Introduction au CALCUL INTEGRAL. Jean SCHMETS

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1 UNIVERSITE DE LIEGE Fculté des Sciences Déprtement de Mthémtique Introduction u CALCUL INTEGRAL Notes du cours destiné ux premiers bcheliers en sciences mthémtiques ou en sciences physiques Jen SCHMETS Année cdémique 24 25

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3 Introduction Ce livre présente l deuxième prtie des notes du cours d nlyse mthémtique que j enseigne ux étudints premiers bcheliers en sciences mthémtiques ou en sciences physiques. En le rédigent, j i suivi l trdition insturée il y plusieurs nnées pr H. G. Grnir, qui consiste à voir le clcul intégrl en première nnée et l théorie de l mesure plus trd. Cel signifie qu en première cndidture, on développe l puissnte théorie du clcul intégrl à prtir d un minimum de résultts dmis sns preuve (une dizine tout u plus). Cette mnière de procéder relève à l fois d un objectif pédgogique et d un objectif d efficcité. En effet, elle permet d une prt de posséder très tôt un outil complet et prticulièrement utile en vue des pplictions. D utre prt, elle met en évidence pour les mthémticiens l importnce des résultts dmis dont le cdre nturel est l théorie de l intégrtion pr rpport à une mesure à vleurs complexes, mtière bstrite priori qui trouve s plce nturellement en licence en sciences mthémtiques. A un étudint qui souhite pouvoir consulter les preuves omises dns cet exposé, je conseille les notes du cours de l théorie de l mesure destinées ux étudints de l licence en sciences mthémtiques et les références qui y sont indiquées. J ccorde un grnde importnce ux exercices. On en trouver déjà de nombreux exemples dns ces notes; on en trouver bien dvntge dns le Chier d Exercices que mes collborteurs ont rédigé. J. Schmets

4 Quelques repères chronologiques de mthémticiens cités Wllis John ( ) Newton Isc ( ) Leibniz Gottfried Wilhelm ( ) Tylor Brook ( ) Stirling Jmes ( ) Euler Leonhrd ( ) Legendre Adrien-Mrie ( ) Guss Crl-Friedrich ( ) Poisson Denis ( ) Cuchy Augustin ( ) Green George ( ) Ostrogrdsky Michel ( ) Stokes George ( ) Riemnn Bernhrd ( ) Jordn Cmille ( ) Schwrz Hermn ( ) Lebesgue Henri ( ) Levi Beppo ( ) Fubini Guido ( ) Tonelli Leonids ( )

5 Chpitre 1 Intégrtion des fonctions étgées 1.1 Fonctions étgées Définitions. Un semi-intervlle dns R n est un semi-intervlle borné de R n. Il s écrit donc I =] 1, b 1 ] ] n, b n ] vec j, b j R tels que j < b j pour tout j {1,..., n}. L longueur du j-ème côté de ce semi-intervlle I est le nombre strictement positif b j j. Remrques. 1) Un semi-intervlle dns R n n est jmis vide. De fit, le point b = (b 1,..., b n ) est un élément de I. 2) Une intersection finie de semi-intervlles dns R n est égle à ou à un semiintervlle dns R n. Il suffit bien sûr d étblir cette propriété pour l intersection de deux semi-intervlles n j=1 ] j, b j ] et n j=1 ]c j, d j ] dns R n. Comme on n ] j, b j ] n n ]c j, d j ] = (] j, b j ] ]c j, d j ]), j=1 j=1 il suffit de prouver que l intersection de deux semi-intervlles ], b] et ]c, d] dns R est égle à ou à un semi-intervlle dns R. D où l conclusion cr on évidemment { } si sup {, c} inf {b, d} ], b] ]c, d] =. ] sup {, c}, inf {b, d}] sinon 3) Pour tout semi-intervlle I =] 1, b 1 ] ] n, b n ] dns R n, tout j n et tout c j ] j, b j [, les ensembles j=1 ] 1, b 1 ] ] j, c j ] ] n, b n ]

6 et ] 1, b 1 ] ]c j, b j ] ] n, b n ] constituent évidemment une prtition de I en deux semi-intervlles dns R n. Inversement, on peut étblir que toute prtition de I en deux semi-intervlles dns R n nécessirement cette forme. Rppelons l notion de réseu fini de R n. Soient J 1,..., J n des nombres entiers supérieurs ou égux à 1 et soient r j,k, pour j, k entiers tels que 1 j n et 1 k < J j, des nombres réels tels que < r 1,1 <... < r 1,J1 1 < +... < r n,1 <... < r n,jn 1 < + Posons r 1, =, r 1,J1 = +,..., r n, =, r n,jn = +. On vérifie de suite que les semi-intervlles I 1... I n de R n tels que, pour tout j {1,..., n}, l origine et l extrémité de I j soient deux symboles consécutifs pris prmi les r j,,..., r j,jj constituent une prtition de R n. Une prtition de ce type est ppelée réseu fini de R n et ses éléments milles du réseu. Proposition Si I 1,..., I N sont des semi-intervlles dns R n en nombre fini, il existe un réseu fini R de R n tel que chcun de ces semi-intervlles I j se prtitionne en un nombre fini d éléments J de R, à svoir les J R inclus dns I j. Pour tout j {1,..., N}, on donc I j = R R, R I j R et χ Ij = R R, R I j χ R. Preuve. Pour tout k {1,..., n}, les k-èmes coordonnées des sommets de I 1,..., I N sont en nombre fini; on peut donc les ordonner pr vleurs strictement croissntes et obtenir pr exemple < r k,1 <... < r k,jk 1 < +. ( ) Ces reltions ( ) pour k = 1,..., n déterminent un réseu fini de R n et on vérifie isément que, pour tout j {1,..., N}, les milles de ce réseu incluses dns I j constituent une prtition finie de I j en semi-intervlles. Définition. Une fonction étgée dns R n on dit ussi une fonction étgée si ucune confusion sur n n est possible est une combinison linéire de fonctions

7 crctéristiques de semi-intervlles dns R n. Une telle fonction s écrit donc sous l forme K α = c k χ Ik k=1 où K est un élément de N, les c k des nombres complexes et les I k des semi-intervlles dns R n. Remrque. Dns R, l représenttion cotée des fonctions étgées ne pose ucun problème. Si l fonction étgée est réelle, on peut même en donner le grphique. Dns R 2, l représenttion cotée est isée mis le grphique des fonctions étgées réelles pose déjà des problèmes de rélistion. ] i ] 2 ] 1 + i ] Représenttion cotée de iχ ] 1,] 2χ ],2] + (1 + i)χ ]2,5] Grphique de χ ] 1,] + 2χ ],2] + χ ]2,5] Quelques propriétés des fonctions étgées s étblissent isément grâce u résultt suivnt. Proposition Une fonction définie sur R n est étgée dns R n si et seulement si elle est égle à une combinison linéire de fonctions crctéristiques de semi-intervlles dns R n qui sont deux à deux disjoints. Preuve. L condition est nécessire. Soit α = K k=1 c k χ Ik une fonction étgée dns R n. Les semi-intervlles I 1,..., I K étnt en nombre fini, on peut leur ppliquer l proposition précédente. Cel étnt, pour tout k K, il vient χ Ik = χ J. J R,J I k

8 En remplçnt lors dns l écriture de α chque χ Ik pr cette vleur, on obtient α = J R c J χ J vec c J = I k J c k. où les c j sont des nombres complexes et où les J R sont des semi-intervlles dns R n, deux à deux disjoints. L condition est évidemment suffisnte. Remrque. Ce résultt montre bien que l écriture d une fonction étgée comme combinison linéire de fonctions crctéristiques de semi-intervlles dns R n, n est ps unique. Proposition ) Toute combinison linéire de fonctions étgées dns R n est une fonction étgée dns R n. b) Les fonctions α et α sont simultnément étgées dns R n. En prticulier, α est une fonction étgée dns R n si et seulement si les fonctions Rα = α + α 2 et Iα = α α 2i sont étgées dns R n. c) Si α est une fonction étgée dns R n, α est étgé dns R n. En prticulier, (i) une fonction réelle α est étgée dns R n si et seulement si les fonctions α + = α + α 2 et α = α α 2 sont étgées dns R n. (ii) si α 1,... α N sont des fonctions étgées dns R n à vleurs réelles, lors sup{α 1,..., α N } et inf{α 1,..., α N } sont ussi des fonctions étgées dns R n. d) Tout produit fini de fonctions étgées dns R n est étgé dns R n. Preuve. ) résulte ussitôt de l définition des fonctions étgées. b) Il suffit de noter qu on α = α d une prt et K c k χ Ik = k=1 K c k χ Ik d utre prt. Le cs prticulier est immédit. c) De fit, si α s écrit α = K k=1 c k χ Ik où les I k sont deux à deux disjoints, il vient bien sûr α = K k=1 c k χ Ik. Le cs prticulier est immédit. d) On se rmène de suite u cs du produit de deux fonctions étgées dns R n. Or, si I et J sont deux semi-intervlles dns R n, on χ I χ J = χ I J où I J est égl à ou à un semi-intervlle dns R n. k=1

9 1.2 Intégrtion des fonctions étgées Définition. L mesure du semi-intervlle I =] 1, b 1 ]... ] n, b n ] dns R n est le nombre mes(i) défini pr mes(i) = (b 1 1 ) (b n n ) = c est donc un nombre strictement positif. n (b j j ); On vérifie isément que si R est une prtition finie du semi-intervlle I dns R n en semi-intervlles, lors on mes(i) = R R mes(r). j=1 Proposition Si les fonctions étgées K k=1 c k χ Ik et K k=1 c k χ I k sont égles, on K K c k mes(i k ) = c k mes(i k). k=1 k=1 dns Rn Preuve. On sit qu il existe un réseu fini R de R n tel que chcun des semiintervlles I 1,..., I K et I 1,..., I K se prtitionne en les éléments J de R qu il contient. Une vérifiction directe donne lors K c k χ Ik = K d J χ J = c k χ I k J R k=1 où, pour tout J R, on d J = I k J k=1 c k = I k J c k. De plus, un clcul élémentire prouve de suite les églités mes(i k ) = mes(j), k K, J R, J I k et mes(i k) = mes(j), k K. J R, J I k

10 Dès lors, il vient successivement K K c k mes(i k ) = k=1 D où l conclusion. k=1 c k J R, J I k mes(j) = J R d J mes(j) K = k=1 c k J R, J I k Nous pouvons donc introduire l définition suivnte. K mes(j) = c k mes(i k). Définition. L intégrle I(α) de l fonction étgée α = J j=1 c j χ Ij est le nombre I(α) défini pr J I(α) = c j mes(i j ). j=1 Cette définition un sens cr l proposition précédente ffirme que le nombre J j=1 c j mes(i j ) ne dépend ps de l combinison linéire J j=1 c j χ Ij choisie pour représenter l fonction étgée α. k=1 Pssons ux propriétés de l intégrle des fonctions étgées. Proposition ) L intégrle d une combinison linéire de fonctions étgées est égle à l combinison linéire correspondnte des intégrles de ces fonctions étgées: on ( K ) K I d k α k = d k I(α k ). k=1 b) Pour toute fonction étgée α, on k=1 I(α) = I(α) donc I(Rα) = RI(α) et I(Iα) = II(α). En prticulier, l intégrle d une fonction étgée et réelle est un nombre réel. c) Pour toute fonction étgée α, on I(α) I( α ). En prticulier, l intégrle d une fonction étgée et à vleurs positives ou nulles est un nombre supérieur ou égl à. d) Si les fonctions étgées α et β sont réelles et telles que α β, on l inéglité I(α) I(β). e) Si α est une fonction étgée, I( α ) = lieu si et seulement si on α =.

11 Preuve. ) et b) sont immédits. c) L fonction α peut en effet s écrire sous l forme J j=1 c j χ Ij où les I j sont deux à deux disjoints, ce qui donne α = J j=1 c j χ Ij. Dns ce cs, il vient successivement J J I(α) = c j mes(i j ) c j mes(i j ) = I( α ). j=1 j=1 d) est une conséquence directe de ) et c). e) est immédit. Une dernière propriété de l intégrle des fonctions étgées nécessite quelques nottions. Nottions. Soit n un entier supérieur ou égl à 2 et soient n, n des entiers supérieurs ou égux à 1 tels que n + n = n. Soit enfin ( ) 1 n ν 1 ν n une permuttion. Pour tout x R n, nous posons x = (x ν1,..., x νn ) et x = (x νn +1,..., x νn ); il s git de points de R n et R n respectivement. Enfin, si α est une fonction étgée dns R n (resp. R n ; R n ), nous notons I(α) (resp. I x (α); I x (α)) son intégrle. Théorème (Fubini) Utilisons les nottions précédentes. Pour toute fonction étgée α dns R n, ) pour tout x R n, α(x, x ) est une fonction étgée dns R n, b) I x (α(x, x )) est une fonction étgée dns R n, c) I(α) = I x (I x (α(x, x ))). Preuve. si I j s écrit les ensembles Soit α = J j=1 c j χ Ij une fonction étgée dns R n. Pour tout j J, I j =] (j) 1, b (j) 1 ] ] (j) n, b (j) n ], I j =] (j) ν 1, b (j) ν 1 ] ] (j) ν, n b(j) ν n ] et I j =] (j) ν n +1, b (j) ν n +1 ] ] (j) ν n, b (j) ν n ]

12 sont respectivement des semi-intervlles dns R n et R n tels que χ Ij (x) = χ I j (x ) χ I j (x ), x R n. ) Cel étnt, pour tout x R n, il vient α(x, x ) = J j=1 c j χ I j (x ) χ I j (x ) où c j χ I j (x ) est un nombre complexe pour tout j J. Il s ensuit que, pour tout x R n, α(x, x ) est une fonction étgée dns R n. b) Pour tout x R n, on obtient pr conséquent I x (α(x, x )) = J j=1 c j χ I j (x ) mes(i j) = J j=1 c j mes(i j) χ I j (x ) ce qui montre clirement que l fonction I x (α(x, x )) est étgée dns R n. c) Enfin, l intégrle de I x (α(x, x )) est évidemment égle à I x (I x (α(x, x ))) = J j=1 c j mes(i j) mes(i j ) et, pour conclure, il suffit de remrquer que, pour tout j J, on évidemment mes(i j) mes(i j ) = mes(i j ). Exemple. Prenons n = 2, n = n = 1 et α(x, y) = χ ]1,2] ]1,2] (x, y) χ ]1,2] ]2,4] (x, y) + i χ ]2,3] ]1,2] (x, y) i χ ]2,3] ]2,4] (x, y). D une prt, on bien sûr I(α) = mes(]1, 2] ]1, 2]) mes(]1, 2] ]2, 4]) + i mes(]2, 3] ]1, 2]) i mes(]2, 3] ]2, 4]) = i 2i = 1 i. D utre prt, il vient successivement I x (α(x, y)) = (1 + i) χ ]1,2] (y) (1 + i) χ ]2,4] (y) puis I y (I x (α(x, y))) = 1 + i (1 + i) 2 = 1 i.

13 y (,4) 4 y 1 i 1 i (,2) 2 1 i 1 + i (,1) 1 (1,) (2,) (3,) x Représenttions cotées de α et de I x (α(x, y))

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15 Chpitre 2 Théorèmes fondmentux du clcul intégrl 2.1 Ensembles dénombrbles Définition. Un ensemble est dénombrble s il est en bijection vec une prtie de N. De l sorte, tout ensemble fini est dénombrble. Cependnt il existe des ensembles dénombrbles qui ne sont ps finis, à svoir N lui-même pr exemple. Définition. Pr extension, on dit qu une union j J A j d ensembles est une union dénombrble si J est un ensemble dénombrble (ce qui ne signifie ps que l ensemble j J A j soit dénombrble!). Les propriétés élémentires des ensembles dénombrbles sont isées à étblir et nous suffiront pour l suite. Proposition Toute prtie d un ensemble dénombrble est un ensemble dénombrble. Proposition Toute union dénombrble d ensembles dénombrbles est un ensemble dénombrble. Preuve. Nous { llons étblir } le cs le plus défvorble. Soit (A m = x (m) k : k N ) m N une suite d ensembles dénombrbles deux à deux disjoints. Alors A = m=a m est dénombrble cr on vérifie isément que f : A N; x (m) k 1 (k + m)(k + m + 1) + k 2

16 est une bijection (ppelée numérottion digonle). L bijection inverse f 1 s interprête comme étnt l loi qui, à l N, ssocie l élément x (m) k précédé de l flèches dns le tbleu suivnt. x () x () 1 x () 2 x () 3 x (1) x (1) 1 x (1) 2 x (1) 3 x (2) x (2) 1 x (2) 2 x (2) 3 x (3) x (3) 1 x (3) 2 x (3) Ensembles négligebles Définition. Une prtie N de R n est négligeble si, pour tout ε >, il existe un nombre fini ou une suite de semi-intervlles dns R n dont l union contient N et dont l somme des mesures est inférieure ou égle à ε. Exemple. Tout point de R n est négligeble. (Il s git d un bus de lngge signifint que, pour tout x R n, {x} est négligeble). De fit, pour tout m N, I =]x 1 1/m, x 1 ] ]x n 1/m, x n ] est un semi-intervlle dns R n, qui contient x et tel que mes(i) = m n. Proposition Toute prtie d un ensemble négligeble est négligeble. Proposition ) Toute union finie d ensembles négligebles est négligeble.

17 b) Plus générlement, toute union dénombrble d ensembles négligebles est négligeble. Preuve. ) Soient N 1,..., N J des ensembles négligebles en nombre fini et soit ε >. Pour tout j J, ε/j est un nombre strictement positif: il existe donc un nombre fini ou une suite de semi-intervlles dns R n dont l union contient N j et dont l somme des mesures est inférieure ou égle à ε/j. Comme toute union finie d ensembles dénombrbles est un ensemble dénombrble, tous ces semi-intervlles dns R n sont en nombre fini ou peuvent être présentés comme étnt les éléments d une seule suite. L conclusion est lors immédite: nous vons obtenu un nombre fini ou une suite de semi-intervlles dns R n dont l union contient N 1... N J et dont l somme des mesures est inférieure ou égle à ε. b) L preuve de b) est un rffinement de celle de ). Vu ), il suffit d étblir le cs de l union d une suite (N m ) m N de prties négligebles de R n. Fixons ε >. Pour tout m N, 2 m ε est un nombre strictement positif: il existe donc un nombre fini ou une suite de semi-intervlles dns R n dont l union contient N m et dont l somme des mesures est inférieure ou égle à 2 m ε. On continue lors comme dns l preuve de ), en invoqunt le fit que toute union dénombrble d ensembles dénombrbles est un ensemble dénombrble. Théorème Si ω est un ouvert de R J vec J {1,..., n 1} et si les fonctions f 1,..., f n sont réelles et pprtiennent à C 1 (ω), lors l ensemble { (f 1 (x),..., f n (x)) : x ω} est une prtie négligeble de R n. (Résultt dmis n. 1) Corollire ) Dns R 2, toute droite est négligeble. b) Dns R 3, tout pln est négligeble. c) Plus générlement, dns R n 2, tout hyperpln est négligeble. Dès lors, l frontière d un intervlle est toujours un ensemble négligeble. Preuve. Il suffit d étblir c). Or, dns R n 2, un hyperpln s écrit H = { x R n : 1 x n x n = r} où 1,..., n R ne sont ps tous nuls et où r R. Si, pr exemple, on n, on obtient { H = (x 1,..., x n 1, r } 1x 1... n 1 x n 1 ) : x R n 1, n ce qui suffit.

18 Exercice. Etblir que les ensembles { (x, sin(x)) R 2 : x R } et { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1 } sont des prties négligebles de R 2. Remrque. Il existe des prties de R n qui ne sont ps négligebles. Ainsi, on peut étblir que les semi-intervlles dns R n ne sont jmis négligebles. Pr conséquent, dns R n, une boule n est jmis négligeble et, plus générlement, les prties de R n dont l intérieur n est ps vide ne sont ps négligebles. Nous llons dmettre ce résultt qui est ussi une conséquence directe du résultt dmis n. 5. Théorème Toute prtie de R n d intérieur non vide est non négligeble. (Résultt dmis n. 2) 2.3 Presque prtout sur A R n Définition. Les locutions presque prtout sur A R n et pour presque tout point de A R n sont équivlentes et signifient suf sur une prtie négligeble de A. On écrit pp sur A et même pp tout simplement si A est égl à R n. Ces locutions sont très utiles en théorie de l intégrtion et sont notmment utilisées dns les contextes suivnts. ) Une fonction est définie pp sur A R n si l ensemble des points de A où elle n est ps définie est négligeble. Ainsi 1/x est une fonction définie pp sur R. Proposition Toute opértion lgébrique effectuée sur des fonctions définies pp sur A R n détermine une fonction définie pp sur A pour utnt que l ensemble des zéros pprtennt à A des éventuels dénominteurs soit négligeble. Preuve. De fit, les seuls points de A où l opértion lgébrique n est ps définie sont les points où l une u moins des fonctions n est ps définie ou où u moins un des dénominteurs s nnule. Il suffit lors de rppeler que toute union finie d ensembles négligebles est négligeble. b) Deux fonctions définies pp sur A R n sont égles pp sur A si l ensemble des points de A où elles ne sont ps égles est négligeble. Comme toute union finie d ensembles négligebles est négligeble, des fonctions f et g définies pp sur A R n sont donc égles pp sur A si et seulement si est négligeble. { x A : f et g sont définis en x et f(x) g(x)}

19 Proposition Soit Ω un ouvert non vide de R n. égux pp sur Ω, lors on f = g sur Ω. Si f, g C (Ω) sont Preuve. Soit x un point de Ω. Pour tout m N suffismment grnd, l boule { x : x x 1/m} est incluse dns Ω lors qu ucune boule de R n n est négligeble. Il existe donc une suite (x m ) m N dns Ω convergent vers x telle que f(x m ) = g(x m ) pour tout m N. On tire de suite f(x ) = g(x ), vu l continuité de f et de g sur Ω. Remrque. On sit que l frontière de tout intervlle est négligeble. De là, si I est un semi-intervlle dns R n, les fonctions χ I, χ I et χ I sont égles pp sur R n. 2.4 Convergences ponctuelle et pp Définitions. Soient A une prtie de R n, f une fonction définie sur A et (f m ) m N une suite de fonctions définies sur A. Alors, l suite (f m ) m N converge ponctuellement sur A vers f si, pour tout x A, l suite numérique (f m (x)) m N converge vers f(x). On dit lors que f est l limite ponctuelle de l suite (f m ) m N sur A et on écrit f m f sur A ou f m f. A Vu le critère de Cuchy, une telle fonction f existe si et seulement si, pour tout x A, l suite numérique (f m (x)) m N est de Cuchy cr lors l fonction f est l loi qui, à tout x A, ssocie l limite de l suite (f m (x)) m N. Définitions. Si A est une prtie de R n, si f est une fonction définie pp sur A et si (f m ) m N est une suite de fonctions définies pp sur A, lors l suite (f m ) m N converge pp sur A vers f s il existe une prtie négligeble N de A telle que, pour tout x A \ N, les fonctions f m et f soient définies en x et telles que f m (x) f(x). On dit ussi que f est l limite pp sur A de l suite (f m ) m N. On écrit f m f pp sur A. Définition. Une fonction définie pp sur R n est mesurble si elle est l limite pp sur R n d une suite de fonctions étgées dns R n. En fit, toutes les fonctions qu on rencontre dns les pplictions de l nlyse mthémtique sont mesurbles. Aussi, fin d lléger fortement cette introduction u clcul intégrl tout en ne diminunt ps son chmp d ppliction, nous llons dmettre l hypothèse de trvil suivnte. Hypothèse de trvil. Nous dmettons que toutes les fonctions définies pp sur R n sont mesurbles.

20 Définition. mesurble. Une prtie de R n est mesurble si s fonction crctéristique est Il s ensuit que nous dmettons que toute prtie de R n est mesurble. 2.5 Fonctions intégrbles et leur intégrle Remrque. Soit f une fonction mesurble sur R n. Il existe donc, pr définition, une suite (α m ) m N de fonctions étgées dns R n qui converge pp vers f. On pourrit lors être tenté de définir l intégrle de f comme étnt l limite éventuelle de l suite (I(α m )) m N. Cette position très tentnte soulève mlheureusement des objections. ) Il existe effectivement des suites (α m ) m N de fonctions étgées dns R n, qui convergent pp sur R n et telles que l suite (I(α m )) m N ne converge ps vers une limite finie. Pr exemple, l suite (α m = χ ] m,m] ) m N converge ponctuellement sur R vers χ R et est bien sûr telle que I(α m ) = 2m +. On pourrit isément lever cette objection en définissnt comme intégrbles les fonctions mesurbles f pour lesquelles il existe une suite (α m ) m N de fonctions étgées qui converge pp vers f et telle que l suite (I(α m )) m N converge, en définissnt l intégrle de f comme étnt l limite de cette suite I(α m ). Mis lors, on rencontre l objection suivnte. b) Il existe ussi des suites (α m ) m N de fonctions étgées dns R n qui convergent ponctuellement sur R n vers et telles que l suite (I(α m )) m N converge vers 1. Dns R, il en est insi pour les suites (α m ) m N où α m = m χ ],1/m], 1 m χ ],m] ou χ ]m,m+1]. Cette objection est beucoup plus grve: si l suite (β m ) m N de fonctions étgées converge pp vers f et si l suite (I(β m )) m N converge vers c, on vérifie de suite que l suite (c α m + β m ) m N de fonctions étgées converge ussi pp vers f et que l suite (I(c α m + β m )) m N converge ussi, mis cette fois vers c + c. Cel entrînerit que l intégrle de f ne serit ps un nombre lié à f uniquement! On est donc contrint d imposer des restrictions supplémentires. Définition. Une suite (α m ) m N de fonctions étgées dns R n est de Cuchy si, pour tout ε >, il existe M > tel que p, q M I( α p α q ) ε. Voici deux propriétés fondmentles des suites de Cuchy de fonctions étgées. Proposition Si (α m ) m N est une suite de Cuchy de fonctions étgées dns R n, l suite numérique (I(α m )) m N converge.

21 Preuve. Cel résulte ussitôt de l mjortion I(α) I(β) = I(α β) I( α β ), vlble pour toutes fonctions étgées α, β dns R n. Proposition Si l suite de fonctions étgées (α m ) m N est de Cuchy et converge pp vers, l suite numérique (I(α m )) m N converge vers. (Résultt dmis n. 3) Cel étnt, on peut introduire les définitions suivntes. Définitions. Une fonction f définie pp sur R n est intégrble s il existe une suite (α m ) m N de fonctions étgées dns R n, qui est de Cuchy et qui converge pp vers f. De plus, l intégrle de f est l limite de l suite (I(α m )) m N et est notée f(x) dx ou R n f dx. R n En effet, nous svons d une prt que l suite (I(α m )) m N converge. D utre prt, si (β m ) m N est églement une suite de fonctions étgées dns R n, qui est de Cuchy et qui converge pp vers f, lors les limites des suites (I(α m )) m N et (I(β m )) m N sont égles puisque (α m β m ) m N est une suite de fonctions étgées dns R n, qui converge pp vers et qui est de Cuchy, vu l inéglité immédite vlble pour tous p, q N. I( (α p β p ) (α q β q ) ) I( α p α q ) + I( β p β q ), Remrques. ) Dns l nottion R f(x) dx, x joue un rôle purement fictif: il est n ppelé vrible d intégrtion et peut en fit être remplcé pr tout utre symbole. b) Si deux fonctions sont définies et égles pp sur R n, elles sont simultnément intégrbles et de même intégrle. Exemple. Toute fonction α étgée dns R n est intégrble et R n α(x) dx = I(α). Il suffit de remrquer que l suite (α m = α) m N de fonctions étgées dns R n converge pp vers α et est de Cuchy. A prt cet exemple fondmentl, il est plutôt mlisé de recourir à l définition pour contrôler si une fonction mesurble sur R n est intégrble. On recourt plutôt à des critères d intégrbilité dont voici le plus importnt.

22 Critère Toute fonction mesurble et de module mjoré pp pr une fonction intégrble est intégrble. (Résultt dmis n. 4) Corollire ) Toute fonction mesurble et de module intégrble est intégrble. b) Toute fonction f définie sur R n, continue sur un compct K de R n et identiquement nulle sur R n \ K est intégrble. Très souvent on énonce ce résultt sous l forme imgée suivnte: toute fonction continue sur un compct y est intégrble. Preuve. ) est immédit. b) De fit, l fonction f est mesurble sur R n et bornée sur K. De plus, il existe un semi-intervlle I dns R n contennt K. Au totl, il existe une constnte C > telle que f Cχ I, ce qui suffit. Nottion. L ensemble des fonctions intégrbles sur R n est noté L 1 (R n ). Définitions. Une prtie A de R n est intégrble si s fonction crctéristique est intégrble et s mesure, notée mes(a), est lors égle à l intégrle de s fonction crctéristique. On donc pour toute prtie intégrble A de R n. mes(a) = χ A (x) dx R n Exemples. ) Tout semi-intervlle dns R n est intégrble et s mesure coïncide vec l mesure déjà introduite. b) Plus générlement, tout intervlle borné I est intégrble et on mes(i) = mes(i ) = mes(i ). c) Tout ouvert borné et tout compct de R n sont intégrbles.

23 2.6 Propriétés fondmentles Théorème ) Toute combinison linéire de fonctions intégrbles est intégrble et son intégrle est égle à l combinison linéire correspondnte des intégrles de ces fonctions. Anlytiquement: si on J N ; f 1,..., f J L 1 (R n ) et c 1,..., c J C, lors J j=1 c j f j est une fonction intégrble sur R n telle que R n J c j f j dx = j=1 J c j f j dx. R n j=1 b) Pour toute fonction intégrble f sur R n, l fonction f est intégrble sur R n et f dx = f dx. R n R n En prticulier, i) l intégrle d une fonction intégrble et réelle pp sur R n est un nombre réel. ii) si f est une fonction intégrble sur R n, les fonctions Rf et If sont intégrbles sur R n et { } { } R R f dx = f dx. I R n R I n c) Si f est une fonction intégrble sur R n, lors f est une fonction intégrble sur R n telle que f dx f dx. R R n n En prticulier, i) l intégrle d une fonction intégrble et positive pp sur R n est un nombre supérieur ou égl à. ii) si f est une fonction intégrble et réelle pp sur R n, les fonctions f + et f sont intégrbles sur R n. iii) pour tout ensemble intégrble A, on mes(a). d) Si f est une fonction intégrble sur R n, l églité R n f dx = lieu si et seulement si f est égl à pp sur R n. Preuve. ) Si, pour j J, (α j,m ) m N est une suite de fonctions étgées dns R n, qui est de Cuchy et qui converge pp vers f j, on vérifie de suite que

24 ( J j=1 c jα j,m ) m N est une suite de fonctions étgées dns R n, qui est de Cuchy et qui converge pp vers J j=1 c jf j. Pour conclure, il suffit lors de remrquer qu on successivement ( J J ) c j f j dx = lim I c j α j,m m R n j=1 = J j=1 c j j=1 lim I(α j,m) = m J c j f j dx. R n b) Si (α m ) m N est une suite de fonctions étgées dns R n, qui est de Cuchy et qui converge pp vers f, on vérifie de suite que (α m ) m N est une suite de fonctions étgées dns R n, qui est de Cuchy et qui converge pp vers f. Pour conclure, il suffit lors de remrquer qu on successivement j=1 R n f dx = lim m I(α m) = lim m I(α m) = R n f dx. Les cs prticuliers sont immédits. c) Si (α m ) m N est une suite de fonctions étgées dns R n, qui est de Cuchy et qui converge pp vers f, on vérifie de suite que ( α m ) m N est une suite de fonctions étgées dns R n, qui est de Cuchy et qui converge pp vers f. Pour conclure, il suffit lors de remrquer qu on successivement f dx = limm I(α m ) lim I( α m ) = f dx. R n m R n Les cs prticuliers sont immédits. d) (Résultt dmis n. 5) Remrques. ) En générl, le produit de deux fonctions intégrbles sur R n n est ps intégrble sur R n nous en verrons des exemples dns l suite. b) On ne sit ps étblir que si f est une fonction définie pp sur R n et de module intégrble, lors f est intégrble. 2.7 Théorèmes fondmentux de l théorie de l intégrtion L remrque du début du prgrphe 2.5 étblit clirement que ) si une suite (f m ) m N de fonctions intégrbles converge pp vers f, lors f n est

25 ps nécessirement intégrble. b) si une suite (f m ) m N de fonctions intégrbles converge pp vers une fonction intégrble f, lors on peut ne ps voir f m dx f dx. R n R n En effet, c est le cs même si les f m sont des fonctions étgées. Les deux théorèmes suivnts, dus respectivement à B. Levi et H. Lebesgue, donnent des cs dns lesquels cette églité lieu. Théorème (convergence monotone) Si l suite (f m ) m N de fonctions intégrbles et réelles pp est croissnte pp (resp. décroissnte pp) et si l suite numérique ( f R n m dx) m N est mjorée (resp. minorée), lors ) l suite (f m ) m N converge pp vers f (critère de convergence), b) cette limite f est une fonction intégrble (critère d intégrbilité), c) on f R n m f dx donc, en prticulier, f R n m dx f dx. (critère R n de pssge à l limite sous le signe d intégrtion). (Résultt dmis n. 6) Théorème (convergence mjorée) Si l suite (f m ) m N de fonctions mesurbles converge pp vers f et s il existe une fonction intégrble F telle que f m F pp pour tout m N, lors ) f est intégrble (critère d intégrbilité), b) on f R n m f dx donc, en prticulier, f R n m dx f dx. (critère R n de pssge à l limite sous le signe d intégrtion). (Résultt dmis n. 7) Dns les deux énoncés qui suivent, nous llons utiliser les nottions introduites vnt le théorème de Fubini pour les fonctions étgées, en remplçnt bien sûr I(α), I x (α) et I x (α) respectivement pr α dx, α dx et α dx. R n R n R n Théorème (Fubini) Pour tout f L 1 (R n ), ) pour presque tout x R n, f(x, x ) est une fonction intégrble sur R n, b) f R n dx est une fonction intégrble sur R n, c) on ( ) f dx = R n R n f dx R n dx. (Résultt dmis n. 8)

26 L hypothèse f L 1 (R n ) du théorème de Fubini est générlement vérifiée u moyen du résultt suivnt. Théorème (Tonelli) Si l fonction f est mesurble sur R n, si f est une fonction intégrble sur R n pour presque tout x R n et si R n f dx est une fonction intégrble sur R n, lors f est une fonction intégrble sur R n. (Résultt dmis n. 9) Corollire Si f est une fonction intégrble sur R n et si f est une fonction intégrble sur R n, lors l fonction f définie pp sur R n pr f(x) = f (x ) f (x ) est intégrble sur R n. 2.8 Fonctions intégrbles sur un ensemble Définitions. En clcul intégrl, on rencontre très souvent l sitution suivnte. On une fonction f définie pp sur une prtie mesurble E de R n et un ensemble mesurble A de R n, inclus dns E. On note lors fχ A l fonction définie pp sur R n pr { f(x) si x A, (fχ A )(x) = si x A. Cel étnt, f est une fonction intégrble sur A si fχ A est intégrble sur R n et on pose f dx = A fχ A dx. R n L ensemble des fonctions intégrbles sur A est noté L 1 (A). Le nombre f dx est ppelé intégrle de f sur A. De plus, dns cette nottion, A ) f porte le nom d intégrnd, b) A porte le nom d ensemble d intégrtion, c) x porte le nom de vrible d intégrtion et joue un rôle fictif; il peut être remplcé pr tout utre symbole pour utnt qu on évite toute confusion. Prfois on met en évidence le fit qu il s git d une intégrle sur R n en écrivnt... f(x 1,..., x n ) dx 1... dx n A u lieu de f dx et on dit que l intégrle est n uple (simple si n = 1; double si A n = 2; triple si n = 3;... ). De plus, si A est l ensemble des points de R n qui vérifient l propriété P, on écrit prfois f dx ou... f dx 1... dx n P P

27 u lieu de A f dx. L ensemble L 1 (A) pprît donc comme étnt une prtie de L 1 (R n ). Pour connître les propriétés de ses éléments, il suffit de recourir à celles des éléments de L 1 (R n ) en tennt compte du fit que les éléments de L 1 (A) sont des fonctions nulles pp sur R n \ A. On obtient insi de suite les résultts suivnts. Théorème Soit A une prtie mesurble de R n. ) Toute combinison linéire J j=1 c jf j de fonctions intégrbles sur A est intégrble sur A et J J c j f j dx = c j f j dx. A j=1 b) Si f est une fonction intégrble sur A, lors f est intégrble sur A et A j=1 f dx = A A f dx. c) Si f est une fonction intégrble sur A, lors f est intégrble sur A et f dx f dx. A Les théorèmes de l convergence monotone et de l convergence mjorée prennent bien sûr l forme suivnte. Théorème Si (f m ) m N est une suite de fonctions intégrbles et réelles pp sur A, si l suite (f m ) m N est croissnte pp (resp. décroissnte pp) sur A et si l suite numérique ( f A m dx) m N est mjorée (resp. minorée), lors ) l suite (f m ) m N converge pp sur A vers f, b) cette limite f est une fonction intégrble sur A, c) A f m f dx donc, en prticulier, A f m dx A f dx. Théorème Si (f m ) m N est une suite de fonctions mesurbles sur A, si l suite (f m ) m N converge pp sur A vers f et s il existe une fonction F intégrble sur A telle que f m F pp sur A pour tout m N, lors ) f est intégrble sur A, b) A f m f dx donc, en prticulier, A f m dx A f dx. Nous verrons u chpitre 4 comment s interprètent les théorèmes de Fubini et de Tonelli dns ce contexte. A

28 Proposition Soit A une prtie mesurble de R n. Si {A 1,..., A J } est une prtition finie de A en ensembles mesurbles et si f est une fonction définie pp sur A et intégrble sur chcun des A 1,..., A J, lors f est intégrble sur A et J f dx = f dx. A A j j=1 Preuve. Comme on fχ A = J j=1 fχ A j pp sur A; il suffit d ppliquer l propriété reltive ux combinisons linéires de fonctions intégrbles. 2.9 Intégrtion sur un intervlle de R Le cs prticulier des fonctions intégrbles sur un intervlle de R mène quelques considértions spéciles. Soit ], b[ un intervlle ouvert borné de R (on donc, b R vec < b). Si f est une fonction définie pp sur ], b[, nous svons bien que f est ussi défini pp sur [, b], ], b] et [, b[. De plus, on vérifie de suite que f est intégrble sur ], b[ si et seulement s il est intégrble sur l un quelconque des intervlles [, b], ], b] ou [, b[ et, pr conséquent, sur tous, et que les intégrles de f sur ces différents intervlles sont égles. Dns ces conditions, il vient L 1 (], b[) = L 1 ([, b]) = L 1 (], b]) = L 1 ([, b[) et si f est une fonction intégrble sur ces intervlles, on dopte l nottion unique b f(x) dx pour désigner son intégrle sur ces intervlles. Ces considértions s étendent imméditement u cs des intervlles non bornés de R et on trouver donc des nottions telles que L 1 (], + [) et L 1 (], b[) et L 1 (], + [) = L 1 (R) et + b + f(x) dx, f(x) dx, f(x) dx = f(x) dx. R

29 Convention. Pour des commodités d écriture qui ppritront clirement plus trd, nous llons dopter l convention suivnte. Pour R ou = et pour b R ou b = + tels que < b si et b sont deux nombres réels, nous convenons de poser si f est intégrble sur ], b[. b f(x) dx = b f(x) dx Mentionnons cependnt déjà les résultts suivnts. Proposition Si 1,..., J sont des nombres réels ou un des symboles ou + vec J N et si, pour j = 1,..., J 1, l fonction f est intégrble sur l intervlle d extrémités j et j+1, lors f est intégrble sur l intervlle d extrémités 1 et J et J J 1 j+1 f dx = f dx. 1 j=1 Preuve. Il suffit bien sûr de le prouver pour J = 3. Or, si on désigne pr I j,k le semi-intervlle dont j et k sont les extrémités, l convention que nous venons d énoncer permet d étblir que k j g dx = sign( k j ) g dx, I j,k g L 1 (I j,k ). Il suffit lors pour conclure de noter que sign( 3 1 ) fχ I1,3 = sign( 2 1 ) fχ I1,2 + sign( 3 2 ) fχ I2, Interpréttion de Cuchy-Riemnn Le résultt suivnt donne l interpréttion de Cuchy-Riemnn de l intégrle. Théorème Soit A une prtie intégrble de R n et soit, pour tout m N, { A m,k : k K(m)} une prtition dénombrble (cel entrîne K(m) N ou K(m) = ) de A en prties mesurbles telles que dim(a m,k ) ε m pour tous m, k vec ε m. De plus, pour tous m, k insi retenus, soit x m,k un point de A m,k (ou même de A (A m,k ) ). Cel étnt, toute fonction f continue et bornée sur A est intégrble sur A et A K(m) f dx = lim f(x m,k ) mes(a m,k ). m k=1 j

30 Preuve. L fonction f étnt continue sur A, fχ A est bien sûr mesurble. De plus, l fonction f étnt bornée sur A, il existe C > tel que f(x) C pour tout x A. Au totl, on fχ A Cχ A et insi f est intégrble sur A. Cel étnt, étblissons tout d bord que le théorème de l convergence mjorée s pplique à l suite f m (x) = K(m) k=1 f(x m,k ) χ Am,k (x) m N. On vérifie de suite que ces f m sont des fonctions mesurbles (c est-à-dire que ces f m sont des fonctions définies pp sur R n, vu notre position vis-à-vis de l mesurbilité). De plus, l suite f m converge vers f sur A: pour tout x A et tout m, il existe un entier k K(m) et un seul tel que x A m,k, ce qui nous permet de l écrire k(m, x). Au totl, il vient f m (x) = f(x m,k(m,x) ), x A, vec x xm,k(m,x) dim(am,k(m,x) ) ε m. Cel suffit, vu l continuité de f sur A. Enfin, Cχ A est une fonction intégrble sur A telle que f m Cχ A pp sur A. Vu le théorème de l convergence mjorée, nous vons donc f m dx f dx A et tout revient à clculer f A m dx. Si K(m) est un entier, on remrque que f m est une combinison linéire de fonctions intégrbles donc que A f m dx = K(m) k=1 A f(x m,k ) mes(a m,k ). Si K(m) est égl à, étblissons que le théorème de l convergence mjorée s pplique à l suite ( ) K g K (x) = f(x m,k ) χ Am,k (x) k=1 K N. Ces g K sont bien sûr des fonctions mesurbles. On vérifie de suite que l suite g K converge pp sur A vers f m. Enfin on évidemment g K Cχ A pp sur A. Dès lors, il vient K f(x m,k ) mes(a m,k ) = g K dx f m dx, k=1 A A

31 donc D où l conclusion. A f m dx = f(x m,k ) mes(a m,k ). k=1 Remrque. Il convient de remrquer qu une preuve nlogue étblit ussitôt le résultt suivnt. Soit f une fonction positive (resp. négtive), continue et intégrble sur l prtie mesurble et bornée A de R n. Pour tout m N, soit { A m,k : k K(m)} une prtition dénombrble de A en prties mesurbles telles que dim(a m,k ) ε m pour tous m, k vec ε m et soit r m,k l borne inférieure (resp. supérieure) de { f(x) : x A m,k }. Alors, on K(m) f dx = lim r m,k mes(a m,k ). m A k=1 De plus, si on convient de poser r m,k mes(a m,k ) = si r m,k est égl à, on peut même supprimer l hypothèse que A soit borné dns ce dernier énoncé. Exemple. Le cs prticulier d une fonction continue sur un intervlle compct de R est fort importnt en prtique et montre clirement comment on peut ppliquer ce résultt. Soit [, b] un intervlle compct de R. Pour tout m N, prtitionnons le semiintervlle ], b] en m semi-intervlles de mêmes mesures, égles pr conséquent à (b )/m; cel se fit tout simplement u moyen des semi-intervlles ] m,k, m,k+1 ] vec k = 1,..., m, où on pose m,k = + (k 1)(b )/m, k {1,..., m + 1}. Dns chque intervlle [ m,k, m,k+1 ], choisissons un point x m,k (le plus souvent, on prend x m,k = m,k, m,k+1 ou ( m,k + m,k+1 )/2). L interpréttion de Cuchy- Riemnn ffirme lors que, pour tout f C ([, b]), b m m f(x m,k ) b k=1 f(x) dx. On pproche b f dx pr des sommes d ires de rectngles qui ont tous l même lrgeur et de huteur déterminée pr f.

32 f(x) b x

33 Chpitre 3 Intégrtion sur un intervlle de R 3.1 Intégrles fléchées Proposition Pour tout f L 1 (], b[), on b β f dx = lim f dx = lim α + β b α α + b α β f dx = lim f dx. β b Preuve. Il suffit de remrquer que, pour toutes suites ( m ) m N et (b m ) m N de ], b[ qui convergent respectivement vers + et b, le théorème de l convergence mjorée s pplique de l mnière suivnte à l suite (f m = fχ ]m,bm[) m N, définie pour m suffismment grnd. Les fonctions f m sont mesurbles. L suite (f m ) m N converge évidemment pp sur ], b[ vers f et on bien sûr f m f pp sur A. Dès lors, il vient bm m f dx = b f m dx b f dx. Nottions. Nous verrons plus loin que l réciproque de cette propriété est fusse. En fit, pour tout intervlle ouvert ], b[ de R, il existe une fonction f intégrble sur ]α, β[ ]α, b[ ], β[ pour tous α, β tels que < α < β < b et telle que β lim f dx α + β b α lim α + b α f dx β lim f dx β b

34 existe et soit fini sns que f soit intégrble sur ], b[. Dns ce cs, cette limite est notée b f dx b f dx b f dx et on ne peut ps lui ppliquer les résultts du clcul intégrl sns justifiction supplémentire. En fit, les intégrles fléchées ne peuvent être considérées que comme étnt des limites et, pour les utiliser, il fut recourir systémtiquement à leur définition. 3.2 Théorème d existence d une primitive L théorie de l intégrtion permet de donner une démonstrtion simple du résultt suivnt, que nous vions dmis uprvnt. Théorème (existence d une primitive) Toute fonction continue sur un intervlle ouvert de R y est primitivble. Plus précisément: si f est une fonction continue sur l intervlle ], b[ de R et si x est un point de ], b[, lors x x f(t) dt est une primitive de f sur ], b[. Preuve. Pour tout x ], b[\{x }, l intervlle fermé d extrémités x et x est compct et f y est continu, donc intégrble. L intégrle proposée pr conséquent un sens pour tout x ], b[\{x } et vut bien sûr en x = x. Pour conclure, il suffit lors de prouver que ( 1 x+h x ) lim f(t) dt f(t) dt = f(x), x ], b[. h, h R h x x Or, pour tout x ], b[ et tout h R \ {} suffismment petit, on ( 1 x+h x ) f(t) dt f(t) dt f(x) = 1 h x x h x+h x (f(t) f(x)) dt. Cel étnt, pour tout x ], b[ et tout ε >, l continuité de f sur ], b[ procure η > tel que x y η f(x) f(y) ε. Pr conséquent, il vient h η 1 h x+h x (f(t) f(x)) dt ε

35 comme on le vérifie de suite en considérnt séprément les cs h > et h < et en ppliqunt les formules b b b b f dx f dx et g dx h dx vlbles pour tous f, g, h L 1 (], b[) tels que g h pp sur ], b[. Ce résultt des conséquences très importntes pour le clcul intégrl. Il permet notmment d étblir le résultt suivnt, que nous développons u prgrphe 3.4 Théorème Si f est une fonction continue et intégrble sur l intervlle ouvert ], b[ de R, lors toute primitive F de f sur ], b[ dmet des limites finies en + et en b et b f(x) dx = lim F (x) lim F (x). x b x + Preuve. Soit x un point de ], b[. Il existe lors une constnte C telle que F (x) = C + x x f(t) dt, x ], b[. Dès lors, comme f est intégrble sur ], x [ et sur ]x, b[, l Proposition donne de suite et D où l conclusion. lim F (α) = C lim α + α + x α f(x) dx = C x f(x) dx β b lim F (β) = C + lim f(x) dx = C + β b β b x f(x) dx. x Définition. On réfère à ce résultt en prlnt du clcul de l intégrle d une fonction continue et intégrble sur ], b[ pr l méthode de l vrition d une primitive. Remrque. vérifier que Pour ppliquer cette méthode de clcul d une intégrle, nous devons ) f est continu sur ], b[. Nous vons déjà de nombreux critères permettnt de vérifier cette condition. b) f est intégrble sur ], b[. L vérifiction de cette condition fit l objet du prgrphe suivnt.

36 3.3 Critères d intégrbilité Voici le résultt qui conditionne l recherche de l intégrbilité d une fonction continue sur un intervlle de R. Proposition Si f est une fonction continue sur ], b[ R et s il existe α, β R tels que < α < β < b et que fχ ],α[ et fχ ]β,b[ soient intégrbles, lors f est intégrble sur ], b[. Preuve. C est immédit cr on fχ ],b[ = fχ ],α[ + fχ [α,β] + fχ ]β,b[ vec fχ [α,β] intégrble cr il s git d une fonction continue sur un compct. Définitions. Une fonction f définie pp sur ], b[ R est intégrble en + s il existe α ], b[ tel que f soit intégrble sur ], α[. De même, f est intégrble en b s il existe β ], b[ tel que f soit intégrble sur ]β, b[. De l sorte, l intégrbilité de f C (], b[) sur ], b[ est rmenée à son intégrbilité en + et en b. Critère (théorique) Si f est une fonction mesurble, réelle et de signe constnt sur ], b[ et si on f L 1 (]α, b[), α ], b[, f L 1 (], β[), β ], b[, lors f est intégrble sur ], b[ si et seulement s il existe une suite ( m ) m N dns ], b[, m, (b m ) m N dns ], b[, b m b, telle que l suite d élément générl b converge vers une limite finie. m f dx bm f dx Preuve. Etblissons le résultt reltif à l intégrbilité en b ; celle en + s étblit de même. L nécessité de l condition résulte ussitôt de l Proposition L suffisnce de l condition résulte d une ppliction du théorème de l convergence monotone à l suite (f m = f χ ],bm[) m N. Pour tout m, f m est une fonction intégrble sur ], b[. De plus, l suite (f m ) m N est croissnte pp vers f χ ],b[ si f est positif et décroissnte pp vers f χ ],b[ si f est négtif. Enfin, l suite ( f R m dx) m N converge donc est bornée. Vu le théorème de l convergence monotone, l limite f χ ],b[ de l suite (f m ) m N est intégrble sur R, ce qui suffit.

37 Ce critère permet d étblir l intégrbilité de certines fonctions usuelles, considérées comme étnt des exemples fondmentux de fonctions intégrbles. Exemple. Si r et θ sont des nombres réels, les fonctions 1 (x r) θ et 1 (r x) θ sont respectivement intégrbles en r + et en r si et seulement si θ < 1. De fit, l fonction (x r) θ (resp. (r x) θ ) est positive et continue sur ]r, r+1] (resp. [r 1, r[) et une de ses primitives sur l intervlle ouvert correspondnt, à svoir (x r) 1 θ 1 θ (resp. (r x)1 θ ) si θ 1 1 θ et ln(x r) (resp. ln(r x)) si θ = 1 dmet une limite finie en r + (resp. en r ) si et seulement si θ < 1. Exemple. Si Θ est un nombre réel, les fonctions 1 x et 1 Θ x Θ sont respectivement intégrbles en + et en si et seulement si Θ > 1. De fit, l fonction x Θ (resp. x Θ ) est positive et continue sur [1, + [ (resp. ], 1]) et une de ses primitives sur l intervlle ouvert correspondnt, à svoir x 1 Θ 1 Θ (resp. x 1 Θ 1 Θ ) si Θ 1 et ln(x) (resp. ln( x ) si Θ = 1 dmet une limite finie en + (resp. en ) si et seulement si Θ > 1. Critère (prtique) Une fonction f C (], b[) est intégrble en + intégrble en b si l une des conditions suivntes est rélisée:

38 1) pprtient à R et f une limite finie en +, 2) pprtient à R et il existe θ < 1 tel que lim x +(x )θ f(x) existe et est fini, 3) on = et il existe Θ > 1 tel que lim x x Θ f(x) existe et est fini, 4) il existe α ], b[ tel que f grde un signe constnt sur ], α[ et qu une primitive de f une limite finie en +. 1 ) b pprtient à R et f une limite finie en b, 2 ) b pprtient à R et il existe θ < 1 tel que lim x b (b x)θ f(x) existe et est fini, 3 ) on b = + et il existe Θ > 1 tel que lim x + x Θ f(x) existe et est fini, 4 ) il existe β ], b[ tel que f grde un signe constnt sur ]β, b[ et qu une primitive de f une limite finie en b. Preuve. Considérons le cs de l intégrbilité en b ; le cs de l intégrbilité en + s étblit de même. 1 ) Il existe lors β ], b[ et C > tels que l fonction mesurble f χ ]β,b[ it son module mjoré pp pr l fonction intégrble C χ ]β,b[. 2 ) Il existe lors β ], b[ et C > tels que l fonction mesurble f χ ]β,b[ it son module mjoré pp pr l fonction intégrble C(b x) θ χ ]β,b[. 3 ) Il existe lors β ], + [ et C > tels que l fonction mesurble f χ ]β,+ [ it son module mjoré pp pr C x Θ χ ]β,+ [. 4 ) est une conséquence directe du critère théorique d intégrbilité étbli u début de ce prgrphe. Exemples. ) L fonction ln(1+x) est intégrble sur ], 1[. De fit, elle dmet un prolongement continu sur le compct [, 1]. b) L fonction ln(x) est intégrble sur ], 1[. De fit, elle est continue sur ], 1] et on lim x + x ln(x) =. c) Si, b R sont tels que < b, l fonction (x ) 1/2 (b x) 1/2 est intégrble sur ], b[. De fit, cette fonction est continue sur ], b[ et (x ) 1/2 (b x) 1/2 lim = lim = x + (x )(b x) x b (x )(b x) 1 b. d) L fonction ln(x)/(x 2 + 1) est intégrble sur ], + [. Cette fonction est continue sur ], + [. De plus, d une prt, on ln(x) lim x1/2 x + x =

39 cr toute puissnce positive de x l emporte sur ln(x) en + : elle est donc intégrble en +. D utre prt, on ussi ln(x) lim x3/2 x + x = lim x + x 2 x lim ln(x) = x + x cr toute puissnce négtive de x l emporte sur ln(x) en + : elle est donc ussi intégrble en +. e) L fonction 1/(x ln 2 (x)) est intégrble en +. De fit, elle est à vleurs positives et continue sur [2, + [ et une de ses primitives, à svoir 1/(ln(x)), dmet comme limite en +. Remrque. Si l fonction f n est ps continue sur l intervlle ], b[, on ne peut évidemment ps ppliquer les résultts précédents sns courir de grnds risques. Ainsi l fonction x 2 est bien sûr continue et positive sur [ 1, [ ], 1] et est pr conséquent intégrble en ( 1) + et en 1. De plus, 1/x est une primitive de x 2 sur l ensemble ] 1, [ ], 1[. Cependnt on ne peut en conclure que 1 1 dx x 2 = 1 x 1 1 = 2 ( ) cr 1/x n est ps continu sur ] 1, 1[. En fit, x 2 n est intégrble ni en + ni en. De toute fçon, le résultt ( ) est bsurde cr l intégrle d une fonction intégrble et positive est un nombre positif. Cependnt il peut se fire qu il existe des nombres réels 1,..., J 1 en nombre fini vérifint < 1 <... < J 1 < b et tels que l fonction f pprtienne à C (], 1 [... ] J 1, b[). Cel étnt, si f est intégrble sur chcun de ces intervlles ], 1 [,..., ] J 1, b[ (et ici on peut ppliquer les critères vus), on obtient que f χ ],b[ est égl pp à f χ ],1 [ f χ ]J 1,b[ donc est intégrble sur ], b[. Exemple. L fonction ln(x)/(x 2 1) est intégrble sur ], + [. Cette fonction est continue sur ], 1[ ]1, + [. Elle est intégrble en + cr on lim x + x1/2 ln(x) x 2 1 = lim x + x ln(x) =. Elle est intégrble en 1 et en 1 + cr elle dmet une limite en 1 comme on le vérifie de suite en recournt u théorème de l Hospitl. Enfin elle est intégrble en + cr lim x + x3/2 ln(x) x 2 1 = lim x + x 2 x 2 1 lim ln(x) =. x + x

40 Remrque. Bien sûr, une fonction f C (], b[) n est ps intégrble sur ], b[ si elle ne vérifie ps une propriété que son intégrbilité sur ], b[ entrînerit. Ainsi ) f C (], b[) n est ps intégrble sur ], b[ s il existe une primitive de f sur ], b[ qui n dmet ps une limite finie en + ou en b. Pr exemple, 1/(x ln(x)) n est ps intégrble sur ]2, + [ cr cette fonction continue sur [2, + [ une de ses primitives sur ]2, + [, à svoir ln(ln(x)), qui n dmet ps de limite finie en +. b) f n est ps intégrble sur ], b[ si f mjore pp sur ], b[ une fonction positive et non intégrble sur ], b[. Pr exemple, f C (], b[) n est ps intégrble sur ], b[ dns les cs suivnts: i) R et lim x +(x )f(x) existe et diffère de (mis peut vloir ). ii) b R et lim x b (b x)f(x) existe et diffère de (mis peut vloir ). iii) = et lim x x f(x) existe et diffère de (mis peut vloir ). iv) b = + et lim x + xf(x) existe et diffère de (mis peut vloir ). On en déduit de suite que 1/ sin(x) n est ps intégrble sur ], π[. Corollire Si f est intégrble en + (resp. ) et dmet une limite en + (resp. ), cette limite est égle à. Preuve. que Si cette limite est égle à c C \ {} ou à, il existe r, N > tels f(x) r χ ]N,+ [ (resp. r χ ], N[ ) lors que cette fonction r χ ]N,+ [ (resp. r χ ], N[ ) n est ps intégrble. 3.4 Clcul des intégrles sur un intervlle de R Dns ce prgrphe, nous étudions les conséquences du Théorème vis-à-vis du clcul des intégrles sur un intervlle de R. Rppelons son énoncé. Théorème Si f est une fonction continue et intégrble sur l intervlle ouvert ], b[ de R, lors toute primitive F de f sur ], b[ dmet des limites finies en + et en b et b f(x) dx = lim F (x) lim F (x). x b x + En soi, ce résultt constitue un puissnt moyen de clcul d intégrles. Exercice. Clculer lim m m (1 + 1/m)... (1 + m/m).

41 Suggestion. On évidemment ln( m (1 + 1/m)... (1 + m/m)) = 1 m m ln(1 + k/m). Dès lors, comme l fonction ln(1 + x) est continue sur le compct [, 1], il vient de suite 1 m m ln(1 + k/m) k=1 1 k=1 ln(1 + x) dx = ln(4/e), en recournt à l exemple qui suivi l interpréttion de Cuchy-Riemnn du clcul intégrl. Il suffit de dire que [, 1] est un intervlle compct de R et que, pour tout m N, { ](k 1)/m, k/m] : k = 1,..., m} est une prtition de ], 1] en semi-intervlles. De plus, pour tout m N et tout k m, k/m pprtient à ](k 1)/m, k/m]. Il vient donc 1 m m ln(1 + k/m) = k=1 m [ln(1 + x)] x=k/m mes(](k 1)/m, k/m]) k=1 ce qui suffit. Dès lors, vu l continuité de e x sur R, l limite à clculer existe et vut 4/e. Exercice. Suggestion. Clculer Ici on ( ) m! 1/m lim m m m. ( ) m! 1/m ln m m = 1 m m k=1 ( ) k ln. m L fonction ln(x) est négtive, continue et intégrble sur le semi-intervlle ], 1], comme on le vérifie isément. Dès lors, vu l énoncé qui figure dns l remrque suivnt l interpréttion de Cuchy-Riemnn, il vient 1 m m k=1 ( ) k ln m 1 Dès lors, l limite à clculer existe et vut 1/e. ln(x) dx = 1. Remrque. Nous llons voir mintennt comment certines techniques de clcul d une primitive de f C (], b[) s dptent u clcul intégrl.

42 3.4.1 Intégrtion pr prties. Théorème (intégrtion pr prties) Si les fonctions f et g pprtiennent à C 1 (], b[) et si deux des ssertions suivntes sont vérifiées: ) f Dg dmet une intégrle fléchée sur ], b[, b) g Df dmet une intégrle fléchée sur ], b[, c) fg dmet une limite finie en + et en b, lors l troisième ssertion est vérifiée et b fg b = f Dg dx + b g Df dx, où on posé fg b = lim f(x)g(x) lim f(x)g(x). x b x + Preuve. Bien sûr, on D(fg) = f Dg + g Df sur ], b[ et les fonctions D(fg), f Dg et g Df sont continues sur ], b[. Dès lors, pour tous nombres α, β tels que < α < β < b, il vient f(β)g(β) f(α)g(α) = L conclusion s ensuit ussitôt. β α D(fg) dx = β α f Dg dx + β α g Df dx. Remrque. Insistons sur le fit que ce résultt n entrîne ps que si les fonctions f, g C 1 (], b[) sont telles que f Dg L 1 (], b[) et fg b fini, lors g Df pprtient à L 1 (], b[). Voici une conséquence théorique intéressnte de ce résultt. Théorème (Formule de Tylor dns R) Si l fonction f pprtient à C p ([, b]), lors f(b) = f() + (b )[Df] (b ) p 1 (b )p 1 [D p 1 f] (p 1)! (1 t) p 1 [D p f] +t(b ) dt. (p 1)! Preuve. Pour p = 1, l formule est une conséquence directe du théorème rppelé u début de ce prgrphe cr (b ) [Df] +t(b ) = D t f( + t(b ))

43 est une fonction continue sur le compct [, 1]. Cel étnt, procédons pr récurrence. Si l formule est vérifiée pour l 1 < p, étblissons qu elle est ussi vérifiée pour l. A cet effet, il suffit de noter qu on successivement (b ) l 1 1 = ( ) = ( ) (en ( ), on remplcé (1 t) l 2 [D l 1 f] +t(b ) dt (l 2)! (b ) l 1 1 (1 t)l 1 D [D l 1 f] +t(b ) dt (l 1)! (b ) l 1 1 [D l 1 f] + (b ) l (l 1)! (1 t) l 1 [D l f] +t(b ) dt (l 1)! (1 t) l 2 (l 2)! et, en ( ), on intégré pr prties). pr (1 t)l 1 D (l 1)! De l même mnière, on étblit le résultt suivnt. Théorème (formule de Tylor) Si l fonction f pprtient à C p (Ω), lors, pour tous x, x + h Ω tels que le segment { x + th : t [, 1]} soit inclus dns Ω, il vient f(x + h) f(x) = n h k1 [D k1 f] x +... k 1 = (p 1)! n... k 1 =1 n... k 1 =1 n k p 1 =1 n 1 h k1... h kp k p=1 h k1... h kp 1 [D k1... D kp 1 f] x (1 t) p 1 [D (p 1)! k1... D kp f] x+th dt. Remrques. ) Il convient d insister sur le fit que les formules intégrles limitées de Tylor que nous venons d étblir sont vlbles pour une fonction à vleurs complexes. b) Le dernier terme de l formule intégrle limitée de Tylor dns R est ussi égl à b (b x) p 1 [D p f] x dx. (p 1)! Exercice. Etblir que, pour tout >, ln(1 + 2 /x 2 ) est intégrble sur ], + [ et clculer son intégrle pr prties.

44 Suggestion. Cette fonction est évidemment continue sur ], + [. De plus, des pplictions directes du théorème de l Hospitl étblissent que lim x ln(1 + 2 /x 2 ) = et x + lim x + x2 ln(1 + 2 /x 2 ) = 2. L fonction considérée est donc intégrble sur ], + [. L primitivtion pr prties nous mène à considérer les fonctions f(x) = x et g(x) = ln(1 + 2 /x 2 ) sur ], + [. Il s git bien sûr d éléments de C 1 (], + [). De plus, des pplictions directes du théorème de l Hospitl donnent Enfin on vérifie isément que lim x ln(1 + x 2 /x 2 ) = lim x ln(1 + + x + 2 /x 2 ) =. f(x) [Dg] x = 22 x est une fonction intégrble sur ], + [. Au totl, il vient donc + ln(1 + 2 /x 2 ) dx = fg x 2 dx = 2 rctg(x/) = π. Remrque. Dns l exercice précédent, on pouvit ussi étblir l intégrbilité de l fonction ln(1 + 2 /x 2 ) sur ], + [ de l mnière suivnte. Après voir vérifié que ont un sens, on obtient que fg + et x 2 dx ln(1 + 2 /x 2 ) dx un sens pr le théorème d intégrtion pr prties. Pour obtenir l intégrbilité de ln(1 + 2 /x 2 ) sur ], + [, il suffit lors de remrquer que cette fonction est réelle et grde un signe constnt sur ], + [ Intégrtion pr chngement de vrible Théorème (chngement de vrible) Si x (x) est un chngement de vrible régulier d ordre p 1 entre les intervlles ouverts I et I de R, il vient uquel cs il vient f(x) L 1 (I) f(x(x )) D x x(x ) L 1 (I ), b f(x) dx = b f(x(x )) D x x(x ) dx si I s écrit ], b[ et si on pose = lim x + x (x) et b = lim x b x (x).

45 Preuve. Cs f C (I). Comme x (x) est un chngement de vrible régulier d ordre p 1 entre I et I, les fonctions D x x(x ) et [D x x (x)] x(x ) sont réelles et continues sur I et on D x x(x ) [D x x (x)] x(x ) = 1, x I. Vu le théorème des vleurs intermédiires, D x x(x ) est donc une fonction à vleurs strictement positives ou une fonction à vleurs strictement négtives sur I. L condition est nécessire. Supposons tout d bord qu en outre f soit une fonction positive sur I; f est donc une fonction positive, continue et intégrble sur I =], b]. Dès lors, si F est une primitive de f sur ], b], il vient b f(x) dx = lim F (x) lim F (x). x b x + De plus, f(x(x )) D x x(x ) est une fonction continue sur I qui grde un signe constnt sur I : elle est donc intégrble sur I si et seulement si une de ses primitives dmet des limites finies ux extrémités de I. Or, vu le théorème de dérivtion des fonctions de fonction, on vérifie de suite que F (x(x )) en est une primitive sur I. L conclusion est lors immédite à prtir du théorème réglnt l vrition des fonctions réelles et strictement croissntes (resp. décroissntes). Pssons u cs f C (], b]) L 1 (], b]). On sit que f = (Rf) + (Rf) + i(if) + i(if) présente f sous l forme d une combinison linéire de fonctions positives, continues et intégrbles sur ], b]. On peut donc ppliquer le résultt cquis à chcune de ces fonctions, ce qui suffit, comme on le vérifie de suite. L condition est suffisnte. De fit, f(x(x )) D x x(x ) est une fonction continue sur I. Si, de plus, elle est intégrble sur I, on peut lui ppliquer le résultt obtenu dns l preuve de l nécessité de l condition et obtenir que [f(x(x )) D x x(x )] x (x)d x x (x) = f(x) est intégrble sur I. D où l conclusion. Cs générl. (Résultt dmis n. 1) Exercice. Etnt donné >, pour toute fonction intégrble et 1) ntisymétrique f sur ], [, on f(x) dx =, 2) symétrique f sur ], [, on f(x) dx = 2 f(x) dx.

46 Suggestion. 1) D une prt, f est bien sûr intégrble sur ], [ et sur ], [ et f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. D utre prt, x(x ) = x est un chngement de vrible régulier d ordre infini entre ], [ et ], [: dès lors, f( x ) est intégrble sur ], [ et D où l conclusion. 2) se trite de même. f(x) dx = f( x) dx = f(x) dx. Exercice. Etnt donné, b R tels que < b, clculer b dx (x )(b x) u moyen du chngement de vrible x = cos 2 (t) + b sin 2 (t). Suggestion. D une prt, nous vons déjà vérifié que l intégrnd est une fonction intégrble sur ], b[. D utre prt, l fonction réelle x(t) = cos 2 (t) + b sin 2 (t) pprtient à C (R) et est telle que D t x(t) = (b ) sin(2t) sur R. Dès lors, D t x(t) est une fonction positive sur ], π/2[ et x(t) est pr conséquent un chngement de vrible régulier d ordre infini entre ], b[ et ], π/2[. Au totl, il vient b dx π/2 = (x )(b x) (b ) sin(2t) π/2 (b ) 2 sin 2 (t) cos 2 (t) dt = 2 dt = π. Remrque. Le théorème d intégrtion pr chngement de vrible est ussi un critère d intégrbilité. Dns l exercice précédent, on pouvit donc églement procéder de l mnière suivnte: étblir d bord que x(t) est un chngement de vrible régulier d ordre infini entre ], b[ et ], π/2[ puis remrquer que l fonction f(x(t)) D t x(t) = 2χ ],π/2[ est intégrble sur R. On obtient lors d une prt l intégrbilité de f(x) sur ], b[ et d utre prt l vleur de son intégrle. Exercice. Etblir que, pour tous, b >, on + ln(x) x 2 + b 2 dx = π 2b ln(b).

47 Suggestion. On vérifie de suite que l intégrnd est continu et intégrble sur ], + [. Pour clculer l intégrle proposée, effectuons tout d bord le chngement de vrible linéire x = by. On obtient de suite + ln(x) x 2 + b 2 dx = 1 + ln(b) + ln(y) b y 2 dy. + 1 L fonction ln(y)/(1 + y 2 ) étnt intégrble sur ], + [ (nous l vons déjà étbli), il s ensuit pr linérité que ln(b)/(1 + y 2 ) est ussi intégrble sur ], + [ (on peut ussi le vérifier directement). Au totl, il vient + ln(x) ln(b) + x 2 dx = + b2 b dy y b ln(y) y dy. L première intégrle du second membre se clcule isément pr vrition de l primitive: elle vut (π ln(b))/(2b). L seconde intégrle vut : en effet, y = 1/t est un chngement de vrible régulier d ordre infini entre ], + [ et ], + [, qui donne ussitôt + ln(y) y dy = + ln(t) 1 + 1/t t 2 dt = ln(t) t dt. 3.5 Séries numériques bsolument convergentes Voici une crctéristion des séries numériques m=1 c m bsolument convergentes pour utnt que l suite c m décroisse vers. Etnt donné une suite c m de C telle que c m, il est en effet toujours possible de trouver une fonction f C ([1, + [) telle que f(m) = c m pour tout m N et f(x) si x +. Il suffit de poser f(x) = ( c m + ( c m+1 c m )(x m)) e i(rg (cm)+(rg (c m+1) rg (c m))(x m)) sur [m, m + 1] quel que soit m N. Critère (convergence bsolue de séries) Si on N N et si l fonction f est définie et mesurble sur [N, + [ et telle que f(x) sur [N, + [, lors l série numérique m=n f(m) converge bsolument si et seulement si f est intégrble en +.

48 N N + 1 N + 2 M 1 M x Preuve. Pour tout entier M N, on bien sûr f(m + 1) f(x) f(m ), x ]M, M + 1], donc en intégrnt sur ]M, M + 1], f(m + 1) M +1 Pr conséquent, pour tout entier M > N, il vient M m=n+1 f(m) M f(x) dx f(m ). M N f(x) dx M 1 m=n f(m). L condition est nécessire. De fit, f(x) est une fonction mesurble, positive pp, intégrble sur [N, M] pour tout entier M N et l suite M f(x) dx converge N cr elle est croissnte et mjorée pr m=m f(m). L condition est suffisnte. De fit, m=m f(m) est une série numérique à termes positifs dont toutes les sommes prtielles sont mjorées pr + f(x) dx. N Exemple. Si c C vérifie c < 1, l série géométrique + m= cm converge bsolument. De fit, l fonction c x pprtient à C (], + [), décroît strictement vers si x + et est intégrble en + cr une de ses primitives, à svoir, c x / ln( c ) dmet une limite finie en +. Exemple. Pour α >, l série de Riemnn m=1 1/mα converge bsolument si et seulement si α > 1. De fit, l fonction x α pprtient à C (]1, + [), décroît strictement vers si x + et est intégrble en + si et seulement si α > 1.

49 Exercice. Etblir que l série m=2 1 m ln(m) ( resp. m=2 1 ) m ln 2 (m) diverge (resp. converge). Suggestion. De fit, l fonction 1/(x ln(x)) (resp. 1/(x ln 2 (x))) pprtient à C (]1, + [), décroît strictement vers si x + et n est ps intégrble (resp. et est intégrble) en + comme nous l vons vu uprvnt.

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51 Chpitre 4 Intégrtion sur une prtie de R n 4.1 Réduction d une intégrle Clcul d une intégrle pr réduction Etnt donné une prtie mesurble A de R n vec n > 1 et une fonction intégrble f sur A, le théorème de Fubini permet de clculer f dx u moyen d intégrles sur A des prties mesurbles de R n vec n < n et même sur des prties mesurbles de R. Soient en effet n, n N tels que n + n = n et soit ( ) 1... n ν 1... ν n une permuttion. Pour tout x R n, posons x = (x ν1,..., x νn ) et x = (x νn +1,..., x νn ). Nous svons lors pr le théorème de Fubini que ) f(x, x ) χ A (x, x ) est intégrble sur R n pour presque tout x R n, b) R n f(x, x ) χ A (x, x ) dx est intégrble sur R n, c) A f dx = R n (R n f(x, x ) χ A (x, x ) dx ) dx. Définitions. Utilisons les nottions introduites ci-dessus. ) L projection de A sur R n est l ensemble { } A x = x R n : x R n tel que (x, x ) A. b) Etnt donné x R n, l section de A en x est l ensemble { } A x (x ) = x R n : (x, x ) A.

52 Ces définitions conduisent à l nlyse suivnte du théorème de Fubini. Fixons un point x de R n. Remrquons que x pprtient à l projection de A sur R n si et seulement si l section de A en x n est ps vide. De plus, l fonction χ A (x, x ) est une fonction mesurble sur R n, qui ne prend que les vleurs ou 1. C est donc l fonction crctéristique d une prtie de R n et on tôt fit de vérifier qu il s git de l fonction crctéristique de A x (x ). Dès lors, il vient f(x, x ) χ A (x, x ) dx = f(x, x ) dx R n A x (x ) pour presque tout x R n. Comme A x (x ) est égl à si et seulement si x n pprtient ps à A x, on obtient de suite ( ) f dx = f(x, x ) dx dx A A x (x ) A x pour tout f L 1 (R n ). On dit qu on réduit f dx. A y A y (x ) A A x (x, ) x Remrque. Si on n > 1 ou n > 1, on peut ppliquer l construction précédente à l intégrle correspondnte jusqu à ne plus voir que des intégrles sur des prties de R. Ceci montre l intérêt de cette construction: on essye de se rmener à des intégrles sur des intervlles de R, c est-à-dire à des intégrles que nous vons ppris à clculer. Si on n = 2 et n = n = 1, l démrche est prticulièrement clire Intégrbilité pr réduction Soit f une fonction définie pp sur une prtie mesurble E de R n et soit A une prtie mesurble de R n telle que A E.

53 Supposons l fonction f χ A mesurble et déterminons, u moyen du théorème de Tonelli, si elle est intégrble. Pour cel, on doit vérifier que ) f(x, x ) χ A (x, x ) est intégrble sur R n pour presque tout x R n. Or, pour x R n fixé, cette fonction est égle pp à f(x, x ) χ Ax (x ) (x ). De plus, pour x A x, f(x, x ) χ Ax (x ) (x ) est égl à. Au totl, il suffit de vérifier que, pour presque tout x A x, f(x, x ) est intégrble sur A x (x ). b) R n f(x, x ) χ A (x, x ) dx est intégrble sur R n. Vu ce qui précède, cette fonction est égle pp à f(x, x ) dx A x (x ) et il suffit donc de vérifier que cette fonction est intégrble sur A x. Remrque. Dns l vérifiction de l intégrbilité de f sur A R n u moyen du théorème de Tonelli, il convient de bien remrquer que les intégrles successives portent sur des fonctions positives, ce qui permet d ppliquer un mximum de critères d intégrbilité. 4.2 Interpréttion de l intégrle d une fonction réelle Proposition (Interpréttion) Soit f une fonction réelle et intégrble sur l ensemble mesurble A R n. Alors les prties A + = { (x, t) R n+1 : x A, t f + (x) } et A = { (x, t) R n+1 : x A, f (x) t } de R n+1 sont intégrbles et on f dx = mes(a + ) mes(a ). A Preuve. Prouvons que χ A+ et χ A sont des fonctions intégrbles sur R n+1. De fit, χ A+ est une fonction positive, l projection de A + sur R n est évidemment égle à A et, pour presque tout x A, l section de A + en x est égle à [, f + (x)], donc est intégrble. Pr conséquent, pour presque tout x A, il vient χ A+ (x, t) dt = f + (x). A +,t (x)

54 Dès lors, A + est une prtie intégrble de R n+1 cr f + est intégrble sur A. De même, on prouve que A est une prtie intégrble de R n+1. D où l conclusion cr on évidemment mes(a + ) mes(a ) = (f + (x) f (x)) dx = f dx. A Remrque. Le cs où f est une fonction réelle et intégrble sur ], b[ R est prticulièrement suggestif. y A f(x) A + A A + b x 4.3 Exemples de réduction d une intégrle Une difficulté inhérente à l réduction de l intégrle f dx fin d en vérifier le sens A ou de l clculer, consiste à déterminer les ensembles A x et A x (x ) pour presque tout x A x. Une première méthode, ppelée méthode nlytique, est vlble pour tout entier n 2. Elle consiste à déterminer A x et A x (x ) à prtir des inéglités qui définissent A. Une deuxième méthode, ppelée méthode géométrique, est vlble pour n = 2 et dns une certine mesure pour n = 3. Elle consiste à représenter géométriquement A et à en déduire s projection sur R n et ses sections en x R n. Nous llons illustrer ces méthodes pr quelques exemples Exemples dns R 2 Exemple. Clculer l mesure de l boule { (x, y) : x 2 + y 2 R 2 }. Cette boule b est compcte donc intégrble.

55 ) Méthode géométrique. On commence pr représenter l boule b dns le pln. On choisit l ordre d intégrtion qui convient le mieux (dns le cs que nous étudions, cet ordre n ps d importnce). On lit lors les renseignements sur le dessin. Ici on évidemment b x = [ R, R] et b y (x) = [ R 2 x 2, R 2 x 2 ], x b x. y ( x, ) R 2 x 2 b x b y (x ) (x, ) x ( x, ) R 2 x 2 b) Méthode nlytique. Déterminons tout d bord b x = { x R : y R tel que x 2 + y 2 R 2}. Comme on y 2 pour tout y R, on obtient de suite b x = [ R, R]. Cel étnt, pour tout x b x, il vient b y (x) = { y R : x 2 + y 2 R 2} = [ R 2 x 2, R 2 x 2 ]. Dns les deux cs, il vient mes(b) = = 2 ( ) R R π/2 π/2 R 2 x 2 dx R 2 x 2 dy = 2 R R R2 x 2 dx R 2 cos 2 (ϕ) dϕ = R 2 [ ϕ + sin(2ϕ) 2 ] π/2 π/2 = πr 2 ; en ( ), nous vons effectué le chngement de vrible x = R sin(ϕ) régulier d ordre infini entre ] R, R[ et ] π/2, π/2[. Remrque. On pouvit ussi ne ps vérifier directement que b est intégrble et l obtenir en ppliqunt le théorème de Tonelli.

56 Exemple. Etblir que ],+ [ ],+ [ e y(1+x2) dx dy un sens et clculer s vleur. L intégrnd e y(1+x2) est une fonction continue et positive sur l ouvert non borné A =], + [ ], + [ de R 2. Recourons u critère de Tonelli pour vérifier que l intégrle proposée un sens (c est d illeurs le seul critère vu jusqu à présent que nous pouvons ppliquer). On vérifie isément, pr voie géométrique ou pr voie nlytique, qu on successivement A x =], + [ et A y (x) =], + [ pour tout x A x. Cel étnt, pour tout x A x, e y(x2 +1) est une fonction intégrble sur ], + [ cr elle est continue et positive sur cet intervlle et une de ses primitives, à svoir e y(1+x2) /(1 + x 2 ) dmet des limites finies en + et en +. On même [ ] + + e y(1+x2) ) dy = e y(1+x2 = x x. 2 De plus, on vérifie de suite que 1/(1+x 2 ) est intégrble sur ], + [ et on obtient même que l intégrle proposée vut Exemple dns R 3 dx 1 + x 2 = rctg(x) + = π 2. Exemple. Clculer l mesure de { (x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 R 2 }. Cette boule b est compcte donc intégrble. ) Méthode géométrique. (Dns R 3, cette méthode est vlble pour les ensembles simples.) L projection de b sur l xe des y est bien sûr égle à [ R, R]. De plus, pour y [ R, R] fixé, il est clir que l section de b pr le pln d éqution y = y est égle à { (x, z) : x 2 + y 2 + z 2 R 2 }. z y (, y, ) x

57 b) Méthode nlytique. On b y = { y : x, z R tels que y 2 R 2 x 2 z 2}. Comme on x 2 et z 2 pour tous x, z R, il vient de suite b y = [ R, R]. Pour y b y fixé, on b (x,z) (y ) = { (x, z) R 2 : x 2 + z 2 R 2 y 2 }. Dès lors, b (x,z) (y ) est l boule de centre (, ) et de ryon (R 2 y 2 ) 1/2 dns R 2 pour tout y ] R, R [ donc pour presque tout y [ R, R ]. Cel étnt, il vient mes(b) = R R ( ) dx dz dy = b (x,z) (y) R R π(r 2 y 2 ) dy = 4 3 πr3. Remrques. ) Il convient de noter que l difficulté de l réduction dépend bien sûr de l ensemble A considéré, mis ussi de l ordre des vribles choisi. b) L voie l plus directe est bien souvent un mélnge des méthodes géométrique et nlytique. 4.4 Permuttion de l ordre d intégrtion Bien souvent, en prtique, on est mené à clculer une intégrle déjà mise sous une forme réduite à lquelle les méthodes de clcul vues uprvnt ne s ppliquent ps. On peut lors effectuer une permuttion de l ordre d intégrtion, c est-à-dire exprimer l intégrle considérée sous une utre forme réduite. Proposition (intégrtion pr prties, générlistion) Soient f et g deux fonctions intégrbles sur l intervlle ], b[ de R et x est un point de ], b[. Si on pose F (x) = x pour tout x ], b[, lors il vient b x f(t) dt et G(x) = x F (x)g(x) dx = F (b)g(b) F ()G() x g(x) dx b f(x)g(x) dx.

58 Preuve. Comme f(t)g(x) est une fonction intégrble sur ], b[ ], b[ et comme F (x ) =, il vient successivement b x F (x)g(x) dx = = ( ) x x ( x x ( t f(t) ) f(t) dt g(x) dx + ) g(x) dx dt + x b b ( x ) f(t) dt g(x) dx x ( b ) f(t) g(x) dx dt x t x b = f(t) (G() G(t)) dt + f(t) (G(b) G(t)) dt x ( x b ) = F ()G() + f(t)g(t) dt + F (b)g(b) (en ( ), on permuté l ordre des intégrtions). Exercice. Etblir que, pour tout x >, l fonction e y /y est intégrble sur ]x, + [ et que l fonction f(x) = + x e y /y dy est intégrble sur ], + [. Obtenir l vleur de + ( + e y ) y dy dx. x Suggestion. L fonction e y /y est continue sur ], + [ (donc dmet une limite finie en tout x > ) et on e y lim y2 y + y =. Au totl, pour tout x >, on e y /y L 1 (]x, + [). Pour obtenir l intégrbilité de f(x) sur ], + [, on peut démontrer qu il s git d une fonction continue sur ], + [ à lquelle les critères d intégrbilité en θ et Θ s ppliquent mis cel est fort long. L méthode suivnte est bien plus courte et plus élégnte. L fonction e y /y est continue et positive sur A = { (x, y) : < x y}. Pour tout y >, e y /y est intégrble pr rpport à x sur ], y] (c est même une fonction étgée) et on y e y y dx = e y. De plus, e y est intégrble (pr rpport à y) sur ], + [, comme on le vérifie directement. Dès lors, pr le théorème de Tonelli, e y /y est intégrble sur A. Vu le théorème de Fubini, en effectunt l réduction dns l utre ordre, ) pour presque tout x ], + [, e y /y est intégrble sur ]x, + [ (mis nous l vons déjà étbli), b) + x e y /y dy est intégrble sur ], + [, c) l intégrle proposée est égle à + e y dy = 1.

59 Exercice. Si on R >, permuter l ordre d intégrtion dns 2R 2Rx dx f(x, y) dy. 2Rx x 2 Suggestion. ) Méthode géométrique. On en fit réduit l intégrle de f sur A R 2, où l projection de A sur l xe des x est égle à ], 2R[ et où, pour tout x ], 2R[, l section de A en x est égle à ] 2Rx x 2, { 2Rx[. Or (x, } 2Rx x 2 ) : x ], 2R[ est une prtie de l circonférence d éqution x 2 +y { 2 2Rx =, c est-à-dire de l circonférence de centre (R, ) et de ryon R. De même, (x, } 2Rx) : x ], 2R[ est une prtie de l prbole d éqution 2Rx = y 2. De l représenttion grphique de A qui s ensuit, on déduit directement que A y est égl à ], 2R[ et que A x (y) est égl à l union de ]y 2 /(2R), R R 2 y 2 [ et de ]R+ R 2 y 2, 2R[ si on < y < R et à ]y 2 /(2R), 2R[ si on R y < 2R. y (, y 1 ) A x (y 1 ) (, y 2 ) A x (y 2 ) x b) Méthode nlytique. Bien sûr, on peut écrire A y = x 2R [ 2Rx x 2, 2Rx]. Une étude simple des fonctions 2Rx x 2 et 2Rx procure lors A y = [, 2R]. Déterminons A x (y). En fit, y ], 2R[ étnt fixé, nous devons résoudre le système d inéqutions { < x < 2R 2Rx x 2 < y < 2Rx pr rpport à x. Or, vu l règle régissnt le signe d un trinôme du second degré, l inéglité x 2 2Rx + y 2 > lieu pour tout x R si R < y < 2R et pour tout x ], R R 2 y 2 [ ]R + R 2 y 2, + [ si < y < R. Cel étnt, d une prt, pour y ], R[ fixé,

60 nous devons résoudre le système d inéqutions < x < 2R x < R R 2 y 2 ou x > R + R 2 y 2 y 2 2R < x; on trouve donc A x (y) =]y 2 /(2R), R R 2 y 2 [ ]R + R 2 y 2, 2R[ pour < y < R. D utre prt, pour y ]R, 2R[ fixé, nous devons résoudre le système d inéqutions < x < 2R y 2 2R < x; on trouve donc Au totl, l intégrle proposée devient R + A x (y) =]y 2 /(2R), 2R[ pour R < y < 2R. R R 2 y 2 dy y 2 /(2R) 2R 2R R dy y 2 /(2R) R 2R f(x, y) dx + dy f(x, y) dx R+ R 2 y 2 f(x, y) dx. Remrque. Dns le clcul de A f dx pr réduction ou pr permuttion de l ordre d intégrtion, il est essentiel que f soit intégrble sur A et ps seulement que f soit intégrble sur A y (x) pour presque tout x A x et que A f dy soit intégrble sur A y(x) x (suf si f est une fonction positive, uquel cs f est intégrble sur A, pr ppliction du théorème de Tonelli). Voici un exemple probnt. Sur R 2 \ {(, )}, on évidemment f(x, y) = x2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 = D x x x 2 + y 2 = D y y x 2 + y 2. On vérifie de suite que, pour tout y ], 1[, l fonction f(x, y) est intégrble (pr rpport à x) sur ], 1[; on donc 1 x 2 y 2 [ ] x 1 (x 2 + y 2 ) 2 dx = x 2 + y 2 = y 2. Comme l fonction 1/(1 + y 2 ) est intégrble sur ], 1[, on obtient 1 ( 1 x 2 y 2 ) 1 (x 2 + y 2 ) 2 dx dy dy = 1 + y 2 = π 4. ( )

61 De même, on vérifie de suite que, pour tout x ], 1[, f(x, y) est intégrble (pr rpport à y) sur ], 1[; on donc 1 x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dy = y 1 x 2 + y 2 = x 2. Comme 1/(1 + x 2 ) est intégrble sur ], 1[, il vient 1 ( 1 x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 dy dx = 1 dx 1 + x 2 = π 4. ( ) Il n y ps d erreur dns ce qui précède. Ce qui se psse, c est que f(x, y) n est ps intégrble sur A =], 1[ ], 1[ et que, pr conséquent, on ne peut ps réduire A f dx dy. En effet, si f est intégrble sur A, f l est églement et on peut réduire A f dx dy. Or, pour tout x ], 1[, on justifie de suite les clculs suivnts: 1 f(x, y) dy = [ = x x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dy + ] x [ y x 2 + y 2 1 y x 2 + y 2 x ] 1 mis ce résultt n est ps une fonction intégrble sur ], 1[. y 2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2 dy x = 1 x x 2, 4.5 Chngement de vrible Théorème (chngement de vrible) Si x(x ) est un chngement de vrible régulier d ordre p 1 entre les ouverts Ω et Ω de R n, lors on f(x) L 1 (Ω) f(x(x )) (x) det (x ) L1 (Ω ) uquel cs f(x) dx = f(x(x )) (x) det Ω Ω (x ) dx. (Résultt dmis n. 1bis, cs R n ) Remrque. Si n est égl à 1, on obtient comme cs prticulier le théorème correspondnt du prgrphe Reprenons les nottions de ce résultt. Seuls les deux cs suivnts peuvent se présenter: ) on D x x (x) > pour tout x ], b[. L fonction x (x) est donc strictement croissnte. Pr conséquent, il vient I =], b [ et I f(x(x )) Dx x(x ) dx = b f(x(x )) D x x(x ) dx.

62 b) on D x x (x) < pour tout x ], b[. L fonction x (x) est donc strictement décroissnte. Pr conséquent, il vient I =]b, [ et D où l conclusion. I f(x(x )) D x x(x ) dx = b f(x(x )) D x x(x ) dx. Donnons quelques exemples d ppliction de ce résultt Chngement de vrible linéire Si A est une mtrice réelle et non singulière de dimension n n et si est un point de R n, nous svons que x = Ax + est un chngement de vrible régulier d ordre infini entre R n et R n. Pr conséquent, il vient uquel cs f(x) L 1 (R n ) det(a) f(ax + ) L 1 (R n ) f(x) dx = det(a) f(ax + ) dx. R n R n Il s ensuit que, pour toute prtie intégrble E de R n, l ensemble AE + = { Ax + : x E} est intégrble et mes(ae + ) = χ AE+ (x) dx = χ AE+ (Ax + ) det(a) dx R n R n = det(a) χ E (x ) dx = det(a) mes(e). R n En prticulier, ) dns R n, les trnsltions préservent l intégrbilité et l mesure des ensembles, b) dns R n, les rottions préservent l intégrbilité et l mesure des ensembles Pssge ux coordonnées polires dns R 2 Le pssge ux coordonnées polires dns R 2 est donné pr le chngement de vrible { x = r cos(θ) régulier d ordre infini entre y = r sin(θ) Ω = R 2 \ { (r cos(), r sin()) : r } et Ω =], + [ ], + 2π[,

63 étnt un nombre réel quelconque. Comme une demi-droite est une prtie négligeble de R 2, Ω est égl pp à R 2 et le théorème de chngement de vrible prend l forme spécifique suivnte: on uquel cs f(x, y) L 1 (R 2 ) r f(r cos(θ), r sin(θ)) L 1 (], + [ ], + 2π[) R 2 f(x, y) dx dy = + +2π dr r f(r cos(θ), r sin(θ)) dθ. En effet, le module du jcobien est donné pr ( ) ( ) (x, y) det = cos(θ) r sin(θ) (r, θ) det = r. sin(θ) r cos(θ) Pssge ux coordonnées polires dns R 3 Le pssge ux coordonnées polires dns R 3 est donné pr le chngement de vrible x = r sin(θ) cos(ϕ) y = r sin(θ) sin(ϕ) z = r cos(θ) régulier d ordre infini entre et Ω = R 3 \ { (r cos(), r sin(), z) : r, z R} Ω =], + [ ], π[ ], + 2π[, étnt un nombre réel quelconque. Comme un demi-pln est une prtie négligeble de R 3, Ω est égl pp à R 3 et le théorème de chngement de vrible prend l forme spécifique suivnte: f(x, y, z) L 1 (R 3 ) uquel cs r 2 sin(θ)f(r sin(θ) cos(ϕ), r sin(θ) sin(ϕ), r cos(θ)) L 1 (Ω ) R 3 f(x, y, z) dx dy dz = + dr π dθ +2π r 2 sin(θ)f(r sin(θ) cos(ϕ), r sin(θ) sin(ϕ), r cos(θ)) dϕ.

64 4.5.4 Exemples dns R 2 Exemple. Clculer l mesure du disque { (x, y) : x 2 + y 2 R 2 } en pssnt ux coordonnées polires. Prenons, pr exemple, = (c est l position choisie le plus souvent). Le disque est lors égl pp à { (x, y) : x 2 + y 2 < R 2} \ { (x, ) : x } et on voit de suite qu en pssnt ux coordonnées polires, cet ensemble devient ], R[ ], 2π[. L mesure du disque est pr conséquent égle à R 2π dr r dθ = πr 2. Pour justifier ces clculs, on peut soit, priori, dire que le disque est compct donc intégrble, soit remrquer que r est une fonction positive sur ], R[ ], 2π[, qui vérifie les conditions du théorème de Tonelli. Exemple. Pour tous, b >, clculer l mesure de l ellipse E = { (x, y) : x 2 / 2 + y 2 /b 2 1 }. Pr le chngement de vrible linéire ( ) ( x = y b ) ( x y ), cette ellipse devient E = { (x, y ) : x 2 + y 2 1}, c est-à-dire le disque de centre (, ) et de ryon 1. De là, E est intégrble et nous obtenons mes(e) = b dx dy = πb. x 2 +y 2 1 Remrque. On peut ussi considérer le chngement de vrible { x = (r/) cos(θ) y = (r/b) sin(θ) qui combine le chngement de vrible linéire et le pssge ux coordonnées polires. Exemple. Si on γ > 1, < c 1 < c 2 et < C 1 < C 2, clculer l mesure de A = { (v, p) : c 1 pv c 2, C 1 pv γ C 2 }.

65 p v On vérifie d bord que { pv = x pv γ = y est un chngement de vrible régulier d ordre infini entre ], + [ ], + [ et luimême, qui s inverse en { v = (y/x) 1/(γ 1) p = x γ/(γ 1) y 1/(γ 1) et qui trnsforme A en [c 1, c 2 ] [C 1, C 2 ]. De plus, on ( ) (p, v) ( ) det (x, y) = (x, y) det (p, v) (p(x,y),v(x,y)) 1 = 1 (γ 1)y et c2 C2 dy dx c 1 C 1 (γ 1)y = c 2 c 1 γ 1 ln(c 2/C 1 ), ce qui permet d ffirmer que A est intégrble et que s mesure est égle à ce nombre. Théorème (Poisson) Pour tout >, on + e x2 dx = 1 π 2. Preuve. On vérifie de suite que e x2 est une fonction continue, positive et intégrble sur ], + [. De là, u moyen du théorème de Tonelli, on déduit que l fonction e x2 e y2 = e (x2 +y 2) est intégrble sur ], + [ ], + [. Pour clculer son intégrle, on peut psser ux coordonnées polires; il vient successivement ( + ) e x2 dx = e x2 dx e y2 dy = e (x2 +y 2) dx dy = + dr π/2 r e r2 dθ = π 2 [ ],+ [ ],+ [ ] + e r2 2 = 1 π 4.

66 D où l conclusion Exemples dns R 3 Exemple. Clculer l mesure de l boule b = { (x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 R 2}. Pssons ux coordonnées polires en prennt = (c est l position choisie le plus souvent). L boule b est égle pp à { (x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 < R 2} \ { (x,, z) : x, z R} et on vérifie de suite qu en pssnt ux coordonnées polires, cet ensemble se trnsforme en ], R[ ], π[ ], 2π[. L mesure de l boule est donc égle à R π 2π dr dθ r 2 sin(θ) dϕ = 4 3 πr3. (Justifiction: b est un compct ou ppliquer le théorème de Tonelli.) Exemple. Pour, b, c >, clculer l mesure de l ellipsoïde E = { (x, y, z) : x 2 / 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 1 }. Le chngement de vrible linéire x y = b z c x y z trnsforme E en l boule { (x, y, z ) : x 2 + y 2 + z 2 1}. intégrble et que mes(e) = 4πbc. 3 Il s ensuit que E est Exercice. Clculer l intégrle { (x,y):<x,x 2 <y} e x4 +y 2 x 2 dx dy u moyen du chngement de vrible { x = ρ cos(ω) y = ρ 2 sin(ω) cos(ω).

67 Suggestion. Bien sûr, on x(ρ, ω), y(ρ, ω) C (R 2 ) mis, comme l ensemble d intégrtion est inclus dns ], + [ ], + [, on peut se contenter de considérer ces fonctions comme pprtennt à C (], + [ ], π/2[). Comme on x 4 + y 2 = ρ 4 cos 2 (ω) = x 2 ρ 2, il vient ρ(x, y) = x 4 + y 2 /x et de y/x 2 = tg(ω), on tire ω(x, y) = rctg(y/x 2 ) vec ρ(x, y), ω(x, y) C (], + [ ], + [). On vérifie lors directement qu il s git bien d un chngement de vrible régulier d ordre infini entre les ouverts ], + [ ], + [ et I =], + [ ], π/2[. A l ouvert d intégrtion { (x, y) : < x, x 2 < y } correspond donc l ouvert Ω = { (ρ, ω) I : < ρ cos(ω), ρ 2 cos 2 (ω) < ρ 2 sin(ω) cos(ω) } = { (ρ, ω) I : cos(ω) < sin(ω) } = ], + [ ] π 4, π 2 [. De plus, on ( ) ( (x, y) cos(ω) ρ sin(ω) = (ρ, ω) 2ρ sin(ω) cos(ω) ρ 2 (cos 2 (ω) sin 2 (ω) ) donc le module du jcobien est égl à ρ 2 cos(ω). Cel étnt, l intégrle proposée un sens si et seulement si on ρ 2 e ρ2 cos(ω) L 1 (], + [ ]π/4, π/2[). Or l fonction ρ 2 e ρ2 cos(ω) est intégrble et à vleurs positives sur ]π/4, π/2[ pour tout ρ > et on π/2 π/4 ρ 2 e ρ2 cos(ω) dω = (1 2/2)ρ 2 e ρ2. Comme cette dernière fonction est intégrble sur ], + [, le théorème de Tonelli combiné u théorème de chngement de vrible ssurent un sens à l intégrle proposé. De plus, le théorème de Fubini donne { (x,y):<x,x 2 <y} e x4 +y 2 ( x 2 dx dy = 1 en recournt à l intégrle de Poisson. = ) ρ 2 e ρ2 dρ 2 2 ) ( 1 2 ρ De ρ2 dx = 2 2 π 8

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69 Chpitre 5 Dérivtion des intégrles prmétriques 5.1 Théorème fondmentl Le résultt suivnt, connu sous le nom de théorème de dérivtion des intégrles prmétriques et dont l preuve sort du cdre de ce cours, une grnde importnce dns les pplictions. Théorème Si A est une prtie mesurble de R n, si Λ est un ouvert de R l et si les conditions suivntes sont vérifiées: ) pour presque tout x A, f λ (x) pprtient à C 1 (Λ), b) pour tout λ Λ, f λ (x) pprtient à L 1 (A), c) pour tout compct K Λ, il existe F K L 1 (A) tel que Dλk f λ (x) FK (x) pp sur A pour tout k {1,..., l} et tout λ K, lors f A λ(x) dx pprtient à C 1 (Λ) et on D λk f λ dx = D λk f λ (x) dx pour tout k {1,..., l}. (Résultt dmis n. 11) A A Exercice. Etblir que, pour tous, b >, on + e x e bx dx = ln(b/). x

70 Suggestion. Fixons b > et étblissons d bord que l intégrle proposée pprtient à C 1 (], + [). De fit, on successivement: A =], + [ est une prtie mesurble de R, Λ =], + [ est un ouvert de R, pour tout x >, f (x) = (e x e bx )/x pprtient à C (Λ), pour tout >, f (x) est une fonction intégrble sur A, pour tout compct K ], + [, il existe > (à svoir = inf { x : x K}, pr exemple) tel que K [, + [, donc tel que D f (x) = e x e x L 1 (A), K. Dès lors, pour tout b > fixé, l intégrle proposée pprtient à C 1 (], + [) et Cel étnt, il existe C R tel que + e x e bx D dx = x + + e x dx = 1. e x e bx dx = ln() + C x et tout revient à déterminer C. Or, pour = b, le premier membre est égl à. D où l conclusion. Exercice. Etblir que, pour tout > et tout b R, on + e x2 cos(bx) dx = 1 π /(4) 2 e b2. Suggestion. Fixons > et vérifions les conditions de dérivbilité de cette intégrle pr rpport à b sur R: A =], + [ est une prtie mesurble de R, Λ = R est un ouvert de R, pour tout x >, f b (x) = e x2 cos(bx) pprtient à C (R), pour tout b R, f b (x) est une fonction intégrble sur A, pour tout b R, on D b f b (x) xe x2 L 1 (A). Dès lors, l intégrle proposée pprtient à C 1 (R) et on + D b e x2 cos(bx) dx = + x e x2 sin(bx) dx. On évlue cette dérivée en recournt à une intégrtion pr prties: il vient + + x e x2 sin(bx) dx = 1 sin(bx) D 2 x e x2 dx [ ] 1 + = 2 sin(bx)e x2 b 2 + e x2 cos(bx) dx.

71 Il s ensuit que, pour > fixé, l fonction F (b) = + e x2 cos(bx) dx pprtient à C 1 (R) et vérifie l éqution différentielle à second membre linéire 2D b F (b) + bf (b) = sur R. Il existe donc C() R tel que F (b) = C()e b2 /(4). Pour déterminer C(), on remrque que, pour b =, l intégrle proposée est l intégrle de Poisson. Exercice. Etblir que, pour tout R et tout b R, on + ln( 2 + x 2 ) x 2 + b 2 dx = π ln( + b ). b Suggestion. Il suffit bien sûr de clculer cette intégrle pour et b >. Pour =, nous en vons déjà obtenu l vleur, à svoir π b ln(b) (cf. p. 42). Fixons b > et vérifions les conditions de dérivbilité de cette intégrle pr rpport à sur ], + [: A =], + [ est une prtie mesurble de R, Λ =], + [ est un ouvert de R, pour tout x >, f (x) = (ln( 2 + x 2 ))/(x 2 + b 2 ) pprtient à C (], + [), pour tout >, f (x) est une fonction intégrble sur A, pour tout compct K de A, il existe, 1 > tels que K [, 1 ], donc tels que D f (x) 2 1 ( 2 + x2 )(x 2 + b 2 ) L1 (A). Il s ensuit que l intégrle proposée pprtient à C 1 (], + [) et que D + Pour b, il vient ensuite D + ln( 2 + x 2 ) x 2 + b 2 ln( 2 + x 2 ) x 2 + b 2 dx = 2 b 2 2 dx = Vu l continuité de cette dérivée sur ], + [, on donc dx (x )(x 2 + b 2 ). ( ) 1 x x 2 + b 2 dx = π b( + b). D + Pr conséquent, on obtient ln( 2 + x 2 ) x 2 + b 2 dx = π b( + b), ], + [. + ln( 2 + x 2 ) x 2 + b 2 dx = π ln( + b) + C(b) b

72 et tout revient à déterminer C(b). Cel peut se fire en ppliqunt le théorème de l convergence monotone à l suite (f 1/m ) m N. Il s git en effet d une suite décroissnte de fonctions réelles et intégrbles sur ], + [, telle que + ln(x 2 + 1/m 2 ) x 2 + b 2 dx + ln(x 2 ) x 2 + b 2 dx, m N. On en déduit que π lim m b ln(1/m + b) + C(b) = π b ln(b), c est-à-dire que C(b) =. Exercice. Etblir que, pour tout > et tout b, on + e (x2 +b/x 2) dx = 1 π b 2 e 2. Suggestion. Pour b =, il s git de l intégrle de Poisson. Considérons à présent que b vrie dns ], + [. Dns ce cs, pour tout >, A =], + [ est une prtie mesurble de R, Λ =], + [ est un ouvert de R, pour tout x >, f b (x) = e (x2 +b/x 2) pprtient à C (Λ), pour tout b >, f b (x) est une fonction intégrble sur A, pour tout compct K Λ, il existe b, b 1 > tels que K [b, b 1 ], donc tels que D b f b (x) e (x2 +b /x 2 ) x 2 L 1 (A). Dès lors, l intégrle proposée pprtient à C 1 (Λ) et on + + D b e (x2 +b/x 2) e (x2 +b/x 2 ) dx = x 2 dx. On évlue cette dérivée en effectunt le chngement de vrible b /x = y, régulier d ordre infini entre ], + [ et ], + [; il vient de suite + e (x2 +b/x 2 ) + x 2 dx = e (y2 +b/y 2) dy. b Il s ensuit que, pour > fixé, l fonction F (b) = + e (x2 +b/x 2) dx pprtient à C 1 (], + [) et vérifie l éqution différentielle à second membre linéire D b F (b) = F (b) sur ], + [: b

73 il existe donc C() R tel que F (b) = C() e 2 b. On obtient insi + e (x2 +b/x 2) dx = C() e 2 b et tout revient à déterminer C(). Cel peut se fire en ppliqunt le théorème de l convergence mjorée à l suite (f 1/m ) m N : il s git d une suite de fonctions mesurbles et mjorées pr e x2 L 1 (], + [) sur ], + [ et cette suite converge pp sur ], + [ vers e x2. Au totl, il vient C() e 2 /m 1 π 2, ce qui suffit. 5.2 Cs où l ensemble d intégrtion vrie Dns les pplictions, on est mené à clculer des dérivées du type D t f t (x) dx, A(t) où A(t) est une prtie mesurble de R n. Voyons comment procéder en considérnt le cs prticulier où A(t) est un intervlle ouvert ](t), b(t)[ de R. 5.3 Cs où l ensemble d intégrtion vrie Dns les pplictions, on est mené à clculer des dérivées du type D t f t (x) dx, A(t) où A(t) est une prtie mesurble de R n. Voyons comment procéder en considérnt le cs prticulier où A(t) est un intervlle ouvert ](t), b(t)[ de R Méthode du gel L méthode du gel consiste, pour tout t considéré, à effectuer le chngement de vrible linéire x = (t) + (b(t) (t))y. L intégrle devient lors (b(t) (t)) 1 f t ((t) + (b(t) (t))y) dy. Cel étnt, il suffit de vérifier si les fonctions (t) et b(t) sont dérivbles et si le théorème de dérivtion des intégrles prmétriques s pplique.

74 5.3.2 Méthode pr les fonctions composées Supposons les conditions suivntes rélisées: () t vrie dns l intervlle ouvert Λ de R, (b) les fonctions (t) et b(t) pprtiennent à C 1 (Λ) et sont réelles, (c) il existe un intervlle ouvert ]A, B[ (borné ou non) de R tel qu on it (t), b(t) ]A, B[ pour tout t Λ et f t (x) C (]A, B[ Λ), (d) pour tous, b ]A, B[, l fonction b f t(x) dx est dérivble sur Λ et cette dérivée considérée comme fonction de, b et t est continue sur ]A, B[ ]A, B[ Λ. Dns ce cs, pour tous, b ]A, B[ et t Λ, posons F (, b, t) = b f t (x) dx. Cette position un sens vu que, pour tout t Λ, f t (x) est continu et pr conséquent intégrble sur l intervlle compct d extrémités et b. Dès lors, F est une fonction définie sur ]A, B[ ]A, B[ Λ. Mis on bien plus: en fit, F est continûment dérivble sur cet ouvert cr on notmment [D F ] (,b,t) = f t () et [D b F ] (,b,t) = f t (b) vu le théorème d existence d une primitive pour les fonctions continues. Dns ces conditions, vu le théorème de dérivtion des fonctions composées, pprtient à C 1 (Λ) et on b(t) (t) b(t) D t f t (x) dx, = D t F ((t), b(t), t) (t) f t (x) dx = F ((t), b(t), t) b = f t ((t)) D t (t) + f t (b(t)) D t b(t) + [D t Si, en outre, on pu étblir que b D t f t (x) dx = le résultt précédent peut s écrire b D t f t (x) dx,, b ]A, B[, b(t) D t f t (x) dx = f t ((t)) D t (t) + f t (b(t)) D t b(t) + (t) b(t) (t) ] f t (x) dx. ((t),b(t),t) D t f t (x) dx. Cette méthode peut ussi s employer, tout en se simplifint, si une des fonctions (t) ou b(t) est constnte. Trîtons un exemple.

75 Exercice. Clculer I(t) = t ln(1 + tx) 1 + x 2 dx, t [, + [. Suggestion. Comme, pour tout t, on tôt fit de vérifier que l intégrnd est intégrble sur le compct [, τ] quel que soit τ, on peut poser J(t, τ) = τ ln(1 + tx) 1 + x 2 dx, t, τ [, + [. Posons Ω =], + [ ], + [. Cette fonction J(t, τ) pprtient à C 1 (Ω) cr on successivement: ) pour tout t >, (ln(1+tx))/(1+x 2 ) est continu sur [, + [. De là, J(t, τ) est dérivble pr rpport à τ sur ], + [ et on D τ J(t, τ) = ln(1 + tτ) 1 + τ 2 C (Ω), t >. b) pour tout τ > fixé, on vérifie de suite que le théorème de dérivtion des intégrles prmétriques s pplique à J(t, τ). Il vient donc D t J(t, τ) = τ x (1 + x 2 )(1 + tx) dx et le théorème de l convergence mjorée permet d ffirmer que cette dernière intégrle représente une fonction continue sur Ω. Cel étnt, il vient D t I(t) = D t J(t, t) = ln(1 + t2 ) 1 + t 2 + t x (1 + x 2 )(1 + tx) dx. Or, pr réduction de l frction rtionnelle, l dernière intégrle vut t ( t t tx + 1 ) x + t 1 + t x 2 dx On obtient donc = t 2 ln(1 + tx) t + t 1 + t 2 rctg(x) t + 1 2(1 + t 2 ) ln(1 + x2 ) t = ln(1 + t2 ) 2(1 + t 2 ) + t 1 + t 2 rctg(t). D t I(t) = ln(1 + t2 ) 2(1 + t 2 ) + t 1 + t 2 rctg(t). Pr conséquent, il vient ln(1 + t 2 ) I(t) 2(1 + t 2 ) dt + ( rctg(t) D 1 t 2 ln(1 + t2 ) ) dt 1 2 rctg(t) ln(1 + t2 ).

76 Or, pr le théorème de l convergence monotone, on voit de suite que I(t) tend vers si t +. De là, on tire I(t) = 1 2 rctg(t) ln(1 + t2 ), t.

77 Chpitre 6 Intégrles remrqubles 6.1 Intégrle de Poisson Rppelons qu u Théorème 4.5.2, nous vons obtenu l formule suivnte connue sous le nom d Intégrle de Poisson: + e x2 dx = 1 π, >. 2 De plus, u Prgrphe 5.1, nous en vons déduit les résultts suivnts + e x2 cos(bx) dx = 1 π /(4) 2 e b2, >, b R, + e (x2 +b/x 2) dx = 1 π b 2 e 2, >, b. 6.2 L fonction Gmm : Γ Remrque. Pour tout n ], + [, l fonction e x x n 1 est intégrble sur ], + [. De fit, cette fonction est continue sur ], + [ et vérifie d une prt e 1 x n 1 e x x n 1 x n 1, x ], 1[, lors que l fonction x n 1 est intégrble en + si et seulement si n >, et d utre prt Définition. lim x + x2 e x x n 1 =, n >. L fonction Gmm Γ est définie sur ], + [ pr Γ(n) = + e x x n 1 dx, n ], + [; on dit ussi qu il s git de l première intégrle eulérienne.

78 Cette fonction Γ jouit de nombreuses propriétés fort intéressntes. Proposition Pour tout n ], + [, on Γ(n) >. On notmment Γ(1) = 1 et Γ(1/2) = π. Preuve. De fit, l intégrnd est une fonction strictement positive sur ], + [. De plus, il vient successivement Γ(1) = + e x dx = e x + = 1 et, en recournt u chngement de vrible t = x en ( ), Γ(1/2) = + e x x 1/2 dx = 2 ( ) + e t2 dt = π. Proposition L fonction Γ pprtient à C (], + [) et, pour tout k N et tout n ], + [, on D k Γ(n) = + e x x n 1 (ln(x)) k dx. Preuve. Cel résulte ussitôt du théorème de dérivtion des intégrles prmétriques cr ) pour tout x >, on e x x n 1 C (], + [), b) pour tout compct K de ], + [ et tout k N, on sup D k n (e x x n 1 ) ) = (sup x n 1 e x ln(x) k. n K n K Or il existe ], 1[ et b ]1, + [ tels que K [, b]; il vient donc sup x n 1 = x 1 χ ],1[ + x b 1 χ [1,+ [ (x). n K Pour conclure, il suffit lors de vérifier directement que l fonction ( x 1 χ ],1[ (x) + x b 1 χ [1,+ [ (x) ) e x ln(x) k est intégrble sur ], + [. Théorème (propriété fondmentle) On Γ(n + 1) = nγ(n), En prticulier, pour tout entier m N, il vient n ], + [. Γ(m + 1) = m! et Γ(m + 1/2) = (2m)! π. 2 2m m!

79 On dit que l fonction Γ interpole de mnière C les vleurs de m! Preuve. Cel résulte ussitôt du théorème d intégrtion pr prties cr il vient successivement Γ(n + 1) = + e x x n dx = = e x x n + + n + + (De x ) x n dx e x x n 1 dx = nγ(n) Proposition On lim nγ(n) = 1 donc lim n + Γ(n) = +. n + Théorème (Formule de Stirling) On lim n + Γ(n + 1) e n n n 2πn = 1 et lim n + Γ(n) e n n n 2π/n = 1 donc bien sûr lim n + Γ(n) = + mis ussi, pr exemple, les formules suivntes: Γ(n + r) ) lim = 1, r >. n + n r Γ(n)

80 (m + p)! b) lim m + m! m p = 1, p N, c) Formule de Wllis: lim m (2m 1) 1 m = π. 2 4 (2m) Preuve. Etblissons d bord l formule de Stirling. Si nous effectuons le chngement de vrible linéire x = n + n y dns le clcul de Γ(n), il vient Γ(n + 1) e n n n 2πn = 1 + 2π n e ny+n ln(1+y/ n) dy. L conclusion résulte lors du théorème de l convergence mjorée: ) pour tout y R, on lim n y+n ln(1+y/ n) e = e y2 /2 n +, n>y 2 cr l fonction exponentielle est continue sur R, cr lim n +, n>y 2( n y + n ln(1 + y/ y/ n + ln(1 + y/ n) n)) = lim n +, n>y 2 1/n est égl à y 2 lim t t + ln(1 + t) t 2 si on pose t = y/ n et cr on t + ln(1 + t) lim t t 2 t = lim t 2t(1 + t) = 1 2 en recournt u théorème de l Hospitl, b) de t/(1 + t) dt = t ln(1 + t), on tire de suite n y + n ln(1 + y/ y/ n t n) = n 1 + t dt pour tout y R et tout n >. Cel étnt, il vient y/ n n pour tout y > et t y/ n 1 + t dt n y/ n t n 1 + t dt n t 1 + y/ n dt = y 2 2(1 + y/ n) y/ n t dt = y2 2

81 pour tout y ] n, [. Cel étnt, l mjortion e ny+n ln(1+y/ n) χ ] n,+ [ (y) e y2 /2 χ ],[ (y) + e y2 /(2+2y/ n) χ ],+ [ (y) lieu sur R pour tout n 1. Or cette dernière mjornte est bien sûr une fonction intégrble sur R. Cel étnt, ) résulte ussitôt de Γ(n + r) lim n + n r Γ(n) = b) est direct mis résulte ussi de c) résulte ussitôt de lim m + lim e n r (n + r) n+r 2π/(n + r) n + n r e n n n 2π/n = lim n + ( 1 + r n ) r+n n n + r e r = 1. Γ(m + p + 1) lim m + Γ(m + 1)m = lim (m + 1) p Γ(m + 1) = 1. p m + Γ(m + 1)m p 1 3 (2m 1) m = 2 4 (2m) lim m + Γ(2m + 1) m 2 2m Γ(m + 1)Γ(m + 1) e 2m (2m) 2m 4πm m = lim m + 2 2m e 2m m 2m 2πm = 1. π Théorème (formule de Guss) Pour tous n > et m N, on ( m mn Γ(n)Γ n + 1 ) ( Γ n + m 1 ) = (2π) (m 1)/2 m Γ(mn). m m En prticulier, on l formule de dupliction de Legendre: Γ(n)Γ(n + 1/2) = π Γ(2n), n >. 22n 1 Preuve. Posons V (m, n) = m mn 1/2 Γ(n)Γ ( ) ( ) n + 1 m Γ n + m 1 m. Γ(mn)

82 On vérifie directement qu on lors V (m, n + 1) = V (m, n) pour tous n > et m N, donc V (m, n + p) = V (m, n) pour tous n > et m, p N. Cel étnt, V (m, n) est successivement égl à lim p + p + p N p N V (m, n + p) = lim = ( ) mm(n+p) 1/2 Γ(n + p) Γ(n + p + (m 1)/m) Γ(m(n + p)) lim mm(n+p) 1/2 np Γ(n) np+(m 1)/m Γ(n) p + (mn) mp Γ(mn) p N = lim = ( ) p + p N lim p + p N m mn 1/2 (m 1)/2 (Γ(n))m n Γ(mn) mn 1/2 n(m 1)/2e nmnnm (2π/n)m/2 m e mn (mn) mn 2π/(mn) = (2π) (m 1)/2 ce qui suffit pour conclure (en ( ), on utilise l première formule de l propriété précédente; en ( ), on utilise l formule de Stirling). L formule de dupliction de Legendre n est qunt à elle qu une utre écriture de l formule de Guss pour m = L fonction Bet : B Remrque. Pour tout (m, n) ], + [ ], + [, x m 1 (1 x) n 1 est une fonction intégrble sur ], 1[. Cel résulte ussitôt des critères prtiques d intégrbilité d une fonction sur un intervlle de R. Définition. L fonction Bet B est définie selon B : ], + [ ], + [; (m, n) 1 on dit ussi qu il s git de l deuxième intégrle eulérienne. Voici quelques propriétés mrquntes de cette fonction. x m 1 (1 x) n 1 dx Proposition Pour tout (m, n) ], + [ ], + [, on ) B(m, n) >, b) B(m, n) = B(n, m), c) B(m, n) = Γ(m)Γ(n) Γ(m + n).

83 Preuve. ) est trivil. b) De fit, le chngement de vrible linéire y = 1 x donne ussitôt 1 x m 1 (1 x) n 1 dx = 1 (1 y) m 1 y n 1 dy. c) Comme les fonctions e x x m 1 et e y y n 1 sont intégrbles sur ], + [, l fonction e x y x m 1 y n 1 est intégrble sur ], + [ ], + [ et son intégrle vut Γ(m)Γ(n). On peut ussi évluer cette intégrle en recournt u chngement de vrible { x = ξ(1 η) y = ξη { ξ = x + y η = y/(x + y) régulier d ordre infini entre ], + [ ], + [ et ], + [ ], 1[. Il vient Γ(m)Γ(n) = + e ξ ξ m+n 1 dξ 1 (1 η) m 1 η n 1 dη = Γ(m + n) B(m, n). Remrque. L formule obtenue en c) permet d voir l vleur de B(m, n) pour toutes les vleurs entières et demi-entières de m et n. Voici un utre cs où l vleur de B(m, n) est connue. Théorème (formule d Euler) Pour tout θ ], 1[, B(θ, 1 θ) = Γ(θ) Γ(1 θ) = + x θ x dx = π sin(θπ). Preuve. L première églité résulte de l formule c) de l Proposition précédente cr on Γ(1) = 1. Pour obtenir l deuxième églité, il suffit d effectuer le chngement de vrible x = y/(1 + y) dns l expression intégrle de B(θ, 1 θ): il vient 1 x θ 1 (1 x) θ dx = + y θ 1 1 dy (1 + y) θ 1 (1 + y) θ (1 + y). 2 Pour conclure, étblissons l troisième églité. On prouve d bord que e iλθ + x θ e iλ x dx = x θ 1 dx, λ ] π, π[. 1 + x Comme e iλθ pprtient à C 1 (R) et comme ) on x θ 1 /(1 + e iλ x) C 1 (] π, π[) pour tout x ], + [,

84 b) on x θ 1 /(1 + e iλ x) L 1 (], + [) pour tout x ] π, π[, c) pour tout compct K ] π, π[, sup D x θ 1 λ λ K 1 + e iλ x = sup x θ λ K x 2 + 2x cos(λ) + 1 est mjoré sur ], + [ pr x θ x 2 2x cos(ε) + 1 L1 (], + [) si on choisit ε ], π[ tel que K ] π + ε, π ε[, l fonction + e iλθ x θ 1 dx ( ) 1 + e iλ x est continûment dérivble pr rpport à λ sur ] π, π[ et de dérivée égle à + e (iθ iλθ x θ 1 + ) x θ dx 1 + e iλ ieiλ x (1 + e iλ x) dx 2 + = e (iθ iλθ x θ 1 + ) 1 + e iλ x dx + i x θ 1 D x 1 + e iλ x dx, c est-à-dire à en intégrnt pr prties dns l toute dernière intégrle. Cette fonction ( ) est donc constnte sur ] π, π[ et l églité nnoncée provient de s vleur en. Pour tout λ ] π, π[, on donc et pr conséquent sin(λ) + + x θ 1 dx = 1 + e iλ e iλθ x + x θ x dx x θ + x θ 1 dx = sin(λθ) x 2 + 2x cos(λ) x dx en églnt les prties imginires des deux membres de cette églité. Cel étnt, pour conclure, il suffit de prouver que Or, pour tout λ ], π[, sin(λ) + lim sin(λ) λ π + + x θ x 2 + 2x cos(λ) + 1 dx = x θ dx = π. x 2 + 2x cos(λ) sin(λ) x θ (x + cos(λ)) 2 + sin 2 (λ) dx

85 est égl à + (y sin(λ) cos(λ)) θ dy cotg(λ) 1 + y 2 en recournt u chngement de vrible linéire x = y sin(λ) cos(λ). Il suffit lors d ppliquer le théorème de l convergence mjorée cr on y sin(λ) cos(λ) θ ( y + 1) θ sur R et cr l fonction ( y + 1) θ /(1 + y 2 ) est intégrble sur R. Proposition Pour tout m ], + [, on B(m, m) = 2 2m+1 B(m, 1/2). Preuve. De fit, on successivement B(m, m) = Γ(m)Γ(m) Γ(2m) = Γ(m)Γ(m) π Γ(m)Γ(1/2) = Γ(m)Γ(m + 1/2)22m 1 Γ(m + 1/2) 2 2m Autres intégrles eulériennes L évlution de nombreuses intégrles se rmène ux fonctions Γ et B. Proposition ) Pour tous m >, n > 1 et >, + e xm x n dx = 1 ( ) 1 + n m Γ (n+1)/m. m b) Pour tous m > 1, n > 1, p > et >, x m ( p x p ) n dx = 1 ( p B n + 1, m + 1 ) m+np 1. p c) Pour tous m > 1 et n > 1, b (x ) m (b x) n dx = (b ) m+n+1 B(m + 1, n + 1). d) Pour tous m > 1, n > 1 et c [, b], b (x ) m (b x) n x c m+n+2 dx = (b ) m+n+1 c n+1 m+1 B(m + 1, n + 1). b c

86 e) Pour tous m > 1, p >, n > (m + 1)/p, > et b >, + ( x m b(m+1)/p n m + 1 dx = (x p + b) n (m+1)/p p B, n m + 1 ). p p f) Pour tous m > 1 et n > 1, π/2 sin m (θ) cos n (θ) dθ = 1 ( m B, n + 1 ). 2 2 g) Pour tous m > 1, n > 1, > et b >, π/2 cos m (θ) sin n (θ) B((m + 1)/2, (n + 1)/2) ( cos 2 (θ) + b sin 2 dθ =. (θ))(m+n+2)/2 2 (m+1)/2 b (n+1)/2 Preuve. Pour s en ssurer, il suffit d effectuer le chngement de vrible: ) x m = y, b) x p = p y, c) x = + (b )y, (b c) + c( b)y d) x = (b c) + ( b)y, b e) x p + b = y, f) sin 2 (θ) = y, g) sin 2 (θ) = x ( b)x + b.

87 Chpitre 7 Introduction à l formule de Stokes 7.1 Chemins et courbes dns R n Définitions. Un chemin dns R n est l donnée ) d un intervlle compct [, b] de R, b) de n fonctions γ 1,..., γ n réelles et continues sur [, b], c est-à-dire d une ppliction continue γ : [, b] R n. Ce chemin est noté (γ, [, b]) ou même, plus simplement, γ si ucune confusion sur [, b] n est possible. Il est C 1 si chcune des fonctions γ 1,..., γ n qui définissent γ pprtient à C 1 ([, b]). L origine du chemin (γ, [, b]) est le point γ() et son extrémité, le point γ(b). Un lcet est un chemin fermé, c est-à-dire un chemin dont l origine est égle à l extrémité. Exemple. Etnt donné deux points, b de R n, le segment joignnt à b est le chemin (γ, [, 1]) dns R n défini pr γ(t) = + t(b ), t [, 1]. Exemple. pr Le lcet circonférence unité est le lcet (γ, [, 2π]) dns R 2 défini γ(t) = (cos(t), sin(t)), t [, 2π]. Définitions. Une courbe (resp. une boucle) dns R n est une prtie Γ de R n pour lquelle il existe un chemin (resp. un lcet) (γ, [, b]) dns R n tel que Γ = γ([, b]). L éqution x = γ(t) pour t [, b]

88 porte lors le nom de représenttion prmétrique de Γ. déterminé pr (γ, [, b]). On dit ussi que Γ est Remrques. ) Il est clir que toute boucle est une courbe. Il est un peu moins évident que toute courbe est une boucle: il suffit de considérer les représenttions prmétriques x = γ(t) pour t [, b] et x = γ( + sin(t)(b )) pour t [, π]. L distinction entre courbe et boucle ne présente donc priori ucun intérêt. b) On vérifie de suite que toute courbe est compcte. c) Les notions de chemin = ppliction... et de courbe = ensemble... sont essentiellement différentes. Cette distinction est prticulièrement mise en évidence pr l propriété suivnte: toute courbe dmet une représenttion prmétrique sur n importe quel intervlle compct de R. De fit, si (γ, [, b]) est un chemin dns R n et si [c, d] est un intervlle compct de R, on tôt fit de vérifier que, pour tout f C ([c, d]) tel que f([c, d]) = [, b], (γ(f), [c, d]) convient. Un exemple de telle fonction f est donné pr f(t) = + t c d c (b ). Exemple. Quels que soient les points, b de R n, le segment d extrémités, b b = { + t(b ) : t [, 1]} est une courbe dns R n. Plus générlement, étnt donné un nombre fini de points, 1,..., J de R n, on vérifie de suite que l réunion des segments 1,..., J 1 J est une courbe dns R n, ppelée courbe polygonle ssociée ux points, 1,..., J. Il est noté... J. Exemple. L circonférence unité dns R 2 { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1 } = { (cos(t), sin(t)) : t [, 2π]} est une boucle dns R 2. Exercice. Pour toute fonction f continue et réelle sur l intervlle compct [, b] de R, l ensemble { x, f(x) : x [, b]} est une courbe dns R 2. Exercice. Pour tout R n, {} est une courbe dns R n. 7.2 Longueur d un chemin rectifible Définitions. Un découpge de l intervlle compct [, b] de R est l donnée de nombres réels, 1,..., J en nombre fini et tels que = < 1 <... < J = b.

89 Il est noté [,..., J ]. Il est subordonné à r > si on j j 1 r pour tout j = 1,..., J. Il est moins fin que le découpge [b,..., b K ] de [, b] si {, 1,..., J } {b, b 1,..., b K }, uquel cs on dit ussi que le découpge [b,..., b K ] est plus fin que le découpge [,..., J ]. Définitions. Le chemin (γ, [, b]) dns R n est rectifible si l ensemble { J } γ( j ) γ( j 1 ) : [,..., J ] D, j=1 où D est l ensemble des découpges de [, b], est borné, uquel cs s borne supérieure est ppelée longueur de γ et est bien souvent notée L γ. Le résultt suivnt est fort utile. Lemme Soient (γ, [, b]) un chemin dns R n et [,..., J ] un découpge de [, b]. Si le découpge [b,..., b K ] de [, b] est plus fin que [,..., J ], il vient J γ( j ) γ( j 1 ) j=1 K γ(b k ) γ(b k 1 ). k=1 Preuve. Cel résulte ussitôt de l inéglité de Minkowski. Proposition Soient (γ, [, b]) un chemin dns R n et [,..., J ] un découpge de [, b]. Alors le chemin γ est rectifible si et seulement si chcun des chemins (γ (j) = γ [j 1, j ], [ j 1, j ]) l est, uquel cs on L γ = J j=1 L γ (j). Preuve. L condition est nécessire. En mettnt ensemble des découpges des intervlles compcts [ j 1, j ] pour j = 1,..., J, on détermine un découpge de [, b]. Cel ssure l rectifibilité de chcun des chemins γ (j) insi que l inéglité J j=1 L γ L γ. (j) L condition est suffisnte. Cel résulte ussitôt du lemme précédent et du fit que tout découpge de [, b] est moins fin qu un certin découpge de [, b] contennt les points 1,..., J 1. Ceci ssure en outre l inéglité L γ J j=1 L γ (j). D où l conclusion.

90 Définition. En prticulier, si (γ, [, b]) est un chemin rectifible dns R n, lors, pour tout t ], b], (γ [,t], [, t]) est un chemin rectifible dns R n dont nous notons L γ (t) l longueur. De plus, nous posons L γ () =. De l sorte, nous venons de définir une fonction L γ ( ) sur [, b], qui de nombreuses propriétés. Théorème Si (γ, [, b]) est un chemin rectifible dns R n, l fonction L γ ( ): [, b] R est à vleurs dns [, L γ ], croissnte et continue. De plus, elle est strictement croissnte si et seulement si γ n est constnt sur ucun intervlle inclus dns [, b]. Preuve. Seule l continuité n est ps immédite. Etblissons pr exemple que L γ ( ) est continu à guche en tout point t ], b]; comme on étblit de même que L γ ( ) est continu à droite en tout point t de [, b[ (le cs t = demnde une ttention spécile), on conclut ussitôt. Fixons ε >. D une prt, comme (γ [,t ], [, t ]) est un chemin rectifible, il existe un découpge [r,..., r J ] de [, t ] tel que L γ (t ) ε 2 J γ(r j ) γ(r j 1 ). j=1 D utre prt, vu l continuité de γ sur [, b], il existe un point s J dns ]r J 1, t [ tel que γ(t ) γ(s J ) ε/2. Dns ces conditions, [s = r, s 1 = r 1,..., s J 1 = r J 1, s J, s J+1 = t ] est un découpge de [, t ] plus fin que [r,..., r J ] et il vient L γ (t ) ε 2 J γ(s j ) γ(s j 1 ) + ε 2 L γ(s J ) + ε 2 L γ(t ) + ε 2 j=1 donc L γ (t ) L γ (s) ε pour tout s [s J, t ], vu l croissnce de L γ ( ). Théorème Si (γ, [, b]) est un chemin dns R n tel que chcune des fonctions γ 1,..., γ n définissnt γ soit continûment dérivble et à dérivée intégrble sur ], b[, lors γ est rectifible et de longueur donnée pr L γ = b Dγ(t) dt. ( )

91 Preuve. Etblissons d bord ce résultt dns le cs où γ est un chemin C 1. D une prt, γ est rectifible cr, pour tout découpge [,..., J ] de [, b], le théorème des ccroissements finis donne l existence pour tout j = 1,..., J de points j,1,..., j,n ] j 1, j [ tels que γ( j ) γ( j 1 ) = ( j j 1 ) n (Dγ k ( j,k )) 2. Comme les fonctions Dγ k sont continues, donc bornées sur le compct [, b], on conclut ussitôt. D utre prt, prouvons que l longueur de γ est donnée pr l formule ( ). Comme γ est rectifible, il existe une suite [ (m),..., (m) J(m) ] de découpges de [, b] tels que J(m) γ( (m) j ) γ( (m) j 1 ) Lγ j=1 si m. Vu le lemme 7.2.1, nous pouvons bien sûr supposer que l suite ε m = sup (m) (m) j=1,...,j(m) converge vers. Cel étnt (vec des nottions clires pr elles-mêmes, déterminées comme dns l première prtie de cette preuve), les fonctions J(m) f m = n ( ) 2 Dγ k ( (m) j,k ) χ] (m) j 1,(m) j ] j=1 k=1 ) sont mesurbles, b) constituent une suite de fonctions qui converge pp sur R vers Dγ χ [,b], c) ont leur module mjoré pp sur R pr une fonction intégrble fixe du type Cχ [,b]. Dès lors, vu le théorème de l convergence mjorée, l suite J(m) j=1 j k=1 j 1 n b (Dγ k ( (m) j,k ))2 ( (m) j (m) j 1 ) = f m (t) dt k=1 converge vers b Dγ(t) dt. D où l conclusion. Pssons u cs générl. Etblissons d bord que γ est rectifible. Vu l continuité de γ, il existe η > tel que γ( ) γ() + γ(b) γ(b ) 1

92 pour tous, b [, b] tels que η et b b η. Cel étnt, soit [,..., J ] un découpge de [, b]. Quitte à le remplcer pr un découpge plus fin [b,..., b K ] tel que b 1 b η et b K b K 1 η, ce qui ne ferit qu ugmenter J j=1 γ( j) γ( j 1 ), nous pouvons supposer voir J J 1 γ( j ) γ( j 1 ) 1 + γ( j ) γ( j 1 ). j=1 L conclusion s ensuit ussitôt cr on J 1 γ( j ) γ( j 1 ) j=2 J 1 1 j=2 Dγ(t) dt b Dγ(t) dt vu l première prtie de cette preuve. Cel étnt, prouvons que L γ est donné pr l formule ( ). Pour tous < < b < b, vu ce qui précède, nous vons L γ [,b ] = b Dγ(t) dt. L conclusion résulte lors ussitôt du théorème précédent et de l intégrbilité de Dγ sur [, b]. Interpréttion. L longueur d un chemin (γ, [, b]) dns R n tel que chcune des fonctions γ 1,..., γ n définissnt γ soit continûment dérivble et à dérivée intégrble sur ], b[ une interpréttion très prgmtique: ) on choisit une suite numérique réelle strictement positive δ m qui converge vers, b) pour tout m N, on choisit un découpge [ (m),..., (m) J(m) ] de [, b] subordonné à δ m. Cel étnt, l longueur L γ de ce chemin est égle à l limite de l suite J(m) j=1 γ( (m) j ) γ( (m) j 1 ). y γ() γ(b) b x

93 Preuve. Pour tout ε >, il existe η ], (b )/4[ tel que +η Dγ(t) dt + b b η Dγ(t) dt ε 2. Pour m suffismment grnd, on δ m < η; il existe donc j (m) et j 1 (m) tels que < (m) j (m) + η < (m) j (m)+1 (m) j 1 (m) 1 < b η (m) j 1 (m) < b. Tout comme dns l démonstrtion précédente, on étblit que j 1 (m) j=j (m)+1 b η γ( (m) j ) γ( (m) j 1 ) Dγ(t) dt. L conclusion est lors immédite cr, pour m suffismment grnd, il vient successivement L γ ε = b Dγ(t) dt ε b η +η j 1 (m) j=j (m)+1 +η Dγ(t) dt ε 2 γ( (m) j ) γ( (m) j 1 ) Lγ. Exemple. Pour tout couple de points, b de R n, le segment joignnt à b est rectifible et de longueur égle à l distnce b entre ces points. Exemple. Le lcet circonférence unité est rectifible et de longueur égle à 2π. Plus générlement, l rc de circonférence de ryon R et de centre (, b) compris entre les ngles polires ω et ω 1 vec ω < ω 1 à svoir (γ, [ω, ω 1 ]) où γ est défini pr γ(t) = ( + R cos(t), b + R sin(t)) pour tout t [ω, ω 1 ] est rectifible et de longueur égle à (ω 1 ω )R. Exercice. Clculer l longueur de l rcde de sinusoïde de représenttion prmétrique (x, y) = (t, sin(t)) pour t [, 2π]. On vérifie de suite que le théorème précédent s pplique: cette rcde est un chemin rectifible et s longueur est égle à L C = 2π 1 + cos 2 (x) dx. (Il s git d une intégrle elliptique qu on ne sit ps clculer pr les méthodes que nous vons mises u point.)

94 L propriété suivnte d invrince de l longueur d un chemin rectifible est importnte. C est elle qui v nous permettre d introduire u prgrphe suivnt l notion de longueur d une courbe. Proposition Si (γ 1, [ 1, b 1 ]) et (γ 2, [ 2, b 2 ]) sont deux chemins dns R n et s il existe une fonction f C ([ 2, b 2 ]) strictement monotone et telle que f([ 2, b 2 ]) = [ 1, b 1 ] et γ 2 = γ 1 (f), lors les chemins γ 1 et γ 2 sont simultnément rectifibles, uquel cs ils ont même longueur. Preuve. Vu le théorème de l fonction inverse, il suffit de prouver que, si γ 1 est rectifible, lors γ 2 est ussi rectifible et tel que L γ2 L γ1. Si, pr exemple, f est strictement croissnt, lors, pour tout découpge [c,..., c J ] de [ 2, b 2 ], [f(c ),..., f(c J )] est un découpge de [ 1, b 1 ] et on J γ 2 (c j ) γ 2 (c j 1 ) = j=1 J γ 1 [f(c j )] γ 1 [f(c j 1 )] L γ1, j=1 ce qui suffit. 7.3 Courbes simple et de Jordn dns R n Définition. Une courbe Γ dns R n est simple s il existe un chemin injectif (γ, [, b]) tel que Γ = γ([, b]). L éqution x = γ(t) pour t [, b] porte lors le nom de représenttion prmétrique simple de Γ. Lemme Soit x = γ(t) pour t [, b] une représenttion prmétrique simple de l courbe simple Γ dns R n. ) Pour toute représenttion prmétrique simple x = ϕ(s) pour s [c, d] de Γ, il existe une fonction f C ([c, d]) strictement monotone et telle que f([c, d]) = [, b] et ϕ = γ(f). b) Pour tout intervlle compct [c, d] de R et tout f C ([c, d]) strictement monotone et tel que f([c, d]) = [, b], le chemin (ϕ = γ(f), [c, d]) donne ussi lieu à une représenttion prmétrique simple de Γ. Preuve. ) Il suffit de définir f(s) pour s [c, d] comme étnt le point unique t [, b] tel que ϕ(s) = γ(t). Bien sûr, f est lors une fonction définie sur [c, d] et telle que f([c, d]) = [, b]. L continuité de f s étblit pr l bsurde. Si f n est ps continu, il existe une suite (s m ) m N dns [c, d] convergent vers s et ε > tels

95 que f(s m ) f(s ) ε pour tout m N. De l suite (f(s m )) m N dns [, b], on peut extrire une sous-suite (f(s k(m) )) m N qui converge vers un point t du compct [, b], qui ne peut être que f(s ) cr on doit voir γ(t ) = lim γ(f(s k(m) )) = lim ϕ(s k(m) ) = ϕ(s ). D où une contrdiction. Cel étnt, l stricte monotonie de f s étblit directement en recournt u théorème des vleurs intermédiires. b) est trivil. Théorème Soit x = γ(t) pour t [, b] une représenttion prmétrique simple de l courbe simple Γ dns R n. Si le chemin (γ, [, b]) est rectifible, lors, pour toute représenttion prmétrique simple x = ϕ(s) pour s [c, d] de Γ, le chemin (ϕ, [c, d]) est rectifible et tel que L γ = L ϕ. Preuve. Cel résulte ussitôt de l prtie ) du lemme précédent et de l dernière proposition du prgrphe précédent. Définition. Une courbe simple Γ dns R n est rectifible si elle dmet une représenttion prmétrique simple x = γ(t) pour t [, b] telle que le chemin (γ, [, b]) soit rectifible. Dns ce cs, l longueur de Γ, notée L Γ, est l longueur commune de tous les chemins (ϕ, [c, d]) tels que x = ϕ(s) pour s [c, d] soit une représenttion prmétrique simple de Γ. Définition. Une courbe Γ dns R n est de Jordn s il existe un lcet (γ, [, b]) tel que Γ = γ([, b]) et γ(t) γ(t ) pour tous t, t ], b] distincts. L éqution x = γ(t) pour t [, b] porte lors le nom de représenttion prmétrique de Jordn de Γ. Théorème Soit x = γ(t) pour t [, b] une représenttion prmétrique de Jordn de l courbe de Jordn Γ dns R n. Si le lcet (γ, [, b]) est rectifible, lors, pour toute représenttion prmétrique de Jordn x = ϕ(s) pour s [c, d] de Γ, le lcet (ϕ, [c, d]) est rectifible et tel que L γ = L ϕ. Preuve. Etblissons d bord ce résultt dns le cs où γ() = ϕ(c). Définissons une fonction f sur ]c, d[ de l mnière suivnte: pour tout s ]c, d[, f(s) est le point unique t ], b[ tel que ϕ(s) = γ(t). On vérifie comme dns l preuve du théorème précédent que f est une fonction continue et strictement monotone sur ]c, d[ telle que f(]c, d[) =], b[. Si on prolonge f sur [c, d] pr f(c) = lim f(s) et f(d) = lim f(s), s c + s d

96 on obtient une fonction f continue et strictement monotone sur ]c, d[ vérifint f([c, d]) = [, b] et telle que ϕ(s) = γ(f(s)) pour tout s [c, d]. L conclusion s ensuit directement. Si on γ() ϕ(c), il existe un point t ], b[ unique tel que γ(t ) = ϕ(c). On définit lors une ppliction ψ : [r, r + b ] R n pr { γ(t), t [r, b], ψ(t) = γ(t b + ), t [b, r + b ]. On vérifie de suite que x = ψ(r) pour r [r, r + b ] est une représenttion prmétrique de Jordn de Γ telle que ψ(r ) = ϕ(c) donc telle que L ψ = L ϕ. L conclusion est lors directe cr on vérifie de suite que L γ [,r ] = L ψ [b,r +b ]. Définitions. Une courbe de Jordn Γ dns R n est rectifible si elle dmet une représenttion prmétrique de Jordn x = γ(t) pour t [, b] telle que le lcet (γ, [, b]) soit rectifible. Dns ce cs, l longueur de Γ, notée L Γ, est l longueur commune de tous les lcets (ϕ, [c, d]) tels que x = ϕ(s) pour s [c, d] soit une représenttion prmétrique de Jordn de Γ. Théorème L longueur d une courbe simple (resp. de Jordn) rectifible est indépendnte du choix du système d xes des coordonnées. Exemple. Pour tout couple (, b) de points distincts de R n, le segment d extrémités, b est une courbe simple rectifible dont l longueur est égle à b. Exemple. Dns R 2, une circonférence de ryon R > est une courbe de Jordn rectifible dont l longueur est égle à 2πR. Exercice. Vérifier que l longueur d une rcde de cycloïde construite u moyen d une circonférence de ryon R > est égle à 8R

97 Suggestion. Comme l longueur d une courbe dns R n est invrinte pr rpport u choix du système d xes crtésiens, nous pouvons dopter le chemin ((R(ω sin(ω)), R(1 cos(ω))), ω [, 2π]), pour déterminer cette rcde Γ. Comme l fonction R(ω sin(ω)) est strictement croissnte sur R, Γ est une courbe simple. Comme les fonctions R(ω sin(ω)) et R(1 cos(ω)) pprtiennent à C 1 (R) et que leurs dérivées R(1 cos(ω)) et R sin(ω) sont intégrbles sur [, 2π], l courbe Γ est rectifible et telle que Cs prticuliers. 2π L γ = 2R sin(ω/2) dω = 8R. 1) Représenttion prmétrique crtésienne dns R 2. Si y(x) est une fonction réelle et continue sur l intervlle compct [, b] de R, continûment dérivble et à dérivée intégrble sur ], b[, lors Γ = { (x, y(x)) : x [, b]} est une courbe simple rectifible dns R 2 dont l longueur est égle à L Γ = b 1 + (Dy)2 dx. y y Γ 1 (x, y(x)) Γ 2 x b b ω 2) Représenttion prmétrique polire. Si ρ(ω) est une fonction continue sur l intervlle compct [, b] de R, continûment dérivble et à dérivée intégrble sur ], b[, si ρ est à vleurs strictement positives et si on b < 2π, lors Γ = { (ρ(ω) cos(ω), ρ(ω) sin(ω)) : ω [, b]} est une courbe simple rectifible dns R 2 dont l longueur est égle à L Γ = b ρ2 + (Dρ) 2 dω. x

98 7.4 Intégrle d une fonction sur un chemin rectifible Définitions. Soit [, b] un intervlle compct de R. Un découpge à l Riemnn de [, b] est l donnée ) d un découpge [,..., J ] de [, b], b) pour tout j {1,..., J}, d un point r j [ j 1, j ]. Il est noté {[,..., J ], (r j ) j J }. Une suite fondmentle { de découpges à l Riemnn } de [, b] est une suite de découpges à l Riemnn [ (m),..., (m) J(m) ], (r(m) j ) j J(m) tels que sup (m) j 1 j J(m) (m) = ε m. Théorème Soit (γ, [, b]) un chemin rectifible dns R n. Pour tout f C (γ([, b])) et toute suite fondmentle j 1 { } [ (m),..., (m) J(m) ], (r(m) j ) j J(m) de découpges à l Riemnn de [, b] telle que l suite J(m) j=1 J(m) j=1 γ( (m) j ) γ( (m) j 1 ) Lγ, f(γ(r (m) j )) γ( (m) j ) γ( (m) j 1 ) converge et s limite ne dépend ps de l suite de découpges choisie. Cette limite est ppelée intégrle de f sur γ et est notée γ f ds. Si en outre, les fonctions γ 1,..., γ n définissnt γ sont continûment dérivbles et à dérivée intégrble sur ], b[, lors on γ f ds = b f(γ(t)) Dγ(t) dt.

99 Preuve. Posons f = sup f(γ(t)). t [,b] L première prtie résulte ussitôt des considértions suivntes. Fixons ε >. Comme l fonction f(γ) est uniformément continue sur le compct [, b], il existe η > tel que x, y [, b] x y 2η } f(γ(x)) f(γ(y)) ε 3(L γ + 1). Cel étnt, si {[,..., J ], (r j ) j J } et {[b,..., b K ], (s k ) k K } sont des découpges à l Riemnn subordonnés à η de [, b] tels que J γ( j ) γ( j 1 ), j=1 K ε γ(b k ) γ(b k 1 ) L γ 3( f + 1), k=1 il vient successivement J f(γ(r j )) γ( j ) γ( j 1 ) j=1 ( ) K f(γ(s k )) γ(b k ) γ(b k 1 ) k=1 J f(γ(r j )) γ( j ) γ( j 1 ) L γ [j 1, j ] j=1 + + J j=1 k=1 K f(γ(r j )) f(γ(s k )) L γ [j 1, j ] [b k 1,b k ] K f(γ(s k )) γ(b k ) γ(b k 1 ) L γ [bk 1,b k ] k=1 f ε 3( f + 1) + ε 3(L γ + 1) L γ + f ε 3( f + 1) ε (en ( ), on pose L γ I J = si I et J sont des intervlles compcts inclus dns [, b] dont l intersection est soit vide, soit réduite à un point). Pssons à l deuxième prtie de l énoncé. De l définition même de f ds, on γ tire de suite l mjortion f ds γ f Lγ. On en déduit imméditement que l fonction γ [,t] f ds est continue sur [, b]. Cel étnt, il suffit bien sûr d étblir l formule nnoncée sous l hypothèse supplémentire que le chemin γ soit C 1. Il s git là d une ppliction du théorème de Lebesgue nlogue à celle utilisée pour étblir l propriété correspondnte de L γ.

100 Proposition Soient (γ 1, [ 1, b 1 ]) et (γ 2, [ 2, b 2 ]) deux chemins rectifibles dns R n. S il existe une fonction g pprtennt à C ([ 2, b 2 ]), strictement monotone et telle que g([ 2, b 2 ]) = [ 1, b 1 ] et γ 2 = γ 1 (g), lors il vient f ds = γ 1 f ds, γ 2 f C (γ 1 ([ 1, b 1 ])). Extension. Rien ne s oppose plus mintennt à l introduction de l intégrle d une fonction f continue sur une courbe simple (resp. de Jordn) rectifible Γ dns R n comme étnt f ds où x = γ(t) pour t [, b] est une représenttion prmétrique γ simple (resp. de Jordn) et rectifible de Γ puisque ce nombre ne dépend ps de l représenttion prmétrique choisie. On l note f ds. Γ 7.5 Intégrles curvilignes Théorème Soit (γ, [, b]) un chemin rectifible dns R n. Pour toute ppliction continue f : γ([, b]) R n et toute suite fondmentle {[ (m),..., (m) J(m) ], (r(m) j ) j J(m) } de découpges à l Riemnn de [, b] telle que γ( (m) j ) γ( (m) j 1 ) Lγ, l suite J(m) j=1 J(m) j=1 f(γ(r (m) j )), γ( (m) j ) γ( (m) j 1 ) converge et s limite ne dépend ps de l suite de découpges choisie. Cette limite est ppelée intégrle de f le long de γ et est notée n f, dx ou f k dx k. γ γ k=1 Si, en outre, les fonctions γ 1,..., γ n définissnt γ sont continûment dérivbles et à dérivée intégrble sur ], b[, lors il vient n b f, dx = f k (γ(t)) Dγ k (t) dt. γ k=1 Preuve. L première prtie résulte ussitôt des considértions suivntes. Fixons ε >. Comme f(γ) est une ppliction uniformément continue sur le compct [, b], il existe η > tel que (x, y [, b], x y η) f(γ(x)) f(γ(y)) ε L γ + 1.

101 Cel étnt, si {[,..., J ], (r j ) j J } et {[b,..., b L ], (s l ) l L } sont des découpges à l Riemnn de [, b] subordonnés à η/2, lors, pour tout k n, il vient J L f k (γ(r j ))(γ k ( j ) γ k ( j 1 )) f k (γ(s l ))(γ k (b l ) γ k (b l 1 )) j=1 l=1 M m=1 ε L γ + 1 γ(c m) γ(c m 1 ) ε si [c,..., c M ] est le découpge de [, b] obtenu en considérnt les points,..., J et b,..., b L. Comme on évidemment f, dx sup f(γ(t)) L γ, γ t [,b] pour étblir l deuxième prtie, il suffit bien sûr d étblir l formule nnoncée sous l hypothèse supplémentire que le chemin γ soit C 1. Il s git là d une ppliction, devenue mintennt clssique, du théorème de l convergence mjorée. L formule utilisée dns l preuve précédente mérite d être mise en évidence. Proposition Si (γ, [, b]) est un chemin rectifible dns R n et si f est une ppliction continue de γ([, b]) dns R n, lors on f, dx sup f(x) L γ. x γ([,b]) γ Proposition (invrince) ) Si (γ, [, b]) et (ϕ, [c, d]) sont deux chemins rectifibles dns R n pour lesquels il existe g C ([c, b]) strictement croissnt (resp. strictement décroissnt) tel que g([c, d]) = [, b] et ϕ = γ(g), lors on ( ) f, dx = f, dx resp.= f, dx γ ϕ pour toute ppliction f continue de γ([, b]) dns R n. b) Soit (γ, [, b]) un chemin simple C 1 dns R n. Si [c, d] est un intervlle compct de R et g C 1 ([c, d]) une fonction telle que g(c) =, g(d) = b (resp. g(c) = b, g(d) = ) et g(]c, d[) =], b[, lors i) (γ(g), [c, d]) est un chemin C 1 dns R n déterminnt l même courbe que γ, ii) on γ f, dx = γ(g) f, dx pour toute ppliction continue f de γ([, b]) dns R n. ( ) resp. f, dx γ(g) ϕ

102 Preuve. ) est clir. b.i) est immédit. b.ii) résulte ussitôt du fit que n f j (γ(g(t))) [Dγ j ] g(t) Dg(t) j=1 est une fonction continue et bornée, donc intégrble, sur [c, d] dont une primitive sur ]c, d[ est donnée pr F (g) si F est une primitive sur ], b[ de l fonction continue et intégrble sur ], b[. n f j (γ(s)) Dγ j (s) j=1 Remrque. L présence du signe ± qui intervient dns les deux propriétés précédentes nous contrint à introduire l notion suivnte fin de pouvoir prler d intégrle le long d une courbe simple (resp. de Jordn). Définition. Soit Γ une courbe simple dns R n. Dns l ensemble des représenttions prmétriques simples de Γ, l reltion définie pr { l fonction g définie sur [c, d] pr (γ, [, b]) (ϕ, [c, d]) γ(g) = ϕ est strictement croissnte est bien sûr une reltion d équivlence. Elle détermine deux clsses, ppelées orienttions de Γ. Pour les distinguer, on convient d ppeler l une l orienttion positive et l utre l orienttion négtive de Γ. On dit qu une représenttion prmétrique simple x = γ(t) pour t [, b] est positive ou négtive selon l orienttion à lquelle γ pprtient. Ces considértions s étendent isément ux courbes de Jordn. Extension. Rien ne s oppose plus mintennt à l introduction de l intégrle d une ppliction continue sur une courbe simple (resp. de Jordn) rectifible et orientée Γ dns R n comme étnt f, dx où x = γ(t) pour t [, b] est une γ représenttion prmétrique simple (resp. de Jordn) positive de Γ. Si l orienttion de Γ est clire, on pose même f, dx = f, dx. Γ + γ

103 Remrque. Il rrive bien souvent qu une courbe simple (resp. de Jordn) orientée Γ dns R n puisse être décrite isément à prtir d un nombre fini de représenttions prmétriques prtielles (c est déjà le cs pour toute courbe polygonle). Précisons cette remrque et indiquons son utilistion. Soit d une prt x = γ(t) pour t [, b] une représenttion prmétrique simple (resp. de Jordn) positive de l courbe simple (resp. de Jordn) Γ. Soient d utre prt un découpge non trivil [,..., J ] de [, b] et, pour tout j {1,..., J}, x = ϕ j (t) pour t [c j, d j ] une représenttion prmétrique simple de γ([ j 1, j ]) telle que ϕ j (c j ) = γ( j 1 ) et ϕ j (d j ) = γ( j ). Cel étnt, si [b,..., b J ] est un découpge de l intervlle compct [, b ] de R, l ppliction (ϕ, [, b ]) définie pr ( cj b j d j b j 1 ϕ(t) = ϕ j + d ) j c j t, b j b j 1 b j b j 1 t [b j 1, b j ], j J, donne ussi lieu à une représenttion prmétrique simple positive de Γ. De plus, il vient ) Γ = Γ ϕ, b) γ est rectifible si et seulement si chcun des ϕ j l est, ce qui lieu si et seulement si ϕ l est, uquel cs on L γ = L ϕ = L ϕ L ϕj, c) si γ est rectifible, on pour tout f C (Γ), d) si γ est rectifible, on γ γ f ds = f, dx = ϕ ϕ f ds = f, dx = pour toute ppliction continue f de Γ dns R n. J j=1 J j=1 ϕ j f ds ϕ j f, dx 7.6 Formule de Guss-Green dns R 2 Définitions. Un compct prllèle à l xe des x (resp. à l xe des y) dns R 2 est une prtie de R 2 qui peut s écrire { (x, y) : y b, α(y) x β(y)} vec (resp. { (x, y) : x b, α(x) y β(x)})

104 i), b R tels que < b, ii) α, β C ([, b]) C 1 (], b[) tels que Dα, Dβ L 1 (], b[), α() β(), α(b) β(b) et α(t) < β(t) pour tout t ], b[. y y (, b) (, y) Γ 3 (α(y), y) (β(y), y) (x, β(x)) Γ 4 (, ) Γ 4 Γ 2 Γ 1 x Γ 1 (, ) (x, α(x)) Γ 2 (x, ) Γ 3 (b, ) On vérifie de suite que de tels ensembles K sont des prties compctes de R 2, non vides et telles que K = K,, dont l frontière est une courbe de Jordn rectifible. Le bord orienté positivement d un tel compct K, noté K, est l frontière de K considérée comme étnt l courbe de Jordn rectifible décrite pr les courbes orientées suivntes i) si K est prllèle à l xe des x: Γ 1 : (x, y) = (α() + t(β() α()), ), (t [, 1]), Γ 2 : (x, y) = (β(t), t), (t [, b]), Γ 3 : (x, y) = (β(b) + t(α(b) β(b)), b), (t [, 1]), Γ 4 : (x, y) = (α( + b t), + b t), (t [, b]), où il fut supprimer Γ 1 si on α() = β() et supprimer Γ 3 si α(b) = β(b), ii) si K est prllèle à l xe des y: Γ 1 : (x, y) = (, β() + t(α() β())), (t [, 1]), Γ 2 : (x, y) = (t, α(t)), (t [, b]), Γ 3 : (x, y) = (b, α(b) + t(β(b) α(b))), (t [, 1]), Γ 4 : (x, y) = ( + b t, β( + b t)), (t [, b]), où il fut supprimer Γ 1 si on α() = β() et supprimer Γ 3 si α(b) = β(b). Théorème (Guss-Green) Soit K un compct de R 2, à l fois prllèle à l xe des x et à l xe des y. Si les fonctions P et Q pprtiennent à C 1 (Ω) où Ω est un ouvert de R 2 contennt K, lors on (D x Q D y P ) dx dy = (P dx + Q dy). K K x

105 Preuve. Nous llons utiliser pour K et K les nottions introduites dns les définitions qui précèdent. Etblissons que, si K est un compct de R 2 prllèle à l xe des x, on D x Q dx dy = Q dy; comme on étblit de même l églité D y P dx dy = P dx, K K K si K est un compct de R 2 prllèle à l xe des y, l conclusion s ensuit ussitôt. D une prt, K étnt un compct prllèle à l xe des x dns R 2 et D x Q étnt une fonction intégrble sur K, le théorème de Fubini donne K D x Q dx dy = b dt β(t) α(t) K [D x Q] (x,t) dx = b (Q(β(t), t) Q(α(t), t)) dt; en effet, pour tout t ], b[, [D x Q] (x,t) est une fonction continue et intégrble sur ]α(t), β(t)[, dont Q(x, t) est une primitive. D utre prt, (, Q) est une ppliction continue de l courbe de Jordn rectifible et orientée K dns R 2 ; on donc (, Q), (dx, dy) = Q dy = K K 4 j=1 Γ j Q dy (où Γ j Q dy est à remplcer pr si on doit supprimer Γ j ) vec Q dy = Γ 1 Q dy = Γ 2 Q dy = Γ 3 Q dy = Γ 4 1 b 1 b D où l conclusion. Q(α() + t(β() α()), )D t dt =, Q(β(t), t)d t t dt, Q(β(b) + t(α(b) β(b)), b)d t b dt =, Q(α( + b t), + b t)d t ( + b t) dt = b Q(α(t), t) dt.

106 Remrque. Comme exemples de compcts de R 2 qui sont à l fois prllèles à l xe des x et à l xe des y, citons i) les intervlles compcts de R 2, ii) les disques fermés de R 2 et, plus générlement, les ellipses fermées de R 2 pour utnt que leurs xes soient prllèles ux xes des coordonnées. Extensions. Signlons que l hypothèse formulée sur K dns l formule de Guss-Green dns R 2 peut être sensiblement ffiblie. i) Il suffit que K soit un compct régulier de R 2 dont l intérieur est connexe et dont l frontière est une courbe de Jordn rectifible. (Cf. T.M. Aspostol: Mthemticl nlysis, (1957)). ii) En recournt un nombre fini de fois à l formule de Guss-Green dns R 2, on étend son ppliction à des compcts tels que Pr exemple, si K est l ensemble hchuré ci-près, F E D C A G B notons K 1 l intervlle compct de sommets A, G, E, F et K 2 l intervlle compct de sommets G, B, C, D. On lors K (D x Q D y P ) dx dy = K 1 + K 2 (D x Q D y P ) dx dy et on peut ppliquer l formule de Guss-Green dns R 2 à K 1 et à K 2. Vis-àvis de K 1, le segment d extrémités G = (, b), D = (, c) intervient pour donner c Q(, t) dt et vis-à-vis de K b 2, pour donner c Q(, t) dt; ces deux contributions b s nnulent.

107 7.7 Couvertures et surfces dns R 3 Définitions. Une couverture dns R 3 est l donnée ) d un intervlle compct K de R 2, b) de trois fonctions réelles ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 C 1 (U) où U est un ouvert de R 2 contennt K, telles que l ppliction ϕ: K R 3 soit injective et qu il existe deux fonctions réelles ψ 1, ψ 2 C 1 (Ω) où Ω est un ouvert de R 3 contennt ϕ(k ), telles que ψ(ϕ(u, v)) = (u, v) pour tout (u, v) K. Cette couverture est notée (ϕ, K). v z K (u, v) ϕ φ(u, v) u y x Une surfce dns R 3 est une prtie S de R 3 pour lquelle il existe une couverture (ϕ, K) dns R 3 telle que S = ϕ(k). L éqution x = ϕ(u, v) pour (u, v) K porte lors le nom de représenttion prmétrique de l surfce S. On dit ussi que S est l surfce déterminée pr l couverture (ϕ, K). Remrques. ) L distinction entre couverture et surfce est à rpprocher de celle qui existe entre chemin et courbe. b) On vérifie de suite que toute surfce dns R 3 est compcte. c) En plus des exemples fondmentux qui suivent, nous llons donner u prgrphe suivnt de nombreux exemples de surfces dns R 3. Exemple. Tout prllélogrmme dns R 3 est une surfce. Le prllélogrmme P de sommet P et de côtés et b en P peut s écrire P = ϕ(k) où K est égl à [, 1] [, 1] et où ϕ: R 2 R 3 est défini pr ϕ(u, v) = P + u + vb. Pour conclure, il suffit de vérifier que (ϕ, K) est une couverture dns R 3. Bien sûr, K est un intervlle compct de R 2. Les fonctions ϕ 1, ϕ 2 et ϕ 3 s écrivent explicitement ϕ(u, v) = P j + j u + b j v; elles sont donc réelles et pprtiennent à

108 C (R 2 ). L injectivité de ϕ: K R 3 est ssurée pr le fit que et b ne sont ps prllèles. Pour obtenir les fonctions ψ 1 et ψ 2, il suffit de procéder comme suit. On choisit d bord c R 3 tel que, b et c soient linéirement indépendnts. Cel étnt, l mtrice A = (, b, c) est telle que (x, y, z) = A(u, v, w) + P est un chngement de vrible linéire donc régulier d ordre infini entre R 3 et R 3 qui s inverse en u v w = A 1 x y z A 1 P = λ 1 (x, y, z) λ 2 (x, y, z) λ 3 (x, y, z). Il reste lors à constter que les fonctions λ 1 et λ 2 pprtiennent à C (R 3 ) et que Ω = R 3, ψ 1 = λ 1 et ψ 2 = λ 2 conviennent. Exemple. Tout tringle de R 3 est une surfce. Le tringle T de sommet P et de côtés et b en P peut s écrire T = ϕ(k) où K est égl à [, 1] [, 1] et où ϕ: R 2 R 3 est défini pr ϕ(u, v) = P + u + v(1 u)b. Pour conclure, il suffit de vérifier que (ϕ, K) est une couverture dns R 3, ce qui est direct. L injectivité de ϕ: K R 3 est ssurée pr le fit que et b ne sont ps prllèles. Pour obtenir ψ 1 et ψ 2, on choisit d bord c R 3 tel que, b et c soient linéirement indépendnts et on procède comme dns l exemple précédent pour obtenir les fonctions λ 1, λ 2 et λ 3 C (R 3 ). Il reste lors à vérifier que Ω = R 3 \ {P + + vb + wc: v, w R}, ψ 1 = λ 1 et ψ 2 = λ 2 /(1 λ 2 ) conviennent. Exemple. Toute sphère dns R 3 est une surfce. L sphère S de centre P et de ryon R > s écrit S = ϕ(k) où K est égl à [, π] [, 2π] et où ϕ: R 2 R 3 est défini pr ϕ(u, v) = P + R(sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u)). Pour conclure, il suffit de vérifier que (ϕ, K) est une couverture dns R 3, ce qui est direct. On peut poser Ω = P + R 3 \ { (x,, z) : x, z R} et définir l ppliction ψ : Ω R 2 pr ψ ( P + R(sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u)) ) = (u, v) pour tous r >, u ], π[ et v ], 2π[. 7.8 Aire d une surfce Proposition Si les couvertures (ϕ (1), K 1 ) et (ϕ (2), K 2 ) dns R 3 déterminent l même surfce S, on D u ϕ (1) D v ϕ (1) du dv = D u ϕ (2) D v ϕ (2) du dv. K 1 K 2

109 Preuve. Ces intégrles ont bien sûr un sens. Si on pose S = S \ (ϕ (1) (K 1) ϕ (2) (K 2)) puis ω 1 = (ϕ (1) K1 ) 1 (S ) et ω 2 = (ϕ (2) K2 ) 1 (S ), on vérifie directement que ω 1 et ω 2 sont des ouverts de R 2, inclus dns K 1 et K 2 respectivement. Cel étnt, ψ (1) (ϕ (2) ): ω 2 ω 1 est un chngement de vrible régulier d ordre 1 et, comme on [D u ϕ (1) D v ϕ (1) ] ψ (1) ϕ (2) det (ψ(1) ϕ (2) ) (u, v ) = D u ϕ (1) (ψ (1) ϕ (2) ) D v ϕ (1) (ψ (1) ϕ (2) ) vec ϕ (1) (ψ (1) ϕ (2) ) = ϕ (2) sur ω 2, il vient Du ϕ (1) D v ϕ (1) du dv = Du ϕ (2) D v ϕ (2) du dv. ω 1 ω 2 D où l conclusion cr, en recournt u Théorème 2.2.3, on peut étblir que les ensembles K 1 \ ω 1 et K 2 \ ω 2 sont négligebles. Définition. R 3 pr Il est donc licite de définir l ire, notée A S, d une surfce S dns A S = K D u ϕ D v ϕ du dv où (ϕ, K) est une couverture de R 3 déterminnt S cr ce nombre est indépendnt de l couverture choisie. Théorème L ire d une surfce est indépendnte du choix du système d xes de coordonnées. En recournt u prgrphe précédent, on obtient directement les résultts suivnts. Exemple. L ire du prllélogrmme de sommet P et de côtés et b en P dns R 3 est égle à b. Exemple. L ire du tringle de sommet P et de côtés et b en P dns R 3 est égle à 1 b. 2

110 Exemple. égle à 4πR 2. L ire de l sphère de centre P et de ryon R > dns R 3 est Interpréttion. Soit S une surfce dns R 3 et soit (ϕ, K) une couverture dns R 3 déterminnt S. Soit en outre (ε m ) m N une suite numérique réelle strictement positive telle que ε m. Soit enfin, pour tout m N, un réseu R m de R 2 en semi-intervlles dont le dimètre est mjoré pr ε m. Pour tout m N, définissons le nombre A m de l mnière suivnte. Pour tout semi-intervlle I =]u, u + h] ]v, v + k] pprtennt à R m et tel que I K, les points P 1 = ϕ(u, v ), P 2 = ϕ(u + h, v ), P 3 = ϕ(u + h, v + k) et P 4 = ϕ(u, v + k) pprtiennent à S et déterminent les tringles I 1 de sommets P 1, P 2, P 4 et I 2 de sommets P 2, P 3, P 4. Si nous notons σ I l somme des ires de ces tringles I 1 et I 2, A m est défini comme étnt l somme de ces nombres σ I. Cel étnt, on A m A S. P 4 (u, v + k) (u + h, v + k) P 1 P 3 (u, v ) (u + h, v ) P 2 Pour étblir cette interpréttion, on procède comme suit. Avec les nottions utilisées ci-dessus, on σ I = 1 ( (ϕ(u + h, v ) ϕ(u, v )) (ϕ(u, v + k) ϕ(u, v )) 2 + (ϕ(u + h, v ) ϕ(u + h, v + k)) ) (ϕ(u, v + k) ϕ(u + h, v + k)) et, vu le théorème des ccroissements finis, il existe h 1,...,h 6 ], h[ et k 1,..., k 6 ], k[ tels que σ I = 1 2 hk 3 3 [D u ϕ j ] (u +h j,v )e j [D v ϕ l ] (u,v +k l )e l j=1 l= [D v ϕ j ] (u +h,v +k 3+j )e j [D u ϕ l ] (u +h 3+l,v +k)e l. j=1 l=1

111 Si on note T 1 le tringle de sommets (u, v ), (u + h, v ), (u, v + k) et T 2 le tringle de sommets (u + h, v ), (u + h, v + k), (u, v + k), lors σ I est l intégrle sur R 2 de l fonction 3 3 g I = [D u ϕ j ] (u +h j,v )e j [D v ϕ l ] (u,v +k l )e l j=1 l=1 χ T [D v ϕ j ] (u +h,v +k 3+j )e j [D u ϕ l ] (u +h 3+l,v +k)e l χ T 2. j=1 Pour conclure, il suffit lors d ppliquer le théorème de l convergence mjorée à l suite (f m ) m N où, pour tout m N, f m est défini comme étnt l somme sur les semiintervlles I R m tels que I K des fonctions g I correspondntes. Remrque. Dns l interpréttion précédente, il convient d insister sur le fit que les tringles sont déterminés pr des réseux de R 2. Voici un exemple dû à H. A. Schwrz qui montre à quels déboires on peut rriver si on néglige ce fit. l=1 R 2π/n H / m H Soit S un cylindre droit de révolution, de ryon R et de huteur H. Etnt donné des entiers m et n, on considère les m + 1 circonférences obtenues en prennt les deux bses et m 1 plns équidistnts. Sur chcune de ces circonférences, on considère n points, sommets d un n-gone régulier, de telle sorte que l génértrice du cylindre qui psse pr un de ces points, intersecte l circonférence suivnte u milieu de l rc déterminé pr deux

112 de ces points. Au totl, ces points déterminent 2mn tringles isocèles égux; leur bse vut bien sûr 2R sin (π/n) tndis que leur huteur est égle à H 2 h = m 2 + R2 (1 cos(π/n)) 2. Dès lors, l somme de leurs surfces vut 2πR sin(π/n) H π/n 2 + π4 R 2 m 2 4n 4 expression qui ne converge vers 2πRH que si m/n 2! ( ) sin(π/2n) 4, π/2n Exemple. Aire d une surfce plne Si S est une surfce dns R 3 incluse dns le pln π et si on munit π d un système d xes crtésiens, on peut étblir que l ire de S est égle à l mesure de S considéré comme prtie compcte de l espce R 2 insi déterminé. Un chngement de système d xes dns R 3 ne modifint ps l ire de S, on peut supposer voir ϕ 3 =. Cel étnt, (ϕ 1, ϕ 2 ) étblit un chngement de vrible régulier d ordre 1 entre K et son imge. De plus, K est négligeble et (ϕ 1, ϕ 2 )(K ) est négligeble vu le Théorème De l sorte, tout revient à clculer l mesure d un compct de R 2. Exercice. et s bse. Clculer l ire de l surfce plne S limitée pr une rcde de cycloïde Suggestion. A un chngement de système d xes près (ce qui ne modifie ps son ire), on vérifie de suite que (ϕ, K) défini pr K = [, 2π] [, 1] et ϕ(u, v) = (R(u sin(u)), vr(1 cos(u)), ), pour (u, v) K, est une couverture dns R 3 qui détermine S. Dès lors, on obtient isément 2π A S = R 2 du 1 (1 cos(u)) 2 dv = 3πR 2. Exemple. Aire d une surfce déterminée pr une représenttion prmétrique crtésienne Soient K un intervlle compct de R 2 et f un élément réel de C 1 (U) où U est un ouvert de R 2 contennt K. On vérifie de suite que (x, y, z) = (u, v, f(u, v)) pour (u, v) K, (resp. = (u, f(u, v), v) pour (u, v) K; = (f(u, v), u, v) pour (u, v) K)

113 est une représenttion prmétrique d une surfce S dns R 3, ppelée représenttion prmétrique crtésienne de S, dont l ire est donnée pr A S = 1 + (Du f) 2 + (D v f) 2 du dv. K Exemple. Aire d une surfce cylindrique Une surfce S dns R 3 est cylindrique si elle est déterminée pr une couverture (ϕ, K) vérifint les conditions suivntes: ) e est un vecteur unitire dns R 3, b) Γ est une courbe simple (resp. de Jordn) C 1 dns R 3 de représenttion prmétrique simple (resp. de Jordn) (x, y, z) = γ(u) pour u [, b], c) g C 1 ([, b]) est une fonction réelle telle que g(u) > pour tout u ], b[, d) K = [, b] [, 1], e) ϕ(u, v) = γ(u) + vg(u)e pour tout (u, v) K. On dit lors que S est une surfce cylindrique prllèle à e, de bse Γ et de huteur g. Comme on D u ϕ = D u γ + vd u ge et D v ϕ = g(u)e en tout point de K, il vient A S = b g(u) D u γ e du. Exercice. L ire ltérle d un cylindre droit de huteur H et de bse circulire de ryon R est égle à 2πRH. Suggestion. A un chngement de système d xes près (ce qui ne modifie ps son ire), on peut prendre e = (,, 1), γ(u) = (R cos(u), R sin(u), ) et [, b] = [, 2π], g(u) = H, u [, 2π]. On justifie de suite qu il s git d une surfce cylindrique S telle que A S = 2π RH ( sin(u), cos(u), ) e du = 2πRH. Exemple. Aire d une surfce conique Une surfce S dns R 3 est conique si elle est déterminée pr une couverture (ϕ, K) vérifint les conditions suivntes: ) S est un point de R 3, b) Γ est une courbe simple (resp. de Jordn) C 1 dns R 3 ne contennt ps S et de représenttion prmétrique simple (resp. de Jordn) (x, y, z) = γ(u) pour u [, b],

114 c) K = [, b] [, 1], d) ϕ(u, v) = S + v(γ(u) S) pour tout (u, v) K. On dit lors que S est une surfce conique de sommet S et de bse Γ. Comme on D u ϕ = v D u γ(u) et D v ϕ = γ(u) S pour tout (u, v) K, il vient A S = 1 2 b D u γ(u) (γ(u) S) du. Exercice. L ire ltérle d un cône droit de huteur H et de bse circulire de ryon R est égle à πr(r 2 + H 2 ) 1/2. Suggestion. A un chngement de système d xes près (ce qui ne modifie ps son ire), on peut prendre S = (,, H) et γ(u) = (R cos(u), R sin(u), ) pour u [, 2π]. On justifie de suite qu il s git d une surfce conique S telle que A S = R 2 2π ( sin(u), cos(u), ) (R cos(u), R sin(u), H) du = πr R 2 + H 2. Exercice. L ire ltérle d un cône droit de huteur H et de bse circulire de ryon R est égle à πr(r 2 + H 2 ) 1/2. Suggestion. A un chngement de système d xes près (ce qui ne modifie ps son ire), on peut prendre S = (,, H) et γ(u) = (R cos(u), R sin(u), ) pour u [, 2π]. On justifie de suite qu il s git d une surfce conique S telle que A S = R 2 2π ( sin(u), cos(u), ) (R cos(u), R sin(u), H) du = πr R 2 + H 2. Exemple. Aire d une surfce de révolution Une surfce S dns R 3 est de révolution si, à un chngement de système d xes près (ce qui ne modifie ps son ire), elle est déterminée pr une couverture (ϕ, K) vérifint les conditions suivntes: ) Γ est une courbe simple (resp. de Jordn) C 1 dns R 3, de représenttion prmétrique simple (resp. de Jordn) (x, y, z) = γ(u) pour u [, b], b) K = [, b] [, 2π], c) ϕ(u, v) = ( γ(u) e cos(v), γ(u) e sin(v), γ(u), e ) pour tout (u, v) K vec e = (,, 1). On obtient directement A S = 2π b γ(u) e (D u γ e ) 2 + ( D u γ, e ) 2 du.

115 Cs prticuliers. Le plus souvent, on choisit pour Γ l trce de S dns le demi-pln { (, y, z) : y, z R}. 1. Si Γ dmet une représenttion prmétrique crtésienne, c est-à-dire du type (x, y, z) = (, y(u), u) pour u [, b]), vec y(u) C 1 ([, b]) et y(u) pour tout u [, b], il vient A S = 2π b y(u) 1 + (D u y) 2 du. 2. Si Γ dmet une représenttion prmétrique polire, c est-à dire du type (x, y, z) = (, ρ(ω) cos(ω), ρ(ω) sin(ω)) pour ω [, b], vec π/2 < b π/2, ρ(ω) C 1 ([, b]) et ρ(ω) > pour tout ω [, b], il vient Exercice. A S = 2π b ρ(ω) cos(ω) ρ 2 (ω) + (D ω ρ) 2 dω. Triter comme surfces de révolution les deux exercices précédents. Exercice. Clculer l ire de l surfce de révolution engendrée pr l rottion d une rcde de cycloïde utour de s bse. Suggestion. On prend (x, y, z) = (, R(1 cos(u)), R(u sin(u))) pour u [, 2π]), comme représenttion prmétrique de l rcde de cycloïde. On justifie ensuite qu on une surfce de révolution telle que A S = 2π 2π R(1 cos(u)) R 2 sin 2 (u) + R 2 (1 cos(u)) 2 du 2π π = 8πR 2 sin 3 (u/2) du = 16πR 2 sin(u) (1 cos 2 (u)) du = 64 3 πr2. Exemple. Aire d une surfce sphérique Nous svons que l sphère de centre P et de ryon R > dns R 3 est déterminée pr l couverture (ϕ, K) où K est égl à [, π] [, 2π] et où ϕ est défini sur R 2 pr ϕ(u, v) = P + R(sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u)). ( ) ) Cs des fuseux. Un fuseu de l sphère de centre P et de ryon R dns R 3 est une prtie S de cette sphère qui, à un chngement d xes près (ce qui ne modifie ps son ire), est déterminée pr une couverture du type ( ) vec K = [, π] [ϕ, ϕ 1 ]. Son ire est pr conséquent égle à 2R 2 (ϕ 1 ϕ ). b) Cs des zones. Une zone de l sphère de centre P et de ryon R dns R 3 est une prtie S de cette sphère qui, à un chngement d xes près (ce qui ne modifie ps

116 son ire), est déterminée pr une couverture du type ( ) vec K = [θ, θ 1 ] [, 2π]. Son ire est pr conséquent égle à 2πR 2 (cos(θ ) cos(θ 1 )). (Si on remrque que R cos(θ ) et R cos(θ 1 ) sont les ordonnées des côtés de l zone, on voit que son ire est égle à celle d un cylindre droit de même huteur que l zone et de bse circulire ynt même ryon que l sphère). z z y y x Fuseu x Zone c) Cs des tringles sphériques. L ire du tringle sphérique ABC est égle à R 2 (A + B + C π). A B B C C A En considérnt les grnds cercles qui déterminent le tringle sphérique ABC et en considérnt les points A, B et C dimétrlement opposés respectivement à A, B et C, on met en évidence différents tringles sphériques qui donnent lieu ux églités suivntes: A trabc + A tra BC = A fuseua, A trabc + A trab C = A fuseub, A trabc + A trabc = A fuseuc.

117 Si on remrque lors que l ire du tringle sphérique ABC est égle à celle du tringle sphérique A B C et si on note que l somme des ires des tringles sphériques ABC, A BC, A B C et AB C est égle à l ire d une demi-sphère, on obtient directement le résultt nnoncé en sommnt membre à membre les trois églités précédentes. 7.9 Intégrle d une fonction sur une surfce Proposition Si les couvertures (ϕ (1), K (1) ) et (ϕ (2), K (2) ) dns R 3 déterminent l même surfce S et si f est une fonction continue sur S, on f(ϕ (1) (u, v)) Du ϕ (1) D v ϕ (1) du dv K (1) = f(ϕ (2) (u, v)) Du ϕ (2) D v ϕ (2) du dv. K (2) Preuve. L preuve découle ussitôt de celle du cs f = χ S donnée u prgrphe précédent. Définition. S dns R 3 pr Il est donc licite de définir l intégrle de f C (S) sur l surfce f dσ = f(ϕ(u, v)) D u ϕ D v ϕ du dv S K où (ϕ, K) est une couverture dns R 3 déterminnt S cr ce nombre est indépendnt de l couverture choisie. Interpréttion. Reprenons les nottions introduites dns l interpréttion de l ire d une surfce dns R 3. Choisissons en outre dns chque tringle t j retenu un point (u j, v j ). Cel étnt, soit f une fonction continue sur S. Pour tout semi-intervlle I retenu, posons c I = f(ϕ(u 1, v 1 )) A t1 + f(ϕ(u 2, v 2 )) A t2 puis définissons C m comme étnt l somme de ces nombres c I pour tous les semi-intervlles I R m retenus. Cel étnt, on étblit de mnière nlogue à celle de l interpréttion de l ire d une surfce qu on C m S f dσ.

118 7.1 Surfces orientbles Remrque. Si (ϕ, K) est une couverture dns R 3, l ppliction N (ϕ,k) : K R 3 (u, v) [D u ϕ D v ϕ] (u,v) diffère de en tout point (u, v) de K. De fit, si ψ désigne une ppliction continûment dérivble d un ouvert de R 3 dns R 2 dont l restriction à ϕ(k ) coïncide vec l inverse de ϕ K, on ψ ϕ(u, v) = (u, v) donc ( Dx ψ 1 D y ψ 1 D z ψ 1 D x ψ 2 D y ψ 2 D z ψ 2 ) ϕ(u,v) D u ϕ 1 D v ϕ 1 D u ϕ 2 D v ϕ 2 D u ϕ 3 D v ϕ 3 = ( 1 1 en tout point (u, v) K, ce qui prouve que [D u ϕ] (u,v) et [D v ϕ] (u,v) sont linéirement indépendnts. On peut donc introduire l ppliction n (ϕ,k) : K R 3 selon n (ϕ,k) (u, v) = N (ϕ,k)(u, v) N (ϕ,k) (u, v), (u, v) K. L rison qui motive l introduction de cette ppliction peut s énoncer comme suit: pour tout (u, v ) K, le vecteur unitire n (ϕ,k) (u, v ) est orthogonl à l tngente en ϕ(u, v ) à tout chemin (γ, [, b]) qui est C 1 dns R 3 et tel que ϕ(u, v ) γ(], b[) et γ(], b[) ϕ(k ). De plus, c est vec n (ϕ,k) (u, v ) le seul vecteur unitire jouissnt de cette propriété. Pour étblir cette ffirmtion, remrquons d une prt que, si on pose γ = ψ γ, lors (γ, [, b]) est un chemin C 1 dns R 2 tel que γ (], b[) K et ϕ γ (t) = γ(t) pour tout t [, b]. Dns ces conditions, pour tout t ], b[ tel que ϕ(u, v ) = γ(t ), on N(ϕ,K) (u, v ), Dγ(t ) = [D u ϕ D v ϕ] (u,v ), D(ϕ γ )(t ) = ) cr D(ϕ γ )(t ) est égl à Dγ 1(t ) [D u ϕ] (u,v ) + Dγ 2(t ) [D v ϕ] (u,v ). Remrquons d utre prt qu il existe, b R tels que < v < b (resp. < u < b) et que (ϕ(, v ), [, b]) (resp. (ϕ(u, ), [, b])) soit un chemin dns R 3. Dès lors, si (ϕ (1), K (1) ) et (ϕ (2), K (2) ) sont des couvertures dns R 3 qui déterminent l même surfce S, on n (ϕ (1),K (1) ) (u 1, v 1 ) {n (ϕ (2),K (2) ) (u 2, v 2 ), n (ϕ (2),K (2) ) (u 2, v 2 )} pour tout (u 1, v 1 ) ω 1 et tout (u 2, v 2 ) ω 2 tels que ϕ (1) (u 1, v 1 ) = ϕ (2) (u 2, v 2 ), où ω 1 et ω 2 sont définis comme dns l Proposition

119 Définition. Etnt donné une surfce S dns R 3, l prtie régulière de S, notée S rég, est l réunion sur toutes les couvertures (ϕ, K) dns R 3 qui déterminent S, des ensembles ϕ(k ). Il s git d une prtie connexe de S (comme union de prties connexes d intersection non vide deux à deux) et dense dns S (cr K est un compct régulier et ϕ une ppliction continûment dérivble). Un risonnement isé bsé sur l connexité de K et de l prtie ϕ(k ) de S rég étblit de suite que, pour toute couverture (ϕ, K) d une surfce orientée S, on n (ϕ,k) = n S ϕ(k ) ou n (ϕ,k) = n S ϕ(k ). Cel étnt, on dit dns le premier cs que l couverture (ϕ, K) est positive et dns le second qu elle est négtive. Exemples. ) Toute surfce plne est orientble. b) Toute surfce déterminée pr une représenttion prmétrique crtésienne est orientble. c) Une surfce cylindrique prllèle à e et dont l bse Γ est déterminée pr une courbe simple (resp. de Jordn) (γ, [, b]) qui est C 1 et incluse dns un pln non prllèle à e est orientble si on Dγ(t) pour tout t [, b] (resp. Dγ(t) pour tout t [, b] et Dγ() = Dγ(b)). En prticulier, l surfce ltérle d un cylindre droit de bse circulire est une surfce orientble. d) Une surfce conique de sommet S et dont l bse Γ est déterminée pr une courbe simple (resp. de Jordn) (γ, [, b]) qui est C 1 et incluse dns un pln ne contennt ps S est orientble si on Dγ(t) pour tout t [, b] (resp. Dγ(t) pour tout t [, b] et Dγ() = Dγ(b)). En prticulier, l surfce ltérle d un cône droit de bse circulire est une surfce orientble. e) Toute sphère S est orientble et on S rég = S. En prticulier, toute surfce sphérique est orientble. Remrque. Il existe des surfces dns R 3 qui ne sont ps orientbles. Tel est le cs du rubn de Möbius dont une représenttion mtérielle est suggérée pr l construction suivnte: on prend un rectngle ABCD

120 et on superpose les côtés AD et BC de telle sorte que C coïncide vec A et B vec D. Plus précisément, le rubn de Möbius est défini comme étnt l surfce ssociée à l couverture (ϕ, K) définie pr K = [, 2π] [ r, r] et ϕ(u, v) = ((R v cos(u/2)) cos(u), (R v cos(u/2)) sin(u), v sin(u/2)) Intégrles superficielles Définition. Si S est une surfce orientée dns R 3, de normle unitire continue n, et si f est une ppliction continue de S dns R 3, lors l intégrle de f sur S est égle à f, n dσ. On dit ussi qu il s git d une intégrle superficielle. S Proposition Soient S une surfce orientée dns R 3, de normle unitire continue n, et f une ppliction continue de S dns R 3. Alors, pour toute couverture (ϕ, K) positive (resp. négtive) déterminnt S, on f, n dσ = f ϕ, D u ϕ D v ϕ du dv S K (resp. = K f ϕ, D u ϕ D v ϕ du dv). Définition. Soient S une surfce orientée dns R 3, de normle unitire continue n = (n 1, n 2, n 3 ), et f = (P, Q, R) une ppliction continue de S dns R 3. On