - S - Dérivation Page 3 G. COSTANTINI

4 L'équation ƒ() = 0 admet donc une unique solution α dans l'intervalle [ ; 3]. Localisation de α :,,,3,4,5,6,7,8,9 ƒ() 0,039,048,67... Comme ƒ(,) < 0 et ƒ(,) > 0, on a :, < α <,. Une valeur approchée de α, par défaut, à 0 près est donc : α,. Eercice 3 (6 points) mur de la ferme 39 m A B. Puisque l'aire du poulailler est 39 m on a : = 39 d'où : = 39.. La longueur l() du grillage est : l() = + = La fonction l est du tpe l = u + 39 v avec u( ) = v. Donc l' = u' v( ) = v, ce qui donne : l'() = 39 = 39 = ( 96 ) = ( 4)( + 4) Comme > 0, le signe de l' ne dépend que de celui de 4 : Signe de Signe de Signe de Signe de la dérivée l' Variations de l Minimum local (ou relatif) de l en 4 : l(4) = La clôture a une longueur minimale lorsque = 4 et = 39 4 = 8. Cette longueur minimale est l(4) = 56. DS 4 - S - Dérivation Page 4 G. COSTANTINI

5 Eercice 4 ( points) Calculons la dérivée de la fonction g ƒ : (g ƒ)' = g' ƒ'. Comme ƒ' g' sur I, on a : g' ƒ' 0 sur I. La fonction g ƒ est donc croissante sur I. Ce qui signifie : pour tous réels u et v de I : u < v (g ƒ)(u) (g ƒ)(v) C'est-à-dire : pour tous réels u et v de I : u < v g(u) ƒ(u) g(v) ƒ(v) En particulier avec u = 0, on a : Et comme ƒ(0) = g(0) : C'est-à-dire : Ce qui signifie : pour tout v de I : g(0) ƒ(0) g(v) ƒ(v) pour tout v de I : 0 g(v) ƒ(v) pour tout v de I : 0 g(v) ƒ(v) ƒ g sur I DS 4 - S - Dérivation Page 5 G. COSTANTINI