Les Outils nécessaires en Mécanique

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1 ciences Industielles Cous Calcul vectoiel PCI-PI ciences de l ingénieu Cous Les Outils nécessaies en écanique chéma cinématique minimal d un mécanisme doseu Page 1 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub.A. ous doits de l auteu des œuves ésevés. auf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

2 ciences Industielles Cous Calcul vectoiel ommaie 1 Outils nécessaies en mécanique OPERAION UR LE VECEUR Poduit scalaie Définition du poduit scalaie : Définition de la nome géométique Intepétation géométique du poduit scalaie : Poduit vectoiel Définition du poduit vectoielle Intepétation géométique du poduit scalaie : Poduit mite Définition du poduit mite Intepétation géométique du poduit mite : Double poduit vectoiel Division vectoielle Le poblème : APPLICAION ANIYÉRIQUE Définition Popiétés CHAP DE VECEUR Définition Champ antisymétique Champ équipojectif héoème de DELAU OREUR Définition d un toseu Notation d un toseu Changement de point oseu nul omme de deu toseus ultiplication pa un scalaie Comoment de deu toseus Automoment d'un toseu Ae cental d'un toseu oseus paticulies oseu Glisseu oseu Couple Décomposition d'un toseu Intepétation Géométique d un toseu...11 Page Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub.A. ous doits de l auteu des œuves ésevés. auf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

3 ciences Industielles Cous Calcul vectoiel 1 OUIL NECEAIRE EN ECANIQUE 1.1 OPERAION UR LE VECEUR E est un espace vectoiel de dimension 3. oient tois vecteus de Ε 3 : b (,y,z). 1 V 1 = y1, V = y, V 3= b z On définit les opéations suivantes : 1 b z y 3 3 b z 3 et une base othonomée diecte PRODUI CALAIRE Définition du poduit scalaie : Le poduit scalaie est une application linéaie définie positive de E² dans R éel tel que le poduit scalaie est défini et noté : 1 )=V 1V. = +y y +z z (V V, Définition de la nome géométique La nome géométique d un vecteu est définie et notée : = (V, 1)= V. 1= ² = +y y +z z Cette nome epésente gaphiquement la longueu en mète du vecteu V 1. La nome géométique est définie positive Intepétation géométique du poduit scalaie : y oit la epésentation plane dans le plan vectoiel (,y ) V (V, )=V 1V. = +y y +z z = V cos(v, ) i V = 1 c est-à-die que V 1 = 1 alos, V 1. epésente la pojection othogonale du vecteu V su la diection de Pojection othogonale du vecteu su la diection de V V. 1 Cas de nullité du poduit scalaie :! l'un des vecteus est nul,! les deu vecteus sont othogonau PRODUI VECORIEL Définition du poduit vectoielle Le poduit vectoiel est une application linéaie antisymétique de E² dans E tel que le poduit vectoiel est défini et noté : ( V)=( 1z-yz1) +( z1-z1) y+( 1y-y1) z Intepétation géométique du poduit scalaie : Page 3 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub.A. ous doits de l auteu des œuves ésevés. auf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

4 ciences Industielles Cous Calcul vectoiel oit la epésentation plane dans le plan vectoiel (,y ) y V)= V sin(v, ) n, avec n ( vecteu unitaie V diectement pependiculaie à (V 1,V ). La nome du poduit vectoiel V = V sin(v, ) epésente la suface du 1 ) paallélogamme défini pa V et V. Cas de nullité du poduit vectoiel : l'un des vecteus est nul, les deu vecteus sont colinéaies PRODUI IXE Définition du poduit mite Le poduit mite est une application linéaie antisymétique de E 3 dans R «éel» tel que le poduit mite est défini et noté : 3 V ). V3=( V3 V 1). V=( V V 3 1 ( V 1, V, V )=( ). V Le poduit mite de tois vecteus est un scalaie invaiant pa pemutation ciculaie des vecteus ou pa invesion des opéations Intepétation géométique du poduit mite : y V 3 V 3 (, V, V )=( ). V epésente gaphiquement le volume du paallélépipède de cotés définis pa les vecteus, V et V3) z V3 V Cas de nullité du poduit mite :! l'un des vecteus est nul,! deu des vecteus sont colinéaies,! les tois vecteus sont coplanaies DOUBLE PRODUI VECORIEL V 1 ( V V 3) est un vecteu pependiculaie à ( V V 3). Il se touve donc dans le plan fomé + V3 pa les vecteus V et V3 et peut s'écie alos : λv µ avec ( λ, µ ) R². Pa identification on obtient : DIVIION VECORIELLE Le poblème : V 1 ( V V 3)=(. V3) V- (. V) V3 Page 4 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub.A. ous doits de l auteu des œuves ésevés. auf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

5 ciences Industielles Cous Calcul vectoiel V et W étant deu vecteus connus non nuls, eiste-t-il un vecteu X tel que : V X = W on en conclut :! X doit ête non nul,! V et W doivent ête othogonau et X et W vectoiel.. i il eiste une solution X, alos tout vecteu de la fome En multipliant vectoiellement pa V la elation V X = W, on obtient : V ( V X)= V W ou bien ( V. X) V-( V. V) X = V W X où ( V. ) est éel β aussi pa popiété du poduit X+ λv sea aussi solution. i on cheche la solution paticulièe X 0 (β = 0) othogonale à V, on obtient : X = -V W et X = - V W 0 V V +λv 1. APPLICAION ANIYÉRIQUE 1..1 DEFINIION Une application L de Ε dans Ε est antisymétique si et seulement si : u et v E, u L( v)=-v L( u) Remaque : u. L( u ) = PROPRIEE oute application antisymétique L de Ε dans Ε est linéaie. c'est à die : u et v E et λ, L (u+ λv) = L(u) + λl(v) Dans Ε, le vecteu étant donné, l application L qui à u fait coesponde (u) = u est antisymétique. L 1.3 CHAP DE VECEUR DEFINIION i à tout point P de l espace euclidien E(Ε) on fait coesponde un vecteu (P) d oigine P, on dit qu on définit un champ de vecteus CHAP ANIYERIQUE est antisymétique si et seulement si, L étant une application Un champ de vecteus antisymétique de Ε dans Ε quels que soient les points P et Q de E(Ε), on a : Dans Ε, cette elation s écit : CHAP EQUIPROJECIF (P) = (Q) + Page 5 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub.A. ous doits de l auteu des œuves ésevés. auf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. = L ( PQ) (P) (Q) + PQ

6 ciences Industielles Cous Calcul vectoiel : Un champ de vecteus est équipojectif si, et seulement si, quels que soient les points P et Q de E(Ε), on a HEOREE DE DELAU. PQ= (P) (Q). PQ out champ antisymétique est équipojectif et écipoquement. Démonstation : i nous avons (P) = (Q) + L( PQ), alos : Comme l application L est antisymétique : Le champ de vecteus Récipoque : oit un champ équipojectif : Donc : L ( PQ). PQ =0. PQ=. PQ= (Q). PQ L (P) + ( PQ). PQ (P) (Q). PQ est donc équipojectif.. PQ= (P) (Q). PQ Retanchons (O).PQ à chaque membe de l epession pécédente.. PQ-(O). PQ= (Q). PQ- Nous obtenons : (P) (O). PQ Et, en factoisant : (P) -(O).( OQ-OP)= (Q) -(O).( OQ-OP) Finalement, on obtient : OQ. (P) -(O) -OP. (P) -(O) = OQ. (Q) -(O) -OP. (Q) - Le champ de vecteus étant équipojectif, les deu poduits scalaies : OP. (P) -(O) et OQ. (Q) -(O) sont nuls. D'où : - QO. (P) -(O) = PO. (Q) -(O) oit L l application de Ε dans Ε qui à tout vecteu AB associe le vecteu : L( AB) = (A) - (B) L'égalité - QO. (P) -(O) = PO. (Q) -(O) s'écit : - QO. (PO) = PO. (QO) L L (O) Page 6 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub.A. ous doits de l auteu des œuves ésevés. auf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

7 ciences Industielles Cous Calcul vectoiel L application L est donc antisymétique et la elation 1.4 OREUR (A)= (B)+ L( AB) et L Le champ de vecteus DEFINIION D UN OREUR L( AB) = (A) -(B) donne : = d ou (u) u (A) = (B)+AB est donc antisymétique. On appelle toseu l'ensemble d'un champ antisymétique et de son vecteu associé. Pou défini complètement un toseu, il faut et il suffit de pécise : le vecteu, la valeu du champ en un point quelconque P. Ces deu vecteus sont appelés éléments de éduction du toseu au point P. est aussi appelée coodonnée omme du toseu indépendante du point. (P) est aussi appelée coodonnée oment du toseu dépendante du point NOAION D UN OREUR y, z = (P), (), y, (), y z z() P,, y, z, sont les pojections de dans la base othonomée diecte (, y, z) (), y(), z() sont les pojections de (P) dans la base othonomée diecte (, y, z) CHANGEEN DE POIN Le champ de vecteus étant antisymétique, on peut écie : = (A) (B) + AB D où : (A) A (B)= (A)+ BA B = OREUR NUL 0 0 = OE DE DEUX OREUR Page 7 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub.A. ous doits de l auteu des œuves ésevés. auf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

8 ciences Industielles Cous Calcul vectoiel oient deu toseus 1 1() 1 et (N) N Epimons la somme des deu champs en. Pou somme deu toseus, il est nécessaie qu ils soient écits au même point. C est pouquoi, il faut tanspote le toseu au point. Au point nous pouvons écie le toseu : (N) N (N) + N = + N = 1() (N) 1() + (N) + N Ajoute deu toseus dont les éléments de éduction sont epimés en des points difféents n'a aucun sens! ULIPLICAION PAR UN CALAIRE oient un toseu λ () = λ () et un scalaie λ R (éel). (N)+ λ( N ) = λ(n)+n ( λ) Ce poduit epésente bien un champ antisymétique qui peut ête epésenté pa un toseu. Au point nous pouvons écie : λ = λ λ () () λ L'ensemble des toseus est un espace vectoiel su le cops des éels COOEN DE DEUX OREUR On appelle comoment de deu toseus 1 et, la quantité scalaie c(1, ) telle que : 1 = 1. ()+. 1() Cette quantité est indépendante du point et est éel. En effet : 1 est appelé aussi Invaiant scalaie du toseu Page 8 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub.A. ous doits de l auteu des œuves ésevés. auf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

9 ciences Industielles Cous 1 = 1 =. 1. ()+. (N) AUOOEN D'UN OREUR Calcul vectoiel ()= 1. (N)+N +. 1(N)+ ( 1 14, N 4, 44 )+( 4 444, N, 1 3 ) = 0 On appelle automoment d'un toseu, la quantité scalaie A() telle que : A ( ) = 1( ) =. () = est appelé aussi Invaiant scalaie du toseu A() Cette quantité, indépendante du point, constitue un invaiant du toseu AXE CENRAL D'UN OREUR oit un toseu points I pou lesquels le champ En I, on peut écie : O () = () (N)+N 1.On appelle ae cental de, l'ensemble des est colinéaie à. (I) = α Cette égalité n'eiste que si : Ce qui nous pemet d'écie : D'ou : du toseu. De la elation (I)+I = α+i 0 et. ()-α =I ()-α ()-α = 0 ou bien. 1 ()= α.. () α = Cette valeu est indépendante du point et est appelée le «pas» ()-α =I on tie, pa division vectoielle, le ésultat suivant : I= () + λ Ce ésultat epésente l'équation paamétique d'une doite paallèle à et passant pa un point I où le champs antisymétique est minimum (voi définition) OREUR PARICULIER oseu Glisseu out toseu dont l'automoment est nul (avec 0 ) est appelé glisseu. Page 9 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub.A. ous doits de l auteu des œuves ésevés. auf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

10 ciences Industielles Cous Il découle de cette définition que : (), le pas d'un glisseu est nul, (I) = 0 où I appatient à l ae cental Calcul vectoiel Donc, si : (), () 0 I = oseu Couple out toseu dont le vecteu Il découle de cette définition que : est nul, est appelé couple.! le champ est constant,! l'automoment est nul,! l'ae cental n'est pas définit. Donc, si : =0, le toseu couple s écit : DECOPOIION D'UN OREUR C 0 En tout point, un toseu se décompose en somme d'un glisseu et d'un couple de la manièe suivante : + 0 () () 0 Page 10 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub.A. ous doits de l auteu des œuves ésevés. auf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

11 ciences Industielles Cous Calcul vectoiel INERPREAION GEOERIQUE D UN OREUR () I) I) I ( I ( + = () I () I () I I () On emaque qu il est possible d imagine la epésentation géométique d un toseu comme une liaison visécou d ae, l ae centale du toseu. Cette liaison est appelée dans la nome liaison hélicoïdale d ae : l ae centale du toseu epésenté ci-dessus ; d où le nom de toseu (tosion). Page 11 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub.A. ous doits de l auteu des œuves ésevés. auf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.