Réseaux de Petri PLAN MODÉLISATION ET VÉRIFICATION. P. Moreaux. Sommaire

Transcription

1 Résux Ptri P. Morux Univrsité Rims Chmpgn - Arnn UFR Sins Exts t Nturlls Déprtmnt Mthémtiqus t Inormtiqu Sommir!" # $%!!!& %! $%! '!(! '&(! $%!!! &" &! && % '!(& % '&(& % '!(& % '&(& & # & # '!(& # '&(" $#! & ## ## P. Morux Résux Ptri - 2/2 PLAN Introution Moélistion t vériition Exmpls moélistion t RP synhronistion (pompists) rssour prtgé systèm ommunition systèm proutur - onsommtur Déinition s RP syntx ynmiqu Ensml t grph ssiilité Propriétés struturlls / ssiilité (omportmntls) Propriétés omportmntls ornitu vivité étt uil rltions ntr propriétés Propriétés struturlls : invrints éqution onmntl lots t rythms luls ss lots t rythms (Guss) smi-lots t smi-rythms luls ppg smi-lots t smi-rythms (Frks) Réutions Prinips Pré-gglomértion Post-gglomértion Pl impliit Exmpl MODÉLISATION ET VÉRIFICATION Systèm sription inormll Moèl spéiition ormlisé VÉRIFICATION l spéiition vérii-t-ll ls ormuls? NON Propriétés énoné inorml Formuls xprssion ormlisé OUI P. Morux Résux Ptri - / P. Morux Résux Ptri - 4/4

2 SYNCHRONISATION CONFLIT g q r, : un voitur rriv q1 : pompist 1 u rpos : pompist 1 rrêt rmplir q2 : pompist 1 rmplissnt l résrvoir : pompist 1 rommn à rmplir q : pompist 1 vériint l nivu, g : un voitur st trité 'ssn : pompist 2 ini vériir l'huil r1 : pompist 2 u rpos r2 : pompist 2 vériint l'huil r : pompist 2 près vériition q1 : prossus 1 u rpos q2 : prossus 1 ént u ihir r1 : prossus 2 u rpos r2 : prossus 2 ént u ihir Lir q r g P. Morux Résux Ptri - 5/5 P. Morux Résux Ptri - 6/6 Émttur tntqu vri ir préprr mssg nvoyr mssg (h1) lir usé réption (h2) nlysr usé réption intntqu SYSTÈME DE COMMUNICATION Réptur tntqu vri ir lir mssg (h1) nlysr mssg préprr usé réption nvoyr usé réption (h2) intntqu SYSTÈME PRODUCTEUR - CONSOMMATEUR Proutur tntqu vri ir préprr mssg nvoyr mssg intntqu Consommtur tntqu vri ir lir mssg tritr mssg intntqu p 5 t 1 t 2 p 9 p 6 t 5 t6 q1 : proutur u rpos : l proutur éi 'nvoyr un m. q2 : proutur riqunt un m. : l proutur nvoi l m. r1 : onsommtur u rpos : l onsommtur éi lir un m. r2 : onsommtur lisnt un m. : l onsommtur ini lir l m. p 7 t t 7 0 m p 4 p 8 t 4 t 8 P. Morux Résux Ptri - 7/7 P. Morux Résux Ptri - 8/8

3 Résu Ptri : R = (P, T, Pr, Post) - P : nsml ini s pls - T : nsml ini s trnsitions - Pr : PxT -> N ontion 'inin vnt - Post : PxT -> N ontion 'inin rrièr Mrqug u résu : M : P -> N : M(p) st l nomr jtons p n M. Résu Ptri mrqué (ou systèm): S = (R,M 0) - R : résu Ptri - M 0 : mrqug initil : P -> N DÉFINITION DES RÉSEAUX DE PETRI [ ] [ ] Pr = [ ] [ ] = Post [ ] [ ] [ ] [ 0 ] C = Post - Pr = [ ] M 0 = [ ] [ ] [ 0 ] DYNAMIQUE DES RÉSEAUX DE PETRI Frnhissilité t st rnhissl ("nl") n M (M[t>) ssi : pour tout pl p P : M(p) Pr(p,t) Frnhissmnt Si t st rnhissl n M, l rnhissmnt (tir, "iring") t prouit l mrqug M' (M[t>M') : pour tout pl p P, M'(p) = M(p) - Pr(p,t) + Post(p,t) Séqun rnhissmnts s = t 1, t 2,..., t n lors : M[s>M n ssi M[t 1>M 1, M 1[t 2>M 2,..., M n-1[t n>m n Ensml s mrqugs ssils ("Rhility St") : A(R, M 0) = { M il xist s tll qu M 0[s>M } Grph s mrqugs ssils ("Rhility Grph") : GA(R, M 0) = grph (orinté, étiquté) ont - ls nous sont ls mrqugs ssils - ls rs sont ls rnhissmnts ntr ux mrqugs ssils P. Morux Résux Ptri - 9/9 P. Morux Résux Ptri - 10/10 (0,, 0) EXEMPLE DE GRAPHE D ACCESSIBILITÉ (0, 0, 1) Résu mrqué S = (R, M 0) v M 0 = (0,,0) Grph ssiilité S (1, 2, 0) (2, 1, 0) (, 0, 0) PROPRIÉTÉS DES RÉSEAUX DE PETRI Vériition spéiitions - On truit l spéiition u systèm moélisé n s propriétés u résu Ptri ssoié. - Vériir l orrtion u systèm rvint à prouvr qu l résu vérii s propriétés Propriété ssiilité ou omportmntl DEPEND u mrqug initil - ornitu - vivité - étt uil Propriété struturll vri pour TOUT mrqug initil - invrints pls ou trnsitions Méthos pruv s propriétés - nlys u grph s mrqugs ssils - réution u résu - lgèr linéir - utrs... P. Morux Résux Ptri - 11/11 P. Morux Résux Ptri - 12/12

4 BORNITUDE Résu K-orné ("K-Boun Nt") - un pl p st K-orné ssi pour tout M A(R, M 0) : M(p) K - (R, M 0) st K-orné ssi touts ss pls sont K-ornés Résu non orné Arr ouvrtur Algorithm onstrution (Ptrson, 1981) soit ω éini pr : n N : ω + n = ω - n = ω; n < ω; ω <= ω ut X <- { M0 } tntqu X non vi ir hoisir un M ns X pour tout t tll qu M[t>M' ir (* tstr l ornitu: *) pour tout p ns P ir si il xist M" ns l hmin M0 à M' tq M' => M" t il xist p tq M'(p) > M"(p) lors M'(p) <- ω insi rér un nou M -t-> M' X <- { M M st un uill généré, il xist un trnsition rnhissl n M, il n'y ps nou intrn égl à M } intntqu in P. Morux Résux Ptri - 1/1 EXEMPLE D ARBRE DE COUVERTURE ω 1 ω 0 ω ω 0 0 ω 1 ω 0 ω 0 1 ω ω ω ω 1 0 ω ω ω ω 1 ω 0 ω ω ω ω ω 0 ω ω ω ω ω ω ω ω ω P. Morux Résux Ptri - 14/14 VIVACITÉ (1) Résu psuo-vivnt (R,M 0) st psuo-vivnt ssi pour tout M A(R, M 0), il xist un trnsition t tll qu M[t> Trnsition qusi-vivnt Il xist un mrqug M A(R, M 0) tl qu M[t> Trnsition vivnt Pour tout mrqug M A(R, M 0), il xist un mrqug M' A(R,M) tl qu M'[t> Résu vivnt (R,M 0) st vivnt ssi touts ss trnsitions sont vivnts VIVACITÉ (2) p 4 st qusi-vivnt, non vivnt,, t sont vivnts P. Morux Résux Ptri - 15/15 P. Morux Résux Ptri - 16/16

5 ÉTAT D ACCUEIL RÉSEAU RÉINITIALISABLE Étt 'uil M st un étt 'uil (R, M 0) ssi pour tout M A(R, M 0), il xist un séqun trnsitions s tll qu M[s>M Résu réinitilisl (R,M 0) st réinitilisl ssi M 0 st un étt uil, i : pour tout M A(R, M 0), il xist un séqun trnsitions s tll qu : M[s> M 0 équivlnt à : son grph 'ssiilité st ortmnt onnx PROPRIÉTÉS COMPORTEMENTALES Dépnnt u mrqug initil u résu p 4 p 4 Si M 0 = + (R,M 0) st inir, vivnt t réinitilisl Si M 0 = + + p 4 (R,M 0) st non orné (vivnt?) Si M 0 = (R,M 0) st inir t non vivnt p P. Morux Résux Ptri - 17/17 P. Morux Résux Ptri - 18/18 RELATIONS ENTRE LES PROPRIÉTÉS COMPORTEMENTALES Théorèm 1 Si (R, M 0) st psuo-vivnt ou non orné, il mt un séqun rnhissmnts inini. Théorèm 2 Si (R, M 0) st vivnt, il st qusi-vivnt t psuo-vivnt. Théorèm SI (R, M 0) st qusi-vivnt t réinitilisl, il st vivnt. Éqution onmntl 'évolution Si M[t>M'lors M'= M + C.t où t = l vtur N T : t [t'] = 1 si t'= t, 0 sinon Si M[s>M'où s st un séqun trnsitions, lors M'= M + C.s où s = l vtur N T : s[t] = n ssi t pprît n ois ns s PROPRIÉTÉS STRUCTURELLES - INVARIANTS - p 4 [ ] C = [ ] [ ] [ ] p 4 [ 0 ] M 0 = [ 0 ] [ 1 ] [ 1 ] s = [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] s = [ 0 ] M 0 + C.s = [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ ] [ 0 ] p 4 [ 1 ] P. Morux Résux Ptri - 19/19 P. Morux Résux Ptri - 20/20

6 q P-FLOTS ET T-FLOTS r Commnt vériir : M A(R, M 0), M() + M() + M(q ) = 1 (invrint sur ls pls) t : M A(R, M 0), M[.>M'=> M = M' (invrint sur ls trnsitions) CALCUL DES P t T-FLOTS L nsml s P ou T-lots st un Q-sp vtoril Un mill lots { 1,, n} st un s P-lots ssi pour tout P-lot R, il xist un uniqu n-upl ( 1,, n) Q n tl qu = n. n. Un mill rythms {g 1,,g m} st un s T-lots ssi pour tout T-lot g R, il xist un uniqu m-upl ( 1,, m) Q m tl qu g = 1.g m.g m. M A(R, M 0), M() + M() + M(q ) = 1 <=> M A(R, M 0), T.M = st. v : T = [1, 1, 1, 0, 0, 0] équivlnt, 'près l'éqution onmntl 'évolution, à : s, séqun rnhissmnts, T.C.s = 0 Un P-lot st un vtur Q P tl qu : T.C = 0 Un P-smilot ("P-smi-low") st un vtur N P tl qu : T.C = 0 L onstnt T.M 0 s'ppll un invrint pls (P-invrint, "S-invrint") M A(R, M 0), M[.>M'=> M = M' <=> C.g = 0 v : g T = [0, 1, 1, 0, 0] = (.) T Un T-lot (rythm) st un vtur g Q T tl qu : C.g = 0 Un T-smilot (smi-rythm) st un vtur g N T tl qu : C.g = 0 L séqun. s'ppll un invrint trnsitions ("T-invrint") P. Morux Résux Ptri - 21/21 q Ls pompists [ ] [ ] C = q [ ] [ ] [ ] r [ ] P. Morux Résux Ptri - 22/22 r CALCUL DE BASES DE P-FLOTS (1) R1[i ->.i+.j] : Rmplmnt l lign i pr l lign.i +.j v 0. L nouvll lign st éini pr k,.i+.j,k =. i,k +. j,k Exmpl : C --- R1[ -> +] ---> C1 --- R1[ -> -] ---> C R1[ -> +] --->C [ ] + [ ] C = q [ ] - [ ] + [ ] r [ ] R2[i] : Supprssion lign isolé i 'st à ir tll qu il xist k tl qu i,k 0 t j i, j,k = 0 + [ ] C --- R2[] ---> C4 = q [ ] - [ ] + [ ] r [ ] R[k] : Supprssion olonn k, null 'st à ir tll qu i, i,k = 0 + [ ] q [ ] C4--- R[] ---> C5 = - [ ] + [ ] r [ ] P. Morux Résux Ptri - 2/2 CALCUL DE BASES DE P-FLOTS (2) Algorithm Guss ut tntqu il xist un lign t un olonn ir Choisir un olonn k Choisir un lign i tll qu i,k 0 tntqu il xist un lign j i tll qu j,k 0 ir (* j,k <- 0 *) Appliqur R1[j -> (i,k. j - j,k. i) / pg(i,k, j,k) ] intntqu Appliqur R2 à sturtion (* lign i éliminé *) Appliqur R à sturtion (* olonn k éliminé *) intntqu L'nsml s inis ligns st un s lots in Théorèm : L imnsion u SEV s P-lots st P -rngc Exmpl (suit) Après un xéution oul, nous vons l mtri C5 Après l uxièm xéution : q ++ [ 0 0 ] C6 = - [ 0 0 ] + [-1 1 ] r [ 1-1 ] Après l troisièm xéution : q ++ [ ] C7 = - [ ] ++r [ ] Un s lots st { q ++, -, ++r } P. Morux Résux Ptri - 24/24

7 R1'[k ->.k+.l] : Rmplmnt l olonn k pr l olonn.k +.l v 0. L nouvll olonn st éini pr i, i,.k+.l =. i,k +. i,l R2'[k] : Supprssion olonn isolé k 'st à ir tll qu il xist i tl qu i,k 0 t l k, i,l = 0 R'[i] : Supprssion lign i null, 'st à ir tll qu k, i,k = 0 Algorithm Guss ut tntqu il xist un lign t un olonn ir Choisir un lign i Choisir un olonn k tll qu i,k 0 tntqu il xist un olonn l k tll qu i,l 0 ir (* i,l <- 0 *) Appliqur R 1[l -> (i,k. l - i,l. k) / pg(i,k, i,l) ] intntqu Appliqur R 2 à sturtion (* olonn k éliminé *) Appliqur R à sturtion (* lign i éliminé *) intntqu L'nsml s inis olonns st un s rythms in Théorèm : L imnsion u SEV s T-lots st T -rngc CALCUL DE BASES DE T-FLOTS (1) Exmpl CALCUL DE BASES DE T-FLOTS (2) [ ] [ ] C = q [ ] [ ] [ ] r [ ] Après l prmièr xéution oul : + [ ] q [ ] C1 = [ ] [ ] r [ ] Après l uxièm xéution : + ++ C2 = [ ] r [ ] Après l troisièm : C = [ ] Un s rythms st { +, +++ }. P. Morux Résux Ptri - 25/25 P. Morux Résux Ptri - 26/26 P t T-SEMIFLOTS Support 'un P-lot : = { p P (p) <> 0 } Support 'un T-lot (smi-rythm) g : g = { t T g(t) <> 0 } L résu R st ouvrt pr s P-lots ssi p P, P-lot, tl qu p Théorèm - si p st ns l support 'un P-smilot, p st orné M 0 - si R st ouvrt pr s P-smilots, R st struturllmnt orné : M 0, (R, M 0) st orné Théorèm Si (R, M 0) st orné t vivnt, il st ouvrt pr s T-smilots PLUS PETITES FAMILLES GÉNÉRATRICES DE P t T-SEMIFLOTS Un mill { 1,, n} P-smilots R st un plus ptit mill génértri (ppg) P-smilots ssi : (1) P-smilot R, 1,, n Q + tls qu = n. n (2) i, l propriété (1) n'st ps vériié pr { 1,, n} \ { i }. Un mill {g 1,,g m} T-smilots R st un ppg T-smilots ssi : (1) g T-smilot R, 1,, m Q + tls qu g = 1.g m.g m (2) i, l propriété (1) n'st ps vériié pr {g 1,,g m} \ { g i }. Algorithm Frks pour l lul un ppg P-smi-lots ut tntqu il xist un lign t un olonn ir Choisir un olonn k pour tout oupl ligns (i,j) tlls qu i,k > 0 t j,k < 0 ir Ajoutr l lign ( i,k. j - j,k. i )/ pg(i,k,-j,k) pour tout lign i tll qu i,k 0 ir Supprimr l lign i pour tout oupl ligns (i,j) tlls qu Support(j) Support(i) ir Supprimr l lign i Supprimr touts ls olonns nulls intntqu L'nsml s inis ligns st un ppg P-smi-lots in Not: support(j) st l support u P-smi-lot. P. Morux Résux Ptri - 27/27 P. Morux Résux Ptri - 28/28

8 EXEMPLE DE CALCUL DE PPFG DE P-SEMI-FLOTS (1) [ ] [ ] [ ] [ ] C = [ ] q [ ] [ ] [ ] q Trois prossus synhronisés EXEMPLE DE CALCUL DE PPFG DE P-SEMIFLOTS (2) Après l prmièr xéution oul : + [ ] + [ ] + [ ] + [ ] C1 = [ ] q [ ] [ ] [ ] Après l uxièm xéution : ++ [ 0 0 ] ++q [-1 1 ] ++ [ 0 0 ] ++q [-1 1 ] C2 = + [ 1-1 ] +q [ 0 0 ] + [-1 1 ] + [-1 1 ] [ 1-1 ] Après l troisièm t l qutrièm : ++ [ ] ++ [ ] +q [ ] p1++q + [ ] C = ++q + [ ] ++ [ ] ++ [ ] +++ [ ] +++ [ ] (ls ligns ++q ++ t ++q ++ ont été éliminés r support non miniml) Un ppg P-smi-lots st l nsml s inis ligns. Intrpréttion : «hngmnt intité» s jtons P. Morux Résux Ptri - 29/29 P. Morux Résux Ptri - 0/0 CALCUL D UNE PPFG DE T-SEMIFLOTS Algorithm Frks pour l lul un ppg smi-rythms ut tntqu il xist un lign t un olonn ir Choisir un lign i pour tout oupl olonns k,l tlls qu i,k > 0 t i,l < 0 ir Ajoutr l olonn (i,k. l - i,l. k )/ pg( i,k, -i,l ) pour tout olonn k tll qu i,k 0 ir Supprimr l olonn (* k *) pour tout oupl olonns (k,l) tlls qu Support(l) Support(k) ir Supprimr l olonn (* k *) Supprimr touts ls ligns nulls intntqu L'nsml s inis olonns st un ppg smi-rythms in Not : support(l) = support u T-smilot. Prinip : - trnsormtion u résu pour n réuir l till t surtout ll son GA - tll sort qu l résu réuit soit équivlnt u résu initil ns un sns à préisr. Un réution st rtérisé pr : - ss onitions pplition - l trnsormtion u résu - ls propriétés présrvés Bonns propriétés un réution - ppliilité s onitions : - règls «souvnt» vériiés - à énonr u nivu struturl - trnsormtion i : - réution u GA surtout - présrvr vivité t ornitu RÉDUCTIONS Réutions onmntls - Brthlot (198) : 10 réutions! - réutions s : - pré-gglomértion trnsitions - post-gglomértion trnsitions - pl impliit - propriétés miss n ju : - Il xist un séqun inini rnhissmnts - psuo-vivité, qusi-vivité, vivité - étt uil - ornitu P. Morux Résux Ptri - 1/1 P. Morux Résux Ptri - 2/2

9 PRÉ-AGGLOMÉRATION DE TRANSITIONS POST-AGGLOMÉRATION DE TRANSITIONS Trnsitions pré-gglomérls Soit (R, m 0) un résu Ptri. Un nsml F trnsitions st prégglomérls v un trnsition h ssi : 1) il xist un pl p moélisnt un étt intrméiir ntr l rnhissmnt h t lui un trnsition F : m 0(p) = 0, Post(p,.) = 1 h, Pré(p,.) = 1 F 2) h n prouit s mrqus qu ns p : Post(., h) = 1 p ) h n prtg ss ntrés v uun utr trnsition : - t h, t h = 4) h u moins un pl n ntré : h Trnsitions post-gglomérls Soit (R, m 0) un résu Ptri. Un nsml F trnsitions st postgglomérl v un nsml trnsitions H ssi : 1) il xist un pl p moélisnt un étt intrméiir ntr l rnhissmnt un trnsition H t lui un trnsition F : m 0(p) = 0, Post(p,.) = 1 H, Pré(p,.) = 1 F 2) ls trnsitions F n ont ps utr ntré qu p : F, Pré(.,) = 1 p ) il xist un trnsition F ynt un pl sorti : F, Pré-gglomértion trnsitions Soit (R, m 0) un résu Ptri t (F,h) pré-gglomérls. L résu réuit (R m 0) st éini pr : - P = P \ {p} t T = T \ (F U {h}) U {.h F} - t T T, Pré (., t)= Pré(., t) t Post (., t) = Post(., t) - F, Pré (., h.) = Pré(., h) + Pré(., ) - 1 p t Post (., h.) = Post(., ) - p P, m 0(p ) = m 0(p ) Post-gglomértion trnsitions Soit (R, m 0) un résu Ptri t (F,H) post-gglomérls. L résu réuit (R m 0) st éini pr : - P = P \ {p} t T = T \ (F U H) U {h. F, h H } - t T T, Pré (.,t)= Pré(., t) t Post (.,t) = Post(., t) - F, h H, Pré (., h.) = Pré(., h) t Post (., h.) = Post(., h) + Post(., ) - 1 p - p P, m 0(p ) = m 0(p ) P. Morux Résux Ptri - / P. Morux Résux Ptri - 4/4 PLACE IMPLICITE EXEMPLE DE RÉDUCTIONS Un s onnés simpl : 2 sits, un sul moii, l utr mt à jour s opi. Pl impliit Soit (R, m 0) un résu Ptri. Un pl p 0 st impliit si : 1) il xist un P-lot v = p P λ p1 p v λ p0 > 0 t p p 0, λ p 0 2) t T, v t.m 0 v t.pré(., t) Supprssion pl impliit Soit (R, m 0) un résu Ptri t p 0 un pl impliit.. L résu réuit (R m 0) st éini pr l supprssion p 0 t tous ls rs jnts. Avnt réutions -----> Après réutions P. Morux Résux Ptri - 5/5 P. Morux Résux Ptri - 6/6