MÉCANIQUE DES FLUIDES

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1 Spé ψ 1-13 Devoir n 4 MÉCANIQE DES FLIDES NE ÉTDE DYNAMIQE DE LA COCHE LIMITE Ce problème met en jeu la notion de couche limite qui intervient lorsqu on étudie les écoulements laminaires, à nombres de Renolds néanmoins importants, autour d un solide. Cette couche assure le raccordement entre la solution d écoulement parfait qui prévaut loin du corps et la condition de vitesse nulle sur les parois. L étude simplifiée proposée repose sur les travau de deu phsiciens allemands spécialistes en mécanique des fluides. Ludwig Prandtl ( ) qui introduisit en 194 la notion de couche limite dans l écoulement d un fluide autour d un obstacle. Ses travau le conduisirent également à établir la théorie hdrodnamique de l aile portante d envergure infinie dans un fluide parfait. Heinrich Blasius ( ) qui publia de nombreu mémoires sur les écoulement de fluides visqueu autour d obstacles et dans les tuau clindriques. Formulaire : équation de Navier-Stokes d un fluide newtonien visqueu incompressible : v μ + ( v grad) v =μg grad ( p) +ηδv t Partie I PRÉLIMINAIRE On s intéresse à un régime variable d écoulement au sein d un fluide visqueu et incompressible dont le champ des vitesses s écrit v= vx (, t) u. L ae O est horizontal et la pression ne dépend pas de. Cela peut, par eemple, concerner le régime transitoire d accès à un écoulement stationnaire de cisaillement simple. I-1) Rappeler, en introduisant la viscosité dnamique η dont on indiquera l unité S.I., l epression de la force de viscosité eercée, au niveau de la surface élémentaire d aire ds et de normale u, par la portion de fluide d abscisses supérieures à sur la portion de fluide d abscisses inférieures à. On dit que cette force traduit un transfert diffusif de quantité de mouvement. Préciser cette notion en soulignant en quoi cela diffère d un transfert convectif. Quel phénomène simple eplique le brassage moléculaire qui est à l origine de cette diffusion? I-) Établir l epression df VISC de la résultante des forces de viscosité agissant sur, + d,, + d, z, z+ dz. l élément de volume dτ défini par les intervalles I-3-a) Écrire la relation fondamentale de la dnamique appliquée à la particule de fluide de volume dτ et constater que l on retrouve l équation de Navier-Stokes dans le cas particulier d écoulement envisagé. En cas d échec à cette question (en particulier si l on n a pas répondu à la question I-) on poursuivra en utilisant l équation de Navier-Stokes proposée dans le formulaire dont on donnera toutefois la signification des différents termes. b) En projetant cette équation sur u, obtenir l équation au dérivées partielles vérifiée par v (, t ) appelée équation de diffusion. Lui donner une forme remarquable commune à toutes les équations de diffusion en introduisant la diffusivité de quantité de mouvement ou viscosité cinématique ν que l on eprimera à l aide de η et de la masse volumique μ. Quelle est l unité S.I. de ν? Spé ψ 1-13 page 1/6 Devoir n 4

2 I-4) Grâce à l équation de diffusion, établir un lien très simple entre la viscosité cinématique ν, la distance caractéristique selon O : L Y, et la durée caractéristique τ du phénomène de diffusion. (On pourra eploiter un raisonnement en ordre de grandeur ou une analse dimensionnelle.) Partie II ORDRE DE GRANDER DE L ÉPAISSER D NE COCHE LIMITE On se propose d évaluer l ordre de grandeur de l épaisseur de la couche limite (affectée par la viscosité) au voisinage d une plaque plane sur laquelle arrive un écoulement laminaire uniforme de vitesse = u parallèle à la plaque. δ( ) Cette zone qui assure le raccordement entre la condition de vitesse nulle contre la plaque et l écoulement uniforme, s établit par diffusion perpendiculairement à la plaque à partir du moment ou le fluide aborde l etrémité de celle-ci. II-1) Estimer l ordre de grandeur δ( ) de l épaisseur de la couche limite en eploitant le résultat de la question I-4) et en tenant compte du fait que lorsque le fluide atteint l abscisse (à partir de l etrémité de la plaque), le phénomène diffusif perpendiculairement à la plaque, s est déjà produit pendant la durée /. II-) Rappeler l epression du nombre de Renolds si l on prend comme dimension caractéristique de l écoulement : R. e figure 1 II-3) Eprimer δ( )/ à l aide de R e. II-4) Proposer alors un critère pour l utilisation de la notion de «couche limite» dans un écoulement le long d un obstacle. Partie III CAS D N ÉCOLEMENT DE POISEILLE PLAN On considère maintenant l écoulement d un fluide visqueu entre deu plans horizontau d abscisses = d/ et = +d/. L ae horizontal O définit la direction et le sens de l écoulement tandis que l ae O est vertical ascendant : g = g u. z g III-1) On considère une zone suffisamment éloignée de l etrémité par laquelle le fluide aborde le dispositif pour ignorer tout phénomène d entrée et faire comme si les parois étaient illimitées. On étudie alors un écoulement stationnaire caractérisé par le champ des vitesses v= v u et un champ de pression p(, ). figure a) Écrire l équation locale du mouvement en mettant à profit le résultat de la question I-3) (ou en eploitant l équation donnée dans le formulaire). La projeter sur u et u. p b) En déduire que = K (constante). Spé ψ 1-13 page /6 Devoir n 4

3 c) Donner la loi v () en fonction de K, η, et d. Montrer que le profil des vitesses est parabolique. III--a) On note Δ p = p(, ) p( + L, ) la différence de pression qui doit eister entre deu points de même altitude et distants de L selon O pour maintenir cet écoulement. Établir l epression suivante du débit volumique D V à travers une section de largeur h selon Oz : 3 hd Δp DV =. 1ηL b) Avec quelle loi électrique la relation entre Δp et D V suggère-t-elle une analogie? Introduire une résistance hdraulique. c) Si, en maintenant Δp, on divise d par, que devient le débit? Quel débit total circule alors à travers deu dispositifs identiques d épaisseur d/, chacun étant soumis à la différence de pression Δp sur une longueur L? En déduire une différence importante avec la notion de résistance électrique. III-3) On eamine maintenant le phénomène d entrée dans le dispositif précédent. n fluide en écoulement laminaire uniforme de vitesse = u pénètre dans l intervalle situé entre deu plaques planes parallèles au plan Oz, distantes de d. d a) En eploitant le phénomène de croissance de couche limite à partir de l arête de chaque plaque (cf. partie II), évaluer en fonction de, d et ν, la distance 1 parcourue par le fluide depuis son entrée dans le dispositif avant que s établisse le profil parabolique de vitesse. b) Montrer qu on peut eprimer le rapport 1 /d à l aide du nombre de Renolds si l on choisit judicieusement la dimension caractéristique de l écoulement. PartieIV ÉQATION D MOVEMENT DANS LA COCHE LIMITE On considère un écoulement laminaire stationnaire et incompressible, près d une plaque plane horizontale =, à nombre de Renolds grand devant 1, de façon que la notion de couche limite ait un sens. On se limite au cas d un écoulement uniforme hors de la couche limite : vext = u. Le fluide a la masse volumique μ et la viscosité dnamique η. On adopte le modèle d un écoulement bidimensionnel dans la couche limite, caractérisé par le champ des vitesses v= v, u + v, u et le champ de pression p(, ). X Y 1 figure 3 δ() v EXT v ( ) vx (, ) Y, g COCHE LIMITE On admettra que, dans ce cas, la résultante des forces de viscosité agissant sur un élément de df = ηδ v u +Δv u dτ. volume dτ s écrit VISC ( X Y ) figure 4 Spé ψ 1-13 page 3/6 Devoir n 4

4 IV-1) Écrire l équation traduisant l incompressibilité. IV-) Écrire les projections sur u et u de l équation fondamentale de la dnamique en utilisant les constantes μ, ν et g. IV-3) Pour évaluer (dans la couche limite) l ordre de grandeur de la dérivée d une grandeur par rapport à, on considère le quotient de cette grandeur par (valeur «tpique» de ) et pour la dérivée d une grandeur par rapport à, on considère le quotient de cette grandeur par δ( ) (épaisseur de couche limite en. vx vx Eemples : est de l ordre de, vx vx est de l ordre de. δ( ) a) En utilisant l équation obtenue au IV-1), relier les ordres de grandeur de v X et v Y au nombre de Renolds R. En déduire que v Y << v X. e vx vx vy vy b) Montrer également que et. vx vx c) Montrer que vy et vx sont du même ordre de grandeur. En est-il de vy vy même pour vy et vx? d) Montrer, en se plaçant au bord etérieur de la couche limite, où v X est de l ordre de vx que ν est du même ordre que les deu termes précédents. e) Réécrire les équations du IV- en les simplifiant grâce au inégalités montrées cidessus. On admettra que la faiblesse de v Y (en comparaison à v X ) conduit à ignorer toutes les dérivées partielles de v Y lors de la projection sur u p. En déduire que μ g. IV-4) Puisque la couche limite est très étroite en altitude, et compte tenu de la relation précédente, la pression p, à donné, a quasiment la même valeur qu à l etérieur immédiat de cette couche. Hors de la couche limite (on rappelle que l écoulement est parfait) la pression dépend-telle de? Que dire alors de dans la couche limite? p X X X En déduire l équation : v v v v X + v Y =ν. IV-5) On définit les variables sans dimension : X ' =, ' = = Re, v X δ ' v =, vy ' = a) Écrire alors les équations IV-1 et IV-4 à l aide de v X, v Y et de dérivées par rapport à et. Quel est l intérêt de ces équations? b) Dans sa théorie des écoulements visqueu bidimensionnels, Prandtl montre que, puisque les solutions des équations précédentes ne sauraient dépendre de l échelle arbitraire, elles ' ne dépendent que de la variable θ=. Justifier ce choi. ' Partie V DÉCOLLEMENT DE LA COCHE LIMITE LAMINAIRE Avertissement : cette partie peut-être traitée indépendamment des parties précédentes. Re vy Spé ψ 1-13 page 4/6 Devoir n 4

5 L étude précédente a été menée sous l hpothèse = cste, ce qui revient à supposer que, le long de la frontière entre le solide et le fluide, le gradient de pression est nul. On étudie maintenant une situation plus réaliste qui prend en compte ce gradient de pression dans une zone où les lignes de courant divergent et qui conduit au fait que = (). On assimile localement la paroi en contact avec l écoulement à un dièdre d angle α = π/(m + 1). La constante m est un paramètre négatif qui est pris dans l intervalle ] 1/3, ] si bien que α [π, 3π/[. On repère un point M du fluide par ses coordonnées polaires (r, ψ) avec ψ [, α]. La géométrie du sstème est représentée sur la figure 5. ur ( M) uψ ( M) On donne, dans le sstème de coordonnées choisi M ϕ 1 ϕ grad ( ϕ ) = ur ( M) + uψ ( M) α r r r ψ ψ O 1 1 et r ϕ Δϕ = + ϕ. r r r r ψ Dans un premier temps, on cherche la structure du champ de vitesse hors de la couche limite, domaine où l écoulement est supposé potentiel et incompressible V-1-a) Montrer que le potentiel des vitesse ϕ(r, ψ) tel que v = grad ( ϕ) est solution de l équation de Laplace. b) En détaillant clairement un raisonnement de smétrie concernant la vitesse de l écoulement pour les points M tels que ψ = α/, epliquer pourquoi l epression du potentiel des vitesses ϕ( r, ψ ) = F( r) cos ( m+ 1) ψ est acceptable. p c) En déduire qu une forme convenable de la fonction F(r) est F( r) = k1 r où k 1 est une constante positive que l on ne cherchera pas à calculer et p une constante pouvant prendre deu valeurs. V--a) Eprimer le champ des vitesses v dans la base polaire indiquée. b) En étudiant le cas particulier où m prend la valeur limite 1, déterminer la valeur qu il faut attribuer à la constante p? c) Établir que, le long de la paroi d équation ψ =, la vitesse suit la loi m V ψ= = k e où k est une constante que l on eprimera en fonction de k 1 et m. X figure 5 d) Établir l équation des lignes de courant en coordonnées (r, ψ) V-3) En utilisant le résultat de la question précédente et en étudiant la dérivée par rapport à de la relation de Bernoulli le long d une ligne de courant voisine de la surface d équation ψ =, établir que le profil de vitesse entraîne l eistence d un gradient longitudinal de pression dirigé vers les croissants. V-4) En reprenant la méthode de la partie IV, on introduit la variable. On admettra que l équation de Navier-Stokes devient l équation de Bla- vx (, ) fonction f ( θ ) = sius généralisée : θ= Spé ψ 1-13 page 5/6 Devoir n 4 ν et la ( θ) ( θ) d f df θ m 1 f θ + +α m+ 1 f ξ dξ= a) En supposant que f() = et que f(θ) admet un développement de Talor à tout ordre au θ lim f ξ dξ voisinage de θ =, déterminer θ

6 b) En déduire l epression de d f θ= c) On ne cherche pas à déterminer df θ= en fonction de m et montrer que d f θ= >., on admettra simplement que son signe est déterminé par le paramètre m. Que peut-on dire de l écoulement dans la couche limite si df <? θ= d) On admet qu une telle situation se produit lorsque m est inférieur à une valeur critique m C voisine de,9. L angle α est alors égal à α C. Quelle est alors la valeur de la «cassure» α C π? Eprimer cet angle en degrés. Représenter schématiquement les lignes de courant dans le cas α > α C en supposant que l écoulement reste laminaire. Partie VI APPROCHE DE LA FORCE DE TRAÎNÉE PAR DES BILANS DYNAMIQES Avertissement : cette partie peut-être traitée indépendamment des parties précédentes. On considère à nouveau l écoulement stationnaire et incompressible d un fluide visqueu au-dessus d une plaque plane. Ce fluide arrive parallèlement à la plaque avec une vitesse uniforme = u, loin en amont. On néglige désormais e() les effets de la pesanteur sur le fluide et on supposera la pression uniforme. On donne la masse volumique μ et la viscosité dnamique η du fluide. La plaque a une longueur L selon O et une très grande dimension L Z selon Oz, si bien que l on adopte figure 6 une description bidimensionnelle de l écoulement dans laquelle la vitesse du fluide s écrit : v= vx(, ) u + vy(, ) u en négligeant les effets de bord. À grand nombre de Renolds, il se crée une couche limite mince d épaisseur locale e() sur laquelle v X varie de à. Les effets de viscosité sont localisés dans cette couche. VI-1) On considère un volume de contrôle parallélépipédique : L, h, z L Z. L a) Grâce à un bilan de masse, relier v (, ) Y h d à une autre intégrale. b) Grâce à un bilan de quantité de mouvement selon O, notée p X, eprimer la dérivée lagrangienne de p X sous forme d une intégrale. c) En déduire, en choisissant h assez grand,. la force eercée par le fluide sur la face supérieure de la plaque puis sur l ensemble de ses deu faces. Le résultat sera présenté sous la h forme T = T u T = μl φ d Z où φ() est une epression mettant en jeu diverses v L. avec puissances du rapport X (, ) / ν=η/ μ. ν, L, L Z et. VI-) On admet que : vx (, ) = pour e e vx (, ) = pour e avec e = 3 δ, ν δ = et a) Grâce à cette description, eprimer la force linéique de traînée T en fonction de μ, b) On définit le coefficient de traînée = 1 T. Indiquer sa dimension et le re- μ L L lier au nombre de Renolds Re L. C Z L Spé ψ 1-13 page 6/6 Devoir n 4