Degrés Le radian ne serait qu une mesure de plus s il n avait la propriété suivante :

Transcription

1 S ngles trignmétrie et repérage ctivité L bjectif est de se familiariser avec la mesure des angles en radian et le repérage d un pint sur le cercle trignmétrique l sera ensuite plus facile dans le curs de cmprendre la mesure des angles rientés Partie La ntin de radian Ce premier exercice est une invitatin à cnvertir les mesures des angles d une part de degré en radian et d autre part de radian en degré à l aide des prpriétés suivantes : Les mesures en radian et en degré snt prprtinnelles Un angle de 0 a pur mesure rad (abréviatin de radian) ) Cmpléter le tableau ci-après Radians 9 Degrés ) Dnner la mesure en radian des angles : D un triangle équilatéral D un triangle rectangle iscèle Du quadrilatère (chaque cercle passe par centre de l autre) ' Le radian ne serait qu une mesure de plus s il n avait la prpriété suivante : La lngueur d un arc de cercle de rayn R est égale à α R α étant la mesure en radian de l angle au centre qui intercepte l arc (en effet la lngueur d un arc est prprtinnelle à l angle au centre et le périmètre d un cercle de rayn R est calculé par R) ) Sit C un cercle de rayn R = Exprimer la lngueur d un demi-cercle d un quart de cercle et des arcs interceptés par un angle au centre de : (en radian) : ; (en degré) : ) Dnner la mesure en degré de l angle au centre qui sur un cercle de rayn R intercepte un arc de lngueur : R R R 7 R ) Quel est le périmètre de la partie cmmune aux deux disques de rayn R figurés dans la questin )?

2 Partie Repérage sur le cercle trignmétrique X Rappelns qu étant dnné un repère rthnrmal ( ) le cercle C de centre de rayn rienté dans le sens direct (de vers vers le plus curt chemin) est appelé le cercle trignmétrique X' En «enrulant» l axe réel représenté par la tangente en à C avec la même unité que dans le plan chaque réel x «marque» sur le cercle un unique pint M de C ; n dit que x repère le pint M u encre que M est le pint de C asscié à x ; n le nte alrs M (x) Y' Y Reprduire le cercle trignmétrique à l échelle par exemple ) Quels snt les pints assciés à : 0? ) l aide d un rapprteur placer les pints assciés à : 8 ) l aide d un cmpas et d un rapprteur placer les pints : et C maginns l axe réel «cmplètement enrulé» sur le cercle C Puisque la circnférence de C a pur lngueur si le réel x repère M le pint M est aussi repéré par l un des réels : x x + x + (sens direct) x x x (sens indirect) Les réels repérant le pint M (x) snt les nmbres x + ù est un entier relatif quelcnque : n les appelle les abscisses curvilignes de M ) Sit le pint de C asscié au réel x = 9 a) Pruver qu il existe un entier relatif unique que l n calculera tel que < x + b) Placer alrs le pint sur C et déterminer la lngueur du petit arc de C d extrémités et ) Reprendre la questin précédente avec le pint asscié au réel 7 Le résultat dégagé dans ces deux questins est général : pur tut pint M de C il existe une et une seule abscisse curviligne x 0 du pint M dans l intervalle ] ] : Si 0 x 0 x 0 est la lngueur du petit arc gémétrique d extrémités et M Si x 0 < 0 x 0 est la lngueur du petit arc gémétrique d extrémités et M

3 S ngles trignmétrie et repérage Crrectin de l activité Partie La ntin de radian Ce premier exercice est une invitatin à cnvertir les mesures des angles d une part de degré en radian et d autre part de radian en degré à l aide des prpriétés suivantes : Les mesures en radian et en degré snt prprtinnelles Un angle de 0 a pur mesure rad (abréviatin de radian) ) Cmplétns le tableau ci-après Radians 9 Degrés ) Dnnns la mesure en radian des angles : D un triangle équilatéral Tris angles de 0 sit rad D un triangle rectangle iscèle Un angle drit deux angles de ' Dnc un angle de rad et deux angles de rad Du quadrilatère (chaque cercle passe par centre de l autre) Le triangle est équilatéral (à cause des rayns égaux) de même pur le triangle Dnc et mesurent rad et et mesurent rad Le radian ne serait qu une mesure de plus s il n avait la prpriété suivante : La lngueur d un arc de cercle de rayn R est égale à α R α étant la mesure en radian de l angle au centre qui intercepte l arc (en effet la lngueur d un arc est prprtinnelle à l angle au centre et le périmètre d un cercle de rayn R est calculé par R) ) Sit C un cercle de rayn R = La lngueur d un demi-cercle est R = La lngueur d un quart de cercle est R = Le lngueurs des arcs interceptés par un angle au centre de : (en radian) : snt respectivement : 8 8 ; ; ; (en degré) : snt respectivement : R ; R ; R ; R ; ;

4 R ) La mesure en degré de l angle au centre qui sur un cercle de rayn R intercepte un arc de lngueur : R R R 7 ) Cmme et mesurent R est respectivement : 0 rayn R figurés dans la questin ) a pur périmètre rad alrs le cntur de la partie cmmune aux deux disques de R R Partie Repérage sur le cercle trignmétrique X Rappelns qu étant dnné un repère rthnrmal ( ) le cercle C de centre de rayn rienté dans le sens direct (de vers vers le plus curt chemin) est appelé le cercle trignmétrique X' En «enrulant» l axe réel représenté par la tangente en à C avec la même unité que dans le plan chaque réel x «marque» sur le cercle un unique pint M de C ; n dit que x repère le pint M u encre que M est le pint de C asscié à x ; n le nte alrs M (x) Y' Y ) Ntns le symétrique de par rapprt à et celui de Les pints assciés à : 0 snt respectivement : D ) l aide d un rapprteur plaçns les pints D E F G respectivement assciés à : 8 E F G C C ) l aide d un cmpas et d un rapprteur plaçns les pints : et C Remarquns que le triangle est équilatéral () est la bissectrice de l angle et le quadrilatère C CC est un carré C

5 maginns l axe réel «cmplètement enrulé» sur le cercle C Puisque la circnférence de C a pur lngueur si le réel x repère M le pint M est aussi repéré par l un des réels : x x + x + (sens direct) x x x (sens indirect) Les réels repérant le pint M (x) snt les nmbres x + ù est un entier relatif quelcnque : n les appelle les abscisses curvilignes de M 9 ) Sit le pint de C asscié au réel x = a) Suppsns qu il existe un entier relatif tel que < x + et essayns de le calculer < x + < n en déduit que le nmbre cherché existe et qu il est unique il vaut insi le pint asscié à 9 est aussi asscié à 9 b) Plaçns alrs le pint sur C D après ce qui précède la lngueur du petit arc de C d extrémités et est 9 ) Reprenns la questin précédente avec le pint asscié au réel Suppsns qu il existe un entier relatif tel que < x + 7 et essayns de le calculer < x + < n en déduit que le nmbre cherché existe et qu il est unique il vaut 7 insi le pint asscié à est aussi asscié à Plaçns alrs le pint sur C D après ce qui précède la lngueur du petit arc de C d extrémités et est Le résultat dégagé dans ces deux questins est général : pur tut pint M de C il existe une et une seule abscisse curviligne x 0 du pint M dans l intervalle ] ] : Si 0 x 0 x 0 est la lngueur du petit arc gémétrique d extrémités et M Si x 0 < 0 x 0 est la lngueur du petit arc gémétrique d extrémités et M