Les angles orientés (3) Propriétés des angles orientés. 1 ère S. Dans tout le chapitre, le plan est orienté.

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1 1 ère S Les angles orientés () Propriétés des angles orientés Dans tot le chapitre, le plan est orienté Les formles de ce chapitre permettent d éiter le recors à la création de points On détermine des mesres d angles orientés par le calcl I Relation de Chasles por les angles orientés 1 ) Propriété (admise sans démonstration) Plan :,, w sont trois ecters qelconqes non nls I Relation de Chasles por les angles orientés II Angles orientés opposés III Angles orientés formés par les opposés de dex ecters non nls w IV Angles orientés formés par les mltiples de dex ecters non nls V Formlaire récapitlatif VI Exemples d tilisation des propriétés Si x est ne mesre en radians de l angle orienté ; et y est ne mesre en radians de l angle orienté ; w, alors x + y est ne mesre en radians de l angle orienté ; w VII Déplacements sr le cercle trigonométriqe VIII Propriété dans le cercle trigonométriqe On isalise facilement la relation de Chasles sr ne figre Cette propriété généralise la propriété d additiité des mesres por les angles géométriqes adjacents e en 6 e ) Écritre de la relation de Chasles Dans ce chapitre, on aborde la partie «calcls» des angles orientés On dira qe la somme des angles orientés ; ; ; w ; w On écrira : et ; w est l angle orienté ; w ) Mise en pratiqe On pet appliqer la relation de Chasles à des ecters non nls définis par des points ; par exemple AB, CD, EF On pet écrire AB, CD, EF AB ; CD CD ; EF AB ; EF Les ecters n ont pas besoin d aoir la même origine 1

2 II Angles orientés opposés 1 ) Propriété (admise sans démonstration) et sont dex ecters qelconqes non nls ; ; ; ; ; ; Figre ) Commentaires Si x est ne mesre en radians de l angle orienté ;, alors x est ne mesre en radians de l angle orienté ; ) Écritres D après la relation de Chasles : ; ; ; angle nl On écrit : ; ; 0 o encore : ; ; On dit qe l angle orienté ; est l opposé de l angle orienté ; III Angles orientés formés par les opposés de dex ecters non nls 1 ) Propriété et sont dex ecters qelconqes non nls Figre La présence d n signe ajote La présence de dex signes ne change rien Por la e égalité, on retroe la propriété des angles opposés par le sommet (démontrée aec la symétrie centrale) ) Démonstration ; ; ; ecters colinéaires ; ; ; ; ; ; ; ; ; ecters colinéaires ; ; ; ; ecters colinéaires ; ; ; ; ; ; ecters colinéaires 4

3 IV Angles orientés formés par les mltiples de dex ecters non nls 1 ) Propriété et sont dex ecters qelconqes non nls k est n réel non nl Figres k 0 (exemple : k ) k 0 (exemple : k ) k k k k V Formlaire récapitlatif ; 0 ; ; ; ; w ; w ; ; ; ; ; ; ; k ; k ; ; k ; k ' ; si k et k sont de même signe si k et k sont de signes contraires ) Démonstration k ; k k ; ; ; k 1 er cas : k 0 ; 0 ; 0 k k k ; k ; e cas : k 0 k ; k ; k ; k ; ) Généralisation et sont dex ecters qelconqes non nls k et k sont dex réels non nls k ; k ' ; si k et k sont de même signe k ; k ; ; si k et k sont de signes contraires VI Exemples d tilisation des propriétés 1 ) Calcler des mesres d angles orientés A, B, C sont trois points qelconqes tels qe A B et A C BA ; AC AB ; AC AB ; AC CA ; BA AC ; AB AC ; AB AB ; AC propriété propriété En exercice, on pet tiliser à la fois la relation de Chasles et les propriétés sr les angles orientés ) Démontrer qe dex droites sont parallèles On démontre qe des ecters directers de chacne des dex droites sont colinéaires en tilisant les angles orientés (oir exercices) 5 6

4 ) Démontrer qe trois points sont alignés On appliqe la même méthode qe por démontrer qe dex droites sont parallèles aec les angles orientés (oir exercices) Rappel : caractérisation de la colinéarité de dex ecters non nls à l aide des angles orientés et sont dex ecters non nls 1 ) Exemple 1 Déplacement de On se retroe où? A même endroit Déplacement de On se retroe a même endroit Déplacement de k k On se retroe a même endroit ) Exemple et sont colinéaires si et selement si ; 0 o ; Déplacement de «On se retroe à l opposé» (les gillemets elent attirer l attention sr le fait q on ne le dit pas) On dit qe l on se retroe a point M ' diamétralement opposé à M (o encore symétriqe de M par rapport à O) Déplacement de Idem VII Déplacements sr le cercle trigonométriqe Dans le chapitre précédent, nos aions étdié les déplacements sr le cercle trigonométriqe à partir d point A (on «partait» de A) Dans ce paragraphe, nos allons expliqer ce qi se passe qand on «part» d n point M qelconqe d cercle trigonométriqe associé à n réel x qelconqe Ce paragraphe prend place dans ce chapitre car on tilise de manière cachée la relation de Chasles B M'' x + ) Exemple Déplacement de On se retroe a point M '' qi est le milie de l n des dex arcs MM' On pet préciser qe OM '' OM On dit pltôt qe M '' est l image d point M par la rotation de centre O et d angle (on parle de qart de tor direct de centre O) Déplacement de On se retroe a point M ''' qi est le point diamétralement opposé à M '' sr le cercle trigonométriqe On dit qe M ''' est l image d point M par la rotation de centre O et d angle (on parle de qart de tor indirect de centre O) M x 4 ) Cas général Déplacement de On arrie a point N associé à x On dit qe N est l image de M par la rotation de centre O et d angle A' M' x O A Exemple : On prend B' M''' x Si on aance de, on est en x Si on aance encore de 4, on est en x Si on aance encore de, on est en x On se retroe a point de départ 7 8

5 Les trois points forment alors n triangle éqilatéral direct Généralisation de l exemple : carré direct octogone réglier direct 4 pentagone réglier conexe direct 5 VIII Propriété dans le cercle trigonométriqe 1 ) Énoncé Soit x et y dex réels On note M et N lers images respecties sr le cercle trigonométriqe Une mesre en radians de l angle orienté OM ; ON est y x ) Démonstration OM ; ON OM ; OA OA ; ON OM ; ON x y OM ; ON y x ) Utilisation Atre formlation : Soit x et y dex réels x et y ont la même image sr le cercle trigonométriqe si et selement si x y k k 4 ) Complément : définition d ne rotation dans le plan On se place dans le plan orienté est n point d plan est n réel fixé La rotation de centre et d angle est la transformation d plan qi à tot point M d plan associe le point M' ainsi défini : 1 er cas : M M M' M' est le point défini par M, M' e cas : M Dans ce cas, M' Cette propriété permet de retroer la condition nécessaire et sffisante por qe dex réels aient la même image sr le cercle trigonométriqe Énoncé Soit x et y dex réels x et y ont la même image sr le cercle trigonométriqe si et selement si y x k k Démonstration On note M et N les images respecties de x et de y sr le cercle trigonométriqe M et N sont confonds si et selement si OM ON si et selement si OM ; ON 0 si et selement si y x k 9 10