Licence de mathématiques & licence M.A.S.S. Méthodes et analyse numériques

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1 Licence de mthémtiques & licence MASS Méthodes et nlyse numériques

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3 CHAPITRE 1 Interpoltion polynomile On une fonction f(x) inconnue sur un intervlle [, b] On veut l pprocher à l ide de vleurs de f(x) ou de s dérivée en certins points f(x 0 ), f(x 1 ),, f(x n ), f (x 0 ), f (x 1 ),, f (x n ), où x 0,, x n [, b] Pour cel, on cherche un polynôme p(x) tel que Il fut (1) clculer p, p(x 0 ) = f(x 0 ), p(x 1 ) = f(x 1 ),, p(x n ) = f(x n ), p (x 0 ) = f (x 0 ), p (x 1 ) = f (x 1 ),, p (x n ) = f (x n ), () mjorer l différence f(x) p(x) Cel dépend du degré du polynôme d interpoltion, du choix des points, du choix de l méthode, de l prise en compte ou non des dérivées de f On note P n l espce des polynômes de degré inférieur ou égl à n 1 Interpoltion de Lgrnge Définition 11 Soit x 0, x 1,, x n des réels distincts On ppelle polynômes de bse dns l interpoltion de Lgrnge ssociés à ces points les polynômes n (x x j ) L i (x) := j i, 0 i n n (x i x j ) j i Exemple 11 Si n = 1 et x 0 x 1 L 0 (x) := x x 1, L 1 (x) := x x 0 x 0 x 1 x 1 x 0 Si n = et x 0, x 1, x sont distincts L 0 (x) := (x x 1)(x x ) (x 0 x 1 )(x 0 x ), L 1 (x) := (x x 0)(x x ) (x 1 x 0 )(x 1 x ), L (x) := (x x 0)(x x 1 ) (x x 0 )(x x 1 ) 1

4 1 INTERPOLATION POLYNOMIALE y x y x -1 - Fig 1 Polynômes de bse dns l interpoltion de Lgrnge ssociés ux points 0 et 1 (à guche) et ux points 0, 1 et 3 (à droite) Ils sont trcés sur l Figure 1 Proposition 11 Soit x 0, x 1,, x n des réels distincts Les polynômes de bse de Lgrnge ssociés forment une bse de P n Démonstrtion On deg(l i ) = n, donc (L i ) 0 i n P n Ils vérifient L i (x k ) = δ i,k, 0 i, k n, donc ils forment une fmille libre de P n : en effet i L i (x) = 0 k i L i (x k ) = 0 k k = 0 i=0 i=0 Comme P n est un espce vectoriel de dimension n + 1, l fmille (L i ) 0 i n forme une bse de P n Corollire Soit x 0, x 1,, x n des réels distincts et f 0, f 1,, f n des réels (ou des complexes) Il existe un seul polynôme p P n tel que On i 0 i n p(x i ) = f i p(x) = f i L i (x) i=0 En prticulier, si f est une fonction définie sur un intervlle [, b] et si les points x 0, x 1,, x n pprtiennent à [, b], il existe un seul polynôme p P n tel que i 0 i n p(x i ) = f(x i ) On l ppelle le polynôme d interpoltion de Lgrnge de f ux points x 0, x 1,, x n L formule d interpoltion de Lgrnge n (x x j ) j i p(x) = f(x i )L i (x) = f(x i ) n i=0 i=0 (x i x j ) j i

5 1 INTERPOLATION DE LAGRANGE 3 oblige à clculer de nouveu toutes les quntités qund on joute un point d interpoltion x n+1 L formule de Newton permet d éviter cet inconvénient Soit i 0, i 1,, i k {0, 1,, n}; on note p i0,,i k le polynôme (de degré k) d interpoltion de Lgrnge de f ux points x i0, x i1,, x ik On p i (x) = f(x i ), si k 1, le polynôme p i0,,i k p i0,,i k 1 s nnule ux points et est donc divisible pr x i0, x i1,, x ik 1, (x x i0 )(x x i1 ) (x x ik 1 ) Définition 1 Soit x 0, x 1,, x n des points distincts d un intervlle [, b] et f une fonction définie sur [, b] Si i 0, i 1,, i k sont des indices compris entre 0 et n, on ppelle différences divisées d ordre k de f ux points x i0, x i1,, x ik et on note les nombres définis pr f[x i0 ] = f(x i0 ), si k 1, soit donc f[x i0,, x ik ] p i0,,i k (x) = p i0,,i k 1 (x) + f[x i0,, x ik ](x x i0 )(x x i1 ) (x x ik 1 ) Exemple 1 Soit x i x j : le polynôme p i,j (x) p i (x) s nnule en x i p i,j (x) = p i (x) + f[x i, x j ](x x i ), f(x i ) x x j x i x j + f(x j ) x x i x j x i = f(x i ) + f[x i, x j ](x x j ), f[x i, x j ] = f(x j) f(x i ) x j x i = f[x j] f[x i ] x j x i Remrque 11 Le nombre f[x i0,, x ik ] est le coefficient du terme de plus hut degré (k) du polynôme d interpoltion de Lgrnge p i0,,i k Donc il ne dépend ps de l ordre des points Proposition 1 Soit x 0,, x n des points distincts d un intervlle [, b] et f une fonction définie sur [, b] Les différences divisées de f vérifient f[x i ] = f(x i ), f[x i0,, x ik ] = f[x i 1,, x ik ] f[x i0,, x ik 1 ] x ik x i0, 1 k n

6 4 1 INTERPOLATION POLYNOMIALE Démonstrtion Le polynôme pprtient à P k et vérifie q(x) := (x x i 0 )p i1,,i k (x) (x x ik )p i0,,i k 1 (x) x ik x i0 q(x i0 ) = p i0,,i k 1 (x i0 ) = f(x i0 ), q(x i ) = (x i x i0 )p i1,,i k (x i ) (x i x ik )p i0,,i k 1 (x i ) x ik x i0 = (x i x i0 )f(x i ) (x i x ik )f(x i ) x ik x i0 = f(x i ), pour i {i 1, i, i k 1 }, q(x ik ) = p i0,,i k 1 (x ik ) = f(x ik ), donc q est le polynôme d interpoltion de Lgrnge p i0,,i k Le coefficient du terme de plus hut degré de q est d où le résultt f[x i1,, x ik ] f[x i0,, x ik 1 ] x ik x i0, Algorithme 11 (Newton) On clcule de proche en proche suivnt le digrmme pr exemple, f[x 0 ] f[x 0, x 1 ] f[x 1 ] f[x 0, x 1, x ] f[x 1, x ] f[x 0, x 1, x, x 3 ] f[x ] f[x 1, x, x 3 ] f[x, x 3 ] f[x 3 ] f[x 0 ] = f(x 0 ), f[x 0, x 1 ] = f[x 1] f[x 0 ] x 1 x 0, f[x 0, x 1, x ] = f[x 1, x ] f[x 0, x 1 ] x x 0, f[x 0, x 1, x, x 3 ] = f[x 1, x, x 3 ] f[x 0, x 1, x ] x 3 x 0, d où le nom de différences divisées

7 1 INTERPOLATION DE LAGRANGE 5 Proposition 13 Soit x 0, x 1,, x n des points distincts d un intervlle [, b] et f une fonction définie sur [, b] Le polynôme p d interpoltion de Lgrnge de f ux points x 0, x 1,, x n vérifie p(x) = f[x 0, x 1,, x i ](x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 ), formule de Newton i=0 Démonstrtion Pr récurrence sur n : p 0 (x) = f[x 0 ], p 0,,n (x) = p 0,,n 1 (x) + f[x 0,, x n ](x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) On s intéresse mintennt à l estimtion de l erreur d interpoltion f(x) p(x) Proposition 14 Soit f une fonction définie sur un intervlle [, b], qui est n + 1 fois continûment dérivble sur l intervlle (, b) et dont toutes les dérivées jusqu à l ordre n se prolongent continûment sur l intervlle [, b] Soit x 0, x 1,, x n des points distincts de [, b] et p le polynôme d interpoltion de Lgrnge de f ux points x 0, x 1,, x n Pour tout x [, b], il existe ξ x pprtennt à l intérieur du plus petit intervlle fermé contennt les points x, x 0, x 1,, x n tel que (11) f(x) p(x) = f (n+1) (ξ x ) (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) (n + 1)! Démonstrtion Si x {x 0, x 1,, x n }, les deux membres de l églité (11) sont nuls : elle est donc vérifiée Si x / {x 0, x 1,, x n }, soit [α, β] le plus petit intervlle fermé contennt les points x, x 0, x 1,, x n On note On π(y) := (y x 0 )(y x 1 ) (y x n ), y R, c := g(y) := f(y) p(y) cπ(y), g(x) = f(x) p(x) cπ(x) = 0, y [, b] g(x i ) = f(x i ) p(x i ) cπ(x i ) = 0, 0 i n f(x) p(x), π(x) D près le théorème de Rolle, il existe n + 1 points distincts x 1 0, x 1 1,, x 1 n pprtennt à l intervlle (α, β) tels que g (x 1 i ) = 0, 0 i n En utilisnt de nouveu le théorème de Rolle, on montre qu il existe n points distincts x 0, x 1,, x n 1 pprtennt à l intervlle (α, β) tels que g (x i ) = 0, 0 i n 1 etc On obtient finlement un point ξ x := x n+1 0 pprtennt à (α, β) tel que g (n+1) (ξ x ) = 0,

8 6 1 INTERPOLATION POLYNOMIALE c est-à-dire et comme on d où le résultt donc soit donc f (n+1) (ξ x ) p (n+1) (ξ x ) cπ (n+1) (ξ x ) = 0, y (, b) p (n+1) (y) = 0, π (n+1) (y) = (n + 1)! f (n+1) (ξ x ) = (n + 1)! f(x) p(x), π(x) Remrque 1 Si x / {x 0, x 1,, x n }, on pose x n+1 := x ; on p 0,,n+1 (y) = p(y) + f[x 0, x 1,, x n+1 ]π(y), p 0,,n+1 (x n+1 ) = f(x n+1 ) = p(x n+1 ) + f[x 0, x 1,, x n+1 ]π(x n+1 ), f(x n+1 ) p(x n+1 ) = f[x 0, x 1,, x n+1 ]π(x n+1 ) f[x 0, x 1,, x n+1 ] = f (n+1) (ξ x ) (n + 1)! Cel donne le résultt suivnt : soit f une fonction définie sur un intervlle [, b], qui est n fois continûment dérivble sur l intervlle (, b) et dont toutes les dérivées jusqu à l ordre n 1 se prolongent continûment sur l intervlle [, b] ; soit x 0, x 1,, x n des points distincts de [, b] ; il existe ξ pprtennt à l intérieur du plus petit intervlle fermé contennt les points x 0, x 1,, x n tel que f[x 0, x 1,, x n ] = f (n) (ξ) n! Corollire Soit f une fonction définie sur un intervlle [, b], qui est n + 1 fois continûment dérivble sur l intervlle (, b) et dont toutes les dérivées jusqu à l ordre n se prolongent continûment sur l intervlle [, b] Soit x 0, x 1,, x n des points distincts deux à deux de [, b] et p le polynôme d interpoltion de Lgrnge de f ux points x 0, x 1,, x n Alors sup f(x) p(x) x [,b] 1 (n + 1)! sup f (n+1) (x) sup (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) x [,b] x [,b] Remrque 13 Soit (n m ) m 1 une suite d entiers telle que et, pour m 1, lim n m = + m h m := b n m et x m j := + jh m, 0 j n m Soit p m le polynôme d interpoltion de Lgrnge de f ux points x m 0, x m 1,, x m n m : il est de degré n m On n ps nécessirement Voir Exemple 13 lim sup m x [,b] f(x) p m (x) = 0

9 POINTS DE TCHEBYCHEV 7 Remrque 14 Soit n un entier et soit (l k ) k 1 une suite d entiers telle que Pour k 1, soit Pour k 1 et 0 i < l k, soit lim l k = + k h k := b l k et k i := + ih k, 0 i l k k i = x k,i 0 < x k,i 1 < < x k,i n 1 < xk,i n = k i+1 et p k,i le polynôme d interpoltion de Lgrnge de f ux points x k,i 0, xk,i 1,, xk,i n : il est de degré n On note On M n+1 := sup f(x) p k,i (x) M n+1 x [ k i,k i+1 ] (n + 1)! sup f (n+1) (x) x [,b] M n+1 (n + 1)! hn+1 k Soit g k l fonction continue, définie pr morceux : On et g k (x) = p k,i (x), lim sup k x [,b] sup x x k,i x [ k i,k i+1 ] 0 x xk,i x [ k i, k i+1] f(x) g k (x) = 0 Exemple 13 (Phénomène de Runge) Soit f(x) := 1, 5 x +5, 1 + x x m i := i m, 0 i m Soit p m le polynôme (de degré m) d interpoltion de Lgrnge de f ux points x m 0, x m 1,, x m m : on trcé sur l Figure l fonction f(x) et les polynômes p 5 (x) et p 10 (x) n on Points de Tchebychev Avec des points équidistnts entre et b : x i := + i(b ), 0 i n, n (1) mx (x x n!(b )n+1 0)(x x 1 ) (x x n ) x [,b] n n+1 Ln (n + 1) Le choix d utres points permet une meilleure mjortion

10 8 1 INTERPOLATION POLYNOMIALE y x Fig Phénomène de Runge : f(x) = 1/(1 + x ) (trit épis) et ses polynômes d interpoltion de Lgrnge de degré 5 (trit fin) et 10 (trit moyen) en des points équidistnts Définition 13 On ppelle polynômes de Tchebychev de première espèce les polynômes définis pr ( 1) n ch (nrgch( x)) si x 1, T n (x) := cos(n rccos x) si 1 x 1, ch (nrgch x) si x 1 Exemple 14 Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sont T 0 (x) := 1, T 1 (x) := x, T (x) := x 1, T 3 (x) := 4x 3 3x L représenttion grphique des polynômes T 5, T 10, T 15, T 0 est donnée sur l Figure 3 Lemme 11 Le polynôme de Tchebychev de première espèce T n est de degré n et le coefficient de son terme de plus hut degré est égl à n 1, Démonstrtion On fit l démonstrtion sur [ 1, +1] Soit 1 t 1 : on note t = cos θ, vec 0 θ π Alors T n (t) = cos nθ = 1 ( e ınθ + e ınθ) = 1 ((cos θ + ı sin θ)n + (cos θ ı sin θ) n ) = 1 ((t + ı ) n 1 t + (t ı ) n ) 1 t ( = 1 n ( ) n ( ) n ı m t n m (1 t ) m/ + )( ı) m t n m (1 t ) m/ m m m=0 m=0 ( ) n = ( 1) m/ t n m (1 t ) m/, m m=0 m pir donc T n P n et le coefficient de son terme de plus hut degré est égl à ( ) n m m=0 m pir

11 POINTS DE TCHEBYCHEV Fig 3 Polynômes de Tchebychev de première espèce : T 5 (en hut, à guche), T 10 (en hut, à droite), T 15 (en bs, à guche), T 0 (en bs, à droite) En écrivnt 1 n = 1 ((1 + 1)n + (1 1) n ) = 1 on obtient le résultt nnoncé ( n m=0 ( ) n m + m=0 ( ) n )( 1) m = m m=0 m pir ( ) n, m On note P n le sous-ensemble des polynômes de degré n dont le coefficient du terme de plus hut degré est égl à 1 Si < b sont deux réels, on note C([, b]) l espce des fonctions continues définies sur l intervlle [, b] On note,[,b] l norme sur C([, b]) définie pr donc f,[,b] := mx x [,b] f(x) Proposition 15 Les polynômes de Tchebychev de première espèce vérifient min p,[ 1,+1] = T n,[ 1,+1] p P n n 1 Démonstrtion On 1 n 1 T n P n, inf p,[ 1,+1] 1 p P n n 1 T n,[ 1,+1] Le polynôme T n tteint ses vleurs extrêmes sur l intervlle [ 1, +1] ux points t k := cos kπ n, 0 k n,

12 10 1 INTERPOLATION POLYNOMIALE où T n (t k ) = ( 1) k Supposons qu il existe p P n tel que Soit On q P n 1, q 0 et p,[ 1,+1] < 1 n 1 q(t) := 1 n 1 T n(t) p(t) q(t k ) = ( 1)k n 1 p(t k), 0 k n, donc q(t k ) le même signe que ( 1) k D près le théorème des vleurs intermédiires, il existe donc des points distincts τ 1, τ,, τ n ( 1, +1) tels que q(τ k ) = 0, 1 k n, donc q = 0, ce qui est impossible : d où le résultt vérifie Corollire Soit < b deux réels et n N : le polynôme Θ n (x) := 1 ( ) n ( ( b n 1 T n x + b )), x b b min p,[,b] = Θ n,[,b] p P n Démonstrtion À p P n on ssocie p P n pr ( ) n ( b p(t) := p b t + + b ), 1 t 1 On ( ) n ( ( b p(x) := p x + b )), x b b On définit insi une bijection p P n p P n, qui vérifie ( ) n p,[ 1,+1] = p,[,b] b et Donc inf p,[,b] = p P n qui est le résultt nnoncé Θ n = T n n 1 ( ) n ( b b inf p,[ 1,+1] = p P n ( ) n b = Θ n,[ 1,+1] = Θ n,[,b], ) n T n n 1,[ 1,+1] Notons ( ) (k + 1)π t k := cos, 0 k n, n + les zéros du polynôme de Tchebychev de première espèce T n+1 : on T n+1 (t) = n (t t 0)(t t 1) (t t n)

13 3 INTERPOLATION D HERMITE 11 Log c n Fig 4 Comprison des coefficients c qui pprissent dns l mjortion de l erreur d interpoltion de Lgrnge utilisnt des points uniformément réprtis (c u ) ou des points de Tchebychev (c t : on joint les vleurs pr une droite) On utilisé une échelle logrithmique sur l xe des ordonnées Si < b sont deux réels, on note Alors donc min x 0,x 1,,x n [,b] et x k := b t k + + b, 0 k n Θ n+1 (x) = (x x 0)(x x 1) (x x n), mx (x x 0)(x x 1 ) (x x n ) = mx x [,b] x [,b] (x x 0)(x x 1) (x x n) mx (x x [,b] x 0)(x x 1) (x x n) = Θ n+1,[,b] = 1 ( ) n+1 b n T n+1,[ 1,+1] = (b )n+1 n+1, cr T n+1,[ 1,+1] = 1 Le choix des points de Tchebychev x i, 0 i n méliore l mjortion (1) trouvée pour les points équidistnts On compré sur l Figure 4 les deux coefficients c u := n! n n+1 Ln (n + 1) et c t := 1 n+1 3 Interpoltion d Hermite Proposition 16 Soit x 0, x 1,, x m des réels distincts et k 0, k 1,, k m des entiers non nuls Pour tout indice i : 0 i m, soit fi 0, f i 1,, f ki 1 i des réels (ou des complexes) On pose n + 1 := k 0 + k k m Il existe un seul polynôme p P n tel que (31) i 0 i m k 0 k < k i p (k) (x i ) = f k i

14 1 1 INTERPOLATION POLYNOMIALE En prticulier, si f est une fonction définie sur un intervlle [, b], si les points x 0, x 1,, x m pprtiennent à [, b] et si, pour tout i : 0 i m, f une dérivée d ordre k i u point x i, il existe un seul polynôme p P n tel que i 0 i m k 0 k < k i p (k) (x i ) = f (k) (x i ) On l ppelle le polynôme d interpoltion d Hermite de f reltivement ux points x 0, x 1,, x m et ux entiers k 0, k 1,, k m Démonstrtion Si les inconnues sont les coefficients du développement de p dns une bse de P n, les équtions (31) forment un système linéire de n + 1 équtions à n+1 inconnues : pour montrer que c est un système de Crmer, il suffit de montrer que le système homogène ssocié pour seule solution 0 R n+1 Soit donc p 0 P n tel que i 0 i m k 0 k < k i p (k) 0 (x i) = 0 Alors il existe un polynôme q tel que p 0 (x) = q(x) m (x x i ) ki Comme deg(p 0 ) n, on nécessirement q = 0 donc p 0 = 0, d où le résultt i=0 Définition 14 Soit x 0, x 1,, x m des réels distincts et k 0, k 1,, k m des entiers non nuls Pour 0 i m et 0 k < k i, on note L i,k (x) := (x x i) k m ( ) kj x xj k! x i x j On ppelle polynômes de bse dns l interpoltion d Hermite ssociés ux points x 0, x 1,, x m et ux entiers k 0, k 1,, k m, les polynômes pour 0 i m L i,ki 1(x) := L i,ki 1(x), L i,k (x) := L i,k (x) Les polynômes L i,k vérifient L i,k P n, donc les polynômes L i,k vérifient L i,k P n, k i 1 l=k+1 j i L (l) i,k (x j) = 0, j i 0 l < k j, L (l) i,k (x i)l i,l (x), 0 k < k i 1, L (l) i,k (x i) = 0, 0 l < k et L (k) i,k (x i) = 1, L (l) i,k (x j) = δ i,j δ k,l, 0 i, j m 0 k < k i 0 l < k j Pr conséquent, on l formule d interpoltion d Hermite : le polynôme d interpoltion d Hermite de f reltivement ux points x 0, x 1,, x m et ux entiers

15 4 SPLINES CUBIQUES 13 k 0, k 1,, k m est p(x) = m k i 1 i=0 k=0 f (k) (x i )L i,k (x) Proposition 17 Soit f une fonction définie sur un intervlle [, b], qui est n+1 fois continûment dérivble sur l intervlle (, b) et dont toutes les dérivées jusqu à l ordre n se prolongent continûment sur l intervlle [, b] Soit x 0, x 1,, x m des points distincts de [, b] et k 0, k 1,, k m des entiers non nuls, vec k 0 + k k m = n + 1 Soit p le polynôme d interpoltion d Hermite de f reltivement ux points x 0, x 1,, x m et ux entiers k 0, k 1,, k m Pour tout x [, b], il existe ξ x pprtennt à l intérieur du plus petit intervlle fermé contennt les points x, x 0, x 1,, x m tel que (3) f(x) p(x) = f (n+1) (ξ x ) (x x 0 ) k0 (x x 1 ) k1 (x x m ) km (n + 1)! Démonstrtion Si x {x 0, x 1,, x m }, les deux membres de l églité (3) sont nuls : elle est donc vérifiée Si x / {x 0, x 1,, x m }, soit [α, β] le plus petit intervlle fermé contennt les points x, x 0, x 1,, x m On note On π(y) := (y x 0 ) k0 (y x 1 ) k1 (y x m ) km, y R, c := g(y) := f(y) p(y) cπ(y), g(x) = f(x) p(x) cπ(x) = 0, y [, b] f(x) p(x), π(x) g (k) (x i ) = f (k) (x i ) p (k) (x i ) cπ (k) (x i ) = 0, 0 i m 0 k < k i Le nombre de zéros (comptés vec leurs multiplicités) de l fonction g(x) dns l intervlle [α, β] est égl à n + D près le théorème de Rolle, le nombre de zéros (comptés vec leurs multiplicités) de l fonction g (x) dns l intervlle [α, β] est égl à n + 1, etc Finlement l fonction g (n+1) s nnule en un point ξ x (α, β), donc et comme on d où le résultt Soit I := [, b] et un millge de I : on note f (n+1) (ξ x ) p (n+1) (ξ x ) cπ (n+1) (ξ x ) = 0, y (, b) p (n+1) (y) = 0, π (n+1) (y) = (n + 1)! f (n+1) (ξ x ) = (n + 1)! f(x) p(x), π(x) 4 Splines cubiques = s 1 < s < < s n+1 = b S := {s 1, s,, s n+1 }

16 14 1 INTERPOLATION POLYNOMIALE Définition 15 On ppelle fonction spline cubique sur le millge S une fonction f : I R telle que (1) f soit deux fois continûment dérivble sur I, () l restriction de f à chque intervlle [s i, s i+1 ] pprtienne à P 3 Si x 1, x,, x n+1 sont des réels, on ppelle fonction spline cubique d interpoltion ssociée u millge S et ux nombres x i, 1 i n + 1, une fonction spline cubique sur le millge S vérifint i 1 i n + 1 x(s i ) = x i Proposition 18 Soit S un millge d un intervlle [, b] et x 1, x,, x n+1 des réels Il existe une seule fonction spline cubique d interpoltion ssociée u millge S et ux nombres x i, 1 i n + 1 dns chcun des cs suivnts : dns le cs où x 1 = x n+1, on impose x (s 1 ) = x (s n+1 ) et x (s 1 ) = x (s n+1 ), on impose en plus x (s 1 ) = 0 et x (s n+1 ) = 0, on impose en plus x (s 1 ) = α et x (s n+1 ) = β, où α et β sont deux réels Le premier cs correspond ux splines cubiques périodiques, le deuxième ux splines cubiques nturelles et le troisième ux splines cubiques bloquées Démonstrtion On note x(s) = p i (s) := i (s s i ) 3 + b i (s s i ) + c i (s s i ) + x i, s i s s i+1 Il s git de montrer que les 3n coefficients i, b i, c i, 1 i n sont déterminés de mnière unique On note h i := s i+1 s i, 1 i n On doit d bord voir les conditions d interpoltion : c est-à-dire p i (s i+1 ) = x i+1, 1 i n, (41) i h 3 i + b i h i + c i h i + x i = x i+1, 1 i n On doit ensuite voir les conditions de rccord des dérivées premières ux nœuds intérieurs : p i(s i+1 ) = p i+1(s i+1 ), 1 i n 1, c est-à-dire (4) 3 i h i + b i h i + c i = c i+1, 1 i n 1 On doit églement voir les conditions de rccord des dérivées secondes ux nœuds intérieurs : p i (s i+1 ) = p i+1(s i+1 ), 1 i n 1, c est-à-dire (43) 6 i h i + b i = b i+1, 1 i n 1 Il est commode d introduire une nouvelle inconnue b n+1 et de remplcer (43) pr (44) 6 i h i + b i = b i+1, 1 i n

17 4 SPLINES CUBIQUES 15 On lors un système linéire de 3n 1 équtions à 3n + 1 inconnues D près (44), on : i = b i+1 b i 3h i, 1 i n Cel donne, en le combinnt vec (41) : c i = x i+1 x i h i h i 3 (b i+1 + b i ), 1 i n Il s git lors de résoudre un système linéire de n 1 équtions à n + 1 inconnues, déduit de (4) : h i 3 b i + 3 (h i + h i+1 )b i+1 + h i+1 3 b i+ = x i+ x i+1 x i+1 x i, 1 i n 1 h i+1 h i Si x 1 = x n+1, on impose en plus c est-à-dire On en déduit donc p 1(s 1 ) = p n(s n+1 ) et p 1(s 1 ) = p n(s n+1 ), c 1 = 3 n h n + b n h n + c n et b 1 = 6 n h n + b n b n+1 = b n, n = b 1 b n et c n = x n+1 x n h n 3h n h n 3 (b 1 + b n ) On doit lors résoudre le système linéire de n équtions à n inconnues : 3 (h 1 + h n )b 1 + h 1 3 b + h n 3 b n = x x 1 h i h 1 x n+1 x n h n, 3 b i + 3 (h i + h i+1 )b i+1 + h i+1 3 b i+ = x i+ x i+1 x i+1 x i, 1 i n, h i+1 h i h n 3 b 1 + h n 1 3 b n (h n 1 + h n )b n = x n+1 x n x n x n 1 h n h n 1 Comme l mtrice h 1 + h n h 1 / 0 0 h n / h 1 / h 1 + h 0 M 1 := 0 3, 0 0 hn 1 / h n / 0 0 h n 1 / h n 1 + h n est à digonle strictement dominnte, elle est inversible, d près l proposition 78 : donc le système une solution unique On impose en plus c est-à-dire p 1(s 1 ) = 0 et p n(s n+1 ) = 0, b 1 = 0 et b n+1 = 0,

18 16 1 INTERPOLATION POLYNOMIALE On doit lors résoudre le système linéire tridigonl de n 1 équtions à n 1 inconnues : 3 (h 1 + h )b + h 3 b 3 = x 3 x x x 1, h h 1 h i 3 b i + 3 (h i + h i+1 )b i+1 + h i+1 3 b i+ = x i+ x i+1 x i+1 x i, i n, h i+1 h i h n 1 3 b n (h n 1 + h n )b n = x n+1 x n x n x n 1 h n h n 1 Comme l mtrice (h 1 + h ) h 0 0 M := 1 h hn h n 1 (h n 1 + h n ) est à digonle strictement dominnte, elle est inversible, d près l proposition 78 : donc le système une solution unique On impose en plus p 1(s 1 ) = α et p n(s n+1 ) = β, c est-à-dire c 1 = α et 3 n h n + b n h n + c n = β, donc x x 1 h 1 h 1 3 (b h n + b 1 ) = α et 3 b n + h n 3 b n+1 = β x n+1 x n h n On en déduit b 1 = b + 3 ( x x ) 1 α et b n+1 = b n h 1 h 1 3 ( xn+1 x ) n β h n h n On doit lors résoudre le système linéire tridigonl de n 1 équtions à n 1 inconnues : ( h1 + ) 3 h b + h 3 b 3 = x 3 x 3 x x 1 + α h h 1, h i 3 b i + 3 (h i + h i+1 )b i+1 + h i+1 3 b i+ = x i+ x i+1 x i+1 x i, i n, h i+1 h i h ( n 1 3 b n h n 1 + h ) n b n = 3 x n+1 x n x n x n 1 β h n h n 1 Comme l mtrice 3h 1 /4 + h h / 0 0 h / h + h 3 M 3 := hn + h n 1 h n 1 / h n 1 / h n 1 + 3h n /4

19 4 SPLINES CUBIQUES 17 est à digonle strictement dominnte, elle est inversible, d près l proposition 78 : donc le système une solution unique Remrque 15 On reprend le système des n équtions à n inconnues qui détermine les splines cubiques périodiques : h i 3 b i + 3 (h i + h i+1 )b i+1 + h i+1 3 b i+ = x i+ x i+1 x i+1 x i, 1 i n, h i+1 h i h n 3 b 1 + h n 1 3 b n (h n 1 + h n )b n = x n+1 x n x n x n 1 h n h n 1 et (45) 3 (h 1 + h n )b 1 + h 1 3 b + h n 3 b n x x 1 + x n+1 x n = 0 h 1 h n Les n 1 premières équtions forment un système tridigonl de Crmer où b b 3 b :=, c(b 1 ) := b n 1 b n M b = c(b 1 ), x 3 x x x 1 h 1 h h 1 3 b 1 x 4 x 3 x 3 x h 3 h x n x n 1 h n 1 x n+1 x n h n x n 1 x n h n 1 x n x n 1 h n 1 h n 3 b 1 Donc b,, b n sont des fonctions ffines de b 1 L éqution (45) peut s écrire où F est une fonction ffine : donc b 1 = F (b 1 ) = 0, F (0) F (0) F (1) Pour clculer b 1,, b n, on peut utiliser l lgorithme suivnt : résoudre le système tridigonl et clculer M b (0) = c(0) F (0) := h 1 3 b (0) + h n 3 b n(0) x x 1 + x n+1 x n, h 1 h n résoudre le système tridigonl et clculer M b (1) = c(1) F (1) := 3 (h 1 + h n ) + h 1 3 b (1) + h n 3 b n(1) x x 1 + x n+1 x n, h 1 h n

20 18 1 INTERPOLATION POLYNOMIALE pour F (0) b 1 = F (0) F (1), résoudre le système tridigonl M b = c(b 1 ) On remplce insi l résolution d un système de mtrice M 1 pr l résolution de trois systèmes de mtrice tridigonle M

21 CHAPITRE Polynômes orthogonux Les polynômes orthogonux sont des polynômes qui ont les propriétés suivntes : (1) ils sont solutions d une éqution différentielle linéire du deuxième ordre où σ P, τ P 1, λ P 0 ; () ils sont définis pr une formule où B n est un réel ; (3) ils sont orthogonux σ(x)y (x) + τ(x)y (x) + λy(x) = 0, d n p n (x) = B n ρ(x) dx n (ρσn )(x), p m (x)p n (x)ρ(x)dx = 0, si m n; (4) ils vérifient une reltion de récurrence à trois termes où n, b n R xp n (x) = α n p n 1 (x) + β n p n (x) + γ n p n+1 (x), 1 Polynômes hypergéométriques Définition 1 On ppelle éqution hypergéométrique une éqution différentielle σ(x)y (x) + τ(x)y (x) + λy(x) = 0, où σ P, τ P 1, λ P 0 Ses solutions sont ppelées fonctions hypergéométriques Les solutions polynomiles sont ppelées polynômes hypergéométriques Proposition 1 Soit une éqution hypergéométrique (11) σ(x)y (x) + τ(x)y (x) + λy(x) = 0, et Si µ 0 := λ, µ m := λ + mτ + m(m 1) σ, m 1 µ 0 0, µ 1 0,, µ n 1 0 et µ n = 0, lors il existe une solution polynomile p n P n de l éqution (11) Si ρ est solution de l éqution (1) (σρ) (x) = (τρ)(x) 19

22 0 POLYNÔMES ORTHOGONAUX et ne s nnule ps sur un intervlle ouvert I et si σ ne s nnule ps sur I, lors on l formule de Rodrigues où B n est une constnte réelle d n p n (x) = B n ρ(x) dx n (ρσn )(x), Démonstrtion Montrons que si y est solution de l éqution (11), lors pour tout m N, y (m) est solution de l éqution hypergéométrique (13) σ(x)y (x) + τ m (x)y (x) + µ m y(x) = 0, où τ m (x) := τ(x) + mσ (x), (14) µ 0 := λ, µ m := λ + mτ m(m 1) + σ, m 1 On le démontre pr récurrence sur m C est vérifié pour m = 0 ; supposons le résultt étbli pour m : si y est solution de (13), lors y est solution de où donc σ(x)y (x) + τ m+1 (x)y (x) + µ m+1 y(x) = 0, τ m+1 = τ + mσ + σ = τ + (m + 1)σ, τ m+1 = τ m + σ, µ m+1 = µ m + τ m µ m+1 = λ + mτ m(m 1) + σ + τ + mσ = λ + (m + 1)τ (m + 1)m + σ, qui donne le résultt pour m + 1 Réciproquement, on suppose que z est solution de l éqution (13), τ m et µ m étnt définis pr (14), et que µ 0 0, µ 1 0,, µ m 1 0 Montrons que z = y (m), où y est solution de l éqution (11) On le démontre pr récurrence sur m C est vérifié pour m = 0 ; supposons le résultt étbli pour m 1 Soit z une solution de (13) vec µ m 1 0 : on définit Comme z = 1 µ m 1 (σz + τ m 1 z ) τ m 1 = τ m σ, (z ) = z et z est solution de µ m 1 = µ m τ m 1, σ(x)y (x) + τ m 1 (x)y (x) + µ m 1 y(x) = 0 D où le résultt pour m Supposons µ 0 0, µ 1 0,, µ n 1 0 et µ n = 0 L éqution σ(x)y (x) + τ n (x)y (x) = 0

23 1 POLYNÔMES HYPERGÉOMÉTRIQUES 1 une solution constnte, donc l éqution (11) une solution p n P n On note λ n := nτ n(n 1) σ, µ n,0 := λ n, µ n,m := λ n + mτ m(m 1) + σ, m 1 Si ρ est solution de l éqution (1) et ne s nnule ps sur l intervlle I, lors l éqution (11) se met sous l forme uto-djointe Soit ρ m := σ m ρ : on (σρy ) (x) + λ(ρy)(x) = 0 (σρ m ) (x) = (τ m ρ m )(x), donc si σ ne s nnule ps sur l intervlle I, lors l éqution (13) se met sous l forme uto-djointe (σρ m y ) (x) + µ m (ρ m y)(x) = 0 Comme p (m) n est solution de (13), on pour 0 m n, d ( ) ρ m+1 p (m+1) n (x) = µ n,m ρ m p (m) n (x) dx Donc On en déduit ρ m p (m) n (x) = 1 d µ n,m dx ( ρ m+1 p (m+1) n ρ 0 p (0) n (x) = 1 d ( µ n,0 dx ρ n 1 p (n 1) n (x) = 1 µ n,n 1 d dx ) (x), pour 0 m < n ρ 1 p (1) n ( ρ n p (n) n ) (x), ) (x) Donc ( 1) n d n ( ) ρ 0 p n (x) = µ n,0 µ n,n 1 dx n ρ n p (n) n (x), qui donne le résultt en posnt B n := ( 1)n p (n) n µ n,0 µ n,n 1 Cel prouve l unicité de l solution polynomile de l éqution (11), à une constnte de normlistion près Corollire (1) L solution polynomile de l éqution hypergéométrique (1 x )y (x)+(β α (α+β +)x)y (x)+n(n+α+β +1)y(x) = 0, 1 < x < 1 où α > 1, β > 1, est (à une constnte de normlistion près) le polynôme de Jcobi P n (α,β) (x) := ( 1)n 1 d n ( (1 x) n+α n n! (1 x) α (1 + x) β dx n (1 + x) n+β) () L solution polynomile de l éqution hypergéométrique xy (x) + (α + 1 x)y (x) + ny(x) = 0, x > 0

24 POLYNÔMES ORTHOGONAUX où α > 1, est (à une constnte de normlistion près) le polynôme générlisé de Lguerre L (α) n (x) := 1 e x d n ( x n+α n! x α dx n e x) (3) L solution polynomile de l éqution hypergéométrique y (x) xy (x) + ny(x) = 0 est (à une constnte de normlistion près) le polynôme d Hermite H n (x) := ( 1) n e x Démonstrtion (1) Dns ce cs dn dx n e x σ(x) = 1 x, τ(x) = (α + 1)(1 + x) + (β + 1)(1 x), λ n = n(n + α + β + 1) On résout (σρ) (x) (σρ)(x) = τ(x) σ(x) = α x + β x, soit ρ(x) = (1 x) α (1 + x) β, à une constnte multiplictive près On vérifie µ n,m := λ n + mτ m(m 1) + σ = n(n + α + β + 1) m(α + β + ) m(m 1) > 0, 0 m < n, µ n,n = 0 L éqution hypergéométrique se met sous l forme ((1 x) α+1 (1 + x) β+1 y ) (x) + n(n + α + β + 1)(1 x) α (1 + x) β y(x) = 0 () Dns ce cs σ(x) = x, τ(x) = α + 1 x, λ n = n On résout (σρ) (x) (σρ)(x) = τ(x) σ(x) = α + 1 1, x soit ρ(x) = x α e x, à une constnte multiplictive près On vérifie µ n,m := λ n + mτ + µ n,n = 0 L éqution hypergéométrique se met sous l forme (3) Dns ce cs On résout soit m(m 1) σ = n m > 0, 0 m < n, (x α+1 e x y ) (x) + nx α e x y(x) = 0 σ(x) = 1, τ(x) = x, λ n = n (σρ) (x) (σρ)(x) = τ(x) σ(x) = x, ρ(x) = e x,

25 1 POLYNÔMES HYPERGÉOMÉTRIQUES 3 à une constnte multiplictive près On vérifie µ n,m := λ n + mτ + µ n,n = 0 L éqution hypergéométrique se met sous l forme m(m 1) σ = n m > 0, 0 m < n, (e x y ) (x) + ne x y(x) = 0 Exemple 1 Polynômes orthogonux clssiques (1) Polynômes de Jcobi prticuliers : Polynômes de Legendre P n (x) := P n (0,0) (x) = ( 1)n d n ( (1 x n n! dx n ) n) Le polynôme P n est (à une constnte de normlistion près) l solution polynomile de l éqution hypergéométrique (1 x )y (x) xy (x) + n(n + 1)y(x) = 0, 1 < x < 1 ou ((1 x )y ) (x) + n(n + 1)y(x) = 0, 1 < x < 1 Polynômes de Tchebychev de première espèce T n (x) := (n n!) P n ( 1/, 1/) (x) = ( 1) n n n! ( (n)! (n)! (1 x 1/ dn ) dx n (1 x ) n 1/) Le polynôme T n est (à une constnte de normlistion près) l solution polynomile de l éqution hypergéométrique (1 x )y (x) xy (x) + n y(x) = 0, 1 < x < 1 ou ((1 x ) 1/ y ) (x) + n (1 x ) 1/ y(x) = 0, 1 < x < 1 Polynômes de Tchebychev de deuxième espèce U n (x) := (n + 1)(n n!) (n + 1)! P n (1/,1/) (x) = ( 1) n n (n + 1)! ( (n + 1)! (1 x 1/ dn ) dx n (1 x ) n+1/) Le polynôme U n est (à une constnte de normlistion près) l solution polynomile de l éqution hypergéométrique (1 x )y (x) 3xy (x) + n(n + )y(x) = 0, 1 < x < 1 ou ((1 x ) 3/ y ) (x) + n(n + )(1 x ) 1/ y(x) = 0, 1 < x < 1 () Polynômes de Lguerre L n (x) := L (0) n (x) = ex d n ( x n n! dx n e x) Le polynôme L n est (à une constnte de normlistion près) l solution polynomile de l éqution hypergéométrique xy (x) + (1 x)y (x) + ny(x) = 0, x > 0

26 4 POLYNÔMES ORTHOGONAUX ou (xe x y ) (x) + ne x y(x) = 0, x > 0 Orthogonlité Proposition Soit σ P et ρ(x) une fonction définie et dérivble sur un intervlle (borné ou non) (, b), vérifint pour tout entier k 0 lim x σ(x)ρ(x)xk = 0, lim σ(x)ρ(x)x k = 0 x b et ρ(x)x k dx < + Soit (λ n ) n 0 une suite de nombres réels deux à deux distincts et (p n ) n 0 une suite de polynômes vérifint pour tout entier n 0 (σρp n) (x) + λ n (ρp n )(x) = 0, < x < b Alors les polynômes p n sont deux à deux orthogonux pour le poids ρ(x) sur l intervlle (, b) : Démonstrtion On λ m p m (x)p n (x)ρ(x)dx = p m (x)p n (x)ρ(x)dx = 0, si m n (σρp m) (x)p n (x)dx = lim x b σ(x)ρ(x)(p mp n )(x) lim x σ(x)ρ(x)(p mp n )(x) = lim x b σ(x)ρ(x)(p m p n)(x) + lim x σ(x)ρ(x)(p m p n)(x) + d où le résultt σ(x)ρ(x)p m(x)p n(x)dx p m (x)(σρp n) (x)dx = λ n p m (x)p n (x)ρ(x)dx, Exemple (1) Polynômes de Jcobi Ici = 1 et b = 1 ; on vérifie, pour α > 1, β > 1, lim (1 x 1 x)α+1 (1 + x) β+1 x k = 0, 1 (1 x) α (1 + x) β x k dx < +, lim (1 x) α+1 (1 + x) β+1 x k = 0, x 1 et m(m+α+β +1) n(n+α+β +1) si m n Donc les polynômes de Jcobi sont deux à deux orthogonux pour le poids (1 x) α (1 + x) β sur l intervlle ( 1, 1) : 1 P m (α,β) (x)p n (α,β) (x)(1 x) α (1 + x) β dx = 0, si m n Les premiers polynômes de Legendre sont P 0 (x) := 1, P 1 (x) := x, P (x) := 1 (3x 1), P 3 (x) := 1 (5x3 3x) L représenttion grphique des polynômes P 3, P 8, P 13, P 18 est donnée sur l Figure 1 Les polynômes de Legendre sont deux à deux orthogonux sur l intervlle ( 1, 1) : 1 P m (x)p n (x)dx = 0, si m n

27 ORTHOGONALITÉ Fig 1 Polynômes de Legendre : P 3 (en hut, à guche), P 8 (en hut, à droite), P 13 (en bs, à guche), P 18 (en bs, à droite) Les polynômes de Tchebychev de première espèce sont deux à deux orthogonux pour le poids (1 x ) 1/ sur l intervlle ( 1, 1) : 1 dx T m (x)t n (x) = 0, si m n 1 x Les premiers polynômes de Tchebychev de deuxième espèce sont U 0 (x) := 1, U 1 (x) := x, U (x) := 4x 1, U 3 (x) := 8x 3 4x L représenttion grphique des polynômes U 5, U 10, U 15, U 0 est donnée sur l Figure les polynômes de Tchebychev de deuxième espèce sont deux à deux orthogonux pour le poids (1 x ) 1/ sur l intervlle ( 1, 1) : 1 U m (x)u n (x) 1 x dx = 0, si m n () Polynômes générlisés de Lguerre Ici = 0 et b = + ; on vérifie, pour α > 1, lim x 0 xα+1 e x x k = 0, + 0 x α e x x k dx < + lim x + xα+1 e x x k = 0, Donc les polynômes générlisés de Lguerre sont deux à deux orthogonux pour le poids x α e x sur l intervlle (0, + ) : + 0 L (α) m (x)l (α) n (x)x α e x dx = 0, si m n

28 6 POLYNÔMES ORTHOGONAUX Fig Polynômes de Tchebychev de deuxième espèce : U 5 (en hut, à guche), U 10 (en hut, à droite), U 15 (en bs, à guche), U 0 (en bs, à droite) Les premiers polynômes de Lguerre sont L 0 (x) := 1, L 1 (x) := 1 x, L (x) := 1 (x 4x + ), L 3 (x) := 1 6 ( x3 + 9x 18x + 6) L représenttion grphique des polynômes L 1, L, L 3, L 4 est donnée sur l Figure 3 Les polynômes de Lguerre sont deux à deux orthogonux pour le poids e x sur l intervlle (0, + ) : + 0 L m (x)l n (x)e x dx = 0, si m n (3) Polynômes d Hermite Ici = et b = + ; on vérifie lim x k = 0, x e x + e x x k dx < + lim x k = 0, x + e x Donc les polynômes d Hermite sont deux à deux orthogonux pour le poids e x sur R : + Les premiers polynômes d Hermite sont H m (x)h n (x)e x dx = 0, si m n H 0 (x) = 1, H 1 (x) = x, H (x) = 4x, H 3 (x) = 8x 3 1x L représenttion grphique des polynômes H, H 4, H 6, H 8 est donnée sur l Figure 4

29 3 RELATION DE RÉCURRENCE Fig 3 Polynômes de Lguerre : L 1 (en hut, à guche), L (en hut, à droite), L 3 (en bs, à guche), L 4 (en bs, à droite) Fig 4 Polynômes d Hermite : H (en hut, à guche), H 4 (en hut, à droite), H 6 (en bs, à guche), H 8 (en bs, à droite) 3 Reltion de récurrence Dns l suite ρ(x) est une fonction définie et continue sur un intervlle (borné ou non) (, b), vérifint (31) x (, b) ρ(x) > 0 et k N x k ρ(x)dx < +

30 8 POLYNÔMES ORTHOGONAUX On note L ((, b); ρ) l ensemble des fonctions f, définies et mesurbles sur l intervlle (, b) telles que Pour f, g L ((, b); ρ) on note (f g) := f(x) ρ(x)dx < + f(x)g(x)ρ(x)dx le produit sclire de f et g, f := (f f) l norme de f L ensemble L ((, b); ρ) muni de ce produit sclire est un espce de Hilbert Proposition 3 Soit ρ une fonction continue sur un intervlle (, b), vérifint (31) (1) Il existe une suite unique (q n ) n 0 de polynômes tels que (3) n q n P n et (q m q n ) = 0 si m n Elle vérifie p P n 1 (p q n ) = 0 () Cette suite est définie pr où q 0 (x) = 1 et q n+1 (x) = (x n )q n (x) b n q n 1 (x), n 0, n := (xq n q n ) q n, n 0 et b 0 := 0, b n := q n q n 1, n 1 Démonstrtion (1) On démontre le résultt pr récurrence sur n : c est vérifié pour n = 0 et on q 0 = 1 Supposons qu il existe une fmille unique {q 0, q 1,, q n } vérifint (3) Cette fmille est une bse de P n, donc l fmille {q 0, q 1,, q n, x n+1 } est une bse de P n+1 Le polynôme q n+1 est nécessirement obtenu pr le procédé d orthogonlistion de Grm-Schmidt : q n+1 (x) = x n+1 (x n+1 q m ) m=0 q m q m (x), d où le résultt u rng n + 1 () Comme l fmille {q 0, q 1,, q n+1 } est une bse de P n+1, on peut écrire xq n (x) = n+1 m=0 c n,m q m (x) On (q m xq n ) = (xq m q n ) = 0, si m < n 1, cr xq m P m+1 P n 1 et (q m xq n ) = c n,m q m, donc c n,m = 0 si m < n 1 Comme xq n, q n+1 P n+1, on peut écrire On en déduit xq 0 (x) = q 1 (x) + 0 q 0 (x), xq n (x) = q n+1 (x) + n q n (x) + b n q n 1 (x), n 1 (xq n q n ) = n q n

31 3 RELATION DE RÉCURRENCE 9 et, pour n 1, (xq n q n 1 ) = b n q n 1 = (q n xq n 1 ) = q n, cr xq n 1 = q n + p, où p P n 1 Cel donne le résultt Exemple 3 On vérifie que pour tous les polynômes orthogonux clssiques, le poids ρ(x) est strictement positif dns l intervlle (, b) Polynômes de Legendre : ils vérifient et 1 P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, (P n (x)) dx = n + 1 (n + 1)P n+1 (x) = (n + 1)xP n (x) np n 1 (x), n 1 Polynômes de Tchebychev de première espèce : ils vérifient { 1 (T n (x)) dx = π si n = 0 1 x π/ si n 1 et 1 T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x, T n+1 (x) = xt n (x) T n 1 (x), n 1 Polynômes de Tchebychev de deuxième espèce : ils vérifient et 1(U n (x)) 1 x dx = π U 0 (x) = 1, U 1 (x) = x, Polynômes de Lguerre : ils vérifient et U n+1 (x) = xu n (x) U n 1 (x), n 1 + L 0 (x) = 1, L 1 (x) = 1 x, 0 (L n (x)) e x dx = 1 (n + 1)L n+1 (x) = (n + 1 x)l n (x) nl n 1 (x), n 1 Polynômes d Hermite : ils vérifient et + (H n (x)) e x dx = π n n! H 0 (x) = 1, H 1 (x) = x, H n+1 (x) = xh n (x) nh n 1 (x), n 1

32 30 POLYNÔMES ORTHOGONAUX Proposition 4 Soit ρ une fonction continue sur un intervlle (, b), vérifint (31) et (q n ) n 0 l suite de polynômes telle que n q n P n et (q m q n ) = 0 si m n Alors le polynôme q n n rcines réelles simples qui pprtiennent à l intervlle (, b) Démonstrtion Soit x 1, x,, x k les rcines réelles de q n de multiplicité impire, qui pprtiennent à l intervlle (, b) et k π(x) := (x x j ) j=1 (vec π(x) = 1, s il n y ps de telle rcine) Le polynôme π(x)q n (x) ne chnge ps de signe dns l intervlle (, b), donc π(x)q n (x)ρ(x)dx 0, donc π ne peut être de degré strictement inférieur à n : d où le résultt

33 CHAPITRE 3 Approximtion polynomile On veut pprocher une fonction f(x) définie sur un intervlle I pr un polynôme p P n qui vérifie f p = min q P n f q, où est une norme sur un espce E de fonctions définies sur l intervlle I Pr exemple E := L (I) et pour f L (I), on note ( 1/ f := f(x) dx), E := C(I) et pour f C(I), on note I f := sup f(x) x I 1 Polynôme de meilleure pproximtion Soit I un intervlle de R et E un espce vectoriel de fonctions définies sur I, à vleurs réelles On suppose que E contient l ensemble P de tous les polynômes ; on note E une norme sur l espce E Définition 31 Si f E et n N, on ppelle polynôme de meilleure pproximtion de f dns E, à l ordre n un polynôme p P n tel que f p E = min q P n f q E Proposition 31 Soit n N : toute fonction f E un polynôme de meilleure pproximtion dns E, à l ordre n Démonstrtion L ppliction est continue : d : g E f g E R + g, h E d(g) d(h) = f g E f h E g h E On d(0) = f E, donc Comme on inf{d(q) : q P n } = inf{d(q) : q P n, d(q) f E } q E d(q) + f E, {q P n : d(q) f E } {q P n : q E f E }, 31

34 3 3 APPROXIMATION POLYNOMIALE donc inf{d(q) : q P n, d(q) f E } inf{d(q) : q P n, q E f E } Mis inf{d(q) : q P n } inf{d(q) : q P n, q E f E } donc inf{d(q) : q P n } = inf{d(q) : q B(0, f E )}, où B(0, f E ) := {q P n : q E f E } L boule B(0, f E ) est une prtie fermée bornée de P n, espce de dimension finie : elle est compcte Comme elle n est ps vide, il existe p B(0, f E ) tel que d(p) = inf{d(q) : q B(0, f E )}, d où le résultt Approximtion qudrtique, ou u sens des moindres crrés Dns ce prgrphe ρ(x) est une fonction définie et continue sur un intervlle (borné ou non) (, b), vérifint x (, b) ρ(x) > 0 et k N Pour f, g L ((, b); ρ) on note (f g) := x k ρ(x)dx < + f(x)g(x)ρ(x)dx et f := (f f) Soit π n l projection orthogonle sur P n : elle est définie pr q P n (f π n f q) = 0 Soit (p n ) n 0 une suite de polynômes orthogonux : n p n P n \ {0} et m, n m n (p m p n ) = 0 Proposition 3 Si n N et f L ((, b); ρ), le polynôme de meilleure pproximtion de f dns L ((, b); ρ), à l ordre n est π n f Si on π n f = f n := (f p n ), f k p k p k, k=0 f π n f = f π nf, π n f = p k=0 k ( ) Si l ensemble P est dense dns L pn ((, b); ρ), lors l suite p n hilbertienne de L ((, b); ρ), on l églité de Bessel-Prsevl n k=0 f k f = fk p k, n 0 est une bse

35 3 APPROXIMATION UNIFORME, OU AU SENS DE TCHEBYCHEV 33 donc f π n f = k=n+1 f k p k 0 n Exemple 31 Soit (, b) = ( 1, 1) et ρ(x) := (1 x) α (1 + x) β, pour α > 1 et β > 1 Montrons que P est dense dns L (( 1, 1); ρ) Soit f L (( 1, 1); ρ) et ε > 0 : il existe g continue à support compct telle que f g < ε D près le théorème de Stone-Weierstrß, il existe un polynôme p tel que donc On en déduit qui donne le résultt mx g(x) p(x) < ε, x ( 1,1) ( 1/ g p = (g(x) p(x)) ρ(x)dx) ε ρ 1 f p f g + g p < ε(1 + ρ ), 3 Approximtion uniforme, ou u sens de Tchebychev Dns ce prgrphe < b sont deux réels, et pour f C([, b]) on note f := mx x [,b] f(x) Définition 3 On dit qu une fonction g C([, b]) est équi-oscillnte sur n points s il existe des réels x 1 < x < < x n dns [, b] tels que i 1 i n g(x i ) = g et i 1 i < n g(x i+1 ) = g(x i ) Proposition 33 Soit n N et f C([, b]) Alors p P n est un polynôme de meilleure pproximtion de f dns C([, b]) à l ordre n si et seulement si f p est équi-oscillnte sur n + points Démonstrtion (1) Soit p un polynôme de meilleure pproximtion de f dns C([, b]) à l ordre n et g := f p Si g = 0, elle est équi-oscillnte sur n + points Sinon soit x 0 := min{x [, b] : g(x) = g } On pr exemple g(x 0 ) = g Si on rrête Sinon soit (on x 1 > x 0 ) Si on rrête Sinon soit x x 0 g(x) > g, x 1 := min{x [x 0, b] : g(x) = g } x x 1 g(x) < g, x := min{x [x 1, b] : g(x) = g }, On construit insi une suite (x i ) i 0 telle que g(x i ) = ( 1) i g, i 0 etc

36 34 3 APPROXIMATION POLYNOMIALE On suppose que l on ne peut ps continuer u delà de x k, vec 0 k n, c est-àdire x x k ( 1) k g(x) > g Si k > 0, d près le théorème des vleurs intermédiires, g s nnule sur chcun des intervlles (x 0, x 1 ), (x 0, x 1 ),, (x k 1, x k ) Pour 1 i k, soit y i := mx{x (x i 1, x i ) : g(x) = 0} On Soit et pour ε > 0, x 0 < y 1 < x 1 < x < < x k 1 < y k < x k b π(x) := { 1 si k = 0, (y 1 x)(y x) (y k x) si k > 0, p ε (x) := p(x) + επ(x) et g ε (x) := f(x) p ε (x) = g(x) επ(x) Montrons que (31) g ε < g On (3) (33) x [, x 0 ] g < g(x) g, x [x i 1, y i ] g ( 1) i g(x) < g, x [y i, x i ] 0 ( 1) i g(x) g, x [x k, b] g < ( 1) k g(x) g, (les inéglités (3) et (33) étnt supprimées si k = 0) Il existe donc un réel c vec 0 < c < g tel que (34) (35) x [, x 0 ] c g(x) g, x [x i 1, y i ] g ( 1) i g(x) c, x [y i, x i ] 0 ( 1) i g(x) g, x [x k, b] c ( 1) k g(x) g, (les inéglités (34) et (35) étnt supprimées si k = 0) On note M := mx x [,b] π(x) Si k = 0, on et si k > 0, on x [, b] π(x) > 0 x [0, y 1 ) π(x) > 0, x (y i, y i+1 ) ( 1) i π(x) > 0, x (y k, b] ( 1) k π(x) > 0

37 3 APPROXIMATION UNIFORME, OU AU SENS DE TCHEBYCHEV 35 Donc x [, x 0 ] c εm g ε (x) < g, (36) (37) x [x i 1, y i ] g < ( 1) i g ε (x) c + εm, x [y i, x i ] εm ( 1) i g ε (x) < g, x [x k, b] c εm ( 1) k g ε (x) < g, (les inéglités (36) et (37) étnt supprimées si k = 0) Donc l inéglité (31) est vérifiée si ε < g c M Comme p ε P n c est impossible, cr p est un polynôme de meilleure pproximtion de f dns C([, b]) à l ordre n : donc k n+1 et pr conséquent g est équi-oscillnte sur n + points () Soit p P n tel que f p est équi-oscillnte sur n + points x 0 < x 1 < < x n < x n+1 b, vec pr exemple f(x 0 ) p(x 0 ) = f p, donc Soit q P n, q p Supposons lors f(x i ) p(x i ) = ( 1) i f p, 0 i n + 1 i 0 i n + 1 ( 1) i (f(x i ) q(x i )) ( 1) i (f(x i ) p(x i )), i 0 i n + 1 ( 1) i (p(x i ) q(x i )) 0 D près le théorème des vleurs intermédiires, il existe des points tels que ξ 0 [x 0, x 1 ], ξ 1 [x 1, x ],, ξ n [x n, x n+1 ], i 0 i n p(ξ i ) q(ξ i ) = 0 ou bien ξ i (x i, x i+1 ), ou bien ξ i = x i et p q grde un signe constnt sur [x i 1, x i+1 ] : lors p q une rcine de multiplicité pire (donc ) en x i Donc p q n + 1 rcines (comptées vec leurs multiplicités) sur [, b], ce qui est impossible On donc i 0 i n + 1 et pr conséquent ( 1) i (f(x i ) q(x i )) > ( 1) i (f(x i ) p(x i )), f q ( 1) i (f(x i ) q(x i )) > ( 1) i (f(x i ) p(x i )) = f p, d où le résultt Corollire Si n N et f C([, b]), il existe un seul polynôme de meilleure pproximtion de f dns C([, b]), à l ordre n Démonstrtion D près l Proposition 33, si p est un polynôme de meilleure pproximtion de f dns C([, b]) à l ordre n, lors f p est équi-oscillnt sur n + points D près l démonstrtion de cette proposition, si p P n et f p est équioscillnt sur n + points, lors q P n, q p f q > f p,

38 36 3 APPROXIMATION POLYNOMIALE qui donne le résultt Exemple 3 Le polynôme 1 n T n+1 est équi-oscillnt sur les n + points de [ 1, +1] : ( ) iπ t i := cos, 0 i n + 1 n + 1 Soit f(x) := x n+1 et p(x) := x n+1 1 n T n+1 Le polynôme p est le polynôme de meilleure pproximtion de f dns C([ 1, 1]), à l ordre n : 1 n = min q P n f q = min r r P n+1

39 CHAPITRE 4 Intégrtion numérique On une fonction f(x) définie sur un intervlle [, b] On veut pprocher f(x)dx à l ide de vleurs de f(x) en des points x 0,, x n [, b] : f(x)dx ω j f(x j ) C est une formule de qudrture ou une méthode d intégrtion Les points x j sont ppelés les nœuds et les nombres ω j les poids de l formule Il fut (1) clculer les nœuds et les poids, () mjorer l différence f(x)dx ω j f(x j ) Pour cel, on essye d intégrer exctement tous les polynômes de degré inférieur ou égl à N, où N est le plus grnd entier possible : on dit que l formule est excte pour les polynômes de P N si p P N p(x)dx = ω j p(x j ) 1 Formules de qudrture À prtir d une formule de qudrture sur l intervlle [ 1, 1] (11) ϕ(t)dt ω j ϕ(t j ), 1 excte pour les polynômes de P N, on peut construire d utres formules (i) Une formule de qudrture élémentire sur l intervlle [, b], excte pour les polynômes de P N (1) f(x)dx ω j f(x j ), où x j := 1 t j t j b, ω j := b ω j, 0 j n 37

40 38 4 INTÉGRATION NUMÉRIQUE On écrit f(x)dx = b b ( 1 t f t ) b dt ( 1 tj ω j f t ) j b (ii) Une formule de qudrture composée sur l intervlle [, b], excte pour les polynômes de P N m 1 (13) f(x)dx ω i,j f(x i,j ), où x i,j := 1 t j On écrit f(x)dx = i t j i+1, m 1 i=0 m 1 i=0 i+1 i=0 = 0 < 1 < < m = b, i f(x)dx = i+1 i ω i,j := i+1 i ω j, 0 i < m, 0 j n m 1 i=0 i+1 i ( 1 tj ω j f 1 f i t ) j i+1 ( 1 t i t ) i+1 dt Proposition 41 Soit une formule de qudrture sur l intervlle [ 1, 1] ϕ(t)dt ω j ϕ(t j ), 1 excte pour les polynômes de P 0 Soit [, b] un intervlle borné et f(x) une fonction définie sur [, b], intégrble u sens de Riemnn Pour k 1 soit un millge de [, b] et On note = k 0 < k 1 < < k m k = b h k := x k i,j := 1 t j k i t j k i+1, Si lim h k = 0, lors k m k 1 lim k i=0 mx ( k i+1 k i ) 0 i<m k ω k i,j := k i+1 k i ωi,jf(x k k i,j) = ω j, 0 i < m k, 0 j n f(x)dx Démonstrtion Comme l formule de qudrture est excte pour les polynômes de P 0, on ω j =,

41 1 FORMULES DE QUADRATURE 39 donc m k 1 f(x)dx i=0 cr x k i,j [k i, k i+1 ] ωi,jf(x k k i,j) = ω j ( m k 1 f(x)dx ( k i+1 k i )f(x k i,j) i=0 ) 0, k Définition 41 On ppelle méthode d intégrtion de type interpoltion une méthode f(x)dx ω j f(x j ), où ω j := L j (x)dx, 0 j n, les L j étnt les polynômes de bse dns l interpoltion de Lgrnge ssociée ux points x j, 0 j n Remrque 41 Une méthode d intégrtion à n + 1 points f(x)dx ω j f(x j ) est excte pour les polynômes de P n si et seulement si elle est de type interpoltion : en effet elle est excte pour les polynômes de P n si et seulement si elle intègre exctement les polynômes de bse dns l interpoltion de Lgrnge ssociée ux points x 0, x 1,, x n, c est-à-dire k 0 k n L k (x)dx = ω j L k (x j ) = ω k Remrque 4 Si l formule de qudrture (11) est de type interpoltion, lors l formule de qudrture élémentire ssociée (1) est ussi de type interpoltion, et réciproquement En effet les polynômes de bse L j dns l interpoltion de Lgrnge ssociée ux points x j correspondent ux polynômes de bse L j dns l interpoltion de Lgrnge ssociée ux points t j pr donc L j (t) = L j ( 1 t t b L j (x)dx = b 1 ), L j (t)dt Exemple 41 Formules de Newton-Cotes fermées Ce sont des méthodes de type interpoltion où les nœuds sont équidistnts, les extrémités et b étnt des nœuds : t j := 1 + j n, ω j := L j (t)dt, 0 j n 1

42 40 4 INTÉGRATION NUMÉRIQUE Une méthode de Newton-Cotes fermée à n + 1 points est excte pour les polynômes de P n On remrque et donc L n j (t) = ω n j := Si ϕ est impire, et donc t n j = ω j ϕ(t j ) = = n i=0 i n j n i=0 i n j (n j) n (t t i ) (t n j t i ) n (t + t k ) k=0 k j = n ( t j + t k ) k=0 k j L n j (t)dt = 1 1 ω n k ϕ(t n k ) = k=0 = = 1 j n = t j n (t t n k ) k=0 k j n (t n j t n k ) k=0 k j n ( t t k ) k=0 k j = n L j ( t), (t j t k ) k=0 k j L j ( t)dt = ϕ(t)dt = 0, k=0 ω j ϕ(t j ) = 0 1 L j (t)dt = ω j ω k ϕ( t k ) = ω k ϕ(t k ), Pr conséquent une formule de Newton-Cotes fermée est excte pour toutes les fonctions impires, donc tous les polynômes impirs On en déduit qu une méthode de Newton-Cotes fermée à n + 1 points est excte pour les polynômes de P n+1, si n est pir Formule du trpèze C est l formule à deux points (n = 1), excte pour les polynômes de P 1 : t 0 := 1, t 1 := 1, ω 0 := donc l formule s écrit 1 ϕ(t)dt ϕ( 1) + ϕ(1) 1 k=0 1 t dt = 1 = ω 1, On en déduit (i) une formule de qudrture élémentire sur l intervlle [, b], excte pour les polynômes de P 1 : f(x)dx b (f() + f(b)),

43 1 FORMULES DE QUADRATURE 41 (ii) une formule de qudrture composée sur l intervlle [, b], excte pour les polynômes de P 1 : si h := b m, f(x)dx h m 1 f() + h i=1 f( + ih) + h f(b) Formule de Simpson C est l formule à trois points (n = ), excte pour les polynômes de P 3 : ω 0 := 1 t 0 := 1, t 1 := 0, t := 1, t(t 1) dt = 1 3 = ω, ω 1 := 1 (1 t )dt = 4 3, donc l formule s écrit ϕ(t)dt 1 (ϕ( 1) + 4ϕ(0) + ϕ(1)) 1 3 On en déduit (i) une formule de qudrture élémentire sur l intervlle [, b], excte pour les polynômes de P 3 : f(x)dx b ( f() + 4f 6 ( + b ) ) + f(b), (ii) une formule de qudrture composée sur l intervlle [, b], excte pour les polynômes de P 3 : si h := b m, f(x)dx h 6 f() + h 3 m 1 i=1 f( + ih) + h 3 m 1 i=0 ( ( f + i + 1 ) ) h + h 6 f(b) Exemple 4 Formules de Newton-Cotes ouvertes Ce sont des méthodes de type interpoltion où les nœuds sont équidistnts : t j := 1 + j + n +, ω j := 1 L j (t)dt, 0 j n Une méthode de Newton-Cotes ouverte à n+1 points est excte pour les polynômes de P n On t n j = t j et ω n j = ω j, 0 j n, donc une formule de Newton-Cotes ouverte est excte pour toutes les fonctions impires On en déduit qu une méthode de Newton-Cotes ouverte à n + 1 points est excte pour les polynômes de P n+1, si n est pir Formule du point-milieu C est l formule à un point (n = 0), excte pour les polynômes de P 1 : donc l formule s écrit On en déduit t 0 := 0, ω 0 := 1 1 ϕ(t)dt ϕ(0) dt =,