2 - INTERPOLATION SPLINE

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1 2 - INTERPOLATION SPLINE J-P Croisille Université Pul Verline-Metz Semestre S7, mster de mthémtiques M1, nnée 2008/2009

2 1- INTRODUCTION Fonctions splines: Fonctions interpolntes pticulièrement dptées. Interpoltion locle vec des polynômes de bs degré, mis produisnt des interpoltions locles régulières. Principe: 2 prmètres: des points x 0 < x 1 <... < x n. un degré de régulrité l tel que l spline soit dns C l 1 [, b]. En prtique, l spline cubique (qui est C 2 ) est très utilisée. Problèmes ouverts en théorie de l interpoltion spline en plusieurs dimensions Quelques thèmes clssiques: propriétés d optimlité des splines, zéros des splines. Importnce des splines en CAO/CAD. Trvux de Pul de Cstelju ( ) chez Citroën et de Pierre Bézier ( ) chez Renult: design des pièces utomobile.

3 2- INTERPOLATION POLYNOMIALE PAR MORCEAUX Idée générle: Il est plus efficce de réliser une interpoltion polynômile pr morceux, qu une interpoltion globle. Soit s(x), x b, un polynôme défini pr morceux pr s(x j ) = f(x j ), j = 0, 1...n (1) où les vleurs x 0 = < x 1 <... < x n = b, f(x j ), j = 0, 1...n. Pour x, s( x) est déterminé pr quelques vleurs (x i, f(x i )) vec x i proche de x. Exemple 1: Interpoltion linéire pr morceux. Pour x j x x j+1, s(x) = f(x j ) + x x j x j+1 x j ( f(xj+1 f(x j ) ) (2) Erreur: f(x) s(x) 1 8 M 2h 2 (cf Théorème B du ch.1). Attention à l terminologie: linéire pr morceux signifie que l fonction est d ordre 1, mis l erreur est d ordre 2.

4 Spline cubique: s(x) est un polynôme cubique pr morceux. s(x) = s j (x) [xj,x j+1], j = 0, 1...n 1. (3) Sur chque intervlle, on les reltions de colloction s j (x j ) = f(x j ), s j (x j+1 ) = f(x j+1 ) (4) Il fut deux utres conditions pour déterminer un polynôme cubique s(x) = x + 2 x x 3.. Méthode 1: On interpole deux vleurs de plus (élrgissement du stencil) (x j 1, f(x j 1 )),(x j+2, f(x j+2 )), 1 j n 2. Aux extrêmités de l intervlle, on interpole f(x 2 ), f(x 3 ) pour le point j = 0 f(x n 2 ), f(x n 3 ) pour le point j = n 1.

5 Méthode 2: On interpole de plus les dérivées en (x j, s (x j )), (x j+1, s (x j+1 )). On rélise donc une interpoltion de type Hermite. Les vleurs s (x j ) sont des vleurs pprochées de l dérivée, évluées pr illeurs. On s j (x) = f(x j ) + s (x j )(x x j ) + c 2 (x x j ) 2 + c 3 (x x j ) 3 (5) Le système linéire de 2 équtions à 2 inconnues { sj (x j+1 ) = f(x j+1 ) s j (x j+1) = s (x j+1 ) donne l solution c 2 = 3(f(x j+1) f(x j )) (x j+1 x j ) 2 2s (x j ) + s (x j+1 ) x j+1 x j c 3 = 2(f(x j) f(x j+1 )) (x j+1 x j ) 3 + s (x j ) + s (x j+1 ) (x j+1 x j ) 2 (7) Pour l méthode 1, en ppliqunt le Théorème B du Ch.1, on obtient une erreur d ordre 4 f(x) s(x) 1 24 j+2 i=j 1 (6) x x i mx x j 1 ξ x j+2 f (4) (ξ) (8) Si le nombre Jen-Pierre de points CROISILLE -double, Lbortoire LMAM l erreur 2-Interpoltion est divisée spline pr 2 4 = 16.

6 Méthode 3: Spline cubique On effectue une interpoltion pr morceux, de sorte que s, x b soit continue. Sur [x j, x j+1 ], on s j (x) = f(x j ) + s (x j )(x x j ) + c 2 (x x j ) 2 + c 3 (x x j ) 3 (9) donc s (x) = 2c 2 + 6c 3 (x j+1 x j ) (10) = 6 f(x j) f(x j+1 ) (x j+1 x j ) 2 + 2s (x j ) + 4s (x j+1 ) x j+1 x j (11) Ceci doit être identique à s j+1 (x j+1) On obtient l éqution s (x k 1 ) + 2s (x k ) x k x k+1 + 2s (x k ) + s (x k+1 ) x k+1 x k = (12) 3 f(x k) f(x k 1 ) (x k x k 1 ) f(x k+1) f(x k 1 ) (x k+1 x k ) 2 (13) L dépendnce de s j (x) = s [xj,x j+1] est non locle.

7 Dns le cs où x k+1 = x k + h, ceci devient pour 1 k n 1 s (x k 1 ) + 4s (x k ) + s (x k+1 ) = 3 h (f(x k+1 f(x k )) (14) Il fut fixer s (x 0 ), s (x n ) pr une procédure indépendnte, pr exemple s (x 0 ) f(x 1) f(x 0 ) h, s (x n ) f(x n) f(x n 1 ) h (15) On obtient un système linéire en les inconnues s (x j ), j = 0,...,n, qui donne près résolution s (x j ) en fonction de f(x j ), ce qui permet ensuite de clculer s(x) sur chque [x j, x j+1 ].

8 2- SPLINES Espce des splines: Ω n = (x ν ) ν=1,...,n vec = x 0 < x 1 <... < x n = b (16) rélise une prtition d un intervlle [, b]. L espce S l (x 0, x 1,..., x n ) des splines polynômiles de degré l est l espce vectoriel des fonctions s(x) Vect(1, x,..., x l, (x x 1 ) l +,...,(x x n 1) l + ),c--d. s(x) = l λ=0 n 1 λ x λ + b ν (x x ν ) l + (17) ν=1

9 On dim S l = n + l. Les fonctions q l,ν (x) = (x x ν ) l + = { (x xν ) l, x x ν 0 (18) sont dns C l 1 [, b] et dim S l = dimp l (, b) + dimvect((x x ν ) l + }{{} ) = l+1+n 1 = n+l (19) }{{} l+1 n 1 Les fonctions (x x ν ) l + permettent d ssurer un rccord C l 1 ux points x ν des différents morceux de polynômes.

10 Theorème A (définition des splines) L espce des splines S l (x 0, x 1,..., x n ) est exctement l espce S l des fonctions s : [, b] R tel que s C l 1 [, b] s P l [x ν, x ν+1 ] Démonstrtion: On montre que toute fonction s S l possède une représenttion de l forme l n 1 s(x) = λ x λ + b ν (x x ν ) l + (20) λ=0 ν=1 c--d., que Vect(x λ, (x x ν ) l + ) est génértrice pour S l.

11 Soit s(x) S l. Montrons pr récurrence l propriété (P k ) suivnte: (P k ): Il existe b 1,..., b k 1 t.q. s(x) = l λ=0 k 1 λ x λ + b ν (x x ν ) l +, sur [x 0, x k ] (21) ν=1 k = 1. On regrde s(x) sur [x 0, x 1 ]. C est un polynôme de degré l, donc s(x) = x l x l (22) Donc (21) est vri pour k = 1.

12 (P k ) (P k+1 ) Soit ρ(x) = s(x) l λ=0 k 1 λ x λ b ν (x x ν ) l + (23) On ρ(x) C l 1 [x 0, x k+1 ] et ρ(x) 0 sur [x 0, x k ], pr hypothèse de récurrence. De plus ρ(x) est solution de l éqution différentielle { ν=0 y (l+1) (x) = 0, x k x x k=1 y(x k ) = y (x k ) =... y (l 1) (x k ) = 0 (24)

13 (24) est une e.do. linéire en l inconnue x Y (x) = [y(x), y (x),..., y l (x)] T R l+1 (25) { d dxy (x) = AY (x) Y (x k ) = [0,...,α] T (26) Solution unique ρ(x) = α l! (x x k) l +. En notnt b k = α/l!, s(x) s écrit sur [x k, x k+1 ] l k s(x) = λ x λ + b ν (x x ν ) l + (27) λ=0 ce qui prouve (P k ) (P k+1 ). On donc montré que l fmille de fonctions (x λ, (x x ν ) l + ) est génértrice pour S l, c--d, S l S l (x 0, x 1,..., x n ). Réciproquement toute spline s S l (x 0,..., x n ) est dns P l [x ν, x ν+1 ] pour tout ν et est dns C l 1 [, b], donc S l (x 0,...,x n ) S l. Donc S l = S l (x 0,..., x n ). ν=1

14 Conditions de bord pour les splines: On vu que l spline cubique s(x) S 3 (x 0, x 1,..., x n ) est déterminée pr les vleurs des dérivées ux noeuds s (x j ) solution du système linéire s (x k 1 ) + 4s (x k ) + s (x k+1 ) = 3 h (f(x k+1 f(x k 1 )), 1 k n 1 (28) Il fut rjouter 2 conditions de bord en = x 0 et b = x n. Trois types de conditions de bord sont usuelles Les conditions de Hermite s () = f (), s (b) = f (b) (29) Cel suppose que f (), f (b) sont connues pr illeurs Les conditions nturelles Les conditions périodiques s () = s (b) = 0 (30) s () = s (b), s () = s (b) (31)

15 Theorème B (reltion intégrle pour les splines cubiques) Soit d(x) = f(x) s(x), l erreur entre l fonction f(x) et l spline s(x). On l condition limite s ()d () = s (b)d (b) (32) pour l spline cubique s(x) si et seulement si on l reltion intégrle b f (x) 2 dx = b (f (x) s (x)) 2 dx + b s (x) 2 dx (33) Démonstrtion: L reltion intégrle (33) équivut à b (f (x)s (x) s (x) 2 )dx = 0 (34) soit b s (x)d (x)dx = 0 (35)

16 En intégrnt deux fois pr prties, on obtient b b s (x)d (x)dx = s d b s (x)d (x)dx = s (b)d (b) s ()d () n 1 xν+1 n 1 = s (b)d (b) s ()d () + ( Mis on ν=0 x ν xν+1 ν=0 d(x ν ) = 0, donc s (3) (x)d(x) xν+1 x ν = 0. s (4) (x) [xν 1,x ν] 0 cr s(x) P 3 [, b]. On finlement b x ν s (x)d (x)dx s (4) (x)d(x)dx s (3) (x)d(x) xν+1 x ν ) s (x)d (x)dx = s (b)d (b) s ()d () (36) ce qui donne le résultt.

17 Chcune des 3 conditions de bord Hermite Nturelle Périodique vérifie cette reltion. Corollire (Interpréttion mécnique de l spline cubique) Soit s(x) S 3 (x 0, x 1,..., x n ), l spline cubique interpolnt f(x) C 2 [, b]. Alors s(x) est l solution du problème de minimistion min g G b g (x) 2 dx (37) où G est l ensemble des fonctions C 2 [, b] vérifint les mêmes conditions d interpoltion que s(x) g(x ν ) = f(x ν ), ;, ν = 0, 1,...,n l une des trois conditions limite

18 Démonstrtion: L reltion (33) est vlble non seulement pour f, mis ussi vec toute fonction g G. Donc b (g (x)) 2 dx = b b (g (x) s (x)) 2 dx + b s (x) 2 dx (38) s (x) 2 dx (39) (40) donc min g G b g (x) 2 dx = b s (x) 2 dx (41) Corollire Le problème (M) possède une unique solution. Autrement dit, il existe une unique spline cubique s(x) S 3 [, b] solution du problème d interpoltion (vec l un des trois choix de conditions limite).

19 Démonstrtion: Si s 1 (x), s 2 (x) G lors b (s 1 (x) s 2 (x))2 dx = 0 (42) Donc s 1 (x) = s 2 (x), ce qui entrîne que s 1 et s 2 diffèrent pr une fonction ffine. Les conditions limite entrînent que s 1 s 2.

20 Exemples: 1 bleu: Log(x), vert: interpolee spline cubique Interpoltion spline vec 4 points de: x [0.01, 1.01] Log(x) (43)

21 1 bleu: Log(x), vert: interpolee spline cubique Interpoltion spline vec 10 points de: x [0.01, 1.01] Log(x) (44)

22 1 bleu: Log(x), vert: interpolee spline cubique Interpoltion spline vec 20 points de: x [0.01, 1.01] Log(x) (45)

23 1 bleu: sin(2*pi*x), vert: interpolee spline cubique Interpoltion spline vec 3 points de: x [0., 2π] sin(4x) (46)

24 1.5 bleu: sin(2*pi*x), vert: interpolee spline cubique Interpoltion spline vec 7 points de: x [0., 2π] sin(4x) (47)

25 1.5 bleu: Log(x), vert: interpolee spline cubique Interpoltion spline vec 15 points de: x [0., 2π] sin(4x) (48)

26 1 bleu: Log(x), vert: interpolee spline cubique Interpoltion spline vec 31 points de: x [0., 2π] sin(4x) (49)

27 Interpoltion spline vec 5 points de l fonction de Runge: x [ 5, 5] x 2 (50)

28 Interpoltion spline vec 10 points de l fonction de Runge: x [ 5, 5] x 2 (51)

29 Interpoltion spline vec 20 points de l fonction de Runge: x [ 5, 5] x 2 (52)

30 Tbleu de mesures ν E(ν) ν E(ν) ν E(ν) > > > > > > > > > > > > > > > > On clcule l interpolé spline (cubique) bsée sur les points mrqués > et on compre pour les utres points vleur mesurée/vleur prédite pr l spline.

31 Interpoltion spline vec les mesures mrquées >, (15 mesures).

32 Interpoltion spline vec seulement 9 mesures.