mémento de mathématiques pour les ECE1

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1 mémento de mthémtiques pour les ECE1 Abdellh Becht Résumé L objectif de ce mémento est de permettre ux élèves de première nnée des clsses préprtoires ux Ecoles de Commerces, option économique, d voir un résumé complet et compct du cours de mthémtiques Il ne peut être en ucun cs un remplçnt du cours mis seulement un complément (le cours permettnt l lecture des preuves, l utilistion d exemples, de contre-exemples, de remrques, etc, ce que ne permet ps le mémento) Son seul (et essentiel) intérêt réside dns l possibilité d obtenir rpidement un ou plusieurs théorèmes et utres définitions, fin de se rfrichir l mémoire lors de l résolution d un exercice, l préprtion d un devoir ou de l révision en vue des concours J espère qu il répondr efficcement à ce besoin Pour ce fire, j i décidé d introduire une tble des mtières et les différents types d informtion (définitions, lemmes, propositions, théorèmes, méthodes, etc) disposent de présenttions visuelles clirement distinctes fin d ccélerer l recherche d informtion Si vous vez de remrques ou critiques à fire sur ce trvil, n hésitez ps à m en fire prt en m envoynt un mil Pour cel, ccéder à mon site web wwwmthemtiquesfrst et cliquer sur "vos commentires" en bs de l brre de guche 1

2 mémento ECE1 TABLE DES MATIÈRES Tble des mtières 1 Outils élémentires de mthémtiques 3 2 Générlités sur les fonctions 5 3 Limites 7 4 Comprison locle des fonctions 9 5 Continuité 12 6 Dérivbilité 13 7 Théorèmes de bijection 15 8 Fonctions de clsse C k 15 9 Intégrtion Suites réelles Générlités sur les suites Comprison des suites Pln d études des suites du type u n+1 = f(u n ) Séries numériques Fonctions numériques de deux vribles réelles Le pln R Fonctions numériques de deux vribles réelles Systèmes d équtions linéires Mtrices Générlités sur les mtrices Mtrices crrés Mtrices inversibles Systèmes linéires et mtrices Dénombrement Probbilités sur un ensemble fini Générlités Probbilités conditionnelles Vribles et vecteurs létoires finies Générlités Moments d une vr finie Couple de vribles létoires Indépendnces de deux vribles Lois discrètes finies usuelles Probbilités sur un ensemble discret dénombrble Vribles et vecteurs létoires discrètes dénombrbles Générlités Moments d une vr discrète infinie Loi d un vecteur létoires discrets infinis Indépendnces de deux vr Lois discrètes infinies usuelles 52 wwwmthemtiquesfrst 2/52 bdellh becht

3 mémento ECE1 1 OUTILS ÉLÉMENTAIRES DE MATHÉMATIQUES 1 Outils élémentires de mthémtiques Le symbole signifie "pour tout (tous)" et le symbole " il existe" N désigne l ensemble des nombres nturels c est-à-dire N = {0,1,2,} Z désigne l ensemble des nombres reltifs c est-à-dire des entiers nturels insi que leurs opposés Q désigne l ensemble des nombres rtionels c est-à-dire des frctions dont le numérteurs et le dénominteurs sont des nombres entiers reltifs Pr exemple: pprtient à Q, pr contre n est ps un nombre rtionnel cr 2 n est ps un entier reltif R désigne l ensemble des nombres réels c est-à-dire de tous les nombres que vous vez rencontré dns votre scolrité Pr exemple: 2, 13, , 3, π, e6 etc Soient E un ensemble, A,B deux sous-ensembles de E et x un élément de E On note x A si l élément x pprtient à A x / A si l élément x n pprtient ps à A A B si tout élément de A est un élément de B c est-à-dire x A lors x B A B s il existe un élément y de A qui ne soit ps un élément de B c est-à-dire il existe y A tel que y / B L ensemble noté est ppelé ensemble vide et est constitué d ucun élément Une ppliction f est l donnée de deux ensembles A et B et d une correspondnce qui à tout élément x de A ssocie un élément { de B qui est trditionnelement noté f(x) A B L ppliction f se note f : ou, s il n y ps d mbiguité possible, x f f(x) x f(x) L ensemble A est ppelé l ensemble de déprt de f et B est l ensemble d rrivée de f f(x) se nomme l imge de f pr x et si b = f() on dit que est un ntécédent de b pr f Soient une ppliction f : { A B x f(x), X un sous-ensemble de A et Y un sous-ensemble de B f(x) = {f(x), x X} désigne l ensemble imge direct de X pr f Il s git de l ensemble des imges de tous les éléments de X pr f f 1 (Y ) = {b B tel qu il existe A vec f() = b} désigne l imge réciproque de Y pr f Il s git de l ensemble des ntécédents de tous les éléments de Y pr f Soit n et m deux entiers On désigne pr [[n,m]] l ensemble des entiers compris entre n et m Lemme : Il y n nombre entier dns l ensemble [[1,n]] et plus générlement, il y n m+1 entier dns l ensemble [[n,m]] Soient 0, 1,, n (n + 1) nombres réels L nottion symbolique n k désigne l somme n et elle se prononce "somme de k=0 k = 0 à n des k " Plus générlement, si n, n+1,, m sont des nombres réels L nottion symbolique m k désigne l somme n + n m et elle se prononce "somme de k = n à m des k " k=n wwwmthemtiquesfrst 3/52 bdellh becht

4 mémento ECE1 1 OUTILS ÉLÉMENTAIRES DE MATHÉMATIQUES Remrque : "L entier" k est ce que l on ppelle l indice de sommtion de l somme n k Il s git d une vrible muette c est-à-dire que l on peut l noter k,j,α ou encore à l ide de toute lettre que l on souhite Pr exemple, en utilisnt l définition du symbole Σ, il est immédit que n k = n j = n α Lemme : Soient n,m deux entiers et n, n+1,, m et b n,b n+1,,b m des nombres réels Alors on 1 2 m ( k + b k ) = m k + m b k k=n k=n k=n m ( k b k ) = m k m b k k=n k=n 3 Pour tout nombre réel λ, k=n m λ k = λ m k k=n 4 Reltion de Chsles Pour tout entier positif l, on : m+l k = m k + k=n k=l k=n j=l k=0 k=n α=l l k=m+1 k Remrque : Dns l formule de fctoristion 3, il fut comprendre que λ ne doit ps dépendre de l indice de sommtion (ici il s git de k) Pr contre, il peut très bien dépendre d utres prmètres (n,m,,) Proposition (Sommes remrqubles) : Soit n un entier positif Alors on les églités suivntes : n n(n + 1) n 1 k = et k 2 n(n + 1)(2n + 1) = Pour tout nombre réel q différent de 1, on n k=0 q k = 1 qn+1 1 q Proposition (Chngement de vrible) : Soient l,n,m des entiers et n+l, n+l+1,, m+l des nombres réels Alors m k+l = m+l k (on dit que l on fit le chngement de vrible j = k + l) k=n k=n+l Exemple : Simplifier 10 k 2 + k 2 en utilisnt le chngement de vrible j = k 2 k=4 k 2 On dopte l méthode mnémotechnique suivnte: On pose j = k 2 lors k = j + 2, ce qui nous donne k 2 k 2 k 2 = (j + 2)2 (j + 2) 2 j = j2 + 3j j = j 3 D utre prt, qund k = 4, lors j = 2 et qund k = 10 lors j = 8 donc 10 Théorème (Principe de récurrence) : k=3 k 2 + k 2 k 2 = 8 (j + 3) Soit n 0 un entier positif Supposons voir défini pour tout entier n n 0, une propriété P n Si P n0 est vrie et si n n 0, P n est vrie implique P n+1 lors n n 0 l propriété P n est vrie Remrque : L propriété P n se nomme l propriété P u rng n L vérifiction de l vércité de P n0 s ppelle l initilistion de l récurrence Exemple : Montrer que n 0, 2 n n + 1 On pose P n : 2 n n + 1 Initilistion: n = = donc P 0 est vrie j=2 wwwmthemtiquesfrst 4/52 bdellh becht

5 mémento ECE1 2 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Supposons que P n soit vrie Nous devons prouver que P n+1, c est-à-dire que 2 n+1 n n+1 = 2 2 n donc 2 n+1 2(n+1) = 2n+2 Or 2n+2 (n+2) = n 0 donc 2n+2 n+2 Pr conséquent 2 n+1 n + 2, ce qui démontre que P n+1 est vrie Ainsi P n est vrie pour tout entier n positif 2 Générlités sur les fonctions Définition (Extrem) : Soit f une fonction définie sur un intervlle I 1 On dit qu un nombre M mjore l fonction f sur I lorsque x I, f(x) M On dit qu un nombre m minore l fonction f sur I lorsque x I, m f(x) Dns ce cs on dit que M (resp m) est un mjornt (minornt) de f sur I Il est utile de remrquer que M et m soient indépendnts de x 2 Si f est mjorée sur I, le plus petit des mjornts est noté sup f(x) x I Si f est minorée sur I, le plus grnd des minornts est noté inf f(x) x I 3 On dit que f est bornée sur I si elle est à l fois mjorée et minorée sur I 4 S il existe un élément x 0 I tel que f(x 0 ) = supf(x), on dit que x 0 est un point où se rélise x I le mximum de f sur I S il existe un élément x 0 I tel que f(x 0 ) = inf f(x), on dit que x 0 est un point où se rélise x I le mimimum de f sur I Un extrem de f est un point x 0 où f est mximle ou minimle Définition (Prité) : On dit que f (dont le domine de définition est D f ) est 1 pire si x D f, x D f et x D f, f( x) = f(x) 2 impire si x D f, x D f et x D f, f( x) = f(x) Définition (Vleur bsolue) : Soit x R, on ppelle vleur bsolue de x, le réel égl à l distnce de x à 0, utrement dit x = { x si x 0 x si x 0 L fonction vleur bsolue x x est une fonction pire et x,y R, xy = x y, x + y x + y Définition (Puissnces entières) : Soit x un nombre réel et n un entier positif, on pose x 0 = 1, x n = x x x si n 1 et x } {{ } n = 1 x n n fois wwwmthemtiquesfrst 5/52 bdellh becht

6 mémento ECE1 2 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Quels que soient les entiers reltifs n,m et quels que soient les réels non nuls x,y, on : x n x m = x n+m, (x y) n = x n y n, (x n ) m = x n m, x n x m = xn m Si n est un entier reltif, l fonction x x n est C sur son domine de définition et (x n ) = nx n 1 Définition (Logrithme népérien) : L fonction x 1 est continue sur l intervlle ]0, + [ donc elle dmet une unique primitive sur x ]0, + [ qui s nnule en 1 Cette primitive s ppelle l fonction logrithme népérien et se note x lnx Puisque 1 R, il existe un unique x ]0,1[ tel que lnx = 1 Ce réel se note e et e L fonction x lnx est définie sur l intervlle R +, ln 1 = 0 et lne = 1 2 L fonction x lnx est strictement croissnte sur R +, de clsse C sur R + et s dérivée est (lnx) = 1 x 3 x,y R +, on ln(x y) = lnx + lny ln( x y ) = lnx lny α R, lnxα = α lnx lnx = lny x = y lnx < lny x < y Définition (Exponentielle) : L fonction x lnx rélise une bijection de R + sur R donc elle dmet une réciproque notée x e x (ou exp(x)) 1 L fonction x e x est définie sur R, strictement croissnte, C sur R et s dérivée est (e x ) = e x 2 x,y R, on e x+y = e x e y e x = e y x = y e x e y = ex y e x < e y x < y α R, (e x ) α = e αx 3 On églement les reltions suivntes lint l exponentielle et le logrithme: x R, y = lnx x = e y x R, ln(e x ) = x x R +, e ln x = x Définition (Puissnces réelles) : Soit α un nombre réel L fonction x x α est définie sur R + pr : x α = e α ln x wwwmthemtiquesfrst 6/52 bdellh becht

7 mémento ECE1 3 LIMITES Pour tous les réels α,β et tous les réels non nuls x,y, on : x 0 = 1, x α = 1 x α, (xα ) β = x α β, x α x β = x α+β, x α x β = xα β, (x y) α = x α y α x α y α = (x y )α Définition (Fonctions polynômes) : On ppelle fonction polynôme (ou simplement polynôme) toute fonction numérique définie sur R et de l forme x P(x) = n x n + n 1 x n x + 0 où n, n 1,, 1, 0 sont des nombres réels et n désigne un entier positif Si k est un entier compris entre 0 et n, le réel k s ppelle le coefficient de x k du polynôme P Si n 0, on dit que le polynôme P est de degré n et on note deg P = n Dns ce cs, le réel n s ppelle le coefficient dominnt de P Si tous les coefficients sont nuls, on dit que P est le polynôme nul Le polynôme nul ne possède ps de degré Un monôme est un polynôme de l forme x k x k L ensemble des polynômes se note R[X] et l ensemble des polynômes de degré inférieur ou égl à n se note R n [X] Deux polynômes sont égux si et seulement si ils ont même degré et que tous leurs coefficients sont égux Pour tous polynômes P,Q, on : deg(p + Q) mx(deg P,deg Q), deg(pq) = deg P + deg Q Soient A et B R[X] On dit que B divise A et on le note B A si et seulement si il existe un polynôme C R[X] tel que A = BC Cel est équivlent (lorsque B 0) à ce que le reste de l division euclidienne de A pr B soit nul Soit P R[X] et R On dit est un zéro de P ssi P() = 0 Soit P R[X] et R Alors est un zéro de P ssi (x ) P Remrque : Si est un zéro de P, l proposition précédente montre qu il existe un polynôme Q tel que P = (x )Q On détermine Q en effectunt l division euclidienne de P pr (x ) En recherchnt de nouveu une rcine évidente pour Q, on en déduit une fctoristion de Q donc de P de l forme P = (x )(x b)r En poursuivnt ce processus, on peut fctoriser un polynôme de degré plus grnd que deux 3 Limites Intuitivement, on dit qu une fonction f, définie sur un intervlle I, possède l pour limite en x 0 I si f(x) est ussi proche que l on veut de l dès que x est suffismment proche de x 0 On note lors lim f(x) = l ou ou x x 0 limf = l voire encore f(x) x0 x x0 l On définit églement l limite guche (resp droite) de f en x 0 en fisnt tendre x vers x 0 pr vleurs inférieures (resp supérieures) On note lors lim f(x) = l ou ou limf = l voire encore f(x) l x x + 0 x + 0 x x + 0 L trduction mthémtique de ces nombreuses et différentes définitions n ps plce dns ce mémento et vous trouverez les différentes trductions dns le cours wwwmthemtiquesfrst 7/52 bdellh becht

8 mémento ECE1 3 LIMITES Théorème (Opértions sur les limites) : Soient f,g deux fonctions définies sur I suf peut-être en x 0 et possédnt une limite en x 0 On note l = lim f et l = lim g L nottion FI signifie forme indéterminée x0 x0 1 Addition: lim (f(x) + g(x)) x x 0 l + FI l l + l + + FI inverse: lim f(x) l 0 l = 0 + x x lim 0 FI 0 x x 0 f(x) l lim (f(x) g(x)) x x 0 l < 0 0 l > FI 3 multipliction: l < 0 + l l 0 l l 0 FI FI l > 0 l l 0 l l FI L division s obtient pr utilistion du cs de l multipliction et de l inverse en remrqunt que f g = f 1 g Théorème (limites et inéglités) : Soient f,g deux fonctions définies sur I suf peut-être en x 0 et possédnt une limite en x 0 1 Si f(x) g(x) x I\{x 0 } lors lim f(x) lim g(x) x x 0 x x 0 2 Soient f,g,h trois fonctions définies sur I suf peut-être en x 0 Supposons que l on it lim f(x) = lim g(x) = l et x I\{x 0 } f(x) h(x) g(x) x x 0 x x 0 Alors h possède une limite en x 0 et lim x x 0 h(x) = l Théorème (fonctions monotones) : Soit f une fonction définie sur ];b[ Si f est croissnte et mjorée sur ];b[ lors f dmet une limite en b Si f est croissnte et minorée sur ];b[ lors f dmet une limite en + Si f est décroissnte et mjorée sur ];b[ lors f dmet une limite en + Si f est décroissnte et minorée sur ];b[ lors f dmet une limite en b Théorème (chngement de vrible) : Si lim t t0 u(t) = x 0 et si lim x x 0 f(x) = y 0 lors lim t t0 f(u(t)) = y 0 Théorème (limites clssiques) : 1 En + : lim x + xα e βx = lim lim x + eβx, lim (ln x + x)α x β = lim x + xβ 2 En : lim x + xn e βx = lim x + eβx 3 En 0 : lim x 0 + (ln x) α x β = lim x 0 + x β, (1 + x) α 1 1, lim = α x 0 x x + eβx, ln(1 + x) lim x 0 x lim (ln x + x)α e βx = = 1, lim x 0 e x 1 x = Remrque : wwwmthemtiquesfrst 8/52 bdellh becht

9 mémento ECE1 4 COMPARAISON LOCALE DES FONCTIONS Pour lever des indétermintions, voici quelques méthodes : Formes indéterminées du type + (+ ) Pour lever une telle indétermintion, on fctorise le terme qui croit le plus vite en vleur bsolue vers + Formes indéterminées du type Pour lever une telle indétermintion, on fctorise le terme qui croit le plus vite en vleur bsolue vers + u numérteur et on procède de même u dénominteur Formes indéterminées du type 0 (resp0 ) Pour lever une telle indétermintion, on fctorise le terme 0 qui décroit le plus vite en vleur bsolue vers 0 u numérteur et on procède de même u dénominteur (resp on fctorise dns le premier fcteur le terme qui décroit le plus vite en vleur bsolue vers 0 et celui qui croit le plus vite en vleur bsolue vers + dns le second fcteur) 4 Comprison locle des fonctions Définition (Equivlence) : Soient f,g deux fonctions définies sur I suf peut-être en x 0 On dit f est équivlente à g u f(x) voisinge de x 0 et on l écrit f(x) g(x) si et seulement si lim x x0 x x 0 g(x) = 1 Proposition (Règles de clculs) : 1 Soit l un nombre non nul Alors f(x) l si et seulement si f(x) x x0 2 Si f(x) g(x) lors f(x)h(x) g(x)h(x) x x0 x x0 x x0 l 3 Si f(x) g(x) et si h(x) 0 u voisinge de x 0 lors f(x) g(x) x x0 h(x) x x 0 h(x) 4 Si f(x) g(x) et f(x) > 0 u voisinge de x 0 lors α R, (f(x)) α (g(x)) α x x0 x x0 5 Si f(x) g(x) lors f(x) g(x) x x0 x x0 Un polynome en x est équivlent en ± à son monome de plus hut degré Proposition (chngement de vrible) : Soit f et g deux fonctions telles que lim u(t) = x 0 et f(x) g(x) lors f(u(t)) g(u(t)) t t 0 x x0 t t0 Deux fonctions équivlentes f et g sont de même nture, c est-à-dire 1 f possède une limite en x 0 si et seulement si g possède une limite en x 0 et, dns ce cs, elles ont l même limite 2 f n ps de limite en x 0 si et seulement si g n ps de limite en x 0 Proposition (Equivlents clssiques) : ln(1 + x) x, e x 1 x, (1 + x) α 1 αx x 0 x 0 x 0 Plus générlement, si f est dérivble en x 0, f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) x x0 wwwmthemtiquesfrst 9/52 bdellh becht

10 mémento ECE1 4 COMPARAISON LOCALE DES FONCTIONS Définition (Négligebilité ou nottion o()) : f est négligeble devnt g et on l écrit f(x) = o(g(x)) si et seulement si g(x) 0 dns un x x0 f(x) voisinge de x 0 et lim x x 0 g(x) = 0 On note f(x) = x x0 g(x) + o(h(x)) si et seulement si f(x) g(x) = x x0 o(h(x)) f(x) x x0 g(x) f(x) = x x0 g(x) + o(g(x)) Proposition (Règles de clculs des o()) : 1 f(x) = o(1) si et seulement si f(x) 0 x x0 x x0 2 Soit l un nombre non nul Alors f(x) = l + o(1) si et seulement si f(x) l x x0 x x0 3 (trnsitivité) Si f(x) = o(g(x)) et g(x) = o(h(x)) lors f(x) = o(h(x)) x x0 x x0 x x0 4 (multipliction) Si f(x) = g(x) + o(h(x)) lors f(x)k(x) = g(x)k(x) + o(h(x)k(x)) x x0 x x0 5 (division) Si f(x) = o(g(x)) et si h(x) 0 u voisinge de x 0 lors : f(x) = o( g(x) x x0 h(x) x x 0 h(x) ) 6 (puissnce) Si f(x) = o(g(x)) et f(x) > 0 u voisinge de x 0 lors α > 0, (f(x)) α = o((g(x)) α ) x x0 x x0 7 (ddition) Si f(x) = g(x)+o(h(x)) et l(x) = k(x)+o(h(x)) lors f(x) + l(x) = g(x) + k(x)+o(h(x)) x x0 x x0 x x0 Proposition (chngement de vrible) : Si lim t t0 u(t) = x 0 et f(x) = x x0 g(x) + o(h(x)) lors f(u(t)) = t t0 g(u(t)) + o(h(u(t)) Si f(x) = o(g(x)) et si g tend vers 0 lors f tend vers 0 x x0 Si f(x) = o(g(x)) et si f(x) + lors g(x) + x x0 x x0 x x0 1 En + : x α = x ± o(xβ ) si et seulement si 0 < α < β, α,β > 0, (lnx) α = x + o(xβ ), β > 0 et α, x α = x + o(eβx ) 2 En 0 : α,β > 0, (ln x) α = o(x β ) x 0 + Soit n un entier positif On dit que f possède un développement limité d ordre n en x 0 (DL n (x 0 )) ssi il existe un polynôme P n de degré inférieur ou égl à n tel que f(x) = x x0 P n (x x 0 ) + o((x x 0 ) n ) wwwmthemtiquesfrst 10/52 bdellh becht

11 mémento ECE1 4 COMPARAISON LOCALE DES FONCTIONS Proposition (DL usuels) : Pour tout entier n, les DL n (0) suivnts sont vérifiés : 1 1 x = ( n x k ) + o(x n ), ln(1 + x) = ( n x 0 k=0 x 0 (1+x) α = 1+ α 1! α(α 1) x+ x 2 + 2! α(α 1)(α 2) 3! ( 1) k+1 x k k x 3 + +o(x n ) = ( ) + o(x n ), e x = x 0 ( n k=0 ( 1) k x k ) + o(x n ) k! n α(α 1)(α 2)(α k + 1)x k )+o(x n ) k! k=0 Si P est un polynôme et n un entier lors T n P désigne le polynôme P que l on tronqué à l ordre n c est-à-dire on éliminé tous les monômes de degré > n Soit λ un nombre réel 1 Si f (resp g) possède un DL n (x 0 ) lors λf, f + g, f g possèdent églement un DL n (x 0 ) Plus précisément, si f(x) = P n (x x 0 ) + o((x x 0 ) n ) et g(x) = Q n (x x 0 ) + o((x x 0 ) n )lors x x0 x x0 f(x) + g(x) = P n (x x 0 ) + Q n (x x 0 ) + o((x x 0 ) n ) x x0 f(x) g(x) = T n [(P n (x x 0 )Q n (x x 0 )] + o((x x 0 ) n ) x x0 (dns l dernière formule, on multiplie les DL n (0) entre eux puis on élimine toutes les puissnces dont l exposnt excéde strictement n) 2 Si f et u possède un DL n (0) et si u(0) = 0 lors x f(u(x)) possède un DL n (0) donné pr f(g(x)) = x 0 T n (P n (Q n (x)) + o(x n ) (on substitue le DL n (0) de u dns celui de f puis on élimine les puissnces d exposnts strictement supérieures à n) Remrque : Applictions des DL 1 Recherche d équivlent: Si f possède un DL n (x 0 ) lors f est équivlente en x 0 u monôme de plus bs degré intervennt dns son DL n (x 0 ) 2 Clcul de limite: Pour déterminer l limite d une fonction, il peut-être utile d en fire un DL convenble puis d en déduire un équivlent de l fonction 3 Recherche d symptote: Soit f une fonction définie sur I telle que lim f = Pour déterminer une symptote (si elle existe), on fctorise le terme dominnt dns f(x) ce qui fit ppritre (près une 1 simplifiction lgébrique) des termes en qui tendent vers 0 ce qui permet d effectuer un terme dominnt 1 DL pr rpport à terme dominnt Exemple : Asymptote et position en + à l fonction f(x) = x 2 + x f(x) = x 2 + x = x x 2 = x + 1 x 2 Le terme 1 x 2 tend vers 0 et 1 + u = 1 + u + o(u) donc u x 2 = x 2 + o( 1 1 ) ce qui nous donne f(x) = x(1 + x2 2x 2 + o( 1 x 2 )) = x + 1 2x + o(1 x ) 1 L droite y = x est symptote à C f et, puisque f(x) x x + 2x 0, l symptote est situé u dessus de C f u voisinge de + wwwmthemtiquesfrst 11/52 bdellh becht

12 mémento ECE1 5 CONTINUITÉ 5 Continuité On dit que f est continue en x 0 ssi lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 On dit que f est continue à guche (resp à droite) en x 0 si et seulement si lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 (resp lim f(x) = f(x 0 )) x x 0 On dit que f est continue sur ];b[ ssi elle est continue en tout point x 0 de ];b[ On dit que f est continue sur [;b] ssi elle est continue sur ];b[, continue à droite en et continue à guche en b f est continue en x 0 ssi f est continue à droite et à guche en x 0 Proposition (Fonctions de référence) : 1 Toute fonction polynôme est continue sur R 2 L fonction x lnx est continue sur R + 3 L fonctions x e x est continue sur R 4 Toute fonction puissnce x x α est continue sur R + si α 0 (resp sur R + si α < 0) Proposition (opértions lgébriques sur les fonctions continues) : Soient f,g deux fonctions continues en x 0 (resp sur I) et λ un nombre réel Alors 1 f + g,λf et f g sont continues en x 0 (resp sur I) 2 Si en outre f ne s nnule ps sur I, lors 1 f est continue en x 0 (resp sur I) Soient f une fonction continue sur I et g une fonction continue sur J, vec f(i) J) lors g f est continue sur I Corollire : 1 Si f est continue sur I lors e f est dérivblecontinue sur I 2 Si f est continue sur I et x I, f(x) 0 lors f est continue sur I et f α est continue sur I pour tout réel α 0 3 Si f est continue sur I et x I, f(x) > 0 lors lnf est continue sur I On dit qu une fonction f est continue pr morceu sur [;b] ssi f est continue sur [;b] suf peutêtre en un nombre fini de points en lesquels elle possède des limites finies à guche et droite (ps nécessirement égles) Définition (Prolongement pr continuité) : Soit f une fonction définie sur I\{x 0 } et non définie en x 0 Supposons que f soit continue sur I\{x 0 } et que l limite lim f(x) = l est un nombre réel Alors l fonction f définie pr f(x) = { x x 0 f(x) si x I\{x0 } est continue sur I Elle s ppelle le prolongement pr continuïté de f en l si x = x 0 x 0 wwwmthemtiquesfrst 12/52 bdellh becht

13 mémento ECE1 6 DÉRIVABILITÉ 6 Dérivbilité Soit f une fonction définie sur un intervlle I et x 0 un point de I 1 On ppelle tux d ccroissement en x 0 de f l fonction τ x0 (f) : x f(x) f(x 0) x x 0 Géométriquement, cette fonction représente l pente de l droite joignnt les points de l courbe représenttive de f d bscisse x et x 0 f(x) f(x 0 ) 2 On dit que f est dérivble en x 0 si et seulement si lim τ x0 (f) = lim existe x x 0 x x 0 x x 0 Dns ce cs, cette limite s ppelle l dérivée de f en x 0 et se note f (x 0 ) 3 On dit que f est dérivble à droite (resp à guche) en x 0 si et seulement si lim x x 0 f(x) f(x 0 ) (resp lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 ) existe Dns ce cs, cette limite s ppelle l dérivée à droite (resp x x 0 à guche) de f en x 0 et se note f d (x 0) (resp f g(x 0 )) 4 On dit que f que est dérivble sur ];b[ si et seulement si f est dérivble en tout point de ];b[ 5 On dit que f que est dérivble sur [;b] si et seulement si f est dérivble en tout point x 0 pprtennt à ];b[, dérivble à droite en et dérivble à guche en b Si f est une fonction dérivble en, on ppelle tngente à l coube représenttion C f de f u point d bscisse x =, l droite d éqution : y = f ()(x ) + f() Proposition (Fonctions de référence) : 1 Toute fonction monôme x x n est dérivble sur R et (x n ) = nx n 1 2 L fonction x lnx est dérivble sur R + et (ln x) = 1 x 3 L fonctions x e x est dérivble sur R et (e x ) = e x 4 Toute fonction puissnce x x α est dérivble sur R + si α 1 (resp sur R + si α 0) et (x α ) = αx α 1 Si f est dérivble en x 0 lors f est continue en x 0 L réciproque de cette proposition est fusse en générl f est dérivble en x 0 ];b[ si et seulement si (f est dérivble à guche et à droite en x 0 et f g(x 0 ) = f d (x 0)) Dns ce cs f (x 0 ) = f g(x 0 ) = f d (x 0) wwwmthemtiquesfrst 13/52 bdellh becht

14 mémento ECE1 6 DÉRIVABILITÉ Proposition (Opértions lgébriques sur les fonctions dérivbles) : Soient f,g deux fonctions dérivbles en x 0 (resp sur I) et λ un nombre réel Alors 1 f + g,λf et f g sont dérivbles en x 0 (resp sur I) et (f + g) = f + g, (λf) = λf, (f g) = f g + f g 2 Si en outre g ne s nnule ps sur I, lors f g est dérivble en x 0 (resp sur I) et ( f g ) = f g f g g 2 Proposition (Composition des fonctions dérivbles) : Soient f une fonction dérivble sur I et g une fonction dérivble sur J, vec f(i) J lors g f est dérivble sur I et x I, (g f) (x) = g (f(x)) f (x) Corollire : 1 Si f est dérivble sur I lors e f est dérivble sur I et (e f ) = f e f 2 Si f est dérivble sur I et x I, f(x) > 0 lors f est dérivble sur I et ( f) = f 2 f 3 Si f est dérivble sur I et x I, f(x) > 0 lors f α est dérivble sur I pour tout réel α 0 et (f α ) = αf f α 1 4 Si f est dérivble sur I et x I, f(x) > 0 lors lnf est dérivble sur I et (lnf) = f f Si f est dérivble en x 0 et si x 0 est un extremum de f lors f (x 0 ) = 0 Proposition (dérivée et monotonie) : Soit f une fonction dérivble sur I 1 Soit f une fonction dérivble sur I Alors f est constnte sur I si et seulement si f (x) = 0 x I 2 Soit f une fonction continue sur [,b] et dérivble sur ],b[ () f est croissnte (resp strictement croissnte) sur I si et seulement si x ];b[, f (x) 0 (resp f (x) > 0) (b) f est décroissnte (resp strictement décroissnte) sur I si et seulement si x ];b[, f (x) 0 (resp f (x) < 0) Proposition (Critère de dérivbilité en un point) : Soit f une fonction continue sur [;b] et dérivble sur [;b[ (resp ];b]) 1 Si l limite lim x b f (x) (resp lim x +f (x)) est finie lors f est dérivble en b (resp ) et f (b) = lim x b f (x) (resp f () = lim f (x)) x + 2 Si l limite lim f (x) (resp lim f f(x) f(b) (x)) est infinie lors f n est ps dérivble en b (resp ) et lim = x b x + x b x b lim f f(x) f(b) (x) (resp lim = lim f (x)) x b x + x b x + wwwmthemtiquesfrst 14/52 bdellh becht

15 mémento ECE1 8 FONCTIONS DE CLASSE C K On dit que f est 2 fois dérivble sur I ssi (f est dérivble et f est dérivble) Dns ce cs, on note f ou f (2) l dérivée de l dérivée de f c est-à-dire f (2) = f = (f ) On dit que f est 3 fois dérivble sur I ssi (f est dérivble, f est dérivble et f est dérivble) Dns ce cs, on note f (3) = (f (2) ) Plus générlement, soit k un entier positif, on dit que f est k fois dérivble ssi q k 1, f (q) est dérivble Dns ce cs, on note f (k) = (f (k 1) ) 7 Théorèmes de bijection Soit f une fonction numérique définie sur un intervlle I Soit J un intervlle de R 1 On dit que f rélise une bijection de I sur J ssi (f(i) = J et tout élément de J possède un et un seul ntécédent pprtennt à I) 2 Si f rélise une bijection de I sur J, on note f 1 l fonction définie que J qui à un élément x de J ssocie son unique ntécédent pprtennt à I On peut résumer cette phrse pr cette formule très importe pour les clculs L fonction f 1 s ppelle l réciproque de f y = f 1 (x) x = f(y) x J et y I Si f rélise une bijection de I sur J lors f 1 rélise une bijection de J sur I et s réciproque est f ce que l on peut trduire pr : (f 1 ) 1 = f Si f rélise une bijection de I sur J et g rélise une bijection de J sur K lors g f rélise une bijection de I sur K et : (g f) 1 = f 1 g 1 Théorème (théorème de bijection continue) : Si f est continue et strictement monotone sur I, lors elle rélise une bijection de I sur f(i) En outre, s réciproque f 1 est continue sur f(i), strictement monotone et s monotonie est celle de f Proposition (dérivbilité de l réciproque) : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur I Soit x 0 I et y 0 = f(x 0 ) (c est-à-dire que x 0 = f 1 (y 0 ) 1 Si f est dérivble en x 0 et si f (x 0 ) 0 lors f 1 est dérivble en y 0 et (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ) 2 Si f est dérivble en x 0 et si f (x 0 ) = 0 lors f 1 n est dérivble ps en y 0 et s courbe C f 1 possède une tngente horizontle en y 0 Remrque : Pr conséquent, pour clculer l dérivée de l réciproque en un point, il fut déj commencer pr rechercher l ntédédent de ce point! 8 Fonctions de clsse C k wwwmthemtiquesfrst 15/52 bdellh becht

16 mémento ECE1 8 FONCTIONS DE CLASSE C K Une fonction est dite de clsse C k sur un intervlle I si et seulement si f est k fois dérivble sur I et s dérivée k ième f (k) est continue sur I Une fonction f est de de clsse C sur I si et seulement si elle est indéfiniment dérivble sur I De fçon équivlente, f est C sur I si et seulement si f est de clsse C k sur I quel que soit k N Proposition (Opértions lgébriques sur les fonctions C k ) : Soient f,g deux fonctions de clsse C k sur un intervlle I et λ un nombre réel Alors 1 f + g,λf et f g sont de clsse C k sur I 2 Si en outre g ne s nnule ps sur I, lors f g est Ck sur I Proposition (Composition des fonctions C k ) : Soient f une fonction C k sur I et g une fonction C k sur J, vec f(i) J lors g f est C k sur I Corollire : 1 Si f est C k sur I lors e f est C k sur I 2 Si f est C k sur I et x I, f(x) > 0 lors f est C k sur I 3 Si f est C k sur I et x I, f(x) > 0 lors f α est C k sur I pour tout réel α 0 4 Si f est C k sur I et x I, f(x) > 0 lors lnf est C k sur I Théorème (Théorème des vleurs intermédiires lis le TVI) : Si f est continue sur [;b] lors pour tout élément c de [f();f(b)], l éqution f(x) = c dmet u moins une solution pprtennt à l intervlle [,b] Proposition (Existence d extrems) : Si f est continue sur un segment, lors f y possède un mximum et un minimum Théorème (Théorème de prolongement continue de l dérivée) : Soit f une fonction continue sur I et de clsse C 1 sur I\{x 0 } Si f possède une limite réelle l en x 0, lors f est de clsse C 1 sur I et f (x 0 ) = l Théorème (Théorème de ccroissements finis lis le TAF) : Soit f une fonction continue sur [;b] et dérivble sur ];b[ 1 Supposons qu il existe deux réels m et M tels que x ];b[, m f (x) M lors x,y [,b], m(x y) f(x) f(y) M(x y) 2 Supposons qu il existe un réel C tel que x ];b[, f (x) M lors x,y [,b], f(x) f(y) M x y On dit que f est convexe sur I si et seulement si,b I et t [0;1], f(t + (1 t)b) tf() + (1 t)f(b) On dit que f est concve sur I si et seulement si,b I et t [0;1], f(t + (1 t)b) tf() + (1 t)f(b) wwwmthemtiquesfrst 16/52 bdellh becht

17 mémento ECE1 9 INTÉGRATION On dit que f est concve sur I ssi f est convexe sur I Géométriquement, une fonction est convexe (resp concve) sur I si et seulement si quelques soient les points M,N dont les bscisses pprtiennent à I, le segment [MN] est situé u dessus (resp en dessous) du grphe de C f Supposons que f soit dérivble sur I Alors f est convexe (resp concve) si et seulement si f est croissnte (resp décroissnte) sur I Supposons que f soit de clsse C 2 sur I Alors Alors f est convexe (resp concve) ssi f est positive (resp négtive) sur I On ppelle point d inflexion de C f tout point où l courbe C f trverse s tngente en ce point Soit f une fonction de clsse C 2 sur I Si l dérivée seconde de f s nnule et chnge de signe en x 0 lors le point de C f d bsisse x 0 est un point d inflexion 9 Intégrtion Soient f et F deux fonctions définies sur un intervlle I On dit que F est une primitive de f sur I si et seulement si : F est dérivble sur I et x I, F (x) = f(x) Théorème : Toute fonction continue sur un intervlle I possède u moins une primitive sur I Si F est une primitive de f sur l intervlle I lors l ensemble des primitives de f sur I est l ensemble des fonctions de l forme F + k où k R Soient x 0 et y 0 deux nombres réels Alors il existe une unique primitive F de f telle que F(x 0 ) = y 0 Soient F et G deux fonctions qui sont des primitives respectivement de f et de g Soit λ un nombre réel 1 F + G est une primitive de f + g 2 λf est une primitive de λf 3 F G est une primitive de g (f g) Proposition (Primitives de référence) : fonctions primitives fonctions primitives x α x α+1 (α R\{ 1}) α C f f α f α+1 α C e x e x + C f e f e f + C 1 f ln x + C ln f + C x f wwwmthemtiquesfrst 17/52 bdellh becht

18 mémento ECE1 9 INTÉGRATION Soit f une fonction continue sur [;b] On ppelle intégrle de à b de l fonction f le nombre réel F(b) F() où F est une primitive quelconque de f et on le note [F(t)] b = F(b) F() et donc on : Remrque : Géométriquement, l intégrle b b f(t)dt = [F(t)] b b f(t)dt Pr convention, f représente l ire lgébrique sous l courbe C f (les prties u dessus de l xe des bscisses étnt comptées positivement, lors que les prties sous l xe des bscisses sont comptées négtivement) Méthode : Théorème : x Soit f une fonction continue sur un intervlle I et x 0 I lors l fonction x f(t)dt x 0 est l unique primitive de f sur I qui s nnule en x 0 x x En prticulier, l fonction x f(t)dt est C 1 sur I et ( f(t)dt) = f(x) x 0 x 0 x 1 Pour étudier une fonction du type F : x f(t)dt, il suffit de connitre le domine de continuité de f x 0 et de selectionner l intervlle I contennt x 0 Dns ce cs, l fonction F est définie sur I, elle s nnule en x 0 et est de clsse C 1 sur I (x) 2 Si on doit étudier une fonction du type H(x) = f(t)dt, où x (x) est une fonction de clsse C 1 x 0 On remrque que H(x) = F((x)) où F est l fonction précédente On sit que l fonction F est continue sur l intervlle I (qui été déterminé précédemment) Pour que H(x) it un sens, on doit exiger que (x) I ce qui mène à résoudre des inéqutions (pr exemple, si (x) = 1 et I = [1, + [ lors x x 1) On détermine insi un ensemble J sur lequel (x) I quel que soit x dns J (dns x l exemple, J = [0,1]), l fonction H est définie sur J et elle est de clsse C 1 sur J (comme composée de deux fonctions C 1 ) 3 Si on doit étudier une fonction du type K(x) = (x) b(x) (x) f(t)dt, on sélection un x 0 pprtennt u domine de b(x) continuité de f, puis on remrque que K(x) = f(t)dt f(t)dt = H((x)) H(b(x)) On utilise l x 0 x 0 question précédente pour étudier x H((x)) et x H(b(x)) fin de l méthode Soit f une fonction continue pr morceux sur [;b] et soient 0 = < 1 < < n 1 < n = b ses points de discontinuités b Pr définition, on ppelle intégrle de à b le nombre réel défini pr : f(t)dt = n 1 k+1 f(t)dt On dit qu une fonction est intégrble sur un segment [α;β] si et seulement si f est continue ou continue pr morceux sur [;b] k=0 k wwwmthemtiquesfrst 18/52 bdellh becht

19 mémento ECE1 9 INTÉGRATION Proposition (Reltion de Chsles) : Soit f une fonction intégrble sur un segment [α;β] et soit,b,c trois éléments de [α;β] lors on Pr conséquent f(t)dt = 0 et b b f(t)dt = f(t)dt = f(t)dt b c b f(t)dt + c f(t)dt Proposition (Linérité de l intégrle) : Soient f et g deux fonctions intégrbles sur un segment [α;β] et soit,b trois éléments de [α;β] lors on b (f + g) = b b f + g, b (f g) = b b f g, si λ est une constnte, b b λf = λ f Proposition (Inéglités et intégrle) : Soient f et g deux fonctions intégrbles sur un segment [α;β] et soit,b trois éléments de [α;β] tel que b 1 Si t [;b], f(t) g(t) t [;b] lors f b b 2 Inéglité tringulire f(t)dt f(t) dt 3 Si f(t) 0 t [;b] et b b f(t)dt = 0 lors t [;b], f(t) = 0 b g En prticulier, si f 0 sur [,b], lors 4 Inéglité de l moyenne S il existe deux nombres réels m et M tels que m f(t) M t [;b] lors m(b ) f(t)dt M(b ) b b f 0 Théorème (Intégrtion pr prtie) : Soient u et v deux fonctions C 1 sur [;b] lors : Théorème (chngement de vrible) : b u(t)v (t)dt = [u(t)v(t)] b b u (t)v(t)dt Soient f une fonction intégrble sur [;b] et u une fonction C 1 sur [;b] telle que u([α;β]) u(β) β [;b] lors on : f(x)dx = f(u(t))u (t)dt u(α) α Remrque : On effectué le chngement de vrible x = u(t), on n oublie que dx = u (t)dt et on modifie les bornes d intégrtion en conservnt l ordre Corollire : Soit f une fonction intégrble sur [ ;] Si f est pire sur [ ;] lors Si f est impire sur [ ;] lors f(t)dt = 2 b 0 f(t)dt = 0 f(t)dt wwwmthemtiquesfrst 19/52 bdellh becht

20 mémento ECE1 10 SUITES RÉELLES Soit f une fonction continue sur [;b] et n un nombre entier strictement positif On ppelle nème somme de Riemnn de f sur [;b] le nombre réel défini pr : S n (f) = b n 1 f( + k b n n ) Soit f une fonction continue sur [;b] lors l suite (S n (f)) n 1 converge et lim n + S n(f) = b f(t)dt Théorème : k=0 10 Suites réelles 101 Générlités sur les suites On dit qu une suite u converge vers l R si et seulement si pour tout nombre ε > 0, l distnce de u n à l n excède ps ε dès que n est ssez grnd On trduit cette phrse mthémtiquement pr ε > 0, n 0 N tel que n n 0, u n l < ε Le nombre l s ppelle l limite de l suite u et se note lim n + u n On dit qu une suite u diverge vers + (resp ) ssi pour tout nombre A, le terme u n est supérieur (resp inférieur) à A dès que n est ssez grnd On trduit cette phrse mthémtiquement pr A R, n 0 N tel que n n 0, u n > A (resp < A) 1 Toute suite convergente est bornée 2 Si l suite u tend vers l R lors u n n + l 3 Si l suite u tend vers l R lors pour tout nombre entier p, lim n + u n+p = l En prticulier, lim n + u n+1 = l Soit q un nombre réel Alors l suite (q n ) n 0 1 converge vers 0 si et seulement si q < 1 2 converge vers 1 si et seulement si q = 1 3 diverge vers + si et seulement si q > 1 4 ne possède ps de limite si et seulement si q 1 wwwmthemtiquesfrst 20/52 bdellh becht

21 mémento ECE1 10 SUITES RÉELLES Théorème (Opértions sur les limites) : Soient (u n ),(v n ) deux suites On note l = signifie forme indéterminée lim u n et l = n + lim v n L nottion FI n + lim n + v n ) n + l + 1 Addition: FI l l + l + inverse: + FI + + lim n l 0 l = 0 + n lim 0 FI 0 n + u n l lim n v n ) n + l < 0 l = 0 l > FI 2 multipliction: l < 0 + l l 0 l l l = 0 FI FI l > 0 l l 0 l l FI L division s obtient pr utilistion du cs de l multipliction et de l inverse en remrqunt que u n = u n 1 v n v n Proposition (Limites et inéglités) : 1 Si u est une suite positive et converge vers l lors l 0 2 Soient u et v sont deux suites telles que n 0, u n v n () Si les suites u et v convergent vers l et l lors l l (b) Si l suite v tend vers + lors u tend vers + (c) Si l suite u tend vers lors v tend vers Théorème (Théorème d encdrement) : Soient u,v,w trois suites telles que : n 0, u n v n w n Supposons que les suites u et v convergent vers une même limite l Alors l suite v converge vers l Corollire : Soient u une suite convergente et v une suite tendnt vers 0 Alors l suite (u n v n ) n 0 converge vers 0 Théorème (Suites monotones) : 1 Toute suite croissnte et mjorée est convergente 2 Toute suite décroissnte et minorée est convergente On dit que deux suites u et v sont djcentes si et seulement si 1 l suite u est croissnte 2 l suite v est décroissnte 3 lim n + (u n v n ) = 0 Théorème : Deux suites djcentes sont convergentes et ont l même limite wwwmthemtiquesfrst 21/52 bdellh becht

22 mémento ECE1 10 SUITES RÉELLES 102 Comprison des suites Soient u et v deux suites On dit qu u voisinge de l infini 1 u est négligeble devnt v et on l écrit u n = o(v n) si et seulement si ( v n 0 à prtir n + u n d un certin rng et lim = 0) n + v n 2 u est équivlente à v et on l écrit u n v n si et seulement si ( v n 0 à prtir d un certin n + rng et lim n + u n v n = 1) Soitent u et v deux suites : u n v n u n v n = o(v n) u n = v n + o(v n ) n + n + u n = o(1) si et seulement si u n 0 n + n + Soit l un nombre non-nul Alors u n u n n + u n Si u n n + v n lors v n Si u n n + v n et v n Si u n n + v n lors u n s n n + u n n + w n lors u n n + v ns n n + l si et seulement si u n n + w n Si u n n + v n et si s n 0 à prtir d un certin rng lors u n s n l n + v n n + s n Si u n n + v n et u n > 0 à prtir d un certin rng lors α R, u α n Si u n v n lors u n v n n + n + n + vα n Théorème : Deux suites équivlentes u et vsont de même nture, c est-à-dire u converge si et seulement si v converge et dns ce cs elles ont l même limite u diverge vers + si et seulement si v diverge vers + u n ps de limite si et seulement si v n ps de limite Théorème : Si u n = n + o(v n) et si 1 l suite v tend vers 0 lors u tend vers 0 2 u n + lors v n + n + n + wwwmthemtiquesfrst 22/52 bdellh becht

23 mémento ECE1 10 SUITES RÉELLES (Tble de références) n α = n + o(nβ ) si et seulement si 0 < α < β 1 n α = o( 1 ) si et seulement si 0 < β < α n + nβ (lnn) α = = n + o(nβ ) α,β > 0 n α = n + o(qn ) si q > 1 et > 0 q n = o( 1 ) si q < 1 et > 0 n + nα Un polynome en n est équivlent à son monome de plus hut degré Remrque (Règles pour lever les indétermintions) : Formes indéterminées du type + (+ ) Pour lever une telle indétermintion, on fctorise le terme qui croit le plus vite en vleur bsolue vers + Formes indéterminées du type Pour lever une telle indétermintion, on fctorise le terme qui croit le plus vite en vleur bsolue vers + u numérteur et u dénominteur Formes indéterminées du type 0 (resp0 ) Pour lever une telle indétermintion, on fctorise le terme 0 qui décroit le plus vite en vleur bsolue vers 0 u numérteur et u dénominteur (resp on fctorise dns le premier fcteur le terme qui décroit le plus vite en vleur bsolue vers 0 et dns le second fcteur le terme qui croit le plus vite en vleur bsolue vers Pln d études des suites du type u n+1 = f(u n ) Dns toute l suite f désigner une fonction définie sur un intervlle I Définition (Intervlle stble) : On dit que J est un intervlle stble pour f si et seulement si f(j) J Remrque : Pour déterminer f(i), on dresse le tbleu de vrition de f sur J puis on le compre à J Soit x I On dit que x est un point fixe de f si et seulement si f(x) = x Remrque : En générl, il est impossible de justifier l existence de tous les termes des suites de l forme u n+1 = f(u n ) Supposons que l intervlle I soit un intervlle stble de f et que u 0 I Alors n N u n existe et u n I (cel se démontre pr récurrence en remrque que si u n I lors f(u n ) I et u n+1 = f(u n )) Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervlle l et u une suite convergent vers l Alors l suite (f(u n )) n 0 converge vers f(l) Pr conséquent si l suite u n+1 = f(u n ) converge vers l lors l = f(l) et l est un point fixe de f Si en outre, u n (,b) lors l [,b] Méthode : Considérons mintennt une suite u n+1 = f(u n ) telle que I soit un intervlle stble pour f et u 0 I Premier cs: f est croissnte et u 0 est explicite Supposons que f est continue sur un intervlle I stble pr f et contennt u 0 donc n N u n existe et u n I Supposons en outre que f est croissnte sur l intervlle I On clcule lors explicitement u 1 (= f(u 0 )) et on distingue les deux cs suivnts : Si u 0 u 1 On montre pr récurrence que l suite u est croissnte en remrqunt que u n u n+1 implique que f(u n ) f(u n+1 ) donc u n+1 u n+2 wwwmthemtiquesfrst 23/52 bdellh becht

24 mémento ECE1 11 SÉRIES NUMÉRIQUES Si u 0 u 1 L suite (u n ) est lors décroissnte et l preuve est semblble à l précédente Second cs f est décroissnte et u 0 est explicite Nous introduisons lors deux suites uxiliires et b définies pr : n = u 2n et b n = u 2n+1 Clculons n+1 n+1 = u 2(n+1) = u 2n+2 = f(u 2n+1 ) = f(f(u 2n )) = (f f)( n ) Donc l suite vérifie une reltion de récurrence donnée pr : n+1 = (f f)( n ) Pr définition n N, n (= u 2n ) I qui est un intervlle stble de f f et l fonction f f est croissnte sur I! On peut donc étudier l monotonie de l suite à l ide du premier cs en remplçnt l fonction f pr l fonction f f De même, l suite b est définie pr l reltion b n+1 = (f f)(b n ) et on procède de même que pour Troisième cs f(x) x est de signe constnt sur I Alors l suite u est croissnte (resp décroissnte) Cel résulte du petit clcul suivnt : n N, u n+1 u n = f(u n ) u n 0 (resp 0) Dns le premier cs et le second cs, on dispose d une suite (u n ) qui est monotone et pour justifier l convergence, il suffit d ppliquer les théorèmes de convergence des suites monotones Le second cs est plus délict Les suites ( n ) n et (b n ) sont monotones et on essit d ppliquer les théorèmes sur les suites monotones On utilise ensuite le fit que l suite (u n ) converge si et seulement si les deux suites ( n ) et (b n ) convergent et que lim n n = lim n b n Qutrième cs Appliction du TAF Supposons que les qutres hypothèses ci-dessous soient stisfitent: f soit de clsse C 1 sur un intervlle stble [;b] (vec,b deux nombres réels), f dmet un unique point fixe α sur le segment [;b], il existe un nombre réel k [0;1[ tel que : x [;b], f (x) k u 0 [,b] Le premiert et le qutrième point nous permettent d ffirmer que : n N u n existe et u n [;b] l inéglité des ccroissements finis nous fournit x,y [;b], f(x) f(y) k x y Puisque n N u n [;b] et α [;b], nous remplçons x pr u n et y pr α dns l inéglité précédente, ce qui nous donnent n N, f(u n ) f(α) k u n α Or f(u n ) = u n+1 et f(α) = α d où n N, u n+1 α k u n α puis on démontre pr récurrence que n N, u n α k n u 0 α ce qui nous fournit l convergence de l suite (u n ) vers α fin de l méthode 11 Séries numériques Soit (u n ) n 0 une suite On ppelle série de terme générl u n l suite S définie pr S n = n u k et on l note trditionnellement n 0 u n On dit que l série n 0 u n converge si et seulement si l suite (S n ) n 0 converge dns R On dit que l série n 0 u n diverge si et seulement si l suite (S n ) n 0 diverge Soit u n une série convergente On note + u n l limite de l suite S et on l ppelle somme de n 0 n=0 l série u n n 0 Lemme : Si l série u n converge lors pour tout entier positif n 0 l série u n converge et + n 0 n n 0 n=0 Lemme : Si l série u n converge lors u n 0 (ou encore u n 0) n 0 n + n + k=0 u n = n0 1 n=0 u n + + n=n 0 u n wwwmthemtiquesfrst 24/52 bdellh becht

25 mémento ECE1 12 FONCTIONS NUMÉRIQUES DE DEUX VARIABLES RÉELLES Proposition (Opertion sur les series) : Soient λ est un nombre réel et u n, v n deux séries convergentes lors n 0 n 0 1 l série (u n + v n ) est convergente et + (u n + v n ) = + u n + + v n n 0 n=0 n=0 n=0 2 l série λu n est convergente et + λu n = λ + u n n 0 n=0 n=0 On dit l série u n est bsolument convergente si et seulement si série u n est convergente n 0 n 0 Si l série u n est bsolument convergente lors l série n est convergente n 0 n 0u Remrque : L réciproque est fusse en générl, c est-à-dire une série bsolument convergente n est ps nécessirement convergente L série n 0q n s ppelle série géométrique de rison q Proposition L série : q n (resp nq n, resp n 2 q n ) est convergente si et seulement si q < 1 Dns ce cs n 0 n 0 + n=0 n 0 q n = q, + nq n q = (1 q) 2, n 2 q n = n=0 n=0 q(q + 1) (1 q) 3 L série x n s ppelle série ssociée à l exponentielle n 0 n! Pour tout nombre réel x, l série n 0 x n n! est convergente et + n=0 x n n! = ex 12 Fonctions numériques de deux vribles réelles 121 Le pln R 2 Rppellons pour commencer que R 2 désigne l ensemble des couples (x,y) où x et y sont des nombres réels Trditionnellement, on représente grphiquement R 2 sous l forme d un pln muni du repère orthonormée (O, i, j ) Un élément (x,y) de R 2 est ssocié u point M du pln de coordonnées (x,y) D utre prt tout point M du pln est ssocié nturellement à son couple de coordonnées (x,y) qui est un élément de R 2 L xe des bscisses se note trditionnellement (Ox) (il s git d une droite) et l xe des ordonnées (Oy) L éqution de l droite (Ox) est l ensemble des points M(x,y) dont l ordonnée est nulle donc (0x) = {(x,y) R 2 tel que y = 0} On dit que y = 0 est l éqution de l droite (Ox) De fçon nlogue, l droite (Oy) pour éqution x = 0 ie wwwmthemtiquesfrst 25/52 bdellh becht

26 mémento ECE1 12 FONCTIONS NUMÉRIQUES DE DEUX VARIABLES RÉELLES possède comme éqution (0y) = {(x,y) R 2 tel que x = 0} Plus générlement, toute droite du pln possède une éqution du type y = x + b ou x = c ou de mnière équivlente, l éqution de toute droite du pln est de l forme x + by + c = 0 Si f désigne une fonction d une vrible réelle dont le domine de définition est un ensemble I L représenttion grphique de f, qui est définie rppelons-le pr {(x,y) R 2 tels que x I et y = f(x)} On déduit nturellement trois nouveux sous-ensembles remrqubles 1 L ensemble "u dessus" (resp strictement "u dessus") du grphique de f est défini pr {(x,y) R 2 tels que x I et y f(x) (resp y > f(x))} 2 L ensemble "en dessous" (resp strictement "en dessous" du grphique de f est défini pr {(x,y) R 2 tels que x I et y f(x) (resp y < f(x))} 3 L ensemble complémentire du grphique de f ("tout suf le grphe de f ) défini pr {(x,y) R 2 tels que x I et y f(x)} qui n est que l réunion des ensembles "u dessus et en dessous" du grphique de f Un utre type sous-ensembles de R 2 est fourni pr les cercles Pr exemple, le cercle de centre l origine (0,0) et de de ryon r possède comme éqution C(O,r) = {(x,y) R 2 tel que x 2 + y 2 = r 2 } Plus générlement, l éqution du cercle C((,b),r) de centre (,b) et de ryon r est C((,b),r) = {(x,y) R 2 tel que (x ) 2 + (y b) 2 = r 2 } 122 Fonctions numériques de deux vribles réelles On ppelle fonction numérique de deux vribles réelles l donnée d un sous-ensemble Ω de R 2 et d une ppliction qui à tout couple (x,y) de R 2 ssocie un unique nombre réel f(x,y) Exemple : Les fonctions f(x,y) = x + y et g(x,y) = exp(xy) + y 2 1 sont des fonctions numériques de deux vribles réelles Le domine de définition d une fonction f est l ensemble des couples (x,y) R 2 pour lesquels l expression f(x,y) existe Exemple : Soit f l fonction définie pr f(x,y) = ln(x + y) L expression f(x,y) est définie si et seulement si x + y > 0 y > x Soit f une fonction numérique de deux vribles réelles On ppelle surfce de niveu c l ensemble des points (x,y) du pln tels que f(x,y) = c (f est constnte sur l ligne de niveu) Exemple : L surfce de niveu c de l fonction x + 3y est l ensemble {(x,y) R 2 tels que 2x + 3y = 2} = {(x,y) R 2 tels que y = c 3 2x 3 } Il s git donc d une droite De l même fçon, on constte que toutes les surfces de niveu de cette fonction sont des droites du pln Exemple : L surfce de niveu c de l fonction x 2 +y 2 est l ensemble N c = {(x,y) R 2 tels que x 2 +y 2 = c} On remrque pour commencer que x 2 et y 2 sont toujours des nombres positifs donc x 2 +y 2 est toujours positif Pr conséquent, wwwmthemtiquesfrst 26/52 bdellh becht