FORCES CENTRALES ET GRAVITATION : CORRECTIONS

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1 FORCE CENRALE E GRAVIAION : CORRECION Execices pioitaies : Execice n 1 Poids et altitude A la suface de la tee le «poids» d un homme indiué pa un dynamomète est de 80 kg. Quel sea le «poids» indiué pa le dynamomète à une altitude de 8000 m? On donne R = 6400 km. Le dynamomète dont il est uestion ici mesue une foce, et il est donc sensible à la foce de gavitation, ui diminue avec l altitude (ici 8000m). On a : F 0 = G mm R 2 et F h = G mm (R + h) 2 F h F 0 ( ) = R 2 = 0,9975 R + h Le «poids» indiué pa le dynamomète sea donc : 0,9975m = 79,8 kg. : une balance peut soit mesue une masse, pa compaaison (balance omaine ou balance à fléau de maché pa exemple), soit une foce, c est le cas de la plupat des balances actuelles, mais cette foce est taduite en masse, en supposant P = mg 0 (g 0 étant l accéléation de la pesanteu à la suface de la tee). A note u une balance à fléau indiueait 80 kg uelle ue soit l altitude ca la masse est constante contaiement à la foce de gavitation. Execice n 2 ajectoie d une comète En 1997, la comète Hale-Bopp est passée elativement pès de la ee et a tavesé note ciel. Cette comète possède une obite elliptiue autou du oleil avec une excenticité e = 0,995. A son péihélie, le 1 e avil 1997, sa distance au oleil était P = 1, km et en ce point sa vitesse valait v P = 45 km/s. 1. La consevation de uelle uantité pemet d expliue ue la tajectoie de la comète est plane? Pouuoi cette uantité est-elle consevée tout au long du mouvement? UJF L1 1 D Phy 12a/12b

2 Question de cous : c est la consevation du moment cinétiue. Le moment cinétiue est un vecteu pependiculaie au vecteu position et au vecteu vitesse (poduit vectoiel). il se conseve cela impliue ue le plan ui contient vitesse et position ne change pas : c est le plan de la tajectoie. Le moment cinétiue est consevé ca la seule foce ui s exece su la comète est la foce gavitationnelle ui est une foce centale et ui n exece aucun moment su la comète. En vetu du théoème du moment cinétiue celui ci ne vaie donc pas. 2. Calcule le paamète de cette obite. En déduie la distance A de la comète à l aphélie. Quelle est la vitesse v A coespondante? Justifie la démache suivie pou obteni cette vitesse paticulièe. Le poduit C = v est donc constant et epésente la «constante des aies». On a C = P v P = 6, m 2 /s. A pati de l éuation de la tajectoie en coodonnées polaies on a : P = 1 + e cosθ P avec θ P = 0 = P (1 + e) = 2, m On en déduit ensuite les caactéistiue de l aphélie : A = avec θ A = π A = 1 + e 1 + e cosθ A 1 e P = 5, m et v A = C = 113 m/s A 3. Que vaut le demi-gand axe a de l obite? a = P + A 2 = P (1 e e) 2(1 e) = P (1 e) = 2, m 4. Monte ue = a(1 e 2 ). a = P + A 2 = 2(1 + e) + 2(1 e) = (1 e)(1 + e) = a(1 e 2 ) 5. achant ue désigne la péiode obitale et ue le appot 2 /a 3 est constant en vetu de la loi des aies, pédie en uelle année la comète evienda à son péihélie nous ende visite. UJF L1 2 D Phy 12a/12b

3 Le appot 2 /a 3 est une constante ui ne dépend ue la masse du soleil additionnée à celle de la comète. Dès los ue la masse du cops en obite autou du soleil est négligeable devant celle du soleil on poua donc considée cette constante comme caactéistiue du soleil. Ainsi nous pouvons écie la constante pou la comète Hale- Bop et pou la planète ee. On a donc : 2 a 3 = 2 a 3 = a 3 a 3 ( ) 2, = 1an 1, ans Connaissant G et M, il auait été possible d utilise la fomule issue des lois de Newton : ( ) 2π 2 a 3 = G (M + m) G M Enfin si l on se limite aux données de l énoncé (la constante C = P v P ) on a : = πab = 1 2 C avec a = P (1 e) et b = a 1 e 2 = 2π P (1 + e) 1 2 v P (1 e) On sait ue l énegie mécaniue de la comète vaut E = 4, J (l énegie potentielle étant définie comme nulle à l infini). Détemine sa masse m. Étant donné ue la masse volumiue des oches cométaie est tès voisine de celle de l eau, uel est le ayon moyen R de cette comète (en faisant l appoximation d une comète sphéiue). E m = 1 2 mv 2 P G mm P m = E m 1 2 v 2 P G M P L application de cette fomule est dangeeuse dans le cas pésent ca, losue l excenticité est poche de 1, l énegie mécaniue est poche de zéo et issue de la difféence de deux temes gands. Il vaut mieux alos tout expime en fonction des caactéistiues de l obite de la comète c est à die élimine dans l expession de l énegie mécaniue la constante G M. En se plaçant au péihélie on peut expime la constante des aies de deux façons : C 2 = 2 P v 2 P et C 2 = G M (cette elation n est pas immédiate. Pou l obteni il faut écite le PFD pojeté su #» u et l appliue au péihélie ou plus simplement écie l égalité de l énegie mécaniue en l aphélie et au péihélie). On peut alos é- UJF L1 3 D Phy 12a/12b

4 expime l énegie en fonction des paamètes du mouvement : E m = 1 2 mv 2 P m 2 p v 2 P P = 1 2 mv 2 P ( 1 2 ) p = 1 2 mv 2 P ( ) 1 e 1 + e m = 2E m v 2 P 1 + e 1 e On peut emaue au passage ue le signe de l énegie mécaniue totale est déteminé pa la valeu de e. e < 1 : E m < 0. La tajectoie est une ellipse et la comète est liée au soleil. (On a défini le zéo d énegie potentielle à l infini losue la comète ne essent plus d attaction) e = 1 : E m = 0. La tajectoie est une paabole (soleil au foye). La comète est à la limite de libéation e > 1 : E m > 0. La tajectoie est une hypebole. La comète n est pas liée au soleil 7. Démonte, en justifiant chaue étape ui le nécessite, ue l on a la elation : 1 2 (v P + v A ) 2 = G 2M soleil v P = C et v A = C ( 1 v P + v A = C + 1 ) ( 1 + e = C P A P A + 1 e ) = 2C Avec C 2 = G M et en éliminant C on obtient la elation demandée. 8. Quelues années apès son denie passage la comète passe elativement pès d une planète géante du système solaie. Cette denièe petube gavitationnellement la comète et donc sa tajectoie. Apès cette petubation, les nouvelles caactéistiues obitales sont e = 0,70 et a = 1, km. Quelle est la valeu du paamète de cette nouvelle tajectoie elliptiue? = a (1 e 2 ) = 7, m Que deviennent alos les distances P et A, espectivement au péihélie et à l aphélie? P = /(1+e ) = a (1 e ) = 4, m et A = /(1 e ) = a (1+e ) = 25, m Détemine aussi les nouvelles vitesses coespondantes v P et v A. C = G M v P = G M = 7100m/s et v A = G M = 1250m/s P A UJF L1 4 D Phy 12a/12b

5 Execice n atellite géostationnaie atellite géostationnaie L'obite doit ête ciculaie, pou assue une vitesse constante, et se touve dans le plan de l'éuateu. D'apès le PFD: Mm Détemine le ayon de l obite ciculaie d un satellite géostationnaie. Pou ue 2 le satellite soit géostationnaie il est nécessaie u il toune à la même vitesse angulaie (1 tou m u K G u 2 pa jou) autou de l axe de otation de la ee. Pa 3 M ailleus Kson G 2obite ayant pou foye la ee on en conclus ue cette obite est ciculaie (vitesse angulaie constante) et dans le plan éuatoial (pependiculaie à l axe de otation et contenant le cente de la La péiode de évolution doit ee). ête égale à celle de la tee. D apès le PFD on a : m ω 2 #» u = G mm #» u 2 = 3 G M ω 2 Ce ui donne numéiuement, avec 2 /(24*60*60) 2 / K 6,6710 (. I.) M = kg G 7 Plan de l éuateu 4,2310 m En enlevant le ayon de la tee, l'altitude s'établit à : 36000km N.B. En toute igueu la péiode de la tee à considée est sa péiode de otation sidéale (mesuée pa appot aux étoiles, comme le mouvement du satellite), ui est plus coute ue ee Dessin à l échelle pou la tee et l obite Ici ω = 2π/ où est la péiode de otation de la ee (jou) : = s= s. On touve alos = km, ce ui donne au final une altitude R = km. En toute igueu la péiode de la tee à considée est sa péiode de otation sidéale (mesuée pa appot aux étoiles, comme le mouvement du satellite), ui est plus coute ue note «jou». En un jou de 24h, la tee effectue une otation complète (2π) plus envion 2π/365,25 pou compense (attape) son mouvement autou du soleil. Le jou sidéal est donc plus cout de 236 secondes ( ). La coection coespondante est faible. N Execices supplémentaies : Execice n 4 Poids à l intéieu et à l extéieu de la ee :héoème de Gauss Le théoème de Gauss, dans le cas gavitationnel, peut s écie : g d = 4πG M où M est la masse ui se touve à l intéieu de la suface femée. UJF L1 5 D Phy 12a/12b

6 En utilisant le théoème de Gauss, et en supposant la ee est une sphèe homogène de ayon R, calcule la foce de gavitation execée pa la ee su une masse ponctuelle m placée à une distance du cente de la ee : La symétie du poblème nous pemet de die ue l accéléation de la pesanteu #» g en un point M est adial et ne dépend ue de la distance au cente de la tee. On peut donc écie #» g = g ( ) #» u (on pessent ue #» g sea diigé ves le cente). Pa ailleus si on utilise comme suface de Gauss la sphèe centée su la ee et passant pa le point M (distance ), le vecteu d #» est adial et oienté ves l extéieu de la sphèe : d #» = d #» u. On a donc : g d = g ( )d = g ( ) d = 4π 2 g ( ) g ( ) = G M 2 La conclusion va dépende de l expession de M. 1. dans le cas > R M est constante : M = M = 4/3πR 3 ρ. ( ) g ( ) = G M R = g g 2 0 = g (R) = G M R 2 2. dans le cas < R g g 0 g 0./R g0.(r/) 2 M = 4/3π 3 ρ = M ( /R) 3 et donc g ( ) = G M R 3 = g 0 R ( ) g 0 = g (R) = G M R 2 6 R Execice n 5 Pesanteu à la suface du soleil achant ue le ayon du oleil est 110 fois celui de la ee, et sa masse fois celle de la ee, détemine l accéléation de la pesanteu à la suface du oleil. g 0 = G M R 2 g 0 = G M R 2 M R 2 ( ) 1 2 g 0 = g 0 M R 2 = 9, = 267,5ms Execice n 6 Obite d un satellite Un satellite atificiel gavite su une obite dont le péigée est à 640 km et l apogée à 4000 km de UJF L1 6 D Phy 12a/12b

7 la suface de la ee. Calcule le demi-gand axe a de l obite, son excenticité e, son éuation, sa péiode, sa vitesse au péigée et à l apogée, et son énegie totale si sa masse est de 100 kg. 640 km pou le péigée veut focement die ue les mesues sont données à pati de la suface de la ee. On a donc : A = = km et P = = 7040 km En découle Apogée a = ( A + P )/2 = 8720 et c = ( A P )/2 = 1680 km Donc b = 4000km. Péigée 640km. Rayon tee 6400km. a 2 c 2 = G 6,6710 ( A. I P = ) 8557 ( km KG et notation e = c/a du = cous), M 610 kg, m 100kg = 2 P A max = km P + A min km L éuation polaie de la tajectoie est : a ( max min ) / km c( = max min ) / km θ étant nul au péigée. 1 + e2cosθ 2 b a c max. min 8557km Péiode (toisième c loi de Keple) : Ω 2 a 3 = G (M e + m) 0,193 G a M AN : Ω = 7, ad/s = 2π max. Ω = min 2 8, Dessin à l échelle pou la tee et l obite 8396km s = 2h15min max min i l on ne connaît pas les valeus de G et M on peut emaue ue G M = g 0 R 2 Euation polaie de la tajectoie: est compté à pati du où péigée. g 0 est l accéléation de la pesanteu à la suface1 de e.cos la ee (g 0 = 9,81 m.s 2 ) et R son ayon (2πR = km). Péiode (3 ème loi de Keple). Attention aux distances: bien les tansfome en mètes. Vitesses : 2 3 lesavitesses KG( Mà l apogée m) Ket GM au péigée peuvent s obteni en utilisant la constante des aies, C = 4 2 θ. 7,7710 L apogée ad et / le s péigée sont les deux seuls points de la tajectoie où la vitesse est otho-adiale (en ces points v A = A θa et v P = P θp ). On a donc C = A v A = P v P. Pa ailleus en écivant la consevation de l énegie mécaniue ente les points A et P on monte ue C 2 = G M. On a donc v A = G M / A = 5570 m/s et v P = G M / P = 8230 m/s. Énegie : c est une constante ui peut ête évaluée en un point uelconue, au péigée pa exemple : ( ) E m = 1 2 mv 2 P G mm v 2 P = m P 2 G M = 2, J P Le zéo d énegie potentielle est pis à l infini (la foce d attaction s y annule) ce ui nous pemet de die ue le fait ue l énegie soit négative est la maue d un système lié (le satellite ne peut s échappe). On auait une énegie nulle dans le cas d un tajectoie paaboliue (e = 1) et positive dans le cas d une tajectoie hypeboliue (e > 1). UJF L1 7 D Phy 12a/12b

8 Execice n 7 onde inteplanétaie On désie envoye une sonde inteplanétaie à pati de la ee ves la planète Jupite. On supposea ue les obites de ces deux planètes sont des cecles coplanaies de ayons R et R J centés su le oleil et u elles sont décites dans le même sens. 1. Détemine la vitesse V de la ee su son obite en fonction de R et de la péiode de son mouvement autou du oleil. En déduie la masse M du oleil. A.N. R = 1, m ; = 3, s ; G = 6, I. On suppose dans cette uestion ue la ee est animée d un mouvement ciculaie unifome autou du oleil. On a donc V = R Ω = 2πR / = 2, m/s Le PFD aplliué à la ee (seule la foce due au oleil est considéée) nous donne : M V 2 R = G M M R 2 M = V 2 R G = 4π2 R 3 G 2 = kg 2. On désie ue la sonde, une fois libéée de l attaction teeste, décive une obite elliptiue tangente en son péihélie à l obite de la ee ( 1 = R ) et en son aphélie à celle de Jupite ( 2 = R J ). Calcule les vitesses v 1 et v 2 coespondantes et en déduie le supplément de vitesse v 1 V à founi à la sonde supposée libéée de l attaction teeste. On donne R J = 7, tajectoie m. ne sont pas pis en compte. Le poblème des 2 cops est suffisamment compliué! L obite du satellite2./ est Vitesse imposée à communiue pa son au satellite péihélie ( P = R ) et son aphélie On pofite (de la A = vitesse R J ). de Il la est ee alos pou aide possible d obteni le paamète La vitesse ue de doit l ellipse, communiue la au lancement du satellite. fusée est la difféence ente la vitesse nécessaie au péihélie (à calcule) et la vitesse de la ee. = 2 A P = 2, min R et max mrj A + P RJ. R ,51510 m R R J La constante des aies vaut C = Calcul de la constante des aies G M = (masse 5,79 10 du satellite 15 m 2 totalement /s. négligeable!!) C KGM C 5,7910 m / s Mais aussi, au péihélie, Vitesse au onpéihélie a C = et à P l'aphélie: v P ce ui nous pemet d obteni la vitesse à impulse au C satellite 4 C V. Vpéihélie R (v P V ) 3,8610 m/ s C R 3 En passant : ( V aphélie Vpéihélie 7,4510 m/ s R R ) J J Dessin à l échelle pou les obites, ui donne les positions losue le satellite a effectué la moitié du voyage Calculs (attention, cf. texte) -> t m =0,49 année v P = C R = 3, m/s v P V = (3,86 2,98) 10 4 = 8800 m/s (t=0) at. J (t=0) J UJF L1 8 D Phy 12a/12b