CHAPITRE V- Mouvement de rotation

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1 SMMAIRE CHAPITRE V- Muvement de tatn INTRDUCTIN V1- CINEMATIQUE DE RTATIN V11- CINEMATIQUE DE RTATIN DU PINT MATERIEL V1- CINEMATIQUE DE RTATIN DU SLIDE a/ Les pnts du slde b/ Le slde V- DYNAMIQUE DE RTATIN V1- DYNAMIQUE DE RTATIN DU PINT MATERIEL V11- Mment de fce a/ Mment de fce pa appt à un pnt fxe b/ Mment de fce pa appt à un axe () fxe V1- Mment cnétque a/ Défntns du mment cnétque pa appt à un pnt fxe, pa appt à un axe () b/ Théèmes du mment cnétque pa appt à un pnt fxe, pa appt à un axe () V- DYNAMIQUE DE RTATIN DU SLIDE V1- Défntn du cente de masse d un slde V- Défntn du mment d nete d un slde V3- Mment cnétque d un slde ndéfmable a/ Mment cnétque du slde (Σ) pa appt à un pnt fxe appatenant à () b/ Mment cnétque du slde (Σ) pa appt à l axe de tatn () : c/ Théèmes du mment cnétque pa appt à un pnt fxe, pa appt à un axe () V3- SLIDE EN MUVEMENT DE TRANSLATIN ET DE RTATIN V31- Slde en tanslatn pue V3- Slde en tatn pue autu d un axe passant pa V33- Slde en tanslatn et tatn autu d un axe passant pa A (aute que ) V4- Cndtn d équlbe d un slde P D THABET-KHIREDDINE - 016/017

2 V- Muvement de tatn INTRDUCTIN Dans les chaptes pécédents nus avns étudé la mécanque du pnt matéel, c est-à-de un cps sans dmensn n ne puvat envsage qu un muvement de tanslatn ectlgne u cuvlgne d une manèe généale du pnt matéel Le muvement de tatn autu d un axe passant pa ce pnt n a pas de sens, cependant, l peut tune autu d un aute axe Dans ce chapte, nus allns étude la mécanque des cps sldes ndéfmables en tatn n cnsdéea patculèement les tatns autu d un axe fxe passant pa un pnt du slde et ce pa appt à un epèe galléen Le cps slde ndéfmable en tatn autu d un axe fxe peut ête cnsdéé cmme un ensemble de pnts matéels (u plus exactement d éléments nfntésmaux de masse dm) décvant des cecles de ayns dfféents autu de l axe L étude cnématque, dynamque et énegétque éalsée su le pnt matéel peut à nuveau ête cnsdéée et les gandeus défnes punt ête btenues pa smmatn (u ntégatn) dans le cas du slde en tatn V1- CINEMATIQUE DE RTATIN V11- CINEMATIQUE DE RTATIN DU PINT MATERIEL Dans le chapte II9, page 33, nus avns abdé l étude cnématque du muvement de tatn cculae du pnt matéel et défn un cetan nmbe de gandeus cnématques Cnsdéns un pnt matéel M décvant un cecle de cente et de ayn R P D THABET-KHIREDDINE - 016/017 91

3 *L ac AM epésente l abscsse cuvlgne de M : s(m) = s( θ ) = Rθ *Le vecteu vtesse lnéae v est tangent à la tajecte *Le mdule du vecteu vtesse est : ds v = = Rθ ɺ *La vtesse angulae du pnt M autu de est : dθ ω = = θ ɺ *Le vecteu vtesse angulae ω est pté pa l axe pependculae au plan de tatn du pnt matéel et sn sens est dnné pa la «ègle du tunevs» : ω = θɺ k *La elatn vectelle elant le vecteu vtesse lnéae v et le vecteu vtesse angulae ω est : v = ω M *L accéléatn lnéae du pnt M est : γ = ωɺ M + ω v dω d θ * Le vecteu accéléatn angulae est : α = = ω ɺ = k = ɺɺ θk dv drθ dθ *L accéléatn tangentelle est : γ T = = ɺ = R ɺɺ = Rα v (R θ) *L accéléatn nmale (u accéléatn centpète) est : γ N = = ɺ = Rω R R Dans le cas du muvement cculae unfmément vaé, n peut établ des elatns analgues au cas du muvement ectlgne unfmément vaé : 1/ Equatn hae du muvement de M dans le cas d un muvement cculae unfmément vaé (accéléatn angulae α cnstante) avec pu cndtn ntale : à t = 0, d θ dθ dω α = = ɺ = ω =αt +ω dθ 1 ω = = α t + ω θ(t) = αt +ωt +θ θ = θ et ω = ω / Relatn ente θ, ω et α : ω ω ( ω ω ) ω ω ω + ω ωω ω ω t = θ = α + ω + θ θ θ = + ω α α α α α 1 1 ω -ω = α(θ -θ ) P D THABET-KHIREDDINE - 016/017 9

4 Cnclusn : Cespndances ente les gandeus lnéaes et les gandeus angulaes : Muvement ectlgne unfmément vaé unté Muvement cculae unfmément vaé unté Pstn : x m Pstn : θ d Vtesse lnéae : dx v = m/s Vtesse angulae : dθ ω = d/s Accéléatn lnéae : dv d x Accéléatn angulae : dω d θ α = = d/s v(t) = γ t + v m/s ω (t) = α t + ω d/s 1 = γ + + m x(t) t vt x v v = γ(x x ) - 1 θ (t) = α t + ω t + θ d ω ω = α( θ θ ) - V1- CINEMATIQUE DE RTATIN DU SLIDE Cnsdéns, dans un epèe galléen, un slde ndéfmable quelcnque (Σ) en tatn autu d un axe fxe ( ) n pale als de tatn pue pa : v a/ Les pnts du slde : * Tus les pnts du slde tunent avec la même vtesse angulae ω autu de cet axe * Ils nt tus des tajectes cculaes centées su l axe, mas de ayns dfféents Les plans de ces tajectes snt tus pependculaes à l axe de tatn ( ) En cnséquence, tut ce qu a été établ pécédemment pu un pnt matéel est valable pu un pnt quelcnque du slde : - le vecteu vtesse angulae ω, cmmun à tus les pnts du slde, est pté pa l axe ( ) : ω = θɺ u avec u le vecteu untae de l axe ( ) - la vtesse lnéae de chaque pnt du slde est dnnée = ω ù est la dstance du pnt M du slde à l axe ( ) (le ayn de sa tajecte u ayn gate) Cette vtesse est dfféente d un pnt à l aute et elle est d autant plus gande que l n s élgne de l axe P D THABET-KHIREDDINE - 016/017 93

5 - L accéléatn angulae des pnts du slde est la même : α = ω ɺ = ɺɺ θ, et le vecteu accéléatn dω angulae est : α = = ω ɺ = ɺɺ θu b/ Le slde : - sa pstn est epéée pa l angle θ (c est l angle de tatn de l un de ses pnts) - sa vtesse angulae est celle de l ensemble de ses pnts dnc, c est le vecteu vtesse angulae ω Il en est de même pu sn accéléatn angulae α - le muvement d un cps slde en tatn unfmément vaée autu d un axe fxe véfe les elatns étables c-dessus : V- DYNAMIQUE DE RTATIN ω (t) = α t + ω 1 θ (t) = α t + ω t + θ ω ω = α( θ θ ) V1- DYNAMIQUE DE RTATIN DU PINT MATERIEL V11- Mment de fce a/ Mment de fce pa appt à un pnt fxe St F une fce applquée à un pnt matéel M Le mment de la fce F pa appt à un pnt fxe de l espace est : M (F) = M F Ce mment est pependculae au plan fmé pa M et F Sn mdule est : (F) = M F sn(m,f) = M F d La dstance d est appelé «bas de leve» P D THABET-KHIREDDINE - 016/017 94

6 b/ Mment de fce pa appt à un axe () fxe Le mment de la fce F, applquée au pnt matéel M, pa appt à un axe () passan pa, de vecteu untae u, est dnné pa la quantté algébque epésentant sa pjectn su () : = ( M (F) = M (F)u M F)u Remaque : Pa exemple, dans un epèe cylndque (u, u, k) ρ θ, psns u = k ( étant l axe z) et expmns M et F : M = ρ uρ + zk M (F) = M F = zfθ u ρ + (zfρ ρ F z)uθ + ρfθ k F = Fρ uρ + Fθ uθ + Fz k M (F) = M (F)k = ρf θ Le mment de F pa appt à l axe (z), qu est égale à ρ F θ, epésente la capacté de la fce F à fae tune le pnt M autu de cet axe F θ est tangent au cecle déct pa le pnt M C est la seule cmpsante qu effectue un taval dans le muvement de tatn Remaque : en généal, en cdnnées cylndques, n utlse au leu de ρ pu sgnfe la cmpsante adale et la base est als : (u, u, k) C est ce qu n adptea pa la sute θ V1- Mment cnétque a/ Défntns du mment cnétque pa appt à un pnt fxe, pa appt à un axe () fxe : *Le mment cnétque pa appt à un pnt fxe, nté L, d un pnt matéel M de masse m anmé d une vtesse v est le mment pa appt à du vecteu quantté de muvement p = mv : P D THABET-KHIREDDINE - 016/017 95

7 L = M p *Le mment cnétque L pa appt à un axe () de vecteu untae u, d un pnt matéel, est égal à la pjectn su () du mment cnétque L, le pnt étant un pnt fxe de () : L = L u Cmme nus l avns fat pécédemment, expmns M et v dans une base cylndque (u,u,k) avec u = k ( étant l axe z) : M = u + zk L = M mv = mzvθuρ + m(zv v z)uθ + mvθk v = vu + vθuθ + vzk L = L k = mv = m θ ɺ = m θ ɺ = m ω Remaque : θ Cmme dans le cas du mment d une fce, c est la cmpsante thadale v θ de v qu ntevent dans l expessn du mment cnétque pa appt à l axe () θ b/ Théèmes du mment cnétque pa appt à un pnt fxe, pa appt à un axe () : «Dans un epèe galléen, la dévée pa appt au temps du mment cnétque en un pnt fxe est égale au mment des fces éeues applquées au pnt matéel» : dl = M (F ) Dans le cas d un muvement de tatn du pnt matéel autu d un axe (), ce théème s énnce : «Dans un epèe galléen, la dévée pa appt au temps du mment cnétque pa appt à un axe () fxe, est égale au mment des fces éeues pa appt à l axe ()» : dl = M (F ) (Cette elatn est smplement btenue en multplant scalaement la elatn pécédente pa u ) V- DYNAMIQUE DE RTATIN DU SLIDE n va cmmence pa défn quelques gandeus caactéstques du slde V1- Défntn du cente de masse d un slde Un cps slde ( Σ ) est caactésé pa sn cente de masse u cente d nete P D THABET-KHIREDDINE - 016/017 96

8 St un pnt fxe quelcnque dans un epèe galléen Le cente de masse est défn pa sn vecteu pstn qu est tel que : Mdm 1 =, st = Mdm ( ) dm m Σ ù : - M est un pnt du slde affecté de l élément de masse dm, - m epésente la masse ttale du slde S l n chst à la place de, le cente de masse sea tel que : Mdm = 0 ( ) Remaques : 1/ n cnfnda le cente de masse (u d nete) avec le cente de gavté en suppsant le champ de gavté g unfme / Pu le calcul de l ntégale, ts cas peuvent se pésente : la dstbutn massque du slde peut ête : Vlumque (slde de vlume V): dm = ρ dv, ρest la masse vlumque (kg/m 3 ) : m = dm = ρdv Sufacque (slde de suface S): dm = σ ds, σ est la masse sufacque (kg/m ) : Lnéque (slde de lngueu L) : dm = λdl, λ est la masse lnéque (kg/m) : Σ (V) m = dm = σds (S) l m = dm = λd (L) 3/ Pu une dstbutn dscntnue de masses m, le cente de masse est défn pa : mm = m En cdnnées catésennes, les cdnnées du pnt sent : x = m x m, V- Défntn du mment d nete d un slde y = m y m, z = m z m Un cps slde (Σ) en tatn autu d un axe ( ) se caactése également pa sn mment d nete pa appt à cet axe, nté I Cette gandeu epésente l nete du cps slde dans sn muvement P D THABET-KHIREDDINE - 016/017 97

9 de tatn (pa analge avec une masse dans un muvement de tanslatn) Pu évalue l nete d un cps en tatn, l nete de sa masse seule ne sufft pas ; l faut en plus cnsdée la épattn spatale de cette masse pa appt à sn axe de tatn C est ce que tadut le mment d nete qu dépend dnc de la fme du slde Mathématquement, le mment d nete est dnné pa la elatn : I = ù epésente la dm dstance de l élément de masse dm à l axe Dans le cas le plus smple d une seule patcule de masse m, stuée à la dstance d un axe fxe, sn mment d nete est : I = m Le tableau suvant dnne les mments d nete leus axes de syméte passant pa leus centes de masse espectfs : I de quelques sldes usuels hmgènes pa appt à Cylnde plen Sphèe ceuse Sphèe plene Tge mnce de de ayn R de ayn R de ayn R lngueu L I = 1 mr I = mr 3 I = mr 5 I = 1 ml 1 Théème d Huygens : S l axe () ne passe pas pa le cente de masse du slde (Σ), n utlse le théème d Huygens pu le calcul du mment d nete pa appt à cet axe : «Le mment d nete I d un slde pa appt à un axe () est égale au mment d nete du slde pa appt à un axe ( ) passant pa et paallèle à ( ), augmenté du pdut de la masse du slde pa la dstance au caé ente les deux dtes» : I = I + md P D THABET-KHIREDDINE - 016/017 98

10 Exemples de calcul : 1/ Calcul du mment d nete d une tge hmgène de masse m, de lngueu L et de masse lnéque λ, pa appt à un axe ( ) passant pa sn cente de masse L L / L / 3 3 x 1 L 1 1 I = dm x dx x dx ( L)L = λ = λ = λ = λ = λ I = ml / Calcul du mment d nete d une tge hmgène de masse m, de lngueu L et de masse lnéque λ, pa appt à un axe () passant pa l une de ses émtés 1 L = + = + = 1 I I md ml m 1 ml 3 V3- Mment cnétque d un slde ndéfmable St un slde (Σ) en tatn autu d un axe fxe () de vecteu untae u avec une vtesse angulae ω = ωu Tut pnt M affectée de la masse élémentae dm à la dstance de l axe déct un cecle, le vecteu vtesse v(m) lu étant tangent a/ Mment cnétque du slde (Σ) pa appt à un pnt fxe appatenant à () *Le mment cnétque élémentae pa appt à un pnt fxe de () d un élément de masse dm est : dl = M vdm *Le mment cnétque du slde (Σ) pa appt à est : L = dl = M vdm Dans le cas généal, L n est pas paallèle à ω, c est-à-de n est pas pté pa l axe () Cnsdéns les ts cas suvants : 1 e CAS : Le cas smple d un seul pnt matéel tunant autu d un axe () avec une vtesse angulae ω P D THABET-KHIREDDINE - 016/017 99

11 n a v = ω HM = ω (M H) = ω M avec ω H = 0 ca Le mment cnétque est : L = M mv = mm ( ω M) Expmns M dans un epèe cylndque (u, u θ, k) : M = u + zk ω M = ωk (u + zk) = ωu θ L = mm ( ω M) = m(u + zk) ω uθ = m ωk mzωu L = m ω mzωu ω// H Le mment d nete d un pnt matéel de masse m en tatn autu d un axe fxe () est : I = m D ù : L = Iω - mzωu L se décmpse en une cmpsante paallèle à () et une cmpsante pependculae à () ème CAS : Le mment cnétque d une tge de masse néglgeable avec deux masses m fxées à ses émtés qu tune autu d un axe fxe () passant pa sn mleu H P D THABET-KHIREDDINE - 016/

12 Dans ce cas, le système pésente une syméte matéelle pa appt à : en effet, les deux masses en M et M snt symétques pa appt à H et décvent un cecle de cente H avec une vtesse angulae ω ptée pa () Cmme pécédemment, n a : L (M) = m ω mzωu Et cmme v(m') = v(m), als : L (M ') = m ω + mzωu L (M) et L (M ') snt deux vecteus symétques pa appt à l axe () Leu smme est dnc le vecteu L pté pa () : Le mment cnétque ttal est dnc : L L (M) L (M ') m = + = ω Le mment d nete du système est : I D ù : = m L = I ω Dans ce cas, le mment cnétque du système des deux masses est paallèle à l axe de tatn 3 ème CAS : Le mment cnétque d un cylnde plen et hmgène pa appt à un pnt appatenant à sn axe de syméte () et tunant autu de cet axe avec la vtesse angulae ω Mment cnétque élémentae pa appt à en M : dl (M) = M v(m)dm Pa asn de syméte, M a un symétque M pa appt à : dl (M ') = M ' v(m ')dm P D THABET-KHIREDDINE - 016/

13 avec v(m ') = v(m) La cntbutn de deux éléments dm symétque pu le mment cnétque est : dl (M) + dl (M ') = (M M ') v(m)dm = M ' M v(m)dm = HM v(m)dm Le mment cnétque ttal est : L = HM vdm = HM vdm = HM ( ω HM)dm ( Σ / ) Le duble pdut vectel est tel que : a (b c) = b(ac) - c(ab), St : HM ( ω HM) = ωhm HM(HM ω ) = ωhm ca : HM ω = 0 (HM ω ) Fnalement : L = ω HM dm = ω HM dm = ω dm L = HM étant la dstance de l élément dm à l axe de tatn () du cylnde = I ω CNCLUSIN : Le mment cnétque du slde ( Σ ) pa appt à un pnt fxe appatenant à () L = M vdm ne s éct sus la fme L = I ω que dans le cas patcule ù l axe () est st un axe de syméte matéel du slde, st l est pependculae à un plan de syméte matéel du slde b/ Mment cnétque du slde (Σ) pa appt à l axe de tatn () : L = L u = u (M v)dm (Σ) P D THABET-KHIREDDINE - 016/017 10

14 Dévelppement de cette elatn : Tut pnt M du slde stué à la dstance de l axe à une vtesse v : v = ω M = ωu M Pa pemutatn cculae du pdut mxte, n a : u (M v) = v(u M) = ω(u M) D aute pat : Fnalement : La quantté dm ( ) Σ (u M) = M sn α = = = ω L u (M v)dm dm n est aute que le mment d nete I du slde pa appt à l axe () Et l n a la elatn mptante ente le mment cnétque L et la vtesse angulae ω : L = I ω c/ Théèmes du mment cnétque pa appt à un pnt fxe, pa appt à un axe () : «Dans un epèe galléen, la dévée pa appt au temps du mment cnétque en un pnt fxe est égale à la smme des mments des fces éeues applquées au slde» : dl = M (F ) Dans le cas d un muvement de tatn du slde autu d un axe () fxe, ce théème s énnce : «Dans un epèe galléen, la dévée pa appt au temps du mment cnétque pa appt à un axe () fxe, est égale à la smme des mments des fces éeues pa appt à l axe ()» : dl = M (F ) Pusque L Remaques : dl dω = Iω, n a : = I = I α = M (F ) M (F ) = I α 1/ Pu les cps sldes pésentant un axe de syméte matéelle, n a démnté la elatn vectelle suvante : L = I ω Dans ce cas, le théème du mment cnétque s éct : dl dω = I = Iα = M (F ) P D THABET-KHIREDDINE - 016/

15 / Cette denèe elatn mnte une analge avec le Pncpe Fndamental de la Dynamque en tanslatn : F = mγ : Muvement de tanslatn Muvement de tatn F M (F ) Fce (N) m I Mment de fce (Nm) Masse netelle (kg) Mment d nete (kgm ) γ α Accéléatn lnéae (m/s ) Accéléatn angulae (d/s ) La elatn M (F ) = Iα peut ête cnsdéée cmme le Pncpe Fndamental de la Dynamque pu les cps en tatn autu d un axe fxe () V3- SLIDE EN MUVEMENT DE TRANSLATIN ET DE RTATIN V31- SLIDE EN TRANSLATIN PURE * Aspect dynamque : La quantté de muvement d un slde (Σ) est : p vdm dm d St : p = dm = Mdm La quantté Mdm est pa défntn le cente de masse égale à m d d Dnc : p = (m) m mv = =, ù v est la vtesse du cente de masse D ù la elatn : dp d p = mv et n en dédut : = (mv ) = m γ = F = P D THABET-KHIREDDINE - 016/ F = mγ la ésultante des fces est applquée au cente de gavté, à l nsta du pds Le PFD s éct als : F = mγ M (F ) = 0 *Aspect énegétque : Tus les pnts du slde se déplace à la même vtesse v, y cmps le cente de masse Dnc, 1 l énege cnétque du slde en tanslatn pue est : E c = mv

16 V3- SLIDE EN RTATIN PURE AUTUR D UN AXE PASSANT PAR *Aspect dynamque : Le PFD s éct : F = mγ = 0 (l'axe de tatn passant pa mplque que est un pnt fxe) M (F (I étant le mment d'nete pa appt à un axe passant pa ) ) = I α *Aspect énegétque : Un élément de masse dm du slde (Σ) a une vtesse v qu vae seln sa pstn et une vtesse angulae ω, dentque pu tus les pnts Sn énege cnétque élémentae est : ( ) dec = dmv = dm( ω ) = dm ω Ec = dm ω E c = Iω V33- SLIDE EN TRANSLATIN ET RTATIN AUTUR D UN AXE PASSANT PAR UN PINT FIXE (AUTRE QUE ) *Aspect dynamque : Le PFD s éct : F = mγ (l'axe de tatn passant pa fxe mplque que n'est pas un pnt fxe) M (F (I étant le mment d'nete pa appt à un axe passant pa ) ) = I α *Aspect énegétque : L énege cnétque ttale est : 1 1 E c = mv + I ω Récaptulatf : Tableau de cespndance ente un muvement tanslatn et un muvement de tatn pue autu d un axe fxe () : Paamètes Pncpe Fndamental de la Dynamque Quantté de muvement / Mment cnétque Enege cnétque Muvement de tanslatn F = mγ p = mv E c 1 = mv Muvement de tatn Cas généal Avec axe de syméte M (F ) = Iα (F M ) = I α L = I ω L = I ω E c 1 = I ω E c 1 = I ω P D THABET-KHIREDDINE - 016/

17 V4- CNDITIN D EQUILIBRE D UN SLIDE Pu qu un slde st en équlbe statque, l faut que l n at smultanément : F = 0 M (F ) = 0 Exemple d applcatn des cndtns d équlbe statque d un slde susceptble d av un muvement de tatn : Une bae hmgène A de pds P, de cente de gavté peut tune autu d un clu fxé en L émté A de la bae est attachée à un fl nensble sans masse qu passe pa une pule Un pds P est attaché à l aute but du fl n néglgea tut fttement Détemne la elatn ente α et β à l équlbe Le fl est nensble et sans masse : P' = T1 = T = T ' = T La tge est sumse aux fces suvantes : *Sn pds P = mg applqué au cente de gavté *La tensn du fl T *La éactn du clu R su la bae Pu les cps en tatn, la l fndamentale de la Dynamque seule ne sufft pas pu déce le système F = 0 La bae est en équlbe lsque : M(F ) = 0 P D THABET-KHIREDDINE - 016/

18 P + T + R = 0 P + T + R = 0 C est-à-de : M(P) + M(T) + M(R) = 0 P + A T = 0 Cmpsantes des dfféents vecteus su x et y (pjectns su x et y) : L cs 0 Tcs R α β x Lcsα P T R A P Tsnβ R y L Lsn α sn α D ù le système de ts équatns pemettant de détemne une elatn ente α et β à l équlbe : T csβ + R x = 0 (1) P + Tsn β + R y = 0 () PL cs α + TLcs α sn β + TLsn α cs β = 0 (3) (1) R x = T csβ < 0 () R y = P Tsnβ En dvsant la elatn (3) pa TLcsαcsβ, avec T = P' n btent : P P (3) + tgβ + tgα = 0 tgα = - tgβ P'csβ P'csβ P D THABET-KHIREDDINE - 016/