Exercices d intégration et d analyse fonctionnelle

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1 Exercices d inégraion e d analyse foncionnelle Agrégaion 29-2 Exercice : Monrez que si f : IR + IR es uniformémen coninue e que f() d converge alors f a pour limie en +. Donnez un exemple de foncion g : IR + IR coninue, don l inégrale sur IR + converge mais qui ne end pas vers en +. Exercice 2 : Eudier la naure des inégrales impropres suivanes : sin d, sin 2 ln d e sin ( + sin ) ln d. Exercice 3 : Soien E e F deux ensembles, f : E F une applicaion e T une ribu de F. Si F es une famille de paries de F, on pose f (F) = { f (A) A F } a) Monrer que f (T ) es une ribu de E, appelée image réciproque de T par f. b) Monrer que si µ es une mesure sur f (T ) alors l applicaion f(µ) définie sur T par f(µ)(a) = µ (f (A)), pour ou A dans T, es une mesure sur T, appelée mesure image de µ par f. Exercice 4 :. Décrire la ribu de paries de IR engendrée par l ensemble des singleons de IR. On noe S cee ribu. 2. Soi f une foncion coninue de IR dans IR. Démonrer que la foncion f es mesurable sur (IR, S) si e seulemen si elle es consane. 3. Soi µ la mesure sur IR de densié g(x) := ( + x 2 ) par rappor à la mesure de Lebesgue. Déerminer, pour chaque IR, la valeur de µ(], [). Démonrer que la resricion de µ à la ribu S ne prend que deux valeurs. Lesquelles? Exercice 5 : Soi (E, T ) un espace mesurable e, pour ou n IN, soi (f n ) n une suie d applicaions mesurables de E dans IR. Démonrer que l ensemble des poins x de E pour lesquels la suie (f n (x)) n a une limie es un ensemble mesurable.

2 Exercice 6 : Soi λ la mesure de Lebesgue sur IR. a) Vérifier que oue parie mesurable de IR don l inérieur n es pas vide es de mesure sricemen posiive. b) Démonrer qu il exise un ensemble fermé E dans IR d inérieur vide el que λ(e) >. (Consruire E comme l ensemble riadique de Canor en reiran au segmen [, ], à la n-ième éape, 2 n inervalles de longueur α3 n où < α <.) Exercice 7 : Démonrer que e que lim n + n + e d = k 2 ( n) n log d = k= e log d. Exercice 8 : Soi (X, T, µ) un espace mesuré e f : X IR une foncion inégrable posiive. Monrez que, pour ou n IN, µ({f > n}) f dµ. n Monrez que, pour ou ɛ >, il exise θ > el que pour ou A T, µ(a) < θ f dµ < ɛ. (propriéé d absolue coninuié). Exercice 9 : Soi f une foncion mesurable bornée sur un inervalle [a, b]. On pose Monrez que cee limie exise e que : ( b /n M = lim f(x) dx) n. n a M = inf{ IR / { f > } es négligeable }. M es le suprémum esseniel de f. Quel es le sup esseniel de l indicarice des raionnels sur [, ]? Exercice : Soi f L (IR 2 ) e soi T >. Monrer que Calculer, pour f L (IR) T f(s, )dsd = T A X T T s f(s)dsd. 2 f(s, )dds.

3 Exercice : (divers calculs) (i) Calculer l inégrale en inégran de deux façon différenes e x2 dx ye y2 (+x 2) dxdy. (ii) Uilisez le Théorème de Fubini e la relaion, valable pour ou x >, pour démonrer que x = e x d A sin x lim A + x dx = π 2. (iii) Soi : Calculez les deux inégrales suivanes : ( ) f(x, y)dy dx, x= y= f(x, y) = x2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2. y= ( ) f(x, y)dx dy. x= Où es le problème? Calculer les inégrales suivanes : (i) dx dy, où D = {(x, y) D x 2 y IR2 : x e y x} ; x (ii) D a e 2x+y dx dy, où D a = {(x, y) IR 2 : x a e x + y a} ; (iii) xy dx dy. R+ 2 (+x 2 +y 2 ) 2 (x 2 +y 2 ) Exercice 2 : Pour ou veceur x IR n, x = (x,..., x n ), on pose x = (x 2 + +x n 2 ) 2, e B n = {x IR n / x < }. En posan f(x) = x p, à quelle condiion sur le réel p a--on f L (B n )? A quelle condiion f L (IR n \ B n )? Exercice 3 : Dans IR n, on défini le simplexe S n par S n = {(x,..., x n ) IR n / i n, x i e x + + x n }. Monrez que pour ou n, le volume de S n es égal à /n!. Quel es le volume du simplexe consrui sur les veceurs linéairemen indépendans X,..., X n de IR n, e défini par S = {x X + + x n X n / i n, x i e x + + x n }. Exercice 4 : Soi f l indicarice de l inervalle [, ]. 3

4 Calculez f f, f f f. Jusqu à quel ordre ces foncions son-elles dérivables? Monrez que si g es coninue sur IR, alors f g es dérivable sur IR e (f g) (x) = g(x + ) g(x ). Jusqu à quel ordre f f es-elle dérivable? }{{} n fois On cherche à présen à résoudre l équaion f g = 2g. Monrez que si la foncion g es affine, elle es soluion. Monrez que si g es une soluion coninue, alors g es dérivable e sa dérivée es soluion. Monrez qu un polynôme de degré 2 ne peu êre soluion. En déduire oues les soluions polynômiales. Plus généralemen, monrez que si g a l une de ses dérivées dans L 2 (IR) e vérifie f g = 2g, alors g es l une des soluions rouvées à la quesion précédene. Exercice 5 : Soi (X, T, µ) un espace mesuré. Soi p + e q l exposan conjugué de p. Monrer que si (f n ) n es une suie d élémens de L p (µ) qui converge vers f dans L p (µ) e si (g n ) n es une suie d élémens de L q (µ) qui converge vers g dans L q (µ) alors la suie (f n g n ) n converge vers fg dans L (µ). Exercice 6 : a) Démonrer que la foncion λ : IR IR définie par { si x, λ (x) = e /x sinon es de classe C, nulle pour x, sricemen posiive pour x >. b) Démonrer qu il exise une foncion λ 2 : IR IR, posiive, non ideniquemen nulle, de classe C, à suppor conenu dans l inervalle fermé [, ]. c) Démonrer qu il exise une foncion λ 3 : IR IR, de classe C, à valeurs dans [, ], elle que λ 3 (x) = pour x, λ 3 (x) = pour x. On pourra prendre la foncion définie, pour x [, ], par λ 3 (x) = ( x λ 2() d) / ( λ 2() d). d) Soien h e k des nombres réels els que < k < h. Démonrer qu il exise une foncion λ 4 : IR IR, de classe C, à valeurs dans [, ], don le suppor es conenu dans [ h, h], e qui vau sur [ k, k]. e) En conclure que l adhérence C (IR) de C (IR) L (IR) (dans la norme L ) conien les indicarices d inervalles ouvers bornés. Es-ce aussi vrai dans les normes L p, p [, ]? f) Conclure que C (IR) es dense dans L (IR). Exercice 7 : (Inégalié de Hardy) Soi f un élémen de L p ([, + [, p >. On pose F (x) = x On souhaie monrer l inégalié de Hardy : F p x f() d. p p f p 4

5 On suppose d abord que f C c (], + [). Jusifier l égalié : F (x) p dx = p F (x) p 2 F (x)xf (x)dx. En déduire l inégalié de Hardy dans ce cas puis l éendre au cas où f L p ([, + [ Exercice 8 : Soi I un inervalle de IR e soi φ : I IR. On suppose que l applicaion φ es convexe sur I, c es-à-dire que, pour ou couple, (x, y) d élémens de I e pour ou réel [, ] on a : φ(x + ( )y) φ(x) + ( )φ(y). a) Démonrer que si φ es convexe sur I alors l ensemble E(φ) = {(x, y) I IR y φ(x)} es un ensemble convexe de IR 2. b) Démonrer que si x < y < z on a alors φ(y) φ(x) y x φ(z) φ(y) z y c) En déduire que pour ou y dans I, il exise un nombre C el que pour ou nombre z dans I, on a : φ(z) φ(y) C(z y), e que si φ es C 2 (I), on a nécessairemen φ (z) pour ou z I. d) Prouver que si φ es convexe sur I, elle es coninue sur I e qu elle es dérivable presque parou sur I (on regardera les poins où la demi-angene à droie diffère de la demi-angene à gauche) e) Soi (X, T, µ) un espace mesuré e f : X I inégrable sur X. On suppose que de plus µ(x) = e que φ f es inégrable. Monrer qu alors : [Inégalié de Jensen] φ( f dµ) φ f dµ, f) Redémonrer ainsi que si µ(x) < +, l espace L 2 (X) L (X). Exercice 9 : Soien f e g deux foncions localemen inégrables. Monrer que exise e es égale à la foncion x IR +(x) X ( IR +f) ( IR +g) x X f(u)g(x u)du. Exercice 2 : Calculer, pour x IR, A lim A + A sin λ e ix d. 5

6 Exercice 2 : Calculer la ransformée de Fourier de la foncion x e αx2, avec α >. Exise--il une valeur de α pour laquelle la foncion e sa ransformée de Fourier coïnciden? Exercice 22 : a) Calculer la ransformée de Fourier de la foncion indicarice d un inervalle. b) Pour n IN, soi g n la foncion indicarice de [ n, n] e h la foncion indicarice de [, ]. Calculer expliciemen g n h. Monrer que g n h es la ransformée de Fourier d une foncion f n que l on déerminera. c) Monrer que f n L (IR) e que lim f n = +. n + d) En déduire que l applicaion f ˆf envoi L (IR) dans un sous-espace propre de C (IR). Exercice 23 : Soien f L p (IR) e g L q (IR), p e q éan conjugués. On pose h = f g. Monrer que h es uniformémen coninue. Monrer que si < p < +, h C (IR). Monrer que ce résula disparaî si p = e q = +. Exercice 24 : Soi m > e soi f(x) = e m x. ) Déerminer ˆf. 2) Calculer : en foncion des réels p e a. ˆf() cos xd puis Exercice 25 : Soi f(x) = (4 x 2 ) [ 2,2] (x). ) Déerminer la ransformée de Fourier de f. 2) En déduire la valeur de 2x cos 2x sin 2x x 3 cos pu u 2 + a 2 du cos x 2 dx. Exercice 26 : Calculer la ransformée de Fourier de la foncion f : x [,] (x)( x ) e en déduire la valeur de sin 4 x dx x 4 (on pourra remarquer que f = [ 2, 2 ] [ 2, 2 ]). Exercice 27 : (i) Déerminer les exrémas de x + 2y sous la conraine x 2 + xy + y 2 =. (ii) Résoudre le problème d opimisaion : IR min 2x + 3y = x + y + z = ( x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + xz + ). 6

7 (iii) Monrer que pour a proche de, l équaion : xe ax = adme une soluion. Donner un développemen limié de cee soluion à l ordre 2. Exercice 28 : Soi (E, d) un espace mérique compac e F, F 2 deux fermés de E els que F F 2 =. (i) Monrer que d(f, F 2 ) = min{d(x, y), x F, y F 2 } >. (ii) Soi (x n ) n une suie d élémens de E qui vérifie d(x n, x n+ ). Monrer que X, l ensemble des valeurs d adhérence de la suie (x n ) n es connexe. Exercice 29 : On noe C([, ]) l espace vecoriel des foncions coninues sur [, ] e on considère les formes linéaires : ( ) f f, f f()d. 2 (i) Ces formes linéaires son-elles coninues si on muni C([, ]) de la norme, 2,? (ii) On muni C([, ]) de la norme e pour g C([, ]), on considère la forme linéaire : F : f f()d. Monrer que F es une forme linéaire coninue e que sa norme es g. (iii) Prouver de même que, si on muni C([, ]) de la norme, F es une forme linéaire coninue e que sa norme es g. Exercice 3 : Soi E une espace vecoriel normé e soi K un sous-ensemble convexe compac de E. On considère une applicaion f de K dans K vérifian : f(x) f(y) x y pour ou x, y K. Monrer que f adme un poin fixe. (On pourra considérer la suie de foncions définies par : où a K.) f n (x) = ( n )f(x) + n f(a), Exercice 3 : Soi (E, d) un espace mérique. À quelle condiion sur la foncion φir+ IR +, φ(d) es-elle une disance? Applicaion : φ(d) = d, φ(d) = log( + d) son-elles des disances? + d Exercice 32 : Soi (f n ) n une suie de foncions dérivables sur [a, b] e elles qu il exise K > pour lequel : f n(x) K pour ou x [a, b]. Monrer que si la suie (f n ) n converge simplemen alors elle converge uniformémen. 7