CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER

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1 CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER 4. Fonctions loclement intégrbles Soit I un intervlle de R et soit f : R R une ppliction. Définition 4.. On dit que f est loclement intégrble sur I si f est intégrble sur tout intervlle fermé borné contenu dns I. C est à dire, f est loclement intégrble sur I, si quelque soit [, b I, lors b f (x)dx existe. Remrque 4.. Il est clir que toutes les fonctions continues sont loclement intégrbles. On note pr Loc(I, R) ={ f : I R : f loclement intégrble}. On lorsc(i,r) Loc(I,R) et l inclusion est stricte. Comme exemple l fonction f (x)=[x, (prtie entière de x) est loclement intégrble mis non continue. Proposition 4.. L ensemble Loc(I, R) est un sous-espce vectoriel de F (I, R), (espce de toutes les fonctions définies de I dnsr). 4.2 L intégrle de F ourier Pour conclure l étude de l théorie des séries de F ourier, on exminer le cs ite où l intervlle,l[, dns lequel on étudie l série de F ourier, tend vers, [, c est à dire lorsque l. Soit f :R R une fonction loclement intégrble surret telle que I= f (t) dt converge. On suppose que f stisfit ux conditions de Dirichlet et dmet un développement en série de F ourier dns l intervlle [, l, l >. Donc il existe une fonction g : R R périodique, de période T=2l=, vérifint les hypothèses de Dirichlet (donc développble en série ω de F ourier) telle que l restriction g [,l = f. 6

2 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER Alors pour tout x [,l on : () f (x)= 2 + (b) (c) n = ω π b n = ω π n= π/ω π/ω π/ω π/ω [ n cos(nωx)+b n sin(nωx) = 2 + f (x) cos(nωx)dx= l f (x) sin(nωx)dx= l l l f (x) cos n= [ ( ) ( ) nπ nπ n cos l x + b n sin l x ( nπ l x ) dx ( ) nπ f (x) sin l x dx En remplçnt les quntités (b) et (c) dns (), on : f (x)= l f (x)dx+ l ( ( ) ( ) ( ) ( )) nπ nπ nπ nπ 2l l f (t) cos l t cos l x + sin l t sin l x dt = n= l f (x)dx+ 2l l n= l Nous llons étudier cette dernière intégrle qundl. ( ) nπ f (t) cos l (t x) dt () Posonsα = π l, α 2= l,...,α n= nπ l et α n=α n α n = π l. En reportnt dns l expression () ci-dessus, on obtient : f (x)= +l f (t)dt+ l 2l π f (t) cosα n (t x)dt α n Posonsϕ(α n )= +l Pr conséquent n ϕ(α k ) α k = n n= f (t) cos (α n (t x)) dt. Il résulte de cel π/l n n ( l ) ϕ(α k ) α k = f (t) cos(α k (t x)dt) α k k= k= ϕ(α)dα (l intégrle de Riemnn.) k= n n ( l ) Donc ϕ(α k ) α k = n π n f (t) cos(α k (t x))dt) α k π k= k=. Ainsi π π/lϕ(α)dα= ( l ) f (t) cos(α(t x))dt dα. π π/l Comme l π π/lϕ(α)dα= ϕ(α)dα π [ l f (t) cos(α(t x))dt dα= l π π/l π On finlement l reltion pour f continue : f (x)= π [ f (t) cos(α(t x))dt dα. [ f (t) cos(α(t x))dt dα M er AMROUN NOUR-EDDINE 62

3 4.2 L intégrle de F ourier Cette dernière expression est ppelée intégrle de F ourier. Cette églité lieu en tout point x où f est continue. Si f possède des discontinuités, on l formule vlble pour tout x : π Posons mintennt φ(α) = pire et pr suite On finlement : [ f (x+)+ f (x ) f (t) cos(α(t x))dt dα= 2 φ(α)dα= 2 f (t) cos(α(t x))dt. Il est clir queφ( α)=φ(α) et doncφest φ(α)dα. L intégrle de Fourier. f (x)= [ f (t) cos(α(t x)dt dα 4.2. forme complexe de l intégrle de F OURIER Posonsψ(α)= f (t) sin(α(t x))dt. ψ est une fonction impire et donc pour tout >, Donc ψ(α)dα = [ f (t) sin(α(t x))dt dα=. ψ(α)dα== [ f (t) sin(α(t x))dt dα. On dit dns ce cs que l intégrle converge en vleur principle de Cuchy vers. Ceci implique qu on ussi i [ f (t) sin(α(t x))dt dα=et donc ; Forme complexe de l intégrle de Fourier. f (x)= [ f (t)e iα(t x) dt dα. lors Posons : f (α)e iαx dα= F ( f )(α)= f (α)= f (t)e iαt dt; [ f (t)e iα(t x) dt dα= On peut écrire générlement si f possède des discontinuités : f (x) = f (x). f (α)e iαx dα= f (x+)+ f (x ) 2 Mintennt on peut définir l notion de trnsformée de F ourier. 63 M er AMROUN NOUR-EDDINE

4 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER 4.3 Trnsformée de F ourier Définition 4.3. Soit f :R R une fonction loclement intégrble et bsolument intégrble surr. On définit l trnsformée de F ourier de f, l fonction notée f ou F (f) der C ; et s trnsformée inverse de C R pr : Trnsformée de Fourier. F ( f )(α)= f (α)= Trnsformée inverse de Fourier. f (x)e iαx dx f (x)= f (α)e iαx dα= f (x+)+ f (x ) 2 Exemple 4.3. Soit f (x)=e x. f (α)= = [ e x e iαx dx= [ e ( iα)x dx+ e x e iαx dx+ e x e iαx dx e (+iα)x dx = [ +iα + iα = 2 +α 2. Puisque f est continue surr, L trnsformée inverse donne : f (x)=e x = f (α)e iαx dα= π +α 2 eiαx dα = cosαx π +α dα+ i sinαx 2 π +α dα= 2 cosαx 2 π +α dα+i. ; 2 d où : En prticulier on ; 4.4 Propriétés Lemme 4.4. (Riemnn) cos x +x 2 dx= π 2 e cosαx +α 2 dα=π 2 e x. On pose IK=R ouc. Soit f : [, b IK une fonction intégrble sur [, b. Alors les fonctions f (t) cosαt et f (t) sinαt sont intégrbles dns [, b pour toutα dnsret on : b b f (t) cosαt dt= f (t) sinαt dt= M er AMROUN NOUR-EDDINE 64

5 4.4 Propriétés Preuve. f intégrble sur [, b implique que pour toutε>, il existe une subdivision de [, b =x < x < x 2 <...<x n = b et une fonction en esclier, ε g : [, b Rtelles que f (t) g(t) < 2(b ). b b b ( f (t) g(t)) cosαtdt ε f (t) g(t) cosαt dt dt= ε 2(b ) 2. Or, dns chque intervlle x k, x k+ [, l fonction g est constnte et vut g (t)=c xk,x k+ [ k. On lors, b n xk+ n xk+ g(t) cosαt dt= g(t) cosαt dt= c k cosαt dt Et pr suite, b k= n = k= x k f (t) cosαt dt=. c k ( sinαt α ) xk+ x k = α k= n Risonnement identique pour l deuxième intégrle. Théorème 4.4. k= x k c k (sinαx k+ sinαx k ) α ±. Soit f : R C une fonction loclement intégrble et bsolument intégrble surr. Alors. f (α)= f (x)e iαx dx est normlement convergente. 2. f est bornée. 3. f (α)= Preuve.. C est immédit cr f (x)e iαx = f (x) qui est intégrble surrpr hypothèse. 2. f (α) f (x)e iαx dx= f (x) dx=m. 3. Posons I()= I()= f (x) dx. f (x) dx=iexiste. Soitε>. Il existe lors b>tel que I I(b) =I I(b) ε 2. f (α) = f (x)e iαx dt = b f (x)e iαx dx+ b f (x)e iαx dx+ f (x)e iαx dx b b b f (x) dx+ b f (x)e iαx dx + f (x) dx. b 65 M er AMROUN NOUR-EDDINE b

6 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER Donc f (α) I I(b)+ b f (x)e iαx dx b. Comme l fonction f (x)e iαx est loclement intégrble, d près le lemme de Riemnn (4.4.), b b f (x)e iαx dx=. Il existe lors M>, tel que pour tout α M, on Il résulte que pour tout α M, f (α) ε 2 +ε 2 Nottions. { b b f (x)e iαx dx ε 2. =ε, ce qui trduit le fit que f (α)=. K = f :R C: f Loc(R) et f (t) dt<. { } B= f :R C: f (x)=. x ± D : opérteur de dérivtion définie sur l ensemble des fonction dérivbles D(R,C) pr D f=f. P : opérteur défini dns l ensemble des fonctions B(R,C) pr (P f )(x)=x f (x). f (α)=f ( f (x))(α) Théorème [Dérivée de l trnsformée de F ourier Soit f : R C une fonction stisfisnt ux conditions suivntes : i) f K ii) f continue iii) P f K Alors f C (R,C) (fonctions continûment dérivbles) et on : F ( f (x))(α)= if (x f (x))(α) } Preuve. Soit l fonctionϕ:r R Cdéfinie prϕ(t, x)= f (t)e itx. ϕ possède les propriétés suivntes : )ϕ est continue comme produit de deux fonctions continues b) ϕ x (t, x)= it f (t)e itx = itϕ(t, x) est continue c) L intégrle ϕ(t, x)dt est normlement convergente cr ϕ(t, x) = f (t) et f K ϕ ϕ d) (t, x)dt est normlement convergente cr x (t, x) x = t f (t) = (P f )(t) et P f K Pour ces risons f (x)= ϕ(t, x)dt est dérivble dnsret on : ( f ) (x)=(d f)(x)= ϕ i (t, x)dt= x [t f (t, x)e itx dt M er AMROUN NOUR-EDDINE 66

7 4.5 Quelques propriétés de l trnsformtion de F ourier Ce qui se trduit pr (D f)(x)= i( P f)(x) ou i(d f )(x)=( P f (x) en multiplint pr i chque membre. Théorème [Trnsformée de F ourier de l dérivée Preuve. Soit f : R C une fonction stisfisnt ux conditions suivntes :. f K 2. f C (R) 3. D f K Alors f B et ) Pour tout x R on f (x)= f ()+ x F ( f (x))(α)=iαf ( f (x))(α) f (t)dt. Puisque D f K, l intégrle f (t) dt est convergente et pr suite f (t)dt converge. D où f (x)=l existe. Montrons quel=. x Pour cel, on fit un risonnement pr l bsurde. Supposons quel. ) Supposonsl>. f (x)=l. Pr définition de l ite, pour toutε> il existe M tel que pour tout x x Mon :l ε< f (x)<l+ε. Choisissonsεtel quel ε>. Il résulte lors que f (x)> pour tout x M. Donc, on obtient pour f (x)dx= M M (l ε)dx M M f (x)dx f (x)dx et pr conséquent f (x)dx+ M M f (x)dx. D où contrction cr f K. b) Supposons quel<. On prend ( f ) et on dopte le même risonnement. Conclusionl=. Exercice. En s inspirnt de cette démonstrtion, montrer que f (x)=. x 2) i(p f )(x)=ix f(x)= ix f (x)e iαx dx= ix f (x)e iαx dx. M (l+ε)dx puis lorsqu on fit tendre f (x)dx diverge. Il en est de même Une intégrtion pr prties vec u= f et dv=ixe itx dt, on obtient : i(p f )(x)= [ e itx f (t) + f (t)e itx dt = f (t)e itx dt= (D f )(x). 4.5 Quelques propriétés de l trnsformtion de F ourier Adoptons l nottion f= F ( f ) Linérité Soient f, g K etα,β R. Alors F (α f+βg)(x)=αf ( f )(x)+βf (g)(x). L démonstrtion de cette propriété est simple. 67 M er AMROUN NOUR-EDDINE

8 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER Trnsformée de F ourier de l trnsltion. Soit T R et soit f :R C une ppliction. On note f T (x)= f (x T). Si f K. F ( f T )(α)= Alors F ( f T )(α)= e iαt f (t)e iαt dt. f T (x)e iαx dx= Donc F ( f T )(α)=e iαt F ( f )(α). f (t)e i(t+t)α dt= Trnsformée de F ourier de l homothétie Soit k>et soit f :R C. On note f k (x)= f (kx). Si f K, F ( f k )(α)= f k (x)e ixα dx= En posnt kx=t, on obtient : F ( f k )(α)= f (t)e iα (t/k) dt k = k [ f (x T)e iαx dx. On pose x T=t. f (kx)e ixα dx. f (t)e iαt e iαt dt= f (t)e it (α/k) dt = k F ( f ) ( α k ) Produit de convolution Problème : Étnt données deux fonctions f et g et leurs trnsformées de F ourier F ( f )(α) et F (g)(α), peut-on trouver une fonction k telle que Solution On F ( f )(α) F (g)(α) = F (k)(α)=f ( f )(α) F (g)(α)? f (x)e iαx dx = f (x)g(y)e iα(x+y) dxdy Posons : x+ y=t et donc dy=dt, l intégrle double devient : Posons : h(t)= F ( f )(α) F (g)(α)= f (x)g(t x) dx, on donc : F ( f )(α) F (g)(α) = = = f (x)g(t x)e iαt dxdt h(t)e iαt dt ( ) h(t)e iαt dt F (h)(α) g(y)e iαy dy M er AMROUN NOUR-EDDINE 68

9 4.6 «Sinus et Cosinus-trnsformées»de F ourier En posnt k(t)= h(t), l fonction k est solution du problème posée. Définition 4.5. Soit f, g : R R deux fonctions intégrbles sur R. On ppelle produit de convolution de f pr g, l fonction notée f g :R Rdéfinie pr ( f g)(t)= Proposition 4.5. Le produit de convolution est commuttif ; et on : F ( f g)(α)= F ( f )(α)f (g)(α) f (t x)g(x)dx Preuve : L preuve découle directement de l définition ; puisque : α R F ( f )(α) F (g)(α)=f (g)(α) F ( f )(α) Exercice Démontrer l commuttivité directement à prtir de l définition intégrle. En effet dns l intégrle ( f g)(t) = en posnt t x= y. On obtient : ( f g)(t)= f (y)g(t y)dy= Théorème 4.5. [Églité de Prsevl f (t x)g(x)dx, on fit le chngement de vrible g(t y) f (y)dy=(g f )(t). Soit f :R Cdmettnt une trnsformée de F ourier F ( f ). Alors on F ( f )(α) 2 dα= f (t) 2 dt 4.6 «Sinus et Cosinus-trnsformées»de F ourier Définition 4.6. Soit f : R R une fonction bsolument intégrble sur R.. On ppelle cosinus-trnsformée de F ourier de f, l fonction : 2 f c (α)= f (x) cos(αx) dx π L expression 2 f (x)= f c (α) cos(αx) dα π est ppelée inverse de cosinus-trnsformée de F ourier de f. 69 M er AMROUN NOUR-EDDINE

10 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER 2. On ppelle sinus-trnsformée de F ourier de f, l fonction : 2 f s (α)= f (x) sin(αx) dx π L expression 2 f (x)= f s (α) sin(αx) dα π est ppelée inverse de sinus-trnsformée de F ourier de f. Remrque 4.6. Soit f :R R une fonction dmettnt une trnsformée de F ourier f. ) Si f est pire. f (α)= = f (x)e iαx dx= f (x) cos(αx) dx i f (x) ( cos(αx) i sin(αx) ) dx f (x) sin(αx) dx. Or l fonction x f (x) cos(αx) est pire et l fonction t f (x) sin(αx) est impire. Il s ensuit lors : 2 f (α)= f (x) cos(αx) dx cr f (x) sin(αx) dx =. D où : π 2 f (α)= f c (α)= f (x) cos(αx) dx π b) Si f est impire. Avec le même risonnement on obtient l expression : f (α)= 2 f (x)e iαx dx= i f (x) sin(αx) dx. D où : π 2 f (α)= i f (x) sin(αx) dx= i f s (α). π fs (α)=i f (α). M er AMROUN NOUR-EDDINE 7