SOMMAIRE. z = x y VARIABLE D'ARRIVEE

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1 AROCHE THEORIQE INTRODCTION A L'ACOTIQE AQ5 DE LOGARITHME AX DECIBEL OMMAIRE AQ5. tit historiqu ds arithms AQ5. Rprésntation graphiqu ds arithms AQ5.3 En application avc ls grandurs physiqus AQ5.3. Graduation linéair AQ5.3. Graduation arithmiqu AQ5.4 Echll d tmpératur AQ5.5 Echll d tmps AQ5.6 Ls nivaux AQ5.7 L'amplification AQ5.8 L Bl AQ5.9 L décibl AQ5.0 Généralisation d l'mploi ds décibls AQ5. La répons n fréquncs AQ5. Bibliographi AQ5. tit historiqu ds arithms Au XVI iècl, un prsonnag écossais M. John Napir, ou Npr, avait à réalisr d nombrux calculs. Ls moyns à dispositions n'étaint pas cux d'aujourd'hui, t il était plus facil d'ffctur ds additions (soustractions) qu ds multiplications (divisions). Npr établit un tabl d convrsion d valurs n "imags arithmiqus". Il a créé un tabl d convrsion "Nombr [x]! arithm du Nombr [ x]". Npr à établi la tabl suit à la constatation mathématiqu suivant: IMAGE AQ5. Nombr Log a x "Imag" arithmiqu du Nombr oit un nombr x = a n t un nombr y = a m, il a constaté qu x y = a m+n Exprimé autrmnt nous obtnons: z = x y! z = x + y x y z = x y a m+n m n m + n A l'aid d sa tabl Npr trouvait l arithm ds valurs x t y. Il ffctuait nsuit plus facilmnt ls additions (soustractions) t nfin il rchrchait dans sa tabl la valur du nombr z. Ctt convrsion st ffctué d nos jours avc un simpl touch sur un calculatric ou dans un tablur informatiqu. Nous pouvons rmarqur qu d'ffctur l arithm d'un nombr st l'opération mathématiqu invrs d l'élévation à la puissanc. La bas qui srt d calcul, rprésnté par la lttr a, doit êtr la mêm pour ls dux opérations. a X! a x n bas dix a vaut dix (a = 0) t nous obtnons = 3 t 0 3 = 000 AQ5. Rprésntation graphiqu ds arithms L calcul avc ls arithms prmt d couvrir un grand plag d valurs t d ls rprésntr facilmnt sur ds systèms d'axs. Ls mathématicins aimnt bin utilisr ls lttrs x t y. Ils calculnt succssivmnt ls différnts arithms ds valurs d la variabl d'ntré x t obtinnnt ls valurs d la variabls d'arrivé y. La courb obtnu st l'imag graphiqu d la fonction: VARIABLE DE DEART x y VARIABLE D'ARRIVEE VARIABLE D'ARRIVEE y x VARIABLE DE DEART Chaqu point st l résultat d'un calcul IMAGE AQ5. EIC.ch / it Tchniqu Elctroniqu / Fichirs AQ*.pdf - Vrsion août Dat convrsion : //0 AGE / 0

2 AROCHE THEORIQE INTRODCTION A L'ACOTIQE AQ5 DE LOGARITHME AX DECIBEL Il st possibl d'obtnir ds courbs qui donnnt un imag graphiqu ds calculs succssifs. L'imag graphiqu résultant st applé fonction: - y y = f (x) 0 x y = f (x) t s dit y st fonction d x i x = alors y = 0 i x--> + alors y --> + (d manièr plus lnt) i x = 0 alors y --> - (toujours plus proch d zéro, plus ptit) Il st admis qu x = 0 n'a pas d'imag arithmiqu, n'xist pas. IMAGE AQ5.3 AQ5.3 En application avc ds grandurs physiqus La msur ds grandurs physiqus (par xmpl la lumièr, l son, la tmpératur, l tmps) nécssitnt d capturs ou autrs sonds qui convrtissnt ctt grandur n un signal élctriqu. Ls msurs prnnnt toujours un crtain tmps, ls rlvés t analyss qui s'n suivnt sont fortmnt aidés par ls graphiqus obtnus. Il dvint nécssair d'êtr attntif d'un part sur ls graduations ds axs (échlls linéairs ou arithmiqus) t d'autr part sur ls unités (linéairs ou arithmiqus) utilisés pour ls grandurs physiqus msurés. Imaginons tout d'abord un rprésntation d la fréqunc d'un phénomèn répétitif. En tchniqu d transmission par xmpl, il faut placr ls différnts domains d'utilisation (radar, télévision, scours,...) t lur attribur un plag d fréqunc spécifiqu. AQ5.3. Graduation linéair IMAGE AQ5.4 VALER INITIALE f = 0 [Hz] f [Hz],0 La signification ds différnts points d l'ax donn pour l'origin un valur initial, ici f = 0. Cla signifi qu'il n'y a pas d'altrnanc. our un tnsion élctriqu nous parlons d tnsion continu. En graduation linéair, la distanc ntr chaqu trait rprésnt un addition toujours d mêm valur, mais l rapport ntr dux séparations diminu à msur qu la grandur physiqu augmnt. AQ5.3. Graduation arithmiqu VALER NITE f = [Hz] ,0 0, 0 00 f [Hz] 0 0 IMAGE AQ5.5 La signification ds différnts séparations sur l'ax indiqu qu'il n'y a pas d'origin, mais un ds graduation st choisi comm point d départ t prnd la valur unité. En graduation arithmiqu, chaqu séparation rprésnt l rapport d un à dix t n vari pas. EIC.ch / it Tchniqu Elctroniqu / Fichirs AQ*.pdf - Vrsion août Dat convrsion : //0 AGE / 0

3 AROCHE THEORIQE INTRODCTION A L'ACOTIQE AQ5 DE LOGARITHME AX DECIBEL AQ5.4 Echll d tmpératur En rprésntant sur un systèm d'ax la fonction arithmiqu d la grandur physiqu nommé tmpératur absolu [K], nous obtnons un imag arithmiqu d la tmpératur qu nous pouvons utilisr comm "échll" d tmpératur. Log T[K] VALER NITE T = [K] T = 0 [K] LogT= [K] T [K] 0-5 Toujours plus froid (plus proch d T=0K) Toujours plus chaud Τ [K] IMAGE AQ5.6 ar simplification, sul la lttr <<T [K]>> st noté sur l'échll d tmpératur t non <<T [K]>>. ur ct ax l zéro absolu T = 0 [K] à disparu mais si nous partons d l'unité vrs la gauch nous nous n approchons toujours plus. AQ5.5 Echll d tmps En rprésntant sur un systèm d'ax la fonction arithmiqu d la grandur physiqu nommé tmps t [s], nous obtnons un imag arithmiqu du tmps qu nous pouvons utilisr comm échll d tmps. ur l'échll d tmps, l tmps t 0 = 0 [s] à disparu mais si nous partons d l'unité vrs la gauch nous nous n approchons toujours plus. i nous prnons pour origin t 0 du tmps l famux Bigbang nous avons l'avantag sur l'échll arithmiqu d n pas s posr la qustion d l'avant Bigbang. Log t[s] VALER NITE t = [s] t = 0 [s] Log t=[s] t [s] 0-5 Duré toujours plus ptit (plus proch d t= 0[s]) Duré toujours plus grand t [s] IMAGE AQ5.7 La rchrch actull n physiqu étudi avc ds ordrs d grandurs d 0-6 scond, soit à nviron un millionièm d scond du BigBang, qui s'st déroulé il y a très longtmps. EIC.ch / it Tchniqu Elctroniqu / Fichirs AQ*.pdf - Vrsion août Dat convrsion : //0 AGE 3 / 0

4 AROCHE THEORIQE INTRODCTION A L'ACOTIQE AQ5 DE LOGARITHME AX DECIBEL AQ5.6 Ls nivaux Il st habitul lorsqu nous parlons ds altituds d ls indiqur n xprimant un nivau. Nous ntndons parlr du nivau d la mr (choisi comm altitud d départ) t touts ls autrs sont n fait ds hauturs xprimés par rapport au point d départ. n altitud d 3800m signifi qu l sommt st situé à un nivau d 3800m au dssus du nivau zéro, qui st clui d la mr. Altitud [m] Nivau sonor [db L] IMAGE AQ5.8 [W] N [db réf] Nivau d'un sommt Nivau msuré dans un local d'écout uissanc msuré Nivau msuré Nivau d la mr Nivau minimum IMAGE AQ5.9 uissanc d référnc Nivau d référnc Dans l langag courant, la quantité sonor qui règn à l'intériur d'un local st souvnt xprimé par un nivau sonor, applé ound Lvl L. Il s calcul à partir d'un grandur physiqu qui st l'intnsité acoustiqu I [W/m ]avc un unité arithmiqu [db L ]. La précision L st régulièrmnt oublié dans l langag courant ou dans ls journaux, c'st un (ptit) rrur. our ls grandurs élctriqus n rvanch, il st important d précisr la référnc à la suit d l'unité décibl [db réf ]. Ls xmpls ci-dssous sont ls plus usuls n tchniqu t si la référnc n'st pas cité, alors l chiffr indiqué n'a aucun signification. En tchniqu, nous utilisons ls nivaux pour xprimr d tnsions, ds puissancs ainsi qu ds écarts d nivaux ntr l'ntré t la sorti. Il st plus facil d convrtir un quantité physiqu (,,, ) n un nivau qui dvint "l'imag arithmiqu" (N = [B], N =0 [db]) pour nsuit n ffctur ds additions (soustractions) afin d'n calculr ls écarts (G = N.[B] ou [db]). [W] N [db réf ] I I [W] N [db réf ] ME N ME ME N ME R i réf N réf Z Au Rch réf N réf [V] N [db réf ] Nivaux [db réf ] [V] N [db réf ] ME N ME N [dbréf] ME N ME réf N réf N [dbréf] G = N [db] réf N réf Emplacmnt Ls signaux d'ntré t d sorti sont quantifiés par lur nivau rspctif (N, N ). Ls spécifications d l'apparil apportnt ls indications sur l traitmnt du signal par ls écarts d nivaux (G u, G ) t ls valurs d'impédancs d'ntré t d sorti (Z, Z, R ig ). Touts cs caractéristiqus sont généralmnt variabls n fonction d la fréqunc ou d la tmpératur, par xmpl. N = 0 ME / réf [db réf ] ou N = 0 ME / réf [db réf ] Ls formuls ci-dssus indiqunt ds rapports ntr grandurs élctriqus msurés ( ME [V] ou ME [W]) aux ntrés n sortis ds apparils. our xprimr cs grandurs n nivau, il faut calculr la valur msuré à partir d'un valur choisi comm référnc ( réf, réf ). Exmpls: Grandur disponibl Grandur d référnc Nivau ME réf = µv N = 0 ME / 0-6 [dbµv] ME réf = mv N = 0 ME / 0-3 [dbmv] ME réf = V N = 0 ME / [dbv] ME réf = mw N = 0 ME / 0-3 [dbmw] ou [dbm] ME réf = W N = 0 ME / [dbw] EIC.ch / it Tchniqu Elctroniqu / Fichirs AQ*.pdf - Vrsion août Dat convrsion : //0 AGE 4 / 0 IMAGE AQ5.0

5 AROCHE THEORIQE INTRODCTION A L'ACOTIQE AQ5 DE LOGARITHME AX DECIBEL AQ5.7 L'amplification Ls lins ds différnts systèms ou apparils élctroniqus ntr ux ont obligés ls concpturs à résoudr ds problèms d compatibilités ntr ls différnts systèms. Ls normalisations concrnant ls connxions ntr apparils sont autant d'xmpls. Ils démontrnt la nécssité d connaîtr la quantité d'un bon nombr d grandurs élctriqus. ENTREE IGNAL ORTIE Ici, c sont ls rapports sorti sur ntré qui nous intérssnt: Amplification n tnsion A u = / [ ], I,, N ECIFICATION DE L'AAREIL Amplification Atténuation Gain Autrs + variabls, I,, N IMAGE AQ5. Amplification n puissanc: A = / [ ] Amplification n courant: A I = I / I [ ] Il a fallu très vit ffctur ds calculs compliqués t fastidiux pour êtr capabl d traitr l signal qui transit d l'ntré à la sorti. L rapports ntr ls quantités d sorti avc ls quantité d'ntrés sont souvnt variabls n fonction d la dmand ou ds conditions climatiqus. Il n va d mêm pour ls spécifications dmandés aux différnts apparils. L'mploi d'astucs mathématiqus pour pouvoir résoudr l plus rapidmnt possibl ls problèms posés notammnt par ls chiffrs qui sont souvnt d valurs très ptits à l'ntré (nv. d 0-6 à 0-9 ) jusqu'à plusiurs millirs (nv. 0 3 ) à la sorti. C'st c qui à amné l'mploi ds arithms. our la quantité d signal, c'st l rapport ds énrgis disponibls qui import. our ls calculs, sul l'mploi d la puissanc élctriqu st justifié dans tous ls cas puisqu'll dépnd dirctmnt d l'énrgi t du tmps d'utilisation (=W/t [W]). Avc un sul étag Avc plusiurs étags. I I AAREIL O ETAGE A A A n Z ch n- IMAGE AQ5.3 Amplification: i > alors A > Atténuation: i < alors 0<A < IMAGE AQ5. A TOT = [] A [] A = = [] A = [] n n Egalité: i = alors A = A TOT = A A... A n [] L calcul d l'amplification total st ffctué par l rapport ds puissanc d sortis divisé par la puissanc d'ntré ou par la multiplication ds amplifications partills. EIC.ch / it Tchniqu Elctroniqu / Fichirs AQ*.pdf - Vrsion août Dat convrsion : //0 AGE 5 / 0

6 AROCHE THEORIQE INTRODCTION A L'ACOTIQE AQ5 DE LOGARITHME AX DECIBEL AQ5.8 L Bl Ayant à travaillr avc un grand plag d valurs (du nanowatt au kilowatt) il st plus facil d'utilisr ls puissancs d dix (0 X ) t l'opération mathématiqu invrs qui lui st lié, applé arithm décimal ( 0 ). Nous pouvons rprésntr un grand plag d valurs n utilisant un graduation arithmiqu sur un ax, comm pour l'xmpl d la puissanc dssiné ci-dssous. ECHELLE LINEAIRE [W] ECHELLE LOGARITHMIQE [W] IMAGE AQ5.4 our l calcul d l'amplification n puissanc d'un systèm, nous pouvons rchrchr "l'imag arithmiqu" du rapport d puissanc. Autrmnt dit, nous allons d'abord ffctur l rapport /, puis ffctur l arithm du résultat. Avc un sul étag Avc plusiurs étags. I AAREIL O ETAGE I A A A n Z ch A' = [ B ] IMAGE AQ5.5 A' n- TOT = [ B ] A' = [ B ] A' = [ B ] A' n = [ B ] A' TOT = A' + A' A' n [ ] B n IMAGE AQ5.6 ar ctt astuc mathématiqu, l calcul d l'amplification total st dvnu plus "simpl" ou plus rapid. Ls multiplications ont été rmplacés par ds additions. L'unité du Bl [B] ést un unité arithmiqu t put apparaîtr sur un graphiqu avc un échll d linéair. Chaqu unité du Bl nous donn un rapport d puissanc d dix. Additionnr un Bl rvint au mêm qu multiplir par dix l rapports ds puissancs. Nous pouvons constatr l'équivalnc par l tablau ou l graphiqu ci-dssous ECHELLE LOGARITHMIQE / [ ] A [ ] A' [B] 00/0 0 Amplification /0 00 Amplification 0000/ Amplification 0/ Atténuation 0/ Atténuation 0/ Atténuation 0 0/0 0 Egalité ECHELLE LINEAIRE / [ ] A' [B] IMAGE AQ5.7 EIC.ch / it Tchniqu Elctroniqu / Fichirs AQ*.pdf - Vrsion août Dat convrsion : //0 AGE 6 / 0

7 AROCHE THEORIQE INTRODCTION A L'ACOTIQE AQ5 DE LOGARITHME AX DECIBEL AQ5.9 L décibl L'unité du Bl s'st avéré trop grand. n pu comm au rstaurant ou l litr st un unité un pu trop grand t on lui préfèr l décilitr. L décibl st donc l dixièm du Bl. our obtnir la mêm quantité d puissanc avc l'unité ds décibls [db] n liu t plac d l'unité du Bl [B], il faut modifir l résultat du rapport sorti / ntré n l multipliant par dix. ECHELLE LINEAIRE A' [B] 0 ECHELLE LINEAIRE G [db] IMAGE AQ5.8 La lttr A st rmplacé par la lttr G, car nous parlons du gain d'un apparil ou d'un étag lorsqu nous l'xprimons n décibl. La formul général d l'amplification dvint la formul du gain n puissanc donné par: Avc un sul étag Avc plusiurs étags. I I AAREIL O ETAGE A A A n Z ch n IMAGE AQ5.0 G = 0 IMAGE AQ5.9 G TOT G = 0 G = 0 0 = G n = 0 G TOT = G + G G n n L calcul du gain total st facilmnt obtnu n additionnant ls gains partils. / [ ] A [ ] G [db] 00/0 0 0 Amplification 000/ Amplification 0/0 3 Amplification 0/ Atténuation 0/ Atténuation 0/ Atténuation 0/0 0 Egalité Nivaux [db réf ] N [dbréf] N [dbréf] G = N [db] IMAGE AQ5. Emplacmnt n gain d 3 db (ou un atténuation d -3dB) st un valur important n tchniqu, car ll rprésnt l rapport d dmi puissanc. Autrmnt dit, un gain d 3dB rprésnt l doubl d puissanc t un atténuation d -3dB un rapport d moitié n puissanc. 3dB = t -3dB = / EIC.ch / it Tchniqu Elctroniqu / Fichirs AQ*.pdf - Vrsion août Dat convrsion : //0 AGE 7 / 0

8 AROCHE THEORIQE INTRODCTION A L'ACOTIQE AQ5 DE LOGARITHME AX DECIBEL AQ5.0 Généralisation d l'mploi ds décibls L'mploi ds décibls pour l calcul ds amplifications (ou atténuations) put s généralisr pour ls gains calculés avc l rapport ds tnsions, voir plus rarmnt ds courants. C calcul n prnd du sns qu s'il concrn ds installations qui sont ffctués n adaptation d'impédanc. Lorsqu ls signaux disponibls sont très faibls, ls chaîns d traitmnts nécssitnt un transfrt du maximum d puissanc. our cla, il st impératif qu ls impédancs soint partout d mêm valur. L'xmpl l plus connu st clui ds installations d'antnns dont ls impédancs d'ntrés (Z ), ls impédancs d sortis (Z, R ig ) t mêm ls impédancs ds câbls d liaisons (Z W ) ont touts la mêm valur (75Ω ou 50Ω par xmpl). R ig E Z A u Z s R ch IMAGE AQ5. i R ig = Z = Z = R ch alors l'mploi ds décibls pour ls tnsions st possibl En fait, il s'agit uniqumnt d'un transformation d formuls qui prmt c passag du rapport ds puissancs au rapport ds tnsions. En fft, nous savons qu = / R [W] t donc = / R ch [W], = / Z [W] Comm R ch = Z, cla amèn l rapport : = / R / Z ch = = [] En calculant l gain n décibl, nous obtnons : G = 0 = 0 En simplifiant grâc aux propriétés ds arithms, nous obtnons un formul très souvnt utilisé pour l'mploi ds décibls : G = 0 EIC.ch / it Tchniqu Elctroniqu / Fichirs AQ*.pdf - Vrsion août Dat convrsion : //0 AGE 8 / 0

9 AROCHE THEORIQE INTRODCTION A L'ACOTIQE AQ5 DE LOGARITHME AX DECIBEL AQ5. La répons n fréqunc L'mploi ds décibls st très souvnt utilisé pour décrir ls variations d comportmnt d'un systèm n fonction d la fréqunc. Il st baucoup plus fréqunt d'avoir à traitr un plag d fréquncs t non un sul. ar xmpl n audio il faut transitr ds fréquncs allant d 0Hz nviron à 0kHz au minimum, n vidéo la plag d fréqunc pass jusqu'à 5Mhz nviron. Ls fabricants indiqunt cs comportmnts sous la form d'un graphiqu indiquant un variation d nivau n fonction d'un plag d fréqunc. NIVEA RELATIF N REL = [db] NIVEA DE REFERENCE N Réf [db Réf ] ECHELLE LINEAIRE IANCE MEREE (ou TENION MEREE) A LA FRENCE DE REFERENCE f Réf [Hz] GRADATION LORAGITHMIQE Fréquncs f [Hz] VALER NITE f = [Hz] 0 FREQENCE DE REFERENCE f Réf [Hz] IMAGE AQ5.3 L nivau st xprimé n décibl [db] (unité arithmiqu) sur l'ax vrtical (graduation linéair) t la fréqunc n Hrtz [Hz] (unité linéair) sur l'ax horizontal (graduation arithmiqu). Ls msurs succssivs ffctués aux divrss fréquncs donnnt ds valurs d puissancs ou d tnsions différnts qui amènnt à un séri d calculs, nécssairs pour obtnir ls différnts points d msurs qui donn la form à la courb applé répons n fréquncs, ou courb d répons n fréquncs. Exprimé n formuls cla donn : NREL = 0 ME à divrss fréquncs ME à la fréqunc d référnc NREL = 0 ME à divrss fréquncs à la fréqunc d référnc ME En acoustiqu, la fréqunc d référnc vaut un kilohrtz f réf = [khz] par xmpl. La fréqunc d référnc put êtr choisi au miliu du spctr d fréquncs occupé par l signal, ou alors à un valur indiqué sur la caractéristiqu du systèm msuré. n courb d répons n fréqunc pour êtr complèt doit indiqur la variation d nivau, l'écart maximal ntr ls valurs xtrêms (max. ou min.), ls fréquncs limits (f inf ou f sup ). Au bsoin, il faut connaîtr égalmnt ls conditions d msurs (R ch,, DHT,tc.). Exmpl : B 5 [Hz] - 00 [khz] +/- [db] 5 [W] H = 8 [Ω] D HT = 0,0 [ 0 / 00 ] auf indication contrair, nous parlons d band passant normalisé B n [Hz] lorsqu la variation N REL attint la valur d 3dB autour du nivau d référnc. Exmpl : B n 0 [Hz] - 0 [khz] 40 [W]/ 8 [Ω] / 0, [ 0 / 00 ] EIC.ch / it Tchniqu Elctroniqu / Fichirs AQ*.pdf - Vrsion août Dat convrsion : //0 AGE 9 / 0

10 AROCHE THEORIQE INTRODCTION A L'ACOTIQE AQ5 DE LOGARITHME AX DECIBEL AQ5. Bibliographi IBN: A. JACCARD [5] La scinc à l'usag ds non-scintifiqus aris Calmann-Lévy 00 A. JACCARD L'équation du nénuphar aris Calmann-Lévy 998 IBN: X A. JACCARD Cinq milliards d'homms dans un vaissau aris uil 987 IBN: R.BEON onorisation profssionnll aris Editions Radio 983 IBN: R.CALAIN [3] Tchniqus d pris d son aris Ed. Tchniqus t 987 IBN: scintifiqus françaiss R.BENOAN Rproduir l son aris Bordas 98 IBN: J.KANE t M.TERNHEIM hysiqu aris IntrEdition 994 IBN: Collction MEMENTO D'ELECTRONIQE ET DE RADIOTECHNIQE ( Epuisé ) A.MONTI [] 4 Elctroacoustiqu Vvy Edition DELTA 977 [] ENCYCLOAEDIA NIVERALI aris Encyclopadia univrsalis 985 Franc A Rvu [4] LA RECHERCHE EIC.ch / it Tchniqu Elctroniqu / Fichirs AQ*.pdf - Vrsion août Dat convrsion : //0 AGE 0 / 0