EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP INFORMATIQUE. Jeudi 4 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont interdites

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1 SESSION 2017 MPIN007 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP INFORMATIQUE Jeudi 4 mi : 14 h - 18 h N.B. : le cndidt ttcher l plus grnde importnce à l clrté, à l précision et à l concision de l rédction. Si un cndidt est mené à repérer ce qui peut lui semler être une erreur d énoncé, il le signler sur s copie et devr poursuivre s composition en expliqunt les risons des inititives qu il été mené à prendre. Les clcultrices sont interdites Le sujet est composé de trois prties, toutes indépendntes. Ce sujet évlue les compétences cquises dns les enseignements d Informtique pour tous et d option Informtique. Toutes les questions doivent être tritées pr les cndidts. Les questions demndnt d écrire une fonction en lngge Python doivent exploiter le contenu des enseignements d Informtique pour tous. Les questions demndnt d écrire une fonction en lngge CML doivent exploiter le contenu des enseignements d option Informtique. Les fonctions écrites en lngge Python ne devront ps être récursives suf dns l question Q31 pge 9. Les fonctions écrites en lngge CML devront être récursives ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives. Elles ne devront ps utiliser d instructions itértives (c est-à-dire for,while,...), ni de références, ni d exceptions. 1/10

2 Prtie I - Logique et clcul des propositions Imginez-vous ethnologue. Vous étudiez une peuplde primitive qui présente un comportement mnichéen extrême : lorsque plusieurs personnes prticipent à une même converstion sur un sujet donné, elles vont toutes voir le même comportement mnichéen tnt que l converstion reste sur le même sujet, c est-à-dire que toutes les ffirmtions seront soit des vérités, soit des mensonges. Pr contre, si le sujet de l converstion chnge, l nture des ffirmtions, soit mensonge, soit vérité, peut chnger, mis toutes les ffirmtions seront de l même nture tnt que le sujet ne chnger ps à nouveu. Pour être utorisé à séjourner dns cette peuplde, vous devez respecter cette règle. Vous prticipez à une converstion vec trois de leurs memres que nous ppellerons X, Y et Z. Ceux-ci vous indiquent comment rejoindre leur villge. Si vous n rrivez ps à le rejoindre, vous ne serez ps utorisé à y séjourner. Le premier sujet ordé est l région dns lquelle se trouve le villge : X indique : «Le villge se trouve dns l vllée»; Z réplique : «Non, il ne s y trouve ps»; X reprend : «Ou lors dns les collines». Nous noterons V et C les vriles propositionnelles ssociées à l région dns lquelle se trouve le villge. Nous noterons X 1 et Z 1 les formules propositionnelles correspondnt ux ffirmtions de X et de Z sur le premier sujet. Puis, le second sujet est ordé : le chemin qui permet de rejoindre le villge dns l région concernée. X dit : «Le chemin de guche conduit u villge»; Z répond : «Tu s rison» ; X complète : «Le chemin de droite y conduit ussi»; Yffirme : «Si le chemin du milieu y conduit, lors celui de droite n y conduit ps»; Z indique : «Celui du milieu n y conduit ps». Nous noterons G, M, D les vriles propositionnelles correspondnt respectivement u fit que le chemin de guche, du milieu et de droite, conduit u villge. Nous noterons X 2, Y 2 et Z 2 les formules propositionnelles correspondnt ux ffirmtions de X, de Y et de Z sur le second sujet. Q1. Représenter le comportement mnichéen des interlocuteurs dns le premier sujet ordé sous l forme d une formule du clcul des propositions dépendnt des formules propositionnelles X 1 et Z 1. Q2. Représenter les informtions données pr les prticipnts sous l forme de deux formules du clcul des propositions X 1 et Z 1 dépendnt des vriles V et C. Q3. En utilisnt l résolution vec les propriétés des opérteurs ooléens et les formules de De Morgn en clcul des propositions, déterminer dns quelle région vous devez vous rendre pour rejoindre le villge. Q4. Représenter le comportement mnichéen des interlocuteurs dns le second sujet ordé sous l forme d une formule du clcul des propositions dépendnt des formules propositionnelles X 2, Y 2 et Z 2. Q5. Représenter les informtions données pr les prticipnts sous l forme de trois formules du clcul des propositions X 2, Y 2 et Z 2 dépendnt des vriles G, M et D. Q6. En utilisnt l résolution vec les tles de vérité en clcul des propositions, déterminer quel chemin vous devez suivre pour rejoindre le villge. 2/10

3 Q7. En dmettnt que les trois prticipnts ient menti, pouviez-vous prendre d utres chemins? Si oui, le ou lesquels? Prtie II - Algorithmique et progrmmtion (Informtique pour tous) Cette prtie étudie l lgorithme de recherche dichotomique de l position d une vleur dns une séquence croissnte d entiers. Pour simplifier les nottions et les preuves, les séquences mnipulées ne contiennent qu une seule fois chque vleur. Les résultts otenus se générlisent ux séquences croissntes quelconques. Définition II.1 (séquence) : soient d, f N vec d f + 1, une séquence s de vleurs v i vec i N et d i f est notée s = v i f i=d ; s tille est notée s = f d + 1 ; si i N et d i f, s i-ème vleur est notée s i = v i ; son domine, c est-à-dire l intervlle des indices de ses vleurs, est noté dom( v i f i=d ) = [d, f ]; son co-domine, c est-à-dire l ensemle de ses vleurs, est noté codom( v i f i=d ) = {v i} f i=d ; l séquence vide de tille 0 est notée ; si d d et d f + 1 et f f, lors v i f i=d de tille f d + 1 désigne l sous-séquence de v i f i=d contennt les vleurs de v d àv f. Les vleurs contenues dns les séquences s mnipulées pr l suite sont toutes distinctes, c est-à-dire que le crdinl du co-domine de s est égl à l tille de s (crd(codom(s)) = s ). Une séquence ser représentée en Python pr une liste. Dns l suite de cet exercice, nous considérons l fonction position du progrmme suivnt en lngge Python. def position ( v, p ): d = 0 f = len ( p) 1 while (d < f ): m = d + (f d) // 2 return print ( v, d, m, f, p [d], p [m], p [f ]) if ( v < p [m]): f = m 1 elif ( p [m] < v ): d = m + 1 else : f = d = m d exemple = [ 1, 4, 7, 9, 12, 15] resultt = position (9,exemple ) Listing 1 Recherche dichotomique en Python Q8. Quelles sont les informtions ffichées lors de l exécution du progrmme complet du Listing 1? Que contient l vrile resultt près cette exécution? Que contient l vrile exemple près cette exécution? 3/10

4 Q9. Soient l séquence p et les entiers r et v tels que r = position(v,p), vec: (i) p = p 0,...,p n vec n N ; (ii) i [0, n[, p i < p i+1 ; (iii) i [0, n], p i = v. Montrer que v = pr. Vous utiliserez pour cel l propriété suivnte dont vous montrerez qu il s git d un invrint pour l oucle : 0 d f n i [d, f], p i = v. Q10. Montrer que le clcul de l fonction position se termine quelles que soient les vleurs de ses prmètres v et p. Q11. Donner des exemples de vleurs des prmètres v et p de l fonction position qui correspondent u pire cs en temps d exécution. Montrer que l complexité en temps d exécution dns le pire cs de l fonction position, en fonction de l tille n des séquences trnsmises comme prmètre, est de O(log(n)). Prtie III - Automtes et lngges Cette prtie étudie l opérteur de produit synchronisé S sur l lphet S de deux utomtes sur un même lphet X tel que S X. Cet opérteur est utilisé pour modéliser des ctivités concurrentes. 1 Mots et lngges Définition III.1 (lphet, mot, lngge) : un lphet X est un ensemle de symoles. ɛ X est le symole représentnt le mot vide. X est l ensemle contennt ɛ et les mots composés de séquences de symoles de X. Un lngge L sur X est un sous-ensemle de X. Nous étudierons deux implnttions des mots et lngges : d une prt en lgorithmique récursive progrmmée en lngge CML ; d utre prt en lgorithmique itértive progrmmée en lngge Python. 1.1 Algorithmique récursive (option Informtique) Nous utiliserons pr l suite en CML le type chr pour représenter les symoles de l lphet et les listes de symoles pour représenter les mots. Q12. Écrire en CML une définition pour les types lphet, mot et lngge qui représentent les lphets, mots et lngges sur les symoles de cet lphet. Q13. Écrire en CML une fonction prefixer, de type mot -> lngge -> lngge, telle que l ppel (prefixer p l) sur un mot p et un lngge l, renvoie un lngge contennt les mêmes mots que l préfixés pr le mot p. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois le lngge l. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives. Q14. Clculer une estimtion de l complexité de l fonction prefixer en fonction du nomre de mots du lngge l. Cette estimtion ne prendr en compte que le nomre d ppels récursifs effectués. 4/10

5 1.2 Algorithmique itértive (Informtique pour tous) Nous utiliserons pr l suite en Python des chînes de crctère de tille 1 (type str) pour représenter les symoles de l lphet. Q15. Proposer une représenttion en Python des mots et lngges sur cet lphet. Q16. Écrire en Python une fonction prefixer, telle que l ppel prefixer(p,l) sur un mot p et un lngge l, renvoie un lngge contennt les mêmes mots que l préfixés pr le mot p. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois le lngge l. Cette fonction devr être itértive ou fire ppel à des fonctions uxiliires itértives. Q17. Clculer une estimtion de l complexité de l fonction prefixer en fonction du nomre de mots du lngge l. Cette estimtion ne prendr en compte que le nomre d itértions effectuées. 2 Automte fini 2.1 Définition d un utomte fini Définition III.2 (utomte fini) : un utomte fini sur un lphet X est un quintuplet A = (Q, X, I, T,γ) composé : d un ensemle fini d étts : Q ; d un ensemle d étts initiux : I Q; d un ensemle d étts terminux : T Q; d une reltion de trnsition : γ Q X Q. Pour une trnsition (o, e, d) γ donnée, nous ppelons o l origine de l trnsition, e l étiquette de l trnsition et d l destintion de l trnsition. Remrquons que γ est le grphe d une ppliction de trnsition δ : Q X P(Q) dont les vleurs sont définies pr : o Q, e X, δ(o, e) = {d Q (o, e, d) γ}. L nottion γ est plus dptée que δ à l formlistion et l construction des preuves dns le cdre des utomtes non déterministes. 2.2 Lngge ccepté pr un utomte fini Définition III.3 (trnsition sur un mot) : l extension γ de γ àq X Q est définie pr : fermeture réflexive : pour tout étt q de Q, (q,ɛ,q) γ fermeture trnsitive : pour tout symole e de X, pour tout mot m de X, pour tous étts o, d de Q, (o, e.m, d) γ q Q, ((o, e, q) γ) ((q, m, d) γ ). Définition III.4 (lngge ccepté pr un utomte) : le lngge sur X ccepté pr un utomte fini A est : L(A) = {m X i I, d T, (i, m, d) γ }. 5/10

6 2.3 Représenttion grphique d un utomte Les utomtes peuvent être représentés pr un schém suivnt les conventions : les vleurs de l reltion de trnsition γ sont représentées pr un grphe orienté dont les nœuds encerclés sont les étts et les rêtes sont les trnsitions; tout étt initil i I est désigné pr une flèche i ; tout étt terminl t est entouré d un doule cercle t ; une rête étiquetée pr le symole e X v de l étt o à l étt d si et seulement si (o, e, d) γ. Exemple III.1 : l utomte E 1 = (Q 1, X, I 1, T 1,δ 1 ) tel que Q 1 = { {A, B, C, D} X = {,, c} I 1 = {A} T 1 = {B} (A,, B), (A,, C), (A, c, D), (B,, C), (B,, B), (B, c, D), γ 1 = (C,, D), (C,, B), (C, c, D), (D,, D), (D,, D), (D, c, D) est représenté pr le grphe suivnt : } B c A c D,,c Exemple III.2 : l utomte E 2 = (Q 2, X, I 2, T 2,δ 2 ) tel que,c C Q 2 = { {E, F, G, H} X = {,, c} I 2 = {E} T 2 = {G} (E,, F), (E,, H), (E, c, G), (F,, H), (F,, G), (F, c, H), γ 2 = (G,, G), (G,, H), (G, c, F), (H,, H), (H,, H), (H, c, H) est représenté pr le grphe suivnt : } F,c E H,,c c c G 6/10

7 Notons que certins étts et trnsitions ne sont ps utiles dns l description d un lngge cr ils ne prticipent ps à l construction de mots du lngge. Il s git, d une prt, des étts qui ne figurent dns ucune séquence de trnsitions llnt de l étt initil à un étt terminl et, d utre prt, des trnsitions dont les étts inutiles sont l origine ou l destintion. Un utomte dns lequel ces étts et trnsitions inutiles ont été éliminés est ppelé utomte émondé. Exemple III.3 : le sous-utomte de E 1 (Exemple III.1 de l pge 6) composé des étts et trnsitions utiles est représenté pr le grphe suivnt : B A C Exemple III.4 : le sous-utomte de E 2 (Exemple III.2 de l pge 6) composé des étts et trnsitions utiles est représenté pr le grphe suivnt : F E c c G Q18. Donner, sns l justifier, une expression régulière ou ensemliste représentnt les lngges L(E 1 ) et L(E 2 ) sur X = {,, c} ccepté pr l utomte E 1 de l Exemple III.1 et E 2 de l Exemple III.2, situés sur l pge 6. Nous étudierons deux implémenttions des utomtes : d une prt en lgorithmique récursive progrmmée en lngge CML ; d utre prt en lgorithmique itértive progrmmée en lngge Python. 2.4 Algorithmique récursive (option Informtique) Nous utiliserons pr l suite en CML le type int pour représenter les étts d un utomte. Q19. Écrire en CML une définition pour les types ett, trnsition et utomte qui représentent les étts et les trnsitions insi que les utomtes sur l lphet des symoles. Définir en CML l vleur expl_iii_1 de type utomte correspondnt à l utomte de l Exemple III.1 de l pge 6. Q20. Écrire en CML une fonction vlider, de type utomte -> ool, telle que l ppel (vlider ) sur l utomte renvoie l vleur true si l utomte est vlide, c est-à-dire s il respecte les contrintes de l Définition III.2 de l pge 5, et l vleur flse sinon. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois les trnsitions de l utomte. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives. 7/10

8 Q21. Écrire en CML une fonction ccepter, de type mot -> utomte -> ool, telle que l ppel (ccepter m ) sur un mot m et un utomte, renvoie l vleur true si le mot m pprtient u lngge ccepté pr l utomte et l vleur flse sinon. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois le mot m. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives. Q22. Clculer une estimtion de l complexité de l fonction ccepter en fonction du nomre de symoles du mot m et du nomre de trnsitions de l utomte. Cette estimtion ne prendr en compte que le nomre d ppels récursifs effectués. 2.5 Algorithmique itértive (Informtique pour tous) Nous utiliserons pr l suite en Python le type int pour représenter les étts d un utomte. Q23. Proposer une représenttion en Python des utomtes sur l lphet des symoles. Définir en Python l vrile expl_iii_1 initilisée vec une vleur correspondnt à l utomte de l Exemple III.1 de l pge 6. Q24. Écrire en Python une fonction vlider, telle que l ppel vlider() sur l utomte renvoie l vleur true si l utomte est vlide, c est-à-dire s il respecte les contrintes de l Définition III.2 de l pge 5, et l vleur flse sinon. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois les trnsitions de l utomte. Cette fonction devr être itértive ou fire ppel à des fonctions uxiliires itértives. Q25. Écrire en Python une fonction ccepter, telle que l ppel ccepter(m,) sur un mot m et un utomte, renvoie l vleur true si l utomte ccepte le mot m et l vleur flse sinon. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois le mot m. Cette fonction devr être itértive ou fire ppel à des fonctions uxiliires itértives. 3 Synchronistion de mots 3.1 Définition et Propriétés Nous définissons d ord l opértion de synchronistion de mots qui produit un lngge. Définition III.5 (synchronistion de mots) : soient m 1 et m 2 deux mots de X et S X un lphet de synchronistion, l opértion de synchronistion de m 1 et m 2 sur S, notée m 1 S m 2, produit un lngge sur X tel que : pour tous mots m, m 1, m 2 de X, pour tous symoles s, s 1, s 2 de S vec s 1 s 2 et pour tous symoles x, x 1, x 2 de X \ S, nous vons : m 1 S m 2 = m 2 S m 1 ɛ S ɛ = {ɛ} (s.m) S ɛ = (x.m) S ɛ = x.(m S ɛ) (s.m 1 ) S (s.m 2 ) = s.(m 1 S m 2 ) (s 1.m 1 ) S (s 2.m 2 ) = (s.m 1 ) S (x.m 2 ) = x.((s.m 1 ) S m 2 ) (x 1.m 1 ) S (x 2.m 2 ) = x 1.(m 1 S (x 2.m 2 )) x 2.((x 1.m 1 ) S m 2 ). Q26. Soient les lphets X = {,, c, d} et S = {}, construire le lngge (..c) S (..d) en détillnt chque étpe. 8/10

9 Q27. Montrer que pour tous mots m 1, m 2 de X, ɛ m 1 S m 2 ((m 1 = ɛ) (m 2 = ɛ)). Q28. Montrer que pour tout symole s de S, pour tous mots m, m 1, m 2 de X, il existe des mots m 1, m 2 de X tels que : s.m m 1 S m 2 ((m 1 = s.m 1 ) (m 2 = s.m 2 ) (m m 1 S m 2 )). Q29. Montrer que pour tout symole x de X \ S, pour tous mots m, m 1, m 2 de X, il existe des mots m 1, m 2 de X tels que : x.m m 1 S m 2 ((m 1 = x.m 1 ) (m m 1 S m 2 )) ((m 2 = x.m 2 ) (m m 1 S m 2 )). Nous nous limiterons à l étude d une implnttion en lgorithmique récursive que nous progrmmerons à l fois en lngge CML et en lngge Python. 3.2 Implnttion récursive en lngge CML (option Informtique) Q30. Écrire en CML une fonction synchro_mot, de type mot -> mot -> lphet -> lngge, telle que l ppel (synchro_mot m1 m2 s) sur les mots m1 et m2 et sur l lphet de synchronistion s, renvoie le lngge m1 s m2. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois les mots m1 et m2. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives. 3.3 Implnttion récursive en lngge Python (Informtique pour tous) Q31. Écrire en Python une fonction synchro_mot, telle que l ppel synchro_mot(m1,m2,s) sur les mots m1 et m2 et sur l lphet de synchronistion s, renvoie le lngge m1 s m2. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois les mots m1 et m2. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives. 4 Synchronistion de lngges Soit l opértion interne de synchronistion sur S des lngges définie pr : Définition III.6 (synchronistion de lngges) : soient L 1 et L 2 deux lngges sur l lphet X et S X un lphet de synchronistion, le lngge L 1 S L 2 sur X résultnt de l synchronistion sur S des mots de L 1 et L 2 est défini pr : L 1 S L 2 = m 1 S m 2. m 1 L 1,m 2 L 2 9/10

10 Q32. Écrire en CML une fonction synchro_lng, de type lngge -> lngge -> lphet -> lngge, telle que l ppel (synchro_lng l1 l2 s) sur les lngges l1 et l2 et sur l lphet de synchronistion s, renvoie le lngge l1 s l2. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives. 5 Synchronistion d utomtes 5.1 Définition Soit l opértion interne sur les utomtes finis déterministes définie pr : Définition III.7 (synchronistion d utomtes) : soient A 1 = (Q 1, X, I 1, T 1,γ 1 ) et A 2 = (Q 2, X, I 2, T 2,γ 2 ) deux utomtes finis déterministes sur l lphet X et S X un lphet de synchronistion, l utomte qui résulte de l synchronistion sur S de A 1 et A 2 est A = (Q 1 Q 2, X, I 1 I 2, T 1 T 2,γ A ) où l reltion de trnsition γ A est définie pr : pour tous étts o 1, d 1 de Q 1 et o 2, d 2 de Q 2, pour tout symole s de S et pour tout symole x de X \ S: ((o 1, o 2 ), s, (d 1, d 2 )) γ A ((o 1, s, d 1 ) γ 1 (o 2, s, d 2 ) γ 2 ) ((o 1, o 2 ), x, (d 1, d 2 )) γ A ((o 1, x, d 1 ) γ 1 o 2 = d 2 ) (o 1 = d 1 (o 2, x, d 2 ) γ 2 ). Q33. En considérnt l Exemple III.1 et l Exemple III.2 de l pge 6, construire l utomte E 1 S E 2 vec S = {}. Le résultt devr être émondé (seuls les étts et les trnsitions utiles devront être construits). Q34. Écrire en CML une fonction synchro_uto, de type utomte -> utomte -> lphet -> utomte, telle que l ppel (synchro_uto 1 2 s) sur les utomtes 1 et 2 et sur l lphet de synchronistion s, renvoie l utomte 1 s 2. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives. 5.2 Propriétés Q35. Montrer que si A 1 et A 2 sont des utomtes finis, lors A 1 S A 2 est un utomte fini. Q36. Montrer que pour tout mot m de X, il existe des mots m 1, m 2 de X tels que : pour tous étts o 1, d 1 de Q 1 et o 2, d 2 de Q 2 : ((o 1, o 2 ), m, (d 1, d 2 )) γ A (m m 1 S m 2 (o 1, m 1, d 1 ) γ 1 (o 2, m 2, d 2 ) γ 2 ). Q37. Soient A 1 et A 2 deux utomtes finis, montrer que : L(A 1 S A 2 ) = L(A 1 ) S L(A 2 ). FIN 10/10

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12 IMPRIMERIE NATIONALE D près documents fournis