Chapitre 4 : Opérateurs connexes Filtrage et segmentation

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1 Chapite 4 : Opéateus connexes Filtage et segmentation Opéations géodésiques et inteaction égionale. Maxima égionaux et éodés ultimes. Ouvetues pa econstuction et nivellements Pyamides et espaces d échelles mophologiques. Points de vue algoithmique et achitectual. 81

2 Intoduction aux opéations géodésiques Objecti sous-jacent : l analyse individuelle des «objets» d une image. En l absence de données de plus haut niveau sémantique, l objet dans une image est associé à une paticule, coespondant en généal à une composante connexe. L analyse individuelle des objets nécessite donc l utilisation d opéateus (iltes connexes, c est-à-die qui péseve les objets (une composante connexe est soit pésevée, soit intégalement éliminée. 82

3 Opéations géodésiques Les opéations géodésiques sont celles qui sont conditionnées pa un élément de ééence du teillis. Elles sont déinies à pati des opéations géodésiques de base : la dilatation géodésique et la econstuction géodésique. Dans les opéations géodésiques, l élément stuctuant epésente le voisinage élémentaie de l oigine ; et déinit donc la topologie sous-jacente. La dilatation géodésique dans : δ y ( x = δ ( x y y δ y x ( x δ y ( x 83

4 Opéations géodésiques : cas discet Dans le cas discet, l élément stuctuant utilisé dans les opéations géodésiques est en généal la boule élémentaie de taille 1, qui détemine implicitement la topologie utilisée. 4-connexité : 8-connexité : 4 B 1 8 B 1 Dans le cade ensembliste, la dilatation géodésique de dans R (pa la boule élémentaie devient l ensemble des voisins de inclus dans R : δ R B 1 ( = δ ( R B 1 84

5 La econstuction géodésique posons ( δ ( ( R 0 = B 1 ( R R n 1 ( δ ( ( δ pou n > 0 R n = δ B B B La econstuction géodésique de dans R est déinie pa : E R B 1 ( = sup δ n 0 { } R n ( ( B 1 R Dans le cade ensembliste, c est l ensemble des composantes connexes (au sens de la topologie induite pa B 1 de R qui intesectent : E R ( 85

6 Mesues géodésiques x, y La distance géodésique ente x et y dans : n { n 0; x ( ({ y} } d ( x, y = min δ B 1 x y C est la longueu du (ou des plus cout(s chemin(s dans ente x et y. Soit une composante connexe. Soit une composante connexe. Le diamète géodésique de : La onction de popagation de : Π x : a max N { d ( x, y ; y } = = max max { Π ( x; x } { d ( x, y ; x, y } 86

7 Etiquetage des composantes connexes La pemièe application de la econstuction géodésique est l analyse individuelle de paticules, qui consiste à extaie les composantes connexes l une apès l aute pa econstuction du pemie pixel enconté los d un balayage video : Image binaie Etiquetage des composantes connexes 87

8 Suppession des objets touchant le bod de l image La suppession des objets touchant le bod de l image binaie s obtient pa diéence avec la econstuction du bod dans : Y \ E ( Y 88

9 Bouchage de tous Le bouchage de tous dans l image binaie (bidimensionnelle! s obtient pa complément de la econstuction dans c d un ensemble qui n intesecte pas : Y ( c E c ( Y 89

10 Seuillage pa hystéésis I Ih Ib I E b ( I h Seuil haut Image en niveaux de gis Seuil pa hystéésis Seuil bas 90

11 Connexions généalisées En aisant vaie la taille des éléments stuctuants utilisés dans les econstuctions, on obtient une hiéachie de voisinages, et donc une topologie à dives degés de détails : Image Maqueu Y E ( Y E ( Y E B 1 B ( Y 5 B 20 91

12 Reconstuction onctionnelle La dilatation géodésique de dans : δ g ( = δ ( g E ( g La econstuction géodésique de dans : E g ( = sup n 0 n {( δ ( } g 92

13 Extema égionaux La notion d extemum égional joue un ôle impotant pou les image numéiques, en paticulie dans le calcul des opéateus géodésiques. Il s agit de «plateaux», au bod desquels on ne peut que descende (pou les maxima égionaux, ou monte (pou les minima égionaux stictement. n { x / ( x i} SG ( = R i SG ( U { SG i ( \ ( E ( SG i + 1 ( } i max = Soit une onction numéique. : R n N Un point x appatient à un maximum i N égional du gaphe de losqu on ne peut pas atteinde un point y tel que (y>(x sans edescende stictement : maxima égionaux 93

14 Calcul des maxima égionaux Les maxima égionaux d une onction numéique peuvent se calcule à pati de la econstuction de -1 sous : max = - E -1 ( -E -1 ( -1-1 E -1 ( h-max min -h Minima égionaux : pa dualité Généalisation : h-extema égionaux 94

15 Eodés ultimes Les maxima égionaux de la tansomée en distance coespondent aux composantes connexes qui dispaaissent los d éosions successives. d F d d SG F d U { SG i F ( E ( SG i + F } i ( ( \ ( max d = 1 F la tansomée en distance d de l ensemble. i N = ERO SG ( F = Application : singulaisation de paticules se ecouvant patiellement : i d = n d { x R / F ( x i} n c { x R / d( x, i} = ε ( B i ε B U { B ( E i ( ε ( \ ( ε B ( } i i + _ ULT ( = 1 i N oiginal éodés ultimes (en noi tansomée en distance 95

16 Ouvetues et emetues pa econstuction x La econstuction géodésique est un ilte mophologique : y E ( x E ( y ( ( E E x = E ( x Si ξ (esp. ψ est un opéateu anti-extensi (esp. extensi ( ( c c E x x alos l opéateu : ( ξ (x E c ( ψ ( x (esp. est une ouvetue (esp. emetue algébique. Cas paticulie impotant : ξ = γ (ouvetue et ψ = φ (emetue : ouvetue pa econstuction : emetue pa econstuction : E x ( γ (x ( ( x E c ϕ( x c c 96

17 Ouvetues et emetues pa econstuction L ouvetue pa econstuction élimine les composantes connexes qui n appatiennent pas à l ouvet sans modiie les autes : ouvetue pa econstuction ( γ E B( B La emetue pa econstuction est déinie pa dualité : emetue pa econstuction ( ( E c ϕ ( c c B 97

18 Ouvetues et emetues pa econstuction Pa extension, les ouvetues et emetues pa econstuction élimine les stuctues en pésevant les contous des images numéiques : élément stuctuant de l ouvetue mophologique : oiginal ouvetue pa econstuction emetue pa econstuction 98

19 99 Nivellements Cas où la onction maqueu et la onction de ééence ne sont pas odonnées On décompose en deux onctions : + + = + = 0 sinon ( ( si ( ( = > = + x x x x 0 sinon ( ( si ( ( = = x x x x

20 Nivellements econstuction de - dans econstuction duale de + dans N ( = E ( Les nivellements déinissent des opéateus connexes, qui simpliient l image pa sélection des ensembles de niveaux ou de leus complémentaies : N+ ( = E ( + nivellement de dans N ( = N = N + + ( + N ( N + + ( ( 100

21 Exemples de nivellement ilte gaussien nivellement oiginal ilte médian nivellement 101

22 Nouvel espace d échelles mophologique Une ganulométie induit un espace d échelle via les iltes altenés séquentiels pa econstuction (i.e. nivellement des iltes altenés séquentiels : 102

23 Point de vue algoithmique RECONSTRUCTION NAÏVE Su une achitectue séquentielle, l implantation «naïve» de la econstuction, i.e. basée su la déinition : δ E g g ( = δ g ( n ( = sup {( δ ( } n 0 conduit à un coût de calcul tout à ait pohibiti, puisque le nombe d itéations de dilatation géodésique peut ête égal au diamète géodésique des plus gandes composantes connexes : g RECONSTRUCTION SEQUENTIELLE Une implantation sensiblement plus eicace consiste à «popage» le maqueu au cous d un balayage séquentiel, diect puis étogade : RECONSTRUIT (Maqueu M, Rééence R { Répéte jusqu à stabilité { // Balayage diect Pou j de 0 à h { Pou i de 0 à w { M(i,j = MIN(R(i,j,MA(M(i-1,j,M(i,j-1,M(i,j; } } // Balayage étogade Pou j de h à 0 { Pou i de w à 0 { M(i,j = MIN(R(i,j,MA(M(i+1,j,M(i,j+1,M(i,j; } } } maqueu ééence nb itéations Néanmoins, le nombe d itéations de double balayage peut paois ête impotant dans le cas de composantes connexes enoulées, pa exemple : maqueu ééence 103

24 Point de vue algoithmique La ile d attente (FIFO est une stuctue de donnée paticulièement utile dans les algoithmes mophologiques à base de econstuction géodésique. Son intéêt est multiple : On esteint les calculs aux pixels susceptibles de change : on examine les pixels qui sont dans la ile d attente, et pas tous les pixels de l image. La teminaison d un algoithme de elaxation est endue visible pa le ait que la ile d attente est vide. On n a donc plus besoin de gade une tace explicite des changements pou détecte la convegence. l k j Φ d c Φ est la ile d attente. c est la valeu de l élément de tête. l celle de l élément de queue. x = pop(φ l k j Φ d La onction POP(Φ suppime l élément de tête et envoie sa valeu, soit x = c. push(φ,y m l k j Φ d La pocédue PUSH(y,Φ ajoute en queue de Φ un nouvel élément de valeu y, soit m = y. empty(φ == TRUE Φ La onction empty(φ est une onction booléenne qui envoie 1 si et seulement si Φ est vide. La stuctue de donnée File d attente et ses onctions associées. 104

25 Reconstuction binaie à base de iles d attente La econstuction pa ile d attente consiste à initialise la FIFO avec le maqueu, puis pou chaque élément de la FIFO extait, ajoute ses voisins dans l image, ainsi jusqu à convegence (FIFO vide. Le nombe d opéation est popotionnel au nombe de pixels «ajoutés» au maqueu Initialisation Pacous Image Maqueu Complémentaie pixel taité pixel à taite pixel en cous 105

26 Reconstuction numéique à base de FIFO Dans le cas de la econstuction numéique (onctionnelle, l utilisation des FIFO est moins immédiate ca il aut détemine le domaine de stabilité (ensemble des points ixes de la onction maqueu, au bod duquel la popagation va ête initialisée. Ce domaine de stabilité est en ait l ensemble des maxima égionaux de. On utilise alos la popiété suivante : La econstuction de est la même que la econstuction de la estiction de à ses maxima locaux : E ( = E ( 1max E ( 1max ( max E 1 106

27 Reconstuction numéique à base de FIFO (1 La pemièe étape consiste donc à calcule les maxima égionaux de : Pou cela, on econstuit -1 sous : 1 Initialisation de la FIFO : m = (-1; Pou tout pixel p { Si q voisin de p tq (-1(q > (p { m(p = (p; F.push(p; } } Popagation de la FIFO : Tant que non(f.empty( { F.pop(p; Pou tout voisin q de p tq (q>m(q { m(q = (q; F.push(q; } } Pa diéence, on obtient les maxima égionaux : Si (m(p == (p y(p = 0; sinon y(p = (p; 107

28 Reconstuction numéique à base de FIFO (2 Puis on econstuit max sous : // Initialisation FIFO m = max ; Pou tout pixel p tq (m(p 0 et ( q voisin de p tq m(q = 0 { F.push(p; } // Popagation FIFO Tant que non(f.empty( { F.pop(p; Pou tout voisin q de p tq m(p>m(q { m(q = MIN((q,m(p; F.push(q; } } Le coût de calcul de la econstuction numéique pa FIFO est donc obtenue pa un nombe constant de pacous d images : 2 balayages complets pou les initialisations de FIFO, et 2 pacous de FIFO où les points ne sont examinés qu une ois en généal (2 ou 3 dans des cas extêmes où 2 ou plusieus maxima égionaux sont tès poches. 108

29 Point de vue achitectual Dans le cas d une machine massivement paallèle comme la étine numéique, les opéations à base de econstuction peuvent ête extêmement ineicaces losqu elles sont éxécutées de manièe synchone pa des dilatations conditionnelles éitéées jusqu à convegence, ca peu de pocesseus ont un tavail utile :.../

30 La étine mixte synchone/asynchone L utilisation de phénomènes de popagation asynchone, associée à une maille pogammable, pemet d obteni un calcul des econstuctions géodésiques beaucoup plus eicace, en temes de apidité et de consommation d énegie. 110