Compléments sur l intégration

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1 DERNIÈRE IMPRESSION LE 3 octobre 24 à 4:54 Compléments sur l intégrtion Clculs de primitives Quelques exemples plus complexes L liste de recherche de primitives n est ps exhustive. Dns les exercices, l procédure ser indiquée. Exemple Soit l fonction rtionnelle définie sur ];+ [ pr f(x) x On observe que l forme de f ne correspond à ucune forme du tbleu des primitives. Pour trouver une primitive de l fonction f, on décompose f en «éléments simples» : f(x) x ()+ + On lors une forme connue. Sur ];+ [, on obtient : F(x) x+ln x+ln() Soit l fonction f définie sur ];+ [ pr f(x) x2 + x+ (x 2 ) 2 ) Montrons que l on peut décomposer l fonction en éléments simples, soit de l forme : f(x) () 2 + b (x+) 2 On réduit cette forme puis on identifie à l première : () 2 + b (x+) 2 (x+)2 + b() 2 () 2 (x+) 2 (+b)x2 + 2( b)x++b (x 2 ) 2 On obtient lors le système suivnt : +b 2( b) +b 3 4 b 4 On donc : f(x) 3 4() 2 + 4(x+) 2 PAUL MILAN TERMINALE S

2 2) On obtient donc l primitive suivnte : Exemple 2 3 F(x) 4() 4(x+) Il fut prfois penser à l dérivtion du produit : (uv) u v+uv. Soit l fonction définie sur R pr f(x) sin x+x cos x L fonction comporte deux prties qui peuvent s nlyser comme l somme du produit de l dérivée de x pr sin x et du produit de x pr l dérivée de sin x. L primitive est lors : F(x) x sin x. qui si on l dérive donne : F (x) sin x+x cos x De mnière identique, on peut penser à l dérivtion du quotient : ( u v) u v uv v 2. Soit l fonction définie sur R ln x + pr : f(x) x 2 On peut lors poser : u(x) ln x et v(x) x, on lors On donc : ( u v ) x ln x x 2 F(x) ln x x ln x x 2. 2 Intégrle d une fonction continue Intégrtion pr prtie Théorème : Soit u et v deux fonctions dérivbles sur I telles que u et v soient continues sur I. Alors : uv (x)dx [uv(x)] b u v(x)dx Démonstrtion : Si u et v sont dérivbles sur I, lors le produit l est églement. On donc : (uv) u v+uv donc : uv (uv) u v Comme les dérivées de u et v sont continues, on peut donc intégrer, on obtient donc : PAUL MILAN 2 TERMINALE S

3 2. INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE pr linérité de l intégrle : Exemples : ) Déterminer l intégrle : uv (x)dx [ (uv) (x) u v(x) ] dx (uv) (x) u v(x)dx [uv(x)] b u v(x)dx xe x dx On ne peut trouver un primitive cr on ne retrouve ps l forme u e u. Il fudrit qu il est ps le x devnt l exponentielle. D où l décomposition suivnte : On obtient donc : u(x) x u (x) v (x) e x v(x) e x xe x dx [xe x ] e x dx 2) Déterminer une primitive de ln x sur R + [xe x ] [ex ] (e ) (e ) Soit F l primitive de ln qui s nnule en. On lors : F(x) ln tdt Comme l primitive de ln n est ps connue, on décompose ln t en : on pose lors : On lors : u(t) ln t v (t) F(x) ln t ln t ln tdt u (t) t v(t) t [t ln t] x dt [t ln t] x [t]x x ln x x+ Si l on cherche l primitive G de ln x vec une constnte d intégrtion nulle, on : G(x) x ln x x PAUL MILAN 3 TERMINALE S

4 3) On peut être mené à fire une double intégrtion pr prtie. Pr exemple : Déterminer l primitive F sur R qui s nnule en de On lors : F(x) (+t) 2 e 2t dt. f(x) (+ x) 2 e 2x On cherche à fire disprître le polynôme devnt l exponentielle. On pose lors : u(t) (+t) 2 v (t) e 2t u (t) 2(+t) v(t) 2 e2t On obtient lors : vec I F(x) (+t)e 2t dt. (+t) 2 e 2t dt [ 2 (+t)2 e 2t ] x 2 (+ x)2 e 2x I (+t)e 2t dt Pour clculer I, on fit de nouveu une intégrtion pr prtie, on pose lors : u(t) (+t) u (t) v (t) e 2t v(t) 2 e2t On obtient lors : I [ ] x 2 (+t)e2t 2 (+ x)e2x 2 2 [ 2 e2t ] x e 2t dt 2 (+ x)e2x 4 e2x + 4 e 2 On obtient finlement pour F, F(x) 2 (+ x)2 e 2x I 2 (+ x)2 e 2x 2 (+ x)e2x + 4 e2x 4 e 2 4 (2+4x+2x2 2 2x+)e 2x 4 e 2 4 (2x2 + 2x+)e 2x 4 e 2 PAUL MILAN 4 TERMINALE S

5 3. CALCUL DE VOLUME 3 Clcul de volume Volume d un tore Un tore est un solide qui l forme d une «chmbre à ir» ou d un «donut» pour les nglis. Il est crctérisé pr d et R comme indiqué sur l figure suivnte : O d R Si l xe du tore est l xe z lors lorsqu on découpe le tore pr des pln perpendiculires à cet xe, on obtient des couronnes dont les ryon des cercles intérieur et extérieur sont respectivement d + r(z) et d r(z), l surfce d une couronne d ltitude z vut : S(z) π [(d+r(z)) 2 (d r(z)) 2] π(d 2 + 2d r(z)+r 2 (z) d 2 + 2d r(z) r 2 (z)) 4πd r(z) Le volume d un demi tore vut donc : On l figure ci-dessous : R R 2 V S(z)dz 4πd r(z)dz On : z O d r(z) r(z) R R r(z)dz ire d un qurt de cercle π 4 R2 On obtient lors le volume du tore : 2 V 4πd π 4 R2 V 2π 2 R 2 d PAUL MILAN 5 TERMINALE S