Chap.2 Gaz parfait, fluides réels et phases condensées

Transcription

1 Chap.2 Gaz parfait, fluides réels et phases cndensées 1. Cmprtement universel des gaz à basse pressin 1.1. Equatin d état de tus les gaz à basse pressin 1.2. Définitin expérimentale de la température abslue 1.3. Hypthèses de la thérie cinétique du Gaz Parfait mnatmique 2. Interprétatin micrscpique de P et de T pur un GP mnatmique 2.1. Interprétatin cinétique de la pressin 2.2. Interprétatin cinétique de la température 3. Energie interne d un GP 3.1. Définitin de l énergie interne 3.2. Energie interne d un GP mnatmique 3.3. Energie interne d un GP diatmique 3.4. Capacité thermique à vlume cnstant 4. Ntins smmaires sur les fluides réels 4.1. Interactins entre les particules du fluide 4.2. Equatin d état et énergie interne d un crps pur 4.3. Mdèle du gaz de Van Der Waals 5. Mdèle des phases cndensées incmpressibles et indilatables 5.1. Dilatatin et cmpressibilité d un crps 5.2. Energie interne des phases cndensées incmpressibles et indilatables Intr : L bjectif de cette leçn est d établir un certain nmbre de résultats dans le cadre du mdèle du gaz parfait, et de préciser ce qui est généralisable u pas aux fluides réels et aux phases cndensées. On cmmence par étudier les gaz, l état de la matière le plus simple à décrire, car les particules interagissent peu les unes avec les autres. Le gaz parfait crrespnd au cmprtement de tus les gaz lrsque leur pressin tend vers zér. C est ce cmprtement universel des gaz qui permet de définir la température abslue. Dans le cadre du mdèle du gaz parfait, n va interpréter à l échelle micrscpique la pressin et la température abslue. On définira ensuite une nuvelle frme d énergie, d rigine micrscpique : l énergie interne. On abrdera enfin les autres états de la matière pur préciser ce qui est u nn généralisable suite à l étude des gaz. 1 Mreggia PCSI 2011/2012

2 1. Cmprtement universel des gaz à basse pressin 1.1. Equatin d état de tus les gaz à basse pressin La figure ci-cntre est une illustratin de mesures effectuées sur les gaz. Elle présente l évlutin du terme en fnctin de P, mesuré à température cnstante (0 C), pur différents gaz. On nte que la valeur asympttique du terme (quand ) est indépendante de la nature du gaz (H 2, O 2, ). Par ailleurs, cette valeur asympttique augmente linéairement avec la température. Si n la trace en fnctin de la température ntée car mesurée en degré celsius la curbe btenue est une drite affine : sa pente est ntée R : c est une cnstante universelle (elle ne dépend de rien) elle cupe l axe des abscisses à une température On en déduit la frme de l équatin d état valable pur tus les gaz lrsque : On fait référence à ce cmprtement limite des gaz dilués sus le nm de gaz parfait Définitin expérimentale de la température abslue A ce stade du curs, n sait mesurer la température en degré celsius (symble C) avec un thermmètre à dilatatin. On rappelle que cette unité de température est une échelle centigrade définie de la manière suivante : Sus 1 bar, l eau se slidifie à 0 C Sus 1 bar, l eau se vaprise à 100 C L attributin de ces deux valeurs numériques à ces deux situatins expérimentales bien précises est purement arbitraire. Le signe de cette température ne revêt aucune significatin physique fndamentale. Suite à l étude des gaz dilués, n peut définir une échelle abslue de température ntée alrs T par la relatin : Cette température est la température abslue, exprimée en kelvin K. Elle est nécessairement psitive. Sn rigine (sn «zér») ne fait pas référence à une situatin expérimentale particulière, mais à un cmprtement universel de la matière. On peut alrs se pser la questin suivante : que signifie une température nulle? On va par la suite répndre à cette questin, en élucidant la significatin physique de la température à l échelle micrscpique. Par la suite, la température ntée T fera tujurs référence à la ntin de température abslue. L équatin d état du gaz parfait devient alrs :, avec R = 8,314 J.ml -1.K Hypthèses de la thérie cinétique du Gaz Parfait mnatmique Pur puvir interpréter les ntins de pressin et de température à l échelle micrscpique, n va se dter d un mdèle représentant le cmprtement des particules cnstitutives d un gaz parfait (des atmes pur un gaz parfait mnatmique). 2 Mreggia PCSI 2011/2012

3 Hypthèses du mdèle des gaz parfait mnatmique à l équilibre thermdynamique : On assimile les atmes à des pints matériels Le gaz est suffisamment dilué pur puvir négliger les interactins à distance entre atmes (hypthèse suggérée par l universalité du cmprtement des gaz à basse pressin) Chas mléculaire : bien que le gaz sit macrscpiquement au reps, les atmes snt cnstamment en muvement désrdnné (agitatin thermique) (hypthèse suggérée par l bservatin du muvement brwnien en curs, lait entier dilué 1/30 e bservé au micrscpe) La densité vlumique d atmes est hmgène dans tut le gaz. Elle est dnc égale au nmbre ttal d atmes divisé par le vlume ttal du gaz (hypthèse qui sera jusitifée au chap.3 statique des fluides) La distributin statistique de la vitesse des atmes est hmgène et istrpe. Elle est indépendante de la psitin cnsidérée dans le gaz, et aucune directin n est privilégiée Le gaz étant macrscpiquement au reps, la myenne statistique du vecteur vitesse est nulle :. Mais la myenne de la nrme de la vitesse ne l est pas. Pur caractériser le muvement incessant des particules, au lieu de cnsidérer la myenne statistique de la nrme, n préfère cnsidérer la vitesse quadratique myenne : C est une myenne «RMS» : n prend la racine carrée de la myenne statistique de la nrme au carré. Exprimer la myenne statistique de l énergie cinétique quadratique myenne. d un atme en fnctin de la vitesse 2. Interprétatin micrscpique de P et de T pur un GP mnatmique Muni des hypthèses précédentes, n va élucider la significatin micrscpique de la pressin et de la température (abslue) d un gaz parfait (GP) Interprétatin cinétique de la pressin Le calcul cmplet est difficile, et l n adpte un mdèle simplifié du muvement des particules dans le gaz. On admettra que l istrpie de la distributin des vitesses revient à suppser que les particules ne peuvent se déplacer que seln les tris axes (x,y,z) d un repère cartésien : 1/3 seln x, 1/3 seln y, et 1/3 seln z. Pur chacune de ces directins, la mitié des particules vnt dans un sens, la mitié dans l autre sens. On suppsera aussi que la nrme de la vitesse des particules est égale à la vitesse quadratique myenne, quelque sit la directin et le sens de leur muvement. D après ntre mdèle, les chcs snt la seule interactin envisageable entre les particules et la pari de l enceinte. La pressin du gaz sur la pari est simplement la résultante macrscpique de ces chcs micrscpiques. Le principe du calcul est le suivant : n cnsidère un élément de surface ds de la pari. Par définitin à chaque fis qu une particule frappe la pari, sa quantité de muvement varie suite à la frce exercée par la pari sur la particule (cf. RFD). On nte cette variatin. pendant une durée élémentaire dt, un grand nmbre dn de particules frappent la pari la frce exercée par la surface ds sur le gaz s estime grâce à la smme ntée des variatins de tus les atmes qui nt frappé la pari pendant dt la frce exercée par le gaz sur la surface est l ppsée de 3 Mreggia PCSI 2011/2012

4 En définitive, n a exprimé la pressin du gaz parfait à l équilibre en fnctin de grandeurs micrscpiques : On peut s en rappeler facilement en ntant que la pressin est d autant plus grande que la densité d atmes est élevée, que la masse des atmes est élevée, et que la vitesse quadratique myenne est élevée. Cette expressin de la pressin a été établie en ne cnsidérant que les chcs des atmes sur la pari, n parle d interprétatin cinétique de la pressin. On parle aussi de pressin cinétique Interprétatin cinétique de la température Grâce à l équatin d état du gaz parfait et à cette interprétatin micrscpique de la pressin, n va puvir aussi cmprendre la significatin de la température. Grâce à l équatin d état, exprimer la température (abslue) en fnctin de la vitesse quadratique Etablir alrs la relatin entre la myenne de l énergie cinétique de d une particule et la température On retiendra : La température abslue est directement reliée à l énergie cinétique myenne d une particule du gaz parfait : avec La cnstante k B s appelle la cnstante de Bltzmann. C est une cnstante universelle, très imprtante en physique statistique. Ce résultat justifie que l n dise que la température abslue est une mesure de l énergie cinétique d agitatin thermique du gaz parfait. On parle d interprétatin cinétique de la température. On parle aussi de température cinétique. On ntera qu une température abslue nulle signifie que les particules snt tutes immbiles. La vitesse quadratique myenne des particules est de l rdre de qq nmbre de cllisins par secnde est de l rdre de à température ambiante. Le 3. Energie interne d un GP Avec ntre mdèle micrscpique du gaz parfait, n a cnsidéré l énergie cinétique assciée au muvement des particules à l échelle micrscpique, alrs que le gaz est au reps à l échelle macrscpique. On va définir une nuvelle frme d énergie : l énergie interne, qui caractérise cette énergie d rigine micrscpique Définitin de l énergie interne L énergie interne U du gaz parfait est définie par deux termes d rigine micrscpique : Le premier terme représente l énergie cinétique d agitatin thermique. C est la smme des énergies cinétiques de tutes les particules. Dans le cas d un gaz de mlécules (et pas un gaz d atmes), cette énergie cinétique tient cmpte du muvement de translatin des particules, mais elle tient aussi cmpte du muvement des atmes à l intérieur de la mlécule (rtatin, vibratin). 4 Mreggia PCSI 2011/2012

5 Le deuxième terme représente l énergie ptentielle d interactin entre tutes les particules. Cela suppse que les frces d interactin entre particules snt cnservatives (c est le cas). C est une énergie emmagasinée par le gaz sus frme micrscpique. Elle n est pas assciée à un muvement macrscpique du gaz, ni à une frce d interactin d rigine macrscpique (pesanteur..) Cette définitin permet de préciser une des hypthèses du mdèle du gaz parfait. «Négliger les interactins entre les particules du gaz parfait» signifie. Dans le cas du gaz parfait, l énergie interne est égale à l énergie cinétique micrscpique. Par la suite, n va distinguer plusieurs types de gaz parfait : les gaz parfait mnatmiques, cnstitués d atmes (gaz rare par exemple : Ar, Xe) les gaz parfait plyatmiques, cnstitués de mlécules (O 2, N 2, etc..) 3.2. Energie interne d un GP mnatmique Pur un gaz parfait mnatmique, le seul muvement pssible des particules est un muvement de translatin. L énergie cinétique micrscpique des N particules du gaz s identifie dnc à, ù est l énergie cinétique myenne d une particule, calculée au paragraphe 2.2. Pur un gaz parfait mnatmique, l énergie interne ne dépend que de la température : 3.3. Energie interne d un GP diatmique Si l n cnsidère un gaz cnstitué de mlécules diatmiques, l énergie cinétique micrscpique cmprend aussi les muvements de rtatin et de vibratin de la mlécule sur elle-même. On admet qu à chaque degré de liberté crrespnd un terme pur l énergie cinétique myenne d un particule. En cmptant deux degrés de liberté de rtatin, n truve. En ajutant la vibratin (énergie cinétique et ptentielle d interactin, interne à la particule), n truve. Cette dernière expressin devrait être celle d un GP diatmique. Cmme n va le mentinner ci-dessus, l expérience cntredit en partie ce résultat. Pur un GP plyatmique, ne dépend que de la température, et est supérieure à celle du GP mnatmique Capacité thermique à vlume cnstant D après la définitin de l énergie interne U, n peut remarquer que U dépend a priri de la température et du vlume. La température jue sur l énergie cinétique micrscpique. Le vlume jue sur la distance myenne entre les particules du gaz, dnc sur l énergie ptentielle d interactin quand celle-ci n est pas négligeable. Pur quantifier la dépendance de U avec la température, n définit la capacité thermique à vlume cnstant : Remarque : On parle parfis de capacité calrifique à vlume cnstant. Ce cefficient s exprime en J.K -1. On ntera que c est une grandeur extensive. Pur cmprendre le terme de «capacité thermique», n ntera que ce cefficient représente la capacité du gaz à emmagasiner de l énergie interne suite à une variatin de température, le vlume étant gardé cnstant. 5 Mreggia PCSI 2011/2012

6 Seule la valeur de la capacité thermique à vlume cnstant permet de distinguer les GP mnatmiques des GP plyatmiques. Leurs prpriétés snt par ailleurs strictement identiques. Pur un GPM,. Elle est indépendante de la température! Pur un GP diatmique, l expérience cntredit le résultat attendu. Seule la mécanique quantique permet d expliquer cet écart. Aux températures usuelles, les mlécules ne peuvent pas vibrer, et l n a Cette valeur est celle que l n utilisera pur l air, cnstitué de mlécules diatmiques (N 2 et O 2 ). Capacité thermique mlaire / massique : La capacité thermique à vlume cnstant étant une grandeur extensive, n définit aussi deux grandeurs intensives assciées (dnc indépendantes de la quantité de gaz, et dépendantes uniquement du type de gaz!) : la capacité thermique mlaire (en J.K -1.ml -1 ) : la capacité thermique massique (en J.K -1.kg -1 ), ù m est la masse ttale du gaz : 4. Ntins smmaires sur les fluides réels 4.1. Interactins entre les particules du fluide Les fluides réels regrupent les liquides ainsi que les gaz aux pressins suffisamment élevées pur que leur cmprtement s écarte ntablement de celui du gaz parfait. La différence essentielle entre les fluides réels et le gaz parfait est que l n ne peut plus négliger les interactins entre les particules du fluide. Cncernant ces interactins, n retiendra seulement : qu elles snt généralement attractives à grande distance qu elles snt répulsives à curte distance (les particules ne s interpénètrent pas) 4.2. Equatin d état et énergie interne d un crps pur On ne peut dnc pas généraliser directement les résultats établis pur le gaz parfait. Dans le cas d un crps pur, n retiendra seulement : qu il existe tujurs une relatin entre P, V et T : ces tris paramètres ne snt pas indépendants que l énergie interne est une fnctin de T et de V : que est aussi une fnctin de T et de V Par cnséquent, dans le cas des fluides réels, n ne peut généralement qu utiliser des tables de dnnées, issues de mesures expérimentales. On peut aussi utiliser des mdèles simplifiés, ajustés sur les dnnées expérimentales, et valables dans un dmaine limité de variatins de P, T et V Mdèle du gaz de Van Der Waals C est un mdèle apprché des gaz réels. Il ne permet pas de décrire le cmprtement de tus les fluides réels, mais mdélise de manière simple l écart au cmprtement du gaz parfait. On va admettre l équatin d état et l expressin de l énergie interne dans le cadre de ce mdèle, et discuter qualitativement des différences avec le mdèle du gaz parfait. 6 Mreggia PCSI 2011/2012

7 L équatin d état s écrit, avec a et b des cnstantes psitives, et V m le vlume mlaire : Le terme est relié à la «pressin mléculaire», représentative des interactins attractives à grande distance entre mlécules. Le terme b est appelé cvlume, il représente le «vlume ccupé» par chaque mlécule, représentatif des interactins répulsives à curte distance entre mlécules. On ntera que les cnstantes a et b ne snt pas universelles : elles snt ajustées aux valeurs expérimentales, dépendent du gaz et du dmaine de P, T et V cnsidéré. L énergie interne d un gaz de Van Der Waals s écrit, avec U GP l énergie interne du gaz parfait : Le terme supplémentaire est l énergie ptentielle d interactin, négative si l n définit cmme nulle l énergie ptentielle quand les particules snt infiniment élignées les unes des autres. 5. Mdèle des phases cndensées incmpressibles et indilatables Ce mdèle nus sera utile pur étudier de manière simplifiée les liquides et les slides Dilatatin et cmpressibilité d un crps Définitin de la dilatatin : L augmentatin du vlume d un crps, à pressin cnstante, suite à une augmentatin de sa température s appelle la dilatatin. Pur quantifier la tendance d un crps à se dilater, n définit le cefficient de dilatatin isbare : Etablir l expressin de ce cefficient en fnctin de T pur un gaz parfait. Définitin de la cmpressibilité : La diminutin du vlume d un crps, à température cnstante, suite à une augmentatin de sa pressin s appelle la cmpressibilité. Pur quantifier la tendance du vlume d un crps à diminuer quand la pressin augmente, n définit le cefficient de cmpressibilité istherme T : Etablir l expressin de ce cefficient en fnctin de P pur un gaz parfait Energie interne des phases cndensées incmpressibles et indilatables Ntre expérience qutidienne suggère clairement que le vlume des liquides et des slides varie peu avec P et T. En première apprximatin, n purra cnsidérer que V est indépendant de P et T : 7 Mreggia PCSI 2011/2012

8 Le vlume étant cnsidéré cnstant, l énergie interne des phases cndensées peut être cnsidéré cmme une fnctin de la température uniquement. Cncernant la capacité thermique à vlume cnstant, n ne précisera plus dans ce cas «vlume cnstant», et n la ntera simplement : Dans le mdèle simplifié d une phase cndensée indilatable et incmpressible : Ntins clefs Savirs : Définitin expérimentale de la température abslue + lien avec la température en degré celsius Idées qualitatives sur l rigine micrscpique de la pressin et la température Expressin de l énergie cinétique myenne d un atme d un GPM en fnctin de Définitin précise de l énergie interne + interprétatin physique des différents termes Définitin et interprétatin physique de C V Expressin de U et C V pur le gaz parfait (mn / diatmique) Définitin et interprétatin des ceff. dilatatin et cmpressibilité Le vlume des phases cndensées indilatables et incmpressibles ne varie pas Variatin de U avec T pur les phases cndensées Savirs faire : Etablir l expressin de P et T en fnctin de grandeurs micrscpiques (mdèle étant dnné) Calculer les cefficients de dilatatin isbare et de cmpressibilité istherme pur un GP 8 Mreggia PCSI 2011/2012