Spé. Lycée P. Mendès France Epinal. Les Vecteurs.docx 1/15

Transcription

1 Les ecters.doc /5

2 SOMMIRE - Les ecters Rappels :.... Définitions : ecter lié - vecter libre - vecter glissant.... a. ecter lié :... b. ecter libre :... 4 c. ecter glissant : Opérations sr les vecters :... 4 a. Opérations sr les vecters :... 4 b. Repère orthonormé :... 5 c. Composantes d'n vecter :... 6 d. Prodit scalaire :... 6 e. Prodit vectoriel :... 7 f. Doble prodit vectoriel :... 8 g. Prodit mite : Champs de vecters : Moments de vecters :... 9 a. Moment d'n vecter glissant par rapport à n point :... 9 b. Moment d'n vecter glissant par rapport à n ae (Δ) : Techniqe de calcl vectoriel : ngles d'eler :... 4 Les ecters.doc /5

3 . RPPELS : - LES ECTEURS - On en pet parler de vecters sans parler de bases pisqe c'est grâce à celles-ci qe nos porrons les eprimer. ase orthogonale : ase orthonormé : ase orthonormée directe : Une base,, C'est ne base dont les vecters sont orthogona de à de (lers prodits scalaires sont nls). C'est ne base orthogonale dont les vecters sont nitaires (ler norme est égal à ). sera dite directe, si l'angle balaé dans le sens trigonométriqe par le vecter por venir en coïncidence avec le vecter est égal à. De pls le sens d vecter est donné par la progression d'n tire-bochon à droite tornant dans le sens trigonométriqe. tre illstration avec la règle des trois doigts de la main droite ici avec ne base (X, Y, Z ) Compléter les représentations planes sivantes : X 0 Z Z Y 0 X X. DEFINITIONS : ECTEUR LIE - ECTEUR LIRE - ECTEUR GLISSNT. Le cors de mécaniqe générale nécessite l'introdction d'n espace Eclidien IR à trois dimensions (trois dimensions spatiales). Le temps est introdit por la description des movements. On sppose définie ne base orthonormée. a. ecter lié : Définition : Un vecter lié (o bipoint) est n cople ordonné de points et. Un vecter lié dépend de 6 paramètres scalaires :,,,,, Un vecter lié ne possède q n sel représentant dans l espace : le bipoint []. Un vecter lié est défini par n point d application, ne droite spport (), ne intensité et n sens. O Les ecters.doc /5

4 Intensité : Sens : (vecter nitaire aant même sens et même direction qe ) Eemple d'tilisation : Les vecters liés nos permettront de nos déplacer d'n point à n atre d'n solide. Les vecters liés de spports parallèles, de même sens et de même modle sont dit éqipollents. b. ecter libre : Définition : Un vecter libre est constité par la classe d éqivalence (l ensemble des vecters éqipollents) d n vecter lié donné.... Un vecter libre dépend de paramètres scalaires :,, Un vecter libre possède ne infinité de représentants. O Eemple d'tilisation : Les vecters libres nos permettront de définir les vecters vitesse de rotation. c. ecter glissant : Définition : Un vecter glissant est constité par les vecters éqipollents à n vecter lié donné, spportés par la même droite (). Un vecter glissant est défini par n vecter libre et n point qelconqe d spport ; Un vecter glissant dépend de cinq paramètres : - Les composantes d vecter,, - La trace de () dans n plan qelconqe, par eemple Un vecter glissant possède ne infinité de représentants disposés le long d spport. O Eemple d'tilisation : Les vecters glissants nos permettront de définir des forces.. OPERTIONS SUR LES ECTEURS : a. Opérations sr les vecters : On considère des vecters tels qe : U ddition de vecters :... dans ne base orthonormée,,,,. U U La somme est commtative.,,,,,, U U U U U Les ecters.doc 4/5

5 De façon générale : U N U N...,, N N N U U U N U U U N Si U 0, c'est qe les vecters U forment les côtés d'n polgone (l'etrémité d dernier vecter est confonde avec l'origine d premier vecter). Prodit eterne : initial. C'est la mltiplication d'n vecter par n scalaire réel, le résltat est n vecter colinéaire a vecter Si est positif le sens est inchangé. Si est pls grand qe, le modle d vecter est agmenté (le vecter s'allonge)..u 0 0 Dans tote la site d cors nos nos siterons dans ne base orthonormée directe de dimension dont les vecters nitaires,, sont définis ci-dessos. Notation :,, Les vecters U et s'écrivent alors dans la base en fonction de lers composantes : tre notation : U v.... v. v. v U et v v b. Repère orthonormé : C'est l'ensemble formé par ne origine O et ne base orthonormée,,. Notation : O,,, O est l'origine d repère ;,, repère ; O, O et,, constite la base d O, sont les aes d repère. O Les ecters.doc 5/5

6 c. Composantes d'n vecter : Les composantes d n vecter dans la base pevent être déterminés par la différence des coordonnées dans R de l etrémité et de l origine d n bipoint (, ) représentant de la classe d éqivalence de ce vecter : OO OO Eemple de calcl avec n point de coordonnées (X, Y, Z ) et (X, Y, Z ) : d. Prodit scalaire : Le prodit scalaire est défini par : U. U.. cos avec U, U',' Le prodit scalaire est n réel (algébriqe) indépendant d choi d repère. Propriétés fondamentales d prodit scalaire : Si et sont des scalaires, on a :. U... U. Le prodit scalaire est commtatif : U..U Distribtivité par rapport à l'addition : U. U WU. U. W U' ' Epression analtiqe d prodit scalaire : Dans ne base orthonormée,,, les vecters sont normés donc :.,.,. Les vecters de la base sont orthogona entre e :. 0,. 0,. 0 Dans ne base orthonormée,,, si les de vecters U et sont définis par : v U et v alors v U..... v. v. v..v.v. v Les ecters.doc 6/5

7 pplications : ngle de de vecters : De l'epression U. U.. cos, on pet définir l'angle de ces de vecters par son cosins : cos U. U. On pet en dédire ne condition nécessaire et sffisante por qe de vecters soient orthogona Projection orthogonale : U. 0 L'ne des principales applications d prodit scalaire est la projection d'n vecter sr ne direction donnée définie par le vecter, cette projection sera notée.. cos, Carré scalaire : Le prodit scalaire d'n vecter par li-même appelé carré scalaire, est égal a carré d modle de ce vecter : e. Prodit vectoriel :. Le prodit vectoriel est ne application bilinéaire antismétriqe f qi, à tot cople de vecters U et, fait correspondre le vecter W : Notation : U et alors W fu, W U - Ce vecter W est perpendiclaire a plan formé par les vecters U et. - Son sens est donné par le trièdre U,,W direct. - Soit U,, la norme de W est définie par : U U. sin Propriétés fondamentales d prodit vectoriel : - ssociativité :. U U. U - Distribtivité par rapport à l'addition por chaqe vecter : U WU UW U W UW W - Si et sont des scalaires, on a :. U. U - ntismétriqe : U U Les ecters.doc 7/5

8 - Sr les vecters d'ne base orthonormée directe, on obtient : 0, 0, 0,,,, Epression analtiqe d prodit vectoriel : Dans ne base orthonormée,,, si les de vecters U et sont définis par : v U et v alors v U v v v v v v On a : W U v v v v v v v v v Matrice ni-colonne d vecter W dans la base,, Remarqe : f. Doble prodit vectoriel : Le doble prodit vectoriel de trois vecters ordonnés X U W On pet montrer qe ce vecter X pet s'eprimer par : X U.W U. W U,, W est n vecter X défini par la relation : Cette relation sera pe o pas tilisée en eercice mais nos sera tile dans certaines démonstrations. g. Prodit mite : On appelle prodit mite de trois vecters ordonnées U. W Le prodit mite est invariant par permtation circlaire des vecters : Notation : U,,W U. W. W U W. U Cas de nllité d prodit mite : Le prodit mite U,,W est nl dans l'n des cas sivant : - U est n vecter nl. - est n vecter nl. - W est n vecter nl. - les vecters U,, W sont coplanaires. U,, W le scalaire : Remarqe : Cette relation sera pe o pas tilisée en eercice mais nos sera tile dans certaines démonstrations. Les ecters.doc 8/5

9 4. CHMPS DE ECTEURS : Une application f qi, à tot point M de l'espace, fait correspondre n vecter H est appelé champ de vecters. Eemples : H M est le résltat de l'application a point M. - Un champ niforme est n champ tel qe le résltat de l'application ne dépend pas d point M : et alors H H Eemple : Le champ des vecters vitesse d'n solide indéformable en translation est niforme. - Un champ éqiprojectif est n champ tel qe : et alors.h.h Eemple : Le champ des vecters vitesse d'n solide indéformable est éqiprojectif. 5. MOMENTS DE ECTEURS : Un vecter glissant est défini par ne droite (D) et n vecter. On le note : a. Moment d'n vecter glissant par rapport à n point : Soit le vecter glissant M P () D D, et n point appartenant à la droite (D). Le moment en P de ce vecter glissant est défini par le vecter lié : Ce vecter est orthogonal a plan défini par P et (D). () M P P D,. Ce moment est indépendant d point appartenant à (D). En effet, soit n atre point de (D), on a : P P P Soit H la projection orthogonale de P sr (D) : PHH PH P d M P () P H La norme d moment d vecter glissant D, par rapport a point P est la norme d prodit vectoriel PH qi vat : PH d. avec d la distance d point P a spport (D) d vecter glissant D,. Les ecters.doc 9/5

10 Eemple d'tilisation : On sera amené à faire ce tpe de calcl por déterminer le moment dû à ne force (vecter glissant) eercée à ne distance d (bras de levier) d'n point. b. Moment d'n vecter glissant par rapport à n ae (Δ) : Soit n vecter glissant D, et n point appartenant à la droite (D). L'ae (Δ) est mni d'n vecter nitaire et est n point de (Δ). Le moment par rapport à (Δ) de ce vecter glissant est défini par : M ()..,,. Relation tile por connaître n moment sivant n ae particlier. M () D 6. TECHNIQUE DE CLCUL ECTORIEL : En mécaniqe interviennent généralement plsiers repères orthonormés dédits les ns des atres par des rotations. Soient les repères R O,,,, U O,,, et O,v,v, v : - Spposons U dédit de R par ne rotation Ψ ator de et définie par,, et par - Spposons dédit de U par ne rotation θ, ator de Un vecter pet être défini par ses composantes : - soit dans R : a. - soit dans U : U b. - soit dans : c.v v avec,v, v Mais le vecter pet très bien être défini par ne combinaison linéaire qelconqe des vecters nitaires des repères R, U et : - soit le vecter :... v Il est intile de l'écrire dans l'n des repères R, U o, où ses composantes sont complees. De façon générale, il fat tojors eprimer les vecters sos forme de combinaison linéaire des vecters des bases et ne jamais calcler ses composantes saf par nécessité! v v v Les ecters.doc 0/5

11 Soit à calcler le prodit vectoriel : U. a... v b. c. v U avec : Le premier réflee, constaté coramment, consiste à calcler les composantes de U et dans le repère R et d'effecter le prodit vectoriel. C'est ce q'il ne fat jamais faire!!! Les ecters.doc /5

12 Les ecters.doc /5

13 Calcler. par de méthodes, sachant qe : a. b. c. v Les ecters.doc /5

14 7. NGLES D'EULER : Soient les repères R O,,,, U O,, v,, O,,w, et O,,, R. - Le repère U (roge) est dédit de R (ble) par ne rotation Ψ ator de et définie par, Ψ est appelé angle de précession - Le repère (vert) est dédit de U (roge) par ne rotation θ ator de et définie par v,w θ est appelé angle de ntation - Le repère R (jane) est dédit de (vert) par ne rotation φ ator de φ est appelé angle de rotation propre Tracer les trois figres planes qi correspondent a trois rotations définies ci-desss. On donne OM. avec cte0. Déterminer OM dans la base,, et définie par, Eler Les ecters.doc 4/5

15 Les ecters.doc 5/5