CHAPITRE 1 L ÉLECTROSTATIQUE

Transcription

1 L électostatique Chapite 1 CHAPITE 1 L ÉLECTOSTATIQUE 1.1 Intoduction La chage est une popiété de la matièe qui lui fait poduie et subi des effets électiques et magnétiques. On distingue : - l'électostatique qui est l'étude des effets électiques céés pa des chages au epos; - l'électomagnétisme qui est l'étude des phénomènes électiques et magnétiques (les phénomènes magnétiques impliquent généalement des chages électiques en mouvement). 1. La chage électique On distingue deux types de chages électiques: les chages positives et les chages négatives. L'expéience monte claiement que : - les chages de même signe se epoussent ; - les chages de signes contaies s'attient. La matièe est constituée d'atomes (de ayon m), chaque atome étant fomé d'un noyau compact (de ayon m) contenant des potons de chage positive et des neutons électiquement neutes dont le ôle est essentiel à la stabilité des noyaux. Autou du noyau, des électons de chages négatives constituent des nuages de fomes diveses. Un atome neute possède un même nombe d'électons et de potons. Pa conséquent, la matièe est électiquement neute. On peut chage un cops ente autes pa fottement. La popotion des atomes de la suface d un cops qui pedent ou gagnent un électon est de l'ode de 1 su L'unité de la chage électique est le coulomb (C) La chage électique n'existe qu'en quantités discètes : elle est quantifiée. Dans le cade de ce cous, la gandeu de la chage élémentaie est celle de l'électon : e 1,6 x C 1-1

2 Chapite 1 L électostatique Die que la chage est quantifiée équivaut à affime que toute chage électique Q s'expime comme un multiple entie de e : Q n e où n est un entie L un des pincipes fondamentaux qui concene la chage électique est celui de la consevation de la chage qui s'applique aux systèmes isolés : La chage totale d'un système isolé este constante 1.3 Conducteus et isolants Un conducteu est un matéiau compotant une cetaine concentation d'électons libes susceptibles de se déplace facilement sous l effet d un champ électique (pou cée un couant, pa exemple). Les métaux et les solutions ioniques sont des milieux conducteus. Un gaz ionisé peut également ête considéé comme un milieu conducteu. Dans un isolant, il y a tès peu d'électons libes. Ils sont fotement liés à des sites moléculaies donnés (contaiement à un bon conducteu) et il faut leu donne beaucoup d énegie pou les libée et génée un couant électique. Le caoutchouc, les plastiques, le vee, la soie et le bois sont des isolants. emaque : La quantité d'électons libes est pécisément ce qui distingue les conducteus des isolants Un semi-conducteu se compote comme un isolant losqu'il est tès pu, mais on peut modifie son pouvoi conducteu en le dopant, c'est-à-die en y ajoutant des impuetés dans des popotions bien déteminées. Le gemanium, le coabone et le silicium sont des semiconducteus. 1.4 Loi de Coulomb La loi de Coulomb expime la foce ente chages ponctuelles ou que l'on peut considée comme telles. Il a fait la démonstation expéimentale que cette foce est invesement popotionnelle au caé de la distance ente elles. Sa connaissance de la loi d'attaction gavitationnelle ente deux masses l'a amené à déduie que cette foce était popotionnelle au poduit des chages en pésence. De toute façon, il n'était pas possible de mesue pécisément une chage électique à cette époque. 1-

3 L électostatique Chapite 1 Dans la figue, on a illusté le cas de chages ponctuelles, la chage souce + Q et la chage témoin + q. Tel qu'illusté, les foces su les chages sont épulsives dans ce cas. F Q + q + Q u Fq F q F Q k qq u k qq u et F Q F Dans l'expession des foces, la valeu de la constante k est k ( N m / C ) Elle s'expime souvent sous la fome q k 1 4πε0 où ε o 885, 10 1 est la constante de pemittivité du vide. F HG C N m I KJ La compaaison ente les foces électique et gavitationnelle ente un électon et un poton dans le cas de l'atome d'hydogène évèle que la foce électique est tès nettement dominante. C'est cette foce qui explique la stabilité des atomes, du moins en ce qui concene la liaison ente les électons et le noyau. Dans les applications concenant les faisceaux de paticules chagées (électon, poton, paticule alpha), la foce électique sea également dominante, de sote qu'on poua néglige la foce gavitationnelle D'aute pat, si on calcule la foce électique ente deux potons situés de pat et d'aute du diamète d'un noyau d'atome de fe, on touve envion 10 N, ce qui est considéable étant donné la masse des potons (1.67 x 10-7 kg). Le noyau devait donc éclate sous l'effet des 1-3

4 Chapite 1 L électostatique foces électiques de épulsion ente les potons. Pou explique la stabilité des noyaux, on est natuellement amené à postule l'existence des foces nucléaies (c'est l'une des conséquences diectes de l'intepétation de la loi de Coulomb dans le contexte des noyaux des atomes). L'ode de gandeu de cette foce est d'envion 100 fois celle de Coulomb, ce qui explique la stabilité des noyaux des atomes. Les neutons jouent un ôle impotant dans cette foce. 1.5 Le pincipe de supeposition On utilise le pincipe de supeposition pou calcule la foce ésultante su une chage témoin q due à un ensemble de chages souces Q, Q,..., Q,..., Q. 1 i n La foce su q due à Q i est donnée pa : F k qq i qq, i i u i O, le pincipe de supeposition s'applique aux foces, en paticulie pou le calcul de la foce ésultante, d'où : n n F F k qq i q q, Q u i i 1 i 1 i i Dans la plupat des execices du live de éféence, il faut se donne un système d'axes de éféence pou expime les composantes de chacune des foces et ensuite obteni l'expession vectoielle de la foce ésultante su une chage donnée. Lie les exemples 1.1, 1., et 1.3 du live de éféence. 1.6 Execices à faie dans le chapite 1 du live de éféence (Nouvelle ou ancienne édition) Execices # 3, 5,10,11,1,16 Poblèmes : 3, 6 et

5 L électostatique Chapite Execices ésolus Execices 1-1 Les sphèes de la figue de gauche de la figue qui suit sont faites de matièe isolante, identiques, de chages égales Q et de masses égales m. Du fait de leus chages, celles-ci se epoussent de sote que les fils de longueu L qui les etiennent font un angle θ avec la veticale. On demande l expession de la chage Q des sphèes en fonction des autes paamètes (θ, m, L), sachant qu elles sont en équilibe tel qu illusté dans la figue de gauche. Q L θ θ L Q T Y θ F elect Q X m m L sin( θ ) mg Solution La somme des foces su chacune des sphèes est nulle. Celles-ci sont epésentées dans la figue de doite. Les conditions d équilibe expimées dans le système d axes illustés donnent les elations suivantes : ST en X : F - Tsin( θ) 0 elect en Y : Tcos( θ) mg 0 T sin( θ) T cos( θ) S T F mg elect De ces elations, on tie donc tan( θ ) F elect mg 1-5

6 Chapite 1 L électostatique D'autes pat, la loi de Coulomb pemet d expime la foce électique ente les sphèes : F elect b kq afg Lsin θ Des denièes égalités, on obtient le ésultat cheché : Felect tan( θ) mg kq Felect Lsin θ b a fg b kq a fg Lsin θ mg tan( θ) Q ± L sin ( θ) mgtan( θ) k 4 Poblème 1.6 Deux petites sphèes métalliques identiques et distantes de 3 cm s attient l une l aute avec une foce de 150 N. On les elie povisoiement pa un petit fil conducteu. a) Si elles se epoussent maintenant avec une foce de 10 N, déteminez la chage initiale su chacune des sphèes. b) Déteminez la chage initiale su chaque sphèe si la foce épulsive est de 150 N apès les avoi mis en contact. On suppose que la chage est unifomément épatie su les petites sphèes. a) Avant de mette les sphèes en contact, la foce est attactive de sote que le poduit des chages est négatif. Alos, la loi de Coulomb pemet de poduie l égalité suivante : où d 0,03 m. kq Q d (1) 1-6

7 L électostatique Chapite 1 Apès le contact, la chage su chacune des sphèes est égale du fait que les sphèes sont identiques. La chage su chacune est donnée pa : Q ' ' 1 Q Q + Q 1 () Sachant que la foce est alos attactive et valant 10 N, l application de la loi de Coulomb donne l égalité où d 0,03 m. F k Q + H Q d 1 I K 10 (3) Les équations (1) et (3) peuvent ête ésolues pou détemine la valeu de la chage initiale su chacune des sphèes (Q1 et Q). Il suffit d isole Q dans (1) et substitue dans (3) pou touve une équation quadatique en Q 1. Pa suite, on touve : S T Q ± 3µ C avec Q m 5µ C 1 Q ± 5µ C avec Q m 3µ C 1 ou b) Avant de mette les sphèes en contact, la foce est épulsive de sote que le poduit des chages est positif. Alos, la loi de Coulomb pemet de poduie l égalité suivante : kq Q d (4) où d 0,03 m. Comme dans le cas pécédent, apès le contact, les chages su chacune des sphèes sont égales : Q ' ' 1 Q Q + Q 1 (5) 1-7

8 Chapite 1 L électostatique Cependant, la foce este épulsive et a pou valeu 10 N. On a donc k F HG Q + Q d 1 I K J 10 ( 6) Les équations (4) et (6) pemettent de détemine la valeu des chages initiales. On touve S T Q ± 160, µ C avec Q ± 935, µ C 1 Q ± 935, µ C avec Q ± 160, µ C 1 ou 1-8

9 Le champ électique Chapite.1 Intoduction CHAPITE LE CHAMP ÉLECTIQUE La loi de Coulomb pemet de calcule la foce ésultante d'un ensemble de chages ponctuelles souces su une chage témoin donnée. Cependant, la notion de foce implique dans ce cas l intéaction de deux chages électiques. Elle n appote pas une éponse satisfaisante à ce qui caactéise une chage électique ou un cops potant une chage. Le concept de champ électique est intoduit, ente autes, pou appote une éponse à cette question. Cette éponse se ésume comme suit : - Une chage électique ou un cops potant une chage électique poduit dans son voisinage ce que nous désigneons pa champ électique. De plus, il existe un appot étoit ente la géométie de la distibution des chages et la géométie du champ. - La foce électique su une chage témoin placée dans un champ électique se déduit facilement si l'expession du champ électique est connue. Il est possible, dans cetains cas, de calcule la foce su un cops chagé placé dans un champ électique. - Pou cetaines applications, la deuxième loi de Newton pemet alos de déduie la tajectoie de la paticule chagée dans un champ électique. Cette appoche implique qu'il faut défini la notion de champ électique et développe les outils pou le calcule et le visualise. C'est l'un des pincipaux objectifs des chapites, 3 et 4. Il convient finalement de signale que nous allons esteinde le calcul du champ électique aux distibutions de chages que nous désigneons pa configuations couantes, ce qui éfèe à la "géométie" des distibutions de chages utilisées dans la conception de cetains appaeils et plus généalement dans les applications techniques. -1

10 Chapite Le champ électique. Définition du champ électique La figue qui suit illuste le point de vue énoncé dans l'intoduction : la chage souce distibuée + Q poduit un champ électique au point P de son voisinage. Si on place une chage témoin +q en ce point, une foce électique s'execea su celle-ci. +Q P E( P) +Q P Fq qe( P) Le champ électique poduit pa la chage Q au point P est défini pa : b g EP F q bg P q De sa définition, on déduit que le champ électique est la foce pa unité de chage et s'expime en newton pa coulomb (N/C) dans le système MKS. Cette définition s'applique en tous points de l'espace dans le voisinage de la chage souce Q. La chage q est considéée comme chage témoin et on la suppose positive pou établi la diection du champ électique. On fait également l hypothèse qu'elle est assez petite pou ne pas petube la distibution de la chage Q et, pa conséquent, le champ poduit pa celle-ci. Dans ce qui suit, on laisse tombe l'indice "q " dans l'expession de la foce. Les emaques qui suivent sont impotantes. 1. Comme la chage témoin q est positive, la diection du champ coïncide avec celle de la foce su celle-ci.. Le champ électique est un champ vectoiel. À chaque point de l'espace dans un champ électique, on associe donc un vecteu dont la gandeu et la diection caactéise le champ électique. 3. On peut visualise les lignes du champ électique du moins dans le cas des distibutions de chages simples. Le champ électique est tangent à chaque point d'une ligne de champ de même que la foce électique su une chage ponctuelle placée en un point de celles-ci. -

11 Le champ électique Chapite 4. Si l'expession du champ est connue, on peut détemine celle de la foce su une chage témoin : F qe 5. Dans plusieus applications, la seule foce su une paticule de masse m et de chage q à pende en considéation est la foce électique, ca habituellement, elle est nettement dominante. Dans ces conditions, la deuxième loi de Newton s'écit : ma qe Si on développe cette équation vectoielle suivant ses composantes dans un système d'axe XYZ en tenant compte des conditions initiales, cela nous amène à ésoude le système d'équations difféentielles suivant : m d x dt qe m d y qe dt m d z qe dt x y z a a a x, y, z x, y, z x, y, z f f f xaf 0 x0 avec y 0 y et af zaf 0 z 0 0 S T vxaf 0 v vyaf 0 v vza0f v x0 y0 z0 dont la solution est l'équation de la tajectoie de la chage ponctuelle q. Sous fome vectoielle, l'équation de la tajectoie s'écit : a f a f a f a f t xti+ yti+ ztk où x(t), y(t) et z(t) sont les solutions du système ci-haut. Dans le cas d'un champ électique unifome, l'accéléation d'une paticule chagée est constante. Cela nous amène à l'étude du mouvement unifomément accéléé dans le plan si on choisit convenablement note système d'axes (dans ces conditions, le mouvement se fait dans un plan). -3

12 Chapite Le champ électique.3 Méthodes de calcul du champ électostatique Ces méthodes sont les suivantes : 1. Calcul du champ d'une chage ponctuelle. Calcul du champ d'une chage distibuée (pa intégation) 3. Calcul du champ avec le théoème de Gauss (objet du chapite 3) 4. Calcul du champ électostatique à pati de l'expession du potentiel (chapite 5. Le pincipe de supeposition 6. Le champ électique à l'intéieu et à la suface d'un conducteu (ésultats expéimentaux) Ces méthodes seont utilisées pou calcule le champ électique des configuations couantes (méthodes et 3 sutout), c'est-à-die celles qu'on etouve souvent dans l'envionnement et dans les applications techniques. Le pincipe de supeposition vient compléte le tableau, notamment losque le champ électique dans une potion de l'espace est généé pa plus d'une configuation de chages. Dans ces conditions, il faut "supepose" les champs généés pa chacune des configuations, ce qui, essentiellement, signifie faie l'addition vectoielle des champs généés pa chacune de celles-ci..4 Calcul du champ d'une ou de plusieus chages ponctuelles Pou une chage ponctuelle Q, on utilise la loi de Coulomb qui donne la foce su une chage témoin q placée dans son voisinage, et la définition du champ électique pou détemine le champ électique à une distance de celle-ci : d'où l'on tie : F q q kq u F qe F H G I K J q E kq u E kq -4

13 Le champ électique Chapite Dans le cas de plusieus chages ponctuelles Q 1, Q,..., Q i,...q n, le champ électique ésultant en un point P placé dans le voisinage de celles-ci est obtenu en calculant d'abod l'expession vectoielle du champ de chacune des chages ponctuelles dans un système d'axes appopié : kqi Ei u i où i désigne la distance ente la chage Q i et le point P. i Q 1 u 1 1 u P Q u i i n Q i u n Q n On applique alos le pincipe de supeposition pou obteni le champ ésultant : af af n n kqi EP Ei P u i i 1 i 1 i Cette fomule généale donne l'expession du champ ésultant. Cependant, en teme calculatoie, le calcul du champ s effectue dans un système d axes appopié. Chacun des champs se supeposant, et, pa suite, le champ ésultant doivent ête expimés dans ce système d axes. emaque : Lie l'exemple.3, page 3 du live de éféence (ex.., page 19, ancienne édition) Si l'expession du champ ésultant est obtenue en coodonnées ectangulaies, sa gandeu se calcule comme suit : x y z E( P) E ( P) + E ( P) + E ( P) -5

14 Chapite Le champ électique Application : Champ électique d'un dipôle, su la médiatice (voi la figue qui suit) Y +Q a x X E E a + kaq -Q E E+ + E j 3 c x + a h Execices suggéés su les chages ponctuelles : execices 3, 5, 11, 13 et 17 du chapite du live de éféence.5 Calcul du champ d'une chage distibuée La fomule qui suit pemet d'obteni le champ d'une chage Q distibuée qui ne peut ête considéée comme chage ponctuelle. Cette fomule utilise le ésultat obtenu pou une chage ponctuelle conjointement avec le pincipe de supeposition. Q dq P de P u b g Ω Pa éféence à la figue, la contibution de l'élément de chage dq au champ total en P est donnée pa : kdq dech P u -6

15 Le champ électique Chapite Le champ ésultant en P est alos donné pa : kdq S EP ch z dep chz Ω T où Ω désigne la configuation ou la géométie de la distibution de chage. u Les ésultats pou les configuations couantes, dont le champ se calcule avec cette méthode, sont pésentés ci-dessous. Dans chaque cas, dans les figues, on suppose une chage positive su le cops chagé pou y tace la diection du champ; dans ces conditions, la diection du champ pou une chage est tout simplement la diection invese de celle epésentée. 1. Champ électique dans l'axe d'un anneau mince potant une chage Q. Y Q a Ex b g X kqx Ex b g x + a d i 3 i. Champ électique dans l'axe d'un disque avec densité sufacique σ(c/m ) unifome. Y σdc/ m a x i E X L NM E πkσ 1 d a x + x O 1 i QP i -7

16 Chapite Le champ électique emaque : La chage totale su le disque est donnée pa Q σπa i. Si on donne la chage totale du disque, Q et son ayon a, la densité sufacique est donnée pa σ Q πa. d Il faut considée les cas limites "loin du disque" et "pès du disque". Si x, on etouve, apès l'évaluation de la limite : E E kq x i kq x Ce ésultat coïncide avec celui obtenu pou la chage ponctuelle et il était pévisible. Si x 0, on touve, apès l'évaluation de la limite, l'expession du champ dans le voisinage d'un plan avec une densité sufacique σ (C/m ) unifome : E E σ ε σ ε 0 0 i emaque : Les ésultats des cas limites qui pécèdent doivent ête intepétés pa appot à la figue ci-haut. Dans le cas de l appoximation pès du disque, on emaque que le champ devient unifome et ne dépend pas de la position. L'expession obtenue poua ête utilisée pou le calcul du champ électique dans le voisinage d'un plan chagé de gande dimension, pouvu que ce ne soit pas pès des bods. Dans le cas de plusieus plans chagés, le champ ésultant se calcule avec cette expession et le pincipe de supeposition. -8

17 Le champ électique Chapite 3. Champ dans le voisinage d'un fil de longueu finie L potant une chage Q unifomément épatie su sa longueu (ce qui équivaut à une densité linéaie de b g ). chage λ Q L C/ m λ Q L L E k λ b sin α sin α i + cos α cos 1g b α1gj α α 1 E La convention su les angles α i qui s'applique au ésultat de la figue est pésentée dans la figue qui suit : α 0 α > 0 α < 0 P -9

18 Chapite Le champ électique emaque : Voici des cas paticulies de fils chagés dont le champ électique se déduit de l'expession qui pécède. 3.1) Champ du long fil : Dans ce cas, α E π π et α 1 k λ 3.) Champ d'un "demi fil infini" ( les cas de la figue), d'où α1 0 λ π E α k e i j E j E -π α1 λ E + α 0 k e i j j Dans chacun des cas de la figue, le champ fait un angle de 45 o avec l'hoizontale. 3.3) Champ su la médiatice d'un fil de longueu finie. Q α E L X α x kλ E sin α où λ x Q L emaque : Faie le poblème #7 du chapite. -10

19 Le champ électique Chapite 4. Champ à une distance x de l'extémité et dans l'axe d'un fil de longueu L potant une chage Q E y Q x L kq E i xx b + Lg e j x L E kq xl i kλ et si, e j i x e j 5. Champ au cente d'un secteu d'anneau d'angle θ et de ayon potant une chage Q unifomément épatie. λ C/ m θ θ E E F H G θ I sin KJ kλ En paticulie, si θ k π( cas du demi-cecle) alos E λ -11

20 Chapite Le champ électique.6 Champ électique à l'intéieu et à la suface d'un conducteu Les ésultats qui suivent se véifient pa l'expéience. a) Dans les conditions statiques, le champ électique (macoscopique) est nul à l'intéieu d'un conducteu. Losqu'un conducteu est placé dans un champ électique extéieu, il se poduit une econfiguation des électons libes dont l'effet, combiné avec celui des atomes auxquels ils manquent un (ou des) électon(s), est de génée un champ "intéieu" qui se supepose au champ extéieu pou l'annule. Dans le cas contaie, le champ extéieu continue à opée cette econfiguation jusqu à l état d équilibe, celui-ci se taduisant pa un champ électique nul dans le conducteu. De plus : b) Dans les conditions d'équilibe statique, le champ électique est pependiculaie en tout point de la suface d'un conducteu. c) Dans les conditions d'équilibe statique et dans le cas d'un conducteu homogène, la chage nette que pote celui-ci se épatit su sa suface..7 Le pincipe de supeposition Ce pincipe set à calcule le champ électique ésultant généé pa plusieus chages ponctuelles ou plusieus configuations de chages électiques. On peut le ésume comme suit : soit c1, c,..., cn, nconfiguations de chages qui poduisent en un point P des champs E ( P), E ( P),..., E ( P) espectivement. Le champ ésultant en P est alos donné pa : 1 n n E E1 P + E P En P Ei P i 1 ch ch ch ch -1

21 Le champ électique Chapite Exemple λ (C/m) EP ( ) P 45 o d d Q d/ d La figue illuste une tige de longueu finie située dans le plan de la page potant une densité linéaie de chage connue de λ (C/m) et un anneau situé dans un plan hoizontal potant une chage inconnue Q. Les dimensions sont indiquées dans la figue. a) Déteminez sépaément les expessions vectoielles et la gandeu des champs de la tige et de l anneau au point P. b) Sachant que le champ ésultant EP ( ) en P fait un angle de 45 avec l hoizontale, déteminez l expession de la chage su l anneau en fonction des paamètes λ et d. Solution a) Le champ électique ésultant au point P de la figue est la somme vectoielle de celui de la tige ( E t ( P) )et de l anneau ( E a ( P) ): E( P) E ( P) + E ( P) t a La détemination du champ ésultant exige donc la détemination du champ de chacune des deux configuations en pésence. C est l objectif de cette question. Dans le cas de la tige, il faut se éfée au cas 3.3 de la section qui pécède et l adapte dans le contexte de l exemple : -13

22 Chapite Le champ électique λ( C) su la tige x d o α 45 kλ o Et ( P) sin( 45 ) d E ( P) t k λ i d kλ 1 d F H G I K J F H G I K J Une démache similaie dans le cas de l anneau donne : S T QC ( ) su l'anneau d a x d E a E a ( P) ( P) F HG F F HG HG d 4 d 4 kqd + d kqd + d I KJ I KJ 3 3 I KJ j b) Pou éponde à cette question, il faut pende en considéation que le champ ésultant est donné pa E( P) E ( P) + E ( P) t a et que celui- ci fait un angle de 45 o. Les composantes X et Y du champ ésultant sont donc égales. Considéant les ésultats obtenus en (a), on obtient l égalité qui pemet de détemine l expession de la chage su l anneau. F HG d 4 kqd + d I KJ 3 k d λ 5 o Q λ d ( C) 4 F H G I K J 3-14

23 Le champ électique Chapite Les execices suggéés su le pincipe de supeposition sont les suivants : Les execices 35, 37, 40 et 41, ainsi que les poblème 18 et du chapite..8 Mouvement d'une paticule chagée dans un champ unifome Dans un champ électique unifome, l'accéléation de la paticule est constante. La e loi de Newton donne les ésultats qui suivent : qe ma q E a m constante et a a x y qe m qe m x y De plus, le mouvement de la paticule peut alos ête décit dans un plan. Les équations du mouvement unifomément accéléé dans le plan sont les suivantes: S T En X En Y S a x cte v t v + a t bg b g x 0x x 1 xt x0 + v0xt+ at x bg a y cte v t v + a t b g y 0y y 1 yt y0 + v0y t+ ay t -15

24 Chapite Le champ électique Souvent, dans les applications (execices à la fin du chapite ), l'accéléation est en "Y" seulement ( a x 0 ). En généal, pou ésoude, il faut écie coectement les équations qui pécèdent dans un système d'axes appopiés en y intégant les conditions initiales. Il faut de plus intepéte coectement une (ou des) condition(s) paticulièe(s) à especte et la (les) taduie coectement dans le contexte des équations ci-dessus et du système d'axes choisi. Pou cetains execices, les équations qui suivent qui découlent de celles ci-dessus (le système d équations de la pages pécédente) peuvent ête tès utiles. Elles elient les vitesses finales en x et y aux vitesses initiales en x et y, aux déplacement en x et en y ainsi qu aux accéléations en x et y espectivement : vfx vox + ax ( x xo) v v + a ( y y ) fy oy y o Les execices suggéés su le mouvement d'une paticule chagée dans un champ électique unifome sont les suivants : les execices # 9, 33, 34 ainsi que les poblèmes 16 et 17 du chapite..9 Execices et poblèmes suggéés dans le chapite Execices # 3, 5, 11, 17, 9, 33, 35, 37, 38, 39, 40 et 41 Poblèmes #, 7, 13 et 17-16

25 Le théoème de Gauss Chapite 3 CHAPITE 3 LE THÉOÈME DE GAUSS 3.1 Intoduction Le théoème de Gauss établit une elation ente le flux du champ électique à taves une suface femée et la chage à l'intéieu de cette suface. Cette elation, qui n'est ien d'aute que la pemièe équation de Maxwell, a les popiétés suivantes : - elle eflète les popiétés généales des champs électiques et ne se limite pas aux champs électostatiques (contaiement à la loi de Coulomb); - elle pemet de détemine simplement et de manièe élégante l expession du champ électostatique céé pa les distibutions de chages qui pésentent une symétie appopiée (sphéique, cylindique, plan, etc.). - elle pemet de faie la démonstation que la chage nette d'un conducteu en équilibe électostatique est située à la suface de celui-ci. emaque : Comme on le vea plus loin, le champ électique peut compote une composante qui n'est pas associée à des chages électiques (champ électique induit pa un champ magnétique vaiable, pa exemple). L'inclusion de cette composante n'invalide pas le théoème de Gauss. 3. Flux du champ électique Pemie cas : E unifome et pependiculaie à une suface plane A. C'est le cas illusté dans la figue qui suit. S T E à la suface E A E Φ E A EA E E A 3-1

26 Chapite3 Le théoème de Gauss Deuxième cas : E unifome et non pependiculaie suface plane A ( E pas // à Φ E E A EA cosbθg A ) A A θ θ E θ E Toisième cas : E quelconque ( pas nécessaiement unifome ) et suface S quelconque. S A i Ei A j E j Pou le calcul du flux dans ce cas, il faut découpe la suface (cf. fig) de manièe à pouvoi utilise les ésultats qui pécèdent pou des sufaces planes. L'élément de flux du champ à taves l'élément de suface A i est donné pa : Φ E A i i i d'où l'on tie l'expession appoximative pou le flux : n n Φ Φ Ei A i E i i 1 i 1 3-

27 Le théoème de Gauss Chapite 3 Cette expession est appoximative ca le découpage de la suface n'est pas suffisamment fin pou que le champ soit unifome su chacun des l'élément de suface et de plus, l'élément de suface n'est pas tout à fait plan. Pou obteni l'égalité, il faut pende le passage à la limite n A i 0 n Φ lim E A E da E z i i n i 1 S z Φ E E da S La limite dans l'expession ci-haut coespond à la définition de iemann de l'intégale de suface. Cette méthode de calcul du flux du champ électique à taves une suface s'applique à tous les cas, notamment ceux qui pécèdent (champs unifomes). Faie l'execice 3 du chapite Le théoème de Gauss Le théoème de Gauss elie le champ électique su une suface femée à la chage nette à l'intéieu de cette suface. Plus pécisément, le flux du champ électique Φ E à taves une suface femée S multiplié pa la constante ε 0 est égal à la chage nette q s située à l'intéieu de cette suface. q s ε 0 Φ E ou encoe : z qs ε 0 E da s Le cecle su l'intégale indique que la suface S doit ête femée. On appelle "suface de Gauss" la suface S d'intégation. 3-3

28 Chapite3 Le théoème de Gauss Le théoème de Gauss est utile pou calcule le champ électostatique à condition que la distibution de chages pésente des popiétés de symétie pemettant de choisi des sufaces (d intégation) de Gauss S pou lesquelles l intégale se fait simplement et sutout, qu il soit possible d en tie une expession pou le champ électique dans le voisinage de la distibution de chage. En patique, l'utilisation judicieuse du théoème de Gauss pou le calcul du champ epose su les tois points qui suivent : a) l'utilisation de la symétie de la distibution de chage pou établi la configuation des lignes de champ; b) le choix d'une suface de Gauss pou laquelle E est soit pependiculaie l'élément de suface, c'est-à-die paallèle au vecteu da E da EdA soit paallèle à la suface, c'est-à-die pependiculaie à da E da 0 e j, e j ; c) su la (ou les) patie(s) de suface où E est paallèle à da, l'intensité de E doit ête constante. Alos, su celle(s)-ci : z z E da E da s Dans le cade de ce cous, nous utilisons le théoème de Gauss pou les distibutions de chages à symétie sphéique et cylindique. Dans le cas des distibutions su des sufaces planes, les ésultats du chapite incluant le pincipe de supeposition suffisent. 3.4 Calcul du champ électique avec Gauss 1) Distibutions à symétie sphéique Les distibutions visées sont les suivantes : - chage ponctuelle - chages distibuées su des cops sphéiques - chages distibuées su des sphèes concentiques s - chage distibuée pou laquelle la densité volumique s'expime en coodonnées sphéiques en fonction de la seule vaiable : ρ ρ () 3-4

29 Le théoème de Gauss Chapite 3 Pou ces distibutions, les sufaces de Gauss (S) sont des sufaces sphéiques (de ayon ) centées su les distibutions sphéiques et le flux, étant donné que la symétie donne : S T E E da cte Dans ces conditions, le calcul du flux donne z E da Ec4π Le théoème de Gauss peut donc s'écie simplement : s qs ε 0 E 4π c où q s désigne est la chage nette à l'intéieu de la suface sphéique de ayon. De cette égalité, on peut déduie le champ E() où désigne la vaiable distance ente le point on l'on calcule le champ et le cente de la distibution. h h ) Distibutions à symétie cylindique Dans le cas de ces distibutions, il faut évite les effets de bod qui se manifestent su les bouts et qui viennent bise la symétie. Dans ces conditions, il faut spécifie que le théoème de Gauss pemet de calcule le champ électique dans le voisinage des longs fils où cylindes, loin des bouts, ou dans la patie centale et à poximité dans les cas où ceux-ci sont de longueu finie. Les distibutions considéées sont les suivantes: - chage unifomément épatie su long fil doit (mince) ; - chage unifomément épatie su un long fil cylindique conducteu ou non ; - câble coaxial ; - chage distibuée dans un espace ayant la fome d'un long cylinde dont la densité volumique s'expime en fonction de la seule vaiable distance à l'axe de symétie ( ), en coodonnées cylindiques. ρ ρ() 3-5

30 Chapite3 Le théoème de Gauss Pou ces distibutions, les aguments de symétie qui s'appliquent dans leu voisinage, loin des bouts, nous amènent à choisi des sufaces de Gauss cylindiques de longueu l et de ayon, dont l'axe coïncide avec celui des cops cylindiques chagés. De plus : S T E da E da E da E est constant E da E da 0 su le tou de la suface cylindique su les bouts de la suface cylindique Pa conséquent, pou ce choix de suface, le calcul du flux se fait en ne considéant que le tou de la suface cylindique z E da Ea π lf " tou cyl" Donc, pou ces distibutions, le théoème de Gauss s'écit qs ε 0 E πl où q s est la chage nette à l'intéieu de la suface cylindique de longueu l et de ayon. Comme dans le cas des distibutions à symétie sphéique, on peut obteni l'expession du champ électique dans le voisinage de la distibution de cette égalité. a f 3.5 Le théoème de Gauss et les conducteus Dans le cas d'un conducteu plein chagé, potant un excès de chage Q, le théoème de Gauss pemet de véifie l'hypothèse suivant lequel cet excès de chage se touve su la suface extéieue du conducteu. Il est véifiable expéimentalement que le champ électique est nul à l'intéieu d'un conducteu. Cela implique que toute suface de Gauss (femée) pise à l'intéieu du conducteu ne doit pas conteni de chage, sinon le champ électique ne sauait ête nul dans le conducteu, contedisant ainsi les données expéimentales. La chage nette su la suface extéieue se dispose de sote que le champ électique est pependiculaie à la suface du conducteu 3-6

31 Le théoème de Gauss Chapite 3 Dans le cas d'un cops conducteu avec cavité, potant une chage nette Q, il faut abode le poblème de la même façon : il faut pati du fait que le champ est nul dans la patie conductice de celui-ci : - s'il n'y a pas de chage dans la cavité, la chage Q se etouve su la suface extéieue; - s'il y a une chage q dans la cavité, celle-ci induit une chage -q su la paoi de la cavité de sote que toute suface de Gauss pise dans la patie conductice et englobant la cavité contient une chage nulle (seule possibilité pou explique que le champ est nul dans la patie conductice). Dans ce cas également, on touve la chage nette Q (dans laquelle est pise en considéation la chage q dans la cavité) su la suface extéieue de celui-ci. On peut ésume les ésultats qui pécèdent ainsi : - tout excès de chage su un cops conducteu avec ou sans cavité se dispose de sote que le champ électique est nul dans la patie conductice de celui-ci ; - on etouve dans tous les cas la chage nette su la suface extéieue de celui-ci ; - le champ électique est pependiculaie en tout point de la suface d'un conducteu. 3.6 Calcul de la chage et elations associées Dans le cas de l'application du théoème de Gauss aux distibutions à symétie sphéique et cylindique, le membe de doite égalité obtenue est pafaitement déteminé. Il este à calcule le membe de gauche, c'est-à-die q s, la chage nette à l'intéieu de la suface d'intégation, pou ensuite déduie l'expession du champ. Cela nous oblige à décie les distibutions de chages en teme de densités linéaie, sufacique ou volumique suivant le cas. 3-7

32 Chapite3 Le théoème de Gauss 1. Pou les cops filifomes ou cylindiques, on invoque habituellement la densité linéaie pou décie la chage su ces cops. - Si on donne la chage totale Q et la longueu L : b λ Q L C/ m La chage d'une longueu l est alos donnée pa q g λbg l C - Dans le cas d'un cylinde conducteu de ayon, il est possible qu'on donne la densité sufacique σ puisque la chage se situe à la suface du conducteu. Alos, on monte facilement que la densité linéaie est donnée pa λ σaπ f ac/mf La chage d'une longueu l du cylinde est alos donnée pa q a σ π l f ac f - S'il s'agit d'un cylinde non-conducteu de ayon avec chage unifomément épatie avec densité volumique ρ ( C/m 3 ), alos : λ ρcπ h a f C/m La chage d'une longueu l d'un cylinde de ayon est donnée pa c h q ρ π l 3-8

33 Le théoème de Gauss Chapite 3 ) Pou les cops sphéiques - Dans le cas d'une sphèe conductice de ayon, la chage nette Q se touve à la suface, de sote que la densité sufacique est donnée pa : σ Q 4π C/m c h - dans le cas d'une sphèe non conductice de ayon unifomément chagée ( chage Q ), la densité volumique est donnée pa : ρ F H G Q C/m 3 4π I 3 3 KJ c h Dans ce cas, la chage à l'intéieu d'une suface sphéique de ayon < est donnée pa q ρ F HG Q 4π I KJ avec ρ avec Q Execices suggéés du chapite 3 Les execices 3, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18, 19, 0, 1,, 3, 4, 5, 7,30 et 31 et les poblèmes 3, 6 et

34 Chapite3 Le théoème de Gauss 3.6 Execice ésolu Application du théoème de Gauss en symétie sphéique La figue illuste une sphèe métallique de ayon a (m) potant une chage +Q, placée au cente d'une coquille sphéique de ayons intéieu b (m) et extéieu c (m) espectivement, et potant une chage + Q. +Q c b a +Q a) Calcule le champ électique en fonction de, où désigne la distance au cente. b) Calcule les densités sufaciques σ int et σ ext coquille sphéique. su les paois intene et extene de la Solution a) En symétie sphéique, le théoème de Gauss s'expime simplement comme suit : q ε E( 4π ) s Pou < a, le champ électique est nul, pace qu'on est dans un conducteu. o < a E()

35 Le théoème de Gauss Chapite 3 Pou a b: q + Q ε E( 4π ) s Q E () 4πε o o Pou b < < c le champ électique est nul, pace qu'on est dans un conducteu. b < < c E() 0 Pou c : q + Q + Q ε E( 4π ) s 3Q E () 4πε o o b) Pou que le champ soit nul dans la coquille sphéique conductice, il faut que toute suface sphéique femée de ayon b < < c pise dans celle-ci englobe une chage nette nulle. On en déduit que la paoi intene pote une chage -Q de sote que σ Q int 4π ( C/m ) b Comme la chage nette que pote la coquille est +Q, la chage nette que pote la paoi extene de la coquille doit ête de +3Q, de sote que σ ext Q +3 ( C/m ). 4π c 3-11

36 Le potentiel électique Chapite 4 CHAPITE 4 LE POTENTIEL ÉLECTIQUE 4.1 Intoduction Ce chapite pote su la notion de potentiel électique (souvent désigné pa potentiel) associé à une chage souce. Cette notion pemet le calcul de l'énegie potentielle d'une chage témoin plaçée dans le voisinage de la chage souce. Le fait que la foce électostatique soit consevative nous pemet de défini la notion d'énegie potentielle électique et d'applique la loi de la consevation de l'énegie aux poblèmes d'électicité. C'est l'une des pincipales justifications à ce chapite. Avec l'ajout de cette définition, on dispose, en électicité comme en mécanique, de appoches pou l'analyse des systèmes physiques: 1) définition et utilisation de la notion de foce électique dans le cade des lois de Newton; ) définition et utilisation de la notion d'énegie potentielle électique dans le cade du pincipe de la consevation de l'énegie. De plus, la notion de difféence de potentiel est fondamentale à l'analyse des cicuits électiques. Le potentiel d'une chage souce, comme le champ électique qu'elle poduit, est une popiété des points de l'espace dans le voisinage et ne dépend que de cette chage souce. Le champ électique d'une chage souce peut ête décit soit pa une gandeu vectoielle, le champ électique, soit pa une gandeu scalaie, le potentiel. Ces deux notions sont étoitement liées et l'utilisation de l'une ou de l'aute pou ésoude un poblème donné n'est, dans la plupat des cas, qu'une question de commodité. Cependant, la natue scalaie du potentiel en fait une notion souvent plus facile à manipule que le champ électique (de natue vectoielle) pou l'analyse des systèmes physiques. 4. Définition du potentiel La difféence de potentiel ente deux points A et B dans le voisinage d'une chage souce se définit dans le pocessus qui suit : on déplace une chage témoin q de A à B dans le voisinage de celle-ci pa l'entemise d'un agent extéieu en la gadant toujous en équilibe avec le milieu. Cela se taduit pa F i 0 i 4-1

37 Chapite 4 Le potentiel électique Dans ces conditions, la vitesse de la chage témoin est constante, de même que son énegie cinétique. Le tavail W ext effectué pa l'agent extéieu appaaît alos sous fome d'une vaiation de l'énegie potentielle de la chage témoin, puisque son énegie cinétique est constante. Pa conséquent : Wext U On définit la difféence de potentiel électique ente les points A et B pa V V V V V V B B ou De la deuxième elation, on peut elie la difféence d'énegie potentielle à la difféence de potentiel : A A U q V W q ext U q V B V A U B U q A emaque Le tavail W ext peut ête (a) positif, (b) négatif ou (c) nul, ce qui signifie que le potentiel au point B est (a) plus élevé, (b) moins élevé ou (c) égal au potentiel au point A. L'unité de la difféence de potentiel comme celle du potentiel est le volt (V) (1 volt 1 joule / 1 coulomb ) et se déduit de la denièe équation de la emaque 1. Pou défini le potentiel V(P) en un point P dans le voisinage d'une chage souce, il faut choisi (pafois abitaiement) le point A de sote que V A 0 et emplace B pa P pou désigne un point dans le voisinage de celle-ci. Le potentiel de la chage souce est alos donné pa b g V P Wext q 4-

38 Le potentiel électique Chapite 4 Nous obtenons ainsi la fonction "potentiel" associée à une de chage souce comme fonction de la position. Définition : Le potentiel électique en un point P situé dans le voisinage d'une chage souce est donné pa le tavail pou déplace à vitesse constante une chage témoin q d'un point de potentiel nul au point P considéé, divisé pa la chage q. Le potentiel d'une chage électique est un champ scalaie. En chaque point du voisinage de la chage, le potentiel attibue une valeu numéique (un scalaie) s'expimant en Volts. emaque : Le tavail, dans le contexte de la définition qui pécède est égal à l'énegie potentielle donnée à la chage témoin q. En chaque point du voisinage de la chage souce, le potentiel peut s'intepéte comme l'énegie potentielle pa unité de chage en ce point. L'énegie potentielle d'une chage témoin q située en un point P situé dans le voisinage d'une chage souce est donnée pa b g UP b g qvp On compend alos l'impotance du potentiel dans le contexte du pincipe de la consevation de l'énegie. Si l'énegie totale est constante, on a l'égalité : Énegie initiale Énegie finale Dans le contexte des applications de ce chapite, on ne considèe que les énegies cinétique ( K ) et potentielle ( U ) de sote que le pincipe de la consevation de l'énegie découlant de la denièe égalité s'écit : Ui + Ki Uf + Kf S ou 1 1 qv + mv qv + mv T i i f f 4-3

39 Chapite 4 Le potentiel électique Une aute application consiste à considée les cas pou lesquels un tavail extéieu est effectué su une chage électique. Dans ces conditions, la elation ente ce tavail et les vaiations d'énegie qu'il engende est donnée pa : W U + K ( qv qu ) + ( K K ) ext f i f i L'application des elations qui pécèdent epose su la connaissance du potentiel électique associé aux chages souces. Pou calcule le potentiel associé à une chage souce donnée, il faut d'abod elie les notions de champ électique et de potentiel électique associés à celle-ci. 4.3 elation ente le potentiel et le champ électique +Q F ext +q dl qe B A Pou déplace une chage q à vitesse constante d'un point A à un point B dans le voisinage d'une chage souce (voi la figue), il faut exece su celle-ci une foce extéieue qui doit compense exactement la foce électique ésultant de l'action du champ associé à la chage souce. On a donc : v cte F + qe F ext ext qe 0 4-4

40 Le potentiel électique Chapite 4 Le tavail extéieu pou déplace la chage q d'un point A à un point B est donc donné pa : B B W F dl qe dl ext z z A ext A Comme : V B W VA q ext nous touvons l'expession suivante pou la difféence de potentiel : zb VB VA E dl A Cette expession sea tès utile pou le calcul des difféences de potentiel. Elle le sea également pou calcule le potentiel associé à une distibution de chages puisqu'il suffit de choisi le point A de sote que V A 0. Alos : zp Vbg P E dl " A" Cette fomule elie fomellement le potentiel au champ électique associé à une chage souce quelconque, qu'elle soit ponctuelle ou distibuée. Cette fomule est l'une des techniques utilisées pou la détemination du potentiel d'une chage souce. Mais avant d'établi les autes techniques de calcul du potentiel intoduites dans ce cous, il convient d'examine la elation ente le champ électique et le potentiel. 1. Le potentiel d'une chage souce donnée peut ête epésenté gaphiquement pa des sufaces équipotentielles (lieu de tous les points de même potentiel). Les lignes du champ électique de cette même chage souce sont pependiculaie aux sufaces équipotentielles, de sote que la connaissance de l'une des epésentation pemet de déduie l'aute et vice vesa. 4-5

41 Chapite 4 Le potentiel électique. Si on obtient le potentiel pa "intégation" du champ électique : zp Vbg P E dl " A" on obtient le champ électique pa "déivation" du potentiel. En éalité, le champ électostatique est un champ vectoiel qui, comme tous les champs consevatifs, admet une fonction potentielle dont il est le gadient. Le champ électostatique est un champ de gadient: E V En paticulie, dans le cas des distibutions à symétie cylindique et sphéique, le potentiel est une fonction de la seule vaiable "", de sote que : a f dv E d dv E af d u T En patique, connaissant le champ électique, on peut détemine le potentiel et, connaissant le potentiel, on peut détemine le champ électique. 4.4 Méthodes de calcul du potentiel électique Méthode 1 La pemièe méthode consiste à elie le calcul du potentiel au champ électique comme dans la section qui pécède : zp Vbg P E dl Pou applique cette méthode, il faut en pincipe connaîte les techniques d'intégale de ligne. Cependant, son utilisation est gandement simplifiée pa les considéations suivantes. " A" 4-6

42 Le potentiel électique Chapite 4 1. Le champ électostatique est consevatif. Dans ces conditions, l'intégale de ligne z C( A B) E dl est indépendante du choix de la coube eliant les points A et B.. Les sufaces équipotentielles associées à des chages souces à symétie sphéique (chage ponctuelle ou de configuation sphéique) sont des sufaces sphéiques dont le cente coïncide avec celui de la distibution des chages. Dans le cas de celles à symétie cylindique (long fil doit, coaxial, etc), elles sont cylindiques et centées su l'axe de la distibution. Dans le cas des chages souces su de sufaces planes, elles sont des plans paallèles à celui de la distibution. Cela pemet de choisi le pacous d'intégation de manièe à simplifie l'intégale à faie avec cette méthode. 3. Dans le cas des chages souces à symétie sphéique ou cylindiques, les champs électiques ne dépendent que de la vaiable " ". L'intégale de ligne, pou le calcul des difféence de potentiel où pou celui du potentiel, peut se faie avec un choix de pacous tel que la seule contibution au calcul se fait su la patie adiale de celui-ci, dans le passage diect d'une équipotentielle à l'aute (voi la figue qui suit) : V V V b V a E d B z b A a a f z a f où A " A" 0 a f a f af V E d V Les fomules ci-dessus constituent une simplification impotante aux calculs des potentiels ou des difféences de potentiel associés à des chages souces dont la configuation est à symétie sphéique où cylindique. 4-7

43 Chapite 4 Le potentiel électique Les figues qui suivent expliquent sommaiement la natue de la simplification évoquée ci-dessus en illustant la «statégie d intégation». +Q E A a dl b B A a dl b B E Sphéique Cylindique 4. Du fait que le champ électique est nul dans un conducteu (dans les conditions statiques), tous les points à l'intéieu et su la suface d'un conducteu sont au même potentiel. Méthode La méthode pemet de taite le cas des chages ponctuelles. La méthode 1 peut ête utilisée pou le calcul du potentiel d'une seule chage ponctuelle Q. C'est un cas de distibution à symétie sphéique et pou toutes ces distibutions, le choix habituel du point A pou lequel le potentiel s'annule est situé à une distance infinie de la chage ( ). Dans ces conditions: b g V bg E z kq kq d kq ' b g V kq 4-8

44 Le potentiel électique Chapite 4 Dans le cas de n chages ponctuelles Q 1, Q,..., Q n, on applique le pincipe de supeposition. Les potentiels de chacune de celles-ci en un point P s'additionnent pou donne le potentiel en ce point: b g V P V P n i 1 i b g n i 1 kq où i désigne la distance ente la chage Q i et le point P. i i Méthode 3 Cette méthode utilise à la fois le ésultat du potentiel d'une chage ponctuelle et le pincipe de supeposition pou calcule le potentiel d'une distibution de chage continue. dq P T b g dv P b g kdq k V P dq zω Ω On utilise cette méthode pou calcule le potentiel de cetaines configuations couantes de chages souces distibuées. Dans chaque cas, l'espace occupé pa la chage souce doit ête de dimension finie, de sote que V -> 0 à gande distance de celle-ci. Dans le cas contaie, l'intégale est non convegente bv g à l'infini alosque f. L'un des exemples illustant la non convegence dans le calcul du potentiel avec cette méthode est celui du fil de longueu infinie potant une densité linéaie de chage non nulle. Dans ce cas pécis, la divegence s'explique pa le fait que la chage potée pa le fil est infinie. 4-9

45 Chapite 4 Le potentiel électique 4.5 Potentiel de quelques configuations couantes Potentiel d'une chage ponctuelle Q (méthode 1) V b g kq Potentiel d'une sphèe conductice de ayon potant une chage Q (méthode 1) bg b g V V kq si < kq si Potentiel d'une sphèe non-conductice de ayon potant une chage totale Q unifomément distibuée dans l'ensemble de son volume (méthode 1) a f c h a f V V kq 3 si 3 kq si < Potentiel à une distance de l'axe d'un long cylinde conducteu de ayon potant une chage de densité linéaie λ (C/m) (méthode 1). Dans ce cas, il faut fixe abitaiement le point de potentiel nul : on pend V bg 0 0. Alos : V () F 0I kλ ln H K si V () F 0I kλ ln H K si > 4-10

46 Le potentiel électique Chapite 4 Potentiel dans l'axe d'un anneau de ayon potant une chage Q unifomément distibuée (méthode 3) b g V x d kq + x On emaque que losque x >>, loin du cente de l'anneau, le potentiel tend ves i 1 b g V x kq x ce qui coespond, comme il se doit, au potentiel d'une chage ponctuelle. Potentiel dans l'axe d'un disque de ayon a potant une densité sufacique de chages σ (C/m ) (méthode 3). a f L NM c h Vx kπσ a + x x 1 O QP Pou un point éloigné ( x >> a ), on peut monte en utilisant un développement appopié en séie de puissance que cette expession tend ves b g V x kq x ce qui coespond au potentiel d'une chage ponctuelle. 4-11

47 Chapite 4 Le potentiel électique Potentiel à une distance et su la bissectice d'une tige mince de longueu L potant une chage Q unifomément épatie su sa longueu (fig.(a)) et potentiel à une distance su une doite pependiculaie à son extémité (fig.(b)). L L Q kq F L V ln L Q V L 1 4 bg + + HG bg kq L ln F HG (b) (a) L+ L + I KJ I KJ Potentiel à une distance x de l'extémité et su l'axe d'une tige de longueu L potant une chage Q. a f Vx kq L ln F H x+ L x emaque : Cette liste est évidemment incomplète, mais coespond aux cas habituellement considéés dans un pemie cous d'électomagnétisme. I K 4-1

48 Le potentiel électique Chapite 4 emaque : Pa ailleus, le potentiel en un point P dù à plusieus distibutions de chages est donné pa la somme des potentiels associés à chacune des distibutions. 4.6 Énegie potentielle d'une distibution de chages Il faut effectue un cetain tavail pou constitue une chage de géométie donnée. Ce tavail appaaît en énegie potentielle. Dans le cas d'un ensemble de chages ponctuelles, on monte que l'énegie potentielle est donnée pa l'expession suivante : U i< j kq Q i ij j où ij est la distance ente la chage Q i et Q j. Pa exemple, dans le cas d'un aangement de tois chages ponctuelles, l énegie potentielle est donnée pa U kq1q kq1q kq Q 3 3 Le pemie teme coespond au tavail pou amene Q dans le voisinage de Q 1. Les deux autes coespondent au tavail pou amene Q 3 dans le voisinage de Q 1 et Q espectivement. Cet exemple éclaie le sens de i < j dans l'expession généale de U en montant que cela assue de ne pas calcule deux fois le tavail qui consiste à amene une chage donnée dans le voisinage d'une aute (on feait l'eeu d'ajoute le tavail pou amene l'aute dans le voisinage de l'une). emaque : Lie l'exemple 4. page 58 du live de éféence. Dans le cas d'une distibution donnée Ω de chage continue, il faut abode le poblème du calcul de l'énegie potentielle de la distibution de manièe équivalente à l'exemple. Puisque la configuation n est pas constituée a pioi, il faut pocéde pa sommation (intégale) en 4-13

49 Chapite 4 Le potentiel électique considéant le tavail minimal dw pou amene une chage dq losqu'une patie q de la chage totale Q à été "éunie" dans la distibution Ω: dwext VΩaqf dq Pou obteni l'énegie potentielle totale de la distibution, il suffit de calcule le tavail minimal pou éuni la chage totale Q dans la configuation Ω : z z U dw V q dq Ω Cette expession pend facilement son sens dans le cas du calcul de l'énegie potentielle d'une sphèe conductice de ayon potant une chage Q (exemple 4.8 page 85): Ω af U b g kq dw V q dq dq ext z Q z kq dw dq kq ext 0 L'intepétation de ce ésultat est impotant : on peut emmagazine de l'énegie en chageant un cops. Cela nous amène au concept de condensateu (qui sea abodé dans le pochain chapite) dont l'une des fonctions est le stockage de l'énegie potentielle électique. 4.7 Execices et poblèmes Execices : #3, 7, 11, 13, 17, 18, 19, 3, 35, 45, 46, 50, 51, 5, 59 et 63 Poblèmes : #, 5, 7, 8, 9 et

50 Condensateus et diélectiques Chapite 5 CHAPITE 5 CONDENSATEUS ET DIÉLECTIQUES 5.1 Intoduction Les condensateus sont des dispositifs qui emmagazinent des chages électiques et, pa conséquent, comme démonté à la fin du chapite pécédent, de l'énegie potentielle électique. Ils jouent un ôle essentiel dans difféentes applications : - cicuits de synchonisation électonique - cicuits d'accod de féquence des poste de adio - coection des facteus de puissance des cicuits "inductifs" - atténuation des fluctuations à la sotie des alimentations des postes de adio et de télévision. - dans tous les cicuits qui exigent d'emmagazine ou de délive tès apidement de l'énegie électique. On admet en généal que sans les condensateus, l'èe de l'électonique n'auait jamais vu le jou. 5. Définition de la capacité Un condensateu est un dispositif constitué de deux conducteus appelés amatues. Celles sont sépaées pa un isolant. Si on maintient une difféence de potentiel V ente les amatues, avec une batteie pa exemple, on chage le condensateu en faisant passe des chages (électons libes) de l'amatue eliée à la bone positive de la souce de potentiel qui acquiet alos une chage positive +Q, à l'amatue eliée à la bone négative qui acquiet une chage -Q. On définit la capacité C d'un condensateu pa C Q V L unité de la capacité est le Faad dans le système MKS. Considéant la définition de la capacité, le Faad s'expime en "Coulomb/volt". On peut considée qu un condensateu de 1 Faad possède une gande capacité (voi l'exemple 5.1). Pou cette aison, la capacité des condensateus couamment utilisés s'expime souvent en mico-faad (1µF 10-6 F), en nano-faad (1 nf 10-9 F) et même en pico-faad (1pF 10-1 F). 5-1

51 Chapite 5 Condensateus et diélectiques La définition de la capacité pemet de calcule la capacité des condensateus de configuation couante. De plus, cette définition pemet de calcule la chage emmagazinée pa un condensateu de capacité C sous une difféence de potentiel V : Q CV ainsi que la tension au bones des amatues du condensateu de capacité C potant une chage Q : Q V C La capacité d'un condensateu dépend, comme on le vea plus loin, de sa géométie ainsi que du matéiau isolant (diélectique) utilisé ente ses amatues. 5.3 Calcul de la capacité des condensateus de configuation couante Essentiellement, on utilise la définition pou calcule la capacité des condensateus de configuation couante et il faut considée le calcul de la capacité des goupements. Dans le cas des configuations couantes, il y a - le condensateu plan, - le condensateu sphéique, - le condensateu cylindique - le cas des conducteus isolés. Le condensateu plan Le condensateu plan est constitué de deux plans conducteus de suface A sépaé d'une distance d de dimension petite pa appot aux dimensions des cotés de la suface A. Dans ces conditions, le champ électique E est unifome ente les amatues et donné pa E σ ε Q ε A

52 Condensateus et diélectiques Chapite 5 La difféence de potentiel ente les amatues est alos donnée pa V Qd Ed ε 0 A La capacité est alos obtenue en appliquant la définition : C Q Q V Qd ε A C 0 ε 0 A d ε A 0 d Comme on le constate, la capacité dépend de la constante diélectique du milieu ente les amatues, ainsi que des facteus géométiques : - la capacité est popotionnelle à la suface A des amatues qui epésente en fait la mesue de l'espace où est disposée la chage Q; - la capacité est invesement popotionnelle à la distance d ente les amatues, ca l'énegie potentielle qu'il faut donne aux chages su les amatues est popotionnelle à la distance ente celles-ci, ce qui en fait un facteu limitatif de la chage totale qui peut ête emmagazinée su chacunes des amatues. De fait, dans la définition de la capacité, la difféence de potentiel ente les amatues qui est popotionnelle à la distance ente celles-ci est au dénominateu. Finalement, l'aie des amatues distantes de 1 mm d'un condensateu plan de 1 Faad seait de l'ode de 100 km s'il n'y a pas de diélectique ente les amatues! On peut toutefois constuie des condensateus plan de 1 F dont le volume est de l'ode du lite avec la technique illustée dans la figue 5.5(a) et un isolant (diélectique ) efficace. Le condensateu sphéique Ce type de condensateu est constitué d'une sphèe conductice de ayon 1 (amatue positive) potant une chage +Q placée à l'intéieu d'une coquille sphéique conductice mince de ayon ( amatue négative) potant une chage -Q. 5-3

53 Chapite 5 Condensateus et diélectiques Le champ électique ente les sphèes est donné pa E Q πε bg 4 0 La difféence de potentiel ente les sphèes est alos donnée pa V V V E d 1 z 1 a f F Q V H G 4πε F HG I KJ 1 Q 1 1 V 4πε z 1 I KJ Q 4πε 0 d De la définition de la capacité, C Q, on obtient : V C π ε b 1 g Le condensateu cylindique Le condensateu cylindique est constitué d'un cylinde cental conducteu de ayon a et de longueu l qui constitue l'amatue de polaité positive (potant une chage +Q) situé dans l'axe d'une coquille conductice cylindique mince de ayon b qui constitue l'amatue de polaité négative (potant une chage -Q). La difféence de potentiel ente les amatues se calcule comme suit : E k λ λ Q πε πε l

54 Condensateus et diélectiques Chapite 5 b a f a f a V V b V a V Q πε l b a lnf I H K 0 z Q πε l d 0 Avec la définition C Q, on touve V C 0 π ε l b ln a F H I K Finalement, il faut considée la question de la valeu de la capacité d'un conducteu isolé. On l'obtient expéimentalement en mesuant la chage su le conducteu et la difféence de potentiel avec l'aute amatue, la tee. La capacité est alos donnée pa le appot C Q V Dans le cas d'une sphèe conductice isolée de ayon potant une chage Q, on peut détemine l'expession de la capacité puisque la valeu du potentiel de la sphèe est celui à sa suface. Il est donné pa Q V 4 πε 0 Ce ésultat coespond à la difféence de potentiel avec la tee dont le potentiel est considéé égal à

55 Chapite 5 Condensateus et diélectiques Avec C Q, on touve V C 4πε 0 La question de la capacité d'un conducteu isolé soulève un poblème bien connu en électotechnique, celui de la "gestion" de l'électicité statique. En paticulie, si le conducteu compote une ou des zone(s) en pointe, il y aua dans le voisinage de celle(s)-ci un champ électique intense si des chages s'y installent. De plus, la capacité des conducteus utilisés dans les cicuits électiques doit ête pise en considéation, ca les effets peuvent ête non négligeables. L'un des cas tès impotants est celui des lignes de tanspot de l'énegie électique, pou lesquelles ont ne peut néglige la capacité des fils utilisés. 5.4 Calcul de la capacité des goupements On distingue types de goupements: les goupements en paallèle et les goupement en séie. Losqu'on ne dispose pas de condensateus de capacité suffisante, il faut les egoupe pou obteni une capacité équivalente assez impotante pou les fins d'une cetaine application. Il suffit alos de les dispose en paallèles. Losque les condensateus ne peuvent suppote la difféence de potentiel de la souce, il faut les egoupe en séies pou amene la difféence de potentiel à ce que ceux-ci peuvent suppote. Finalement, il fauda pafois combine les types de goupement pou obteni un goupement de capacité équivalente voulue. Voilà la justification du calcul de la capacité équivalente des goupements séie et paallèle. 5-6

56 Condensateus et diélectiques Chapite 5 Goupements en paallèle La figue qui suit illuste un goupement de 3 condensateus en paallèles et le cicuit équivalent. Q1 Q Q3 V C1 V1 C V C3 V3 V Ceq Ql Cicuit éel Cicuit équivalent Les elations caactéistiques de ce type de goupement sont (voi la figue) : V V V V Q Q + Q + Q l (chage libe somme des chages su chacun des condensateus) C C + C + C eq 1 3 (égalité des tensions su chacun des condensateus) (la capacité équivalente est la somme des capacités) emaque (1) : On utilise souvent la configuation en paallèle pou obteni des goupements de gande capacité équivalente. emaque () : Les amatues de même signe sont eliées (donc au même potentiel) dans ce type de goupement. 5-7

57 Chapite 5 Condensateus et diélectiques Goupement en séie La figue qui suit illuste un goupement de 3 condensateus en séie et le cicuit équivalent. Q 1 C 1 V 1 V C Q V V C eq Q l Q 3 C 3 V 3 Q Q Q Q l V V + V + V C C C C eq emaque (1) : L'égalité des chages su chacun des condensateus est physiquement une condition essentielle pou que dans les conditions statiques, le champ électique soit nul à l'intéieu des amatues, puisqu'on est dans un conducteu. D'aute pat, la chage dans la patie isolée du goupement se doit d'ête nulle. emaque (): On constitue habituellement (mais pas exclusivement) ce type de goupements losque les condensateus dont on dispose ne peuvent suppote la tension maximale à laquelle ceux-ci seaient soumis dans les cicuits où ils seaient utilisés. En les disposant en séie, on peut ésoude ce poblème. 5-8

58 Condensateus et diélectiques Chapite 5 emaque (3) : La capacité équivalente de deux condensateus en séie est plus petite que la capacité de celui de plus petite capacité. D'aute pat, la capacité équivalente de condensateus de capacité C 1 et C est donnée pa : C eq C1C C + C 1 Finalement, il est impotant de pécise qu'il n'est généalement possible de constitue des goupements de capacité voulue qu'en combinant les deux types de goupements. 5.5 Énegie dans un condensateu L'expession de l'énegie emmagazinée dans un condensateu est obtenue en calculant le tavail pou dispose une chage totale Q su l'amatue positive du condensateu. Le tavail dw ext pou dispose une chage dqsu l'amatue positive d'un condensateu de capacité C, losque la chage est q, est donné pa : af dwext V q dq q C dq Le tavail total W ext, qui appaait sous fome d'énegie potentielle électique U, est donné pa Si on utilise la elation Q W ext U U Q z0 Q C q C dq CV, l'expession de U peut aussi s'écie comme suit : U CV 1 5-9

59 Chapite 5 Condensateus et diélectiques L'énegie emmagazinée s'expime donc d'une pat en fonction de la chage Q su les amatues et la capacité C du condensateu et d'aute pat et de façon équivalente en fonction de la tension V aux bones et de la capacité C du condensateu. Finalement, la densité d'énegie u dans un champ électique E s'expime pa u 1 ε E 0 et s'expime en (J / m 3 ) et s'évalue localement. Cette expession signifie qu'on peut emmagazine de l'énegie dans un champ électique. On peut de fait utilise cette expession pou calcule l'énegie totale U dans un champ électique en intégant la densité d'énegie su la égion de l'espace où le champ est non nul : z z 1 U uaf E dv ε E dv Les diélectiques On place un diélectique ente les amatues d'un condensateus pou en augmente la capacité. On augmente ainsi sa capacité d'emmagazine de l'énegie. De plus, cela a pou effet d'augmente la tension maximale que peut suppote le condensateu, en compaaison avec un condensateu de géométie et de dimensions identiques, sans diélectique ente ses amatues. Les deux expéiences qui suivent pemettent d'établi l'ensemble des conséquences de l'intoduction d'un diélectique dans un condensateu. Sans pile On chage deux condensateus plans identiques et sans diélectique de capacité C 0 avec une pile qui poduit une difféence de potentiel V 0 aux bones des condensateus. On débanche alos la souce et ensuite seulement, on intoduit un diélectique dans l'un des condensateus. 5-10

60 Condensateus et diélectiques Chapite 5 La figue ésume les obsevations losqu on compae les condensateus. Q o Q o (ne change pas) Qo Co Vo Sans diélectique V o V D V o κ < V o E o E D E o κ C o C D κc o U o 1 C o V o U D U o κ <U o CD Qo Avec diélectique VD Dans le cas de cette expéience, la chage libe su les amatues ne change pas avec l'intoduction du diélectique ca la souce est débanchée et les amatues sont isolées l'une de l'aute. On mesue cependant une difféence de potentiel plus petite avec le diélectique. Cela s'explique pa le champ électique existant ente les amatues qui povoque l'appaition de chages induites su chacune des faces du diélectique ente les amatues, chages dont les polaités sont à l'invese de celles à la suface des amatues avec laquelle chacune des faces du diélectique est en contact. Ces chages induites poduisent donc un champ électique induit E i dans la diection invese du champ E 0 associé aux chages libes su les amatues. Le champ ésultant ente les amatues est donné pa E E 0 + E E E E 0 C'est l'explication de la diminution du champ électique ente les amatues avec l'intoduction du diélectique et, pa voie de conséquence, de la diminution de la difféence de potentiel ente les amatues. La constante diélectique κ est définie pa le appot des tensions à vide et avec diélectique: i i κ V V D 0 Dans un condensateu plan, le champ électique peut ête considéé comme étant unifome. 5-11

61 Chapite 5 Condensateus et diélectiques 5-1 Cela pemet d'établi les ela tion suivantes: V E d V E d D D 0 0 S T où d est la distance ente les amatues. Si nous utilisons la elation ci-haut pou la constante diélectique, on tie les elations qui suivent ente la tension à vide et avec le diélectique, ainsi que le champ à vide et avec le diélectique : V V E E D D S T 0 0 κ κ La capacité avec le diélectique s'obtient avec la définition : C Q V Q V Q V C C C D D D D F H G I KJ S T κ κ κ κ

62 Condensateus et diélectiques Chapite 5 Avec pile Cette deuxième expéience vise essentiellement à démonte que l'ajout d'un diélectique ente les amatues d'un condensateu augmente sa capacité de stockage de chages électiques et, pa conséquent, d'énegie électique. Cette expéience consiste à compae l'état de deux condensateus plans identiques si on maintient une même difféence de potentiel à leus bones et qu'on ajoute un diélectique dans l'un d'eux. La figue qui suit ésume ce qu'on mesue et constate. Q o Q D κq o Vo Qo V o V o (ne change pas) E o E o (ne change pas) Vo QD Co C o C D κc o Co U o U D κu o Sans diélectique Avec diélectique Dans cette expéience, le fait que la tension soit la même ne peut s'explique que pa un suplus de chage su les amatues du condensateu avec le diélectique, pou compense l'effet de sa pésence. En effet : C D F Q κ C0 κ H G V 0 0 I Q QD KJ F H G I V K J F κ H G 0 I V K J 0 0 On a donc le ésultat attendu de l'augmentation de la chage su les amatues du condensateu avec le diélectique : Q Q D κ

63 Chapite 5 Condensateus et diélectiques Dans le cas de l'énegie : S T U D CDVD 1 F C V κ C0 V0 κ H G U κ U D b g L'ajout d'un diélectique ente les amatues d'un condensateu augmente sa capacité de stockage de chages électique et, pa conséquent, de stockage d'énegie électique. I KJ Finalement, il faut modifie le théoème de Gauss pou teni compte de la pésence du diélectique. Si on utilise le théoème de Gauss pou calcule le champ électique dans un diélectique, il faut le fomule comme suit, à la lumièe des éléments qui pécèdent : z qs κε 0 E da S 5.7 Execices et poblèmes suggéés Execices # 1, 3, 7, 11, 13, 15 à 18, 19, 1, 5, 9, 31, 33, 34, 35, 36, 43 et 45 Poblème #

64 Condensateus et diélectiques Chapite

65 Chapite 8 Champ magnétique et foce magnétique 8.1 Foce magnétique su une chage ponctuelle Les obsevations expéimentales su la foce F qui s exece su une paticule de chage q se déplaçant à une vitesse v en un point où le champ magnétique est B sont les suivantes : F popotionnelle à q F popotionnelle à v F popotionnelle à sin ( θ) F v et F B où θ désigne l angle ente le vecteu vitesse et le vecteu champ magnétique au point où l on calcule la foce. Les tois pemièes obsevations évèlent que ( F ) est popotionnelle à qv sin (θ ) La gandeu du champ magnétique B au point où l on mesue la foce est définie comme étant la constante de popotionnalité ente la foce F et le poduit qv sin (θ ) : F qvbsin ( θ ) Ce ésultat expimé en tenant compte de la quatième obsevation ( F v et F B ) implique qu il faut défini l expession vectoielle de la foce magnétique pa : F qv B La figue qui suit ésume les obsevations et les ésultats qui pécèdent. 8.1

66 F B v tajectoie θ q F q vbsin( θ) F q v B ST On obtient les composantes de la foce en développant le poduit vectoiel ( F qv B ) dans la définition de la foce : Fx q ( vy Bz vz By ) Fy q ( vz Bx vx Bz ) F q ( v B v B ) z x y y x emaque : On peut monte que la foce magnétique ne fait aucun tavail su la paticule chagée. En effet, la foce magnétique est toujous pependiculaie au déplacement de la paticule de sote que le tavail dw qui est donné pa le poduit scalaie de la foce avec le déplacement est nul. Plus fomellement : dw F d l dl dl dt dt vdt F qv B dw q( v B) v d t 0 puisque pa définition du poduit vectoiel v ( v B) v ( v B) 0 8.

67 L une des conséquences est qu en l absence d autes foces, la gandeu de la vitesse (et pa conséquent l énegie cinétique) de la paticule ne sea pas affectée pa cette foce. Pa conte, la diection de la vitesse sea modifiée. Comme on le vea plus loin, si les autes foces su la paticule chagée sont nulles, la tajectoie de celle-ci sea ciculaie ou hélicoïdale. 8. Foce su un conducteu pacouu pa un couant Cas 1 : Conducteu doit dans un champ magnétique unifome B A θ θ l i La figue illuste le potait statistique à pati duquel on détemine la foce su un conducteu doit de longueu l dans un champ magnétique unifome : on suppose que tous les poteus de chage q positive se déplacent dans la diection du couant avec une vitesse. Dans ces conditions, la foce su un poteu de chage est donnée pa : f q vd B On obtient la foce totale su le conducteu en multipliant cette foce pa le nombe total de poteus de chages dans le conducteu doit considéé. Ce nombe est obtenu en multipliant le nombe de poteu de chage ( n ) pa mète cube du conducteu pa le volume ( A l ) du conducteu. On obtient : F N f n Alq vd B 8.3

68 On peut expime la foce autement, si on emaque qu'en choisissant l dans la diection du couant, on a l'égalité lv v l Avec ces considéations, l expession de la foce est donnée pa : d F n qvd Al B Si on utilise les elations connues qui suivent : ST d J n qv i JA on obtient l'expession de la foce su le conducteu : F il B F d Fx i( ly Bz lz By) Fy i( lz Bx lx Bz) F i( l B l B ) ilb z x y y x sin( θ) emaque : Les fomules pécédentes pemettent de calcule coectement la foce su le conducteu. Cependant, il y a lieu de pécise la natue exacte de cette foce. En éalité, la foce s exece su des poteus de chage qui ne sont pas liés aux atomes qui constituent le conducteu (les poteus de chage sont libes). On ne peut alos considée que c est cette foce qui agit su le conducteu. Elle a plutôt comme conséquence de edistibue les poteus de chage de sote qu un champ électique est céé dans le conducteu. C est l action de ce champ agissant su des atomes qui ont pedu des poteus de chage qui engende la foce su le conducteu. 8.4

69 emaque : Le déplacement d un conducteu dans un champ magnétique poduit automatiquement le déplacement des poteus de chage. La foce magnétique su les poteus de chage poduia un couant dans ce conducteu. C est ainsi que l on poduit de l énegie électique. Cependant, ce couant dans le conducteu placé dans un champ magnétique se taduit également pa une foce su le conducteu dont l effet est de s oppose au mouvement de celui-ci. Cas : Conducteu coube dans un champ magnétique quelconque La figue qui suit illuste un conducteu pacouu pa un couant i dont la configuation est celle d une coube C( A B) dans un champ magnétique qui n est pas unifome. Dans ces conditions, il faut calcule la foce pa sommation des éléments de foce df su des éléments de longueu infinitésimale dl, pou teni compte de la coubue du conducteu et/ou de la non unifomité du champ magnétique. En effet, l'élément de gandeu infinitésimale est doit et le champ magnétique est doit unifome su toute sa longueu. Dans ces conditions, on peut utilise le ésultat qui pécède pou calcule df. Les ésultats sont illustés dans la figue qui suit. B df B dl B i CA ( B) B df i d l B F idl B z C A ( B) A 8.5

70 Exemple : Calcul de la foce magnétique su un conducteu en demi-cecle de ayon placé dans un champ magnétique unifome B (voi la figue qui suit). df B Y df dl dl d θ θ θ i X Pou le calcul de l élément de foce df su une potion dl du conducteu, le ésultat qui pécède s applique : S T df v i dl B v dl B df i Bdl Pa symétie, la foce su la patie ciculaie du conducteu est veticale. Alos : D où : S T F z dfy z ibdl sin( θ) ac ac dl dθ θ π F z ibsin ( θ) dθ ib( ) θ 0 ST F ib ( ) v v F ib( ) j 8.6

71 Le ésultat auait été le même su un conducteu doit de longueu. D ailleus, ce ésultat se généalise à un conducteu joignant points A et D pa une coube quelconque dans un champ magnétique unifome. Dans ce cas, on auait touvé F iad B 8.3 Moment de foce su une boucle de couant N F 3 a i c F 1 F 4 θ z F µ y x B S La figue illuste une boucle de couant constituée de N spies de suface A et dans lesquelles cicule un couant i, placée dans un champ magnétique unifome B. L analyse des foces su chacun des côtés de la boucle de couant nous amène à conclue que la somme de celles-ci est nulle puisque S T F Ni ( ck Bi) F Ni ( ck Bi) 1 S T F NicBj F NicBj 1 F F 1 On peut monte de manièe similaie que F F

72 Alos, la somme des foces su le cade est nulle : S T F F F F F + F + F + F Cela implique qu il ne peut y avoi de tanslation de la boucle sous l effet de ces foces. Pa conte, les foces F 1 et F ne sont pas dans le même plan. Il en ésulte un moment de foce non nul su la boucle, comme illusté dans la figue qui suit. < 0 N F 1 Y F θ B i X θ a µniau n S L expession de ce moment est obtenue comme suit : S T τ τ 1 + τ τ τ F 1 τ τ NicB a sin ( θ) A ac F H I K τ NiABsin( θ) Comme le moment de foce est une quantité vectoielle, que le champ magnétique B est un champ vectoiel et que θ désigne l angle ente le vecteu suface A et B, il est clai que l expession ci-dessus expime la gandeu du poduit vectoiel de A et B multiplié pa le scalaie Ni. S T τ NiABsin( θ) τ NiA( u B) n A A u n 8.8

73 Définition : Le moment dipolaie magnétique de la boucle est défini pa : µ µ NiA NiAu n ( Am ) emaque : Pou détemine la diection du vecteu u n, on utilise la convention pésentée dans la figue qui suit. La diection de ce vecteu est déteminée en fonction du sens de la ciculation du couant dans la boucle et pependiculaie au plan de celle-ci. u n i i Avec la définition et la convention su la diection du moment dipolaie magnétique, on peut expime le moment de foce su la boucle de couant pa : τ µ B sin( θ) τ µ B En teme d application, les ésultats qui pécèdent sont à la base du fonctionnement du moteu électique. Dans le cas d un moteu à couant continu le mouvement de otation n est possible qu en changeant le sens du couant avec un dispositif de commutation appopié, sinon, il en ésulteait un mouvement d oscillation du «oto». De plus, pou obteni un mouvement de otation à peu pès continu, il faut plusieus cades conducteus su le oto. Cela contibue également à augmente la puissance du moteu (voi l apeçu histoique su le moteu électique). Une aute application impotante est le galvanomète à cade mobile. u n 8.9

74 8.4 Le mouvement des paticules chagées dans un champ magnétique Cas 1 : la vitesse v est pependiculaie à un champ magnétique B unifome v v F + F + B Vue en pespective Vue d'au-dessus Dans ces conditions, on obseve un mouvement ciculaie. Pou détemine les paamètes de ce mouvement, il faut en fait elie le mouvement ciculaie à la foce centipète qui l explique. Dans ce cas, il s'agit de la foce magnétique. Pou la détemination du ayon de la tajectoie ciculaie : S T F q v B v B F qvb m v qvb mv qb La péiode T de l obite est donnée pa le temps pou pacoui la ciconféence de l obite ciculaie. Alos : T π π m v qb et la féquence f c pa f c 1 qb T π m 8.10

75 On emaque dans les expessions de la péiode et de la féquence que : 1) la péiode et la féquence du mouvement sont toutes deux indépendantes de la vitesse de la paticule; ) toutes les paticules ayant le même appot chage/masse, q / m, ont la même péiode et la même féquence; 3) si on connaît le ayon de la tajectoie, la vitesse et la gandeu du champ magnétique, on peut détemine le appot de la chage su la masse de la paticule. q m v B C est ce qui constitue la base du fonctionnement du spectomète de masse. Cas : la vitesse v compote une composante paallèle à un champ magnétique B unifome Dans ces conditions, on obseve un mouvement hélicoïdal tel que la paticule pogesse dans la diection du champ magnétique B avec une vitesse dont la gandeu est celle de la composante de celle-ci paallèle à B. B d Il convient d expime la vitesse comme une somme de composantes, l une paallèle et l aute pependiculaie à B v v // + v B B 8.11

76 Les paamètes caactéisant la tajectoie hélicoïdale, le ayon et le pas d sont donnés pa : mv B qb π m d v B T v// B qb // T Le pas de l hélice coespond à la distance pacouue paallèlement au champ magnétique pa la paticule losqu elle a complété un tou dans l hélice. emaque : Si la gandeu du ayon et du pas de la tajectoie d une paticule de chage et de masse connue, on peut détemine les composantes paallèle et pependiculaie au champ magnétique, et pa la suite, la gandeu de la vitesse de celle-ci. v v B // B qb m qbd π m v v + v B // B emaque : Dans un champ magnétique non unifome, les paticules chagées sont soumises à une foce diigée ves les égions où le champ magnétique est plus faible. Dans cetains cas, le sens du mouvement su la tajectoie en spiale peut ête invesé. C est la paticulaité du concept de bouteille magnétique. En patique, on utilise des bouteilles magnétiques pou confine des gaz ionisés à haute tempéatue, les plasmas. Pa ailleus, on obseve ce type de confinement dans le cas des paticules chagées qui poviennent de l espace et qui foment la ceintue de Van Allen. 8.1

77 8.5 Foce su une paticule chagée dans un champ électomagnétique On dit qu il existe un champ électomagnétique dans une égion de l espace si on y etouve une supeposition d un champ magnétique et d un champ électique. Dans ces conditions, une paticule chagée se déplaçant dans cette égion seait soumise à une foce électomagnétique appelée foce de Loentz dont l expession est donnée pa : F qe+ qv B Le mouvement de la paticule peut ête déteminé en ésolvant le système d équations difféentielles qui suit : F ma qe + q v B S T m d x qe q dy dt dt B dz x + ( z dt B y ) m d y qe q dz dt dt B dx y + ( x dt B z ) m d z qe q dx dt dt B dy z + ( y dt B x ) En généal, le mouvement sea complexe. Toutefois, il existe des cas paticulies impotants pou lesquels l analyse du mouvement est considéablement simplifiée. C est le cas de la configuation utilisée pou les sélecteus de vitesse. Dans cette configuation, les champs magnétique et électique sont pependiculaies et l effet echeché est de sélectionne les seules paticules qui ont exactement la même vitesse. De plus, les gandeus des champs magnétique et électique sont telles que seules les paticules ayant une cetaine vitesse ne sont pas déviées. 8.13

78 F B B E + v F E Y X Dans cette figue, l'axe des Z sot du plan de celle-ci. Alos: B Bk v vi FB qvb j FB q v B E E j F qe j E F F + F q( vb E) j B E Si la foce ésultante de la paticule est nulle, la tajectoie de celle-ci est une doite, ce qui est l effet echeché. On doit donc avoi vb E 0 E v B En teme d'application, le sélecteu de vitesse est un élément essentiel des spectomètes de masse, appaeils essentiels de la chimie expéimentale. 8.14

79 Dans le cas de l'expéience de Thompson, il aua sevi à détemine la vitesse des électons, ce qui était essentiel pou obteni la mesue du appot e / m de l'électon. Ce ésultat expéimental et celui de Milikan su la mesue de la chage de l'électon ont finalement pemis de déduie la masse de cette paticule. Finalement, il faut signale les tavaux de Hall qui a fait la démonstation expéimentale que les poteus de chage dans les conducteus métalliques sont de signe négatif. L analyse de cette expéience fait inteveni la foce de Loentz où le champ électique (de Hall) est celui qui est induit pa la econfiguation des poteus de chage en aison du champ magnétique dans lequel est placé le conducteu dans lequel cicule un couant. emaque : En généal, le champ électique qui annule localement l effet d un champ magnétique B donné su une chage s y déplaçant avec une vitesse v est donné pa : F qe + q ( v B) 0 qe ( + v B) 0 E v B On peut utilise la fome développée de cette denièe égalité pou détemine l expession vectoielle du champ magnétique B dont l effet est d annule localement celui de champ électique E. Execices et poblèmes su ce chapite Ancienne édition Execices : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 19, 1, 3, 5, 8, 31, 33, 35, 39 et 45 Poblèmes : 5 Nouvelle édition Execices : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 19, 1, 3, 5, 8, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 4 et 48 Poblèmes :

80 Chapite 9 Les souces de champ magnétique 9.1 Intoduction Le chapite pécédent se ésume à l'examen de l effet d un champ magnétique su des paticules chagées qui se déplacent dans celui-ci. Celui-ci epose su les tavaux de Oested qui a fait la démonstation que des chages en mouvement et des couants dans des conducteus poduisent dans leu voisinage des champs magnétiques. Ce chapite appote des éponses à la détemination du champ magnétique poduit pa des chages en mouvement et pa un couant dans un conducteu. Les techniques de calcul qui sont intoduites font inteveni la loi de Biot-Savat, le théoème d Ampèe et le pincipe de supeposition. Ces techniques pemettent ente autes de constitue une table des champs magnétiques associés aux configuations couantes utilisées dans difféents mécanismes. 9. Le champ d un long fil conducteu ectiligne Un long fil doit dans lequel cicule un couant i (A) poduit un champ magnétique dont les lignes de champ sont ciculaies. Comme dans le cas des champs électiques, on utilise les lignes de champ pou illuste le champ magnétique. En tout point de celles-ci, le champ est tangent. La figue qui suit ésume la situation concenant les lignes de champs, la gandeu et la diection du champ au point P. i x Vue en coupe i P B( P) Y B( P) au fil B( P) au segment de P au fil µ o i BP ( ) π Z X La constante µ 0 figuant dans l expession de la gandeu du champ magnétique B P ( ) est la constante de peméabilité du vide. Cette constante est eliée à la popagation du champ magnétique. Plus pécisément, la vitesse des ondes électomagnétiques dans le vide qui est 9.1

81 celle de la lumièe s expime en fonction de cette constante et de la pemittivité du vide ε 0 comme suit : 1 c ε µ 9.3 Foce ente deux longs fils paallèles o La figue qui suit illuste la diection des foces ente les fils. Ces foces sont égales en gandeu, mais de diections opposées. Les foces sont attactives si les couants vont dans la même diection, mais épulsives dans le cas contaie. On peut monte que ces foces sont égales en gandeu, indépendamment de la longueu des fils en pésence. o i 1 i F 1 F 1 F1 F 1 i 1 F 1 F F 1 1 F1 i Pou calcule la foce su une patie de longueu l du fil (), il suffit de constate que le fil (1) poduit un champ magnétique dont l effet est une foce su le fil () puisque celui-ci pote un couant. La figue qui suit ésume la situation. 9.

82 i 1 d i F 1 l Y B 1 Z X F F l µ 0i1 B1 π d F1 i l B1 B1 l µ o iil i l B π d µ o ii 1 π d Calculs du champ magnétique (méthodes) On considèe tois méthodes dans ce cous : 1) La loi de Biot-Savat, dont la démache est analogue à celle du calcul du champ électique pa intégation ; ) Le théoème d Ampèe dont la démache est analogue au théoème de Gauss pou le calcul du champ électique ; 3) Le pincipe de supeposition qui pemet de calcule le champ magnétique ésultant de plusieus champs magnétiques associés chacun à une configuation paticulièe. On utilise les pemièes méthodes pou calcule le champ magnétique des configuations couantes et le pincipe de supeposition pou les cas ou plusieus configuations contibuent à cée un champ magnétique ésultant dans une égion de l'espace. Pou ce qui est de la diection du champ, il est commode d utilise la ègle de la main doite : si le pouce pointe dans la diection du couant, les doigts donne la diection des lignes de champ. 9.3

83 9.5 La loi de Biot-Savat La loi de Biot-Savat a été développée pou le calcul du champ magnétique généé pa une longueu infinitésimale de fil pacouu pa un couant ( voi la figue ). D i C( A D) P dl θ u A db ( P ) Les echeches effectuées ont poduit les ésultats qui suivent. db ( P) db ( P) dl db ( P) u popotionnel à idl 1 sin( θ) dans la diection de dl u µ o idlsin( θ) db ( P) () 1 4π µ o idl u db ( P) ( ) 4π Les équations (1) et () expiment le contenu de la loi de Biot-Savat. L équation () pemet également de détemine l expession vectoielle du champ magnétique : B( P) idl u z µ o 4π C( A D) C est la fome qu on utilisea pou détemine le champ magnétique de cetaines configuations couantes. 9.4

84 Exemple : Calcul du champ magnétique dans le voisinage d un fil de longueu finie dans lequel cicule un couant Tous les éléments poduisent des contibutions db ( P ) dans la diection indiquée dans la figue. Pa conséquent, on peut utilise l équation (1) pou obteni la gandeu du champ au point P : z z µ B ( P) db ( P) " fil" idlsin( θ) o 4π On peut déduie les elations pemettant d effectue l intégale ci-dessus en considéant la figue qui suit. Le ésultat de ce calcul est également pésenté dans la figue. i dl θ u y π θ α α α 1 P db ( P ) sin( θ) sin( π θ) cos( α) cos( α) sec ( α) tan( α) y S T z y tan( α) dl dy sec ( α) µ o idlsin( θ ) µ oi B( P) cos( α) dα 4π 4π " fil" µ o i B( P) (sin( α) sin( α1) 4π z α α1 emaque : La figue qui suit illuste le fait que la contibution db P ( ) d un élément de couant idl est nulle losque cet élément pointe ves le point P (ou dans la diection invese). Il en est pa conséquent de même pou toute potion de conducteu diigé ves le point où l on veut calcule le champ magnétique. 9.5

85 dl π u P dl u dl sin( π) 0 db 0 Les figues qui suivent illustent des ésultats qui se déduisent de celui obtenu pécédemment pou un fil de longueu finie. i Le long fil π π ( α, α ) 1 B P P B( P) ( ) µ πo i S T Les demi-longs fils ( extémité) π () 1 α 1, α 0 π ( ) α 0, α 1 i P i B( P) µ 4πo i P dans les deux cas (1) () B( P) 9.6

86 L/ L/ i Champ su la médiatice d'un fil de longueu finie α α ( α1 α, α α ) P B( P) S T B( P) µ i o sin( α ) π L L sin( α ) L 4 + L + 4 µ il o B( P) π 4 + L Exemple : Calcul du champ magnétique dans l axe d un anneau de ayon a dans lequel cicule un couant i. a i B( P) P x X µ o ia B( P) B( x) i i 3 ( a + x ) µ o Nia B( P) B( x) i i ( a + x ) 3 pou 1 spie pou N spies Exemple : Le champ magnétique au cente d un anneau se déduit du ésultat qui pécède. Il suffit de pose x

87 a i Champ au cente d'un anneau B( cente) µ o i B pou 1 spie a µ o Ni B pou N spies a Exemple : Le champ magnétique poduit pa un fil potant un couant i dont la configuation est un secteu ciculaie, au cente du cecle de éféence. Champ au cente d'un secteu ciculaie de ayon a et d'angle θ i µ o if θ B a H G I πkj θ a Bcente ( ) emaque : Ce denie ésultat se déduit du pécédent en considéant N factionnaie, c est-à-die θ N. Cela coespond à la potion du cecle à considée. π Plusieus des execices et des poblèmes se font aisément en utilisant les ésultats qui pécèdent. Il faut toutefois utilise en plus le pincipe de supeposition, sans oublie que le champ magnétique est un champ vectoiel. 9.8

88 9.6 Le théoème d Ampèe Essentiellement, le théoème d Ampèe établit une elation ente un couant et le champ magnétique qu il poduit. Les tavaux de Maxwell on appoté une généalisation à cette elation pou y inclue la notion de couant de déplacement. Avec cet ajout, le théoème d Ampèe constitue la toisième équation de Maxwell. Il est possible de déduie ce théoème à pati de l expession de la loi de Biot-Savat, mais il est également possible de l intoduie su une base plus simple en considéant le champ magnétique d un long fil. Le champ d un long fil est donné pa On peut écie cette elation suivant B o i µ π B( π ) µ i (1) o Et on emaque que S T B ( π ) µ i 1 1 o B ( π ) µ i où B 1 est le champ à une distance 1 et B le champ à une distance. o () On peut intepéte le ésultat (1) de la manièe suivante : le poduit de π, la longueu d un pacous ciculaie autou du conducteu, et de B la composante tangentielle au pacous est égale au poduit de la constante µ o et de i, le couant tavesant la suface limitée pa le pacous. Dans le cas du ésultat (), on emaque que le poduit de la composante tangentielle du champ avec la longueu du pacous donne le même ésultat su pacous difféents. Ampèe a démonté que cette elation ente le champ magnétique su un pacous femé et le couant tavesant la suface délimitée pa le pacous est tout à fait généale. 9.9

89 La figue qui suit pésente le théoème d Ampèe. Pacous i C B θ dl z C Btan dl ( Bcos θ) dl B dl B dl µ i théoème d'ampèe o C emaque : Seul le couant i C qui tavese la suface délimitée pa la coube figue dans le teme de doite du théoème d Ampèe. L utilisation du théoème d Ampèe pou le calcul du champ magnétique epose su les conditions suivantes : 1. La géométie du flux du couant doit avoi une symétie suffisante pou que le calcul de l intégale este simple. Il faut choisi le pacous d intégation qui convient à la configuation du champ. De manièe plus spécifique, le pacous est choisi de sote que : S T B est ou à dl su C Là où B est à dl su C, B cte Le champ magnétique de chacune des configuations qui suivent peut ête obtenu en utilisant le théoème d Ampèe. 9.10

90 1) Champ magnétique d un long cylinde conducteu de ayon dans lequel cicule un couant i dont la densité est unifome dans toute sa section. < (intéieu) µ o i B() π (extéieu) µ o i B() π ) Champ magnétique à l intéieu d un long solénoïde. Le long solénoïde constitué de n ( spies / m) (ou constitué de N spies et de longueu l ) dans lequel cicule un couant i. Dans la égion centale, à l intéieu, le champ est unifome, paallèle à l axe et dont la gandeu est donnée pa B µ o ni si on donne diectement le nombe n de spies pa mète F N B H G I µ o i N l l K J si on donne le nombe de spies et la longueu 3) Le champ magnétique d une bobine tooïdale B N µ o i π où désigne la distance à l'axe B 0 à l'extéieu F H G I KJ 9.11

91 4) Le champ magnétique d un coaxial. Les couants dans le cylinde cental (i cente ) et dans la gaine (i gaine ) sont de même gandeu ( i ), mais de diections opposées. i gaine x c b a i cente µ o i < a B() π µ o i a b B() π µ o i F F b < < c B () 1 π HG HG c > c B() 0 Execices et poblèmes su le chapite 10 Ancienne édition b b Execices : 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 1, 13, 17, 1,, 3, 4, 5, 8, 9 et 31 Poblèmes : et 4 Nouvelle édition Execices : 1, 3, 5, 7, 9, 10, 1, 13, 14, 15, 16, 17,, 3, 4, 5, 8, 9,31 Poblèmes : et 4 II KJ KJ 9.1

92 Chapite 10 La loi de Faaday 10.1 Intoduction Ce fut le physicien améicain Joseph Heny qui, le pemie, éussit à «conveti le magnétisme en électicité». Il eut l idée de place un baeau ente les pôles d un électoaimant et d enoule une bobine de fil isolé autou du baeau. Ayant elié les bones de la bobine à un galvanomète, il obseva une déviation momentanée de l aiguille du galvanomète au passage du couant dans l électo-aimant, alos qu il n y avait aucune connexion électique ente la bobine et les fils de l électo-aimant. Il avait ainsi découvet la pésence d un couant induit dans la bobine losque le champ magnétique qui la tavese vaie. Un an plus tad et indépendamment, Michael Faaday fit la même découvete avec un montage similaie, intepéta coectement les ésultats obtenus et les publia. L induction électomagnétique désigne phénomènes distincts : la céation d un couant induit dans un conducteu en mouvement dans un champ magnétique. Cet effet peut ête déduit de ce que l on sait de la foce magnétique su des chages en mouvement. En effet, les poteus de chage se déplacent avec le conducteu dans un champ magnétique. La foce qui s'exece alos su ceux-ci génèe le couant induit dans le conducteu. la céation d un champ électique associé à un champ magnétique vaiable dans le temps. Ainsi on obseve les effets d'un champ électique induit dans un cicuit quelconque, dans le vide ou dans la matièe, placé dans un champ magnétique vaiable. L induction électomagnétique est à l oigine du fonctionnement des généateus et des tansfomateus. D'aute pat, de même qu'un champ magnétique vaiable génèe un champ électique, un champ électique vaiable génèe un champ magnétique. Ces deux phénomènes sont à la base du pocessus de popagation des ondes électomagnétiques. 10.1

93 10. Le flux magnétique Dans les tois expéiences qui suivent, un couant induit est céé dans un conducteu. 1. Le mouvement elatif d un aimant pa appot à un anneau conducteu.. Le changement de l aie d un anneau conducteu dont la suface est tavesée pa un champ magnétique. 3. Le changement de l oientation de la suface d un anneau conducteu dans un champ magnétique. Ces tois expéiences pemettent de déduie que la vaiable impotante pou explique la céation d un couant induit dans chacune de ces expéiences est le flux du champ magnétique. Toute vaiation de celui-ci à taves la suface de l anneau conducteu génèe un couant induit dans cet anneau. La figue qui suit pésente la définition du flux d un champ magnétique unifome à taves une suface plane. Champ unifome pependiculaie à une suface plane (vue en coupe) B A Champ unifome suface plane (vue en coupe) A θ θ θ A cos( ) B ΦBA Φ BAcos( θ ) B A L unité SI de flux magnétique est le webe ( Wb ). 10.

94 Si le champ B n est pas unifome et/ou la suface A n est pas plane, le flux est donné pa z Φ B da A L une des popiétés impotantes du champ magnétique s illustant dans la configuation des lignes de champ est que celles-ci sont des coubes femées. Cela implique que le flux total du champ magnétique su toute suface femée est nul : z B da 0 S femée Cette elation est la fome intégale de la deuxième équation de Maxwell. En teme d intepétation physique, elle expime la non existence des monopoles magnétiques. Cela signifie, pa exemple, que la division d un aimant en donne deux, avec chacun un pôle nod et un pôle sud La loi de Faaday La loi de Faaday, telle qu énoncée pa celui-ci, s expime ainsi : «La foce électomotice induite dans un cicuit femé est popotionnelle au taux de vaiation du flux du champ magnétique tavesant la suface délimitée pa le cicuit pa appot au temps» On a pu démonte pa la suite que l expession de la f.é.m (qui s expime en volts) est donnée pa : ε d Φ dt Le signe négatif qui appaaît dans cette expession s explique avec la loi de Lenz qui sea intoduite dans la section qui suit. 10.3

95 Si on considèe une boucle conductice constituée de N spies, on obtient ε N d Φ dt c dnφ dt Dans cette expession, la quantité NΦ désigne le flux total à pende en considéation dans le calcul de la f.é.m., égale à la somme des flux Φ à taves chacune des spies. Il convient également de signale que la f.é.m n est pas confinée en un point paticulie de l espace. Elle se manifeste, associée à un champ électique dont l action est la céation d un couant induit dans les spies de la boucle conductice. Pou une spie on peut expime la elation ente le champ électique induit E i et la f.é.m ε 1 pa ε 1 z E dl i Pou N spies on touve donc ε N ε 1 puisque les spies poduisent chacune des f.é.m en séies. On peut développe l expession de la f.é.m induite en utilisant l expession du flux déteminée pécédemment : NΦ NB A NBAcos( θ) I KJ d( NΦ) ε dt F db da ε NAcos( θ) H G NBcos( θ) NBA sin( θ) dt dt F H G h I + KJ F HG F dθi H dt K I K J 10.4

96 Il convient d intepéte les tois temes figuant dans l expession de la f.é.m. ε obtenue, chacun éféant à un pocessus paticulie. Il faut également souligne que plus d un pocessus peut ête en cause dans la vaiation du flux. Il faut alos les pende en considéation en les intégant explicitement au calcul du flux. Champ magnétique vaiable Dans le cas d'un champ magnétique vaiable, le pemie teme du développement de la f.é.m donne l'expession de la f.é.m. induite pa ce pocessus db dt F 0 ε NAcos( θ) H G (voi les execices, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 13, 17 et 19, les poblèmes 7 et 10 du live de éféence). db dt I KJ Aie vaiable Dans le cas aie vaiable, le deuxième teme du développement de la f.é.m donne l'expession de la f.é.m. induite pa ce pocessus da dt F 0 εa NB cos( θ) H G da dt I KJ ( voi les execices 10,11 et 18, ainsi que le poblème du live de éféence ) ; 10.5

97 Oientation elative vaiable Dans le cas oientation vaiable, le toisième teme du développement de la f.é.m donne l'expession de la f.é.m. induite pa ce pocessus dθ F dθ 0 ε NBAsin( θ) dt H G dt I KJ (voi les execices 16, 19, 0, 1, et du live de éféence ) La loi de Lenz Maxwell poposa la fomulation suivante de la loi de Lenz, fomulation pemettant de déduie le sens du couant induit pa la foce électomotice induite : «L effet de la f.é.m. induite est tel qu il s oppose à la vaiation de flux qui le poduit» La fomulation suivante est plus «opéationnelle» met en elation le champ magnétique induit et le couant induit dans le cade de la loi de Lenz: «Le couant induit cicule de manièe à poduie un champ magnétique induit B i dont l effet est de conte la vaiation de flux du champ extéieu B qui poduit ce couant». 10.6

98 La figue illuste la fomulation poposée. B ind B ind B ext N v i i i i v N B ext S k ΦA S T B ind diection invese de B ε < 0 ext k ΦB S T B ind S dans la diection de B ε > 0 ext En 1851, von Helmotz fit emaque que cette loi est en fait une conséquence de la loi de la consevation de l énegie. De fait, si le champ magnétique induit venait enfoce le champ extéieu, il entaîneait une augmentation du couant induit qui à son tou viendait augmente le champ induit, augmentant ainsi le couant induit et ainsi de suite. Il est clai que cette escalade est impossible au plan énegétique. On vea plus loin qu il faut tansfome de l énegie mécanique pou poduie de l énegie électique. Le signe (-) dans l expession déteminée de ε dans le contexte d une application paticulièe signifie que le champ magnétique induit B i associé au couant induit est dans la diection invese du champ magnétique extéieu B. Si le signe est positif, B i est dans la diection de B. Cela pemet de détemine la diection du couant induit. 10.7

99 10.5 Cheminement habituel pou la ésolution des poblèmes Pou ésoude les execices eliés aux calculs des f.é.m. induites, il faut généalement pocéde en suivant les étapes qui suivent. 1. Identifie le (ou les) pocessus poduisant la vaiation du flux du champ magnétique.. Détemine l expession du flux total Φ tot () t Nϕ 1 () t où ϕ 1 () t désigne le flux dans une spie et N le nombe total de spies dans lesquelles est poduite la vaiation de flux. 3. Détemine l expession de la f.é.m. ϕ ε dn () t 1 dt d i. 4. Utilise la loi de Lenz pou détemine le sens du couant induit i i. Si le cicuit compote une ésistance, le couant dans celle-ci est donné pa i i ε et la puissance dissipée est donnée pa P i i. 10.8

100 Finalement, les expessions qui pécèdent dépendent généalement du temps. Dans ces conditions, il faut pafois calcule la valeu numéique de ces expessions à des instants donnés Analyse d un cas L analyse du cas examiné dans cette section vise à démonte que pou poduie de l énegie électique, il faut tansfome de l énegie mécanique en énegie électique. La figue qui suit illuste une tige conductice se déplaçant à une vitesse v constante su un ail conducteu compotant une ésistance. Ce cicuit est situé dans un champ magnétique unifome B entant et pependiculaie au plan de la suface fomée pa le ail et la tige. x x x x i i F F B ext x B i B v l xt () x x x x Dans ce cas, le pocessus povoquant la vaiation du flux en est un à suface vaiable. 1. Le flux est donné pa Φ Blxt () où xt () x + vt o 10.9

101 . La foce électomotice induite est donnée pa S T A lx() t Φ Blx() t Bl x + vt dφ ε Bl dx Blv dt dt c o h 3. Dans cet exemple, le signe (-) dans l expession déteminée de ε signifie que le champ magnétique induit B i associé au couant induit est dans la diection invese du champ magnétique extéieu B. Cela pemet de détemine la diection du couant induit. Dans cet exemple, cela pemet de conclue que le couant induit cicule dans le sens anti-hoaie, tel qu illusté dans la figue. L expession du couant induit est donnée pa i ε i Blv 4. La puissance instantanée dissipée dans la ésistance est donnée pa P i i B l v 10.10

102 5. Du fait qu un couant cicule dans la tige, celle-ci sea soumise à une foce F F i l B où B l B B F HG i I KJ Blv lb B l v diigée ves la gauche. Pou mainteni la vitesse v constante, il fauda donc qu une foce extéieue s exece su la tige. Cette foce doit ête dans la diection invese et de même gandeu que F B. On a donc F F ext ext F B B l v La puissance extéieue instantanée associée à cette foce est donnée pa P F v P ext ext ext B l v Il est impotant de signale que la puissance extéieue instantanée pou mainteni constante la vitesse de la tige est pécisément égale à la puissance instantanée dissipée dans la ésistance. Au plan de l intepétation, il est clai que pou mainteni cette puissance dissipée en chaleu dans la ésistance, il faut une souce d énegie extéieue et que le cicuit de la figue illuste une manièe de tansfome de l énegie mécanique en énegie électique

103 Execices et poblèmes su ce chapite Ancienne édition ou nouvelle édition du live de éféence Execices : 3, 5, 7, 9, 11, 1, 13, 17, 19 et 1 poblèmes : 1, 7 et