La Transformation de Laplace

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1 La Transformation d Lalac LA TRANSFORMATION DE LAPLACE : un xml d utilisation... Fonctions causals...3 Définition d la Transformé d Lalac d un fonction causal...4 Transformé d Lalac d l échlon unité (calcul ffctif)...5 Original d un fonction... 6 Exrcics raids...7 Réonss ds xrcics raids...8 Proriété d la transformation d Lalac...9 Proriété d la Transformation d Lalac... Proriété 3 d la Transformation d Lalac... Proriété 4 d la Transformation d Lalac... Fonction rtardé (xlications raids)... 3 Equations différntills. Sujts... 5 Equations différntills. Sujts traités... 6 TRAVAIL A FAIRE... 6 Réonss n vrac... 7

2 Lctur facultativ LA TRANSFORMATION DE LAPLACE : un xml d utilisation UN EXEMPLE : On vut résoudr l équation x ' x u(t) x x u (t). Où u st l échlon unité défini ar : u(t) si t < u(t) si t u(t) t On vut connaîtr la solution x : t x(t) tll qu x(t) si t < t x(). Voilà commnt cla s ass : La Transformé d Lalac d l équation s écrit : ( )X() X() ;X(). ( ) t La fonction x (t) st l original d X () qui st u(t). C st la solution d l équation. Pour comrndr cla il faut connaîtr la définition t ls roriétés d la Transformation d Lalac. Début

3 3 Fonctions causals Un fonction causal st un fonction s : t s (t) tll qu si t< alors s (t). Exml L échlon unité u défini ar : u(t) si t < u(t) si t u(t) t Exml Si f : t f (t) st un fonction qulconqu, on définit un fonction causal : s : t s(t) f (t) u(t) Fonctions causals souvnt utilisés t u(t) t t n u(t) t u(t)cos( ωt) t u(t)sin( ωt) (échlon unité) (n st un ntir ositif) Début

4 4 Définition d la Transformé d Lalac d un fonction causal Soit s : t s (t) un fonction causal. La transformé d Lalac d s st la nouvll fonction S d la nouvll variabl défini ar : b S: S() s(t) t dt lim t b s(t) dt Attntion S st défini sur l nsmbl ds valurs d our lsqulls ctt limit xist. Autr notation La Transformé d Lalac d la fonction causal s s écrit d un manièr lus récis : L[s (t)]. La Transformé d Lalac d la fonction causal s : t s (t) st la fonction : L[s (t)] : L[s (t)] (). t [ ] : L[ s(t) ]() s(t) dt lim L s(t) b s(t) t dt b On utilis ctt notation lorsqu cla st vraimnt nécssair. Début

5 5 Transformé d Lalac d l échlon unité (calcul ffctif) L échlon unité u st défini ar : u(t) si t < u(t) si t u(t) t La Transformé d Lalac d l échlon unité st défini our > Démonstration L [u(t)]() b b L[u(t)]() u(t) t dt u(t) t dt t limb limb dt (uisqu u(t) si t ) b t ( b limb limb ) uisqu u(t) si t. si > :lim b b uisqu b >. Donc:L[u(t)]() our >. Exrcic raid t Donnr sans calcul la valur numériqu d dt. Résultat :.5. ar On a xrimé L [u (t)] (). Début

6 6 Original d un fonction Définition Soit F : F () un fonction. Lorsqu F () L[ f (t)]() our un fonction causal f, on dit qu f st l original d F. Exml L échlon unité u : t u (t) st l original d la fonction F : F() défini our > On trouv à l aid du calcul intégral ls élémnts du tablau suivant alé souvnt «Tablau ds originaux» : On s réfèr alors au tablau sans lus ffctur d calculs d intégrals. Exrssion d la fonction causal f Transformé d Lalac d la fonction f : Original d la fonction F F ()L [f (t)] () > u(t) F () t u(t) F () t n u(t) n! F() n ω u(t) sin( ωt) F() ω u(t) cos( ωt) F() ω Début

7 7 Exrcics raids Exrcic raid Donnr sans calcul la valur numériqu d t dt. Exrcic raid Donnr sans calcul ls valurs numériqus ds intégrals suivants : ) t 3 t dt ) t sin tdt 3) t cos3tdt Début Exrcic raid 3 Trouvr ls originaux ds fonctions définis our > ar : 4 ) ) 3) 5 9 Exrcic raid 4 Rmlir l tablau suivant : Exrssion d la fonction causal f Transformé d Lalac d la fonction f : Original d la fonction F F () our > 6 4 n! n u(t)sin(5t) u (t) sin5t u(t)cos(t) u (t) cost 9

8 8 Réonss ds xrcics raids Exrcic raid Donnr sans calcul la valur numériqu d t dt. Résultat : déjà vu. Exrcic raid Donnr sans calcul ls valurs numériqus d ) t 3 t dt ) t sin tdt 3) t cos3tdt 3 3! 6 Réonss )L t u(t) () )L[ u(t)sin(t) ]() ) L[ u(t)cos(3t) ](). 3 Exrcic raid 3 Trouvr ls originaux ds fonctions définis our > ar : 4 ) ) 3) 5 9 Réonss t 4 u(t),u(t)sin t,u(t)cos3t. Exrcic raid 4 Rmlir l tablau suivant : Fonction f. Original d la fonction F Transformé d f : F () our > u(t) t u(t) t 3 u(t) 6 4 n t u(t) u(t)sin(5t) u(t)cos(t) u(t)sin( t) n! n Début

9 9 Proriété d la transformation d Lalac Proriété La transformation d Lalac st «linéair» : L[ s(t) k(t) ]() L[ s(t) ]() L[ k(t) ] [ ]() al[ s(t) ]() L as(t) () Pour touts fonctions causals s t k t tout rél a. Ctt formul s résum n: [ as(t) bk(t) ]() al[ s(t) ]() bl[ k(t) ]() L Pour touts fonctions causals s t k t tous réls a t b. [ g(t))u(t) ]() L[ f (t)u(t)]() L[ g(t)u(t) ] L (f (t) [ ]() al[ f (t)u(t)] L af (t)u(t) [ bg(t))u(t) ]() al[ f (t)u(t)]() bl[ g(t)u(t) ]() L (af (t) () () Exrcic raid 4 ) Ecrir la transformé d Lalac d la fonction causal s : t u(t)(cos3t sin3t. ) Ecrir la transformé d Lalac du signal s : t s(t) (t 3t 4)u(t). 3) Trouvr l original d la fonction F défini our > ar F () Réonss,, t t u(t). 9 3 Début

10 Proriété d la Transformation d Lalac Proriété Transformation d Lalac t dérivation «La Transformé d Lalac d la dérivé d un fonction n st as la dérivé d la Transformé d Lalac d ctt fonction» [ f '(t)u(t)]() L[ f (t)u(t)]() f ( ) L L [ f ''(t)u(t)]() L[ f (t)u(t)]() f () f '( ) f () lim t,t> f (t);f '() lim t,t> f '(t) f () limt,t> f (t) f(t) f(t) Souvnt la fonction f st tll qu f ()f () (si ll st continu n ) Exrcic raid 8 f (t) u(t)sin(t), g(t) u(t)cos(t). Exrimr ls Transformés d Lalac L[ f '(t)]() t L[ g'(t) ](). Solution f (t) u(t)sin t ; f (),g( ). g(t) u(t)cos t L[f (t)]() L[f '(t)]() L[f (t)]() L[u(t)cos t]() L[u(t)cos t]() L[g(t)]() L[g'(t)]() L[g(t)]() 4 L[u(t)sin t]() L[ u(t)sin t]() 4 4 4

11 Proriété 3 d la Transformation d Lalac Proriété 3 d la transformation d Lalac Transformation d Lalac d un fonction «amorti» L at s(t) () L[ s(t) ]( a) (Ici s st un fonction causal). Ou bin : L at f (t)u(t) () L[ f (t)u(t)]( a) Exrcic raid 6 ) Trouvr ls Transformés d Lalac ds signaux suivants : a ) t u(t) b) t u(t)(sin t cos t). ) Trouvr ls originaux ds fonctions : F() [vérifir l'égalité : ] our > ( ) ( ) G() ( Réonss ) a) ) ). b) ( ) ; 4 ( ) ( ) L'original d G() st : t u(t)sin t. l'original d F() st :( t )u(t); Début

12 Proriété 4 d la Transformation d Lalac Proriété 4 d la transformation d Lalac L Théorèm Du Rtard. Pour tour rél τ (alé rtard) [ τ)u(t τ) ]() L[ f (t)u(t)]() τ L f (t Rmarqu u(t τ) u(t τ) u(t τ) En fft : si τ u(t τ) donc si τ Cas articulir si τ u(t τ) u(t τ) u(t τ) si τ [ τ) ]() L[ u(t) ]() τ L u(t L[u(t τ)]() τ Exrcic raid 7 Trouvr dans chaqu cas l'original d la fonction F défini our > ar : 3 3 ) ) 3)F() 4)F() Réonss )u(t) )u(t 3) 3) t u(t) 4) (t 3) u(t 3) Début

13 3 Fonction rtardé (xlications raids) L rtard st τ (suosé ositif) f (t) f(t)u(t) f(t τ)u(t τ) τ On a : h (t)f (t τ) u (t τ) f (t τ) si t τ h(t) si t τ En articulir : h (τ )f (), h (tτ)f (t) si t.

14 Proriété 5 d la Transformation d Lalac Proriété our tout rél a> : ) a L[s(t)]( a [s(at)]() L (Ici s st un fonction causal) ou bin : a L[f (t)u(t)] a L[f (at)u(t)]() La fonction u étant l échlon unité. Exrcic raid 5 ) Exrimr ls transformés d Lalac ds signaux suivants t) cos t u(t)(sin g(t) cost), u(t)(sin t (t) f Vérifir la roriété à artir ds fonctions f t g. 3) Vérifir qu our l échlon unité n aliquant la roriété on trouv : L[u(t)]() [u(at)]() L. Réonss G() F F L[f (t)u(t)] t)u(t)]() L[f ( vérifions : G() t) f ( )g(t). 4 ;G() 4 )F() C qu il fallait vérifir. a a a L[u(t)] a L[u(at)]() ) 3 Pour a> Début 4

15 5 Il rst 5 autrs roriétés qui sront résnté ultériurmnt. Nous ouvons maintnant arndr à utilisr la Transformation d Lalac our résoudr ds équations différntills. Equations différntills. Sujts. Exml (traité n détails) Résoudr x ' x (t) avc (t) si t <, (t) où x : t x(t) st un fonction tll qu : x(t) Etudir la fonction t x(t) obtnu; si t < si t., (t) si t Exml (rédigé comm à l xamn) Résoudr RCv ' v (t) avc (t) si t < t (t) E st un fonction tll qu : v(t) si t. Pag 8. si t.v : t x(t) Exml 3 (rédigé comm à l xamn) trouvr la solution d x '' 4x u(t)cos(3t) x : t x(t) st tll qu : x(t) si t <, x( ), avc u(t) si t <, u(t) x '().Pag 9. si t. Exml 4 (rédigé comm à l xamn) Résoudr l systèm différntil suivant n utilisant la Transformation d Lalac : x' 3x y y' 4x 6y Avc ls conditions initials : x (), y () ; x (t) t y (t) si t<. Pag.

16 6 Equations différntills. Sujts traités. Exml (traité n détails) Résoudr x ' x (t) avc (t) si t <, (t) où x : t x(t) st un fonction tll qu : x(t) si t < si t., (t) Etudir la fonction t x(t) obtnu. Solution La fonction inconnu qu l on chrch st noté x : t x(t). La fonction : t (t) st un fonction connu. si t I) Posons X() L[ x(t) ]() t E() L[ (t) ]() II) Transformons l équation X() x( ) X() E() X() X() E(). Puisqu x( ). III) Isolons X () X() E() ( ) X() E() H() La fonction H : H() st souvnt désigné ar ls hysicins sous l nom d fonction d transfrt X () H() E(). Début du chaitr

17 7 IV) Exrimons la transformé d Lalac E () du signal (t) (t) (t) (t) si t < si t < si t t L signal (t) s xrim à artir d l échlon unité u : u (t ) u(t ) (t) Pruv Si t < alors t < t t < donc u(t ), u(t ) : u(t ) u(t ) (t) Si t < alors t t t < donc u(t ), u(t ) : u(t ) u(t ) (t) Si t alors t t t donc u(t ), u(t ) : u(t ) u(t ) (t) On rtrouv bin l xrssion du signal (t). En utilisant la roriété 4 d la Transformation d Lalac (Théorèm du rtard) on obtint : L[ u(t ) ](), L[ u(t ) ]() E() [ ]() L[ u(t ) u(t ) ]() L[ u(t ) ]() L[ u(t ) ]() L (t) On obtint : E(). Début du chaitr

18 8 V) Exrssion d X () X() E() X() ( ) ( ) Il rst maintnant à trouvr l original d X () : c st la solution x (t) d l équation différntill VOICI: Nous connaissons ls originaux suivants : Original f (t) Fonction F () u (t) u(t) t u(t ) (t ) u(t ) (t ) Faisons aaraîtr cs donnés n décomosant n élémnts simls la fraction : ( ) trouvons ls valurs ds réls A t B tlls qu A ( ) A B,B,A B A B( ) (A B) B : ( ) ( ) ( ) ( ) Début du chaitr

19 9 L'original d ( ) st : ( ) u(t) t t t u(t) u(t) En utilisant l théorèm du rtard: L [ τ)u(t τ) ]() L[ f (t)u(t)]() τ L f (t t f (t)u(t) ( ) u(t) : (t τ) [( ) u(t τ) ]() L[ f (t)u(t)] avc: avc τ t τ. τ () τ ( ) L'original d X : X() ( ) ( ) st : x : t x(t) (t ) (t ) ( ) u(t ) ( ) u(t ) La solution d l'équation x ' x (t) lll qu x(t) si t st la fonction : x : t x(t) (t ) (t ) ( ) u(t ) ( ) u(t )

20 x : t Etud d la fonction x obtnu (t ) (t ) x(t) u(t ) ( ) ( ) u(t ) Exrssion d la fonction x sur ls intrvalls ], [, [, [,[, [. si si si t t t ],[ :x(t) si t ],[ [, [ [, [ : x(t) : x(t) (t ) (t ) (t ) Début du chaitr

21 Etud d la continuité our ls valurs t t t d la variabl Continuité n t Lim t<, t x(t) x( ) Lim (t ) t, t x(t) x( ) Lim t, t > > x( ) x( ):la fonction st continu n. Continuité n t Lim x(t) x( ) Lim (t ) t, t t, t < < Lim x(t) x( ) Lim (t ) (t ) t, t t t > > x( ) x( ):la fonction st continu n. Etud d la dérivabilité our ls valurs t d la variabl si t si t si t ],[ : x(t) donc : x '(t) si t ],[ ], [ ], [ : x(t) (t ) : x(t) (t ) donc (t ) x '(t) (t ) donc x '(t) (t ) (t ) Etud d la dérivabilité our la valur d la variabl Lim t<, t x '(t) Lim (t ) t, t x '(t) Lim t, t > > Lim t<, t x '(t) Lim t>, t x '(t) : La fonction n'st as dérivabl n. Début du chaitr

22 Etud d la dérivabilité our la valur d la variabl Lim x '(t) Lim (t ) t, t t, t < < Lim x '(t) Lim (t ) (t ) t, t t, t > > Lim t<, t x '(t) Lim t>, t x '(t) : La fonction n'st as dérivabl n. Rrésntation grahiqu d la solution si t ],[ :x(t) si t ],[ si t [, [ : x(t) (t ) si t [, [ : x(t) (t ) (t ) Points articulirs t x (t) Cofficint dirctur d la tangnt à gauch Cofficint dirctur d la tangnt à droit Limit à l'infini lim (t ) (t ) t x(t) lim t

23 3 x(t) t Début du chaitr Exml (rédigé comm à l xamn) Résoudr RCv ' v (t) avc (t) si t < t (t) E v : t x(t) Solution Posons : st un fonction tll qu : v(t) si t.. [ v(t) ]() V() t L[ (t) ]() E() L. Aliquons la transformation d Lalac à l équation : si t.

24 4 uisqu v( ). RCV() V() E() Isolons V () : E() E donc : V() E() RC E V() RC qui s'écrit : E V() RC RC Décomosons n élémnts simls : A B P P. RC RC En réduisant au mêm dénominatur on obtint ar idntification ds numératurs : ARC, B RC, d où : V() E RC L original d V () st v (t): v(t) E( t RC ).u(t). L équation st résolu. Début du chaitr Exml 3 (rédigé comm à l xamn) trouvr la solution d x '' 4x u(t)cos(3t) x : t x(t) Solution Posons : st tll qu : x(t) si t <, x( ), [ x(t) ] L () X(). avc u(t) si t <, u(t) x '(). si t. Aliquons la transformation d Lalac à l équation :

25 5 uisqu x( ) Isolons X () : t x () X() 4X() 9 X() 4 ( 9)( 4) Décomosons n élémnts simls : A B C D ( 9)( 4) 9 4 On obtint arès réduction au mêm dénominatur t idntification ds numératurs : A,C,B,D donc : 5 5 ( 9)( 4) X() 4 ( 9)( 4) X() L original d X () st x (t): 6 x (t) ( cost cos3t) u(t) 5 5 L équation st résolu. Début du chaitr Exml 4 (rédigé comm à l xamn) Résoudr l systèm différntil suivant n utilisant la Transformation d Lalac : x' y' 3x 4x y 6y Avc ls conditions initials : x (), y () ; x (t) t y (t) si t<. Solution

26 6 Notons X () t Y () ls transformés d Lalac ds fonctions x (t) t y (t). Aliquons la transformation d Lalac au systèm d équation l équation : X() 3X() Y() Y() 4X() 6Y() uisqu x( ) t y( ). Isolons X() t Y() n résolvant l systèm : L systàm s'écrit : ( 3) X() 4 X() La solution d c systèm s écrit : 8 8 X() 9 4 ( )( 7) Y() ( ) 7) Décomosons n élémnts simls : 6 X() 5 7 Y() ( 6)Y() 6 4 Y() 5 7 Ls originaux d X () t Y() sont x (t) t y(t): x(t) 6 t 7t, y(t) 6 t 4 7t. 5 5 L équation st résolu : la solution st l coul d fonctions x(t) 6 t 7t, y(t) 6 t 4 7t 5 5 TRAVAIL A FAIRE A Résoudr i (t) i (t) (t) avc i (t) si t< i ()i (). L signal st grahiqumnt ar : (t) Début du chaitr t

27 7 Indication t On ut calculr dirctmnt (t) dt mais l calcul st long ; On ut vérifir (ctt indication st donné n général dans l sujt) : (t)tu(t) (t )u(t )(t )u(t ) Résoudr x' x y y' x y B Avc : x (), y (), x (t) t y (t) si t<. C Résoudr x' x 5y y' x 4y On suos: x (), y (), x (t), y (t) si t<. Début du chaitr Réonss n vrac

28 8 : t < t sin t : t < i(t) t 3sin t : t < 4sin t : t < t x(t) ( cos t)u(t) t y(t) ( sin t)u(t)?? Début du chaitr