Cinématique du solide indéformable. Mouvements particuliers Résolution graphique

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1 CPGE - PTSI - Ch Coeffin Sciences Industielles de l ingénieu Fiches de cous CI4 obilités et containtes des chaînes fonctionnelles - Cinématique Cinématique du solide indéfomable ouvements paticulies Résolution gaphique Compétence(s) : odélise, Associe un epèe à un solide, Pende en compte les syméties ou les estictions de mouvement pou simplifie les modèles Résoude, ette en œuve une méthode de ésolution gaphique, Choisi un modèle et une méthode de ésolution, Détemine gaphiquement le champ des vitesses des points d un solide dans le cas de mouvements plan su plan 1 ouvement de tanslation Un solide 2 est en mouvement de tanslation pa appot à un solide 1 si le toseu cinématique est de la fome suivante quelque soit le point de éduction : { V ( 2/1 ) = 0 V ( 2 / 1) Le toseu qui décit le mouvement est un toseu couple (ésultante nulle) ce qui implique que le moment este identique quel que soit le point de éduction Le champ des vecteus vitesse est alos unifome Il en est de même pou le champ des vecteus accéléation Il existe plusieus types de mouvement de tanslation selon la natue de la tajectoie : tanslation ectiligne : la tajectoie de chaque point est un segment de doite ; L'accéléation est nulle, le mouvement est ectiligne unifome ; L'accéléation est constante, le mouvement est ectiligne unifomément vaié ; tanslation ciculaie : la tajectoie de chaque point est un ac de cecle ; tanslation cuviligne : la tajectoie de chaque point décit une coube quelconque 2 ouvement de otation Un solide 2 est en mouvement de otation autou d'un point O pa appot à un solide 1, si le toseu cinématique est de la fome suivante en O : V 2/1 = Ω( 2 / 1) 0 { ( ) O (toseu à ésultante ou glisseu) Un solide 2 est en mouvement de otation autou d'un axe ( O, u ) pa appot à un solide 1, si le toseu cinématique est de la fome suivante en tout point de l'axe ( O, u ): Ω( 2 1) { ( ) V 2/1 = ( O, u) / est alos colinéaie à l'axe ( O u) Ω( 2 / 1) 0 (toseu à ésultante ou glisseu),, appelé aussi axe instantané de otation Doc Cous - ouvements paticulies - Cinématique gaphique Page 1 su 5

2 On emaque aussi que ( O u) Pou tout point ( O u) Pou tout point ( O u), est l'axe cental du toseu,, on a V ( 2 / 1) = 0,, on a V ( 2 / 1) = I ( 2 / 1) Ω où I est un point situé su ( O u), Dans le cas de la otation autou d'un axe, on pale aussi de mouvement unifome et de mouvement unifomément vaié en fonction de l'accéléation angulaie 3 ouvement hélicoïdal Un solide 2 est en mouvement hélicoïdal pa appot à un solide 1, si le toseu cinématique est de la fome suivante en tout point de l'axe ( O u) ω, : { V ( 2/1) = p ω { V ( 2/1) z 1 = ω p ω z 1 pas à doite pas à gauche Ω( 2 1) / est alos colinéaie à l'axe ( O u) Pou tout point ( O, u p ω ), on a V ( 2/1) = p ω Pou tout point ( O u) V 2/1 = + I Ω 2/1,, appelé aussi axe cental du toseu,, on a ( ) ( ) La vitesse de glissement est alos donnée pa : V ω ( 2/1) = p + 4π, valeu minimale de la vitesse pou ce mouvement où I est un point situé su ( O, u ) Avec distance de à l axe ( O, u ) 4 ouvement plan su plan 41 Définition Un solide 2 est en mouvement plan su plan pa appot à un solide 1, si le toseu cinématique est de la fome suivante en tout point de l'espace : V = u x1 + v y1 { ( 2/1) Le toseu {V(2/1) décit un mouvement dans le plan { x 1, y 1 42 Axes et cente instantanés de otation (CIR) Le vecteu otation Ω( 2 1) / est pependiculaie à tout vecteu V ( 2 1) Il existe donc un axe ( I, z 1) tel que tous ses points aient une vitesse nulle C'est l'axe instantané de otation ou axe cental du toseu cinématique / Doc Cous - ouvements paticulies - Cinématique gaphique Page 2 su 5

3 L'intesection de cet axe avec le plan d'étude, donne le point I ou Cente Instantané de Rotation Ω (2/1) I P V(E2/1) Notons que dans le cas d'un mouvement plan quelconque, ce point I se déplace dans le plan d'étude, et que pou un mouvement de otation plane, ce point est fixe La détemination gaphique ou analytique du CIR se fait en utilisant la popiété suivante : V ( I 2 / 1) = 0 et V ( 2 / 1) = I Ω ( 2 / 1) Détemination analytique du CIR : Supposons que l'on connaisse le toseu cinématique du mouvement, en un point, du solide 2 pa appot à au Ω solide 1 : { ( ) ( 2 / 1) V 2/1 = V ( 2 / 1) On a au CIR, la elation V ( 2 / 1) = I ( 2 / 1) Détemination gaphique : Ω Pa division vectoielle, on obtient donc la elation : Ω( 2 / 1) V ( 2 / 1) I = Ω( 2 / 1) 2 ( ) Le vecteu I est pependiculaie à V ( 2 / 1) Connaissant donc le suppot de deux vecteus vitesse V ( S / R) et V ( N S / R), on est capable pa intesection de détemine gaphiquement la position du CIR (S) I P V(ES/R) N V(NES/R) 43 ouvement plan su plan de tois plans Soient tois solides (S 1 ), (S 2 ), (S 3 ) en mouvement plan su plan, liés espectivement aux epèes (R 1 ), (R 2 ), (R 3 ) L'étude peut alos se faie dans les plans (P 1 ), (P 2 ) et (P 3 ), de nomale commune z On note I 21, le CIR du mouvement de (P 2 ) su (P 1 ), I 32, le CIR du mouvement de (P 3 ) su (P 2 ) et I 13, le CIR du mouvement de (P 1 ) su (P 3 ) S 2 S 3 I 32 S 1 I 13 I 21 Doc Cous - ouvements paticulies - Cinématique gaphique Page 3 su 5

4 D'apès la définition du CIR, V ( I 21 1 / 2) = 0 et alos V ( I ) V ( I ) De plus, on peut écie que ( 1 3) ( 1 3) et ( 3 2) ( 3 2) D'où, la elation I I ω z + I I ω z = 1 / / 2 = V I 21 / = V I13 / + I 21I13 ω 1/ 3z V I 21 / = V I 32 / + I 21I 32 3/ 2 z / / 2 0 ω Pa suite, les tois centes instantanés de otation I 21, I 32 et I 13, sont alignés Cette popiété sea utile dans la ésolution gaphique des poblèmes de cinématique 44 Base, Roulante Dans le mouvement plan su plan de 2/1 dans lequel le solide 1 est pis pou éféence : La base du mouvement est le lieu que décit le CIR dans le epèe lié à 1 ; La oulante du mouvement est le lieu que décit le CIR dans le epèe lié à 2 On démonte que ces deux coubes sont à tout instant tangentes en I et la oulante oule sans glisse su la base 5 Cinématique gaphique 51 Domaine d étude et pincipe de ésolution La ésolution gaphique des poblèmes de cinématique est utilisée uniquement los de mouvement plan su plan Contaiement à une ésolution analytique, la ésolution gaphique founit une solution à une situation paticulièe (celle de la epésentation gaphique) mais ne pemet pas de modélise une loi entée-sotie A pati de plusieus données cinématiques, la finalité est de détemine le vecteu vitesse d un point paticulie Pou ce faie, on choisia péalablement une échelle de vitesse en mm/ms -1 Quate pincipes seont exploités los de la ésolution gaphique : Fomule d équipojectivité des vecteus vitesse Existence du cente instantané de otation (CIR) Champs des vecteus vitesse Fomule de composition des vitesses La fomule d équipojectivité pemet de détemine la nome d un vecteu vitesse connaissant sa diection à pati du vecteu vitesse connu en un point du même solide L existence du CIR pemet de détemine la diection d un vecteu vitesse Le champ de vecteus vitesse pemet de détemine le module d un vecteu vitesse d un point du solide à pati de la connaissance du CIR ( la vitesse est popotionnelle à la distance du point au CIR) La fomule de composition de vitesses est utilisée losque l on enconte des vitesses elatives au niveau d une liaison 52 Exemple de méthodologie Soient les tois points A, B et C du solide S associé au epèe 1 On connaît la vitesse au point A : V A 1/ 0 ainsi que le suppot de V B 1/ 0 (voi page suivante) Doc Cous - ouvements paticulies - Cinématique gaphique Page 4 su 5

5 C B Suppot de V B 1/ 0 V A 1/ 0 Y A O X On echeche : - La vitesse au point B : V B 1/ 0 - La vitesse au point C : V C 1/ 0 Résolution : Recheche de V B 1/ 0 pa équipojectivité Recheche du CIR I Tacé du suppot de V C 1/ 0 pependiculaie à (I,C) Détemination du module de V C 1/ 0 en exploitant les popiétés du champ des vecteus vitesse Doc Cous - ouvements paticulies - Cinématique gaphique Page 5 su 5