TS - FONCTION EXPONENTIELLE

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1 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR TS - FONCTION EXPONENTIELLE C documnt totalmnt gratuit (disponibl parmi bin d'autrs sur la pag JGCUAZ.FR rubriqu mathématiqus) a été conçu pour aidr ls élèvs d Trminal S n mathématiqus. Conform au programm, il contint l cours (définitions, théorèms, démonstrations), 4 rcics corrigés dans l moindr détail, ds énoncés d'amns t/ou d concours, ainsi qu'un fich méthod "touts situations". La progrssion proposé st cll qu j pratiqu dans ms classs. Au fur t à msur, j'ai inséré ds rmarqus, consils t points méthod, sur la bas d mon périnc d'nsignant n lycé. C documnt n'a pas la prétntion d s substitur à l'assiduité nécssair au cours, mais pourra prmttr au lctur d rattrapr un absnc, d révisr un notion t/ou d préparr un évaluation, l tmps d rchrch ds rcics (t non pas un lctur immédiat du corrigé, mêm si cluici st écrit "just n dssous"!) étant un condition nécssair à la réussit. La navigation put s'ffctur d manièr intractiv pour cu qui utilisnt la vrsion PDF d c documnt. Pour tout rmarqu, mrci d vous rndr sur la pag JGCUAZ.FR où vous trouvrz mon adrss élctroniqu (qui st JGCUAZ@HOTMAIL.COM à la dat du //6) Egalmnt disponibl un pag facboo Montpllir, l //6 Jan-Guillaum CUAZ, profssur d mathématiqus, Lycé Clmncau, Montpllir dpuis 3 Lycé Militair d Saint-Cyr, d à 3 TS - fonction ponntill Pag /46 Vrsion du //6

2 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR FONCTION EXPONENTIELLE - PROGRAMME OFFICIEL() Contnus Capacités attndus Commntairs Fonction ponntill Fonction p Rlation notation Démontrr l unicité d un fonction fonctionnll, dérivabl sur, égal à sa dérivé t qui vaut n. Démontrr qu lim = + t lim =. + Utilisr la rlation fonctionnll pour transformr un écritur. Connaîtr l sns d variation t la rprésntation graphiqu d la fonction ponntill. Connaîtr t ploitr lim = + + t lim = La fonction ponntill st présnté comm l uniqu fonction f dérivabl sur tll qu : f = f t f () =. L istnc st admis. On étudi ds mpls d fonctions d la form p( u ), notammnt avc u = ou u = (>), qui sont utilisés dans ds domains variés. On fait l lin ntr l nombr dérivé d la fonction ponntill n t la limit n d [SPC t SVT] Radioactivité. Étud d phénomèns d évolution. TS - fonction ponntill Pag /46 Vrsion du //6

3 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR SOMMAIRE Définition d la fonction ponntill - prmièrs propriétés Rlation fonctionnll Notation Propriétés analytiqus d la fonction ponntill Fonction ponntill t composé Ercics d synthès Fich méthod "Eponntill - Commnt fair?" TS - fonction ponntill Pag 3/46 Vrsion du //6

4 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR FONCTION EXPONENTIELLE ) Rappl d'un résultat : dérivé d'un fonction composé Si f st un fonction dérivabl sur un intrvall I t si J st un intrvall tl qu pour tout J, + alors la fonction ϕ défini par f ( a b) a b I = af ( a + b) ϕ En particulir, si ϕ = f ( ) alors ϕ = f ( ) ) Etud d l'équation f = f ϕ = + st dérivabl sur J t pour tout J, Lmm : Si f st un fonction dérivabl sur tll qu pour tout, f = f t alors f n s'annul pas sur Pruv : f =, Un lmm st un résultat préliminair qui prmt d démontrr un "grand" théorèm. L'équation f = f faisant intrvnir la fonction t sa dérivé st applé "équation différntill"...mais c chapitr a disparu du programm... Soit ϕ la fonction défini sur par ϕ = f f ( ). Pour tout, ϕ = f f ( ) + f f ( ) d'après l résultat préliminair () = f f + f f Or pour tout, f = f donc f ( ) = f ( ) Ainsi, ϕ = f f ( ) f f ( ) = La fonction ϕ st donc constant t puisqu f f ϕ = = =, on aura : Pour tout, ϕ = f f ( ) =. Ainsi, pour tout, f ) Définition d LA fonction ponntill Propriété - définition Il ist un uniqu fonction f dérivabl sur tll qu pour tout, f = f t C'st la fonction ponntill, noté p f = TS - fonction ponntill Pag 4/46 Vrsion du //6

5 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR Pruv (igibl au BAC) : L'istnc st admis. Pour démontrr l'unicité, supposons qu'il ist un autr fonction g tll qu pour tout, g = g t g =. g Notons h la fonction tll qu h = f, qui st défini sur car d'après l lmm, f ( ) Pour tout, h g f g f g f g f = = = f. f La fonction h st donc constant t puisqu f ( ) = g( ) =, on aura h Ainsi, pour tout, g h = = g = f f ( ) ( ) g = =. f TS - fonction ponntill Pag 5/46 Vrsion du //6

6 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR FONCTION EXPONENTIELLE - EXERCICES Ercic n (corrction) Après ébullition, on vid l'au d'un cassrol. Pour la nttoyr, on plac alors ctt cassrol dans l'évir rmpli d'au à 45 C. On modélis la tmpératur d la cassrol n posant : T( t) ( t) (n s) t T( t ) la tmpératur d la cassrol (n C). ) Détrminr la tmpératur d la cassrol lorsqu'on la plong dans l'évir = 65p, + 45 où t st l tmps ) On admt qu la vitss d rfroidissmnt st la fonction dérivé d la fonction T. a) Montrr qu la vitss d rfroidissmnt st proportionnll à l'écart d tmpératur ntr l'au d l'évir t la cassrol. b) Détrminr c cofficint d proportionnalité 3) Détrminr au dgré près la tmpératur d la cassrol après 5 minuts dans l'évir. TS - fonction ponntill Pag 6/46 Vrsion du //6

7 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR FONCTION EXPONENTIELLE - CORRECTION Corrction d l'rcic n (rtour à l'énoncé) ) On calcul T ( ) = 65p(, ) + 45 = 65p( ) + 45 = = Lorsqu'on la plong dans l'évir, la tmpératur d la cassrol st d C ) a) La vitss d rfroidissmnt st égal à : 65 (, ) p(, ) 3p(, ) T t = t = t L'écart ntr l'au d l'évir t la cassrol st égal à T( t) = 65p(, t) = 65p(, t) La vitss d rfroidissmnt st proportionnll à l'écart d tmpératur ntr l'au d l'évir t la cassrol. = =, l cofficint d proportionnalité vaut 5 b) Puisqu T ( t) 3p(, t) 65p(, t) 3) 5 minuts égalnt 3 sconds. On calcul T 3 = 65p, = 65p C Au bout d 5 minuts, la tmpératur d la cassrol vaut nviron 45 C 5 TS - fonction ponntill Pag 7/46 Vrsion du //6

8 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR FONCTION EXPONENTIELLE - RELATION FONCTIONNELLE 3) Propriétés algébriqus d la fonction p Propriété : Pour tous nombrs a t b, p( a+ b) = p( a) p( b) On dit qu la fonction ponntill transform ls somms n produits. Pruv : Soit a un nombr rél qulconqu fié. Soit f la fonction défini sur par f Pour tout, f ( a+ ) ( a+ ) p p p p p =. p = p ( a+ ) Or d'après l résultat préliminair (), p ( a+ ) = p ( a+ ) = p ( a+ ) = p( a+ ) Puisqu d plus p = p, on aura pour tout, f constant t puisqu f ( a+ ) Ainsi, pour tout, ( a) p p = = = p( a). p ( a+ ) =. La fonction f st donc p f = p a = p( a) p( a+ ) = p( a) p. p Il rst à rmplacr qulconqu par b qulconqu. Corollair ) Pour tout nombr b, p( b) = 3) Pour tous nombrs a t b, p( a b) p( b) 4) Pour tout nombr a t tout ntir n, p( na) = p( a) Un corollair st un propriété qui découl d'un autr propriété n p = p ( a) ( b) Pruv : ) On utilis la propriété : D'un part p b+ ( b) = p b p b t d'autr part b ( b) 3) propriété propriété p + = p = p a b = p( a+ b ) = p( a) p( b) = p( a) d'où l résultat. p TS - fonction ponntill Pag 8/46 Vrsion du //6 ( b)

9 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR 4) Soit n. On procèd par récurrnc sur n. Notons P( n ) la propriété " p( na) p( a) Si n = " n =, on aura d'un part p( a) = p( ) = t p( a ) = d'où la propriété P ( ) Soit un ntir naturl p tl qu P( p ) st vrai, c'st-à-dir p( pa) p( a) récurrnc). Montrons qu P( p+ ) st vrai, c'st-à-dir p( ( + ) ) = p On a p = (hypothès d p p a a + p ( p + a) = ( pa + a) = ( pa) ( a) = ( ( a) ) ( a) = ( ( a) ) p p p p p p p propriété La propriété P( n ) st initialisé t héréditair. hypothès récurrnc D'après l princip d récurrnc, ll st vrai pour tout n Si n st négatif, alors n st positif t on aura : p( na) = p( ( na) ) = = = p a n p ( na) p a n p+ 4) Un nouvll notation Définition : On not l'imag du nombr par la fonction ponntill. Ainsi = p t avc la calculatric,78 Après π, l nombr st clui qui "intrvint l plus" n mathématiqus Convntion d notation : Puisqu pour tout nombr ntir n, on a pour tout rél, p p p p n n n = n = =, on convint d notr = (lir "ponntill " ou " posant "). Ls propriétés algébriqus précédnts dvinnnt : Pour tous nombrs réls t y t tout ntir n, = ( ) = + y y = y = y y = y ( ) n = n TS - fonction ponntill Pag 9/46 Vrsion du //6

10 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR FONCTION EXPONENTIELLE - RELATION FONCTIONNELLE - EXERCICES Ercic n (corrction) a désign un nombr rél. Dans chaqu cas, écrir l'prssion avc l'ponntill d'un sul a a nombr ) 3 ) a+ 3) a a a + Ercic n 3 (corrction) Simplifir au maimum chacun ds prssions ) ( ) ( ) ) 3) + 4) 5 5) + 3 6) + Ercic n 4 (corrction) Démontrr qu pour tout nombr rél, + + = Ercic n 5 (corrction) Démontrr qu pour tout nombr rél, ) = + + ) = 3) 5 + 4= ( )( 4) 4) ( ) + = 4 5) = ( ) Ercic n 6 (corrction) La fonction f st défini sur par : f = Démontrr qu pour tout nombr rél, f + f = + f Ercic n 7 (corrction) Démontrr qu pour tout nombr rél : + TS - fonction ponntill Pag /46 Vrsion du //6

11 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR FONCTION EXPONENTIELLE - RELATION FONCTIONNELLE - CORRECTION Corrction d l'rcic n (rtour à l'énoncé) Pour tout nombr rél a : ) 3 a a a a 3 a 3a a 3a a = = = = = a a+ a+ ( a) 3a ) = = a a a + a + ( + ) 3) = = = = a+ a+ a+ a a a Corrction d l'rcic n 3 (rtour à l'énoncé) Pour tout nombr rél : ( ) ) + = = = = = = = = = + ) 3) + = + = + = = = = = 4) ( ) ) = = = + 6) = + = + = + Corrction d l'rcic n 4 (rtour à l'énoncé) Pour tout nombr rél : ( ) = = = ( ) = = = Corrction d l'rcic n 5 (rtour à l'énoncé) Pour tout nombr rél : ) = = = = = TS - fonction ponntill Pag /46 Vrsion du //6

12 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR ) = = = = 3) 4 = 4 + 4= ) ( + ) ( ) = ( ) + + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5) = = + = 4 = = = + Corrction d l'rcic n 6 (rtour à l'énoncé) Pour tout nombr rél : On a d'un part l'égalité f t d'autr part = + + = + = + = ( ) ( ) ( + ) ( )( + ) ( ) + + = ( ) = ( ) = = = + + d'où l'égalité Corrction d l'rcic n 7 (rtour à l'énoncé) Pour tout nombr rél : ( ) + ( ) + = + = = Or pour tout, t > d'où par quotint, + TS - fonction ponntill Pag /46 Vrsion du //6

13 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR FONCTION EXPONENTIELLE - PROPRIETES ANALYTIQUES 4) Sign d la fonction ponntill Propriété : Pour tout, > Pruv : Pour tout, n s'annul pas + = = = > car on sait d plus qu la fonction ponntill 5) Sns d variation d la fonction ponntill, équations t inéquations Propriété : La fonction ponntill st strictmnt croissant sur Pruv : Puisqu la fonction ponntill st dérivabl sur t qu ( ) = >, on n déduit l résultat Corollair : Quls qu soint ls nombrs réls a t b, on a : a b a b < < t a b = a = b Pruv : La prmièr propriété résult du fait qu la fonction ponntill st strictmnt croissant sur Pour la duièm propriété : Si a = b il st évidnt qu a = Réciproqumnt, supposons qu a a b. Dans c cas, on a a< b ou a > b. Si a< b alors ls cas, on aura a a = b Cas particulir : b b = b. D du choss l'un, ou bin a b a b < t si a b = (c'st fini!) ou bin > alors a b >. Dans tous, c qui st contrair à l'hypothès d départ. On a donc nécssairmnt a = a = TS - fonction ponntill Pag 3/46 Vrsion du //6

14 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR 6) Limits d la fonction ponntill Propriétés : ) lim = + ) lim = + Pruvs : = ) Soit f la fonction défini sur par f =. On a, pour tout, f Ainsi, pour tout ] ;], f t pour tout [ ; + [, f. La fonction f st donc décroissant sur ] ;] t croissant sur [ ;+ [. Ell attint son minimum n t c minimum vaut On n déduit qu pour tout, f f = =. > >. Puisqu lim + = +, on conclut à l'aid du théorèm d comparaison dit "d minoration", qu lim + = + ) Pour tout, X =. Puisqu lim = lim = + (n posant X = ), on n conclut X + par quotint qu lim = Tablau d variation t rprésntation graphiqu On rmarqura qu la croissanc d la fonction ponntill st EXTREMEMENT RAPIDE TS - fonction ponntill Pag 4/46 Vrsion du //6

15 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR 7) Limits liés à la fonction ponntill Propriétés : ) lim = + ) lim = 3) + lim = Pruvs : + ) C'st un form indétrminé " " + =. f Pour tout [ ; + [, on pos f =. Or nous avons vu précédmmnt qu pour tout [ ; [ Pour tout [ ; + [, > > f >. f st strictmnt croissant sur [ [ ;+. +, > > > + >. En particulir, pour tout [ ; + [, f f ( ) Par division par >, on obtint > Puisqu = +, on conclut par minoration qu lim = +. lim + + ) C'st un form indétrminé " " X lim = lim = lim = lim (n posant X = ) X X + D'après ), on a lim X + X X X = + donc par quotint lim =. On n déduit l résultat. X + X On rtindra qu n cas d form indétrminé, c'st toujours l'ponntill "qui fait la décision" 3) Pour tout rél h, h + h lim = lim. h h h h On rconnaît l tau d'accroissmnt d la fonction ponntill ntr t h. Puisqu la fonction ponntill st dérivabl, c tau d'accroissmnt tnd vrs l nombr dérivé h d la fonction ponntill n,qui st (car ( ) = h t = ) TS - fonction ponntill Pag 5/46 Vrsion du //6

16 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR FONCTION EXPONENTIELLE - PROPRIETES ANALYTIQUES - EXERCICES Ercic n 8 (corrction) Résoudr dans chacun ds équations ) + = ) 5) = 3) = 6) = 4) 3 = 7) = = Ercic n 9 (corrction) Résoudr dans chacun ds inéquations ) ) 3 5) ( )( ) > 3) + > 6) > 4) Ercic n (corrction) Détrminr la fonction dérivé d la fonction f défini sur par : ) f 3 4) f = + ) ( 3 ) = Ercic n (corrction) = + + 3) f f 5) f = ( )( ) f st la fonction défini sur par : ) Détrminr la fonction dérivé d f ) Etudir l sign d f 3) En déduir ls variations d f sur f = + 3 = + Ercic n (corrction) On considèr la suit u défini sur par un = n n n ) Montrr qu pour tout n, u n u = + n ( ) ) En déduir l sns d variation d u. TS - fonction ponntill Pag 6/46 Vrsion du //6

17 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR Ercic n 3 (corrction) Etudir, dans chaqu cas, la limit d la fonction f n + t n : ) f = ) f 4) f = 5) = ( + ) = + 3) f = ( + ) f Ercic n 4 (corrction) f st la fonction défini sur par : f ) Détrminr la limit d f n ) a) Montrr qu pour tout rél, on a f b) En déduir la limit d f n + = + = + 3) Montrr qu, dans un rpèr, la courb rprésntativ d f st toujours situé au dssus d la droit d'équation y = t n dssous d l'a ds abscisss. TS - fonction ponntill Pag 7/46 Vrsion du //6

18 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR FONCTION EXPONENTIELLE - PROPRIETES ANALYTIQUES - Corrction d l'rcic n 8 (rtour à l'énoncé) ) Puisqu pour tout, on a ) CORRECTION + >, l'équation = 3 = + 4 = = L'équation 3) = admt donc pour nsmbl d solutions 3 + On utilis l'équivalnc v u + t + = n'admt pas d solution = u = v = = + = équation d la form S = = avc a =, b = a b c c =. On calcul son discriminant : b ac l'équation L'équation 4) = 4 = 4 = 5. Puisqu >, b 5 b = admt pour solutions = = t = = a a = admt donc pour nsmbl d solutions + = = + + = équation d la form t c =. On calcul son discriminant : + + = n'admt pas d solution réll b S = ; 4ac = avc a =, b = a b c = = =. Puisqu <, l'équation 5) En posant X =, l'équation + = dvint X X X X + = = = Ainsi ( ) + = = = L'équation + = admt donc pour nsmbl d solutions S = { } 6) Puisqu pour tout, on a >, l'équation = n'admt pas d solution 3 6 ( 3 ) 7) = = = 6 = = 4 = L'équation 3 = admt donc pour nsmbl d solutions S = { } TS - fonction ponntill Pag 8/46 Vrsion du //6

19 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR Corrction d l'rcic n 9 (rtour à l'énoncé) ) L'inéquation admt donc pour nsmbl d solutions S = ] ;] On utilis l'équivalnc v u < u < v ) > > > L'inéquation > admt donc pour nsmbl d solutions S = ] ; + [ 3) L'inéquation admt donc pour nsmbl d solutions S = ] ;] 4) + ( + ) Grâc au tablau d signs d ( ) donc pour nsmbl d solutions S = ] ; ] [ ; + [ + (ci-dssous), on n déduit qu l'inéquation admt 5) Puisqu pour tout, > > > 3 > < L'inéquation ( )( ) 3 + >, l'inéquation ( )( ) + > st équivalnt à + > admt donc pour nsmbl d solutions S = ] ;[ 6) Pour tout, ( ) > > > Puisqu pour tout, >, l'inéquation > > > > > L'inéquation > admt donc pour nsmbl d solutions S = ] ; + [ > st équivalnt à TS - fonction ponntill Pag 9/46 Vrsion du //6

20 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR Corrction d l'rcic n (rtour à l'énoncé) Pour tout : f ) = + + 3= + = ( + ) ) ( 3 ) f = ( + 3+ )( ) ( 3) ( 3 ) ( ) ( 3 3 ) ( ) = = + = + = 3) f ( ) ( + ) ( )( + ) ( + ) ( ( ))( + ) ( )( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + + )( + + ) ( + ) ( )( ) ( + ) 4 ( + ) 4 ( + ) = = = = = = 4) + f = = = = 5) ( ) ( ) ( )( ) ( f = + = ) + ( ) ( ) = + + = + Corrction d l'rcic n (rtour à l'énoncé) ) Pour tout, f = = ( ) ) L sign d f sra donné par clui d. On a > > > > >. Ainsi pour tout ] ; + [, f > t pour tout ] ;[, f <. 3) La fonction f st donc strictmnt décroissant sur ] ;] t strictmnt croissant sur [ ;+ [ TS - fonction ponntill Pag /46 Vrsion du //6

21 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR Corrction d l'rcic n (rtour à l'énoncé) ) Pour tout n, ( n ) n n n n n n n n n = + = = = n+ n u u ) Puisqu pour tout n, n >, l sign d u n+ u sra donné par clui d n n On a > > > n > n> n< On n déduit n n n. n n < un+ un < un+ < un La suit u st donc strictmnt décroissant. Corrction d l'rcic n 3 (rtour à l'énoncé) X ) Puisqu lim = t puisqu lim + X X Puisqu lim = + t puisqu lim + X + ) Puisqu lim = + t lim + Puisqu lim = t lim 3) Puisqu lim Puisqu lim + = + t lim + = t lim 4) Puisqu lim = t lim Pour tout >, f =, on n déduit par composition qu f lim = + = +, on n déduit par composition qu lim f =, on n déduit par somm qu lim f + = +, on n déduit par somm qu lim f = + + =, on n déduit par produit qu lim f + + = +, on n déduit par produit qu lim f = + = + = = +, on n déduit par somm qu lim f = + = =. Puisqu lim = +, on n déduit qu lim + + 5) = ( + ) f Puisqu lim + Pour tout = + t lim + f = +. <, Puisqu lim = t lim = + donc par produit qu lim f + + =, on n déduit par produit qu lim f + =, on n déduit par somm qu f lim = = = + = + TS - fonction ponntill Pag /46 Vrsion du //6

22 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR Corrction d l'rcic n 4 (rtour à l'énoncé) ) Puisqu lim =, on n déduit qu lim = t lim + =, donc par quotint, qu lim f = ) a) Pour tout rél, = = = = = = f X b) Puisqu lim = lim = (n posant X = ), on n déduit qu lim + =, donc par + quotint qu f X lim = + 3) Puisqu pour tout, < +, on aura + < donc + > + c'st-à-dir f ( ) >. La courb rprésntativ d f st donc toujours situé au dssus d la droit d'équation y = D plus, puisqu pour tout, > t + >, on aura + > donc + < c'st-àdir f ( ) <. La courb rprésntativ d f st donc toujours situé n dssous d l'a ds abscisss. TS - fonction ponntill Pag /46 Vrsion du //6

23 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR FONCTION EXPONENTIELLE ET COMPOSITION 8) Fonction ponntill t composé Propriétés : Soit u un fonction dérivabl sur un intrvall I ) La fonction ) La fonction Pruv : ) admis ) Puisqu pour tout I f t u u st dérivabl sur I t sa dérivé st la fonction u a l mêm sns d variation qu la fonction u., u u u f = u t puisqu pour tout I, auront l mêm sign, donc ls variations d f t d u sont idntiqus u >, ls prssions Empl : f =. 5 + Soit f la fonction défini sur par Alors f = u avc u = 5 + u =. On a donc pour tout, 5+ u f = u = TS - fonction ponntill Pag 3/46 Vrsion du //6

24 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR FONCTION EXPONENTIELLE t COMPOSEE - EXERCICES Ercic n 5 (corrction) Calculr la dérivé d la fonction f défini sur par : 3 ) f = ) f = 3) f = + 4) f = + + Ercic n 6 (corrction) Soit f la fonction défini sur ] ;+ [ par : f =. On not C f la courb rprésntativ d f ) Calculr ls limits d f n t n +. Qull conséqunc graphiqu put-on n déduir? ) Etudir l sns d variation d f sur ] ;+ [. 3) Démontrr qu l'équation f ( ) =, admt un uniqu solution α ] ; [ valur approché à l'unité + t donnr un Ercic n 7 (corrction) On étudi l'évolution d'un population d'œufs t d larvs d crtains inscts n fonction du tmps. ) Un laboratoir d rchrch a modélisé l nombr N d'œufs vivants pondus n posant,3t = N où t [ ; + [ st l tmps n mois, t N t a) Donnr un intrprétation concrèt d N N t l nombr d'œufs à l'instant t. b) Sachant qu N =, étudir ls variations t la limit n + d la fonction N t intrprétr ls résultats. c) Construir la courb rprésntativ d N pour t [ ;5] dans un rpèr. d) Résoudr graphiqumnt l'équation N( t) = N ) La fonction L qui associ, à chaqu instant t, l nombr d larvs vivants st défini sur [ ;+ [ L t t = + où,t,3 par : a) Détrminr t t sont ds constants fiés. tls qu L( ) = N = t L = 3,, b) Montrr qu pour tout nombr rél t : 3 t t L t = ( 4 5 ) c) On not α l nombr rél tl qu 4 α =. Démontrr qu L admt un maimum t l précisr. 5 TS - fonction ponntill Pag 4/46 Vrsion du //6

25 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR Ercic n 8 (corrction) ) La tmpératur n C d rfroidissmnt d'un objt fabriqué industrillmnt st un fonction f f t t = + du tmps t, n s, défini sur [ ;+ [ par : On not C sa courb rprésntativ dans un rpèr orthogonal (unités cm pour h n absciss, cm pour C n ordonnés). a) Etudir ls variation d la fonction f sur [ ;+ [ b) Tracr C sur l'intrvall [ ;7 ] c) Utilisr l graphiqu pour détrminr un valur approché, à l'hur près, d l'instant où la tmpératur d l'objt st 5 C. On laissra apparnts ls traits d construction. ) Pour tout n, on pos d = f ( n) f ( n+ ) n d n rprésnt la diminution d tmpératur d l'objt ntr l'hur n t l'hur n + a) Eprimr d n n fonction d n. b) Ecrir un algorithm qui détrminra la plus ptit valur n du nombr ntir naturl n à partir d laqull la diminution d tmpératur d l'objt sra infériur à 5 C c) Détrminr, à l'aid d la calculatric, la valur d n. Ercic n 9 (corrction) f st la fonction défini sur [ ;5 ] par : f = + ) Drssr l tablau d variations d f sur [ ;5 ]. ) Montrr qu l'équation f ( ) = admt un uniqu solution [ ;5] 3) Qul st l rôl d l'algorithm ci-dssous? Entré Saisir p Initialisation a prnd la valur Traitmnt a Tant qu + < fair a prnd la valur a+ p α. Fin Tant qu Sorti Affichr a t a+ p 4) Qu'aurait-il fallu modifir dans ct algorithm si la fonction f avait été décroissant? TS - fonction ponntill Pag 5/46 Vrsion du //6

26 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR Ercic n (corrction) Pour tout ntir rlatif, on not On not f la fonction défini sur par : = ( + ) C la courb rprésntativ d la fonction f dans un rpèr ) Qull st la natur d la fonction f? f ) Détrminr ls points d'intrsction ds courbs C t C. Vérifir qu pour tout ntir rlatif, cs points appartinnnt à la courb C 3) Etudir, suivant ls valurs du nombr rél, l sign d l'prssion ( )( ) En déduir la position rlativ ds courbs 4) Détrminr f (on distingura < t > ) C t C + +. pour tout nombr rél t tout ntir t n déduir l sns d variation d f 5) Dans l rpèr ci-dssous sont rprésntés quatr courbs C,F,H t G corrspondants à 4 valurs différnts du paramètr, parmi ls ntirs -;-3; t. Idntifir ls courbs corrspondant à cs valurs n justifiant la répons. Ercic n (corrction) La fonction cosinus hyprboliqu, noté ch, st défini sur par ch La fonction sinus hyprboliqu, noté ch, st défini sur par sh On not C t S ls courbs rprésntativs ds fonctions ch t sh dans un rpèr orthogonal. ) Etudir l sns d variation t ls limits d la fonction ch sur ) Etudir l sns d variation t ls limits d la fonction sh sur 3) Démontrr qu la courb C st au dssus d la courb S TS - fonction ponntill Pag 6/46 Vrsion du //6 = = +

27 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR 4) Etudir la limit n + d la fonction ch sh 5) Tracr ls courbs C t S. 6) Démontrr qu pour tous nombrs réls a t b, ch( a + b) = ch( a) ch( b) + sh( a) sh( b) sh( a + b) = sh( a) ch( b) + sh( b) ch( a) 7) En déduir qu pour tout nombr rél a : ch( a) = ch ( a) + sh ( a) t sh( a) = sh( a) ch( a) 8) Démontrr qu pour tout nombr rél a, ch ( a) sh ( a) = Ercic n (corrction) La fonction f st défini sur par : f = ( cos + sin ) On not C la courb rprésntativ d f dans un rpèr orthogonal. ) Tracr la courb C à l'écran d votr calculatric. π ) a) Eprimr sin + 4 n fonction d sin ( ) t cos ( ) π f = + 4 b) En déduir qu pour tout nombr rél, sin c) En déduir ls abscisss ds points d'intrsction d la courb C t d l'a ds abscisss. 3) a) Etudir la limit d la fonction f n + b) intrprétr géométriqumnt l résultat obtnu TS - fonction ponntill Pag 7/46 Vrsion du //6

28 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR FONCTION EXPONENTIELLE t COMPOSEE - CORRECTION Corrction d l'rcic n 5 (rtour à l'énoncé) Pour tout, 3 ) f = 3 f ) = + = + = ( + ) 3) f 4) f = = = = = = Corrction d l'rcic n 6 (rtour à l'énoncé) ) On a lim = + t puisqu lim X X + > L'a ds ordonnés st donc asymptot vrtical à la courb = +, on n déduit par composition qu lim f X On a lim = t puisqu lim + X La droit d'équation y = st donc asymptot horizontal à la courb ) Pour tout ] ; + [, aura : Pour tout ] ; [ C f > =, on n déduit par composition qu f f = lim = + C f n + t puisqu pour tout ] ; + [ = + > t <, on +, f <. La fonction f st donc strictmnt décroissant sur ] [ 3) Puisqu lim f = + t lim f =, on a, lim f ;lim f > + + > ;+. Puisqu f st continu t strictmnt décroissant sur ] ;+ [, l'tnsion du corollair du théorèm ds valurs intrmédiairs prmt d'affirmr qu l'équation f ( ) =, admt un uniqu solution α ] ; + [. A l'aid d la calculatric, on trouv qu'un valur approché d α à l'unité près st TS - fonction ponntill Pag 8/46 Vrsion du //6

29 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR Corrction d l'rcic n 7 (rtour à l'énoncé) N N N N N = = = =,,3 ) a) Puisqu b) Pour tout [ ; [ strictmnt décroissant sur [ [ par composition qu,3t,3 t +, on a,3t lim t + N rprésnt l nombr initial d'œufs. t N t = N,3 =,3N < donc la fonction N st T ;+. D plus, lim,3t = t puisqu lim =, on n déduit t + = c'st-à-dir N( t) lim = t + T L nombr N d'œufs vivants pondus vaut initialmnt, diminu avc l tmps jusqu'à s rapprochr d c) cf ci-dssous d) La solution d l''équation N( t) = N = 5 st l'absciss du point d la courb d la fonction N dont l'ordonné st 5. On lit graphiqumnt qu ctt absciss vaut nviron,3. TS - fonction ponntill Pag 9/46 Vrsion du //6

30 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR L = N = on a + = + =,,3 ) a) Puisqu D plus, pour tout t [ ; + [, (, ) t (,3),,3 L ( ) = (, ) + (,3) =,,3. L'égalité ( ) 3,,3 = 3,,3 t = + donc L t L = s réécrit On doit donc résoudr l systèm : + = L = L,,,3 = 3 L,3( ) = 3 L = L = 6 = 5 L, = 6 L = 6 L t Lt = 6 5,,3t La fonction L st donc défini sur [ ;+ [ par,t,3t b) Pour tout t [ ; + [, L ( t) = 6 (, ) 5 (,3) t ( ) = 3 4 5,t, = + 5,t,3t 4 c) On not α l nombr rél tl qu α =. Démontrr qu L admt un maimum t l précisr. 5, 3 t,t L t sra l'opposé d clui d 4 5. Puisqu pour tout t [ ; + [,,t,t 4 <, l sign d α Or 4 5 = = =,t = α t = α où α st l nombr rél tl qu 5,t,t 4,t α D plus, 4 5 > < <,t < α t > α 5 4 α = 5 TS - fonction ponntill Pag 3/46 Vrsion du //6

31 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR L tablau d signs d L ( t) donc clui d variations d L st donc : La fonction L admt donc un maimum lorsqu t = α t c maimum vaut : ( α ) ( α ) ( α ) α α,,3 3 L = 6 5 = α α = 6( ) 5( ) = 6 5 = Corrction d l'rcic n 8 (rtour à l'énoncé) = = < ) a) Pour tout t [ ; + [, f ( t) sur [ ;+ [ t t donc f st strictmnt décroissant b) Voir ci-dssous TS - fonction ponntill Pag 3/46 Vrsion du //6

32 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR c) L'instant où la tmpératur d l'objt st d 5 C st l'absciss du point d C dont l'ordonné vaut 5. On lit graphiqumnt qu ctt absciss vaut nviron 3,75 ) a) Pour tout n : n n+ n n n dn = f ( n) f ( n+ ) = f ( t) = + + = = b) Un algorithm possibl st : Variabl n ntir Initialisation n prnd la valur Traitmnt Sorti Tant qu fair n 5 n prnd la valur n + Fin Tant qu Affichr n c) A l'aid d la calculatric, on trouv n = 5 TS - fonction ponntill Pag 3/46 Vrsion du //6

33 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR Corrction d l'rcic n 9 (rtour à l'énoncé) = ) La fonction f st dérivabl sur [ ;5 ] t pour tout [ ;5], f + Puisqu [ ;5], on a : pour tout [ ;5], f > donc f st strictmnt croissant sur [ ;5 ] 5 Puisqu f ( ) = + = t f ( 5) = +, l tablau d variation d f st : ) f ( ; ) f ( 5) t puisqu f st continu t strictmnt croissant sur [ ] ;5, l théorèm ds valurs intrmédiairs affirm l'istnc t l'unicité d'un valur α [ ;5] solution d l'équation f ( ) =. 3) L'algorithm détrmin un ncadrmnt d'amplitud p d α 4) Il aurait fallu écrir alors f ( a ) > a + > à la plac d a + < car pour tout a [ ; α[ on aurait Corrction d l'rcic n (rtour à l'énoncé) ) Si =, la fonction f st défini sur par : f = + = +, donc ll st affin ) Ls points d'intrsction ds courbs C t C ont ds abscisss solutions d l'équation f = f + = = + =, équation produit admttant du solutions : + = = ou = = ( ) ( ; ) Ls points d'intrsctions sont donc M ; f ( ) = t Soit un ntir rlatif qulconqu. Puisqu f ( ) = ( + ) =, l point ( ; ) Puisqu f ( ) = ( + ) =, l point ( ;) 3) L tablau d signs d l'prssion ( )( ) N f = M appartint à la courb C N appartint à la courb C + st : TS - fonction ponntill Pag 33/46 Vrsion du //6

34 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR Pour tout rél, ( + ) f+ f = + + = + + = + Puisqu pour tout, ( )( ) +. On n déduit qu : Pour ] ; [ ] ; [ >, l sign d f f +, C + st strictmnt au dssus d Pour ] ; [, C st strictmnt au dssus d C + + sra idntiqu à clui d C Ls du courbs C t C + s croisnt pour = t = f 4) Pour tout, = ( + ) + ( + ) = + ( + ) = ( + + ) Si = on a vu dans la qustion ) qu la fonction ll st strictmnt croissant sur. Si, on a f était défini sur par : f = + + = + + = = = Puisqu pour tout, Ainsi : Si >, décroissant sur <, Si sur >, l sign d f st donné par clui d + +. f = +, donc f > + + > > > donc f sra strictmnt ; t strictmnt croissant sur ; + f > + + > < < donc f sra strictmnt croissant ; t strictmnt décroissant sur ; + 5) Si =, f sra strictmnt décroissant sur ] ; ] t strictmnt croissant sur [ ; [ qui corrspond à la courb H +, c TS - fonction ponntill Pag 34/46 Vrsion du //6

35 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR Si =, f sra strictmnt décroissant sur qui corrspond à la courb G Si =, 3 ; t strictmnt croissant sur 3 ; +, c f sra strictmnt croissant sur ] ;] t strictmnt décroissant sur [ [ corrspond à la courb C ;+, c qui Si = 3, f 3 sra strictmnt croissant sur c qui corrspond à la courb F ; 3 t strictmnt décroissant sur ; + 3, Corrction d l'rcic n (rtour à l'énoncé) = =, qui st du sign d ) Pour tout, ch sh On résout :. = = = = = < < < < < Puisqu pour tout ] ;[, ch < on n conclut qu la fonction ch st strictmnt décroissant sur ] ;], puis strictmnt croissant sur [ ;+ [. D plus : lim + = + t lim + lim = t lim = donc par somm, lim ch + = + donc par somm, lim ch + ) Pour tout, sh = = ch = + = + + Or pour tout, > donc la fonction sh st strictmnt croissant sur. D plus : lim + = + t lim + lim = t lim = donc par différnc, lim sh + = + donc par différnc, lim sh = + = + ch sh = = > donc la courb C st strictmnt au 3) Pour tout, dssus d la courb S 4) Pour tout, ch sh + =. Comm lim =, on n déduit ch sh lim = + TS - fonction ponntill Pag 35/46 Vrsion du //6

36 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR 5) Voir ci-dssous 6) Pour tous nombrs réls a t b, On calcul ch( a) ch( b) sh( a) sh( b) = + a a b b a a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b = = + 4 a b ( a+ b + ) + = ch( a + b) On calcul sh( a) ch( b) sh( b) ch( a) = + a a b b b b a a a a b b b b a a + + = + a b a b a b a b b a b a b a b a a b a b = = 4 a b ( a+ b + ) = sh( a + b) 7) En utilisant la qustion 6 : Pour tout nombr rél a : ch( a) = ch( a + a) = ch( a) ch( a) + sh( a) sh( a) = ch ( a) + sh ( a) t sh( a) = sh( a+ a) = sh( a) ch( a) + sh( a) ch( a) = sh( a) ch( a) TS - fonction ponntill Pag 36/46 Vrsion du //6

37 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR 8) Pour tout nombr rél a : + a a a a a a a a a a a a = = ch a sh a 4 a a a a = [ ] 4 + = + = 4 Corrction d l'rcic n (rtour à l'énoncé) ) L'affichag d la courb sur n'st pas simpl à visualisr, car il y a un parti "sur ] ;]" : t un parti "sur [ ;+ [ " : π π π ) a) Pour tout nombr rél, sin + = sin cos + sin cos = sin + cos b) Pour tout nombr rél, π π sin + cos = sin + = sin π f = sin + 4 c) Ls points d'intrsction d la courb C t d l'a ds abscisss ont pour abscisss ls nombrs π 4 solutions d l'équation f = sin + = donc. Puisqu pour tout, >, ctt π π π, π, π + = + équation st équivalnt à sin 4 = = 4 π 3π + = π + lπ, l = + lπ, l 4 4 Ls abscisss ds points d'intrsction d la courb C t d l'a ds abscisss appartinnnt donc à l'nsmbl π 3π + π, ; + lπ, l 4 4 π 3) a) Pour tout, sin + 4 > c'st-à-dir f. π donc sin + 4 X Pusiqu lim = lim =, on n déduit qu lim = lim =, donc qu + X + + lim f = par application du théorèm d'ncadrmnt dit "ds gndarms". + b) L'a ds abscisss st donc asymptot obliqu à la courb C n + TS - fonction ponntill Pag 37/46 Vrsion du //6 car

38 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR FONCTION EXPONENTIELLE - EXERCICES DE SYNTHESE Ercic n 3 - d'après Bac S Polynési 6 (corrction) Parti A Voici du courbs C t C qui donnnt pour du prsonns P t P d corpulncs différnts la concntration C d alcool dans l sang (tau d alcoolémi) n fonction du tmps t après ingstion d la mêm quantité d alcool. L instant t = corrspond au momnt où ls du individus ingèrnt l alcool. C st primé n gramm par litr t t n hur. Définition : La corpulnc st l nom scintifiqu corrspondant au volum du corps. La fonction C st défini sur l intrvall [ ;+ [ t on not C sa fonction dérivé. À un instant t positif ou nul, la vitss d apparition d alcool dans l sang st donné par C (t ). À qul instant ctt vitss st-ll maimal? On dit souvnt qu un prsonn d faibl corpulnc subit plus vit ls ffts d l alcool.. Sur l graphiqu précédnt, idntifir la courb corrspondant à la prsonn la plus corpulnt. Justifir l choi ffctué. 3. Un prsonn à jun absorb d l alcool. On admt qu la concntration C d alcool dans son sang t put êtr modélisé par la fonction f défini sur [ ;+ [ par f ( t) At positiv qui dépnd d la corpulnc t d la quantité d alcool absorbé. a. On not f la fonction dérivé d la fonction f. Détrminr f (). b. L affirmation suivant st-ll vrai? = où A st un constant «À quantité d alcool absorbé égal, plus A st grand, plus la prsonn st corpulnt.» TS - fonction ponntill Pag 38/46 Vrsion du //6

39 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR Parti B - Un cas particulir Paul, étudiant d 9 ans d corpulnc moynn t jun conductur, boit du vrrs d rhum. La concntration C d alcool dans son sang st modélisé n fonction du tmps t, primé n hur, par la fonction f défini sur [ ;+ [ par f ( t) = t t. Étudir ls variations d la fonction f sur l intrvall [ ;+ [.. À qul instant la concntration d alcool dans l sang d Paul st-ll maimal? Qull st alors sa valur? Arrondir à - près. 3. Rapplr la limit d t t Intrprétr l résultat dans l contt d l rcic. lorsqu t tnd vrs + t n déduir cll d f ( t ) n + 4. Paul vut savoir au bout d combin d tmps il put prndr sa voitur. On rappll qu la législation autoris un concntration maimal d alcool dans l sang d, g.l - pour un jun conductur. a. Démontrr qu il ist du nombrs réls t t t tls qu f (t ) = f (t ) =,. b. Qull duré minimal Paul doit-il attndr avant d pouvoir prndr l volant n tout légalité? Donnr l résultat arrondi à la minut la plus proch. 5. La concntration minimal d alcool détctabl dans l sang st stimé à 5 3 g.l -. a. Justifir qu il ist un instant T à partir duqul la concntration d alcool dans l sang n st plus détctabl. b. On donn l algorithm suivant où f st la fonction défini par f ( t) = t t. Initialisation : t prnd la valur 3,5 p prnd la valur,5 C prnd la valur, Traitmnt : Tant qu C > 5 3 fair : t prnd la valur t +p C prnd la valur f (t) Fin Tant qu Sorti : Affichr t Rcopir t complétr l tablau d valurs suivant n écutant ct algorithm. Arrondir ls valurs à - près. Initialisation Étap Étap p,5 t 3,5 C, Qu rprésnt la valur affiché par ct algorithm? TS - fonction ponntill Pag 39/46 Vrsion du //6

40 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR Ercic n 4 - d'après Bac S Pondichry 6 (corrction) On souhait stérilisr un boît d consrv. Pour cla, on la prnd à la tmpératur ambiant T = 5 C t on la plac dans un four à tmpératur constant TF = C. La stérilisation début dès lors qu la tmpératur d la boît st supériur à 85 C. t désign un rél positif. On suppos qu à l instant t (primé n minuts), la tmpératur d la boît st donné par f (t ) (primé n dgré Clsius) avc : f ( t) = 75. a. Étudir l sns d variations d f sur [ ;+ [. b. Justifir qu si t > alors f (t )>85.. Soit θ un rél supériur ou égal à. ln 5 t On not A( θ ) l domain délimité par ls droits d équation t =, t = θ, y = 85 t la courb rprésntativ Cf d f. On considèr qu la stérilisation st fini au bout d un tmps θ, si l air, primé n unité d air du domain A( θ ) st supériur à 8. a. Justifir, à l aid du graphiqu qu l on a A(5) > 8. b. Justifir qu, pour θ, on a ( θ) ( θ ) ln 5 t A = 5 75 dt c. La stérilisation st-ll fini au bout d minuts? θ TS - fonction ponntill Pag 4/46 Vrsion du //6

41 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR Ercic n 5 - concours FESIC/Puissanc sssion 6 (corrction) VRAI ou FAUX? On considèr la fonction f défini sur par On définit f la dérivé d f t f la dérivé d f. = + t f = ( ) f 5 a. b. > < ln. c. La fonction f st croissant sur [ ;+ [ d. f st décroissant sur [ ;+ [ f = TS - fonction ponntill Pag 4/46 Vrsion du //6

42 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR FONCTION EXPONENTIELLE - EXERCICES DE SYNTHESE - CORRECTION Corrction d l'rcic n 3 - d'après Bac S Polynési 6 (rtour à l'énoncé) Parti A. La vitss st visiblmnt maimal pour t = car c st la tangnt au courbs n O(;) qui smbl avoir l cofficint dirctur l plus élvé parmi touts ls tangnts.. La courb C montr qu l tau d alcoolémi d P admt un maimum plus élvé qu pour P. On n déduit qu la prsonn la moins corpulnt st P 3. a. f st dérivabl sur [ ;+ [ comm produit d fonctions dérivabls sur [ ;+ [. Pour tout t [ ; + [, f( t) ut vt = avc At t = u t = vt donc A t = u t = v t d où : t t t = + = = ( ) donc ( ) ( ) f t u t v t u t v t A At A t b. L affirmation st FAUSSE t t t si A > A alors At > At car t > sur sur [ [ ;+. f = A = A On n déduit qu la courb associé à A st au dssus d cll associé à A donc la prsonn associé à A st d plus faibl corpulnc qu la prsonn associé à A Parti B - Un cas particulir. On a vu dans la parti précédnt qu pour tout t [ ; + [, ( ) f ( t) st du sign d -t, on put donc détrminr ls variations d f sur [ ;+ [ f t = A t t t or A > donc. La concntration d alcool dans l sang d Paul st maimal h après l absorption. Ell st alors d nviron,74 g.l - t 3. lim t + t = + donc f ( t) t lim = lim = lim = par quotint t + t + t t t + t On n déduit qu l alcool finit par s éliminr totalmnt. TS - fonction ponntill Pag 4/46 Vrsion du //6

43 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR 4. a. f st continu t strictmnt croissant sur [,] à valurs dans ;. Or, ; un uniqu solution t sur [;] donc d après l théorèm ds valurs intrmédiairs, l équation f (t ) =, admt D mêm, f st continu t strictmnt décroissant sur [ ; + [ à valurs dans Or, ; un uniqu solution t sur [ ; + [ ; donc d après l théorèm ds valurs intrmédiairs, l équation f (t ) =, admt b. Par balayag, on obtint t, t t 3,577 donc Paul doit attndr au minimum 3 hurs t 35 minuts avant d rprndr l volant. 5. a. On sait qu f ( t) lim = donc par définition d la limit, pour tout ε > il ist T tl t + qu pour tout t > T, f ( t) ] εε ; [. Ici on pos ε = 5 Donc il ist un instant T à partir duqul l alcool n st plus détctabl dans l sang b. Initialisation Étap Étap p,5,5,5 t 3,5 3,75 4 C,,8,5 La valur affiché par l algorithm st l tmps nécssair, n hur, pour qu l alcool n soit plus détctabl dans l sang. Si on poursuit l algorithm jusqu à son trm, on obtint 8,5 à l affichag donc il faut 8 h t 5 minuts pour qu l alcool n soit plus détctabl dans l sang 3 Corrction d l'rcic n 4 - d'après Bac S Pondichry 6 (rtour à l'énoncé). a. La fonction f st dérivabl sur t ln 5 ln 5 t t ln 5 f t = 75 = 7,5ln5 > car pour tout rél on a > La fonction f st donc strictmnt croissant sur [ ;+ [ TS - fonction ponntill Pag 43/46 Vrsion du //6

44 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR b. ln 5 ln 5 75 f = 75 = 75 = 75 = = 5 = 85 ln 5 5 Or la fonction f st strictmnt croissant donc si >, alors f () > f () c qui vut dir qu f ( ) > 85. a. A(5) st rprésnté n gris sur l graphiqu ci-dssus. Chaqu rctangl corrspond à 5 5 unités d air. En comptant ls rctangls inclus dans la parti grisé, on n compt 3 rctangls ntirs plus un dmi, c qui fait 3,5 5 = 87,5 unités d air. Donc A(5) > 8. b. On calcul : θ ln 5 ln 5 ( ) θ t θ t A θ = f t 85 dt = dt = 5 75 dt θ θ ln 5 ln 5 ln t θ [ ] θ 5 75 t 5( ) θ 75 t θ = dt dt = t dt = dt c. On calcul : TS - fonction ponntill Pag 44/46 Vrsion du //6

45 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR ln 5 ln 5 t t 75 ln 5 ln 5 A( ) = 5( ) 75 dt = 5 75 = 5 + ln 5 ln 5 75 ln 5 ln = 5 + ( ) = 5 + = 5 + ln 5 ln ln = ln 5 = 5 75, 44 8 ln5 < La stérilisation n st donc pas fini au bout d minuts. Corrction d l'rcic n 5 - concours FESIC/Puissanc sssion 6 (rtour à l'énoncé) f 5 a. VRAI. Pour tout rél, = + t f = 4 = ( ) b. FAUX. Par strict croissanc d la fonction ln sur ] ;+ [, on a : > > > ln > ln c. VRAI. Puisqu pour tout rél, >, l sign d f D après la qustion c), on a donc : pour tout ln f <. La fonction f st donc croissant sur ln ( ); d. FAUX D après la qustion c), la fonction f attint son minimum pour = -ln() On calcul : sra donné par clui d. >, f > t pour tout ln + donc sur ] ;+ [ ln ln ln ln ln 4 ln 7 4 <, f ln = + 5= + 5= + 5= + 5= 4 f >. La fonction f st donc croissant sur On n conclut qu pour tout [ ; [ [ ;+ [ + on a TS - fonction ponntill Pag 45/46 Vrsion du //6

46 Cours t rcics corrigés d mathématiqus - TS - documnt gratuit disponibl sur JGCUAZ.FR FONCTION EXPONENTIELLE COMMENT FAIRE? La fonction ponntill st l uniqu fonction dérivabl sur égal à sa dérivé, t vérifiant p( ) =. Ell st strictmnt positiv t strictmnt croissant sur On not généralmnt au liu d p() SAVOIR COMMENT FAIRE? Effctur ds calculs algébriqus avc ds nombrs d la form Résoudr un équation : v u = ou un inéquation : v < u - On utilis ls propriétés algébriqus d la fonction p : Pour tout rél, tout rél y, t tout ntir rlatif n, = = y y = + y y = ( ) n = - L équation ou l inéquation sront bin définis dès qu u t v l sront. - On utilis ls équivalncs : pour tous réls a t b, a b = a = b a b a b < < (strict croissanc d la fonction p) n Ecrir un rél sous la form - On utilis un changmnt d variabl comm = = X - Si, c st impossibl car, pour tout rél, > - Si >, alors X =, d sort qu ln = où ln désign l logarithm népérin d Résoudr un équation : ln ou = m (avc m ) = p (avc p>) - On utilis l fait qu la fonction p t la fonction ln sont réciproqus l un d l autr, c st-à-dir : m ln a = m a =, valabl pour a> t pour m rél qulconqu Calculr ds limits - On utilis ls limits d référnc, pour tout ntir naturl n : En En + En lim = + n lim = lim + lim + n = + = + lim = Calculr ds dérivés ou ds primitivs A l infini, l ponntill d l mport sur tout puissanc d - On utilis la dérivé d p : pour tout, ( p ) = p u = u pu - On utilis la dérivation ds fonctions composés ( p ) TS - fonction ponntill Pag 46/46 Vrsion du //6