mémento de mathématiques pour les ECE1

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1 mémento de mthémtiques pour les ECE1 Abdellh Becht Résumé L objectif de ce mémento est de permettre ux élèves de première nnée des clsses préprtoires ux Ecoles de Commerces, option économique, d voir un résumé complet et compct du cours de mthémtiques Il ne peut être en ucun cs un remplçnt du cours mis seulement un complément (le cours permettnt l lecture des preuves, l utilistion d exemples, de contre-exemples, de remrques, etc, ce que ne permet ps le mémento) Son seul (et essentiel) intérêt réside dns l possibilité d obtenir rpidement un ou plusieurs théorèmes et utres définitions, fin de se rfrichir l mémoire lors de l résolution d un exercice, l préprtion d un devoir ou de l révision en vue des concours J espère qu il répondr efficcement à ce besoin Pour ce fire, j i décidé d introduire une tble des mtières et les différents types d informtion (définitions, lemmes, propositions, théorèmes, méthodes, etc) disposent de présenttions visuelles clirement distinctes fin d ccélerer l recherche d informtion Si vous vez de remrques ou critiques à fire sur ce trvil, n hésitez ps à m en fire prt en m envoynt un mil Pour cel, ccéder à mon site web wwwmthemtiquesfrst et cliquer sur "vos commentires" en bs de l brre de guche 1

2 mémento ECE1 TABLE DES MATIÈRES Tble des mtières 1 Outils élémentires de mthémtiques 3 2 Générlités sur les fonctions 5 3 Limites 7 4 Comprison locle des fonctions 9 5 Continuité 12 6 Dérivbilité 13 7 Théorèmes de bijection 15 8 Fonctions de clsse C k 15 9 Intégrtion Suites réelles Générlités sur les suites Comprison des suites Pln d études des suites du type u n+1 = f(u n ) Séries numériques Fonctions numériques de deux vribles réelles Le pln R Fonctions numériques de deux vribles réelles Systèmes d équtions linéires Mtrices Générlités sur les mtrices Mtrices crrés Mtrices inversibles Systèmes linéires et mtrices Dénombrement Probbilités sur un ensemble fini Générlités Probbilités conditionnelles Vribles et vecteurs létoires finies Générlités Moments d une vr finie Couple de vribles létoires Indépendnces de deux vribles Lois discrètes finies usuelles Probbilités sur un ensemble discret dénombrble Vribles et vecteurs létoires discrètes dénombrbles Générlités Moments d une vr discrète infinie Loi d un vecteur létoires discrets infinis Indépendnces de deux vr Lois discrètes infinies usuelles 52 wwwmthemtiquesfrst 2/52 bdellh becht

3 mémento ECE1 1 OUTILS ÉLÉMENTAIRES DE MATHÉMATIQUES 1 Outils élémentires de mthémtiques Le symbole signifie "pour tout (tous)" et le symbole " il existe" N désigne l ensemble des nombres nturels c est-à-dire N = {0,1,2,} Z désigne l ensemble des nombres reltifs c est-à-dire des entiers nturels insi que leurs opposés Q désigne l ensemble des nombres rtionels c est-à-dire des frctions dont le numérteurs et le dénominteurs sont des nombres entiers reltifs Pr exemple: pprtient à Q, pr contre n est ps un nombre rtionnel cr 2 n est ps un entier reltif R désigne l ensemble des nombres réels c est-à-dire de tous les nombres que vous vez rencontré dns votre scolrité Pr exemple: 2, 13, , 3, π, e6 etc Soient E un ensemble, A,B deux sous-ensembles de E et x un élément de E On note x A si l élément x pprtient à A x / A si l élément x n pprtient ps à A A B si tout élément de A est un élément de B c est-à-dire x A lors x B A B s il existe un élément y de A qui ne soit ps un élément de B c est-à-dire il existe y A tel que y / B L ensemble noté est ppelé ensemble vide et est constitué d ucun élément Une ppliction f est l donnée de deux ensembles A et B et d une correspondnce qui à tout élément x de A ssocie un élément { de B qui est trditionnelement noté f(x) A B L ppliction f se note f : ou, s il n y ps d mbiguité possible, x f f(x) x f(x) L ensemble A est ppelé l ensemble de déprt de f et B est l ensemble d rrivée de f f(x) se nomme l imge de f pr x et si b = f() on dit que est un ntécédent de b pr f Soient une ppliction f : { A B x f(x), X un sous-ensemble de A et Y un sous-ensemble de B f(x) = {f(x), x X} désigne l ensemble imge direct de X pr f Il s git de l ensemble des imges de tous les éléments de X pr f f 1 (Y ) = {b B tel qu il existe A vec f() = b} désigne l imge réciproque de Y pr f Il s git de l ensemble des ntécédents de tous les éléments de Y pr f Soit n et m deux entiers On désigne pr [[n,m]] l ensemble des entiers compris entre n et m Lemme : Il y n nombre entier dns l ensemble [[1,n]] et plus générlement, il y n m+1 entier dns l ensemble [[n,m]] Soient 0, 1,, n (n + 1) nombres réels L nottion symbolique n k désigne l somme n et elle se prononce "somme de k=0 k = 0 à n des k " Plus générlement, si n, n+1,, m sont des nombres réels L nottion symbolique m k désigne l somme n + n m et elle se prononce "somme de k = n à m des k " k=n wwwmthemtiquesfrst 3/52 bdellh becht

4 mémento ECE1 1 OUTILS ÉLÉMENTAIRES DE MATHÉMATIQUES Remrque : "L entier" k est ce que l on ppelle l indice de sommtion de l somme n k Il s git d une vrible muette c est-à-dire que l on peut l noter k,j,α ou encore à l ide de toute lettre que l on souhite Pr exemple, en utilisnt l définition du symbole Σ, il est immédit que n k = n j = n α Lemme : Soient n,m deux entiers et n, n+1,, m et b n,b n+1,,b m des nombres réels Alors on 1 2 m ( k + b k ) = m k + m b k k=n k=n k=n m ( k b k ) = m k m b k k=n k=n 3 Pour tout nombre réel λ, k=n m λ k = λ m k k=n 4 Reltion de Chsles Pour tout entier positif l, on : m+l k = m k + k=n k=l k=n j=l k=0 k=n α=l l k=m+1 k Remrque : Dns l formule de fctoristion 3, il fut comprendre que λ ne doit ps dépendre de l indice de sommtion (ici il s git de k) Pr contre, il peut très bien dépendre d utres prmètres (n,m,,) Proposition (Sommes remrqubles) : Soit n un entier positif Alors on les églités suivntes : n n(n + 1) n 1 k = et k 2 n(n + 1)(2n + 1) = Pour tout nombre réel q différent de 1, on n k=0 q k = 1 qn+1 1 q Proposition (Chngement de vrible) : Soient l,n,m des entiers et n+l, n+l+1,, m+l des nombres réels Alors m k+l = m+l k (on dit que l on fit le chngement de vrible j = k + l) k=n k=n+l Exemple : Simplifier 10 k 2 + k 2 en utilisnt le chngement de vrible j = k 2 k=4 k 2 On dopte l méthode mnémotechnique suivnte: On pose j = k 2 lors k = j + 2, ce qui nous donne k 2 k 2 k 2 = (j + 2)2 (j + 2) 2 j = j2 + 3j j = j 3 D utre prt, qund k = 4, lors j = 2 et qund k = 10 lors j = 8 donc 10 Théorème (Principe de récurrence) : k=3 k 2 + k 2 k 2 = 8 (j + 3) Soit n 0 un entier positif Supposons voir défini pour tout entier n n 0, une propriété P n Si P n0 est vrie et si n n 0, P n est vrie implique P n+1 lors n n 0 l propriété P n est vrie Remrque : L propriété P n se nomme l propriété P u rng n L vérifiction de l vércité de P n0 s ppelle l initilistion de l récurrence Exemple : Montrer que n 0, 2 n n + 1 On pose P n : 2 n n + 1 Initilistion: n = = donc P 0 est vrie j=2 wwwmthemtiquesfrst 4/52 bdellh becht

5 mémento ECE1 2 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Supposons que P n soit vrie Nous devons prouver que P n+1, c est-à-dire que 2 n+1 n n+1 = 2 2 n donc 2 n+1 2(n+1) = 2n+2 Or 2n+2 (n+2) = n 0 donc 2n+2 n+2 Pr conséquent 2 n+1 n + 2, ce qui démontre que P n+1 est vrie Ainsi P n est vrie pour tout entier n positif 2 Générlités sur les fonctions Définition (Extrem) : Soit f une fonction définie sur un intervlle I 1 On dit qu un nombre M mjore l fonction f sur I lorsque x I, f(x) M On dit qu un nombre m minore l fonction f sur I lorsque x I, m f(x) Dns ce cs on dit que M (resp m) est un mjornt (minornt) de f sur I Il est utile de remrquer que M et m soient indépendnts de x 2 Si f est mjorée sur I, le plus petit des mjornts est noté sup f(x) x I Si f est minorée sur I, le plus grnd des minornts est noté inf f(x) x I 3 On dit que f est bornée sur I si elle est à l fois mjorée et minorée sur I 4 S il existe un élément x 0 I tel que f(x 0 ) = supf(x), on dit que x 0 est un point où se rélise x I le mximum de f sur I S il existe un élément x 0 I tel que f(x 0 ) = inf f(x), on dit que x 0 est un point où se rélise x I le mimimum de f sur I Un extrem de f est un point x 0 où f est mximle ou minimle Définition (Prité) : On dit que f (dont le domine de définition est D f ) est 1 pire si x D f, x D f et x D f, f( x) = f(x) 2 impire si x D f, x D f et x D f, f( x) = f(x) Définition (Vleur bsolue) : Soit x R, on ppelle vleur bsolue de x, le réel égl à l distnce de x à 0, utrement dit x = { x si x 0 x si x 0 L fonction vleur bsolue x x est une fonction pire et x,y R, xy = x y, x + y x + y Définition (Puissnces entières) : Soit x un nombre réel et n un entier positif, on pose x 0 = 1, x n = x x x si n 1 et x } {{ } n = 1 x n n fois wwwmthemtiquesfrst 5/52 bdellh becht

6 mémento ECE1 2 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Quels que soient les entiers reltifs n,m et quels que soient les réels non nuls x,y, on : x n x m = x n+m, (x y) n = x n y n, (x n ) m = x n m, x n x m = xn m Si n est un entier reltif, l fonction x x n est C sur son domine de définition et (x n ) = nx n 1 Définition (Logrithme népérien) : L fonction x 1 est continue sur l intervlle ]0, + [ donc elle dmet une unique primitive sur x ]0, + [ qui s nnule en 1 Cette primitive s ppelle l fonction logrithme népérien et se note x lnx Puisque 1 R, il existe un unique x ]0,1[ tel que lnx = 1 Ce réel se note e et e L fonction x lnx est définie sur l intervlle R +, ln 1 = 0 et lne = 1 2 L fonction x lnx est strictement croissnte sur R +, de clsse C sur R + et s dérivée est (lnx) = 1 x 3 x,y R +, on ln(x y) = lnx + lny ln( x y ) = lnx lny α R, lnxα = α lnx lnx = lny x = y lnx < lny x < y Définition (Exponentielle) : L fonction x lnx rélise une bijection de R + sur R donc elle dmet une réciproque notée x e x (ou exp(x)) 1 L fonction x e x est définie sur R, strictement croissnte, C sur R et s dérivée est (e x ) = e x 2 x,y R, on e x+y = e x e y e x = e y x = y e x e y = ex y e x < e y x < y α R, (e x ) α = e αx 3 On églement les reltions suivntes lint l exponentielle et le logrithme: x R, y = lnx x = e y x R, ln(e x ) = x x R +, e ln x = x Définition (Puissnces réelles) : Soit α un nombre réel L fonction x x α est définie sur R + pr : x α = e α ln x wwwmthemtiquesfrst 6/52 bdellh becht

7 mémento ECE1 3 LIMITES Pour tous les réels α,β et tous les réels non nuls x,y, on : x 0 = 1, x α = 1 x α, (xα ) β = x α β, x α x β = x α+β, x α x β = xα β, (x y) α = x α y α x α y α = (x y )α Définition (Fonctions polynômes) : On ppelle fonction polynôme (ou simplement polynôme) toute fonction numérique définie sur R et de l forme x P(x) = n x n + n 1 x n x + 0 où n, n 1,, 1, 0 sont des nombres réels et n désigne un entier positif Si k est un entier compris entre 0 et n, le réel k s ppelle le coefficient de x k du polynôme P Si n 0, on dit que le polynôme P est de degré n et on note deg P = n Dns ce cs, le réel n s ppelle le coefficient dominnt de P Si tous les coefficients sont nuls, on dit que P est le polynôme nul Le polynôme nul ne possède ps de degré Un monôme est un polynôme de l forme x k x k L ensemble des polynômes se note R[X] et l ensemble des polynômes de degré inférieur ou égl à n se note R n [X] Deux polynômes sont égux si et seulement si ils ont même degré et que tous leurs coefficients sont égux Pour tous polynômes P,Q, on : deg(p + Q) mx(deg P,deg Q), deg(pq) = deg P + deg Q Soient A et B R[X] On dit que B divise A et on le note B A si et seulement si il existe un polynôme C R[X] tel que A = BC Cel est équivlent (lorsque B 0) à ce que le reste de l division euclidienne de A pr B soit nul Soit P R[X] et R On dit est un zéro de P ssi P() = 0 Soit P R[X] et R Alors est un zéro de P ssi (x ) P Remrque : Si est un zéro de P, l proposition précédente montre qu il existe un polynôme Q tel que P = (x )Q On détermine Q en effectunt l division euclidienne de P pr (x ) En recherchnt de nouveu une rcine évidente pour Q, on en déduit une fctoristion de Q donc de P de l forme P = (x )(x b)r En poursuivnt ce processus, on peut fctoriser un polynôme de degré plus grnd que deux 3 Limites Intuitivement, on dit qu une fonction f, définie sur un intervlle I, possède l pour limite en x 0 I si f(x) est ussi proche que l on veut de l dès que x est suffismment proche de x 0 On note lors lim f(x) = l ou ou x x 0 limf = l voire encore f(x) x0 x x0 l On définit églement l limite guche (resp droite) de f en x 0 en fisnt tendre x vers x 0 pr vleurs inférieures (resp supérieures) On note lors lim f(x) = l ou ou limf = l voire encore f(x) l x x + 0 x + 0 x x + 0 L trduction mthémtique de ces nombreuses et différentes définitions n ps plce dns ce mémento et vous trouverez les différentes trductions dns le cours wwwmthemtiquesfrst 7/52 bdellh becht

8 mémento ECE1 3 LIMITES Théorème (Opértions sur les limites) : Soient f,g deux fonctions définies sur I suf peut-être en x 0 et possédnt une limite en x 0 On note l = lim f et l = lim g L nottion FI signifie forme indéterminée x0 x0 1 Addition: lim (f(x) + g(x)) x x 0 l + FI l l + l + + FI inverse: lim f(x) l 0 l = 0 + x x lim 0 FI 0 x x 0 f(x) l lim (f(x) g(x)) x x 0 l < 0 0 l > FI 3 multipliction: l < 0 + l l 0 l l 0 FI FI l > 0 l l 0 l l FI L division s obtient pr utilistion du cs de l multipliction et de l inverse en remrqunt que f g = f 1 g Théorème (limites et inéglités) : Soient f,g deux fonctions définies sur I suf peut-être en x 0 et possédnt une limite en x 0 1 Si f(x) g(x) x I\{x 0 } lors lim f(x) lim g(x) x x 0 x x 0 2 Soient f,g,h trois fonctions définies sur I suf peut-être en x 0 Supposons que l on it lim f(x) = lim g(x) = l et x I\{x 0 } f(x) h(x) g(x) x x 0 x x 0 Alors h possède une limite en x 0 et lim x x 0 h(x) = l Théorème (fonctions monotones) : Soit f une fonction définie sur ];b[ Si f est croissnte et mjorée sur ];b[ lors f dmet une limite en b Si f est croissnte et minorée sur ];b[ lors f dmet une limite en + Si f est décroissnte et mjorée sur ];b[ lors f dmet une limite en + Si f est décroissnte et minorée sur ];b[ lors f dmet une limite en b Théorème (chngement de vrible) : Si lim t t0 u(t) = x 0 et si lim x x 0 f(x) = y 0 lors lim t t0 f(u(t)) = y 0 Théorème (limites clssiques) : 1 En + : lim x + xα e βx = lim lim x + eβx, lim (ln x + x)α x β = lim x + xβ 2 En : lim x + xn e βx = lim x + eβx 3 En 0 : lim x 0 + (ln x) α x β = lim x 0 + x β, (1 + x) α 1 1, lim = α x 0 x x + eβx, ln(1 + x) lim x 0 x lim (ln x + x)α e βx = = 1, lim x 0 e x 1 x = Remrque : wwwmthemtiquesfrst 8/52 bdellh becht

9 mémento ECE1 4 COMPARAISON LOCALE DES FONCTIONS Pour lever des indétermintions, voici quelques méthodes : Formes indéterminées du type + (+ ) Pour lever une telle indétermintion, on fctorise le terme qui croit le plus vite en vleur bsolue vers + Formes indéterminées du type Pour lever une telle indétermintion, on fctorise le terme qui croit le plus vite en vleur bsolue vers + u numérteur et on procède de même u dénominteur Formes indéterminées du type 0 (resp0 ) Pour lever une telle indétermintion, on fctorise le terme 0 qui décroit le plus vite en vleur bsolue vers 0 u numérteur et on procède de même u dénominteur (resp on fctorise dns le premier fcteur le terme qui décroit le plus vite en vleur bsolue vers 0 et celui qui croit le plus vite en vleur bsolue vers + dns le second fcteur) 4 Comprison locle des fonctions Définition (Equivlence) : Soient f,g deux fonctions définies sur I suf peut-être en x 0 On dit f est équivlente à g u f(x) voisinge de x 0 et on l écrit f(x) g(x) si et seulement si lim x x0 x x 0 g(x) = 1 Proposition (Règles de clculs) : 1 Soit l un nombre non nul Alors f(x) l si et seulement si f(x) x x0 2 Si f(x) g(x) lors f(x)h(x) g(x)h(x) x x0 x x0 x x0 l 3 Si f(x) g(x) et si h(x) 0 u voisinge de x 0 lors f(x) g(x) x x0 h(x) x x 0 h(x) 4 Si f(x) g(x) et f(x) > 0 u voisinge de x 0 lors α R, (f(x)) α (g(x)) α x x0 x x0 5 Si f(x) g(x) lors f(x) g(x) x x0 x x0 Un polynome en x est équivlent en ± à son monome de plus hut degré Proposition (chngement de vrible) : Soit f et g deux fonctions telles que lim u(t) = x 0 et f(x) g(x) lors f(u(t)) g(u(t)) t t 0 x x0 t t0 Deux fonctions équivlentes f et g sont de même nture, c est-à-dire 1 f possède une limite en x 0 si et seulement si g possède une limite en x 0 et, dns ce cs, elles ont l même limite 2 f n ps de limite en x 0 si et seulement si g n ps de limite en x 0 Proposition (Equivlents clssiques) : ln(1 + x) x, e x 1 x, (1 + x) α 1 αx x 0 x 0 x 0 Plus générlement, si f est dérivble en x 0, f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) x x0 wwwmthemtiquesfrst 9/52 bdellh becht

10 mémento ECE1 4 COMPARAISON LOCALE DES FONCTIONS Définition (Négligebilité ou nottion o()) : f est négligeble devnt g et on l écrit f(x) = o(g(x)) si et seulement si g(x) 0 dns un x x0 f(x) voisinge de x 0 et lim x x 0 g(x) = 0 On note f(x) = x x0 g(x) + o(h(x)) si et seulement si f(x) g(x) = x x0 o(h(x)) f(x) x x0 g(x) f(x) = x x0 g(x) + o(g(x)) Proposition (Règles de clculs des o()) : 1 f(x) = o(1) si et seulement si f(x) 0 x x0 x x0 2 Soit l un nombre non nul Alors f(x) = l + o(1) si et seulement si f(x) l x x0 x x0 3 (trnsitivité) Si f(x) = o(g(x)) et g(x) = o(h(x)) lors f(x) = o(h(x)) x x0 x x0 x x0 4 (multipliction) Si f(x) = g(x) + o(h(x)) lors f(x)k(x) = g(x)k(x) + o(h(x)k(x)) x x0 x x0 5 (division) Si f(x) = o(g(x)) et si h(x) 0 u voisinge de x 0 lors : f(x) = o( g(x) x x0 h(x) x x 0 h(x) ) 6 (puissnce) Si f(x) = o(g(x)) et f(x) > 0 u voisinge de x 0 lors α > 0, (f(x)) α = o((g(x)) α ) x x0 x x0 7 (ddition) Si f(x) = g(x)+o(h(x)) et l(x) = k(x)+o(h(x)) lors f(x) + l(x) = g(x) + k(x)+o(h(x)) x x0 x x0 x x0 Proposition (chngement de vrible) : Si lim t t0 u(t) = x 0 et f(x) = x x0 g(x) + o(h(x)) lors f(u(t)) = t t0 g(u(t)) + o(h(u(t)) Si f(x) = o(g(x)) et si g tend vers 0 lors f tend vers 0 x x0 Si f(x) = o(g(x)) et si f(x) + lors g(x) + x x0 x x0 x x0 1 En + : x α = x ± o(xβ ) si et seulement si 0 < α < β, α,β > 0, (lnx) α = x + o(xβ ), β > 0 et α, x α = x + o(eβx ) 2 En 0 : α,β > 0, (ln x) α = o(x β ) x 0 + Soit n un entier positif On dit que f possède un développement limité d ordre n en x 0 (DL n (x 0 )) ssi il existe un polynôme P n de degré inférieur ou égl à n tel que f(x) = x x0 P n (x x 0 ) + o((x x 0 ) n ) wwwmthemtiquesfrst 10/52 bdellh becht

11 mémento ECE1 4 COMPARAISON LOCALE DES FONCTIONS Proposition (DL usuels) : Pour tout entier n, les DL n (0) suivnts sont vérifiés : 1 1 x = ( n x k ) + o(x n ), ln(1 + x) = ( n x 0 k=0 x 0 (1+x) α = 1+ α 1! α(α 1) x+ x 2 + 2! α(α 1)(α 2) 3! ( 1) k+1 x k k x 3 + +o(x n ) = ( ) + o(x n ), e x = x 0 ( n k=0 ( 1) k x k ) + o(x n ) k! n α(α 1)(α 2)(α k + 1)x k )+o(x n ) k! k=0 Si P est un polynôme et n un entier lors T n P désigne le polynôme P que l on tronqué à l ordre n c est-à-dire on éliminé tous les monômes de degré > n Soit λ un nombre réel 1 Si f (resp g) possède un DL n (x 0 ) lors λf, f + g, f g possèdent églement un DL n (x 0 ) Plus précisément, si f(x) = P n (x x 0 ) + o((x x 0 ) n ) et g(x) = Q n (x x 0 ) + o((x x 0 ) n )lors x x0 x x0 f(x) + g(x) = P n (x x 0 ) + Q n (x x 0 ) + o((x x 0 ) n ) x x0 f(x) g(x) = T n [(P n (x x 0 )Q n (x x 0 )] + o((x x 0 ) n ) x x0 (dns l dernière formule, on multiplie les DL n (0) entre eux puis on élimine toutes les puissnces dont l exposnt excéde strictement n) 2 Si f et u possède un DL n (0) et si u(0) = 0 lors x f(u(x)) possède un DL n (0) donné pr f(g(x)) = x 0 T n (P n (Q n (x)) + o(x n ) (on substitue le DL n (0) de u dns celui de f puis on élimine les puissnces d exposnts strictement supérieures à n) Remrque : Applictions des DL 1 Recherche d équivlent: Si f possède un DL n (x 0 ) lors f est équivlente en x 0 u monôme de plus bs degré intervennt dns son DL n (x 0 ) 2 Clcul de limite: Pour déterminer l limite d une fonction, il peut-être utile d en fire un DL convenble puis d en déduire un équivlent de l fonction 3 Recherche d symptote: Soit f une fonction définie sur I telle que lim f = Pour déterminer une symptote (si elle existe), on fctorise le terme dominnt dns f(x) ce qui fit ppritre (près une 1 simplifiction lgébrique) des termes en qui tendent vers 0 ce qui permet d effectuer un terme dominnt 1 DL pr rpport à terme dominnt Exemple : Asymptote et position en + à l fonction f(x) = x 2 + x f(x) = x 2 + x = x x 2 = x + 1 x 2 Le terme 1 x 2 tend vers 0 et 1 + u = 1 + u + o(u) donc u x 2 = x 2 + o( 1 1 ) ce qui nous donne f(x) = x(1 + x2 2x 2 + o( 1 x 2 )) = x + 1 2x + o(1 x ) 1 L droite y = x est symptote à C f et, puisque f(x) x x + 2x 0, l symptote est situé u dessus de C f u voisinge de + wwwmthemtiquesfrst 11/52 bdellh becht

12 mémento ECE1 5 CONTINUITÉ 5 Continuité On dit que f est continue en x 0 ssi lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 On dit que f est continue à guche (resp à droite) en x 0 si et seulement si lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 (resp lim f(x) = f(x 0 )) x x 0 On dit que f est continue sur ];b[ ssi elle est continue en tout point x 0 de ];b[ On dit que f est continue sur [;b] ssi elle est continue sur ];b[, continue à droite en et continue à guche en b f est continue en x 0 ssi f est continue à droite et à guche en x 0 Proposition (Fonctions de référence) : 1 Toute fonction polynôme est continue sur R 2 L fonction x lnx est continue sur R + 3 L fonctions x e x est continue sur R 4 Toute fonction puissnce x x α est continue sur R + si α 0 (resp sur R + si α < 0) Proposition (opértions lgébriques sur les fonctions continues) : Soient f,g deux fonctions continues en x 0 (resp sur I) et λ un nombre réel Alors 1 f + g,λf et f g sont continues en x 0 (resp sur I) 2 Si en outre f ne s nnule ps sur I, lors 1 f est continue en x 0 (resp sur I) Soient f une fonction continue sur I et g une fonction continue sur J, vec f(i) J) lors g f est continue sur I Corollire : 1 Si f est continue sur I lors e f est dérivblecontinue sur I 2 Si f est continue sur I et x I, f(x) 0 lors f est continue sur I et f α est continue sur I pour tout réel α 0 3 Si f est continue sur I et x I, f(x) > 0 lors lnf est continue sur I On dit qu une fonction f est continue pr morceu sur [;b] ssi f est continue sur [;b] suf peutêtre en un nombre fini de points en lesquels elle possède des limites finies à guche et droite (ps nécessirement égles) Définition (Prolongement pr continuité) : Soit f une fonction définie sur I\{x 0 } et non définie en x 0 Supposons que f soit continue sur I\{x 0 } et que l limite lim f(x) = l est un nombre réel Alors l fonction f définie pr f(x) = { x x 0 f(x) si x I\{x0 } est continue sur I Elle s ppelle le prolongement pr continuïté de f en l si x = x 0 x 0 wwwmthemtiquesfrst 12/52 bdellh becht

13 mémento ECE1 6 DÉRIVABILITÉ 6 Dérivbilité Soit f une fonction définie sur un intervlle I et x 0 un point de I 1 On ppelle tux d ccroissement en x 0 de f l fonction τ x0 (f) : x f(x) f(x 0) x x 0 Géométriquement, cette fonction représente l pente de l droite joignnt les points de l courbe représenttive de f d bscisse x et x 0 f(x) f(x 0 ) 2 On dit que f est dérivble en x 0 si et seulement si lim τ x0 (f) = lim existe x x 0 x x 0 x x 0 Dns ce cs, cette limite s ppelle l dérivée de f en x 0 et se note f (x 0 ) 3 On dit que f est dérivble à droite (resp à guche) en x 0 si et seulement si lim x x 0 f(x) f(x 0 ) (resp lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 ) existe Dns ce cs, cette limite s ppelle l dérivée à droite (resp x x 0 à guche) de f en x 0 et se note f d (x 0) (resp f g(x 0 )) 4 On dit que f que est dérivble sur ];b[ si et seulement si f est dérivble en tout point de ];b[ 5 On dit que f que est dérivble sur [;b] si et seulement si f est dérivble en tout point x 0 pprtennt à ];b[, dérivble à droite en et dérivble à guche en b Si f est une fonction dérivble en, on ppelle tngente à l coube représenttion C f de f u point d bscisse x =, l droite d éqution : y = f ()(x ) + f() Proposition (Fonctions de référence) : 1 Toute fonction monôme x x n est dérivble sur R et (x n ) = nx n 1 2 L fonction x lnx est dérivble sur R + et (ln x) = 1 x 3 L fonctions x e x est dérivble sur R et (e x ) = e x 4 Toute fonction puissnce x x α est dérivble sur R + si α 1 (resp sur R + si α 0) et (x α ) = αx α 1 Si f est dérivble en x 0 lors f est continue en x 0 L réciproque de cette proposition est fusse en générl f est dérivble en x 0 ];b[ si et seulement si (f est dérivble à guche et à droite en x 0 et f g(x 0 ) = f d (x 0)) Dns ce cs f (x 0 ) = f g(x 0 ) = f d (x 0) wwwmthemtiquesfrst 13/52 bdellh becht

14 mémento ECE1 6 DÉRIVABILITÉ Proposition (Opértions lgébriques sur les fonctions dérivbles) : Soient f,g deux fonctions dérivbles en x 0 (resp sur I) et λ un nombre réel Alors 1 f + g,λf et f g sont dérivbles en x 0 (resp sur I) et (f + g) = f + g, (λf) = λf, (f g) = f g + f g 2 Si en outre g ne s nnule ps sur I, lors f g est dérivble en x 0 (resp sur I) et ( f g ) = f g f g g 2 Proposition (Composition des fonctions dérivbles) : Soient f une fonction dérivble sur I et g une fonction dérivble sur J, vec f(i) J lors g f est dérivble sur I et x I, (g f) (x) = g (f(x)) f (x) Corollire : 1 Si f est dérivble sur I lors e f est dérivble sur I et (e f ) = f e f 2 Si f est dérivble sur I et x I, f(x) > 0 lors f est dérivble sur I et ( f) = f 2 f 3 Si f est dérivble sur I et x I, f(x) > 0 lors f α est dérivble sur I pour tout réel α 0 et (f α ) = αf f α 1 4 Si f est dérivble sur I et x I, f(x) > 0 lors lnf est dérivble sur I et (lnf) = f f Si f est dérivble en x 0 et si x 0 est un extremum de f lors f (x 0 ) = 0 Proposition (dérivée et monotonie) : Soit f une fonction dérivble sur I 1 Soit f une fonction dérivble sur I Alors f est constnte sur I si et seulement si f (x) = 0 x I 2 Soit f une fonction continue sur [,b] et dérivble sur ],b[ () f est croissnte (resp strictement croissnte) sur I si et seulement si x ];b[, f (x) 0 (resp f (x) > 0) (b) f est décroissnte (resp strictement décroissnte) sur I si et seulement si x ];b[, f (x) 0 (resp f (x) < 0) Proposition (Critère de dérivbilité en un point) : Soit f une fonction continue sur [;b] et dérivble sur [;b[ (resp ];b]) 1 Si l limite lim x b f (x) (resp lim x +f (x)) est finie lors f est dérivble en b (resp ) et f (b) = lim x b f (x) (resp f () = lim f (x)) x + 2 Si l limite lim f (x) (resp lim f f(x) f(b) (x)) est infinie lors f n est ps dérivble en b (resp ) et lim = x b x + x b x b lim f f(x) f(b) (x) (resp lim = lim f (x)) x b x + x b x + wwwmthemtiquesfrst 14/52 bdellh becht

15 mémento ECE1 8 FONCTIONS DE CLASSE C K On dit que f est 2 fois dérivble sur I ssi (f est dérivble et f est dérivble) Dns ce cs, on note f ou f (2) l dérivée de l dérivée de f c est-à-dire f (2) = f = (f ) On dit que f est 3 fois dérivble sur I ssi (f est dérivble, f est dérivble et f est dérivble) Dns ce cs, on note f (3) = (f (2) ) Plus générlement, soit k un entier positif, on dit que f est k fois dérivble ssi q k 1, f (q) est dérivble Dns ce cs, on note f (k) = (f (k 1) ) 7 Théorèmes de bijection Soit f une fonction numérique définie sur un intervlle I Soit J un intervlle de R 1 On dit que f rélise une bijection de I sur J ssi (f(i) = J et tout élément de J possède un et un seul ntécédent pprtennt à I) 2 Si f rélise une bijection de I sur J, on note f 1 l fonction définie que J qui à un élément x de J ssocie son unique ntécédent pprtennt à I On peut résumer cette phrse pr cette formule très importe pour les clculs L fonction f 1 s ppelle l réciproque de f y = f 1 (x) x = f(y) x J et y I Si f rélise une bijection de I sur J lors f 1 rélise une bijection de J sur I et s réciproque est f ce que l on peut trduire pr : (f 1 ) 1 = f Si f rélise une bijection de I sur J et g rélise une bijection de J sur K lors g f rélise une bijection de I sur K et : (g f) 1 = f 1 g 1 Théorème (théorème de bijection continue) : Si f est continue et strictement monotone sur I, lors elle rélise une bijection de I sur f(i) En outre, s réciproque f 1 est continue sur f(i), strictement monotone et s monotonie est celle de f Proposition (dérivbilité de l réciproque) : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur I Soit x 0 I et y 0 = f(x 0 ) (c est-à-dire que x 0 = f 1 (y 0 ) 1 Si f est dérivble en x 0 et si f (x 0 ) 0 lors f 1 est dérivble en y 0 et (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ) 2 Si f est dérivble en x 0 et si f (x 0 ) = 0 lors f 1 n est dérivble ps en y 0 et s courbe C f 1 possède une tngente horizontle en y 0 Remrque : Pr conséquent, pour clculer l dérivée de l réciproque en un point, il fut déj commencer pr rechercher l ntédédent de ce point! 8 Fonctions de clsse C k wwwmthemtiquesfrst 15/52 bdellh becht

16 mémento ECE1 8 FONCTIONS DE CLASSE C K Une fonction est dite de clsse C k sur un intervlle I si et seulement si f est k fois dérivble sur I et s dérivée k ième f (k) est continue sur I Une fonction f est de de clsse C sur I si et seulement si elle est indéfiniment dérivble sur I De fçon équivlente, f est C sur I si et seulement si f est de clsse C k sur I quel que soit k N Proposition (Opértions lgébriques sur les fonctions C k ) : Soient f,g deux fonctions de clsse C k sur un intervlle I et λ un nombre réel Alors 1 f + g,λf et f g sont de clsse C k sur I 2 Si en outre g ne s nnule ps sur I, lors f g est Ck sur I Proposition (Composition des fonctions C k ) : Soient f une fonction C k sur I et g une fonction C k sur J, vec f(i) J lors g f est C k sur I Corollire : 1 Si f est C k sur I lors e f est C k sur I 2 Si f est C k sur I et x I, f(x) > 0 lors f est C k sur I 3 Si f est C k sur I et x I, f(x) > 0 lors f α est C k sur I pour tout réel α 0 4 Si f est C k sur I et x I, f(x) > 0 lors lnf est C k sur I Théorème (Théorème des vleurs intermédiires lis le TVI) : Si f est continue sur [;b] lors pour tout élément c de [f();f(b)], l éqution f(x) = c dmet u moins une solution pprtennt à l intervlle [,b] Proposition (Existence d extrems) : Si f est continue sur un segment, lors f y possède un mximum et un minimum Théorème (Théorème de prolongement continue de l dérivée) : Soit f une fonction continue sur I et de clsse C 1 sur I\{x 0 } Si f possède une limite réelle l en x 0, lors f est de clsse C 1 sur I et f (x 0 ) = l Théorème (Théorème de ccroissements finis lis le TAF) : Soit f une fonction continue sur [;b] et dérivble sur ];b[ 1 Supposons qu il existe deux réels m et M tels que x ];b[, m f (x) M lors x,y [,b], m(x y) f(x) f(y) M(x y) 2 Supposons qu il existe un réel C tel que x ];b[, f (x) M lors x,y [,b], f(x) f(y) M x y On dit que f est convexe sur I si et seulement si,b I et t [0;1], f(t + (1 t)b) tf() + (1 t)f(b) On dit que f est concve sur I si et seulement si,b I et t [0;1], f(t + (1 t)b) tf() + (1 t)f(b) wwwmthemtiquesfrst 16/52 bdellh becht

17 mémento ECE1 9 INTÉGRATION On dit que f est concve sur I ssi f est convexe sur I Géométriquement, une fonction est convexe (resp concve) sur I si et seulement si quelques soient les points M,N dont les bscisses pprtiennent à I, le segment [MN] est situé u dessus (resp en dessous) du grphe de C f Supposons que f soit dérivble sur I Alors f est convexe (resp concve) si et seulement si f est croissnte (resp décroissnte) sur I Supposons que f soit de clsse C 2 sur I Alors Alors f est convexe (resp concve) ssi f est positive (resp négtive) sur I On ppelle point d inflexion de C f tout point où l courbe C f trverse s tngente en ce point Soit f une fonction de clsse C 2 sur I Si l dérivée seconde de f s nnule et chnge de signe en x 0 lors le point de C f d bsisse x 0 est un point d inflexion 9 Intégrtion Soient f et F deux fonctions définies sur un intervlle I On dit que F est une primitive de f sur I si et seulement si : F est dérivble sur I et x I, F (x) = f(x) Théorème : Toute fonction continue sur un intervlle I possède u moins une primitive sur I Si F est une primitive de f sur l intervlle I lors l ensemble des primitives de f sur I est l ensemble des fonctions de l forme F + k où k R Soient x 0 et y 0 deux nombres réels Alors il existe une unique primitive F de f telle que F(x 0 ) = y 0 Soient F et G deux fonctions qui sont des primitives respectivement de f et de g Soit λ un nombre réel 1 F + G est une primitive de f + g 2 λf est une primitive de λf 3 F G est une primitive de g (f g) Proposition (Primitives de référence) : fonctions primitives fonctions primitives x α x α+1 (α R\{ 1}) α C f f α f α+1 α C e x e x + C f e f e f + C 1 f ln x + C ln f + C x f wwwmthemtiquesfrst 17/52 bdellh becht

18 mémento ECE1 9 INTÉGRATION Soit f une fonction continue sur [;b] On ppelle intégrle de à b de l fonction f le nombre réel F(b) F() où F est une primitive quelconque de f et on le note [F(t)] b = F(b) F() et donc on : Remrque : Géométriquement, l intégrle b b f(t)dt = [F(t)] b b f(t)dt Pr convention, f représente l ire lgébrique sous l courbe C f (les prties u dessus de l xe des bscisses étnt comptées positivement, lors que les prties sous l xe des bscisses sont comptées négtivement) Méthode : Théorème : x Soit f une fonction continue sur un intervlle I et x 0 I lors l fonction x f(t)dt x 0 est l unique primitive de f sur I qui s nnule en x 0 x x En prticulier, l fonction x f(t)dt est C 1 sur I et ( f(t)dt) = f(x) x 0 x 0 x 1 Pour étudier une fonction du type F : x f(t)dt, il suffit de connitre le domine de continuité de f x 0 et de selectionner l intervlle I contennt x 0 Dns ce cs, l fonction F est définie sur I, elle s nnule en x 0 et est de clsse C 1 sur I (x) 2 Si on doit étudier une fonction du type H(x) = f(t)dt, où x (x) est une fonction de clsse C 1 x 0 On remrque que H(x) = F((x)) où F est l fonction précédente On sit que l fonction F est continue sur l intervlle I (qui été déterminé précédemment) Pour que H(x) it un sens, on doit exiger que (x) I ce qui mène à résoudre des inéqutions (pr exemple, si (x) = 1 et I = [1, + [ lors x x 1) On détermine insi un ensemble J sur lequel (x) I quel que soit x dns J (dns x l exemple, J = [0,1]), l fonction H est définie sur J et elle est de clsse C 1 sur J (comme composée de deux fonctions C 1 ) 3 Si on doit étudier une fonction du type K(x) = (x) b(x) (x) f(t)dt, on sélection un x 0 pprtennt u domine de b(x) continuité de f, puis on remrque que K(x) = f(t)dt f(t)dt = H((x)) H(b(x)) On utilise l x 0 x 0 question précédente pour étudier x H((x)) et x H(b(x)) fin de l méthode Soit f une fonction continue pr morceux sur [;b] et soient 0 = < 1 < < n 1 < n = b ses points de discontinuités b Pr définition, on ppelle intégrle de à b le nombre réel défini pr : f(t)dt = n 1 k+1 f(t)dt On dit qu une fonction est intégrble sur un segment [α;β] si et seulement si f est continue ou continue pr morceux sur [;b] k=0 k wwwmthemtiquesfrst 18/52 bdellh becht

19 mémento ECE1 9 INTÉGRATION Proposition (Reltion de Chsles) : Soit f une fonction intégrble sur un segment [α;β] et soit,b,c trois éléments de [α;β] lors on Pr conséquent f(t)dt = 0 et b b f(t)dt = f(t)dt = f(t)dt b c b f(t)dt + c f(t)dt Proposition (Linérité de l intégrle) : Soient f et g deux fonctions intégrbles sur un segment [α;β] et soit,b trois éléments de [α;β] lors on b (f + g) = b b f + g, b (f g) = b b f g, si λ est une constnte, b b λf = λ f Proposition (Inéglités et intégrle) : Soient f et g deux fonctions intégrbles sur un segment [α;β] et soit,b trois éléments de [α;β] tel que b 1 Si t [;b], f(t) g(t) t [;b] lors f b b 2 Inéglité tringulire f(t)dt f(t) dt 3 Si f(t) 0 t [;b] et b b f(t)dt = 0 lors t [;b], f(t) = 0 b g En prticulier, si f 0 sur [,b], lors 4 Inéglité de l moyenne S il existe deux nombres réels m et M tels que m f(t) M t [;b] lors m(b ) f(t)dt M(b ) b b f 0 Théorème (Intégrtion pr prtie) : Soient u et v deux fonctions C 1 sur [;b] lors : Théorème (chngement de vrible) : b u(t)v (t)dt = [u(t)v(t)] b b u (t)v(t)dt Soient f une fonction intégrble sur [;b] et u une fonction C 1 sur [;b] telle que u([α;β]) u(β) β [;b] lors on : f(x)dx = f(u(t))u (t)dt u(α) α Remrque : On effectué le chngement de vrible x = u(t), on n oublie que dx = u (t)dt et on modifie les bornes d intégrtion en conservnt l ordre Corollire : Soit f une fonction intégrble sur [ ;] Si f est pire sur [ ;] lors Si f est impire sur [ ;] lors f(t)dt = 2 b 0 f(t)dt = 0 f(t)dt wwwmthemtiquesfrst 19/52 bdellh becht

20 mémento ECE1 10 SUITES RÉELLES Soit f une fonction continue sur [;b] et n un nombre entier strictement positif On ppelle nème somme de Riemnn de f sur [;b] le nombre réel défini pr : S n (f) = b n 1 f( + k b n n ) Soit f une fonction continue sur [;b] lors l suite (S n (f)) n 1 converge et lim n + S n(f) = b f(t)dt Théorème : k=0 10 Suites réelles 101 Générlités sur les suites On dit qu une suite u converge vers l R si et seulement si pour tout nombre ε > 0, l distnce de u n à l n excède ps ε dès que n est ssez grnd On trduit cette phrse mthémtiquement pr ε > 0, n 0 N tel que n n 0, u n l < ε Le nombre l s ppelle l limite de l suite u et se note lim n + u n On dit qu une suite u diverge vers + (resp ) ssi pour tout nombre A, le terme u n est supérieur (resp inférieur) à A dès que n est ssez grnd On trduit cette phrse mthémtiquement pr A R, n 0 N tel que n n 0, u n > A (resp < A) 1 Toute suite convergente est bornée 2 Si l suite u tend vers l R lors u n n + l 3 Si l suite u tend vers l R lors pour tout nombre entier p, lim n + u n+p = l En prticulier, lim n + u n+1 = l Soit q un nombre réel Alors l suite (q n ) n 0 1 converge vers 0 si et seulement si q < 1 2 converge vers 1 si et seulement si q = 1 3 diverge vers + si et seulement si q > 1 4 ne possède ps de limite si et seulement si q 1 wwwmthemtiquesfrst 20/52 bdellh becht

21 mémento ECE1 10 SUITES RÉELLES Théorème (Opértions sur les limites) : Soient (u n ),(v n ) deux suites On note l = signifie forme indéterminée lim u n et l = n + lim v n L nottion FI n + lim n + v n ) n + l + 1 Addition: FI l l + l + inverse: + FI + + lim n l 0 l = 0 + n lim 0 FI 0 n + u n l lim n v n ) n + l < 0 l = 0 l > FI 2 multipliction: l < 0 + l l 0 l l l = 0 FI FI l > 0 l l 0 l l FI L division s obtient pr utilistion du cs de l multipliction et de l inverse en remrqunt que u n = u n 1 v n v n Proposition (Limites et inéglités) : 1 Si u est une suite positive et converge vers l lors l 0 2 Soient u et v sont deux suites telles que n 0, u n v n () Si les suites u et v convergent vers l et l lors l l (b) Si l suite v tend vers + lors u tend vers + (c) Si l suite u tend vers lors v tend vers Théorème (Théorème d encdrement) : Soient u,v,w trois suites telles que : n 0, u n v n w n Supposons que les suites u et v convergent vers une même limite l Alors l suite v converge vers l Corollire : Soient u une suite convergente et v une suite tendnt vers 0 Alors l suite (u n v n ) n 0 converge vers 0 Théorème (Suites monotones) : 1 Toute suite croissnte et mjorée est convergente 2 Toute suite décroissnte et minorée est convergente On dit que deux suites u et v sont djcentes si et seulement si 1 l suite u est croissnte 2 l suite v est décroissnte 3 lim n + (u n v n ) = 0 Théorème : Deux suites djcentes sont convergentes et ont l même limite wwwmthemtiquesfrst 21/52 bdellh becht

22 mémento ECE1 10 SUITES RÉELLES 102 Comprison des suites Soient u et v deux suites On dit qu u voisinge de l infini 1 u est négligeble devnt v et on l écrit u n = o(v n) si et seulement si ( v n 0 à prtir n + u n d un certin rng et lim = 0) n + v n 2 u est équivlente à v et on l écrit u n v n si et seulement si ( v n 0 à prtir d un certin n + rng et lim n + u n v n = 1) Soitent u et v deux suites : u n v n u n v n = o(v n) u n = v n + o(v n ) n + n + u n = o(1) si et seulement si u n 0 n + n + Soit l un nombre non-nul Alors u n u n n + u n Si u n n + v n lors v n Si u n n + v n et v n Si u n n + v n lors u n s n n + u n n + w n lors u n n + v ns n n + l si et seulement si u n n + w n Si u n n + v n et si s n 0 à prtir d un certin rng lors u n s n l n + v n n + s n Si u n n + v n et u n > 0 à prtir d un certin rng lors α R, u α n Si u n v n lors u n v n n + n + n + vα n Théorème : Deux suites équivlentes u et vsont de même nture, c est-à-dire u converge si et seulement si v converge et dns ce cs elles ont l même limite u diverge vers + si et seulement si v diverge vers + u n ps de limite si et seulement si v n ps de limite Théorème : Si u n = n + o(v n) et si 1 l suite v tend vers 0 lors u tend vers 0 2 u n + lors v n + n + n + wwwmthemtiquesfrst 22/52 bdellh becht

23 mémento ECE1 10 SUITES RÉELLES (Tble de références) n α = n + o(nβ ) si et seulement si 0 < α < β 1 n α = o( 1 ) si et seulement si 0 < β < α n + nβ (lnn) α = = n + o(nβ ) α,β > 0 n α = n + o(qn ) si q > 1 et > 0 q n = o( 1 ) si q < 1 et > 0 n + nα Un polynome en n est équivlent à son monome de plus hut degré Remrque (Règles pour lever les indétermintions) : Formes indéterminées du type + (+ ) Pour lever une telle indétermintion, on fctorise le terme qui croit le plus vite en vleur bsolue vers + Formes indéterminées du type Pour lever une telle indétermintion, on fctorise le terme qui croit le plus vite en vleur bsolue vers + u numérteur et u dénominteur Formes indéterminées du type 0 (resp0 ) Pour lever une telle indétermintion, on fctorise le terme 0 qui décroit le plus vite en vleur bsolue vers 0 u numérteur et u dénominteur (resp on fctorise dns le premier fcteur le terme qui décroit le plus vite en vleur bsolue vers 0 et dns le second fcteur le terme qui croit le plus vite en vleur bsolue vers Pln d études des suites du type u n+1 = f(u n ) Dns toute l suite f désigner une fonction définie sur un intervlle I Définition (Intervlle stble) : On dit que J est un intervlle stble pour f si et seulement si f(j) J Remrque : Pour déterminer f(i), on dresse le tbleu de vrition de f sur J puis on le compre à J Soit x I On dit que x est un point fixe de f si et seulement si f(x) = x Remrque : En générl, il est impossible de justifier l existence de tous les termes des suites de l forme u n+1 = f(u n ) Supposons que l intervlle I soit un intervlle stble de f et que u 0 I Alors n N u n existe et u n I (cel se démontre pr récurrence en remrque que si u n I lors f(u n ) I et u n+1 = f(u n )) Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervlle l et u une suite convergent vers l Alors l suite (f(u n )) n 0 converge vers f(l) Pr conséquent si l suite u n+1 = f(u n ) converge vers l lors l = f(l) et l est un point fixe de f Si en outre, u n (,b) lors l [,b] Méthode : Considérons mintennt une suite u n+1 = f(u n ) telle que I soit un intervlle stble pour f et u 0 I Premier cs: f est croissnte et u 0 est explicite Supposons que f est continue sur un intervlle I stble pr f et contennt u 0 donc n N u n existe et u n I Supposons en outre que f est croissnte sur l intervlle I On clcule lors explicitement u 1 (= f(u 0 )) et on distingue les deux cs suivnts : Si u 0 u 1 On montre pr récurrence que l suite u est croissnte en remrqunt que u n u n+1 implique que f(u n ) f(u n+1 ) donc u n+1 u n+2 wwwmthemtiquesfrst 23/52 bdellh becht

24 mémento ECE1 11 SÉRIES NUMÉRIQUES Si u 0 u 1 L suite (u n ) est lors décroissnte et l preuve est semblble à l précédente Second cs f est décroissnte et u 0 est explicite Nous introduisons lors deux suites uxiliires et b définies pr : n = u 2n et b n = u 2n+1 Clculons n+1 n+1 = u 2(n+1) = u 2n+2 = f(u 2n+1 ) = f(f(u 2n )) = (f f)( n ) Donc l suite vérifie une reltion de récurrence donnée pr : n+1 = (f f)( n ) Pr définition n N, n (= u 2n ) I qui est un intervlle stble de f f et l fonction f f est croissnte sur I! On peut donc étudier l monotonie de l suite à l ide du premier cs en remplçnt l fonction f pr l fonction f f De même, l suite b est définie pr l reltion b n+1 = (f f)(b n ) et on procède de même que pour Troisième cs f(x) x est de signe constnt sur I Alors l suite u est croissnte (resp décroissnte) Cel résulte du petit clcul suivnt : n N, u n+1 u n = f(u n ) u n 0 (resp 0) Dns le premier cs et le second cs, on dispose d une suite (u n ) qui est monotone et pour justifier l convergence, il suffit d ppliquer les théorèmes de convergence des suites monotones Le second cs est plus délict Les suites ( n ) n et (b n ) sont monotones et on essit d ppliquer les théorèmes sur les suites monotones On utilise ensuite le fit que l suite (u n ) converge si et seulement si les deux suites ( n ) et (b n ) convergent et que lim n n = lim n b n Qutrième cs Appliction du TAF Supposons que les qutres hypothèses ci-dessous soient stisfitent: f soit de clsse C 1 sur un intervlle stble [;b] (vec,b deux nombres réels), f dmet un unique point fixe α sur le segment [;b], il existe un nombre réel k [0;1[ tel que : x [;b], f (x) k u 0 [,b] Le premiert et le qutrième point nous permettent d ffirmer que : n N u n existe et u n [;b] l inéglité des ccroissements finis nous fournit x,y [;b], f(x) f(y) k x y Puisque n N u n [;b] et α [;b], nous remplçons x pr u n et y pr α dns l inéglité précédente, ce qui nous donnent n N, f(u n ) f(α) k u n α Or f(u n ) = u n+1 et f(α) = α d où n N, u n+1 α k u n α puis on démontre pr récurrence que n N, u n α k n u 0 α ce qui nous fournit l convergence de l suite (u n ) vers α fin de l méthode 11 Séries numériques Soit (u n ) n 0 une suite On ppelle série de terme générl u n l suite S définie pr S n = n u k et on l note trditionnellement n 0 u n On dit que l série n 0 u n converge si et seulement si l suite (S n ) n 0 converge dns R On dit que l série n 0 u n diverge si et seulement si l suite (S n ) n 0 diverge Soit u n une série convergente On note + u n l limite de l suite S et on l ppelle somme de n 0 n=0 l série u n n 0 Lemme : Si l série u n converge lors pour tout entier positif n 0 l série u n converge et + n 0 n n 0 n=0 Lemme : Si l série u n converge lors u n 0 (ou encore u n 0) n 0 n + n + k=0 u n = n0 1 n=0 u n + + n=n 0 u n wwwmthemtiquesfrst 24/52 bdellh becht

25 mémento ECE1 12 FONCTIONS NUMÉRIQUES DE DEUX VARIABLES RÉELLES Proposition (Opertion sur les series) : Soient λ est un nombre réel et u n, v n deux séries convergentes lors n 0 n 0 1 l série (u n + v n ) est convergente et + (u n + v n ) = + u n + + v n n 0 n=0 n=0 n=0 2 l série λu n est convergente et + λu n = λ + u n n 0 n=0 n=0 On dit l série u n est bsolument convergente si et seulement si série u n est convergente n 0 n 0 Si l série u n est bsolument convergente lors l série n est convergente n 0 n 0u Remrque : L réciproque est fusse en générl, c est-à-dire une série bsolument convergente n est ps nécessirement convergente L série n 0q n s ppelle série géométrique de rison q Proposition L série : q n (resp nq n, resp n 2 q n ) est convergente si et seulement si q < 1 Dns ce cs n 0 n 0 + n=0 n 0 q n = q, + nq n q = (1 q) 2, n 2 q n = n=0 n=0 q(q + 1) (1 q) 3 L série x n s ppelle série ssociée à l exponentielle n 0 n! Pour tout nombre réel x, l série n 0 x n n! est convergente et + n=0 x n n! = ex 12 Fonctions numériques de deux vribles réelles 121 Le pln R 2 Rppellons pour commencer que R 2 désigne l ensemble des couples (x,y) où x et y sont des nombres réels Trditionnellement, on représente grphiquement R 2 sous l forme d un pln muni du repère orthonormée (O, i, j ) Un élément (x,y) de R 2 est ssocié u point M du pln de coordonnées (x,y) D utre prt tout point M du pln est ssocié nturellement à son couple de coordonnées (x,y) qui est un élément de R 2 L xe des bscisses se note trditionnellement (Ox) (il s git d une droite) et l xe des ordonnées (Oy) L éqution de l droite (Ox) est l ensemble des points M(x,y) dont l ordonnée est nulle donc (0x) = {(x,y) R 2 tel que y = 0} On dit que y = 0 est l éqution de l droite (Ox) De fçon nlogue, l droite (Oy) pour éqution x = 0 ie wwwmthemtiquesfrst 25/52 bdellh becht

26 mémento ECE1 12 FONCTIONS NUMÉRIQUES DE DEUX VARIABLES RÉELLES possède comme éqution (0y) = {(x,y) R 2 tel que x = 0} Plus générlement, toute droite du pln possède une éqution du type y = x + b ou x = c ou de mnière équivlente, l éqution de toute droite du pln est de l forme x + by + c = 0 Si f désigne une fonction d une vrible réelle dont le domine de définition est un ensemble I L représenttion grphique de f, qui est définie rppelons-le pr {(x,y) R 2 tels que x I et y = f(x)} On déduit nturellement trois nouveux sous-ensembles remrqubles 1 L ensemble "u dessus" (resp strictement "u dessus") du grphique de f est défini pr {(x,y) R 2 tels que x I et y f(x) (resp y > f(x))} 2 L ensemble "en dessous" (resp strictement "en dessous" du grphique de f est défini pr {(x,y) R 2 tels que x I et y f(x) (resp y < f(x))} 3 L ensemble complémentire du grphique de f ("tout suf le grphe de f ) défini pr {(x,y) R 2 tels que x I et y f(x)} qui n est que l réunion des ensembles "u dessus et en dessous" du grphique de f Un utre type sous-ensembles de R 2 est fourni pr les cercles Pr exemple, le cercle de centre l origine (0,0) et de de ryon r possède comme éqution C(O,r) = {(x,y) R 2 tel que x 2 + y 2 = r 2 } Plus générlement, l éqution du cercle C((,b),r) de centre (,b) et de ryon r est C((,b),r) = {(x,y) R 2 tel que (x ) 2 + (y b) 2 = r 2 } 122 Fonctions numériques de deux vribles réelles On ppelle fonction numérique de deux vribles réelles l donnée d un sous-ensemble Ω de R 2 et d une ppliction qui à tout couple (x,y) de R 2 ssocie un unique nombre réel f(x,y) Exemple : Les fonctions f(x,y) = x + y et g(x,y) = exp(xy) + y 2 1 sont des fonctions numériques de deux vribles réelles Le domine de définition d une fonction f est l ensemble des couples (x,y) R 2 pour lesquels l expression f(x,y) existe Exemple : Soit f l fonction définie pr f(x,y) = ln(x + y) L expression f(x,y) est définie si et seulement si x + y > 0 y > x Soit f une fonction numérique de deux vribles réelles On ppelle surfce de niveu c l ensemble des points (x,y) du pln tels que f(x,y) = c (f est constnte sur l ligne de niveu) Exemple : L surfce de niveu c de l fonction x + 3y est l ensemble {(x,y) R 2 tels que 2x + 3y = 2} = {(x,y) R 2 tels que y = c 3 2x 3 } Il s git donc d une droite De l même fçon, on constte que toutes les surfces de niveu de cette fonction sont des droites du pln Exemple : L surfce de niveu c de l fonction x 2 +y 2 est l ensemble N c = {(x,y) R 2 tels que x 2 +y 2 = c} On remrque pour commencer que x 2 et y 2 sont toujours des nombres positifs donc x 2 +y 2 est toujours positif Pr conséquent, wwwmthemtiquesfrst 26/52 bdellh becht

27 mémento ECE1 12 FONCTIONS NUMÉRIQUES DE DEUX VARIABLES RÉELLES 1 si c est strictement négtif, l ensemble N c se réduit à l ensemble vide 2 si c est nul, on x 2 + y 2 = 0 ce qui implique que x = y = 0 donc N c = {(0,0)} 3 si c est strictement positif, l ensemble N c est un cercle de centre (0,0) et de ryon c Définition des dérivées prtielles d ordre 1 : Soit (x,y) f(x,y) une fonction On ppelle, lorsqu elle existe, 1 dérivée prtielle de f pr rpport à x u point (x 0,y 0 ), l dérivée de l fonction x f(x,y 0 ) u point x = x 0 On note cette dérivée prtielle f x (x 0,y 0 ) 2 dérivée prtielle de f pr rpport à y u point (x 0,y 0 ), l dérivée de l fonction y f(x 0,y) u point y = y 0 On note cette dérivée prtielle f y (x 0,y 0 ) Remrque : Une dérivée prtielle pr rpport à x consiste simplement à considérer que y est fixé et à dériver pr rpport à x On l remrque dule pour y Exemple : Soit f(x,y) = exp(xy) + y 2 1 Pour clculer f f, on considère que y est fixé, donc x x (x,y) = y exp(xy) Pour clculer f y f, on considère mintennt que x est fixé, donc (x,y) = xexp(xy) + 2y y Définition des dérivées prtielles d ordre 2 : Soit (x,y) f(x,y) une fonction Les dérivées prtielles d ordre 2 de f sont les fonctions, lorsqu elles existent : x ( f x ) (noté ussi 2 f x 2 ), y ( f y ) (noté ussi 2 f x 2 ), y ( f x ) (noté ussi 2 f y x ), x ( f y ) 2 f (noté ussi x y ) Exemple : Soit f(x,y) = exp(xy) + y f x 2 (x,y) = x ( f x (x,y)) = x (y exp(xy)) = y2 exp(xy) 2 f y 2 (x,y) = y ( f y (x,y)) = y (xexp(xy) + 2y) = x2 exp(xy) f y x (x,y) = y ( f x (x,y)) = (y exp(xy)) = exp(xy) + xy exp(xy)) y 2 f x y (x,y) = x ( f y (x,y)) = (xexp(xy) + 2y) = exp(xy) + xy exp(xy) x Remrque : Il est intéressnt de noter que 2 f y x = 2 f Ce résultt (ppelé lemme de Schwrz) est vlble pour une x y vste clsse de fonctions Il montre qu en générl, il n y ps lieu de tenir compte de l ordre d pplictions des dérivtions Définition des dérivées prtielles d ordre r : Soit (x,y) f(x,y) une fonction Les dérivées prtielles d ordre r de f sont toutes les dérivées prtielles du premier ordre de toutes les dérivées prtielles de f d ordre (r 1) Exemple : x ( x ( y ( x ( f)))) est une dérivée prtielle d ordre 5 de f tout comme y x ( y ( y ( x ( x f)))) Le lemme de Schwrz montre que l ordre d ppliction des dérivtions n est ps importnt donc x ( x ( y ( x ( y f)))) = x ( y ( y ( x ( 5 f f)))) On note lors cette vleur commune x x 3 y 2 (le 5 signifint dérivée prtielle d ordre 5, x 3 signifint que l on dérivée 3 fois pr rpport à x et y 2 2 fois pr rpport à y, l ordre n ynt ps d importnce) wwwmthemtiquesfrst 27/52 bdellh becht

28 mémento ECE1 13 SYSTÈMES D ÉQUATIONS LINÉAIRES 13 Systèmes d équtions linéires 1 Soient p et n deux nombres entiers non-nuls On ppelle système d équtions linéires de p équtions à n inconnues (pellé ussi système p n) un système de l forme 1,1 x 1 + 1,2 x ,n x n = b 1 (L 1 ) 2,1 x 1 + 2,2 x ,n x n = b 2 (L 2 ) (S) p,1 x 1 + p,2 x p,n x n = b p (L p ) où les ( i,j ) 1 i p et (b i ) 1 i p sont des nombres réels et x 1,,x n sont les inconnues Le nombre 1 j n i,j s ppelle le coefficient de l jème inconnue x j dns ième éqution (L i ) Si n = p, on dit que le système (S) est crré d ordre n 2 On dit que le système (S) est homogène (ou sns second membre) si et seulement si b 1 = = b p = 0 Dns ce cs, l p-liste (0;;0) est solution de (S) 3 On ppelle système homogène à (S) le système obtenu à prtir de (S) en remplçnt tous les nombres b i pr 0 4 Résoudre ce système, c est déterminer toutes les p-listes (x 1,,x n ) de réels vérifint simultnément les p équtions L 1,,L p 5 On dit que deux systèmes (S) et (S ) sont équivlents si et seulement si ils ont les mêmes solutions On dit qu un système (S) de tille p n est tringulire si et seulement il est de l forme 1,1 x 1 + 1,2 x 2 + 1,3 x 3 + 1,4 x ,n x n = b 1 (L 1 ) 2,2 x 2 + 2,3 x 3 + 2,4 x 4 + 2,n x n = b 2 (L 2 ) (S) 3,3 x 3 + 3,4 x ,n x n = b 3 (L 3 ) p,p x p + + p,n x n = b p (L p ) Définition Opértions élémentires : Soit (S) un système n p On ppelle opértion élémentire l une des trois opértions suivntes : 1 L échnge de l ième ligne L i et de l jème colonne L j se note L i L j 2 Soit λ un nombre réel non-nul Le remplcement de l ième ligne L i pr l ligne λl i se note L i λl i (on multilplie l ième ligne L i pr λ) 3 Soit λ un nombre réel quelconque Le remplcement de l ième ligne L i pr L i + λl j se note L i L i +λl i (on multilplie l jème ligne L j pr λ et on jouté le résultt à l ième ligne) Tout système obtenu à prtir de S en trnsformnt l une des ses équtions pr une trnsformtion élémentire est équivlent à (S) Méthode du pivot de Guss : Soit (S) un système n p de l forme (S) : 1,1 x 1 + 1,2 x ,n x n = b 1 (L 1 ) 2,1 x 1 + 2,2 x ,n x n = b 2 (L 2 ) p,1 x 1 + p,2 x p,n x n = b p (L p ) 1 L un u moins des coefficients de x 1 est non-nul On en choisit un, que l on ppeler premier pivot, et supposons qu il se situe à l ième ligne L i On effectue l opértion élémentire L 1 L i (on met l i ième wwwmthemtiquesfrst 28/52 bdellh becht

29 mémento ECE1 13 SYSTÈMES D ÉQUATIONS LINÉAIRES ligne en première position) Dorénvnt, le système est de l forme (S 1 ) : (1) 1,1 x 1 + (1) 1,2 x (1) 1,n x n = b (1) 1 (L 1 ) (1) 2,1 x 1 + (1) 2,2 x (1) 2,n x n = b (1) 2 (L 2 ) (1) p,1 x 1 + (1) p,2 x (1) p,nx n = b (1) p (L p ) où (1) 1,1 0 Ensuite on effectue les opértions élémentires suivntes : i {2;;p} L i L i + λ i,1 L i qui nous permettent d obtenir le système (S 2 ) équivlent à (S) donné pr (S 2 ) (1) 1,1 x 1 + (1) 1,2 x (1) 1,n x n = b (1) 1 (L 1 ) (2) 2,2 x (2) 2,n x n = b (2) 2 (L 2 ) (2) p,2 x (2) p,nx n = b (2) p (L p ) (S 2) 2 On ne s occupe plus de l première ligne, sélectionne une vrible intervennt dns (S 2) et on pplique le procédé précédent u système (S 2) En itérnt ce processus en éliminnt une à une les inconnues, on boutit à un un système (S ) tringulire équivlent à (S) de l forme 1,1x 1 + 1,2x ,nx n = b 1 équtions principles (S ) r,rx r + + r,nx n = b r 0 = b r+1 équtions uxiliires 0 = b p où r est un entier ps nécessirement égl à p (ce provient du fit que des inconnues ont pu dispritre lors du pivot de Guss sns que l on se soit intéressé à leurs dispritions)et où tous les pivots i,i sont nonnuls On dit que que les inconnues x 1,,x r sont les inconnues principles et x r+1,,x n sont les inconnues uxiliires fin de l méthode Théorème : Soit (S) système p n Le pivot de Guss montre que (S) est équivlent à un système de l forme 1,1x 1 + 1,2x ,nx n = b 1 équtions principles (S ) r,rx r + + r,nx n = b r 0 = b r+1 équtions uxiliires 0 = b p où les tous les nombres 1,1,, r,r sont non nuls Alors le système (S) dmet des solutions si et seulement si toutes les équtions uxiliires de (S ) sont vérifiées Méthode : Supposons que (S) dmet des solutions donc les équtions uxiliires de (S ) sont nécessirement vérifiées Ainsi (S) est équivlent u système vec i {1;;r}, i,i 0 (S ) 1,1x 1 + 1,2x ,nx n = b 1 (L 1 ) r,rx r + + r,nx n = b r (L r ) 1 Pusique r,r 0, on peut donc exprimer x r en fonction de x r+1,,x n wwwmthemtiquesfrst 29/52 bdellh becht

30 mémento ECE1 14 MATRICES 2 On substitue x r dns (L r 1 ) et puisque r,r 0, on exprime x r 1 en fonction de x r+1,,x n 3 On itère le processus et on obtient u finl que (S) est équivlent à un système (S ) de l forme x 1 = 1,r+1x r ,nx n + b 1 x 2 = 2,r+1x r ,nx n + b (S 2 ) x r = r,r+1x r r,nx n + b r et les vribles x r+1,,x n peuvent prendre toutes les vleurs réelles possibles et imginbles 1,r+1x r ,nx n + b 1 Ainsi l ensemble des solutions du systèmes (S) est { r,r+1x r r,nx n + b r x r+1, x r+1,,x n R} fin de l méthode x n On dit qu un système crré d ordre n est de Crmer si et seulement si il possède une unique n-liste solution Théorème : 1 Un système (S) crré d ordre n est de Crmer si et seulement si le pivot de Guss fit ppritre n pivots successifs non-nuls 2 Pr conséquent, un système (S) crré d ordre n et homogène est de Crmer si et seulement si il possède comme unique solution l n-liste (0;;0) 3 Un système crré et tringulire est de Crmer si et seulement si tous ses coefficients digonux sont non nuls Théorème : Un système est de Crmer si et seulement si son système homogène ssocié est de Crmer 14 Mtrices 141 Générlités sur les mtrices 1 Soient n,p deux nombres entiers non-nuls On ppelle mtrice à n lignes et p colonnes tout tbleu rectngulires de nombres réels comportnt n lignes et p colonnes 2 L ensemble des mtrices à n lignes et p colonnes se note M n,p (R) 3 Soit A M n,p (R) Le coefficient situé à l intersevtion de l ième ligne et kème colonne ne note i,j et on écrit lors 1,1 1,2 1,,j 1,p 2,1 2,2 2,,j 2,p A = i,1 i,2 i,j i,p n,1 n,2 n,j n,p ou encore A = ( i,,j ) 1 i n 1 j p 4 Un élément de M 1,p (R) (resp M n,1 (R)) s ppelle une mtrice ligne (resp colonne) 5 L mtrice nulle de M n,p (R), que l on note 0 n,p, est l mtrice dont tous les coefficients sont nuls wwwmthemtiquesfrst 30/52 bdellh becht

31 mémento ECE1 14 MATRICES Définition (Addition de deux mtrices) : Soient A = ( i,,j ) 1 i n et B = (b i,,j ) 1 i n deux éléments de M n,p (R) On ppelle somme de A et 1 j p 1 j p B l élément de M n,p (R) noté A + B défini pr A + B = (c i,,j ) 1 i n où 1 j p c i,,j = i,,j + b i,,j i {1;;n} et j {1;;p} Définition (multipliction d une mtrice pr un réel) : Soient A = ( i,j ) 1 i n un élément de M n,p (R) et λ un nombre réel On ppelle produit de A pr 1 j p λ l élément de M n,p (R) noté λa défini pr λa(c i,j ) 1 i n où 1 j p c i,j = λ i,,j i {1;;n} et j {1;;p} Définition (produit de deux mtrices) : Soient A = ( i,,j ) 1 i n un élément de M n,p (R) et B = (b i,,j ) 1 i n un élément de M p,m (R) On 1 j p 1 j p ppelle produit de A pr B l élément de M m,n (R) noté A B (ou AB) défini pr A B = (c i,,j ) 1 i n 1 j p où c i,,j = i,1 b 1,,j + i,2 b 2,,j + + i,p b p,,j i {1;;m} et j {1;;n} Remrque : Il est importnt que l ordre d écriture du produit est importnt On peut s en rppeller en utilisnt le schém suivnt i ième ligne i,1 i,2 i,p b 1,,j b 2,,j = b p,,j } {{ } j ième colonne c i,j coefficient c i,j Soit A = ( i,,j ) 1 i n un élément de M n,p (R) On ppelle trnsposé de A l mtrice de M p,n (R) 1 j p notée t A = (c i,,j ) 1 i p définie pr 1 j n c i,j =,j,i i {1;;n} et j {1;;p} En d utres termes, t A est l mtrice obtenue à prtir de A en échngent les lignes vec les colonnes Proposition (Addition des mtrices) : Soients A,B,C trois éléments de M n,p (R) A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), 0 n,p + A = A + 0 n,p = A A + ( A) = ( A) + A = 0 n,p, A + B = C A = C B, A + C = B + C A = C wwwmthemtiquesfrst 31/52 bdellh becht

32 mémento ECE1 14 MATRICES Proposition (multipliction des mtrices) : Soients A M q,n (R),B M n,p (R) et λ,µ deux nombres réels 1A = A, (λ + µ)a = λa + µb, λ(a + B) = λa + λb, λ(µa) = (λu)a, A(λB) = (λa)b = λ(ab) Proposition (Trnsposition) : 1 Soients A,B deux éléments de M n,p (R) et λ un nombre réel 2 Si A M q,n (R) et B M n,p (R) lors t (AB) = t B t A t (A + B) = t A + t B, t (λa) = λ t A, t ( t A) = A 142 Mtrices crrés 1 Une mtrice crré d ordre n est un élément de M n,n (R) L ensemble des mtrices crré d ordre n se note ussi M n (R) L mtrice nulle de M n (R) se note 0 n 2 On ppelle digonle d une mtrice crré A = ( i,,j ) 1 i n les n nombres 1,1,, n,n 1 j n 1, Une mtrice digonle d ordre n est une mtrice de l forme n,n L mtrice ppellé identité de M n (R) et noté I n est l mtrice I n = Une mtrice sclire est une mtrice de l forme λi n vec λ R 6 Une mtrice tringulire supérieure (resp inférieure) est une mtrice de l forme 1,1 1,2 1,n 1 1,n 1, ,2 2,1 2,2 0 0 (resp 3,2 ) n 1,n 1 n 1,n n 1,n n,n n,n 1 n 1,n n,n 1 n,n 7 On dit qu une mtrice A est symétrique si et seulement si t A = A Soit A M n (R) et k un entier On pose : A 0 = I n et si k 1, A k = A A A } {{ } k fois Soit A M n (R) et n,m deux entiers positifs Alors on A n A m = A n+m Remrque : Pr contre, en générl (AB) k A k B k Cel résulte que, dns M n (R), AB BA wwwmthemtiquesfrst 32/52 bdellh becht

33 mémento ECE1 14 MATRICES Définition (mtrices commutntes) : Soient A et B M n (R) On dit que A et B commutent (ou A et B sont permutbles ) si et seulement si : AB = BA Soient A,B,C trois éléments de M n (R) I n A = AI n = A, A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA Théorème Formule du binôme : Soient A et B deux mtrices qui commutent Alors pour tout entier p, on : p (A + B) p = CpA k k B p k k=0 143 Mtrices inversibles Soit A M n (R) On dit qu une mtrice A est inversible si et seulement si il existe B M n (R) telle que AB = I n et BA = I n Si A est inversible, lors l mtrice B est ppellé inverse de A et on l note A 1 L ensemble des mtrices de M n (R) qui sont inversibles est noté GL n (R) Lemme : Si A est inversible, lors son inverse est unique En prticulier, A est inversible si et seulement si il existe B telle que AB = I n Dns ce cs, B = A 1 A est inversible si et seulement si il existe B telle que BA = I n Dns ce cs, B = A 1 Ce lemme est très utile dns l prtique puisqu il nécessite que l vérifiction d une églité et non de deux comme l définition de l inversibilité l exige Méthode (Inversibilité et inverses de certines mtrices) : Soit A une mtrice telle que A A I = 0 Alors A A 2003 = 2I A(A A 2002 ) = 2I A( A A 2002 ) = I 2 L mtrice B = A A 2002 = (A A 2002 ) vérifie AB = I donc on peut ffirmer que A est inversible et son inverse est B c est-à-dire A 1 = 1 2 (A A 2002 ) fin de l méthode Remrque : Ce risonnement est vlble cr A stisfit à une éqution polynôme possédnt un coefficient constnt non nul, c est-à-dire que l mtrice I intervient dns l éqution Pr exemple, si A 2 + 2A = 0, on en déduit que A(A + 2I) = 0 De cette dernière églité, on ne peut boutir à une éqution du type AB = I donc on ne peut conclure et il fudr procéder d une utre mnière wwwmthemtiquesfrst 33/52 bdellh becht

34 mémento ECE1 14 MATRICES Soient A,B deux éléments de M n (R) 1 I n est inversible et In 1 = I n Si A GL n (R) lors A 1 GL n (R) et (A 1 ) 1 = A Si A et B GL n (R) lors AB GL n (R) et (AB) 1 = B 1 A 1 Si A 0 n et B 0 n et AB = 0 n lors A et B / GL n (R) 2 Supposons en outre que C GL n (R) Si AC = BC lors A = B Si CA = CB lors A = B Si AC = B lors A = BC 1 Si CA = B lors A = C 1 B 144 Systèmes linéires et mtrices 1,1 x 1 + 1,2 x ,p x p = b 1 2,1 x 1 + 2,2 x ,p x p = b 2 Soit (S) un système p n de l forme (S) Soit A M n,p (R)définie n,1 x 1 + n,2 x n,p x p = b n 1,1 1,2 1,p x 1 2,1 2,2 2,p pr A = insi que X M x 2 1,n(R) et B M 1,p (R) définies pr X = et n,1 n,2 n,p x n b 1 b 2 B = b p Lemme (équivlence entre système linéire et éqution mtricielle) : (x 1,,x n ) est solution du système du système (S) si et seulement AX = B Remrque : L détermintion d une solution (x 1,,x n ) du système (S) est équivlent à l détermintion de l mtrice colonne X donc l résolution du système (S) est équivlente à l résolution de l éqution AX = B L mtrice A est ppellée l mtrice du système (S) Théorème : 1 (S) est un système de Crmer si et seulement si l mtrice A de (S) est inversible 2 Pr conséquent, une mtrice tringulire est inversible si et seulement si tous les termes de s digonle sont non-nuls 3 Une mtrice digonle est inversible si et seulement si tous les termes de l digonle sont non-nuls Remrque : Puisqu un système de Crmer est nécessirement crré, on en déduit qu une mtrice A inversible est nécessirement crrée L réciproque est bien entendue fusse Méthode pour déterminer l inversibilité d une mtrice : Soit A une mtrice crré de tille n Pour que A soit inversible, il est nécessire et suffisnt que le système AX = 0 soit de Crmer Puisqu il est homogène, il est équivlent de dire qu il dmet comme unique solution l mtrice X = 0 En prticulier, pour déterminer l inversibilité de l mtrice A, il suffit de rendre tringulire, pr l méthode du pivot de Guss, le système AX = 0 puis de vérifier si tous les coefficients digonux de ce système tringulire sont non nuls ou non Si tous les coefficients digonux sont non nuls, le système AX = 0 est de Crmer et A est inversible, si u moins un coefficient digonl est nul, lors le système AX = 0 n est ps de Crmer donc A n est ps inversible fin de l méthode wwwmthemtiquesfrst 34/52 bdellh becht

35 mémento ECE1 15 DÉNOMBREMENT Méthode pour clculer l inverse d une mtrice inversible : Soit A M n (R) une mtrice inversible Pour expliciter son inverse, on considère le système AX = B D un point de vue théorique, s solution est X = A 1 B (pr multipliction à guche pr A 1 ) D un point de vue prtique, si l on considère deux mtrices X et B de x 1 1 l forme X = et B = b, le système n n correspondnt à l éqution mtricielle AX = B est de x n b n Crmer, donc on peut expliciter, à l ide de l méthode de notre cher Guss, les inconnues x 1,,x n en fonction de b 1,,b n ce qui nous fournit une mtrice H telle ( que) X = HB Or X ( = A 1 B et X( et B étnt quelconques, 2 1 x on en déduit que H = A 1 Pr exemple, si A =, on pose X = et B = L éqution AX = B 5 3 y) b) { { 2x + y = x = 3 b correspond u système L méthode de Guss nous fournit les solutions donc ( ) ( ) ( ) 5x + 3y = b ( ) y = 5 + 2b x = ce qui nous permet d ffirmer que A y 5 2 b 1 = fin de l méthode 5 2 Remrque : Il est indispensble dns l méthode précédente, de conserver l ordre initil { des vribles Si l on reprend x = 3 b l exemple précédent, on peut dire que les solutions du système AX = B sont Les vribles y = 2b 5 étient ordonnées initilement en x puis y et puis b lors que dns les solutions données ci-dessus, ( elles ) sont 3 1 ordonnées en x puis y et b puis et non puis b En prticulier, on ne peut dire que A 1 = (cel 2 5 découle tout simplement de l reltion fisnt psser d un système à une éqution mtricielle qui est bsée sur l lignement correct des vribles, les sous les, les b sous les b, les x sous les x, etc) 15 Dénombrement Soit E un ensemble On note pr P(E) l ensemble des sous-prties de E Soient A et B deux sous-ensembles de E A B = {x E tel que x A ou x B} A B = {x E tel que x A et x B} A\B = {x E tel que x A et x / B} L ensemble A\B se note encore C A B Dns le cs prticulier où A = E, E\A se note églement CA ou A si A B = on dit que A et B sont disjoints Définition d une prtition : Soient E et I deux ensembles Soient (E i ) i I une fmille de sous-ensembles de E On dit que l fmille (E i ) i I est une prtition de E si et seulement si (E = E i et i,j I, E i E j = si i j) Soient E et F deux ensembles On note E F l ensemble des couples (x,y) où x est un élément de E et y est un élément de F Cet ensemble se prononce E croix F Plus générlement, si E 1,E 2,,E n sont n ensembles, on note E 1 E 2 E n l ensemble formé des n-uplets de l forme (x 1,x 2,,x n ) vec x 1 E 1, x 2 E 2,, x n E n Si, en outre E 1 = E 2 = = E n = E, lors l ensemble E 1 E 2 E n est noté conventionnellement E n Soit A un ensemble comportnt un nombre fini d éléments On ppelle crdinl de A le nombre d éléments de A et on le note crd(a) ou A voire encore #A i I wwwmthemtiquesfrst 35/52 bdellh becht

36 mémento ECE1 15 DÉNOMBREMENT Soit E un ensemble fini et A un sous-ensemble de E Alors crd(a) crd(e) et crd(a) = crd(e) si et seulement si A = E Théorème : Soient A et B deux sous-ensembles d un ensemble fini E 1 Si A B =, lors crd(a B) = crd(a) + crd(b) 2 crd(a\b) = crd(a) crd(a B) 3 crd(a) = crd(e) crd(a) 4 crd(a B) = crd(a) + crd(b) crd(a B) Théorème Crible de Poincrre : 1 Soit (A i ) 1 i n une fmille de prtie d un ensemble finie E Alors on crd( 1 i n +( 1) k 1 A i ) = 1 i n 1 i 1<<i k n crd(a i ) 1 i 1<i 2 n crd(a i1 A i2 ) + 1 i 1<i 2<i 3 n crd(a i1 A ik ) + + ( 1) n crd(a 1 A 2 A n ) 2 En prticulier, si A i A j = si i j i,j {1,,n} crd( crd(a i ) 1 i n 1 i n crd(a i1 A i2 A i3 ) + A i ) = Exemple : Pour comprendre l formule du crible de Poincrré, nous llons l expliciter pour n = 3 crd(a 1 A 2 A 3 ) = 3 crd(a i ) crd(a 1 A 2 ) crd(a 1 A 3 ) crd(a 2 A 3 ) + crd(a 1 A 2 A 3 ) i=1 Si E et F sont deux ensembles finis lors E F est un ensemble fini et crd(e F) = crd(e)crd(f) Plus générlement si E 1,,E n sont des ensembles finis lors E 1 E n est un ensemble fini et crd(e 1 E n ) = crd(e 1 )crd(e n ) En prticulier, si E est un ensemble fini lors E n est un ensemble fini et crd(e n ) = (crd(e)) n Définition d une p-liste : Soit E un ensemble On ppelle p-liste d un ensemble E, tout élément de E p c est-à-dire tout p-uplet de l forme (e 1,,e p ) où e i E i {1,,p} Remrque : Bien entendu, l ordre des éléments est importnt dns une liste cr (2,1) (1,2) Proposition (dénombrement des p-listes d un ensemble à n éléments) : Le nombre de p-listes d un ensemble E à n éléments est n p Définition d un rrngement : Un p-rrngement d un ensemble E est une p-liste de E constituée d éléments deux à deux distincts Proposition (nombre d rrngements d ordre p d un ensemble à n éléments) : Soit E un ensemble à n éléments Si A p n désigne le nombre de p-rrngements de E lors A p n = n(n 1)(n p + 1) = n! (n p)! wwwmthemtiquesfrst 36/52 bdellh becht

37 mémento ECE1 16 PROBABILITÉS SUR UN ENSEMBLE FINI Définition d une permuttion : Soit E un ensemble à n éléments On ppelle permuttion de E tout n-rrngement de E Proposition (nombre de permuttions d un ensemble) : Soit E un ensemble à n éléments Alors il y n! permuttions de E Définition d une combinison : Soit E un ensemble à n éléments On ppelle combinison à p éléments de E toute prtie de E à p éléments Exemple : Si E = {1;;10} lors {2;5;7} et {1;8;10} sont des combinisons à 3 éléments de E Proposition (nombre de combinisons de p éléments d un ensemble à n éléments) : ( ) n Soit E un ensemble à n éléments Si Cn p (ou encore ) désigne le nombre de combinisons à p éléments de E p lors ( ) Cn p n = = Ap n n! = p p! p!(n p)! n N et p {0;;n}, on C p n = C n p n, C 0 n = C n n = 1, C 1 n = C n 1 n = n, C p n = n p Cp 1 n 1 Proposition (le tringle de Pscl) : Pour tous n et p deux nombres entiers positifs tels que p n, on : C p n + C p n+1 = Cp+1 n+1 On peut se souvenir de cette formule en utilisnt le schém suivnt: ( ) n p p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p p + 1 n n + 1 n = 0 1 n = n = n = n = n = ( ) ( ) n n n 1 n 1 p ( p + 1 ) n + 1 n n + 1 n p + 1 Théorème (Formule du binôme de Newton) : Soient,b deux nombres réels et n un entier Alors on ( + b) n = n Cn k k b n k Théorème (nombre de prties d un ensemble à n éléments) : Si E est un ensemble à n éléments lors crd(p(e)) = 2 n k=0 16 Probbilités sur un ensemble fini 161 Générlités wwwmthemtiquesfrst 37/52 bdellh becht

38 mémento ECE1 16 PROBABILITÉS SUR UN ENSEMBLE FINI On ppelle expérience (ou épreuve) létoire toute expérience dont le résultt est ne peut être déterminé à priori Les résultts potentiels d une expérience létoire sont ppelés des évènements Un évènement qui n est jmis rélisé s ppelle évènement impossible et un évènement qui se rélise toujours est un évènement certin Soit Ω un ensemble fini et A une prtie de P(Ω) On dit que A est une tribu (ou σ-lgèbre) de Ω ssi 1 Ω A ("l évènement certin est possible") 2 A A, A A ("si un évènement peut se réliser, son contrire ussi") 3 A 1,,A k A, A 1 A k A ("si deux évènements peuvent se réliser lors l un ou l utre peut se réliser") Dns ce cs, on dit que le couple (Ω,A) est un espce probbilisble Les éléments de A sont ppelés évènements Si en outre, A = P(Ω) les singletons {ω} (ω Ω) sont ppelés les évènements élémentires Exemple : Si Ω est un ensemble fini lors P(Ω) est une tribu de Ω Soit (Ω,A) un espce probbilisble On ppelle probbilté sur (Ω,A) toute ppliction P de A dns [0;1] telle que P(Ω) = 1 et A,B A tels que A B = lors P(A B) = P(A) + P(B) Le triplet (Ω,A,P) est ppelé espce probbilsé fini et A A, P(A) s ppelle l probbilité de A Un évènement A A est dit négligeble si et seulement si P(A) = 0 Soit (Ω,A,P) un espce probbilsé fini et soient A,B deux évènements Alors on P( ) = 0, P(A) = 1 P(A), P(A\B) = P(A) P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) En outre, si A B lors P(A) P(B) Proposition (Crible de Poincrré) : Soit (Ω,A,P) un espce probbilsé fini et soit (A i ) 1 i n une fmille de prtie d un ensemble finie E Alors on P( A i ) = P(A i ) P(A i1 A i2 ) + P(A i1 A i2 A i3 ) + 1 i n 1 i n +( 1) k 1 1 i 1<i 2 n 1 i 1<<i k n 1 i 1<i 2<i 3 n P(A i1 A ik ) + + ( 1) n P(A 1 A 2 A n ) En prticulier, si A i A j = si i j i,j {1,,n} : P( A i ) = P(A i ) 1 i n 1 i n Proposition (Crctéristion des probbilités) : Soit un espce probbilisé fini (Ω,P(Ω)) tel que Ω = {ω 1 ;;ω n } 1 Si P est une probbilité sur (Ω,P(Ω)) lors on n P({ω k }) = 1 2 Soit p 1,,p n n nombres réels positifs tels que n p k = 1 Alors il existe une unique probbilité P sur (Ω,P(Ω)) tel que k=0 k {1;;n} P({ω k }) = p k Dns ce cs, si A = {y 1 ;;y s } P(Ω) lors P(A) = s P({y k }) k=0 wwwmthemtiquesfrst 38/52 bdellh becht

39 mémento ECE1 16 PROBABILITÉS SUR UN ENSEMBLE FINI 1 On dit que deux évènements sont équiprobbles si et seulement si ils ont l même probbilité 2 Une probbiltité est dite uniforme si et seulement si tous les évènements élémentires sont équiprobbles Théorème : Soit (Ω,P(Ω),P) un espce probbilsé fini tel que l probbilité P soit uniforme Alors on A P(Ω) P(A) = crd(a) crd(ω) Trditionnelement, on trduit cette formule pr P(A) = nombre de cs où A se rélise lors de l expérience nombre de cs possibles de résultts de l expérience 162 Probbilités conditionnelles Théorème : Soit (Ω,A,P) un espce probbilisé fini et A un évènement de probbilité non-nulle Alors l ppliction P A définie sur A pr P A (B) = P(B A) P(A) B A définie une probbilté sur (Ω,A) On l ppelle probbibilté conditionnelle reltivement à A ou probbilité schnt A P A (B) est églement notée P(B/A) même si P A (B) est désormis l nottion du progrmme Méthode : En générl, pour clculer une probbilité conditionnelle P A (B), il est indispensble de considérer que l évènement A est rélisé On interprète dès lors l évènement B en tennt compte de cette rélistion Pr exemple, On pioche sns remise 3 boules dns une urne contennt 4 boules blnches et 3 boules noires On souhite clculer l probbilité d obtenir deux boules blnches et un noire schnt que l première boule tirée est noire Cel signifie que l on déjà pioché une boule et que cette boule est noire L urne contient donc 4 boules blnches et 2 boules noires Ce fit étnt cquis, on souhite mintennt voir u finl deux boules blnches et une boule noire Puisque l on une boule noire déjà, il suffit de piocher deux boules blnches dns l urne contennt 4 boules blnches et 2 boules noires L probbilité conditionnelle est donc C2 4 C 2 6 prmi 4 en piochnt deux boules prmi 6) Pr contre, le clcul C1 3 C 2 4 C 3 7 (deux blnches correspond à obtenir deux blnches et une noire dns l urne initile sns exiger l moindre condition (en prticulier, d voir l boule noire à l première pioche) fin de l méthode Corollire : P A (B) = 1 P A (B), Si C B lors P A (C) P A (B), P A (C B) = P A (C) + P A (B) P A (C B) L formule du crible de Poincrré reste vrie en remplçnt P pr P A Proposition (probbilités composées) : Soient A 1,,A n une fmille d évènements telle que P(A 1 A 2 A n 1 ) 0 Alors on P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )P A1 (A 2 )P A1 A 2 (A 3 )P A1 A 2 A n 1 (A n ) Soit (Ω,A) un espce probbilisble fini et soit A 1,,A n une fmille de prtie de A On dit que cette fmille est un système complet d évènements si et seulement si (A 1,,A n ) est une prtition de Ω c est-à-dire A i A j = si i j et Ω = A 1 A 2 A n wwwmthemtiquesfrst 39/52 bdellh becht

40 mémento ECE1 17 VARIABLES ET VECTEURS ALÉATOIRES FINIES Théorème (Formule des probbilités totles) : Soit A 1,,A n un système complet d évènements et B un évènement, lors on P(B) = n P(B A k ) = n P Ak (B)P(A k ) Méthode : Lorsque l on doit clculer une probbilité qui semble compliquée cr "le clcul dépend" de l urne où l on pioche, du nombre de piles obtenus, etc, il est indipensble d utiliser l formule des probbilités totles en utilisnt comme système complet les différentes contrintes uquel on est confronté (pr exemple, A k : piocher dns l urne n k, A k = obtenir k piles", etc) fin de l méthode Théorème (Formule de Byes) : Soit A 1,,A n un système complet d évènements et B un évènement, lors k {1;;n} on P B (A k ) = P A k (B) n et P(B) = P Ak (B)P(A k ) P(B) Définition de deux évènements indépendnts : Soit (Ω,A,P) un espce probbilisé fini On dit que deux évènements A et B sont indépendnts pour l probbilité P s et seulement si : P(A B) = P(A)P(B) Si A et B sont indépendnts pour l probbilité P lors A et B (resp A et B, resp A et B) le sont ussi Définition de n évènements indépendnts : Soit (Ω,A,P) un espce probbilisé fini et A 1,,A n n évènements 1 On dit que A 1,,A n sont deux à deux indépendnts pour l probbilité P si et seulement si P(A i A j ) = P(A i )P(A j ) i j {1;;n} 2 On dit que A 1,,A n sont mutuellement indépendnts pour l probbilité P si et seulement si pour tout ensemble d indice I {1;;n} P( i I A i ) = i I P(A i ) A 1,,A n n évènements mutuellement indépendnts pour l probbilité P Si l on pose i {1;;n}, B i = A i ou A i lors les évènements B 1,,B n sont mutuellement indépendnts pour l probbilité P 17 Vribles et vecteurs létoires finies 171 Générlités Une vrible létoire réelle finie (vrfinie) X sur un espce probbilsble fini (Ω,A) est une ppliction de Ω dns R telle que pour tout intervlle I de R {ω Ω tel que X(ω) I} A} Trditionnellement on note (X = x) pour (X {x}) ( < X b) pour (X ];b]) (X x) pour (X ] ;x]) wwwmthemtiquesfrst 40/52 bdellh becht

41 mémento ECE1 17 VARIABLES ET VECTEURS ALÉATOIRES FINIES Un vecteur { létoire fini X sur un espce probbilsble fini (Ω,A) est une ppliction de Ω dns R n Ω R X : n telles que les n pplictions X ω (X 1 (ω),,x n (ω)) i soient vr finies définies sur (Ω,A) On note X = (X 1,,X n ) et si n = 2, le vecteur (X 1,X 2 ) est ppelé couple de vecteurs létoires Soient X,Y deux vr finies sur (Ω,A) et λ un nombre réel Alors X + Y, λx, XY, sup(x,y ), min(x,y ) sont des vr finies sur (Ω,A) Soit X une vr finie sur (Ω,A) { On ppelle fonction de réprtition de X l fonction numérique R R réelle F X définie pr : F X : x P(X x) Soit X une vr finie sur (Ω,A) et F X s fonction de réprtition 1 x R, F(x) [0;1] 2 L fonction F X est croissnte 3 lim F X(x) = 0 et lim F X(x) = 1 x x + 4,b R, P( < X b) = F X (b) F X () Définition de l loi d une vrible finie : Soit X une vr finie sur (Ω,A,P) On ppelle loi de probbilité de X (ou loi de X ou distribution de X) l donnée de X(Ω) = {x 1 ;;x n } insi que de toutes les probbilités p k = P(X = x k ) pour k [[1,n]] Théorème : Un ensemble {x 1 ;;x n } insi qu une fmille de réels (p 1,,p n ) définissent une loi de probbilité si et seulement si p k 0 k {1;;n} et n p k = 1 Soit X une vr finie sur (Ω,A,P) dont l loi de probbilité est X(Ω) = {x 1 ;;x n } vec x 1 < x 2 < < x n et k [[1,n]] P(X = x k ) = p k Alors, 1 P(X = x) = P(X x) P(X < x) = P(X x) P(X > x) 2 x < x 1, F X (x) = 0 et i [[1,n 1]], pour x i x < x i+1 [, F X (x) = i 3 Réciproquement, p 1 = F X (x 1 ), k [[2,n]], p k = F X (x k ) F X (x k 1 ) p k et x > x n, F X (x) = 1 Soit X une vr finie sur (Ω,A,P) { et f une fonction numérique d une vrible réelle On note f(x) Ω R l ppliction définie pr f(x) : ω f(x(ω)) wwwmthemtiquesfrst 41/52 bdellh becht

42 mémento ECE1 17 VARIABLES ET VECTEURS ALÉATOIRES FINIES Soit X une vr finie sur (Ω,A,P) telle que X(Ω) = {x 1 ;;x n }, f une fonction numérique et Y = f(x) Y est une vr finie sur (Ω,A,P) telle que 1 Y (Ω) = {f(x 1 ),,f(x n )} 2 pour tout y Y (Ω), P(Y = y) = i tel que f(x i)=y P(X = x i ) Soit X,Y deux vr finies sur (Ω,A,P) telles que X(Ω) = {x 1 ;;x n } et Y (Ω) = {y 1 ;;y m } Soit Z = g(x,y ) une vr dépendnt uniquement de X et Y Alors Z(Ω) = {g(x k,y l ), k [[1,n]] et l [[1,m]] et z R on P(Z = z) = P((X = x k ) (Y = y l )) k et l tel que g(x k,y l )=z En prticulier, si Z = X + Y et si Z = XY P(Z = z) = P((X = x k ) (Y = y l )) k et l tel que x k +y l =z P(Z = z) = P((X = x k ) (Y = y l )) k et l tel que x k y l =z 172 Moments d une vr finie Définition de l espérnce d une vrible finie : Soit X une vr finie sur (Ω,A,P) On ppelle espérnce mthémtique (ou moyenne) de X le nombre noté E(X) défini pr E(X) = xp(x = x) = x k p k x X(Ω) k Proposition (Espérnce d une fonction de X) : Soit X une vr finie sur (Ω,A,P) et f une fonction numérique lors E(f(X)) = f(x)p(x = x) = n f(x k )p k En prticulier, E(X 2 ) = x 2 P(X = x) = n x 2 k p k x X(Ω) x X(Ω) Proposition (linérité de l espérnce) : 1 Soit X une vr finie sur (Ω,A,P) et,b deux nombres réels lors on E(X + b) = E(X) + b En prticulier, E(X) = E(X) 2 Si X et Y son deux vr finies sur sur (Ω,A,P) lors E(X Y ) = E(X) E(Y ) 3 Soient X 1,X n n vr finies sur (Ω,A,P) Alors on l formule : E( n X k ) = n E(X k ) 1 On dit que X est centrée si E(X) = 0 2 L vrible X E(X) est ppelée vr centrée ssociée à X wwwmthemtiquesfrst 42/52 bdellh becht

43 mémento ECE1 17 VARIABLES ET VECTEURS ALÉATOIRES FINIES Soient X,Y deux vr finies sur (Ω,A,P) telles que X(Ω) = {x 1 ;;x n } et Y (Ω) = {y 1 ;;y m } Soit Z = g(x,y ) une vr dépendnt uniquement de X et Y Alors on E(Z) = n l=1 m g(x k,y l )P((X = x k ) (Y = y l )) En prticulier n m E(XY ) = x k y l P((X = x k ) (Y = y l )) l=1 Définition de l vrince et de l écrt-type : Soit X une vr finie sur (Ω,A,P) On ppelle 1 moment d ordre 2 de X le nombre m 2 (X) = E(X 2 ) 2 vrince de X le nombre V (X) = E[(X E(X 2 )) 2 ] = E(X 2 ) [E(X)] 2 3 écrt-type de X le nombre σ = V (X) Définition de l covrince de deux vribles finies : Soit X,Y deux vr finies sur (Ω,A,P) On ppelle covrince de X et Y le nombre cov(x,y ) = E[(X E(X))(Y E(Y ))] = E(XY ) E(X)E(Y ) Soient X,Y,Z trois vr finies sur (Ω,A,P) et,b deux nombres réels Alors on : 1 V (X + b) = 2 V (X) et σ(x + b) = σ(x) 2 cov(x + b,cy + d) = ccov(x,y ) 3 cov(x + by,z) = cov(x,z) + bcov(y,z) 4 cov(x,y + bz) = cov(x,y ) + bcov(x,z) Soit X une vr finie sur (Ω,A,P) On dit que X est réduite si σ(x) = 1 Si σ(x) 0 lors l vr X σ(x) est ppellée vr réduite ssociée à X σ(x) 1 Soient X,Y deux vr finies sur (Ω,A,P) lors on V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2cov(X,Y ), V (X Y ) = V (X) + V (Y ) 2cov(X,Y ) 2 Plus générlement, soient X 1,X n n vr finies sur (Ω,A,P) Alors on l formule n n V ( X k ) = V (X k ) + 2 cov(x i,x j ) 1 i<j n wwwmthemtiquesfrst 43/52 bdellh becht

44 mémento ECE1 17 VARIABLES ET VECTEURS ALÉATOIRES FINIES Soit X,Y deux vr finies sur (Ω,A,P) On ppelle coefficient de corréltion linéire de X et Y le nombre µ(x,y ) = cov(x,y ) σ(x)σ(y ) { µ(x,y ) si c > 0 1 µ(x + b,cy + d) = µ(x,y ) si c < 0 2 On toujours µ(x,y ) 1 3 µ(x,y ) = 1 ssi il existe deux nombres réels et b tel que P(Y = X + b) = 1 (Y = X + b u sens du clcul des probbilité mis ps nécessirement u sens des pplictions) 173 Couple de vribles létoires Définition de l loi d un couple de vribles finies : Soient (X,Y ) un couple de vr finies sur (Ω,A,P) telles que X(Ω) = {x 1 ;;x n } et Y (Ω) = {y 1 ;;y m } On ppelle loi du couple (X,Y ) (ou loi de (X,Y ) ou loi conjointe de C et Y ) l donnée 1 de l ensemble des vleurs possibles du couple (X,Y ) c est-dire des couples (x k,y l ), k [[1,n]] et l [[1,m]] 2 de toutes les probbilités p k,l = P[(X = x k ) (Y = y l )] k [[1,n]] et l [[1,m]] Définition des lois mrginles d un couple : Les vribles X et Y sont ppellées vribles mrginles du couple (X,Y ) L loi de l vr X (resp Y ) s ppelle l loi mrginle de X (resp Y ) du couple (X,Y ) Proposition (recomposition des lois mrginles à prtir de l loi de couple) : Pour tout couple (X,Y ), on loi de X ce que l on peut encore écrire x X(Ω), P(X = x) = y Y (Ω) P[(X = x) (Y = y)] m k {1;;n} p(x = x k ) = P[(X = x k ) (Y = y l )] l=1 loi de Y ou encore n y Y (Ω), p(y = y) = P[(X = x) (Y = y)] n l [[1,m]], p(y = y l ) = P[(X = x k ) (Y = y l )] 174 Indépendnces de deux vribles Définition indépendnce de deux vribles finies : wwwmthemtiquesfrst 44/52 bdellh becht

45 mémento ECE1 18 LOIS DISCRÈTES FINIES USUELLES Soient X et Y deux vr finies sur (Ω,A,P) telles que X(Ω) = {x 1 ;;x n } et Y (Ω) = {y 1 ;;y m } On dit que X et Y sont indépendntes si et seulement si k {1;;n} et l {1;;m} on ce que l on peut encore écrire P((X = x k ) (Y = y l )) = P(X = x k )P(Y = y l ) x X(Ω), y Y (Ω), P((X = x) (Y = y)) = P(X = x)p(y = y) Soient X et Y deux vr finies sur (Ω,A,P) indépendntes et soient A,B deux intervlles de R Alors on P((X A) (Y B)) = P(X A)P(Y B) Soient X et Y deux vr finies sur (Ω,A,P) indépendntes et soient f,g deux fonctions numériques définies respectivement sur X(Ω) et sur Y (Ω) Alors f(x) et g(y ) sont deux vr définies sur (Ω,A,P) indépendntes Proposition (Indépendnce et covrince) : Soient X et Y deux vr finies sur (Ω,A,P) indépendntes lors : E(XY ) = E(X)E(Y ) En prticulier, cov(x,y ) = 0 et pr conséquent V (X + Y ) = V (X) + V (Y ), V (X Y ) = V (X) + V (Y ) Plus générlement, si X 1,X n sont deux à deux indépendntes lors V (( n X k ) = n V (X k ) 18 Lois discrètes finies usuelles On dit qu une vr suit l loi uniforme sur [[n,m]] si et seulement si X(Ω) = [[n,m]] et tous les évènements P(X = k) k [[n,m]] sont équiprobbles, c est-à-dire k [[n,m]], P(X = k) = 1 (il y m n + 1 entiers entre n et m) m n + 1 Définition des vribles de Bernouilli : Soit p [0;1] On dit qu une vr finie X sur (Ω,A,P) suit le schém de Bernouilli de prmètre p (noté X B(1,p)) si et seulement si X(Ω) = {0;1} vec P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 p Méthode : Soit E une épreuve létoire qui n comme boutissement qu un évèvement A vec une probbilité p ou que l évènement contrire A vec l probbilité 1_p Dns ce cs, si X est le nombre de fois où est rélisé A lors X B(1,p) fin de l méthode Si X B(1,p) lors E(X) = p et V (X) = p(1 p) Définition de l loi binômile : wwwmthemtiquesfrst 45/52 bdellh becht

46 mémento ECE1 18 LOIS DISCRÈTES FINIES USUELLES Soit n un entier nturel et p [0;1] On dit qu une vr finie X sur (Ω,A,P) suit le schém de Bernouilli de prmètre p (noté X B(n,p)) si et seulement si X(Ω) = [[0,n]] et k [[0,n]], P(X = k) = C k np k (1 p) n k Méthode : Soit E une expérience létoire qui n comme boutissement qu un évèvement A vec une probbilité p ou que l évènement contrire A vec l probbilité 1_p Si on effectue n fois l expérience E dns des conditions identiques (p est constnt et les expériences étnt deux à deux indépendntes) et si X est le nombre de fois où est rélisé A lors X B(n,p) fin de l méthode Théorème : L somme de n vribles de Bernouilli deux à deux indépendntes indépendntes de même espérnce p suit l loi binômile B(n,p) Si X suit l loi binômile B(n,p) lors E(X) = p et V (X) = np(1 p) Méthode : Soit X k l vrible de Bernouilli qui compte le nombre de fois où est rélisé A à l kème épreuve E lors X k B(1,p) Pr hypothèse si k l lors X k et X l sont deux vr indépendntes L vrible X s écrit encore X = n X k Pr conséquent, E(X) = n E(X k ) = n p = np et li indépendnce des vribles montre que V (X) = n V (X k ) = n p(1 p) = np(1 p) fin de l méthode 1 Soient X 1 et X 2 deux vr indépendntes qui suivent respectivement les lois de Bernouilli B(n 1,p) et B(n 2,p) lors X 1 + X 2 suit l loi de bernouilli B(n 1 + n 2,p) 2 Plus générlement si X 1,,X k sont k vr mutuellement indépendntes qui suivent respectivement les lois de Bernouilli B(n 1,p),,B(n k,p) lors X X k suit l loi de bernouilli B(n n k,p) Définition de l loi hypergéométrique : Soient N et M deux entiers tel que M N On dit qu une vr finie X sur (Ω,A,P) suit l loi hypergéométrique de prmètre n,m, M N (noté X H(n,M,M )) si et seulement si N X(Ω) = {mx(0,n N + M),min(M,n) et P(X = k) = Ck M Cn k N M C n N k X(Ω) Méthode : Soit E un ensemble constitué de deux types d éléments : M sont de type 1 et N M sont de type 2 On effectue n tirge sns remise dns E (donc n N) Soit X l vr égle u nombre d élément de type 1 piochés : l évènement (X = k) signifie que l on choisit k éléments prmi les M type 1, les n k utres éléments sont sélectionnés prmi les N M éléments de type 2 et l on sélectionné en tout n éléments dns une popultion totle de N éléments Dès lors, X suit l loi hypergéométrique H(n,N, M ) fin de l méthode N Si X suit l loi hypergéométrique H(n,M, M N ) lors E(X) = nm N Remrque : M représente l probbilité de choisir un élément de type 1 prmi tous les éléments de E Bien qu il n y it N ps remise, l espérnce de X est identique à l espérnce de l vrible similire où l on effectueris les pioches wwwmthemtiquesfrst 46/52 bdellh becht

47 mémento ECE1 19 PROBABILITÉS SUR UN ENSEMBLE DISCRET DÉNOMBRABLE vec remise, c est-à-dire suivnt l loi binômile B(n, M N ) On ne doit ps retenir l formule donnnt les vleurs possibles de X mis seulement l redécouvrir sur chque exemple concret (Chpter hed:)espce probbilisé et vr discrète infinie 19 Probbilités sur un ensemble discret dénombrble Soit Ω un ensemble (non-nécessirement fini) et A une prtie de P(Ω) On dit que A est une tribu (ou σ-lgèbre) de Ω si et seulement si : Ω A, A A, A A, Pour toutes fmille (A n ) n N tel que n N, A n A, lors + A n A n=0 Dns ce cs, on dit que le couple (Ω,A) est un espce probbilisble Les éléments de A sont ppelés évènements Si en outre, A = P(Ω) les singletons {ω} (ω Ω) sont ppelés les évènements élémentires Remrque : N voir en tête comme type de tribu que l ensemble P(Ω) d un ensemble Ω vec Ω de l forme N Soit (Ω,A) un espce probbilisble Soit I un ensemble fini d entiers ou I = N et soit (A n ) n I une fmille de prtie de A On dit que cette fmille est un système complet d évènements si et seulement si : A i A j = si i j et Ω = A n n I Soit (Ω,A) un espce probbilisble On ppelle probbilté sur (Ω,A) toute ppliction P de A dns [0;1] telle que : P(Ω) = 1 et pour toute fmille (A n ) n N de prtie de A deux à deux disjointes, on it P( + A n ) = + P(A n ) n=0 n=0 Le triplet (Ω,A,P) est ppelé espce probbilsé fini et A A, P(A) s ppelle l probbilité de A Un évènement A A est dit négligeble si et seulement si P(A) = 0 Une propriété P est dite presque surement vrie ssi l ensemble A P = {ω Ω tel ω vérifie P} une probbilité égle à 1 Soit (Ω,A,P) un espce probbilsé et soient A,B deux évènements Alors on 1 P( ) = 0 2 Si A et B sont incomptibles (c est-à-dire disjoints) lors P(A B) = P(A) + P(B) 3 Plus générlement, si A 1,,A n sont n évènements deux à deux incomptibles (=disjoints) lors P( P(A i ) 1 i n 4 P(A) = 1 P(A) 5 P(A\B) = P(A) P(A B) 6 Si A B lors P(A) P(B) 7 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 8 L formule du crible rest vlble 1 i n A i ) = wwwmthemtiquesfrst 47/52 bdellh becht

48 mémento ECE1 20 VARIABLES ET VECTEURS ALÉATOIRES DISCRÈTES DÉNOMBRABLES Soit (Ω,A,P) un espce probbilsé 1 Soient I un ensemble fini d entiers ou I = N et (A n ) n I un système complet d évènements lors on n I P(A n ) = 1 2 Si (A n ) n N est une suite croissnte d évènements de A (ie A n A n+1 ), l suite P(A n ) n N est convergente et P( + A n ) = lim P(A n) n + n=0 3 Si (A n ) n N est une suite décroissnte d évènements de A (ie A n+1 A n ), l suite P(A n ) n N est convergente et P( + A n ) = lim P(A n) n + n=0 Théorème (Formule des probbilités totles) : Si (A n ) n N un système complet d évènements de Ω et si B est un évènement, lors on P(B) = + P(B A n ) = + n=0 n=0 P An (B)P(A n ) 20 Vribles et vecteurs létoires discrètes dénombrbles 201 Générlités Définition d une vrible létoire discrète infinie : Une vrible létoire réelle discrète infinie (vr discrète infinie) X sur un espce probbilsble (Ω,A) est une ppliction de Ω dns R telle que 1 pour tout intervlle I de R {ω Ω tel que X(ω) I} A} 2 Il existe une suite de nombres réels (x n ) n N telle que X(Ω) = {x n, n N} Remrque : Dns l prtique, vous n urez jmis à vérifier l première condition X : Un vecteur létoire réel discret infini X sur un espce probbilsble (Ω,A) est une ppliction de Ω dns R n { Ω R n ω (X 1 (ω),,x n (ω)) telles que les n pplictions X i soient vr discrètes infinies définies sur (Ω,A) On note X = (X 1,,X n ) et si n = 2, le vecteur (X 1,X 2 ) est ppelé couple de vecteurs létoires Soient X,Y deux vr discrètes infinies sur (Ω,A) et λ un nombre réel Alors X + Y, λx, XY, sup(x,y ), min(x,y ) sont des vr discrètes infinies sur (Ω,A) Définition loi d une vr discrète infinie : Soit X une vr discrète infinie sur (Ω,A,P) telle que X(Ω) = {x n,n N} On ppelle loi de probbilité de X (ou loi de X ou distribution de X) l donnée de l ensemble X(Ω) = {x n,n N} et des probbilités p n = P(X = x n ) wwwmthemtiquesfrst 48/52 bdellh becht

49 mémento ECE1 20 VARIABLES ET VECTEURS ALÉATOIRES DISCRÈTES DÉNOMBRABLES Théorème : Un ensemble {(x n,p n ), n N} définie une loi de probbilité si et seulement si 1 p n 0 n N 2 l série p n converge et + p n = 1 n 0 n=1 Remrque : Ce théorème justifie que l on ps à s occuper de l convergence des séries intervennts dns le cs discret infini puisqu elle sont toutes convergente! 202 Moments d une vr discrète infinie Définition de l espérnce d une vr discrète infinie : Soit X une vr discrète infinie sur (Ω,A,P) de loi {(x n,p n ), n N} On dit X possède une espérnce si et seulement si l série n 0 x n p n converge Dns ce cs, on ppelle espérnce mthémtique (ou moyenne) de X le nombre noté E(X) défini pr Proposition (linérité de l espérnce) : E(X) = + n=1 x n p n 1 Soit X une vr discrète infinie sur (Ω,A,P) possédnt une espérnce et,b deux nombres réels Alors l vr discrète infinie X + b possède une espérnce et E(X + b) = E(X) + b 2 Si X et Y sont deux vr discrètes infinies sur (Ω,A,P) possédnt une espérnce lors l vr discrète infinie X Y possède une espérnce et E(X Y ) = E(X) E(Y ) 3 Soient X 1,X n n vr discrètes infinies sur (Ω,A,P) possédnt une espérnce Alors l vr discrète infinie n X k possède une espérnce et E( n X k ) = n E(X k ) On dit que X est centrée si E(X) = 0 L vrible X E(X) est ppelée vr centrée ssociée à X Définition de l vrince : Soit X une vr discrète infinie sur (Ω,A,P) On dit que X possède une vrince si et seulement si (X E(X)) 2 possède une espérnce Proposition (Crctéristion de l existence de l vrince) : Soit X une vr discrète infinie sur (Ω,A,P) Alors X possède une vrince si et seulement si X et X 2 possède une espérnce Remrque : Pour justifier l existence de l vrince, on n utilise jmis l définition! Pr contre, on utilise systémtique cette crctéristion! Arf Soit X une vr discrète infinie sur (Ω,A,P) possédnt une vrince On ppelle 1 moment d ordre 2 de X le nombre m 2 (X) = E(X 2 ) 2 vrince de X le nombre V (X) = E[(X E(X) 2 )] = E(X 2 ) (E(X)) 2 3 écrt-type de X le nombre σ = V (X) wwwmthemtiquesfrst 49/52 bdellh becht

50 mémento ECE1 20 VARIABLES ET VECTEURS ALÉATOIRES DISCRÈTES DÉNOMBRABLES Soit X,Y deux vr discrètes infinies sur (Ω,A,P) possédnt une vrince Alors l vr (X E(X))(Y E(Y ) posséde une espérnce Dns ce cs, on ppelle covrince de X et Y le nombre cov(x,y ) = E[(X E(X))(Y E(Y ))] Soient X,Y,Z trois vr discrètes infinies (Ω,A,P) possédnt une vrince et,b deux nombres réels Alors on 1 V (X) = E(X 2 ) E(X) 2 et cov(x,y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) 2 V (X + b) = 2 V (X) et σ(x + b) = σ(x) 3 cov(x + b,cy + d) = ccov(x,y ) 4 cov(x + by,z) = cov(x,z) + bcov(y,z) 5 cov(x,y + bz) = cov(x,y ) + bcov(x,z) Soit X une vr finie sur (Ω,A,P) On dit que X est réduite si σ(x) = 1 Si σ(x) 0 lors l vr X σ(x) est ppellée vr réduite ssociée à X σ(x) 1 Soient X,Y deux vr discrètes infinies (Ω,A,P) possédnt une vrince Alors X + Y et X Y possède une vrince et on V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2cov(X,Y ), V (X Y ) = V (X) + V (Y ) 2cov(X,Y ) 2 Plus générlement, soient X 1,X n n vr discrètes infinies (Ω,A,P) possédnt une vrince n Alors X k possédnt une vrince et on l formule V ( n X k ) = n V (X k ) i<j n cov(x i,x j ) Soit X,Y deux vr discrètes infinies (Ω,A,P) possédnt une vrince On ppelle coefficient de corréltion linéire de X et Y le nombre µ(x,y ) = cov(x,y ) σ(x)σ(y ) { µ(x,y ) si c > 0 1 µ(x + b,cy + d) = µ(x,y ) si c < 0 2 On toujours µ(x,y ) 1 3 µ(x,y ) = 1 ssi il existe deux nombres réels et b tel que P(Y = X + b) = 1 (Y = X + b u sens du clcul des probbilité mis ps nécessirement u sens des pplictions) 203 Loi d un vecteur létoires discrets infinis Définition de l loi d un couple de vr discrètes infinies : wwwmthemtiquesfrst 50/52 bdellh becht

51 mémento ECE1 20 VARIABLES ET VECTEURS ALÉATOIRES DISCRÈTES DÉNOMBRABLES Soient (X,Y ) un couple de vr discrètes infinies sur (Ω,A,P) telles que X(Ω) = {x n,n N} et Y (Ω) = {y n,n N} On ppelle loi du couple (X,Y ) (ou loi de (X,Y ) ou loi conjointe de C et Y ) l donnée de l ensemble des vleurs possibles du couple (X,Y ) c est-à-dire de l ensemble {(x n,y m ), n N et m N} insi que de toutes les probbilités p n,m = P[(X = x n ) (Y = y m )], n N et m N Un ensemble {(x n,y m ), n N et m N} et une fmille de nombres réels (p n,m ) n N,m N définissent une loi de probbilité si et seulement si 1 p n,m 0 n N et m N p n,m = 1 n=0 m=0 ( m 0, l série p n,m doit converger puis, si on pose d m = + p n,m, l série n 0 n=0 d m converge et + d m = 1) m 0 Théorème : m=0 ou encore de fçon équivlente ( n 0, l série p n,m puis, si on pose d n = + n,m, l série m 0 m=0p d m converge n 0 et + d m = 1) n=0 Les vribles X et Y sont ppellées vribles mrginles du couple (X,Y ) L loi de l vr X (resp Y ) s ppelle l loi mrginle de X (resp Y ) du couple (X,Y ) Trditionnellement on note P(X = x n ) = p n et P(Y = y m ) = p m Proposition (Reconstitution des lois mrginles à prtir de l loi conjointe) : Pour tout couple (X,Y ), on loi de X loi de Y i N, P(X = x i ) = j N, p(y = y j ) = + j=0 + i=0 P[(X = x i ) (Y = y j )] P[(X = x i ) (Y = y j )] 204 Indépendnces de deux vr Soient X et Y deux vr discrètes infinies sur (Ω,A,P) telles que X(Ω) = {x n, n N} et Y (Ω) = {y n,n N} On dit que X et Y sont indépendntes ssi n N et m N on P((X = x n ) (Y = y m )) = P(X = x n )P(Y = y m ) Soient X et Y deux vr discrètes infinies sur (Ω,A,P) indépendntes et soient A,B deux intervlles de R Alors on P((X A) (Y B)) = P(X A)P(Y B) wwwmthemtiquesfrst 51/52 bdellh becht

52 mémento ECE1 21 LOIS DISCRÈTES INFINIES USUELLES Proposition (Indépendnce et covrince) : Soient X et Y deux vr discrètes infinies sur (Ω,A,P) indépendntes possédnt une vrince lors : E(XY ) = E(X)E(Y ) En prticulier, cov(x,y ) = 0 et pr conséquent V (X + Y ) = V (X) + V (Y ), V (X Y ) = V (X) + V (Y ) Plus générlement, si X 1,X n sont deux à deux indépendntes possédnts une vrince lors V (( n X k ) = n V (X k ) 21 Lois discrètes infinies usuelles Définition de l loi géométrique : Soit p ]0;1[ On dit qu une vr X suit l loi géométrique de prmètre p (noté X G(p)) si et seulement si 1 X(Ω) = N 2 n N, P(X = n) = p(1 p) n 1 Méthode : Soit E une expérience létoire qui n comme boutissement qu un évèvement A vec une probbilité p ou que l évènement contrire A vec l probbilité 1 p Si X désigne le nombre de fois où l on répété l expérience E (dns des conditions identiques ie p est constnt et les épreuves sont indépendntes) pour que l évènement A se rélise lors X G(p) On dit que X est le temps d ttente du premier évènement A ou encore X est le nombre d expérience pour obtenir l évènement A pour l première fois (l bouteille à moitié vide ou à moitié pleine) fin de l méthode Définition de l loi de Poisson : Soit λ un nombre réel strictement positif On dit que X suit l loi de Poisson de prmètre λ (noté X P(λ)) si et seulement si 1 X(Ω) = N λ λn 2 n N, P(X = n) = e n! Si X suit l loi de Poisson P(λ) lors E(X) = λ et V (X) = λ Soit X 1 et X 2 deux vr indépendntes suivnt respectivement les lois de Poisson P(λ 1 ) et P(λ 2 ) lors X 1 +X 2 suit l loi de Poisson P(λ 1 + λ 2 ) wwwmthemtiquesfrst 52/52 bdellh becht